1.2.3 导数的四则运算法则 学案(含答案)
课时作业13：1.2.3 导数的四则运算法则
1.2.3 导数的四则运算法则[A 基础达标]1．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( )A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝2f (x )，则tan x ＝( )A ．－3B ．3C ．1D ．－13．函数y ＝x 2＋a 2x(a ＞0)在x ＝x 0处的导数为0，那么x 0＝( ) A ．aB ．±aC ．－aD ．a 24．曲线y ＝x 2x －1在点(1，1)处的切线方程为( ) A ．x －y －2＝0B ．x ＋y －2＝0C ．x ＋4y －5＝0D ．x －4y －5＝05．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2e x f ′(1)＋3ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－3B ．2eC ．21－2eD ．31－2e 6．f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________．7．若f (x )＝log 3(2x －1)，则f ′(2)＝________．8．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，若f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________.9．求下列函数的导数：(1)y ＝x sin 2x; (2)y ＝e x ＋1e x －1； (3)y ＝x ＋cos x x ＋sin x； (4)y ＝cos x ·sin 3x .10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a、b、c的值．[B能力提升]11．已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝t－1t2＋2t2(位移单位：m，时间单位：s)，则t＝3 s时物体的瞬时速度为________．12．已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________．13．已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．14．(选做题)已知函数f(x)＝e x(cos x－sin x)，将满足f′(x)＝0的所有正数x从小到大排成数列{x n}，证明：数列{f(x n)}为等比数列．参考答案[A 基础达标]1．D【解析】 y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′＝2(x ＋1)(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1，所以y ′|x ＝1＝4.2．B【解析】由f (x )＝sin x －cos x ，可得f ′(x )＝cos x ＋sin x .又f ′(x )＝2f (x )，所以cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，整理得3cos x ＝sin x ，所以tan x ＝sin x cos x＝3.故选B. 3．B【解析】y ′＝⎝⎛⎭⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －（x 2＋a 2）x 2＝x 2－a 2x 2， 由x 20－a 2＝0，得x 0＝±a . 4．B【解析】 y ′＝2x －1－2x （2x －1）2＝－1（2x －1）2， 当x ＝1时，y ′＝－1，所以切线方程是y －1＝－(x －1)，整理得x ＋y －2＝0，故选B.5．D【解析】因为f ′(1)为常数，所以f ′(x )＝2e x f ′(1)＋3x， 所以f ′(1)＝2e f ′(1)＋3，所以f ′(1)＝31－2e. 6．1【解析】因为f ′(x )＝8x ＋4a ，f ′(2)＝20，即16＋4a ＝20.所以a ＝1.7．23ln 3【解析】因为f ′(x )＝[log 3(2x －1)] ′＝1（2x －1）ln 3(2x －1)′＝2（2x －1）ln 3， 所以f ′(2)＝23ln 3. 8．－2【解析】法一：由f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，得f ′(x )＝4ax 3＋2bx .因为f ′(1)＝2，所以4a ＋2b ＝2，即2a ＋b ＝1.则f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2(2a ＋b )＝－2.法二：因为f (x )是偶函数，所以f ′(x )是奇函数，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.9．解：(1)y ′＝(x )′sin 2x ＋x (sin 2x )′＝sin 2x ＋x ·2sin x ·(sin x )′＝sin 2x ＋x sin 2x .(2)y ′＝（e x ＋1）′（e x －1）－（e x ＋1）（e x －1）′（e x －1）2＝－2e x（e x －1）2. (3)y ′＝（x ＋cos x ）′（x ＋sin x ）－（x ＋cos x ）（x ＋sin x ）′（x ＋sin x ）2＝（1－sin x ）（x ＋sin x ）－（x ＋cos x ）（1＋cos x ）（x ＋sin x ）2＝－x cos x －x sin x ＋sin x －cos x －1（x ＋sin x ）2. (4)y ′＝(cos x ·sin 3x )′＝(cos x )′sin 3x ＋cos x (sin 3x )′＝－sin x sin 3x ＋3cos x cos 3x .10．解：因为曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1，1)，所以a ＋b ＋c ＝1.①因为y ′＝2ax ＋b ，所以4a ＋b ＝1.②又因为曲线过点Q (2，－1)，所以4a ＋2b ＋c ＝－1.③联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.[B 能力提升]11．32327m/s 【解析】因为s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， 所以s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ， 所以v ＝s ′|t ＝3＝－19＋227＋12＝32327， 即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327m/s. 12．8【解析】因为y ＝x ＋ln x ，所以y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2. 所以曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.因为 y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，所以a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1， 消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.13．解：因为直线l 过原点，所以直线l 的斜率k ＝y 0x 0(x 0≠0)， 因为点(x 0，y 0)在曲线C 上，所以y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，所以y 0x 0＝x 20－3x 0＋2， 又y ′＝3x 2－6x ＋2，所以k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2，又k ＝y 0x 0，所以3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，整理得2x 20－3x 0＝0， 因为x 0≠0，所以x 0＝32，此时，y 0＝－38，k ＝－14， 所以直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标为(32，－38)． 14．证明：f ′(x )＝[e x (cos x －sin x )]′＝e x (cos x －sin x )＋e x (－sin x －cos x )＝－2e x sin x ， 因为f ′(x )＝0，即－2e x sin x ＝0，又x 为正数，解得x ＝n π，n 为正整数，从而x n ＝n π，n ＝1，2，3，….所以f (x n )＝e n π(cos n π－sin n π)＝(－1)n e n π，f (x n ＋1)＝(－1)n ＋1e (n＋1)π， 则f （x n ＋1）f （x n ）＝（－1）n ＋1e （n ＋1）π（－1）n e n π＝－e π.所以数列{f (x n )}是首项为f (x 1)＝－e π，公比为q ＝－e π的等比数列．。
学案4：1.2.3 导数的四则运算法则
1.2.3 导数的四则运算法则学习目标(1)能利用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式求简单函数的导数；(2)理解并掌握复合函数的求导法则．知识导学一、导数的四则运算法则1．函数和(或差)的求导法则若f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)，(f(x)－g(x))′＝f′(x)－g′(x)．注意：(1)设f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)．(2)对任意有限个可导函数，有(f1(x)±f2(x)±…±f n(x))′＝f1′(x)±f2′(x)±…±f n′(x)．2．函数积的求导法则对于可导函数f(x)，g(x)，有[f(x)g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)．注意：(1)若C为常数，则[Cf(x)]′＝C′f(x)＋Cf′(x)＝0＋Cf′(x)＝Cf′(x)，即[Cf(x)]′＝Cf′(x)，即常数与函数之积的导数，等于常数乘函数的导数．(2)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)，a，b为常数．切忌把[f(x)·g(x)]′记成f′(x)·g′(x)．3．函数的商的求导法则对于可导函数f(x)，g(x)，有[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)g2(x)(g(x)≠0)．注意：在两个函数积f(x)g(x)的导数公式中，f′(x)g(x)与g′(x)f(x)之间为“＋”号；而两个函数商f(x)g(x)的导数公式中，f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之间为“－”号．二、复合函数的求导法则1．复合函数的求导法则一般地，设函数u＝φ(x)在点x处有导数u x′＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y u′＝f′(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在点x处也有导数，且y x′＝y u′·u x′或f′(φ(x))＝f′(u) φ′(x)或d y d x＝d y d u·d ud x，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘中间变量对自变量的导数．2．求复合函数的导数的步骤(1)适当选定中间变量，正确分清复合关系；(2)分步求导；(3)把中间变量代回原自变量的函数．整个过程可简记为“分解——求导——回代”．熟练后，可省略中间过程．若遇多重复合，可相应的多次用中间变量．3．求复合函数的导数应处理好以下环节：①中间变量的选择应是基本函数结构；②关键是正确分析函数的复合层次；③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；④善于把一部分表达式作为一个整体；⑤最后要把中间变量换成自变量的函数．三、导数计算中的化简技巧有关导数的运算一般要按照导数的运算法则进行，但也不能盲目地套用公式，要仔细观察函数式的结构特点，适当地对函数式中的项进行“合”与“拆”，进行优化组合，有的放矢，但每部分易于求导，然后运用导数运算法则进行求解．在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免运处算失误．探究点一 导数的四则运算例1 求下列函数的导数．(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝x －1x ＋1； (4)y ＝2x ＋1x 2＋x 22x ＋1.归纳总结(1)熟练掌握和运用函数的和、差、积、商的导数公式，并进行简单、合理的运算，注意运算中公式运用的准确性．(2)灵活运用公式，化繁为简，如小题(2)这种类型，展开化为和、差的导数比用积的导数简单容易．练一练1.求下列函数的导数：(1)y＝x4－3x3＋2x2－4x－1；(2)y＝x cos x；(3)y＝sin2x；(4)y＝tan x＋cot x；(5)y＝x2ln x＋1log a x(a>0且a≠1，x>0)．探究点二复合函数的导数例2 求下列函数的导数．(1)y＝sin3x；(2)y＝3－x.方法总结复合函数的求导需注意以下问题：(1)分清复合函数的复合关系，看它是由哪些基本初等函数复合而成的，适当选定中间变量；(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的导数．如(sin2x )′＝2cos2x ，而(sin2x )′≠cos2x ；(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；(4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可省略不写．练一练2.求下列函数的导数：(1)y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π6； (2)y ＝ln(2x 2＋3x ＋1)．探究点三 求导法则的综合应用例3 求和S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1(x ≠0，n ∈N ＋)．方法总结 本题事实上可用数列中的错位相减法求和解决，若利用导数转化，则可成为等比数列求和问题，从而简化运算．求解时要注意需对x 是否等于1分类讨论．练一练3.求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程．当堂检测1.求函数y ＝x 3·cos x 的导数．解：y ′＝(x 3)′cos x ＋x 3·(cos x )′＝3x 2cos x －x 3sin x .2.求y ＝x 2sin x的导数．3.求复合函数y ＝(2x ＋1)5的导数．4.函数f (x )＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)的导数为( )A ．x 2－x ＋1B ．(x ＋1)(2x －1)C ．3x 2D ．3x 2＋15、已知函数f (x )＝x (x －1)(x －2)·…·(x －2015)，则f ′(0)＝________.课堂小结导数的四则运算法则⎩⎪⎨⎪⎧ 函数和差积商的求导法则掌握复合函数的求导法则理解参考答案探究点一 导数的四则运算例1 解：(1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－3(x 2)′－5x ′＋(6)′＝4x 3－6x －5.(2)解法1：y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝3x 2＋12x ＋11.解法2：∵y ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.(3)解法1：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2 ＝(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. 解法2：∵y ＝1－2x ＋1，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1－2x ＋1′＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋1′ ＝－(2)′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. (4)y ′＝⎝⎛⎭⎫2x ＋1x 2′＋⎝⎛⎭⎫x 22x ＋1′＝(2x ＋1)′x 2－(2x ＋1)(x 2)′x 4＋(x 2)′(2x ＋1)－x 2(2x ＋1)′(2x ＋1)2＝2x 2－4x 2－2x x 4＋4x 2＋2x －2x 2(2x ＋1)2＝－2x －2x 3＋2x 2＋2x (2x ＋1)2. 练一练1.解：(1)y ′＝4x 3－9x 2＋4x －4.(2)y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′＝cos x －x sin x .(3)y ′＝(sin2x )′＝(2sin x cos x )′＝(2sin x )′cos x ＋2sin x (cos x )′＝2cos 2x －2sin 2x ＝2cos2x .(4)y ′＝(tan x ＋cot x )′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＋⎝⎛⎭⎫cos x sin x ′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＋－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝1cos 2x －1sin 2x＝－cos2x cos 2x sin 2x ＝－4cos2x sin 22x . (5)y ′＝2x ln x ＋x 2·1x ＋0－1x ln a log 2a x＝2x ln x ＋x －ln a x ln 2x . 探究点二 复合函数的导数例2 解：(1)设y ＝sin u ，u ＝3x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝cos u ·3＝3cos3x .(2)设y ＝u ，u ＝3－x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝12u ·(－1)＝－123－x. 练一练 2.解：(1)设y ＝cos u ，u ＝3x －π6， ∴y ′x ＝－sin u ·3＝－3sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6. (2)设y ＝ln u ，u ＝2x 2＋3x ＋1，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(4x ＋3)＝4x ＋32x 2＋3x ＋1. 探究点三 求导法则的综合应用例3 解：当x ＝1时，S n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2； 当x ≠1时，∵x ＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝x (x n －1)x －1， ∴S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1＝(x ＋x 2＋x 3＋…＋x n )′＝(x n ＋1－x x －1)′ ＝(x n ＋1－x )′(x －1)－(x n ＋1－x )(x －1)′(x －1)2＝1－(n ＋1)x n ＋nx n ＋1(x －1)2. 练一练3.解：设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－2.故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)． ① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0. ② 又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12. 故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)， 即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.当堂检测1.解：y ′＝(x 3)′cos x ＋x 3·(cos x )′＝3x 2cos x －x 3sin x .2.解：y ′＝(x 2)′sin x －x 2·(sin x )′sin 2x＝2x sin x －x 2cos x sin 2x. 3.解：∵函数y ＝(2x ＋1)5由函数y ＝u 5和u ＝2x ＋1复合而成， ∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u 5)′u ·(2x ＋1)′x＝5u 4·2＝5(2x ＋1)4·2＝10(2x ＋1)4，即y ′x ＝10(2x ＋1)4.4.【答案】 C【解析】 因为y ＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)＝x 3＋1， 所以y ′＝(x 3＋1)′＝3x 2，故选C.5.【答案】 －(1×2×3× (2015)【解析】 依题意，设g (x )＝(x －1)(x －2)·…·(x －2015)， 则f (x )＝x ·g (x )，f ′(x )＝[x ·g (x )]′＝g (x )＋x ·g ′(x )， 故f ′(0)＝g (0)＝－(1×2×3×…×2015)．。
