作业-流体力学张鸣远

du c 求平板壁面上的切应力。根据牛顿内摩擦定律得： τ = µ = µ 2 (δ − 2 y ) dy δ 16 = 192 Pa 0.004 δ −c −16 y = δ ,τ = µ = 0.048 × = −192 Pa 0.004 δ y = 0,τ = µ = 0.048 ×
流体作用于上下平板壁面切应力都是 192Pa，且均指向流动方向。而正负号不同，则源 于应力正负向的规定，在后续章节中会讲到。 1-9 油压机的活塞在自重及摩擦力的作用下匀速下落。 已知活塞自重 G = 190N， d = 152mm， D = 152.02mm，L = 200mm。 （1） 若采用µ = 0.62Pa.s 的油，试求活塞的下落速度； （2） 若下落速度 U = 39mm/s，试确定油的动力粘性系数。
2
= 4.42m / s
选择射流流体为控制体，控制体以速度 V = 0.6m/s 运动，则流体相对于控制体的速度为
Vr = V − 0.6 。流体受力：平板给与流体的力 F
x 方向动量方程有： − F = − ρ ( v − V ) Qr = − ρ ( v − V ) 则水流对平板作功功率为 W = FV =
压缩开始时， Ev = κ p1 = 1.4 × 3.4 × 105 = 4.76 × 105 Pa 压缩结束时， Ev = κ p2 = 1.4 × 3.236 × 106 = 4.53 × 106 Pa
第二章 2-4 设液体中密度随深度 h 而增加， ρ = kh + ρ0 ，式中 k 为常数，ρ0 为液面处密度，试推 导液体中压强随深度变化规律。 解：根据静止流体内压强变化的基本方程
以是不可能的。
第四章 4-9 有一水流从喷管，其速度为 v，撞在平板上后平板以速度 V = 0.6m/s 沿射流方向移动。 射流直径 D = 24cm，流量 Q = 0.2 m3/s，求水流对平板做功功率。 解：水流从喷管的流出速度为 v =
Q
π 4 D2
=
0.2 × 4 3.14 × ( 0.24 )
⎛ ⎞ 1 ⎞ 等熵压缩 p1V1κ = p2V2κ ⇒ p2 = p1 ⎜ V1 ⎟ = 340 × ⎛ ⎜ ⎟ ⎝ 0.2 ⎠ ⎝ V2 ⎠ ⎛ ⎞ 根据等熵过程状态方程 T2 = ⎜ p2 ⎟ T1 ⎝ p1 ⎠
κ −1 κ
κ
1.4
= 3.236 × 106 Pa
0.4
⎛ 3.236 ×106 ⎞ 1.4 ⇒ T2 = ( 40 + 273) ⎜ = 596 K 5 ⎟ ⎝ 3.4 ×10 ⎠
δ=
1-4 粘性系数µ = 0.048Pa.s 的流体流过两平行平板的间隙，间隙宽δ = 4mm，流体在间隙 内的速度分布为 u =
cy (δ − y )
δ2
，其中 c 为待定常数，y 为垂直于平板的坐标。设最大速度
umax = 4m/s，试求最大速度在间隙中的位置及平板壁面上的切应力。 解： （1）最大速度发生在
等压面有 dp = 0 ⇒ − ρ adx − ρ gdy = 0 积分后得： y = − 第三章 3-4 某流场速度为 V = 3 yz 2 i + xzj + yk ，求直角坐标系 3 个方向的加速度分量的表达式。
∂u ∂u ∂u ∂u +u +v +w = 3 xz 3 + 6 y 2 z ∂t ∂x ∂y ∂z 解： a = ∂v + u ∂v + v ∂v + w ∂v = 3 yz 3 + xy y ∂t ∂x ∂y ∂z ∂w ∂w ∂w ∂w az = +u +v +w = xz ∂t ∂x ∂y ∂z ax =
p1 = p2 = pm + ρ H 2O g ( h + h1 ) p2 = p3 + ρ Hg gh1
解： p3 = p4 p5 = p4 + ρ Al gh3 整理后得： pm + ρ H 2O g ( h + h1 ) = pB + ρ Hg g ( h1 + h2 ) − ρ Al gh3
2
π
4
D2
ρ (v −V )
2
π
4
D 2V = 396W
