第二章 计算机控制系统信号分析
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真地恢复原连续信号。
2．采样信号失真 (1) 信号的高频分量折叠为低频分量
x1(t) cos(t)
x2 (t) cos(3t)
22
(2）隐匿振荡(Hidden oscillation)
– 如果连续信号x(t) 的频率分量等于采样频率s的整数
倍时，则该频率分量在采样信号中将会消失 。
信号为 ： x(t) x1(t) x2 (t) sin(t) sin(3t)
(1) F*(s)是周期函数，其周期值为js。
F *(s jms ) f (kT )ekTs F *(s) m＝±1，±2，…。 k 0
(2) 假设F(s)在s＝s1处有一极点，那么F*(s)必然在s=s1+jms处
具有极点，m＝±1，±2，．．．。
图2-12 F(s)及 F*(s)极点分布图
10
2.2.1 采样过程的描述
图2-7 采样过程描述
11
2.2.2 理想采样信号的时域描述
1. 理想采样的数学描述
– 用函数来描述理想采样开关，得到其时域数学表达式为
T (t kT ) k
图2-8 理想采样开关的数学描述
12
2.2.2 理想采样信号的时域描述
2. 理想采样信号时域数学描述
Gh (s) L[gh (t)] L[us (t) us (t T )]
1 esT 1
s
s
1 esT s
• 频率特性
Gh
(
j
)
1
e jT
j
T e jT / 2 (e jT / 2 e ) jT / 2 T sin(T / 2) e jT / 2
频率，频谱混叠或多或少都将发生。
20
3. 采样器的静态增益
sk
F*( j) F( j)
0
1 T
F( j
n
F( j)
js )
0
图2-17 f(t)=e-t及其采样信号频谱
• 若连续信号是有限带宽，且折叠频率 sk 1/ T
(s /2)>m ，即不产生混叠时，sk=1/T；
理想低通滤波器频谱特性
不符合物理可实现系统的因果关系 （即系统响应不可能发生在输入信号作用之前），
因而该滤波器是物理不可实现的。
理想低通滤波器脉冲响应
28
2.3.2 非理想恢复过程
• 物理上可实现的恢复只能以现在时刻及过去时刻的采 样值为基础，通过外推插值来实现。
数学上，
fk f (kT ) f (kT )(t KT ) ggg
样后出现频谱混叠现象. – 滤除高频干扰.
24
2.2.6 前置滤波器
图2-20 前置滤波器作用
25
2.1 控制系统中信号分类 2.2 理想采样过程的数学描述及特性分析 2.3 信号的恢复与重构 2.4 信号的整量化 2.5 计算机控制系统简化结构图
26
2.3.1 理想恢复过程
• 信号恢复：
– 时域上——由离散的采样值求出所对应的连续时间函数； – 频域上——除去采样信号频谱的旁带，保留基频分量。
(3) 采样信号的拉氏变换等于连续信号的拉氏变换的乘积再离散化，则 前者可从离散符号中提取出来，即
Y * (s) [E*(s)G(s)]* E*(s)[G(s)]* E*(s)G*(s)
16
图2-12 F(s)及F*(s)极点分布图
17
2.2.4 理想采样信号的频域描述
1. 理想采样信号的频谱
)
31
零阶保持器与理想低通滤波器相比
• 理想滤波器的截止频率为c=s /2，在≤c时，采样信号无 失真地通过，在>c时锐截止；而零阶保持器有无限多个截 止频率c＝ns(n＝1，2，…)，在0s内，幅值随增加而
衰减。 • 零阶保持器允许采样信号的高频分量通过，不过它的幅值是逐
图2-13 连续信号频谱和采样信号频谱
19
2. 频谱混叠
图2-14 m >s /2时频率响应产生混叠
理想采样信号频谱产生频率混叠现象的情况：
(1) 当连续信号的频谱带宽是有限时，m为信号中的最 高频率，若采样频率s /2<m，则采样信号频谱
的各个周期分量将会互相交叠，如图2-14所示。 (2) 连续信号的频谱是无限带宽时，无论怎样提高采样