高中数学 1.2.3导数的四则运算法则学案 新人教B版选修2-2
1.2.3导数的四则运算法则一学习目标：能利用导数的四则运算法则求简单函数的导数.二自学指导：1可导函数的四则运算法则法则1 '[()()]____________.u x v x ±=(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).推广法则2 [()()]____________u x v x '=.(口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号)特别的：[Cf(x)]/=法则3 ()[]_______________(()0)()u x v x v x '=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是负号) 特别的：[)(1x g ]/= 法则4 当))((x u f y =是x 的复合函数时，记号dxdy 明确表示对x 求导数。
dx du du dy dx dy ⋅=2三 典型例题例1 求多项式函数n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110......)(的导数。
例2 求x x y sin =的导数例3 求x y 2sin =的导数例4 求x y tan =的导数例5 求()[]'+535x 的导数求()'x 5sin 的导数四巩固练习1．下列求导运算正确的是 ( )2x 232111.()1 B.(log ) C. (x cosx)-2xsinx D.(3)3log ln 2x A x x e x x x ''''+=+===2．求下列函数的导数 (1)y=12+x x (2)32(21)(3)y x x x =-+(3)y=x xsin (4)tan y x x =-；(5)x x e y 2= (6)5)75ln(+=x y3．已知函数xe y x=在0x x =处的导数值与函数值互为相反数，求0x 的值4.已知抛物线f(x)= x 2+3x-5，求此抛物线在x=3处的切线方程5设()ln x f x a e b x =⋅+，且1(1),(1)f e f e''=-=，求实数,a b 的值。
学案6：1.2.3 导数的四则运算法则
1.2.3 导数的四则运算法则学习目标：1．能利用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式求简单函数的导数，理解并掌握复合函数的求导法则．2．掌握运用导数的运算法则和导数公式来求复合函数的导数．学习重点：导数的四则运算法则，复合函数的求导方法．学习难点：导数的四则运算法则的应用和正确分析复合函数的复合过程． 学习过程：新知讲解复合函数的导数一般地，设函数u ＝ϕ(x )在点x 处有导数u'x ＝ϕ'(x )，函数y ＝f (u ) 在点x 的对应点u 处有导数y'u ＝f '(u ) ，则复合函数y ＝f (ϕ(x )) 在点x 处也有导数，且 y'x ＝y'u ·u'x ． 或写作 x f '(ϕ(x ))＝f '(u ) ϕ'(x )．复合函数对自变量的求导法则，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的函数，乘中间变量对自变量的导数．导数运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；2．[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；3. ⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 例题讲解：例1：求下列函数的导数．(1)y ＝3x －lg x ；(2)y ＝(x 2＋1)(x ＋1)；(3)y ＝x ＋3x 2＋3； (4)y ＝－sin x ＋e x .例2：过原点作曲线y ＝e x 的切线，求切点的坐标及切线的斜率．自我检测1．函数y ＝cos x 1－x的导数是 ( ) A.－sin x ＋x sin x (1－x )2 B. x sin x －sin x －cos x (1－x )2 C. cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2 D. cos x －sin x ＋x sin x 1－x2．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为( )A.193 B. 103 C. 133 D. 1633．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1＋x ，则f ′(x )等于( )A.11＋x B ．－11＋x C. 1(1＋x )2 D ．－1(1＋x )24．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.5．函数f (x )＝x 3＋4x ＋5的图象在x ＝1处的切线在x 轴上的截距为________．课后练习课堂小结：参考答案例题讲解：例1：解：(1)y ′＝(3x )′－(lg x )′＝3x ·ln3－1x ln10. (2)y ＝(x 2＋1)(x ＋1)＝x 3＋x 2＋x ＋1，∴y ′＝3x 2＋2x ＋1.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x 2＋3′ ＝(x ＋3)′(x 2＋3)－(x ＋3)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝(x 2＋3)－(x ＋3)·2x (x 2＋3)2＝－x 2－6x ＋3(x 2＋3)2. (4)y ′＝(－sin x )′＋(e x )′＝－cos x ＋e x .例2：解：∵(e x )′＝e x ，设切点坐标为(x 0，0e x )，则过该切点的直线的斜率为0e x ，∴所求切线方程为y －0e x ＝0e x (x －x 0)．∵切线过原点，∴－0e x ＝－x 0·0e x ，x 0＝1.∴切点为(1，e)，斜率为e. 自我检测1．【解析】y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2. 【答案】C2．【解析】∵f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103. 【答案】B3．【解析】令1x＝t ，则f (t )＝1t 1＋1t ＝11＋t ，∴f (x )＝11＋x ，f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫11＋x ′＝－1(1＋x )2. 【答案】D4．【解析】f ′(x )＝2(2x ＋a )·2＝4(2x ＋a )，f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1.【答案】15．【解析】f ′(x )＝3x 2＋4，f ′(1)＝7，f (1)＝10，∴y －10＝7(x －1)，当y ＝0时，x ＝－37. 【答案】－37。
学案1：1.2.3 导数的四则运算法则
学习目标：
1.理解两函数的和(或差)的导数法则，会求一些函数的导数．
2.理解两函数的积（或商）的导数法则，会求一些函数的导数
3.会求一些简单复合函数的导数.
学习重点难点：
导数的四则运算
自主学习：
一．知识再现
1.导数的定义：设函数 在 处附近有定义，如果 时， 与 的比 （也叫函数的平均变化率）有极限即 无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数 在 处的导数，记作 ，即
解法二：∵y＝(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab
∴y′＝(x2)′－[(a＋b)x]′＋(ab)′＝2x－a－b，故选D.
2．【答案】B
【解析】解法一：f′(x)＝ ′
＝ ＝ ，
∴f′(x0)＝ ＝0，得：x0＝±a.
解法二：∵f′(x)＝ ′＝ ′＝1－ ，
∴f′(x0)＝1－ ＝0，即x ＝a2，∴x0＝±a.
故选B.
3．【答案】D
【解析】y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′
＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，
∴y′|x＝1＝4.故选D.
4．【答案】A
【解析】由f′(x)＝ － ＝ 得x＝3.故选A.
5．【答案】－3
【解析】设u＝3x，则y＝sinu，
∴y′x＝cosu·(3x)′＝3cosu＝3cos3x
法则1：两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即
证明：令 ，
，
∴ ，
即 ．
法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即
高中数学1.2.3导数的四则运算法则教案理新人教B版选修2_2
1.2.3 导数的四则运算法则【教学目标】记住两个函数的和、差、积、商的导数运算法则，理解导数运算法则是把一个复杂函数求导数转化为两个或多个简单函数的求导问题；能通过运算法则求出导数后解决实际问题.【教学重点】导数的四则运算法则 【教学难点】复合函数的导数一、课前预习（阅读教材19--20页，填写知识点.并自学20页例题，※探究课上学习的例题）1.设函数)(),(x g x f 是可导函数[]__________)()(='±x g x f 推广：±±21f f (…)'n f ±__________= []__________)()(='⋅x g x f 特别地[]__________)(='x Cf _________)()(='⎥⎦⎤⎢⎣⎡x g x f 2.复合函数的求导法则：复合函数)]([x f y ϕ=对自变量x 的导数x y '，等于已知函数对中间变量)(x u ϕ=的导数u y '，乘以中间变量u 对自变量x 的导数x u '，即 ______________.二、课上学习：例1.求x x y cos =的导数.例2.求x y 2sin =的导数.例3.求x y tan =的导数.三、自我检测1. 曲线a x x y +-=22与直线13+=x y 相切时，常数a 的值等于__________ 2.曲线2313+=x y 在点(1,37)处切线的倾斜角为__________3.（1）求曲线132++=x x y在点（1，5）处的切线方程. （2）求曲线132++=x x y过点（2，2）处的切线方程. 4.如果曲线103-+=x x y 的一条切线与直线34+=x y 平行，那么曲线与切线相切的切点坐标为_______5.函数xe xf x=)(在0x x =处的导数值与函数值互为相反数，则0x =______.6.在曲线106323-++=x x x y 的切线中，斜率最小的切线方程为___________四、课后练习1.设函数x x f cos )(=，则])2(['πf 等于 （ ） 0 .A 1 .B 1 .-C 以上均不正确 .D2.设函数x x f sin )(=，则)0(f '等于 （ ）1 .A 1 .-B 0 .C 以上均不正确 .D3导数为1+x 的一个函数是 （ ）x x A +2 . 121 .2++x x B 1 .+x C 221 .x D 4.设函数)(sin x f y =是可导函数，则等于x y '（ ）)(sin .x f A ' x x f B cos )(sin .' x x f C sin )(sin .' x x f D cos )(cos .'5.点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范 围是（ ） ]2,0[ .πA ),43[)2,0[ .πππ B ),43[ .ππC ]43,2( .ππD 6.求下列函数的导数（1）,cos x x x y ++=332 （2）2cos 2sin x x x y -= （3）4cos 4sin 44x x y +=（4）x x y cos = （5）x x x y +=1ln （6）x x f 2sin 1)(-=精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
课时作业1：1.2.3 导数的四则运算法则(二)
1．2.3 导数的四则运算法则(二)一、基础过关1．下列函数不是复合函数的是( )A ．y ＝－x 3－1x＋1 B ．y ＝cos(x ＋π4) C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4答案 A解析 A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u 的复合函数，C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u的复合函数，D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数，故选A.2．函数y ＝1(3x －1)2的导数是( ) A.6(3x －1)3B.6(3x －1)2 C ．－6(3x －1)3D ．－6(3x －1)2 答案 C解析 y ′＝[1(3x －1)2]′＝－2(3x －1)3·(3x －1)′＝－6(3x －1)3，故选C. 3．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( )A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2xB ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2xC ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x答案 B解析 y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2·(－2sin 2x )＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .4．若f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)＝________.答案 1ln 3解析 f ′(x )＝[log 3(x －1)]′＝1(x －1)ln 3， ∴f ′(2)＝1ln 3. 5．函数y ＝(2 015－8x )3的导数y ′＝________.答案 －24(2 015－8x )2解析 y ′＝3(2 015－8x )2×(2 015－8x )′＝3(2 015－8x )2×(－8)＝－24(2 015－8x )2.6．曲线y ＝cos(2x ＋π6)在x ＝π6处切线的斜率为______． 答案 －2解析 ∵y ′＝－2sin(2x ＋π6)， ∴切线的斜率k ＝－2sin(2×π6＋π6)＝－2. 7．函数y ＝x (1－ax )2(a >0)，且y ′|x ＝2＝5，则实数a 的值为________．答案 1解析 y ′＝(1－ax )2＋x [(1－ax )2]′＝(1－ax )2＋x [2(1－ax )(－a )]＝(1－ax )2－2ax (1－ax )．由y ′|x ＝2＝(1－2a )2－4a (1－2a )＝12a 2－8a ＋1＝5(a >0)，解得a ＝1.二、能力提升8.已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2 答案 B解析 设直线y ＝x ＋1切曲线y ＝ln(x ＋a )于点(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )，又y ′＝1x ＋a ，∴y ′|0x x =＝1x 0＋a＝1， 即x 0＋a ＝1.又y 0＝ln(x 0＋a )，∴y 0＝0，∴x 0＝－1，∴a ＝2.9.曲线y ＝x e21在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2 D ．e 2答案 D解析 ∵y ′＝x e 21·12，∴y ′|x ＝4＝12e 2. ∴曲线在点(4，e 2)处的切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)， 切线与坐标轴的交点分别是(0，－e 2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积S ＝12|－e 2||2|＝e 2. 10．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.答案 1解析 f ′(x )＝2(2x ＋a )·2＝4(2x ＋a )，f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1.11．已知a >0，f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，l 是曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线．求切线l 的方程．解 f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，f (0)＝1.∴f ′(x )＝2ax －2＋1x ＋1＝2ax 2＋(2a －2)x －1x ＋1， f ′(0)＝－1，∴切点P 的坐标为(0,1)，l 的斜率为－1，∴切线l 的方程为x ＋y －1＝0.12.有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s (单位：m)关于时间t (单位：s)的函数为s ＝s (t )＝5－25－9t 2.求函数在t ＝715s 时的导数，并解释它的实际意义． 解 函数s ＝5－25－9t 2可以看作函数s ＝5－x 和x ＝25－9t 2的复合函数，其中x 是中间变量．由导数公式表可得s x ′＝－12x －12，x t ′＝－18t . 故由复合函数求导法则得s t ′＝s x ′·x t ′＝(－12x －12)·(－18t )＝9t 25－9t 2， 将t ＝715代入s ′(t )，得s ′(715)＝0.875 (m/s)． 它表示当t ＝715s 时，梯子上端下滑的速度为0.875 m/s. 三、探究与拓展13.曲线y ＝e 2x ·cos 3x 在(0,1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程．解 y ′＝(e 2x )′·cos 3x ＋e 2x ·(cos 3x )′＝2e2x·cos 3x－3e2x·sin 3x，∴k＝2.∴经过点(0,1)的切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.设适合题意的直线方程为y＝2x＋b，根据题意，得5＝|b－1|5，∴b＝6或－4.∴适合题意的直线方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.。
