探究绝对值函数最值的求法
绝对值最值问题的方法
绝对值最值问题的方法
解绝对值最值问题的一种方法是通过例举法和数学推理。
首先，我们可以列举出给定函数或方程式的所有可能情况，找出绝对值最大或最小值所对应的取值。
例如，对于一个函数f(x) = |x - a| + b，我们可以尝试不同的取值并计算函数值来确定绝对值最值所对应的取值。
另一种方法是利用数学推理来求解绝对值最值问题。
对于绝对值函数，当内部表达式为正时，绝对值等于此表达式本身；当内部表达式为负时，绝对值等于此表达式的相反数。
因此，我们可以通过对内部表达式的符号进行分析，找出使得绝对值最大或最小的取值情况。
例如，对于绝对值函数f(x) = |3x - 7|，我们可以将内部表达式3x - 7分为两种情况，即3x - 7 > 0和3x - 7 < 0。
当3x - 7 > 0时，绝对值等于内部表达式3x - 7本身；当3x - 7 < 0时，绝对值等于内部表达式3x - 7的相反数。
通过对这两种情况进行进一步分析，我们可以确定绝对值最值所对应的取值。
绝对值最值问题方法的选择取决于具体情况和方程式的复杂性。
有时通过列举法和尝试不同的取值可以直接得出答案；有时需要通过数学推理和符号分析来确定取值。
对于更复杂的问题，可能需要借助计算机和数值方法来求解。
一类多个绝对值求与型函数最值问题求解方法
一类多个绝对值求和型函数最值问题的求解方法该类型问题常高考和竞赛常出现多个绝对值求和型函数的最值问题,近年来,但往往因分段区间太多而难以,常采用分类分段讨论去绝对值符号的办法来解决. 有效解决.迅速解题则可以化繁为易,若利用以下命题,a≤…≤≤a≤a ︱x-a+︱x-a:设a︱+…+︱, y=︱x-a︱+x-a︱命题n31322n1:y达到最小值的条件求; 值达到最小[an=2k时,x∈, a],y(1)当k+1k.,y(2)当n=2k-1时,x=a值达到最小k. 的最小值x-19︱, 求yx-3︱x-2︱+︱︱+…+︱x-11、y=︱︱+.+︱2x-5︱的最小值︱︱+2x-3︱+︱2x-4︱︱2、求y=2x-1︱+︱2x-2x-6︱的最小值.︱logx-4+︱logx-2︱logx+1︱+logx-1︱+︱log︱+︱求3、y=︱22222222+2x-3︱的最小值x.+︱x︱+2x-2︱+︱4、求y=x︱+2x-15、y=︱x+1︱+︱2x-6︱+︱3x-6︱的最小值.6、y=︱x-6︱+︱12x-6︱的最小值.1 / 7111111|x?|x?|?y|?x?|?|. 、7的最小值5442331a|6|?|?x?6|x?a? 恒成立,求8、若关于不等式的取值范围2x,都有9、如果对于任意实数),那么m的最大值是( y=︱x-1|+︱x-2|+︱︱x-3|+.......+x-2008︱≥m成立2 B.1004A.1003×10041005 D.1004×1005 × C.1003的解集.x-4︱>4,求x︱︱+︱x-2︱+x-3︱+︱︱10、y=x-1,相邻街距都是1.两街道相交的点(2009上海)某地街道呈现东西和南北方向的网格状11、称为格点,若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除报刊零售点外)为发行点,使6个报刊零售点沿街道到发行站的路程和最短,求该发行点的坐标.12、（2011陕西）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（）（A）(1)和（20）（B）(9)和（10）(C) （9）和（11）(D) （10）和（11）2 / 73 / 74 / 75 / 76 / 77 / 7。
绝对值的最值问题2页
绝对值的最值问题2页绝对值函数是一种常见的数学函数，它表示一个数与0的距离。
绝对值函数是一个有趣的函数，它在数学和物理中有着广泛的应用。
在这篇文章中，我将讨论绝对值函数的最值问题，并给出一些解决这类问题的方法。
首先，让我们来回顾一下绝对值函数的定义：对于任意实数x，绝对值函数表示为| x |，它的值等于x的绝对值，即当x大于等于0时，| x | = x，当x小于0时，| x | = -x。
绝对值函数的最值问题可以分为两种情况：一种是求绝对值函数的最大值，另一种是求绝对值函数的最小值。
我们将分别讨论这两种情况。
首先，我们来考虑求绝对值函数的最大值。
为了求绝对值函数的最大值，我们需要找到使得绝对值函数取得最大值的实数。
由于绝对值函数的图像是一个抛物线，开口向上，所以我们可以通过求解二次方程来找到最大值。
假设绝对值函数的表达式为| x | = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数常数。
我们可以将绝对值函数的表达式分为两个部分来分别讨论x大于等于0和x小于0的情况。
当x大于等于0时，| x | = x，所以我们可以将绝对值函数的表达式简化为x = ax^2 + bx + c。
通过求解这个二次方程，我们可以得到x的值。
假设x1和x2是方程的两个解，那么在x1和x2之间的任意值都可以使得绝对值函数取得最大值。
当x小于0时，| x | = -x，所以我们可以将绝对值函数的表达式简化为-x = ax^2 + bx + c。
同样地，通过求解这个二次方程，我们可以得到x的值。
假设x3和x4是方程的两个解，那么在x3和x4之间的任意值都可以使得绝对值函数取得最大值。
综上所述，绝对值函数的最大值可以通过求解二次方程来找到。
我们可以找到x的取值范围，并检查在这个范围内的值，然后找到使得绝对值函数取得最大值的实数。
接下来，我们来考虑求绝对值函数的最小值。
为了求绝对值函数的最小值，我们需要找到使得绝对值函数取得最小值的实数。
由一道题目谈求含绝对值的函数最值问题的解法