2.1 控制系统中信号分类 2.2 理想采样过程的数学描述及特性分析 2.3 信号的恢复与重构 2.4 信号的整量化 2.5 计算机控制系统简化结构
1
2.1 控制系统中信号分类
• 从时间上区分：
➢ 连续时间信号__在任何时刻都可取值的信号； ➢ 离散时间信号__仅在离散断续时刻出现的信号。
• 从幅值上区分：
fk (t) f (t) kT t (k 1)T
f (kT )
df (t) dt
t kT
f (kT) f (kT) f [(k 1)T/T
wenku.baidu.com
“零阶外推插值”或 称“零阶保持器”：
一阶外推插值：
fk f (kT ) , kT t (k 1)T
fk f (kT) (t KT) f (kT) f [(k 1)T]/T
– 将整量化的分层信号变换为二进制数码形式，用数字量表示。
4
2.1.1 A/D变换
图2-2 A/D变换器框图
图2-3 各点信号形式的变化
5
2.1.2 D/A变换
fq1 (kT )
fq (kT )
f
011 011
3q
010
010
2q
001
q
0
t
0
t0
t
1. 解码器
图2-4 D/A的信号变换框图
– 将数字量转换为幅值等于该数字量的模拟脉冲信号。
理想采样信号的时域表达式为：
f *(t) f (kT ) (t kT ) k 0
14
2.2.3 理想采样信号的复域描述
1. 理想采样信号的拉氏变换
（1）已知理想采样信号的时域表示式
F*(s) L[ f *(t)] f *( )es d 0
kT t (k 1)T
29
2.3.3 零阶保持器
• 时域方程: fk (t) f (kT ) , kT t (k 1)T • 数学表达式: gh us (t) us (t T )
单位阶跃函数
ZOH的脉冲过渡函数
30
2.3.3 零阶保持器
• 传递函数（拉氏变换式 ）
如点F、D、E。 • 将时间断续、幅值连续的信号称为采样信号。
7
计算机控制系统信号分析的结论
• A/D和D/A变换中，最重要的是采样、量化和保持(或信 号恢复)3个变换过程。编码和解码仅是信号形式的改变， 其变换过程可看作无误差的等效变换，因此在系统的分析 中可以略去；
• 采样将连续时间信号变换为离散时间信号，保持将离散时 间信号又恢复成连续时间信号，这是涉及采样间隔中信号 有无的问题，影响系统的传递特性，因而是本质问题，在 系统的分析和设计中是必须要考虑的。
采样频率s =3rad/s。采样序列为 x(kT ) sin(2 k / 3) sin(3 2 k / 3) sin(2 k / 3) sin(2 k) sin(2 k / 3)
1
0.8
0.6
x(kT)
0.4
0.2
X2(t)
0
-0.2
-0.4 -0.6
X1(t)
-0.8
T 2 j / 2
T / 2
2 sin( / ) e s j( /s ) s / s
• 幅频特性
Gh ( j)
T
sin(T / 2) T / 2
2 s
sin( / s ) / s
• 相频特性
h ()
s
sin( / s / s
• 理想不失真的恢复需要具备3个条件：
– 原连续信号的频谱必须是有限带宽的频谱；
– 采样必须满足采样定理，即 s 2m
– 具有理想低通滤波器，对采样信号进行滤波。
图2-23采样信号通过理想滤波器的恢复
27
理想低通滤波器
• 在t=0时输入一个脉冲信号， 产生的脉冲响应为：
h(t) F1[H( j)] sin(t /T) (t /T)
F * (s)
1 T
F (s
n
jns )
s=js
F * (
j)
1 T
n
F(
j
jns )
F*( js )
1 T
F( j
n
jns )
1 T
n
F( j
jns )
工程近似为：
F * (
js )
1 T
n
• 若采样信号频谱产生混叠时， 如图2-17所示，具体等于多大， 将视混叠的严重程度而定。
21
2.2.5 采样定理
1．采样定理
– 如果一个连续信号不包含高于频率max的频率分量(连续 信号中所含频率分量的最高频率为max) ，那么就完全 可以用周期T</max的均匀采样值来描述。或者说， 如果采样频率s>2max，那么就可以从采样信号中不失