高中数学1_2_3导数的四则运算法则学案新人教B版选修2_2
1.2.3 导数的四则运算法则1．熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数．(重点) 2．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数．(难点) 3．掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数．(易混点)[基础·初探]教材整理1 导数的运算法则阅读教材P 19～P 20“例1”以上部分内容，完成下列问题． 1．和差的导数[f (x )±g (x )]′＝______________. 2．积的导数(1)[f (x )g (x )]′＝____________； (2)[cf (x )]′＝______________. 3．商的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝____________. 【答案】 1.f ′(x )±g ′(x ) 2.(1)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) (2)cf ′(x ) 3.g x f ′ x －f x g ′ xg x 2，g (x )≠0判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2.( )(2)已知函数y ＝2sin x －cos x ，则y ′＝2cos x ＋sin x ．( ) (3)已知函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋2)，则f ′(x )＝2x ＋1.( ) 【解析】 (1)由f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2＋c .(2)由y ＝2sin x －cos x ，则y ′＝(2sin x )′－(cos x )′ ＝2cos x ＋sin x .(3)由f (x )＝(x ＋1)(x ＋2)＝x 2＋3x ＋2， 所以f ′(x )＝2x ＋3.【答案】 (1)× (2)√ (3)× 教材整理2 复合函数的概念及求导法则 阅读教材P 20“例5”右边部分，完成下列问题．【答案】 x 的函数y ＝f (g (x ))d u ·d xy 对u 的导数与u对x 的导数的乘积判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f (x )＝x e x的导数是f ′(x )＝e x(x ＋1)．( ) (2)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．( ) 【答案】 (1)√ (2)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3：[小组合作型](1)y ＝x －2＋x 2； (2)y ＝3x e x －2x＋e ； (3)y ＝ln xx 2＋1； (4)y ＝x 2－sin x 2cos x2.【自主解答】 (1)y ′＝2x －2x －3. (2)y ′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2x ln 2.(3)y ′＝x 2＋1－2x 2·ln xx x 2＋1 2.(4)∵y ＝x 2－sin x 2cos x 2＝x 2－12sin x ，∴y ′＝2x －12cos x .1．解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．[再练一题]1．(1)设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，512π，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2](2)已知f (x )＝exx，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0的值为________.【导学号：05410013】【解析】 (1)f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ， ∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3， ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，512π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈[2，2]． (2)∵f ′(x )＝ e x′x －e x·x ′x2＝e xx －1 x2(x ≠0)． ∴由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得 e x 0 x 0－1 x 20＋e x 0x 0＝0， 解得x 0＝12.【答案】 (1)D (2)12(1)y ＝e2x ＋1；(2)y ＝12x －13；(3)y ＝5log 2(1－x )；(4)y ＝sin 3x ＋sin 3x .【精彩点拨】 先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导． 【自主解答】 (1)函数y ＝e2x ＋1可看作函数y ＝e u和u ＝2x ＋1的复合函数，∴y ′x ＝y ′u ·u x ′＝(e u)′(2x ＋1)′＝2e u＝2e 2x ＋1.(2)函数y ＝1 2x －1 3可看作函数y ＝u －3和u ＝2x －1的复合函数， ∴y ′x ＝y ′u ·u x ′＝(u －3)′(2x －1)′＝－6u －4＝－6(2x －1)－4＝－6 2x －14.(3)函数y ＝5log 2(1－x )可看作函数y ＝5log 2u 和u ＝1－x 的复合函数， ∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(5log 2u )′·(1－x )′＝－5u ln 2＝5x －1 ln 2. (4)函数y ＝sin 3x 可看作函数y ＝u 3和u ＝sin x 的复合函数，函数y ＝sin 3x 可看作函数y ＝sin v 和v ＝3x 的复合函数．∴y ′x ＝(u 3)′·(sin x )′＋(sin v )′·(3x )′ ＝3u 2·cos x ＋3cos v ＝3sin 2x cos x ＋3cos 3x .1．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成． 2．复合函数求导的步骤[再练一题]2．求下列函数的导数． (1)y ＝x1－1－x；(2)y ＝log 2(2x 2－1)． 【解】 (1)y ＝x1－1－x＝x 1＋1－x1－1－x 1＋1－x＝x 1＋1－x1－ 1－x＝1＋1－x .设y ＝1＋u ，u ＝1－x ，则y ′＝y u ′·u x ′＝(1＋u )′·(1－x )′ ＝12u ·(－1)＝－121－x. (2)设y ＝log 2u ，u ＝2x 2－1， 则y ′＝y ′u ·u x ′＝1u ln 2·4x ＝4x2x 2－1 ln 2.[探究共研型]探究 【提示】 函数y ＝(3x ＋2)2可看出函数y ＝u 2和u ＝3x ＋2的复合函数， ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(3x ＋2)′ ＝6u ＝6(3x ＋2)．已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(2－x )(a ∈R )，设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为l ，若直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求实数a 的值．【精彩点拨】 求出导数f ′(1)，写出切线方程，由直线l 与圆C 相切，建立方程求解．【自主解答】 因为f (1)＝a ，f ′(x )＝2ax ＋2x －2(x <2)， 所以f ′(1)＝2a －2，所以切线l 的方程为2(a －1)x －y ＋2－a ＝0.因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线l 的距离等于半径，即d ＝|2－a |4 a －1 2＋1＝12，解得a ＝118.关于复合函数导数的应用及其解决方法1．应用复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．2．方法先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用．[再练一题]3．若将上例中条件改为“直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交”，求a 的取值范围．【解】 由例题知，直线l 的方程为2(a －1)x －y ＋2－a ＝0. ∵直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交，∴圆心到直线l 的距离小于半径． 即d ＝|2－a |4 a －1 2＋1<12. 解得a >118.[构建·体系]1．函数y ＝(2 017－8x )3的导数y ′＝( ) A ．3(2 017－8x )2B ．－24xC ．－24(2 017－8x )2D ．24(2 017－8x )2【解析】 y ′＝3(2 017－8x )2×(2 017－8x )′ ＝3(2 017－8x )2×(－8)＝－24(2 017－8x )2. 【答案】 C2．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2x D ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x【解析】 y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′ ＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′ ＝2x cos 2x －2x 2sin 2x . 【答案】 B3．已知f (x )＝ln(3x －1)，则f ′(1)＝________. 【解析】 f ′(x )＝13x －1·(3x －1)′＝33x －1， ∴f ′(1)＝32.【答案】 324．设曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝_______.【导学号：05410014】【解析】 令y ＝f (x )，则曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e ax ，所以f ′(x )＝(e ax)′＝(e ax)·(ax )′＝a e ax，所以f ′(0)＝a e 0＝a ，故a ＝2.【答案】 25．求下列函数的导数．(1)y＝cos(x＋3)；(2)y＝(2x－1)3；(3)y＝e－2x＋1.【解】(1)函数y＝cos(x＋3)可以看做函数y＝cos u和u＝x＋3的复合函数，由复合函数的求导法则可得y x′＝y u′·u x′＝(cos u)′·(x＋3)′＝－sin u·1＝－sin u＝－sin(x＋3)．(2)函数y＝(2x－1)3可以看做函数y＝u3和u＝2x－1的复合函数，由复合函数的求导法则可得y x′＝y u′·u x′＝(u3)′·(2x－1)′＝3u2·2＝6u2＝6(2x－1)2.(3)y′＝e－2x＋1·(－2x＋1)′＝－2e－2x＋1.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( )A．y＝u n，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2C．y＝t n，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1【答案】 A2．若f (x )＝1－x2sin x ，则f (x )的导数是( )A.－2x sin x － 1－x 2cos x sin 2x B.－2x sin x ＋ 1－x 2 cos x sin 2x C.－2x sin x ＋ 1－x 2 sin xD.－2x sin x － 1－x 2 sin x【解析】 f ′(x )＝1－x 2′sin x － 1－x 2· sin x ′sin 2x ＝－2x sin x － 1－x 2cos xsin 2x . 【答案】 A3．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x 2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5)D.x 2x ＋5【解析】 y ′＝[x ln(2x ＋5)]′＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5· (2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5. 【答案】 B4．(2016·宁波高二检测)函数f (x )＝x ＋x ln x 在(1,1)处的切线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x －y －1＝0 C ．2x ＋y ＋1＝0D ．2x －y ＋1＝0【解析】 ∵f ′(x )＝(x ＋x ln x )′ ＝1＋x ′ln x ＋x (ln x )′ ＝1＋ln x ＋1＝2＋ln x ， ∴f ′(1)＝2＋ln 1＝2，∴函数f (x )在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.【答案】 B5．函数y ＝cos 2x ＋sin x 的导数为( )A ．－2sin 2x ＋cos x2xB ．2 sin 2x ＋cos x2xC ．－2sin 2x ＋sin x2xD ．2sin 2x －cos x2x【解析】 y ′＝－sin 2x ·(2x )′＋cos x ·(x )′ ＝－2sin 2x ＋12·1x cos x＝－2sin 2x ＋cos x2x .【答案】 A 二、填空题6．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________. 【导学号：05410015】【解析】 设P (x 0，y 0)．∵y ＝x ln x ，∴y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x .∴k ＝1＋ln x 0.又k ＝2，∴1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e. ∴y 0＝eln e ＝e.∴点P 的坐标是(e ，e)． 【答案】 (e ，e)7．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. 【解析】 ∵f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2－sin π2＝－1， ∴f ′(x )＝－cos x －sin x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2. 【答案】 － 28．(2016·广州高二检测)若函数为y ＝sin 4x －cos 4x ，则y ′＝________________. 【解析】 ∵y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )·(sin 2x －cos 2x )＝－cos 2x ， ∴y ′＝(－cos 2x )′＝－(－sin 2x )·(2x )′ ＝2 sin 2x . 【答案】 2sin 2x 三、解答题9．求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2；(2)y ＝esin x；(3)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)．【解】 (1)设y ＝u 12，u ＝1－2x 2，则y ′＝(u 12)′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u －12·(－4x )＝12(1－2x 2)－12(－4x )＝－2x1－2x 2.(2)设y ＝e u ，u ＝sin x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·cos x ＝e sin xcos x .(3)设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝y u ′·u x ′＝10u ln 2＝102x ＋1 ln 2.10．求曲线y ＝2sin 2x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线方程．【解】 因为y ′＝(2sin 2x )′＝2×2sin x ×(sin x )′＝2×2sin x ×cos x ＝2sin 2x ，所以k ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＝ 3.所以过点P 的切线方程为y －12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即3x －y ＋12－3π6＝0.[能力提升]1．(2016·长沙高二检测)函数y ＝sin 2x －cos 2x 的导数是() A ．2 2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4B ．cos 2x －sin 2xC ．sin 2x ＋cos 2xD ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4【解析】 ∵y ′＝(sin 2x －cos 2x )′＝(sin 2x )′－(cos 2x )′＝cos 2x ·(2x )′＋sin 2x ·(2x )′＝2cos 2x ＋2sin 2x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4， 故选A.【答案】 A2．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )【导学号：05410016】A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 【解析】 因为y ＝4e x＋1， 所以y ′＝－4e x e x ＋1 2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋1ex ＋2. 因为e x >0，所以e x ＋1ex ≥2，所以y ′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0)． 又因为α∈[0，π)，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 【答案】 D3．曲线y ＝e －5x ＋2在点(0,3)处的切线方程为__________________________．【解析】 因为y ′＝e －5x (－5x )′＝－5e －5x ，所以k ＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0.【答案】 5x ＋y －3＝04．已知函数f (x )＝x 3＋1(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．【解】 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f 0 ＝b ＝0，f ′ 0 ＝－a a ＋2 ＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0，即4a 2＋4a ＋1＞0，∴a ≠－12. ∴a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.。