解题宝典等，可能收到意想不到的效果.例6.已知a ,b ∈()0,+∞且a +b =1，求证：æèöø1+1a ⋅æèöø1+1b ≥9.证明：æèöø1+1a æèöø1+1b =æèöø1+a +b a æèöø1+a +b b =æèöø2+b a æèöø2+a b =4+2a b +2b a +1=5+2æèöøa b +b a ≥5+9，当且仅当a =b 时等号成立.这里将不等式中“1a ”“1b ”的分子“1”用“a +b ”来代替，通过化简得到a b +ba，然后利用基本不等式求得æèöø1+1a æèöø1+1b 的最值，证明不等式成立.例7.已知正数x ，y 满足x +3y =5xy ，求证：3x +4y ≥5.证明：因为x ,y 为正数，可将x +3y =5xy 等式两边同时除以5xy 得：x +3y5xy=1，即15y +35x=1，则3x +4y =1∙()3x +4y =æèçöø÷15y +35x ()3x +4y =135+3x 5y +12y 5x ≥135+125=5，当且仅当3x 5y =12y 5x ，即x =1,y =12时等号成立，故3x +4y ≥5，命题得证.我们首先将已知关系式变形，构造出常数“1”，再将“1”进行代换，化简3x +4y ，利用基本不等式求得3x +4y 的最小值，进而证明不等式成立.总之，“1”在解高中数学题中发挥着重要的作用.同学们在日常学习中，要注意多积累解题经验，总结与“1”有关的代数式，在解题时将其进行代换，合理进行恒等变换，便能有效地提高解题的正确率和速度.（作者单位：江苏省东海县石榴高级中学）函数最值问题一直是高考数学试题中的热点题目，近几年浙江省数学高考试题中多次出现含绝对值的函数最值问题.此类问题不仅考查了函数的图象和性质、处理绝对值的方法，还考查了求最值的方法，属于综合性较强的一类问题.解答此类问题的关键去掉绝对值符号，将问题转化为常规函数最值问题来求解.下面，笔者结合一道例题来谈一谈求解含绝对值的函数最值问题的方法.例题：已知a ∈R ，函数f (x )=||||||x +4x-a +a 在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是______.本题中的函数含有绝对值，为了将其转化为常规函数问题，我们可以从绝对值和函数两个角度来寻找解题的思路，有以下5种方法.方法一：分段讨论法此方法是解答含绝对值问题的常用方法，首先，将定义域划分为几个区间段，然后分别求出各个区间段上函数的表达式，根据函数的图象和性质讨论函数的最值.对于本题，可先求出对勾函数y =x +4x 在[1,4]上的值域，然后对a 进行分类讨论，去掉绝对值后再求每个区间段上函数的最大值，建立关系式，便可求得a 的取值范围.解：∵x ∈[1,4]，∴x +4x∈[4,5]，①当a ≥5时，f (x )=a -x -4x +a =2a -x -4x，函数f (x )的最大值2a -4=5，解得a =92，不符合题意，舍去；②当a ≤4时，f (x )=x +4x -a +a =x +4x≤5，符合题意；③当4≤a ≤5时，f (x )max =max{|4-a |+a ,|5-a |+a }，则{|4-a |+a ≥|5-a |+a ，|4-a |+a =5，或{|4-a |+a <|5-a |+a ，|5-a |+a =5，解得a =92或a <92.综上可得，a 的范围是(-∞,92].绝对值函数本质上是一个分段函数，可根据绝对值的定义去掉绝对值符号，将问题转化为分段函数的42解题宝典最值问题.但运用该方法解题，过程比较繁琐，容易出现重复和遗漏分类的情况.方法二：利用数轴利用数轴也是解答含绝对值问题的基本方法.在解题时，需利用绝对值的几何意义，将绝对值里面的式子看作是数轴上任意点到定点的距离，从而确定取.图1解：令x +4x=t ∈[4,5]，则f (t )=||t -a +a ，t ∈[4,5]，如图1所示，当a ≤0时，f (t )=||t -a +a =t ≤5成立；当0<a ≤t 时，f (t )=||t -a +a =||a -t +||a -0=t ≤5成立；当a >t 时，f (t )=||t -a +a =a -t +a ≤5恒成立，即a ≤4.5，则a 的范围是(-∞,92].这里首先确定t 的范围，将t 看作数轴上的任意一点，结合数轴找出f (t )的最值，使其小于或等于5，便可求得a 的取值范围.方法三：利用V 型函数V 型函数是一类常见的含绝对值的函数模型.在解题时，可将含绝对值函数转化为分段函数，借助函数的图象来分析函数的最值，将代数问题几何化，运用数形结合思想来解题.axyO 图2解：当f (x )取最大值时|t -a |取最大值，为5-a ，如图2，结合V 型函数图象可得：①当a ≤92时，f (x )max =|5-a |+a =5-a +a =5，符合题意；②当a >92时，f (x )max =|4-a |+a =a -4+a =5，∴a =92（矛盾），舍去；故a 的取值范围是(-∞,92].我们将含绝对值函数转换为分段函数，结合函数的图象便能快速求得a 的取值范围，这样可以获得事半功倍的效果.方法四：分离参数法运用分离参数法解题的基本思路是通过将参数进行分离，将问题转化为不等式恒成立问题来求解，在分离参数后求出函数的值域，验证取等号的条件，便可求出参数的取值范围.解：令x +4x=t ∈[4,5]，则问题可转化为g (t )=|t -a |+a 在t ∈[4,5]上的最大值是5，则问题等价于ìíî∀t ∈[4,5],|t -a |+a ≤5， ①∃t 0∈[4,5],|t 0-a |+a =5. ② 由①得∀t ∈[4,5], a -5≤t -a ≤5-a ，即a ≤t +52恒成立，所以a ≤æèöøt +52 min =92；由②知，当t 0=5时，|t 0-a |+a =5；综上所述a ≤92.我们先分析对勾函数y =x +4x在x ∈[1,4]上的值域，然后将其看成一个整体，解一次绝对值不等式即可使问题快速获解，这样避免了繁琐的分类讨论，能有效地提高解题的速度和准确性.方法五：以值代参本方法是通过用函数值来代替参数，使问题获解的方法.以值代参既起到了消参作用，又构建了变量与函数值之间的关系.解：令x +4x=t ∈[4,5]，则f (t )=|t -a |+a ，t ∈[4,5]，则f (t )的最大值为f (t )max =max{f (4),f (5)}，即ìíîf (4)=|4-a |+a =5，f ()5=|5-a |+a ≤5，或ìíîf (4)=|4-a |+a ≤5，f ()5=|5-a |+a =5，解得{a =4.5，a ≤5，或{a ≤4.5，a ≤5，则a 的取值范围是(-∞,92].我们借助函数值的范围，建立不等式，便求得参数的范围.运用以值代参方法解题,能获得出奇制胜的效果.含绝对值的函数最值问题是一类常考的题目，也是很多同学感觉困难的题目.因此，掌握一些解题的技巧是很有必要的.在解答含绝对值的最值问题时，同学们要注意从绝对值和函数两个角度，通过处理绝对值、分析函数的图象和性质来破解难题.（作者单位：浙江省诸暨市学勉中学）43。
绝对值求最大值和最小值的例题
绝对值求最大值和最小值的例题
【原创版】
目录
1.绝对值的概念和性质
2.绝对值在求最大值和最小值问题中的应用
3.例题解析
正文
一、绝对值的概念和性质
绝对值是一个数到 0 的距离，表示为|a|，它永远是非负的。