2. 信号恢复器
– 将解码后的模拟脉冲信号变为随时间连续变化的信号。 6
2.1.3计算机控制系统中信号的分类
图2-6计算机控制系统中信号变换
• 其中各点的信号类型如表2-1所示。 • 将时间及幅值均连续的信号称为连续信号或模拟信号，如
点A、H； • 将时间上离散，幅值上是二进制编码的信号称为数字信号，
f ( ) ( kT )es d
f (kT )ekTs f (kT )ekTs
0
k
k
k 0
（2）已知连续信号的拉氏变换式F(s)
F * (s)
1 T
F(s
n
jns )
15
2. F*(s)的特性
F*(s)和F(s)一样，描述了采样信号的复域特性。
• 量化使信号产生误差并影响系统的特性。但当量化单位q 很小 (即数字量字长较长)时，信号的量化特性影响很小， 在系统的初步分析和设计中可不予考虑。
8
2.1 控制系统中信号分类 2.2 理想采样过程的数学描述及特性分析 2.3 信号的恢复与重构 2.4 信号的整量化 2.5 计算机控制系统简化结构图
离散
数字 二进制
3
2.1.1 A/D变换
图2-2 A/D变换器框图
1. 采样
– 采样/保持器(S/H)对连续的模拟输入信号，按一定的时间间隔 T（称为采样周期）进行采样，变成时间离散（断续）、幅值等 于采样时刻输入信号值的序列信号。
2. 量化
– 将采样时刻的信号幅值按最小量化单位取整的过程。
3. 编码
-1
0
2
4
6
8
10
12
这表明x(kT) 中仅含有x1 (t) 的采样值，而x2 (t) 的采样振荡分量消失了。 但在采样间隔之间，x(t) 中存在的振荡称为隐匿振荡。
23
2.2.6 前置滤波器
• 是串在采样开关前的模拟低通滤波器，主要用 于防止采样信号产生频谱混叠，又称为抗混叠 滤波器。
• 作用
– 滤除连续信号中高于s/2的频谱分量，从而避免采
– 理想采样信号f *(t)是连续信号f(t)经过一个理想采 样开关而获得的输出信号，它可以看作是连续信号f(t)
被单位脉冲序列串T调制的过程。
f *(t)=f(t) T=f(t) (t kT ) f (t) (t kT )
k
k
13
图2-9 采样器—脉冲幅值调制器
F(
j
jns )
(1) 当n＝0时，F*(j)＝F(j)/T，该项称为采样信号的基本频谱，它
正比于原连续信号f (t)的频谱，仅幅值相差1/T。
(2) 当n0时，派生出以s为周期的高频谐波分量，称为旁带。每隔1个 s，就重复原连续频谱F(j)/T 1次，如图2-13(b)所示。
18
9
2.2.1 采样过程的描述
• 采样周期T远大于采样脉冲宽度p，即T>>p。 • 理想采样过程：p0 。即具有瞬时开关功能。 • 理想采样信号用f *(t)表示。
• 均匀采样：整个采样过程中采样周期不变。 • 非均匀采样：采样周期是变化的。 • 随机采样：采样间隔大小随机变化。 • 单速率系统：在一个系统里，各点采样器的采样周期均相同。 • 多速率系统：各点采样器的采样周期不相同。
➢ 模拟信号__信号幅值可取任意值的信号。 ➢ 离散信号__信号幅值具有最小分层单位的模拟量。 ➢ 数字信号__信号幅值用一定位数的二进制编码形式表示
的信号。
A／D 变换器
计算机
D／A 变换器
广义 被控对象
传感器
图2-1 计算机控制系统结构图
2
表2-1 控制系统中信号形式分类
时间 幅值
连续
离散
连续
2．采样信号失真 (1) 信号的高频分量折叠为低频分量
x1(t) cos(t)
x2 (t) cos(3t)
22
(2）隐匿振荡(Hidden oscillation)
– 如果连续信号x(t) 的频率分量等于采样频率s的整数
倍时，则该频率分量在采样信号中将会消失 。
信号为 ： x(t) x1(t) x2 (t) sin(t) sin(3t)
(1) F*(s)是周期函数，其周期值为js。
F *(s jms ) f (kT )ekTs F *(s) m＝±1，±2，…。 k 0