课时作业12：1.2.3 导数的四则运算法则
1.2.3 导数的四则运算法则一、选择题1．函数y ＝(x 2－1)n 的复合过程正确的是( ) A ．y ＝u n ，u ＝x 2－1 B ．y ＝(u －1)n ，u ＝x 2 C ．y ＝t n ，t ＝(x 2－1)nD ．y ＝(t －1)n ，t ＝x 2－12．若f (x )＝1－x 2sin x ，则f (x )的导数是( )A.－2x sin x －(1－x 2)cos x sin 2xB.－2x sin x ＋(1－x 2)cos x sin 2 xC.－2x sin x ＋(1－x 2)sin xD.－2x sin x －(1－x 2)sin x3．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5)D.x 2x ＋54．函数f (x )＝x ＋x ln x 在(1,1)处的切线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x －y －1＝0 C ．2x ＋y ＋1＝0D ．2x －y ＋1＝05．函数y ＝cos 2x ＋sin x 的导数为( ) A ．－2sin 2x ＋cos x2xB ．2 sin 2x ＋cos x2xC ．－2sin 2x ＋sin x2xD ．2sin 2x －cos x2x二、填空题6．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________. 7．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝________. 8．若函数为y ＝sin 4x －cos 4x ，则y ′＝________________.三、解答题9．求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2；(2)y ＝e sin x ；(3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)．10．求曲线y ＝2sin 2x 在点P ⎝⎛⎭⎫π6，12处的切线方程．参考答案一、选择题1．【答案】A 2．【答案】A【解析】f ′(x )＝(1－x 2)′sin x －(1－x 2)·(sin x )′sin 2x ＝－2x sin x －(1－x 2)cos x sin 2x .3．【答案】B【解析】y ′＝[x ln(2x ＋5)]′＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5.4．【答案】B【解析】∵f ′(x )＝(x ＋x ln x )′ ＝1＋x ′ln x ＋x (ln x )′ ＝1＋ln x ＋1＝2＋ln x ， ∴f ′(1)＝2＋ln 1＝2，∴函数f (x )在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0. 5．【答案】A【解析】y ′＝－sin 2x ·(2x )′＋cos x ·(x )′ ＝－2sin 2x ＋12·1x cos x＝－2sin 2x ＋cos x2x .二、填空题 6．【答案】(e ，e)【解析】设P (x 0，y 0)．∵y ＝x ln x ，∴y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x .∴k ＝1＋ln x 0.又k ＝2，∴1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e. ∴y 0＝eln e ＝e.∴点P 的坐标是(e ，e)． 7．【答案】－2【解析】∵f ′(x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2cos x －sin x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π2＝f ′⎝⎛⎭⎫π2cos π2－sin π2＝－1， ∴f ′(x )＝－cos x －sin x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2. 8．【答案】2sin 2x【解析】∵y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )·(sin 2x －cos 2x )＝－cos 2x ，∴y ′＝(－cos 2x )′＝－(－sin 2x )·(2x )′ ＝2 sin 2x . 三、解答题9．解：(1)设y ＝u 12，u ＝1－2x 2， 则y ′＝(u 12)′(1－2x 2)′＝⎝⎛⎭⎫12u －12·(－4x ) ＝12(1－2x 2)－12(－4x )＝－2x 1－2x 2. (2)设y ＝e u ，u ＝sin x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·cos x ＝e sin x cos x . (3)设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1， 则y ′＝y u ′·u x ′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.10．解：因为y ′＝(2sin 2x )′＝2×2sin x ×(sin x )′ ＝2×2sin x ×cos x ＝2sin 2x ， 所以k ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＝ 3. 所以过点P 的切线方程为y －12＝3⎝⎛⎭⎫x －π6， 即3x －y ＋12－3π6＝0.。
2017-2018版高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.3 导数的四则运算法则学案 新人教B版选
1.2.3 导数的四则运算法则(一) 明目标、知重点 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．导数的运算法则：设两个函数分别为f (x )和g (x )，(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)[f x g x ]′＝f x g x －f x g x g 2x (g (x )≠0)．[情境导学]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．对于由四则运算符号连接的两个或两个以上基本初等函数的导数如何求，正是本节要研究的问题．探究点一 导数的运算法则思考1 我们已经会求f (x )＝5和g (x )＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f (x )与g (x )的和、差、积、商的导数？答 利用导数的运算法则．思考2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？答 (1)要准确判断函数式的结构特点，选择合适的公式和法则；(2)求导前可以先对解析式适当化简变形，以利于求导；(3)在两个函数积与商的导数运算中，不要出现[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )以及⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f x g x的错误；(4)注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”；(5)要注意区分参数与变量，例如[a ·g (x )]′＝a ·g ′(x )，运用公式时要注意a ′＝0. 例1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 3－2x ＋3；(2)y ＝(x 2＋1)(x －1)；(3)y ＝3x－lg x .解 (1)y ′＝(x 3)′－(2x )′＋3′＝3x 2－2.(2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1∴y ′＝(x 3)′－(x 2)′＋x ′－1′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x －lg x 是函数f (x )＝3x 与函数g (x )＝lg x 的差．由导数公式表分别得出 f ′(x )＝3x ln 3，g ′(x )＝1x ln 10， 利用函数差的求导法则可得(3x －lg x )′＝f ′(x )－g ′(x )＝3x ln 3－1x ln 10. 反思与感悟 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 5＋x 7＋x 9x； (2)f (x )＝2－2sin 2x2. 解 (1)∵y ＝x 5＋x 7＋x 9x＝x 2＋x 3＋x 4， ∴y ′＝(x 2)′＋(x 3)′＋(x 4)′＝2x ＋3x 2＋4x 3.(2)∵f (x )＝2－2sin 2x 2＝1＋cos x ， ∴f ′(x )＝－sin x .例2 求下列函数的导数：(1)f (x )＝x ·tan x ；(2)f (x )＝x －1x ＋1. 解 (1)f ′(x )＝(x ·tan x )′＝(x sin x cos x )′ ＝x sin x ′cos x －x sin x cos x ′cos 2x＝sin x ＋x cos x cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋x cos 2x. (2)∵f (x )＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴f ′(x )＝(1－2x ＋1)′＝(－2x ＋1)′＝－2′x ＋1－2x ＋1′x ＋12＝2x ＋12.反思与感悟 本题是基本函数积(商)的求导问题，对于不属于基本函数的函数通过变形转化成基本初等函数，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．跟踪训练2 求下列函数的导数：(1)y ＝x (1＋2x ＋2x 2)； (2)y ＝1＋sin x 2cos x 2； (3)y ＝(x ＋1)(1x －1)．解 (1)y ＝x (1＋2x ＋2x 2)＝x ＋2＋2x， ∴y ′＝1－2x2. (2)y ＝1＋sin x 2cos x 2＝1＋12sin x ， ∴y ′＝12cos x . (3)∵y ＝(x ＋1)(1x －1)＝－x ＋1x ， ∴y ′＝(－x )′＋(1x )′＝13221122x x ---- ＝－12x(1＋1x )． 探究点二 导数的应用例3 (1)曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________________．答案 3x －y ＋1＝0解析 y ′＝e x ＋x e x ＋2，则曲线在点(0,1)处的切线的斜率为k ＝e 0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y －1＝3x ，即3x －y ＋1＝0.(2)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________．答案 (－2,15)解析 设P (x 0，y 0)(x 0<0)，由题意知，k ＝3x 20－10＝2，∴x 20＝4.∴x 0＝－2，∴y 0＝15.∴P 点的坐标为(－2,15)．(3)已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．解 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ，∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327， 即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327m/s. 反思与感悟 本题应用导数的运算法则进一步强化导数的物理意义及几何意义：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)；瞬时速度是位移函数s (t )对时间t 的导数，即v ＝s ′(t 0)．跟踪训练3 求满足下列条件的f (x )的解析式：(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0；(2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1.解 (1)依题意，可设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . 由f (0)＝3，得d ＝3，由f ′(0)＝0，得c ＝0.由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0，可建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋2b ＝－3，12a ＋4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－3， ∴f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由f ′(x )为一次函数，知f (x )为二次函数．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .将f (x )，f ′(x )代入方程得 x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0.要使方程对任意x 都成立，则需要a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1.解得a ＝2，b ＝2，c ＝1.∴f (x )＝2x 2＋2x ＋1.1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x ) 答案 D解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．2．函数y ＝cos x 1－x的导数是( ) A.－sin x ＋x sin x －x 2 B.x sin x －sin x －cos x －x 2 C.cos x －sin x ＋x sin x －x 2 D.cos x －sin x ＋x sin x 1－x 答案 C解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝－sin x －x －cos x －－x 2＝cos x －sin x ＋x sin x －x 2. 3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A.193B.163C.133D.103答案 D解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103. 4．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值．解 因为y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，所以a ＋b ＋c ＝1.因为y ′＝2ax ＋b ，所以曲线在点(2，－1)处的切线的斜率为4a ＋b ＝1.又曲线过点(2，－1)，所以4a ＋2b ＋c ＝－1.由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1，4a ＋b ＝1，4a ＋2b ＋c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝－11，c ＝9.所以a 、b 、c 的值分别为3、－11、9.[呈重点、现规律]求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题．。
学案3：1.2.3 导数的四则运算法则