对于实数 a，其绝对值可以表示为：
当 a≥0 时，|a|=a；
当 a<0 时，|a|=-a。
二、绝对值在求最大值和最小值问题中的应用
在数学问题中，求最大值和最小值是非常常见的。
利用绝对值的性质，可以简化这类问题的求解过程。
1.求最大值问题
假设有一个实数集合 A，求 A 中的最大值。
我们可以通过求 A 中每个元素的绝对值，然后比较这些绝对值的大小，找到最大值。
2.求最小值问题
同样，假设有一个实数集合 A，求 A 中的最小值。
我们可以通过求 A 中每个元素的绝对值，然后比较这些绝对值的大小，找到最小值。
三、例题解析
例题：求下列集合中的最大值和最小值。
集合 A={-3, 2, -5, 1, -1}
1.求最大值
首先，求集合 A 中每个元素的绝对值：|-3|=3, |2|=2, |-5|=5,
|1|=1, |-1|=1。
比较这些绝对值，可以发现 5 是最大值，对应的元素是 -5。
因此，集合 A 中的最大值是 -5。
2.求最小值
首先，求集合 A 中每个元素的绝对值：|-3|=3, |2|=2, |-5|=5,
|1|=1, |-1|=1。
比较这些绝对值，可以发现 1 是最小值，对应的元素是 1 和-1。
一次函数绝对值和最值问题
含绝对值函数综合问题一、含绝对值函数的最值1、含一个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性（1）()||f x x =的图像是以原点为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点处取得最小值“(0)0f =”，无最大值；在函数(,0],[0,)x ∈-∞↓+∞↑；对称轴为：0x =（2）()||(0)f x kx b k =+≠图像是以(,0)b k-为顶点的“V ”字形图像；在顶点取得最小值：“()0b f k -=”，无最大值；函数在(,],[,)b b x k k ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：b x k=- （3）函数()||(0)f x k x b k =+≠： 0k >时，函数是以(,0)b -为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点取得最小值：“()0f b -=”，无最大值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：x b =-0k <时，是以(,0)b -为顶点的倒“V ”字形图像，函数在顶点取得最大值：“()0f b -=”，无最小值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↑-+∞↓；对称轴为：x b =-2、含两个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性（1）函数()||||()f x x m x n m n =-+-<的图像是以点(,),(,)A m n m B n n m --为折点的“平底形”图像；在[,]x m n ∈上的每点，函数都取得最小值n m -，无最大值；函数在(,],[,)x m x n ∈-∞↓∈+∞↑ ，在[,]x m n ∈无单调性；对称轴为2m n x +=。
（2）函数()||||f x x m x n =---： 当m n >时，()f x 是以点(,),(,)A m n m B n m n --为折点的“Z 字形”函数图像；在(,]x n ∈-∞上的每点，函数都取得最大值m n -，在[,)x m ∈+∞上的每点，函数都取得最小值n m -；函数在[,]x n m ∈↓，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称中心为(,0)2m n +； 当n m >时，()f x 是以点(,),(,)A m m n B n n m --为折点的“反Z 字形”函数图像； 在(,]x m ∈-∞上的每点，函数都取得最小值m n -，在[,)x n ∈+∞上的每点，函数都 取得最大值n m -；函数在[,]x m n ∈↑，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称中心为(,0)2m n +； （3）()||||()f x a x m b x n m n =-+-<图像是以(,()),(,())A m f m B n f n 为折点的折线。
含有绝对值的二次函数最值求解问题
含有绝对值的二次函数最值求解问题作者：夏良娟来源：《新课程学习·中》2013年第05期2009年江苏省高考题最后一题考了含参带有绝对值的二次函数，本质是含有绝对值的二次函数最值求解问题，重点考查了分类讨论、数形结合的思想。
此类题目有一定的综合性与灵活性，学生解决此类问题往往感到有一定的困难。
在教学过程中，我对这类题目进行了小结，总结了两种方法。
二次函数是最简单的非线性函数之一，它有着丰富的内容，对近代数学乃至现代数学影响深远，与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题有一定的综合性与灵活性，学生解决此类问题往往感到有一定的困难。
本文通过几个例子，归纳解决这类问题的一些常见题型与基本方法。
例：已知f（x）=2x2+（x-a）x-a，求f（x）的最小值。
解：f（x）=2x2+（x-a）x-a=x2+2ax-a2，x≤a3x2-2ax+a2，x≥a注意函数在x=a处相接，分段时两侧都取闭区间，以防止有一侧无最值。
法一：分段求各部分的最小值，再比较。
当x≥a时，如图1所示。
若a≥，即a≥0，f（x）的最小值在x=a处取得，f（x）min=f （a）=2a2；若ax=处取得，f（x）min=f（）=a2；当x≤a时，如图2所示。
若a≥-a，即a≥0，f（x）的最小值在x=-a处取得，f（x）min=f（-a）=-2a2；若a这种方法是大部分学生所喜欢采用的方法，可是做到这里之后就结束了，不知道或不会综合，难以写出最终答案。
由于f（x）分段，故需比较各段上的最小值，可以通过画数轴的方法得出最后的结论。
当a当a≥0时，2a2>-2a2，f（x）min=f（-a）=-2a2.综上，f（x）min=a2，a-2a2，a≥0法二：讨论a的位置，画出完整的对接图形，由图直接得出最小值。
由于对称轴是，-a，它们与a的分界点为a=0。
若不能直接得到，则令=a，-a=a，找到分界点a=0。
一般有两个，此题较特殊，只有一个。