(2) 假设F(s)在s＝s1处有一极点，那么F*(s)必然在s=s1+jms处
具有极点，m＝±1，±2，．．．。
图2-12 F(s)及 F*(s)极点分布图
10
2.2.1 采样过程的描述
图2-7 采样过程描述
11
2.2.2 理想采样信号的时域描述
1. 理想采样的数学描述
– 用函数来描述理想采样开关，得到其时域数学表达式为
T (t kT ) k
图2-8 理想采样开关的数学描述
12
2.2.2 理想采样信号的时域描述
2. 理想采样信号时域数学描述
Gh (s) L[gh (t)] L[us (t) us (t T )]
1 esT 1
s
s
1 esT s
• 频率特性
Gh
(
j
)
1
e jT
j
T e jT / 2 (e jT / 2 e ) jT / 2 T sin(T / 2) e jT / 2
频率，频谱混叠或多或少都将发生。
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3. 采样器的静态增益
sk
F*( j) F( j)
0
1 T
F( j
n
F( j)
js )
0
图2-17 f(t)=e-t及其采样信号频谱
• 若连续信号是有限带宽，且折叠频率 sk 1/ T
(s /2)>m ，即不产生混叠时，sk=1/T；
理想低通滤波器频谱特性
不符合物理可实现系统的因果关系 （即系统响应不可能发生在输入信号作用之前），
因而该滤波器是物理不可实现的。
理想低通滤波器脉冲响应
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2.3.2 非理想恢复过程
• 物理上可实现的恢复只能以现在时刻及过去时刻的采 样值为基础，通过外推插值来实现。
数学上，
fk f (kT ) f (kT )(t KT ) ggg
样后出现频谱混叠现象. – 滤除高频干扰.
24
2.2.6 前置滤波器
图2-20 前置滤波器作用
25
2.1 控制系统中信号分类 2.2 理想采样过程的数学描述及特性分析 2.3 信号的恢复与重构 2.4 信号的整量化 2.5 计算机控制系统简化结构图
26
2.3.1 理想恢复过程
• 信号恢复：
– 时域上——由离散的采样值求出所对应的连续时间函数； – 频域上——除去采样信号频谱的旁带，保留基频分量。
(3) 采样信号的拉氏变换等于连续信号的拉氏变换的乘积再离散化，则 前者可从离散符号中提取出来，即
Y * (s) [E*(s)G(s)]* E*(s)[G(s)]* E*(s)G*(s)
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图2-12 F(s)及F*(s)极点分布图
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2.2.4 理想采样信号的频域描述
1. 理想采样信号的频谱
)
31
零阶保持器与理想低通滤波器相比
• 理想滤波器的截止频率为c=s /2，在≤c时，采样信号无 失真地通过，在>c时锐截止；而零阶保持器有无限多个截 止频率c＝ns(n＝1，2，…)，在0s内，幅值随增加而
衰减。 • 零阶保持器允许采样信号的高频分量通过，不过它的幅值是逐
图2-13 连续信号频谱和采样信号频谱
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2. 频谱混叠
图2-14 m >s /2时频率响应产生混叠
理想采样信号频谱产生频率混叠现象的情况：
(1) 当连续信号的频谱带宽是有限时，m为信号中的最 高频率，若采样频率s /2<m，则采样信号频谱
的各个周期分量将会互相交叠，如图2-14所示。 (2) 连续信号的频谱是无限带宽时，无论怎样提高采样
2.1 控制系统中信号分类 2.2 理想采样过程的数学描述及特性分析 2.3 信号的恢复与重构 2.4 信号的整量化 2.5 计算机控制系统简化结构
1
2.1 控制系统中信号分类
• 从时间上区分：