1.2.3 导数的四则运算法则课堂导学三点剖析一、求函数的导数例1 求下列函数的导数.(1)y =(2x 2+3)(3x -1)；(2)y =(x -2)2；(3)y =x -sin 2x ·cos 2x ； (4)y =3x 2+x cos x ；(5)y =tan x ；二、求直线方程例2 求过曲线y =cos x 上点P (π3，21)且与过这点的切线垂直的直线方程.温馨提示要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切线的斜率，从已知条件分析，求切线的斜率是可行的途径，可先通过求导确定曲线在点P 处切线的斜率，再根据点斜式求出与切线垂直的直线方程.三、利用导数求函数解析式例3 已知抛物线y =ax 2+bx +c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，-1)处与直线y =x -3相切，求实数a 、b 、c 的值.各个击破类题演练 1求下列函数的导数.(1)y =x 6；(2)y =431x ；(3)y =x12； (4)y =x .变式提示 1求下列函数的导数.(1)y =e x ·ln x ；(2)y =lg x -x12类题演练 2 求f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--400,100400,4000,200023002x x x x 的导数.变式提升 2 已知直线l 1为曲线y =x 2+x -2在(1，0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2和x 轴所围成的三角形的面积.类题演练3 当x =1与x =2时，函数f (x )=a ln x +bx 2+x 的导数为0.试确定常数a 和b 的值.变式提升3已知y=f(x)是一个一元三次函数，若f(-3)=2，f(3)=6且f′(-3)=f′(3)=0，求此函数的解析式.参考答案课堂导学三点剖析一、求函数的导数例1 解：(1)方法一：y ′=(2x 2+3)′(3x -1)+(2x 2+3)(3x -1)′=4x (3x -1)+3(2x 2+3)=18x 2-4x +9. 方法二：∵y =(2x 2+3)(3x -1)=6x 3-2x 2+9x -3，∴y ′=(6x 3-2x 2+9x -3)′=18x 2-4x +9.(2)∵y =(x -2)2=x -4x +4，∴y ′=x ′-(4x )′+4′=1-4·21x 21-=1-2x 21-. (3)∵y =x -sin2x cos 2x =x -21sin x ， ∴y ′=x ′-(21sin x )′=1-21cos x . (4)y ′=(3x 2+x cos x )′=6x +cos x -x sin x .(5)y ′=(xx cos sin )′=x x x x 2222cos 1cos sin cos =+. 二、求直线方程例2 解：∵y =cos x ，∴y ′=-sin x .曲线在点P (π3，21)处的切线斜率是y ′|3π=x =-sin π3=23-. ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为32. ∴所求的直线方程为y -21=32(x -π3)，即2x -2π-+=03. 三、利用导数求函数解析式例3 解：∵曲线y =ax 2+bx +c 过P (1，1)点，∴a +b +c =1. ①∵y ′=2ax +b ，∴y ′|2=x =4a +b .∴4a +b =1. ②又曲线过Q (2，-1)点，∴4a +2b +c =-1. ③联立①、②、③解得a =3，b =-11，c =9. 各个击破类题演练 1解：(1)y ′=(x 6)′=6x 6-1=6x 5.(2)y ′=(431x )′=(x 43-)′=43-x 143--=43-x 47-. (3)y ′=(x -2)′=-2x -3.(4)y ′=(x )′=(x 21)′=21x 121-=x21. 变式提示 1 解：(1)y ′=e xx ；(2)y ′=3210ln 1xx +. 类题演练 2解：f ′(x )=⎩⎨⎧>-≤≤-.400,100,4000,300x x x 变式提升 2 解：(1)y ′=2x +1，直线l 1的方程为：y =3x -3. 设直线l 2过曲线y =x 2+x -2上的点B (b ，b 2+b -2)， 则l 2的方程为y =(2b +1)x -b 2-2.因为l 1⊥l 2，则有2b +1=-31-，b =32-. 所以直线l 2的方程为y =31-x -922-. (2)解方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-=.92231,33x y x y 得x =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.25,61y y 所以直线l 1和l 2的交点坐标为(61，25-).l 1、l 2与x 轴交点的坐标分别为(1，0)、(322-，0). 所以所求三角形的面积S =21×325×|25-|=12125. 类题演练3：解：设f (x )=ax 3+bx 2+cx +d ，则f ′(x )=3ax 2+2bx +c ，依题意有： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-=+++=+-+-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-'=-'==-.0627,0627,63927,23927.0)3(,0)3(,6)3(,2)3(c b a c b a d c b d x b a f f f f ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===-=.4,1,0,271d c b a 即f (x )=271-x 3+x +4. 变式提升3 解：∵f (x )=a ln x +bx 2+x ， ∴f ′(x )=xa +2bx +1. 由条件可知f ′(1)=f ′(2)=0.∴a +2b +1=0且2a +4b +1=0， 解方程组得a =32-，b =61-.。
学案8：1.2.3 导数的四则运算法则
1.2.3 导数的四则运算法则1.了解导数的四则运算法则推导方法．2.理解复合函数求导的方法与步骤．3.掌握运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题．新知提炼1．导数的四则运算法则 设f (x )、 g (x )是可导的，则2.(1)复合函数一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的 ，记作y ＝f (g (x ))． (2)复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′ ·u x ′，即y 对x 的导数等于 与 的乘积．自我尝试1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)⎝⎛⎭⎫e x ＋cos π4′＝e x .( )(2)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．( ) (3)y ＝cos 3x 由函数y ＝cos u ，u ＝3x 复合而成．( ) (4)当g (x )≠0时，⎣⎡⎦⎤1g （x ）′＝－g ′（x ）g 2（x ）.( )2．设f (x )＝sin x －cos x ，则f (x )在x ＝π4处的导数f ′⎝⎛⎭⎫π4＝( )A.2 B ．－2 C ．0D.223．已知f (x )＝11＋x ，则f ′(x )等于( )A ．11＋xB ．－11＋xC ．1（1＋x ）2D ．－1（1＋x ）24．函数y ＝x ln x 的导数为________．题型探究题型一 应用求导法则求导数 例1 求下列函数的导数： (1)y ＝x 4＋3x 3－2x －5； (2)y ＝x log 3x ； (3)y ＝sin x x ；(4)y ＝x －sin x 2cos x2.方法归纳求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数． (2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算． 跟踪训练 求下列函数的导数：(1)y ＝x 2＋log 3x ；(2)y ＝x 3·e x ；(3)y ＝cos xx .题型二复合函数的求导运算例2求下列函数的导数：(1)y＝(2x－1)4；(2)y＝102x＋3；(3)y＝sin4x＋cos4x.方法归纳求复合函数的导数的步骤跟踪训练求下列函数的导数：(1)y＝ln 1x；(2)y＝e3x；(3)y＝5x＋3.题型三导数的应用例3已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．方法归纳利用导数的几何意义解决复杂函数的切线问题是高中数学的热点，导数是一种重要的解题工具，应熟练掌握应用导数公式及导数的四则运算法则求已知函数的导数． 跟踪训练 若函数f (x )＝e xx在x ＝c 处的导数值与函数值互为相反数，求c 的值．素养提升1．利用求导法则求导数比用导数定义求导简单易行，前提是记清常用函数求导公式，理解导数四则运算法则．2．运用导数四则运算法则需注意的问题(1)当函数式比较复杂时，要将函数式先进行化简，化成若干较简单的基本初等函数的四则运算形式，然后再利用求导法则进行运算．(2)在求导数时有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前可利用代数或三角恒等变形将函数化简，然后进行求导，以避免或减少使用积、商的求导法则，从而减少运算量，提高运算速度，避免出错．例如求函数y ＝x －12x 的导数，先化简为y ＝12－12·1x ，再求导，可使问题变得更简单．(3)运用法则的前提条件是将函数化简、变形为基本函数的和、差、积、商的形式，所以对导数公式表中函数的结构特点要记清，避免出现错用公式的情况． 3．利用复合函数求导法则求复合函数的导数的步骤 (1)分解复合函数为基本初等函数，适当选取中间变量； (2)求每一层基本初等函数的导数；(3)每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数． 失误防范运用积与商的导数运算法则时，首先要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出现[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )以及[f （x ）g （x ）]′＝f ′（x ）g ′（x ）这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”号，商的导数法则中分子上是“－”号．当堂检测1．函数y ＝x －(2x －1)2的导数是( ) A ．3－4xB ．3＋4xC ．5＋8xD ．5－8x2．函数y ＝x cos x －sin x ＋π的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos xD ．－x cos x3．函数y ＝e 2x ＋e －x 的导数为________． 4．已知f (x )＝e xx ，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，求x 0的值．参考答案新知提炼1． f ′(x )±g ′(x ) 和(或差) f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) g （x ）f ′（x ）－f （x ）g ′（x ）g 2（x ）2.(1)复合函数(2)y 对u 的导数 u 对x 的导数自我尝试1．(1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2．A 3．D 4．ln x ＋1题型探究题型一 应用求导法则求导数例1 [解] (1)y ′＝(x 4＋3x 3－2x －5)′＝(x 4)′＋(3x 3)′－(2x )′－5′＝4x 3＋9x 2－2. (2)y ′＝(x log 3x )′＝x ′log 3x ＋x (log 3x )′＝log 3x ＋x x ln3＝log 3x ＋1ln3. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x x ′＝x （sin x ）′－x ′sin x x 2＝x cos x －sin xx 2. (4)先化简，原式y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，故y ′＝⎝⎛⎭⎫x －12sin x ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x . 跟踪训练 解：(1)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln3.(2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x )′＝3x 2·e x ＋x 3·e x . (3)y ′＝(cos x x )′＝（cos x ）′·x －cos x ·（x ）′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos x x 2. 题型二 复合函数的求导运算例2 [解] (1)令u ＝2x －1，则y ＝u 4，因为y x ′＝y u ′·u x ′＝4u 3·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3. (2)令u ＝2x ＋3，则y ＝10u ，所以y x ′＝y u ′·u x ′＝10u ·ln10·(2x ＋3)′＝2ln10·102x ＋3.(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x ·cos 2x ＝1－12sin 22x＝1－14(1－cos 4x )＝34＋14cos 4x .所以y ′＝⎝⎛⎭⎫34＋14cos 4x ′＝－sin 4x .跟踪训练 解：(1)函数y ＝ln 1x 可以看作函数y ＝ln u 和函数u ＝1x 的复合函数，根据复合函数求导法则有y x ′＝y u ′·u x ′＝(ln u )′·⎝⎛⎭⎫1x ′＝1u ·(－1x 2)＝－1x. (2)函数y ＝e 3x 可以看作函数y ＝e u 和函数u ＝3x 的复合函数，根据复合函数求导法则有 y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u )′·(3x )′＝e u ·3＝3e 3x .(3)函数y ＝5x ＋3可以看作函数y ＝5u 和函数u ＝x ＋3复合而成，所以y x ′＝y u ′·u x ′＝52u ·1＝52x ＋3 . 题型三 导数的应用例3 [解] (1)因为y ′＝2x ＋1，y ′|x ＝1＝3. 所以直线l 1的方程为y ＝3x －3. 设直线l 2过切点(b ，b 2＋b －2)， 则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.因为l 1⊥l 2，所以2b ＋1＝－13，解得b ＝－23，所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16y ＝－52. 所以直线l 1和l 2的交点坐标为(16，－52)，l 1，l 2与x 轴的交点坐标分别为(1，0)，(－223，0)，所以所求三角形的面积S ＝12×253×|－52|＝12512.跟踪训练 解：由于f (x )＝e x x ，所以f (c )＝e cc，又f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝e x （x －1）x 2，所以f ′(c )＝e c （c －1）c 2.依题意知f (c )＋f ′(c )＝0，所以e c c ＋e c （c －1）c 2＝0，所以2c －1＝0得c ＝12.当堂检测1．D【解析】 y ＝x －(4x 2－4x ＋1)＝－4x 2＋5x －1， y ′＝－8x ＋5，选D. 2．B【解析】 y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＋π′＝x ′cos x ＋x ·(cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 3．2e 2x －e －x【解析】y ′＝(e 2x )′＋(e －x )′ ＝e 2x (2x )′＋e －x (－x )′ ＝2e 2x －e －x .4．解：因为f ′(x )＝（e x ）′x －e x ·x ′x 2＝e x （x －1）x 2(x ≠0)．所以由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得e x 0（x 0－1）x 20＋e xx 0＝0.解得x 0＝12.。
学案7：1.2.3 导数的四则运算法则
1.2.3 导数的四则运算法则新知初探已知f (x )＝x ，g (x )＝1x. 问题1：f (x )，g (x )的导数分别是什么？问题2：试求Q (x )＝x ＋1x ，H (x )＝x －1x的导数．问题3：Q (x )，H (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系？问题4：[f (x )g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )对吗？1．导数的四则运算法则(1)设f (x )，g (x )是可导的，则 法则 语言叙述[]f (x )±g (x )′＝ 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数[f (x )g (x )]′＝ 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝g (x )f ′(x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0) 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子的差除以(2)特别地，[cf (x )]′＝cf ′(x )，⎣⎡⎦⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)． 2．复合函数y ＝f (μ(x ))的导数y ＝f (μ(x ))是x 的复合函数，则y ′＝f ′(μ(x ))＝dy dμ·du dx＝f ′(μ)·μ′(x )．1.()f (x )±g (x )′＝f ′(x )±g ′(x )的推广(1)此法则可推广到任意有限个函数的和(或差)的求导．(2)[]af (x )±bg (x )′＝af ′(x )±bg ′(x )．2．求复合函数的导数应注意(1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系；(2)弄清每一步求导是对哪个变量按什么公式求导；(3)不要忘记将中间变量代回原自变量．题型探究题型一 利用导数的四则运算法则求导[例1] 求下列函数的导数：(1)y ＝x 3·e x ；(2)y ＝x －sin x 2cos x 2； (3)y ＝x 2＋log 3x ；(4)y ＝e x ＋1e x －1.[一点通] 求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算． 跟踪训练1．函数y ＝x 2·sin x 的导数是( )A ．2x ·sin x ＋x 2·cos xB ．x 2·cos xC ．2x ·sin x －x 2·cos xD ．2x ·cos x2．设f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )A.193 B .163C.133D.1033．求下列函数的导数：(1)y ＝cos x x；(2)y ＝x sin x ＋x ； (3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x；(4)y ＝lg x －1x 2.