绝对值的最大值和最小值求法
绝对值的最大值和最小值求法绝对值的最大值和最小值求法：对值大,距离就要远（最好是一个离原点近,一个离原点远）.|a-b|＞0 绝对值小,距离就近.|a-b|=0 可以把函数成多个函数后联立，以此去掉函数解析式里的绝对值符号，再将每一段函数的最大值和最小值求出，所有段函数里最大值最大的那段函数的最大值就是整个函数的最大值，最小值亦同。
奇偶性可以先从图象入手，如果图象关于y轴成轴对称就是偶函数，如果关于原点中心对称就是奇函数。
如果从图象上难以看出，可以通过奇偶函数的定义来解决，即f(x)=-f(-x)为奇函数，f(x)=f(-x)为偶函数。
举例说明：（1） |x-1|，因为 |x-1|≥0 所以令 x-1=0 得 x=1时 |x-1|有最小值0，无最大值。
（2）|x²-2|，令x²-2=0 得 x=±√2 时取得最小值 0，无最大值。
（3）求|x+1|+|x-1|的最值，同时令 x+1=0，x-1=0 得x=-1 或+1 得 -1≤x≤1时取得最小值|-1+1|+|-1-1|=|1+1|+|1-1|=0+2=2+0=2，无最大值。
求|x+3|+|x+2|+|x-1|+|x-2|的最值，同时令中间两个 x+2=0，x-1=0 得 -2≤x≤1时取得最小值|-2+3|+|-2+2|+|-2-1|+|-2-2|=|1+3|+|1+2|+|1-1|+|1-2|=1+0+3+4 =4+3+0+1=8，无最大值。
【偶数个绝对值令中间两个=0解】（4）求|x+3|+|x+2|+|x-1|的最值，令中间 x+2=0 得 x=-2时取得最小值 |-2+3|+|-2+2|+|-2-1|=1+0+3=4，无最大值。
求|x+3|+|x+2|+|x-1|+|x-2|+|x-0.5|的最值，令中间 x-0.5=0 得 x=0.5时取得最小值|0.5+3|+|0.5+2|+|0.5-1|+|0.5-2|+|0.5-0.5|=3.5+2.5+0.5+1.5+0 =8，无最大值。
1.2.4绝对值最值问题(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了绝对值的基本概念、性质和最值问题的解决方法。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对绝对值最值问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
1.2.4绝对值最值问题（教案）
一、教学内容
本节内容选自数学教材七年级下册第1章“实数”中的1.2节“绝对值”，着重探讨1.2.4“绝对值最值问题”。内容包括：
1.理解绝对值的概念及其性质；
2.掌握求一个数的绝对值的方法大值和最小值；
-在给定的数轴上，找一点使得该点到两个定点的距离之和最小；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调绝对值的性质和求解绝对值最值问题这两个重点。对于难点部分，如绝对值不等式的解法，我会通过举例和步骤分解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与绝对值最值相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用数轴和标记点来模拟绝对值最值问题，直观展示如何找到最短距离。
最后，通过这次教学活动，我深刻认识到教学反思的重要性。在今后的工作中，我将不断总结经验，改进教学方法，以更好地适应学生的需求。同时，我也将关注学生的学习反馈，及时调整教学策略，提高教学效果。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“绝对值最值问题”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过如何找到两点之间最短距离的情况？”（如从家到学校的最短路径）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索绝对值最值问题的奥秘。
对一类含绝对值函数最值问题的探究
对一类含绝对值函数最值问题的探究摘要：研究形如的一类含绝对值函数性质，需要学生很强的直观想象与逻辑推理能力。
特别是此类函数的最值问题，对学生思维的缜密度和创新意识要求非常高。
本文拟对形如一类函数最值问题进行探究,帮助学生开拓解题思路,加深数学理解，形成理性思维。
关键词：最大值中的最小值纵向距离平口单峰正文：1.问题的提出形如一类含绝对值函数的最值问题，是高中阶段较为常见的一类问题，其数学特征明显，但综合性非常强。
解决绝对值相关问题主要有两个思路：一是代数化简，另一是几何直观。
本文试从这两个思路进行探究，最终形成解决这类问题的一般方法。
引例1：已知函数 ,若对于 ,使得求实数的取值范围。
2.对问题的理解按问题所给条件，只需满足，因为M要受到参变量的影响，不妨设，因为a,b的任意性，显然须满足的最小值都要大于或等于 .综上分析，问题的本质是求函数的最大值的最小值。
3.解法探究思路1：研究绝对值问题的基本思路就是分类讨论，本例中需要考虑抛物线的对称轴不同位置，对函数的最大值的影响。
解法1：①当，即，此时函数在上单调，则有 ,所以②当，此时函数在上满足：,则有 ,所以 .③当，此时函数在上满足：,则有 ,所以 .综上：当且仅当 ,即时，函数的最大值的最小值为，所以 .思路2：对于函数，我们可以理解为函数在上的函数值的偏差值的绝对值，也可以说是这两个函数图像在上的纵向距离（或铅垂距离）。
引例1所求问题本质是求这两个函数图像在时的纵向距离最大值的最小值。
为了帮助同学的理解，我们可以先思考一个折筷子的实验：一根固定长度的筷子，从其中何处折断，才能使较长一段的的长度最短？显然从筷子中间折断，能够使较长一段最短,且最短长度就是筷子的一半。
把这个实验迁移到本题，那么函数在上的图像应该如图所示：解法2：当直线如图所示时，抛物线上的点到直线的最大距离最小。
即。
4.发现与归纳对于解法1，很大程度上是要依赖于函数的特殊性，通过函数的单调性，对最大值进行分类整理，比较。
绝对值最小值的解题技巧_解释说明以及概述
绝对值最小值的解题技巧解释说明以及概述1. 引言1.1 概述在解题过程中，经常会遇到一类问题，即求解绝对值最小值的情况。
绝对值最小值问题在数学和工程领域都具有广泛的应用，掌握相关的解题技巧和策略对于解决这类问题非常重要。
本文旨在介绍绝对值最小值的解题技巧以及其应用。
首先我们将概述绝对值最小值问题的背景和意义，并针对该问题提出一些基础概念和关键点。