4-11 如图所示，一圆盘中心有一锐边圆孔，速度为 V 的水射流撞击在圆盘中心。过圆盘中 心孔的射流速度也是 V。求需施加多大的力才能保持圆盘在空间位置不变。设 V = 5 m/s，D = 100 mm，d = 20 mm。 解：取水流和圆盘为控制体，如图所示。控制体一进二出，定常流动。 连续方程：圆盘处射流流出的流体质量流量
c
解： 当忽略沿流动方向的压强梯度时， 活塞与活塞套间的流体运动也可看作是两平板间的流 体运动，活塞拖动油膜运动，速度可假定为线性分布，于是活塞受到的摩擦力：
F = µA
du U =µ π dL 。此力方向向上且与重力相平衡（活塞下落） dy (D − d )/ 2
即G =
2 µU π dL D−d G(D − d ) 2 µπ dL G(D − d ) 2π dLU = = 190 (152.02 − 152 ) 2 × 0.62 × 3.14 × 152 × 0.2 = 32.1mm / s
M=
Din F 2 V F =µ A
δ
V=
Din ω 2 A = π Din L 1 ( Dout − Din ) 2
Din ω Din 2 µ π Din L M= 联立得： 2 0.5 ( Dout − Din ) =
3 ωL Din 1 ρνπ = 0.882 N • m Dout − Din 2
z2 +4， 2
解： （1）相对体积膨胀率 divV = 可压缩流体。 （2）角速度矢量
∂u ∂v ∂w + +Βιβλιοθήκη Baidu= 2 x + x + z + (−3 x − z ) = 0 ，这说明流体为不 ∂x ∂y ∂z
− ⎟i + ⎜ − ω = ∇ ×V = ⎜ ⎟ j + ⎜ − ⎟k 2 2 ⎝ ∂y ∂z ⎠ 2 ⎝ ∂z ∂x ⎠ 2 ⎝ ∂x ∂y ⎠ 1 1 1 1 5z y ( 0 − y − 2 z ) i + ( 2 z + 3z ) j + ( y − 2 y ) k = − ( y + 2 z ) i + j − k 2 2 2 2 2 2 这是有旋流场。 =
第一章 1-3 两个圆管同心地套在一起，其长度为 300mm，内筒直径为 200mm，外筒直径为 210mm， 两筒间充满密度为 900kg/m 、运动粘性系数ν = 0.260×10 m /s 的液体，现内筒以角速度ω =
3 -3 2
10rad/s，求转动时所需要的转矩。 解：设想把内外筒展开成两平行平壁，内筒展成的平壁拖动流体运动，两平壁间流体速度分 布为线性分布，于是内筒受到的转矩等于内筒受力和半径之乘积。 转矩
du = 0 位置处。 dy
du c δ = 0 ⇒ 2 (δ − y − y ) = 0 ⇒ y = ，即在两平板的中间位置速度取最大值。 dy δ 2
（2）将 y =
δ 代入速度分布式可求出常数 c 得： umax
2
δ⎛ δ⎞ c ⎜δ − ⎟ 2⎝ 2⎠ = = 4m / s ⇒ c = 16m / s 2 δ
3-9 （3） u = y , v = − a 2 x, w = 0 ，a 为常数，求流线。 解：流线方程：
dx dy dx dy = ⇒ = 2 u v y −a x
积分后得： −
a2 2 y2 x = + C1 2 2
所以流线为： a 2 x 2 + y 2 = C 3-10 已知速度的三个分量为： u = x 2 + y 2 + z 2 , v = xy + yz + z 2 , w = −3 xz − （1）求相对体积膨胀率，并解释所得结果； （2）求角速度矢量，这是无旋流场吗？
1
1 ⎛ ∂w
∂v ⎞
1 ⎛ ∂u
∂w ⎞
1 ⎛ ∂v
∂u ⎞
这一速度场是否可能， 3-15 对某一不可压缩流体， 给出如下速度场 u = 2 xy , v = − x 2 y , w = 0 ， 为什么？ 解： divV =
∂u ∂v ∂w + + = 2 y − x 2 ≠ 0 ，这一不可压缩流体的速度场不满足其连续方程，所 ∂x ∂y ∂z
dp = ρ g ，把密度的表达式 ρ = kh + ρ0 代入得： dh