题型二 简单的复合函数求导[例2] 求下列函数的导数：(1)y ＝(3x －2)2；(2)y ＝ln (6x ＋4)；(3)y ＝e 2x ＋1；(4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.[一点通] 求复合函数导数的步骤：(1)确定中间变量，正确分解复合关系，即明确函数关系y ＝f (u )，u ＝g (x )；(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量的求导，即先求y u ′，再求u x ′；(3)计算y u ′·u x ′，并把中间变量转化为自变量．整个过程可简记为“分解—求导—回代”三个步骤，熟练以后可以省略中间过程． 跟踪训练4．函数y ＝cos 2x 的导数为( )A ．y ′＝sin 2xB ．y ′＝－sin 2xC ．y ′＝－2sin 2xD ．y ′＝2sin 2x5．函数f (x )＝(2x ＋1)5，则f ′(0)的值为________．6．求下列函数的导数．(1)y ＝3－x ；(2)y ＝12ln (x 2＋1)；(3)y ＝a 1－2x (a ＞0，a ≠1)．题型三曲线切线方程的确定与应用[例3](12分)设函数f(x)＝ax－bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．[一点通]基本初等函数的求导公式与求导运算法则联合使用，极大地方便了函数的导数的求解，从而为用导数研究曲线的切线注入了强大的源动力，使问题的解决快捷方便．跟踪训练7．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.8．已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．课堂小结1．应用和、差、积、商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，要先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．2．注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”．3．求复合函数的导数应处理好以下环节：(1)正确分析函数的复合层次；(2)中间变量应是基本初等函数结构；(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；(4)善于把一部分表达式作为一个整体；(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．当堂检测1．已知f (x )＝x －5＋3sin x ，则f ′(x )等于( )A ．－5x －6－3cos xB ．x －6＋3cos xC ．－5x －6＋3cos xD ．x －6－3cos x 2．已知f (x )＝sin n x ，则f ′(x )＝( )A ．n sin n －1xB ．n cos n －1x C ．cos n x D ．n sin n －1x ·cos x 3．曲线y ＝x 2x －1在点(1,1)处的切线方程为( ) A ．x －y －2＝0 B ．x ＋y －2＝0C ．x ＋4y －5＝0D ．x －4y －5＝04．已知直线y ＝x ＋1与曲线f (x )＝ln (x ＋a )相切，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－25．若f (x )＝e x ＋e －x 2，则f ′(0)＝________. 6．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 7．求下列函数的导数．(1)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (2)y ＝1＋cos x x 2； (3)y ＝(4x －x )(e x ＋1)；(4)y ＝x 1＋x 2；(5)y ＝sin 3x ＋sin x 3.8．已知曲线y ＝e 2x ·cos 3x 在点(0,1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程．参考答案新知初探问题1：提示：f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x 2. 问题2：提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝Δx ＋－Δx x (x ＋Δx )，∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx )， ∴Q ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫1－1x (x ＋Δx )＝1－1x 2.同理H ′(x )＝1＋1x 2. 问题3：提示：Q (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的和，H (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的差． 问题4：提示：不对，因为f (x )g (x )＝1，[f (x )g (x )]′＝0，而f ′(x )·g ′(x )＝1×⎝⎛⎭⎫－1x 2＝－1x2.1． (1) f ′(x )±g ′(x ) 和(或差)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) 第一个函数乘上第二个函数的导数分母的平方题型探究[例1] [解] (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x .(2)∵y ＝x －12sin x ， ∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x . (3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x(e x －1)2. 跟踪训练1．A【解析】y ′＝(x 2sin x )′＝(x 2)′sin x ＋x 2·(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .2．D【解析】f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，解得a ＝103. 3．解：(1)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos x x 2. (2)y ′＝(x sin x )′＋(x )′＝sin x ＋x cos x ＋12x. (3)∵y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x－2， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2. (4)y ′＝⎝⎛⎭⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝⎛⎭⎫1x 2′＝1x ln 10＋2x3. [例2] [解] (1)∵y ＝(3x －2)2由函数y ＝u 2和u ＝3x －2复合而成，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(3x －2)′＝6u ＝18x －12.(2)∵y ＝ln (6x ＋4)由函数y ＝ln u 和u ＝6x ＋4复合而成，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(ln u )′·(6x ＋4)′＝6u ＝66x ＋4＝33x ＋2. (3)∵y ＝e 2x ＋1由函数y ＝e u 和u ＝2x ＋1复合而成，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u )′·(2x ＋1)′＝2e u ＝2e 2x ＋1.(4)∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3由函数y ＝sin u 和u ＝2x ＋π3复合而成， ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(sin u )′·⎝⎛⎭⎫2x ＋π3′＝2cos u ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 跟踪训练4．C【解析】y ′＝－sin 2x (2x )′＝－2sin 2x .5．10【解析】f ′(x )＝5(2x ＋1)4·(2x ＋1)′＝10(2x ＋1)4，∴f ′(0)＝10.6．解：(1)设y ＝u ，u ＝3－x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝12u ·(－1)＝－123－x. (2)设y ＝12ln u ，u ＝x 2＋1，则y x ′＝y u ′·u x ′＝12·1u ·(2x )＝12·1x 2＋1·(2x )＝x x 2＋1. (3)令y ＝a u ，u ＝1－2x ，则y x ′＝y u ′·u ′x ＝a u ·ln a ·(－2)＝a 1－2x ·ln a ·(－2)＝－2a 1－2x ln a .[例3] [解] (1)由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝2a －b 2＝12.① 又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝a ＋b 4＝74.②(2分) 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a －b ＝1，4a ＋b ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3. 故f (x )＝x －3x .(6分)(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知， 曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．(8分)令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)．(9分) 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．(10分)所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.(12分)跟踪训练7．12【解析】因为y ′＝2ax －1x，依题意得y ′|x ＝1＝2a －1＝0， 所以a ＝12. 8．解：∵直线l 过原点，∴直线l 的斜率k ＝y 0x 0(x 0≠0)， 由点(x 0，y 0)在曲线C 上，得y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，∴y 0x 0＝x 20－3x 0＋2. 又y ′＝3x 2－6x ＋2，∴k ＝3x 20－6x 0＋2.又k ＝y 0x 0，∴3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2， 整理得2x 20－3x 0＝0.∵x 0≠0，∴x 0＝32，此时y 0＝－38，k ＝－14. 因此直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－38. 课堂小结1．C【解析】f ′(x )＝(x －5＋3sin x )′＝(x －5)′＋(3sin x )′＝－5x －6＋3cos x .2．D【解析】由于f (x )＝sin n x ，由函数y ＝t n ，t ＝sin x 复合而成，∴y x ′＝y t ′·t x ′＝nt n －1·cos x ＝n sin n －1x ·cos x .3．B【解析】y ′＝－1(2x －1)2，∴切线的斜率k ＝f ′(1)＝－1，由直线的点斜式方程得切线方程是x ＋y －2＝0.4．B【解析】设切点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1＝ln (x 0＋a )．又由f ′(x 0)＝1x 0＋a＝1，得x 0＋a ＝1，∴y 0＝0，x 0＝－1，∴a ＝2.5．0【解析】∵f ′(x )＝12(e x －e －x )，∴f ′(0)＝0. 6．1【解析】∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22， 得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝ 2－1.∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ．∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1.7．解：(1)∵y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x2， ∴y ′＝3x 2－2x3. (2)y ′＝(1＋cos x )′·x 2－(1＋cos x )(x 2)′x 4＝－x sin x －2cos x －2x 3. (3)法一：∵y ＝(4x －x )(e x ＋1)＝4x e x ＋4x －x e x －x ， ∴y ′＝(4x e x ＋4x －x e x －x )′＝(4x )′e x ＋4x (e x )′＋(4x )′－[x ′e x ＋x (e x )′]－x ′ ＝e x 4x ln 4＋4x e x ＋4x ln 4－e x －x e x －1 ＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4x ln 4－1.法二：y ′＝(4x －x )′(e x ＋1)＋(4x －x )(e x ＋1)′ ＝(4x ln 4－1)(e x ＋1)＋(4x －x )e x＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4x ln 4－1.(4)y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x ()1＋x 2′ ＝ 1＋x 2＋x 21＋x 2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2. (5)y ′＝(sin 3x ＋sin x 3)′＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′ ＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2＝3sin 2x cos x ＋3x 2cos x 3.8．解：∵y ′＝(e 2x )′·cos 3x ＋e 2x ·(cos 3x )′ ＝2e 2x ·cos 3x －3e 2x ·sin 3x ，∴f ′(0)＝2，∴曲线在点(0,1)处的切线方程为 y －1＝2(x －0)，即y ＝2x ＋1.设直线l 的方程为y ＝2x ＋b ，根据题意，得5＝|b －1|5，解得b ＝6或－4. ∴直线l 的方程为y ＝2x ＋6或y ＝2x －4.。
学案5：1.2.3 导数的四则运算法则
1.2.3 导数的四则运算法则学习目标：记住两个函数的和、差、积、商的导数运算法则，理解导数运算法则是把一个复杂函数求导数转化为两个或多个简单函数的求导问题；能通过运算法则求出导数后解决实际问题.学习重点：导数的四则运算法则学习难点：复合函数的导数学习过程：提出问题已知f (x )＝x ，g (x )＝1x. 问题1：f (x )，g (x )的导数分别是什么？问题2：试求Q (x )＝x ＋1x ，H (x )＝x －1x的导数．问题3：Q (x )，H (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系？问题4：[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g ′(x )对吗？导入新知导数运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；2．[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；3. ⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 化解疑难导数的运算法则的认识1．在两个函数积与商的导数运算中，不能认为[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g ′(x )以及⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g ′(x ).2．注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”．3．(1)[f 1(x )＋f 2(x )＋…＋f n (x )]′＝f 1′(x )＋f 2′(x )＋…＋f n ′(x )；(2)[cf (x )]′＝cf ′(x )，也就是说，常数与函数的积的导数等于常数乘函数的导数．例题探究：题型一：利用导数的运算法则求函数的导数例1：求下列函数的导数：(1)y ＝x 3·e x ；(2)y ＝x －sin x 2cos x 2； (3)y ＝x 2＋log 3x ；(4)y ＝e x ＋1e x －1.类题通法利用运算法则求导数的方法对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式．在不宜直接应用导数公式时，应先对函数进行化简，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程． 活学活用：求下列函数的导数：(1)y ＝cos x x； (2)y ＝x sin x ＋x ；(3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ； (4)y ＝lg x －1x2.题型二：导数几何意义的应用例2：(1)求曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程．(2)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋13上，且在第一象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，求点P 的坐标．类题通法导数几何意义的应用根据导数的几何意义，可直接得到曲线上一点处的切线的斜率．需注意直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征．当问题中涉及相切但未出现切点坐标时，要设出切点坐标，然后根据已知条件求出切点坐标．活学活用：若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝________.随堂演练：1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；④⎝⎛⎭⎫－1x ′＝12x x . 其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( )A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2xB ．y ′＝cos 2x －sin 2xC ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x3．