接下来，我们将详细介绍常见的解题技巧和策略，以帮助读者更好地理解如何处理这类问题。
1.2 文章结构本文分为五个部分。
除了本引言部分外，第二部分将详细解释什么是绝对值最小值，并讨论它的特性和应用。
第三部分将通过三个具体示例来分析解题过程，展示如何运用所学知识来求解不同类型的绝对值最小值问题。
第四部分将进一步扩展应用范围，介绍多元函数、不等式以及数列与级数中的绝对值最小值问题。
最后，在第五部分中，我们将总结文章的主要观点，并提出一些建议，同时探讨未来可能的研究方向。
1.3 目的本文的目的是帮助读者理解和掌握解决绝对值最小值问题的技巧。
通过详细解释基础概念和关键点，以及提供示例分析和进阶应用，我们希望读者能够在实际问题中灵活运用这些技巧。
同时，我们也希望启发读者对于该领域未来研究的兴趣，并为进一步拓展和深化相关问题提供思路和指导。
2. 解题技巧解释2.1 什么是绝对值最小值在数学中，绝对值最小值指的是一个函数或方程中，当自变量取某个特定值时，其对应的函数值或方程解的绝对值达到了最小。
这意味着该特定值是使得函数或方程解取得最接近零的解。
2.2 绝对值最小值的特性和应用绝对值最小值有一些重要的特性和应用。
首先，绝对值最小值问题通常可以转化为求函数或方程导数为零的点，这些点就是函数或方程在横坐标上使得纵坐标达到绝对值最小的位置。
其次，绝对值最小值问题经常出现在优化问题、极限计算以及不等式证明中。
通过研究和理解绝对值最小值的特性和应用，我们能够更好地解决各种数学问题。
绝对值求最大值和最小值的例题
绝对值求最大值和最小值的例题绝对值求最大值和最小值的例题一、概念解释在数学中，绝对值是一个非常重要的概念。
它表示一个数距离零点的距离，无论这个数是正数或者负数。
绝对值通常用来表示距离的绝对量，它的定义如下：如果 x 是一个实数，那么 x 的绝对值表示为 |x|，它的计算公式如下：当x ≥ 0 时，|x| = x；当 x < 0 时，|x| = -x。
举例来说，-5 的绝对值是 |-5| = 5；而 5 的绝对值还是 5。
在实际问题中，经常会遇到需要对绝对值求最大值和最小值的情况，特别是在优化问题中，这个方法非常有用。
二、求最大值和最小值的例题接下来，我们通过例题来演示如何利用绝对值求最大值和最小值。
例题1：已知函数 f(x) = |2x - 3|，求 f(x) 的最大值和最小值。
解析：我们知道 |2x - 3| 表示一个关于 x 的带绝对值的函数。
要求最大值和最小值，可以考虑当 |2x - 3| 取得极值时的 x 值。
由于 |2x - 3| 的图像是关于 x 轴对称的，因此我们只需要考虑 |2x - 3| 在x ≥ 0 区间的情况。
当 2x - 3 ≥ 0 时，有 |2x - 3| = 2x - 3；当 2x - 3 < 0 时，有 |2x - 3| = -(2x - 3) = 3 - 2x。
我们可以得到两个函数：f1(x) = 2x - 3，x ≥ 0；f2(x) = 3 - 2x，x ≥ 0。
接下来，我们分别对 f1(x) 和 f2(x) 求导，找到导数为 0 的点，并判断极值的情况。
f1'(x) = 2；f2'(x) = -2。
由此我们可以知道，f1(x) 在x ≥ 0 时是单调递增的，而 f2(x) 在x ≥ 0 时是单调递减的。
f(x) = |2x - 3| 在x ≥ 0 区间上的最小值出现在 x = 0 处，最大值是 x 趋向无穷时的极限值。
经过计算和分析，我们可以得出最小值为 3，最大值为正无穷。
绝对值函数最值问题及解题技巧
绝对值函数最值问题及解题技巧绝对值函数是数学中常见的一种函数形式。
在求解绝对值函数的最值问题时，存在几种常用的解题技巧。
技巧一：图像法绘制绝对值函数的图像是解决最值问题的一个有效方法。
通过观察图像可以获得函数的最值。
例如，对于绝对值函数 $f(x) = |x|$，我们可以绘制其图像，并观察到 $x = 0$ 时，函数取得最小值为 0。
技巧二：函数定义法另一种解决绝对值函数的最值问题的方法是使用函数定义。
对于一般形式的绝对值函数 $f(x) = |g(x)|$，我们可以将其转化为无绝对值的函数定义。
具体步骤如下：1. 当 $g(x) \geq 0$ 时，$f(x) = g(x)$；2. 当 $g(x) < 0$ 时，$f(x) = -g(x)$。
通过转化后的函数定义，我们可以求解函数的最值。
技巧三：矩阵法矩阵法也是解决绝对值函数最值问题的常用技巧。
首先将绝对值函数表示为矩阵形式：$f(x) = \begin{cases} g(x) & \text{if } x \geq 0 \\ -g(x) & \text{if } x < 0 \end{cases}$。
然后，通过求解矩阵中的最值，可以得到绝对值函数的最值。
技巧四：导数法对绝对值函数求导有助于解决最值问题。
对于一般形式的绝对值函数 $f(x) = |g(x)|$，我们可以对其进行求导。
然后，通过求导结果的特点和函数的定义域，可以得到函数的最值。
需要注意的是，当绝对值函数在某点不可导时，可以通过左极限和右极限来确定最值。
以上是解决绝对值函数最值问题的几种常用技巧。
在实际应用中，根据具体问题的特点选择合适的方法来求解最值，可以更高效地解决问题。
绝对值的运算法则及公式
绝对值的运算法则及公式
绝对值的运算法则及公式是一种重要的数学概念，它涉及到求出
未知数的绝对值在运算中扮演着重要的作用。
绝对值是实数或复数的
一种计算方法，即不考虑数的符号，只考虑数的大小。
如果a表示一个实数，可表示为绝对值的形式：
| a | = a (实数)
如果z是一个复数，可以用复平面上的模量表示为绝对值的形式：| z | = √(x² + y² ) (复数)
绝对值的运算规则有以下三条：
1、绝对值的加法法则：
| a + b | = |a| + |b|
2、绝对值的乘法法则：
| a × b | = |a| × |b|
3、绝对值的减法法则：
| a - b |≤|a| + |b|
此外，绝对值还有三个基本性质：
1、不等式性质：对任意实数a，都有0 ≤ | a | 。
2、加法性质：对任意实数a，都有| a + b |≤|a| + |b| 。
3、乘法性质：对任意实数a，都有| a × b |=|a| × |b| 。
以上就是绝对值的运算规则及公式，它们不但在数学中有着广泛
的应用，而且在日常生活中也是重要的数学知识。
因此，了解绝对值
运算的基本规则和公式，对我们的数学学习和生活有着重要的意义。
对一类求含绝对值的函数最小值问题一种解法的