➢ 连续时间信号__在任何时刻都可取值的信号； ➢ 离散时间信号__仅在离散断续时刻出现的信号。
• 从幅值上区分：
fk (t) f (t) kT t (k 1)T
f (kT )
df (t) dt
t kT
f (kT) f (kT) f [(k 1)T/T
wenku.baidu.com
“零阶外推插值”或 称“零阶保持器”：
一阶外推插值：
fk f (kT ) , kT t (k 1)T
fk f (kT) (t KT) f (kT) f [(k 1)T]/T
– 将整量化的分层信号变换为二进制数码形式，用数字量表示。
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2.1.1 A/D变换
图2-2 A/D变换器框图
图2-3 各点信号形式的变化
5
2.1.2 D/A变换
fq1 (kT )
fq (kT )
f
011 011
3q
010
010
2q
001
q
0
t
0
t0
t
1. 解码器
图2-4 D/A的信号变换框图
– 将数字量转换为幅值等于该数字量的模拟脉冲信号。
理想采样信号的时域表达式为：
f *(t) f (kT ) (t kT ) k 0
14
2.2.3 理想采样信号的复域描述
1. 理想采样信号的拉氏变换
（1）已知理想采样信号的时域表示式
F*(s) L[ f *(t)] f *( )es d 0
kT t (k 1)T
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2.3.3 零阶保持器
• 时域方程: fk (t) f (kT ) , kT t (k 1)T • 数学表达式: gh us (t) us (t T )
单位阶跃函数
ZOH的脉冲过渡函数
30
2.3.3 零阶保持器
• 传递函数（拉氏变换式 ）
如点F、D、E。 • 将时间断续、幅值连续的信号称为采样信号。
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计算机控制系统信号分析的结论
• A/D和D/A变换中，最重要的是采样、量化和保持(或信 号恢复)3个变换过程。编码和解码仅是信号形式的改变， 其变换过程可看作无误差的等效变换，因此在系统的分析 中可以略去；
• 采样将连续时间信号变换为离散时间信号，保持将离散时 间信号又恢复成连续时间信号，这是涉及采样间隔中信号 有无的问题，影响系统的传递特性，因而是本质问题，在 系统的分析和设计中是必须要考虑的。
采样频率s =3rad/s。采样序列为 x(kT ) sin(2 k / 3) sin(3 2 k / 3) sin(2 k / 3) sin(2 k) sin(2 k / 3)
1
0.8
0.6
x(kT)
0.4
0.2
X2(t)
0
-0.2
-0.4 -0.6
X1(t)
-0.8
T 2 j / 2
T / 2
2 sin( / ) e s j( /s ) s / s
• 幅频特性
Gh ( j)
T
sin(T / 2) T / 2
2 s
sin( / s ) / s
• 相频特性
h ()
s
sin( / s / s
• 理想不失真的恢复需要具备3个条件：
– 原连续信号的频谱必须是有限带宽的频谱；
– 采样必须满足采样定理，即 s 2m
– 具有理想低通滤波器，对采样信号进行滤波。
图2-23采样信号通过理想滤波器的恢复
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理想低通滤波器
• 在t=0时输入一个脉冲信号， 产生的脉冲响应为：
h(t) F1[H( j)] sin(t /T) (t /T)
F * (s)
1 T
F (s
n
jns )
s=js
F * (
j)
1 T
n
F(
j
jns )
F*( js )
1 T
F( j
n
jns )
1 T
n
F( j
jns )
工程近似为：
F * (
js )
1 T
n
• 若采样信号频谱产生混叠时， 如图2-17所示，具体等于多大， 将视混叠的严重程度而定。