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.4．已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝________.5．求下列函数的导数：(1)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (2)y ＝1＋cos x x 2； (3)y ＝(4x －x )(e x ＋1)．参考答案学习过程：提出问题问题1：f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x 2. 问题2：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝Δx ＋－Δx x (x ＋Δx )， ∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx )， ∴Q ′(x )＝0lim x ∆→Δy Δx ＝0lim x ∆→⎣⎡⎦⎤1－1x (x ＋Δx )＝1－1x 2. 同理H ′(x )＝1＋1x 2. 问题3：Q (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的和，H (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的差．问题4：不对，因为f (x )g (x )＝1，[f (x )g (x )]′＝0，而f ′(x )g ′(x )＝1×⎝⎛⎭⎫－1x 2＝－1x 2. 例题探究：题型一：利用导数的运算法则求函数的导数例1：解：(1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x .(2)∵y ＝x －12sin x ， ∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x . (3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (4)y ′＝＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x(e x －1)2.. 活学活用：解：(1)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos x x 2. (2)y ′＝(x sin x )′＋(x )′＝sin x ＋x cos x ＋12x.(3)∵y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x－2， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2. (4)y ′＝⎝⎛⎭⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝⎛⎭⎫1x 2′ ＝1x ln 10＋2x3. 题型二：导数几何意义的应用例2：解：(1)∵y ′＝－5e x ，∴所求曲线的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，∴切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝3x 2－10，所以3x 20－10＝2，解得x 0＝±2.又点P 在第一象限内，所以x 0＝2.又点P 在曲线C 上，所以y 0＝23－10×2＋13＝1，所以点P 的坐标为(2,1)．活学活用：【解析】f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，∵曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线， ∴f (0)＝a ＝g (0)＝1，且f ′(0)＝0＝g ′(0)＝b ，∴a ＋b ＝1.【答案】1随堂演练：1．【解析】(cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin π3＝32，而⎝⎛⎭⎫32′＝0，所以②错误； ⎝⎛⎭⎫1x 2′＝0－(x 2)′x 4＝－2x x 4＝－2x －3，所以③错误； ⎝⎛⎭⎫－1x ′＝－0－(x 12)′x ＝12x 12－x ＝12x 32－＝12x x ，所以④正确． 【答案】B2．【解析】y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x －sin 2x .【答案】B3．【解析】f (x )＝4x 2＋4ax ＋a 2，∴f ′(x )＝8x ＋4a ，∴f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1.【答案】14．【解析】y ′＝4x 3＋2ax ，因为曲线在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，所以y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8，解得a ＝－6.【答案】－65．解：(1)∵y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2， ∴y ′＝3x 2－2x 3. (2)y ′＝(1＋cos x )′·x 2－(1＋cos x )(x 2)′x 4＝－x sin x －2cos x －2x 3. (3)法一：∵y ＝(4x －x )(e x ＋1)＝4x e x ＋4x －x e x －x ， ∴y ′＝(4x e x ＋4x －x e x －x )′＝(4x )′e x ＋4x (e x )′＋(4x )′－[x ′e x ＋x (e x )′]－x ′ ＝e x 4x ln 4＋4x e x ＋4x ln 4－e x －x e x －1 ＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4x ln 4－1.法二：y ′＝(4x －x )′(e x ＋1)＋(4x －x )(e x ＋1)′ ＝(4x ln 4－1)(e x ＋1)＋(4x －x )e x ＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4x ln 4－1.。
高中数学人教B版选修2-2学案1.2.3 导数的四则运算法则 Word版含解析
导数的四则运算法则
．熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数．(重点)
．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数．(难点)
．掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数．(易混点)
[基础·初探]
教材整理导数的运算法则
阅读教材～“例”以上部分内容，完成下列问题．
．和差的导数
[()±()]′＝.
．积的导数
()[()()]′＝；
()[()]′＝.
．商的导数
′＝.
【答案】′()±′() .()′()()＋()′()
()′() ，()≠
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
()若′()＝，则()＝.( )
()已知函数＝ － ，则′＝ ＋ ．( )
()已知函数()＝(＋)(＋)，则′()＝＋.( )
【解析】()由′()＝，则()＝＋.
()由＝ － ，则′＝( )′－( )′
＝ ＋ .
()由()＝(＋)(＋)＝＋＋，
所以′()＝＋.
【答案】()× ()√ ()×
教材整理 复合函数的概念及求导法则
阅读教材“例”右边部分，完成下列问题．
对的导数与对的导数的乘积
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
()函数()＝的导数是′()＝(＋)．( )
()函数()＝(－)的导数为′()＝ ．( )
【答案】()√ ()×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问：
解惑：
疑问：。
导数四则运算学案
§1.2.3导数的四则运算法则学案（1） 教学目标 知识与技能：能利用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式求简单函数的导数，理解并掌握复合函数的求导法则． 过程与方法：掌握运用导数的运算法则和导数公式来求复合函数的导数．情感态度价值观：通过利用导数方法解决实际问题，体会导数在现实生活中的应用价值，提高数学应用能力． 重点导数的四则运算法则（加法+乘法） 难点导数的四则运算法则的应用 小卷重点导数的四则运算法则的应用 教法 问题探究，讲授 教具 学案一、复习导入：1、导数的定义：()()()xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆00lim lim2、基本求导公式: ()()()()()10ln 1log sin cos cos sin ln n n x x a c x nx a a a x x x x x x a -'''==='''===-3、巩固练习：求下列函数的导数：()()='='23x x利用导数的定义求()23x x x f +=的导数.猜想：[()()]()()f x g x f x g x '''++与的关系?二、导数四则运算法则()()是可导的设x g x f ,1、函数和（或差）的求导法则： 即：两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）2、函数积的求导法则：即：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数.即：常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数.例1、（1）求函数 的导数例2、（1）求x x y sin =的导数. （2）求2ln y x x =的导数.变式：求下列函数的导数[]()()()().f xg x f x g x '''±=±2()sin f x x x =+.2623)()2(23的导数求函数+--=x x x x g []()()()()()g ().f x g x f x x f x g x '''=±[]()()Cf x Cf x ''=（1）()()2325y x x =+- （2）()()35738y x x =-+ 例3、求下列函数在指定点的导数：（1）cos ,4y x x x π== （2）2321,0y x x x =++=例4、已知函数()x f 的导函数()f x '，且满足()()21ln f x xf x '=+，则()1f '=（ ）A.-eB.-1C.1D.e变式：已知函数()x x f x f cos sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛'=π，则⎪⎭⎫ ⎝⎛'4πf = 抚顺德才高中高二当堂检测卷（数学选修2-2第一章小卷）课题：1.2.3导数的四则运算（1）检测重点：导数的四则运算法则的应用1．下列求导运算正确的是：（ ）A ．211)1(xx x +='+ ； B ．2ln 1)(log 2x x ='； C ．e x x 3log 3)3(⋅=' ； D ．x x x x sin 2)cos (2-='。
教学设计2：1.2.3 导数的四则运算法则
1.2.3导数的四则运算法则教学目标1.能利用导数的四则运算法则求解导函数.2.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．知识链接前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则．教学导引1．导数运算法则要点一利用导数的运算法则求函数的导数例1求下列函数的导数：(1) y＝x3－2x＋3；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y ＝3x －lg x .解 (1)y ′＝(x 3)′－(2x )′＋3′＝3x 2－2.(2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1，∴y ′＝(x 3)′－(x 2)′＋x ′－1′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x －lg x 是函数f (x )＝3x 与函数g (x )＝lg x 的差．由导数公式表分别得出f ′(x )＝3x ln3，g ′(x )＝1x ln 10，利用函数差的求导法则可得 (3x －lg x )′＝f ′(x )－g ′(x )＝3x ln 3－1x ln 10. 规律方法 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．跟踪演练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x (1＋2x ＋2x 2)； (2)y ＝1＋sin x 2cos x 2； (3)y ＝(x ＋1)(1x－1)． 解 (1)y ＝x (1＋2x ＋2x 2)＝x ＋2＋2x， ∴y ′＝1－2x2. (2)y ＝1＋sin x 2cos x 2＝1＋12sin x ， ∴y ′＝12cos x . (3)∵y ＝(x ＋1)(1x －1)＝－x ＋1x， ∴y ′＝(－x )′＋(1x )′＝－12x －12－12x －32 ＝－12x(1＋1x )． 要点二 求复合函数的导数例2 求下列函数的导数：(1)y ＝log a (2x 2＋3x ＋1)；(2)y ＝a 3x cos(2x ＋π3)． 解 (1)y ′＝[log a (2x 2＋3x ＋1)]′＝(2x 2＋3x ＋1)′(2x 2＋3x ＋1)ln a＝4x ＋3(2x 2＋3x ＋1)ln a. (2)y ′＝(a 3x )′cos(2x ＋π3)＋a 3x [cos(2x ＋π3)]′ ＝3a 3x ln a ·cos(2x ＋π3)－a 3x sin(2x ＋π3)·2 ＝a 3x [3ln a ·cos(2x ＋π3)－2sin(2x ＋π3)]． 规律方法 应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：(1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导．(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．(4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤．跟踪演练2 求下列函数的导数：(1)y ＝ln x 2＋1；(2)y ＝(2x 3－x ＋1x)4. 解 (1)∵y ＝12ln(x 2＋1)， ∴y ′＝12(x 2＋1)(x 2＋1)′＝x x 2＋1. (2)设u ＝2x 3－x ＋1x，则y ＝u 4， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝4u 3·(6x 2－1－1x 2) ＝4(2x 3－x ＋1x )3(6x 2－1－1x 2)． 要点三 导数的应用例3 求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程．解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0②又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12. 故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)．即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.规律方法 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要漏解．跟踪演练3 求满足下列条件的f (x )的解析式：(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0；(2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1.解 (1)依题意，可设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由f (0)＝3，得d ＝3，由f ′(0)＝0，得c ＝0.由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0，可建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋2b ＝－3，12a ＋4b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3， ∴f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由f ′(x )为一次函数，知f (x )为二次函数．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .将f (x )，f ′(x )代入方程得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0.要使方程对任意x 都成立，则需要a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1.解得a ＝2，b ＝2，c ＝1.∴f (x )＝2x 2＋2x ＋1.当堂检测1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x ＋1 D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x【答案】D【解析】利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ，∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x .2．函数y ＝cos x 1－x的导数是( ) A.－sin x ＋x sin x (1－x )2B.x sin x －sin x －cos x (1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2D.cos x －sin x ＋x sin x 1－x【答案】C【解析】y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2. 3．曲线y ＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2 【答案】A【解析】∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2， ∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝ . 【答案】ln 2－1【解析】设切点为(x 0，y 0)，∵ y ′＝1x ，∴12＝1x 0， ∴x 0＝2，∴y 0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b ， ∴b ＝ln 2－1.。
课时作业15：1.2.3 导数的四则运算法则