对一类求含绝对值的函数最小值问题一种解法的一点疑惑和探究联丰中学 王培良 315000在一次偶然的机会，我去上海听了这么一节课，但听课过程中遇到了一点疑问：就是用代数法解一类含绝对值的函数问题最小值的等价性问题， 并作了一些思考，具体如下：问题1：求函数f(x)=|x-1|+|x-2|的最小值。
方法一（一般解法）：数形结合 将函数f(x)=|x-1|+|x-2|化为：⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<≤-=)2(,32)21(,1)1(,23)(x x x x x x f 然后作图，由图易知，f(x)的最小值为1。
方法二：几何法（1）在数轴上取点A(1，0)和点B(2，0)； （2）在数轴上取动点P(x ，0)；即|PA|+|PB|的最小值为所求。
则f(x)≥1（当且仅当1≤x ≤2时，取“=”号）。
方法三：代数法0)1(|1|2≥-=-x x最小，要使|2||1|)(-+-=x x x f 最小，只需22)2()1()(-+-=x x x g，由21)23(2562)(22+-=+-=x x x x g 。
最小，即时，当1)()(23min ==x f x g x 问题2：求函数f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值。
也有类似的三种解法 其中方法三：代数法0)1(|1|2≥-=-x x最小，要使|3||2||1|)(-+-+-=x x x x f 最小，只需222)3()2()1()(-+-+-=x x x x g ，由2)2(314123)(22+-=+-=x x x x g。
最小，即时，当2)()(2min ==x f x g x类比推广问题3：求函数f(x)=|x-1|+|x-2|+…+|x-19|的最小值。
方法二：由画数轴可知：|x-10|≥0，|x-9|+|x-11|≥2，… …|x-1|+|x-19|≥18，当且仅当x=10时，它们的和最小。
即f(x)≥0+2+4+…+18=90。
例析求解含有绝对值的函数最值问题的步骤
探索探索与与研研究究一般地，要求得函数的最值，我们需将函数的极值点与函数在区间端点处的值进行比较，进而得到最值.而含有绝对值的函数最值问题较为复杂，有一定的难度，很多同学采用常规方法难以顺利求得结果.本文介绍一种解答此类问题的简单方法.有些含有绝对值的函数最值问题中的函数在定义域内至多只有一个极值点，要求此类函数的绝对值的最值，我们可以按照以下四步进行：第一步，求出过两端点的直线l 1的方程;第二步，求出与l 1平行的切线l 2的方程;第三步，求出l 1、l 2两平行直线间的最大或最小距离d ;第四步，d 2即为所求的最值.这样便将含有绝对值函数的最值问题转化为求两平行直线l 1与l 2直线之间的最大、最小距离问题.例1.已知函数f (x )=x 2+ax +b ，x ∈[1,2].若存在a ,b ∈R ,使得||f (x )≤M ,求M 的最小值.解：当x =1时,f (1)=1+a +b ;当x =2时,f (1)=4+2a +b ,设A ()1,1+a +b ,B (2,4+2a +b ),所以直线AB 的方程为y =(3+a )x +b -2，平移直线AB 使其与y =f (x )的曲线相切，设切点为(x 0,y 0),则ìíîf '(x 0)=2x 0+a =3+a ，y 0=x 02+ax 0+b ，解得ìíîïïx 0=32，y 0=94+32x 0+b ，所以切线l 的方程为y =(3+a )x +b -94.则AB 与l 间的距离为d =14(3+a )2+1≤14，所以d max =14，即M min =18.这是一个二次函数，函数在定义域[1,2]内最多只有一个极值点，要求||f (x )的最值，我们可以分别求出过两端点的直线AB 的方程，以及与AB 平行且与y =f (x )相切的切线方程，利用两平行直线之间的距离公式便可求得最值.例2.已知函数f (x )=ln(x +1)+ax +b ;x ∈[0,1]，求||f (x )的最值.解：当x =0时,f (0)=b ,当x =1时f (1)=ln 2+a +b ，设A ()0,b ,B (1,ln 2+a +b )，所以直线AB 的方程为y =(ln 2+a )x +b ，平移直线AB ,使其与函数y =f (x )的图象相切，设切点为(x 0,y 0),则ìíîïïf '(x 0)=1x 0+1+a =ln 2+a ,y 0=ln(x 0+1)+ax 0+b ,解得ìíîïïx 0=1ln 2-1，y 0=-ln(ln 2)+a ln 2-a +b ，所以切线l 的方程为y =(ln 2+a )x -1+ln 2-ln(ln 2)+b ，AB 与l 间的距离为d-1-ln 2-ln(ln 2)ln 2-ln(ln 2)-1，所以||f (x )的最大值为ln 2-ln(ln 2)-12.这是一个简单的超越函数，因为f '(x )=1x +1+a ，所以f (x )在定义域[0,1]内至多只有一个极值点，我们也就可以按照上述方法来求解，分别求出过两端点的直线AB 的方程，以及与AB 平行且与y =f (x )相切的切线方程，求得两平行线之间的距离便可求得最值.例3.已知f (x )=x +1x -ax -b ,对任意实数a ,b ，当x ∈[12,2]时，有||f (x )≤M 恒成立，求M 的最小值.分析：这是一个由对勾函数与一次函数构成的函数，因为f '(x )=1-1x 2-a =(1-a )x 2-1x 2，所以在定义域[12,2]内至多只有一个极值点.我们也可按照上述步骤来解题.解：当x =12时,f (12)=52-a 2-b ，当x =2时,f (2)=52-2a -b ，设A æèöø12,52-a 2-b ,B (2,52-2a -b )，所以直线AB 的方程为y =-ax +52-b ，平移直线AB ,使其与函数y =f (x )的图象相切，设切点为(x 0,y 0),则ìíîïïïïf '(x 0)=1-1x 02-a =-a ,y 0=x 0+1x 0-ax 0-b ,解得{x 0=1,y 0=2-a -b ,所以切线l 的方程为y =-ax +2-b ，所以AB 与l 间的距离为d =||||||2-b -52+b a 2+1=12a 2+1≤12,则M min =14.通过上述分析，我们可以发现运用该方法来解题，能有效地提升解题的效率.运用该方法解题的关键是借助函数在定义域端点处的值来构造一条直线以及一条与此直线平行且与函数曲线相切的直线，利用两平行线之间的距离公式来求得最值.（作者单位：湖北省潜江市园林高级中学）胡清林57。