dp kgh 2 = ( kh + ρ0 ) g 。积分后得到： p = + ρ0 gh + C 。 2 dh
当 h = 0, p = 0 时，确定常数 C = 0 。所以液体中压强随深度变化规律为： p =
kgh 2 + ρ0 gh 。 2
m = ρV
π
4
D 2 − ρV
π
4
d 2 = 1000 × 5 ×
π
4
× ( 0.12 − 0.02 2 ) = 37.7 kg / s
2-28 用 U 形管测量汽车加速度，已知 l = 200mm。当汽车加速行驶时，测得 h = 100mm。 求汽车的加速度 a。
y
a
y
a
h x
h a
(1)
g
x
l
l
(2)
解：参照图（1）所示建立坐标系。根据流体静力学基本方程式，
1 ∂p ⎧ −g − =0 ⎪ ∂p ∂p ρ ∂y 1 ⎪ 。其中 p = p ( x, y ) ⇒ dp = dx + dy = − ρ adx − ρ gdy g − a − ∇p = 0 ⇒ ⎨ ∂x ∂y ρ ⎪−a − 1 ∂p = 0 ⎪ ρ ∂x ⎩
1 32 I xc 其中 yC = 12m ， I xc = ba 3 = 12 3 yC S I 所以， yD = 12 + xc ⇒ d = yD − 10 = 2.11m yC S
yD = yC +
当闸门被打开时，所受到的作用力 F = ρ ghC S = 1000 × 9.81× 12 × 2 × 4 = 9.408 ×105 N
答：封闭容器中油面上的计示压强为 4.606×10 Pa。
4
2-10 如题 2-10 图所示为多管式压强计，如 pm = 2.45 × 104 Pa，h = 500 mm，h1= 200 mm， h2= 250 mm，h3= 150 mm，水银的密度ρ = 13600 kg/m3，酒精的密度ρ = 843 kg/m3，求容 器 B 内的压强值。
2-6 如题 2-6 图所示，封闭容器中盛有ρ = 800 kg/m 的油，h1 = 300 mm，油下面为水，h2 = 500 mm，测压管中水银液位读数 h = 400 mm，求封闭容器中油面上的压强 p 的大小。
3
解： p + ρ油 gh1 + ρ水 gh2 = pa + ρ汞 gh
p − pa = pm = ρ汞 gh − ρ油 gh1 − ρ水 gh2 = (13600 × 0.4 − 800 × 0.3 − 1000 × 0.5 ) × 9.81 = 4.606 × 104 Pa
a x + C ，当 x = 0, y = h ⇒ C = h 所以 g a a h 有： y = − x + C 。把 x = l , y = 0 代入得： 0 = − l + h ⇒ a = g = 4.9 ( m / s 2 ) g g l a h h 又解：参看图（2） ，作用力与等压面相垂直，所以有 = ⇒ a = g = 4.9 ( m / s 2 ) g l l
p6 = pB + ρ Hg gh2 p5 = p6
所以 pB = pm + ρ H 2O g ( h + h1 ) − ρ Hg g ( h1 + h2 ) + ρ Al gh3 = −2.74 × 104 Pa 2-15 在水池的垂直壁面上装有一矩形闸门，宽 2m，高 4m（如题 2-15 图所示） 。当闸门以上 水深达到 10 m 时，闸门便会自动打开。 （1） 求闸门水平轴的安装距离 d； （2） 当闸门将被打开时，其上受到多大的作用力。 解： （1）闸门水平轴应安装在水对闸门的作用点处，即 d = yD − 10
（1）µ = 0.62Pa.s，活塞的下降速度 U = （2）U = 39mm/s，油的动力粘性系数 µ =
190 (152.02 − 152 ) = 0.51Pa i s 2 × 3.14 × 152 × 0.2 × 0.039
1-15 若为等熵压缩，其余条件与 1.14 题相同，试计算压缩结束时气体的压强和温度，以及 压缩与结束时气体的体积弹性模量。 解：氮气 κ = 1.4 。