1.2.3 导数的四则运算法则一、选择题1.下列运算中正确的是( )A.(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′B.(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′C.⎝⎛⎭⎫sin x x 2′＝(sin x )′－(x 2)′x 2D.(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x考点 导数的运算法则题点 导数的运算法则答案 A解析 A 项中，(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′，正确；B 项中，(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2(x 2)′，错误；C 项中，⎝⎛⎭⎫sin x x 2′＝(sin x )′x 2－sin x (x 2)′x 4，错误； D 项中，(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′，错误.2.函数f (x )＝x cos x －sin x 的导函数是( )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数，又不是偶函数答案 B解析 f ′(x )＝(x cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x＝－x sin x .令F (x )＝－x sin x ，x ∈R ，则F (－x )＝x sin(－x )＝－x sin x ＝F (x )，∴f ′(x )是偶函数.3.已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( )A.1B.2C.－1D.－2答案 B解析 设切点坐标是(x 0，x 0＋1)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 1x 0＋a ＝1，x 0＋1＝ln (x 0＋a )，由此得x 0＝－1，a ＝2.4.已知f (x )＝cos x (sin x －cos x )，则f ′⎝⎛⎭⎫π4等于( )A.1B.1或－1C.0D.－22答案 A解析 ∵f (x )＝cos x (sin x －cos x )＝12(sin 2x －cos 2x )－12.∴f ′(x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2sin 3π4＝1.5.设曲线f (x )＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A.2B.12 C.－12 D.－2答案 D解析 ∵f (x )＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，∴f ′(x )＝－2(x －1)2(x ≠1)，∴f ′(3)＝－12.∴－a ×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，即a ＝－2.6.曲线f (x )＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为() A.13 B.12 C.23 D.1答案 A解析 f ′(0)＝－2e －2×0＝－2，∴曲线在点(0,2)处的切线方程为y ＝－2x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2，y ＝x ， 解得x ＝y ＝23，∴A ⎝⎛⎭⎫23，23， 则围成的三角形的面积为12×23×1＝13. 7.已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫0，π4 B.⎣⎡⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎦⎤π2，3π4D.⎣⎡⎭⎫3π4，π答案 D解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x (e x )2＋2e x ＋1＝－4e x ＋1e x ＋2. ∵e x ＋1e x ≥2，∴e x ＋1e x ＋2≥4， 当且仅当x ＝0时等号成立.∴y ′∈[－1,0)，即tan α∈[－1,0)，∴α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π.二、填空题8.设f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，若h (x )＝f (x )＋2g (x )，则h ′(5)＝ . 答案 516 解析 由题意知f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，∵h ′(x )＝f ′(x )g (x )－[f (x )＋2]g ′(x )g 2(x )， ∴h ′(5)＝f ′(5)g (5)－[f (5)＋2]g ′(5)g 2(5)＝3×4－(5＋2)×142＝516. 9.已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为 . 答案 1解析 ∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22，解得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1.∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1.10.若曲线f (x )＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是 . 答案 (－ln 2,2)解析 设P (x 0，0e x -)，f ′(x 0)＝－0e x -＝－2，得x 0＝－ln 2，∴P (－ln 2,2).11.在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝ . 答案 4 096解析 ∵f ′(x )＝x ′(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x (x －a 1)′·(x －a 2)…(x －a 8)＋…＋x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)′＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x (x －a 2)…(x －a 8)＋…＋x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 7)，∴f ′(0)＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1a 8)4＝84＝4 096.三、解答题12.求下列函数的导数：(1)f (x )＝(1＋sin x )(1－4x )；(2)f (x )＝x x ＋1－2x . 解 (1)f ′(x )＝(1＋sin x )′(1－4x )＋(1＋sin x )(1－4x )′＝cos x (1－4x )－4(1＋sin x )＝cos x －4x cos x －4－4sin x .(2)f (x )＝x x ＋1－2x ＝1－1x ＋1－2x ， 则f ′(x )＝1(x ＋1)2－2x ln 2(x ≠－1). 13.曲线y ＝e 2x ·cos 3x 在(0,1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程.解 y ′＝(e 2x )′·cos 3x ＋e 2x ·(cos 3x )′＝2e 2x ·cos 3x －3e 2x ·sin 3x ，∴k ＝2.∴在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即y ＝2x ＋1.设符合题意的直线l 的方程为y ＝2x ＋b ，根据题意，得5＝|b －1|5， ∴b ＝6或－4.∴符合题意的直线l 的方程为y ＝2x ＋6或y ＝2x －4.14.已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为 .答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点坐标为(x 0，y 0).又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0， 解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点坐标为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.15.偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求f (x )的解析式.解 ∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1.又∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x ).故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e .∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，∴切点坐标为(1，－1).∴a ＋c ＋1＝－1.∵f ′(1)＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1.∴a ＝52，c ＝－92. ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.。
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1.2.3 导数的四则运算法则学案（含答案）
1.2.3导数的四则运算法则导数的四则运算法则学习目标
1.能利用导数的四则运算法则求解导函数.
2.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导知识点一导数的四则运算法则已知fxx，gx1x.思考1fx，gx的导数分别是什么答案fx1，gx1x
2.思考2试求Gxx1x，Hxx1x的导数并说出Gx，Hx与fx，gx 的关系答案Gx11x
2.同理，Hx11x
2.Gxfxgx，Hxfxgx思考3fxgxfxgx正确吗那么fxgxfxgxgx0且gx0是否正确答案fxgxfxgx，fxgxfxgx.梳理导数的四则运算法则1设fx，gx是可导的，则法则语言叙述fxgxfxgx两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数和或差fxgxfxgxfxgx两个函数的积的导数，等于
第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数fxgxfxgxfxgxg2xgx0两个函数的商的导数，等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子的差除以分母的平方2特别地，CfxCfx，1gxgxg2xgx0特别提醒1fxgxfxgx可推广到任意有限个函数的和或差的求导2afxbgxafxbgx知识点二复合函数yfux的导数yfux是x的复合函数，则yfuxdydududxfuux1函数fxxex的导数是fxexx12当gx0时，
1gxgxg2x.3函数yex的导数为yex.类型一利用导数的四则运算法
则求导例1求下列函数的导数1yx3ex；2yxsinx2cosx2；
3yx2log3x；4yex1ex
1.解1yx3exx3ex3x2exx3exx23xex.2yx12sinx，
yx12sinx112cosx.3yx2log3xx2log3x2x1xln
3.4yex1ex1ex1ex1ex12exex1ex1exex122exex
12.反思与感悟求函数的导数的策略1先区分函数的运算特点，即函数的和.差.积.商，再根据导数的运算法则求导数2对于三个以上函数的积.商的导数，依次转化为“两个”函数的积.商的导数计算跟踪训练11已知fxxaxbxc，则afabfbcfc________.答案0解析fxxaxbxcxaxbxcxaxbxcxbxcxaxcxaxb，faabac，fbbabcabbc，fccacbacbcafabfbcfcaabacbabbccacbcabcbaccababbcac0.2求下列函数的导数y2x33xx1xx；yx21x23；yx1x3x5；yxsinx2cosx.解313122223yxxxx，135222233
3.22yxxxx方法一yx21x23x21x23x2322xx232xx21x2324xx2
32.方法二
yx21x23x232x2312x23，y12x232x232x232x23x2324xx2
32.方法一yx1x3x5x1x3x5x1x3x1x3x5x1x32x4x5x1x33x218x
23.方法二
yx1x3x5x24x3x5x39x223x15，yx39x223x153x218x
23.yxsinx2cosxxsinxxsinx2cosx2cosxcos2xsinxxcosx2sinx cos2x.类型二
简单复合函数求导例2求下列函数的导数1yecosx1；
2ylog22x1；3y2sin3x6；4y112x.解1设yeu，ucosx1，则yxyuuxeusinxecosx1sinx.2设ylog2u，u2x1，则
yxyuux2uln222x1ln
2.3设y2sinu，u3x6，则yxyuux2cosu36cos3x6.4设yu12，u12x，则yxyuux12u12x1232u212x32.反思与感悟求复合函数导数的步骤1确定中间变量，正确分解复合关系，即明确函数关系yfu，ugx2分步求导弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，要特别注意中间变量对自变量的求导，即先求yu，再求ux.3计算yuux，并把中间变量转化为自变量整个过程可简记为“分解求导回代”三个步骤，熟练以后可以省略中间过程跟踪训练21已知函数fx2x15，则f0的值为________答案10解析
fx52x142x1102x14，f0
10.2求下列函数的导数y3x；y12lnx21；ya12xa0，a1解设yu，u3x，则yxyuux12u1123x.设y12lnu，ux21，则
yxyuux121u2x121x212xxx2
1.令yau，u12x，则yxyuuxaulna2a12xlna22a12xlna.类型三
导数运算法则的综合应用命题角度1利用导数求函数解析式例31已知函数fxlnxx2xf1，试比较fe与f1的大小关系；2设fxaxbsinxcxdcosx，试确定常数a，b，c，d，使得fxxcosx.解1由题意得fx1lnxx22f1，令x1，得f11ln112f1，即f1
1.fxlnxx2x.felnee2e1e2e，f12，由fef11e2e20，得fef12由已知得fxaxbsinxcxdcosxaxbsinxcxdcosxaxbsinxaxbsinxcxdcosxcxdcos xasinxaxbcosxccosxcxdsinxacxdsinxaxbccosx.又fxxcosx，adcx0，axbcx，即ad0，c0，a1，bc0，解得ad1，bc0.反思与感悟1中确定函数fx的解析式，需要求出f1，注意f1是常数2中利用待定系数法可确定a，b，c，d的值完成12问的前提是熟练应用导数的运算法则跟踪训练3函数fxx2x1f1，则f1________.答案1解析对fx求导，得fx2x12x2x1212x12，则f1
1.命题角度2与切线有关的问题例41若曲线yxlnx上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是________答案e，e解析设Px0，y0yxlnx，ylnxx1x1lnx，k1lnx0.又k2，1lnx02，
x0e.y0elnee.点P的坐标是e，e2已知函数fxax2bx3a0，其导函数为fx2x
8.求a，b的值；设函数gxexsinxfx，求曲线gx在x0处的切线方程解因为fxax2bx3a0，所以fx2axb，又知fx2x8，所以a1，b
8.由可得gxexsinxx28x3，所以gxexsinxexcosx2x8，所以
g0e0sin0e0cos020
87.又知g03，所以gx在x0处的切线方程为y37x0，即7xy
30.反思与感悟1与切线有关的问题往往涉及切点.切点处的导数.切线方程三个主要元素其他的条件可以进行转化，从而转化
为这三个要素间的关系2准确利用求导法则求出导函数是解决与切线有关的问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确3分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点跟踪训练41设曲线y2cosxsinx在点2，2处的切线与直线xay10垂直，则a________.答案1解析
ysin2x2cosxcosxsin2x12cosxsin2x，当x2时，y12cos2sin22
1.又直线xay10的斜率是1a，1a1，即a
1.2曲线yesinx在0,1处的切线与直线l平行，且与l的距离为2，求直线l的方程解设usinx，则yesinxeusinxcosxesinx，即y|x01，则切线方程为y1x0，即xy
10.若直线l与切线平行，可设直线l的方程为xyc0.两平行线间的距离d|c1|22，所以c3或c
1.故直线l的方程为xy30或xy
10.1设函数y2exsinx，则y等于
A2excosxB2exsinxC2exsinxD2exsinxcosx答案D解析
y2exsinxexcosx2exsinxcosx2对于函数fxexx2lnx2kx，若f11，则k等于
A.e2
B.e3Ce2De3答案A解析fxexx2x31x2kx2，f1e12k1，解得
ke2，故选
A.3曲线yxx2在点1，1处的切线方程为
Ay2x1By2x1Cy2x3Dy2x2答案A解析yxx2xx2x222x22，
ky|x121222，切线方程为y12x1，即y2x
1.4函数y2cos2x在x12处的切线斜率为________考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用答案1解析由函数y2cos2x1cos2x，得y1cos2x2sin2x，所以函数在x12处的切线斜率为2sin212
1.5在曲线yx33x26x10的切线中，斜率最小的切线的方程为________________答案3xy110解析y3x26x63x22x23x1233，当x1时，斜率最小，此时切点坐标为1，14，切线方程为y143x1，即3xy1
10.1应用和.差.积.商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，要先利用代数.三角恒等变换对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错2注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“”，而商的导数公式中分子上是“”3求复合函数的导数应处理好以下环节1正确分析函数的复合层次2中间变量应是基本初等函数结构3一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导4善于把一部分表达式作为一个整体5最后要把中间变量换成自变量的函数。