多个绝对值求和型函数最值问题的求解方法.doc
多个绝对值求和型函数最值问题的求解方法命题设 a1≤ a2≤a3≤ ≤ a n,Y＝︱ x－ a1︱＋︱ x－a2︱＋︱ x－a3︱＋＋︱ x－ a n︱, 求 y 达到最小值的条件：（1）当 n＝ 2k 时， x∈﹝a k, ,a k＋1﹞ ,y 值达到最小；（2）当 n＝ 2k－1 时， x＝a k时， y 值达到最小。
利用绝对值的几何意义，可以方便的证明。
( 思考：穿根法思想试试？)证明：（ 1）当 n＝2k 时若 a k＜ a k＋ 1︱x－ a1︱＋︱ x－a2k︱≥ a2k－ a1, 当且仅当 x∈﹝ a1, ,a 2k﹞时等号成立，︱x－a2︱＋︱ x－ a2k-1︱≥ a2k-1－a2, 当且仅当 x∈﹝ a2, ,a 2k-1﹞时等号成立，︱x－a k︱＋︱ x－ a k+1︱≥ a k+1－ a k , 当且仅当 x∈﹝ a k ,a k+1﹞时等号成立；因为﹝ a k,a k+1﹞是以上各区间的公共的子区间，所以当且仅当x∈﹝ a k,a k+1﹞时，以上各式的等号能同时成立,y 才能达到最小。
若 a k＝a k＋1时，当且仅当 x＝ a k＝ a k+1时，以上各式的等号能同时成立 ,y 才能达到最小。
（2）当 n＝ 2k－ 1 时，︱x－ a1︱＋︱ x－ a2k-1︱≥ a2k-1－ a1, 当且仅当 x ∈﹝ a1,a 2k-1﹞时等号成立，︱x－ a2︱＋︱ x－ a2k-2︱≥ a2k-2－ a2, 当且仅当 x ∈﹝ a2,a 2k-2﹞时等号成立，︱x－a k-1︱＋︱ x－a k+1︱≥ a k+1－a k-1 , 当且仅当 x∈﹝ a k-1 ,a k+1﹞时等号成立；︱x－ a k︱≥ 0，当且仅当 x＝ a k时等号成立因为 x＝a k是以上各区间唯一公共的元素，所以当且仅当x＝ a k时，以上各式的等号能同时成立，y 才能达到最小。
例 1 y＝︱ x－1︱＋︱ x－ 2︱＋︱ x－3︱＋＋︱ x－19︱, 求 y 的最小值。
探究绝对值函数最值的求法
探究绝对值函数最值的求法探究绝对值函数最值的求法及应用2011年陕西省理科高考试题第14题。
题目是：植树节某班20名同学在一段直线公 路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁 边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 米。
该题考查了求绝对信函数的最小值问题，转化为求函数y=|x-10|+|x-20|+|x-30|+gggx-200|田 最小值问题。
另外2009年上海高考有一道数学试题；其题目是：某地街道呈现东一西、 南一北向的网络格状，相邻街距都为 1。
两街道相交的点称为格点。
若以互相垂直一两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(-2 , 2), (3, 1), (3, 4), (-2 , 3), (4, 5)(6, 6)为报刊零售点，请确定一个格点(除零售点外) 街道发行站之同路程的和最短。
该题也需要转化为求绝对信函数 z=2|x+2|+2|x-3|+|x-4|+|x-6|+|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6| 的最小值问题。
那么如何求这种多 个绝对值和的函数的最小值问题呢？对此，笔者运用以下方法进行了探索研究，得出了解 决这种问题的基本方法，以此与各位同仁商榷。
利用函数图象研究这类函数的值域，从而达到求函数的最值 :由于含绝对值函数可以等价化为分段函数，因此运用函数的图象求函数的最值。
作出其图象如右图：由图象可知其当x ；时,为发行站，使6个零售点沿 值。
y=|2x-1|=原绝对值函数的最小值为0 例2求函数y |2x 1| |2x 2|的解：由于该函数1 4x+1(x -) 1 1 Y |2x 1| |2x 2| = 3(--<x<-)1 4x 1(x-)小值为3: 例3、求函数y=|x +1|+|x-1|+|x-2|的最小值。
解：由于该函数可化成分段函数，则3x-2 (x>2) x-4(1<x 2)y=|x+1|+|x-1|+|x-2| — 3(x=1)-x+4(-1<x<1)-3x+2(x -1) 作出其图象如右图： 结论1 :对于函数y |xX1| |x X2|(X 〔 x 2) ?图象如右图所示。
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探究绝对值函数最值的求法探究绝对值函数最值的求法及应用2011年陕西省理科高考试题第14题。
题目是：植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 米。
该题考查了求绝对值函数的最小值问题，转化为求函数y=|x-10|+|x-20|+|x-30|+|x -200|g g g ——的最小值问题。
另外2009年上海高考有一道数学试题；其题目是：某地街道呈现东—西、南—北向的网络格状，相邻街距都为1。
两街道相交的点称为格点。
若以互相垂直一两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）（6，6）为报刊零售点，请确定一个格点（除零售点外） 为发行站，使6个零售点沿街道发行站之同路程的和最短。
该题也需要转化为求绝对值函数z=2|x+2|+2|x-3|+|x-4|+|x-6|+|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6|的最小值问题。
那么如何求这种多个绝对值和的函数的最小值问题呢？对此，笔者运用以下方法进行了探索研究，得出了解决这种问题的基本方法，以此与各位同仁商榷。
一、 利用函数图象研究这类函数的值域，从而达到求函数的最值：由于含绝对值函数可以等价化为分段函数，因此运用函数的图象求函数的最值。
例1求函数y=|2x-1|的最小值。
解：由于函数12x-1x 2y=|2x-1|=1-2x+1x<)2⎧≥⎪⎪⎨⎪⎪⎩（）（，作出其图象如右图：由图象可知其当12x =时，原绝对值函数的最小值为0。
例2求函数|21||22|y x x =-++的最小值。
解：由于该函数|21||22|y x x =-++14x+1(x 211=3(-<x<)22141()2x x ⎧≥⎪⎪⎪⎨⎪⎪--≤-⎪⎩），作图象如右图所示。
则当11-22x ≤≤时，其函数的最 小值为3：例3、求函数y=|x+1|+|x-1|+|x-2|的最小值。