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2.2.5 采样定理
1．采样定理
– 如果一个连续信号不包含高于频率max的频率分量(连续 信号中所含频率分量的最高频率为max) ，那么就完全 可以用周期T</max的均匀采样值来描述。或者说， 如果采样频率s>2max，那么就可以从采样信号中不失
2. 信号恢复器
– 将解码后的模拟脉冲信号变为随时间连续变化的信号。 6
2.1.3计算机控制系统中信号的分类
图2-6计算机控制系统中信号变换
• 其中各点的信号类型如表2-1所示。 • 将时间及幅值均连续的信号称为连续信号或模拟信号，如
点A、H； • 将时间上离散，幅值上是二进制编码的信号称为数字信号，
f ( ) ( kT )es d
f (kT )ekTs f (kT )ekTs
0
k
k
k 0
（2）已知连续信号的拉氏变换式F(s)
F * (s)
1 T
F(s
n
jns )
15
2. F*(s)的特性
F*(s)和F(s)一样，描述了采样信号的复域特性。
• 量化使信号产生误差并影响系统的特性。但当量化单位q 很小 (即数字量字长较长)时，信号的量化特性影响很小， 在系统的初步分析和设计中可不予考虑。
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2.1 控制系统中信号分类 2.2 理想采样过程的数学描述及特性分析 2.3 信号的恢复与重构 2.4 信号的整量化 2.5 计算机控制系统简化结构图
离散
数字 二进制
3
2.1.1 A/D变换
图2-2 A/D变换器框图
1. 采样
– 采样/保持器(S/H)对连续的模拟输入信号，按一定的时间间隔 T（称为采样周期）进行采样，变成时间离散（断续）、幅值等 于采样时刻输入信号值的序列信号。
2. 量化
– 将采样时刻的信号幅值按最小量化单位取整的过程。
3. 编码
-1
0
2
4
6
8
10
12
这表明x(kT) 中仅含有x1 (t) 的采样值，而x2 (t) 的采样振荡分量消失了。 但在采样间隔之间，x(t) 中存在的振荡称为隐匿振荡。
23
2.2.6 前置滤波器
• 是串在采样开关前的模拟低通滤波器，主要用 于防止采样信号产生频谱混叠，又称为抗混叠 滤波器。
• 作用
– 滤除连续信号中高于s/2的频谱分量，从而避免采
– 理想采样信号f *(t)是连续信号f(t)经过一个理想采 样开关而获得的输出信号，它可以看作是连续信号f(t)
被单位脉冲序列串T调制的过程。
f *(t)=f(t) T=f(t) (t kT ) f (t) (t kT )
k
k
13
图2-9 采样器—脉冲幅值调制器
F(
j
jns )
(1) 当n＝0时，F*(j)＝F(j)/T，该项称为采样信号的基本频谱，它
正比于原连续信号f (t)的频谱，仅幅值相差1/T。
(2) 当n0时，派生出以s为周期的高频谐波分量，称为旁带。每隔1个 s，就重复原连续频谱F(j)/T 1次，如图2-13(b)所示。
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2.2.1 采样过程的描述
• 采样周期T远大于采样脉冲宽度p，即T>>p。 • 理想采样过程：p0 。即具有瞬时开关功能。 • 理想采样信号用f *(t)表示。
• 均匀采样：整个采样过程中采样周期不变。 • 非均匀采样：采样周期是变化的。 • 随机采样：采样间隔大小随机变化。 • 单速率系统：在一个系统里，各点采样器的采样周期均相同。 • 多速率系统：各点采样器的采样周期不相同。
➢ 模拟信号__信号幅值可取任意值的信号。 ➢ 离散信号__信号幅值具有最小分层单位的模拟量。 ➢ 数字信号__信号幅值用一定位数的二进制编码形式表示
的信号。
A／D 变换器
计算机
D／A 变换器
广义 被控对象
传感器
图2-1 计算机控制系统结构图
2
表2-1 控制系统中信号形式分类
时间 幅值
连续
离散
连续