解：由于该函数可化成分段函数，则y=|x+1|+|x-1|+|x-2|=3x-2x>2)x-4(1<x 2)3(x=1)-x+4(-1<x<1)-3x+2(x -1)⎧⎪≤⎪⎪⎨⎪⎪≤⎪⎩（作出其图象如右图：结论1：对于函数1212||||()y x x x xx x =-+-<，当且仅当12x x x≤≤证明如下：由于函数该函数等价于：12221121212()()2()x x x x x y x x x x x x x x x x -->⎧⎪=-≤≤⎨⎪-++<⎩，作出其图象如右图：从图象可知，当12x x x≤≤时，该函数的最小值为21x x-。
结论2：对于函数123123||||||()y x x x x x x x x x=-+-+-<<，当且仅当2x x=时，函数y有最小值为31x x-。
证明如下：由于函数123123||||||()y x x x x x x x x x=-+-+-<<该函数等价于1233321233122311212313()()()()3()x x x x x xx x x x x x xy x x x xx x x x x x xx x x x x x---≥⎧⎪+--<<⎪⎪=-=⎨⎪-++-<<⎪⎪-+++≤⎩该函数的图象如右图所示：由图象中知：当且仅当2x x=时该函数的最小值为31x x-。
以上两个结论可推广到任意n个绝对值的和的最值问题。
结论如下：推论1：对于函数12212123212||||||||()n n n n y x x x x x x x x x x x x x --=-+-+⋅⋅⋅+-+-≤≤≤⋅⋅⋅≤≤当且仅当1n n x x x +≤≤时，函数y有最小值为21212211()()()()n n n n n nx x x x x x x x -+-+-+-+⋅⋅⋅+-+-（n N *∈）。
推论2：对于函数1221||||||n y x x x x x x -=-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-（12321n x xx x -≤≤≤⋅⋅⋅≤）当且仅当nx x =时，函数y 有最小值21122211()()()n n n n xx x x x x --+--+-+⋅⋅⋅+-（n N *∈）二． 运用以上推论，达到求函数最值的目的：下面我们来解以下高考试题：例1：（2011年陕西省理科高考试题第14题）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为分析：该题是一个实际应用题，考查的知识点是绝对值求和的最值问题。
先将该题放在数轴上来研究。
即将实际问题抽象成数学问题，通过建立数学模型来解决此问题。
解：以一段直线公路为x轴，建立如图所示的数轴坐标系。
设领取树苗的坐标为x时，每位同学前来领取树苗往返所走的路程和为y米，则y=2|x-10|+2|x-20|+2|x-30|+2|x-200|g g g——，根据推+论1可知：当且仅当100110x≤≤米时，函数g g g——有最小值：+y=2|x-10|+2|x-20|+2|x-30|+2|x-200|⨯-+-+-+-+-+-+-+-+-+-2[(20010)(19020)(18030)(17040)(16050)(15060)(14070)(13080)(12090)(110100)] =2000（米）或2[(10010)(10020)(10030)(10040)(10050)(10060)(10070)(10080)(10090)(100100)⨯-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-|100110||100120||100130||100140||100150||100160||100170||100180||100190||100200|] =2000（米）例2：（2009年上海高考数学试题）某地街道呈现东—西、南—北向的网络格状，相邻街距都为1。
两街道相交的点称为格点。
若以互相垂直一两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）（6，6）为报刊零售点，请确定一个格点（除零售点外）为发行站，使6个零售点沿街道发行站之间路程的和最短。
分析：该题是一个实际应用题；考查的知识点也是求绝对值和的最值问题。
该题已经将格点放在平面直角坐标系中，由于发行站与各报刊之间只能沿x 轴与y 轴两个方向穿越，因此可将该问题转化为求x 轴与y 轴两个方向上含绝对值和的最值问题。
解：设发行站格点为P ()0,x y 时，使6个零售点沿街道发行站之间路程的和为z ，则z=2|x+2|+2|x-3|+|x-4|+|x-6|+|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6||2||2||3||3||4||6||1||2||3||4||5||6|x x x x x x y y y y y y =++++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-要求以上含绝对值和的最值问题，可分别求函数|2||2||3||3||4||6|x z x x x x x x =++++-+-+-+-与函数|1||2||3||4||5||6|y z y y y y y y =-+-+-+-+-+-两个函数的最小值。
根据以上推论1可知当且仅当33x ≤≤即3x =时，xz 有最小值[6(2)][4(2)](33)--+--+-=14；当且仅当34y ≤≤时，由于y N *∈即3y =或4y =时，yz 有最小值为：(61)(52)(43)9-+-+-=，所以z=2|x+2|+2|x-3|+|x-4|+|x-6|+|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6|的最小值为14+9=23此时，发行站应设在点（3，3）或（3，4 ）处，但是由于题意，发行站不能作为零售点，因此，发行站只能为（3，3）处。
根据以上两种求函数最值的方法：图象法和推论法，它们的本质都来源于去掉绝对值符号；当然对于简单的绝对值函数值域问题（两个或三个绝对值符号），可直接运用图象法比较直观；对于多个含绝对值最值问题，可运用推论来解决，相对简单；当然，对于绝对值求最值问题方法很多，以上方法仅与各位同仁探讨。
西省西乡县第二中学：王仕林011-12-17--+--+-+-+-+-[6(2)][6(2)](63)(63)(64)(66)。