南开大学2007年数学分析试题解答

注：也可用对 z3 类似方法，分别对 x3, y3 利用函数奇偶性和对称分析。本人第一次采用的方
法是利用广义球极坐标变换硬算，发现几乎算不下去而放弃此法。对于这类"定义域"和被积 函数很整齐对称的问题，我们应该养成一种好习惯。即首先应观察问题能不能利用对称性、 奇偶性化简问题，然后再考虑利用何种方法计算。不假思索的死算、硬算容易跌入下层！
2
2
∫+∞
所以， I (1) = e−t
sin tdt
= −π
+π
=π
.
0
t
424
∫ 故 +∞ 1 − e−t sin tdt = π − π = π .
0t
24 4
注：本题对收敛因子 e−αt 的处理方法具有代表性，要认真掌握。
{ } (3) 函数 f (x, y) = 2x2 + 12xy + y 2 在闭区域 D = (x, y)∈ R2 x2 + 4 y 2 ≤ 25 的最小值是
sin tdt
(α
>
0
)，则
I (α )
在[0, +∞) 上一致收敛，从而
I (α )
在[0, +∞) 上一
0
t
∫+∞
致连续。对α 求导得， I ′(α ) = − e−αt sin tdt = −
1
0
1+α2
(因为该积分收敛，故求导是允许
的)。再直接积分得， I (α ) = − arctanα + C . 注意到 I (0) = π ，故 C = π .
4
88
= 25 ×[9 + 25 sin(2t + ϕ)] . 88
所以， min f (x, y) = −50
注：也可用拉格朗日乘数法求解，设 F (x, y,λ) = 2x2 + 12xy + y2 + λ(x2 + 4 y2 − 25)
再令
⎧ ⎪ ⎨
Fx′ Fy′
= =
4x + 12 12x + 2
当 (x, y) 属于边界 ∂D 时， x2 + 4 y2 = 25 . 考虑三角换元，转化为"一角一函数"问题。
令 x = 5cost, y = 5 sin t ( t ∈[0, 2π ] ) ,代入得 2
f (x, y) = 50cos2 t + 150sin t cost + 25 sin2 t = 25(1 + cos 2t + sin 2t + 1 − 1 cos 2t)
B( p, q) = Γ( p)Γ(q) ， Γ( p + 1) = pΓ( p) ， Γ(0) = Γ(1) = 1， Γ( p + q)
Γ( p)Γ(1 − p) = π ( 0 < p < 1) sin pπ
以上证明可在数学分析书中找到，这里恕不赘述。 将原题在极坐标下化为二重积分，得
∫∫ ∫ ∫ ∫ x9 y7 dxdy =
π
2 dθ
1
r
9
sin
7 2
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θ
9
cos2 θ dr
=
1
π7
9
2 sin 2 θ cos2 θ dθ =
1
B(11, 9) ，
0
0
D
10 0
20 4 4
又
B(11 ,
9)
=
Γ(11)Γ( 9 ) 44
，
Γ(11) = 7 × 3 Γ( 3),Γ(9) = 5 Γ(1)
44
Γ (5)
4 44 4 4 4 4
南开大学 2007 年数学分析试题解答
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∫∫ ( ) x3 + y3 + z 3 dS 的值是______
S
∫∫ ∫∫ ∫∫ 解答：观察曲面方程，可知其关于 x, y, z 轮换对称，因此 x3dS = y3dS = z3dS .
S
S
S
∫∫ 又 z3 是关于 z 的奇函数，曲面 S 关于平面 xoy 对称，故 z3dS = 0 . S
( ) ∫∫ 所以， x3 + y3 + z3 dS = 0 . S
y y
+ +
2λ 8λ
x y
= =
0 0
⎪⎩ x2 + 4 y2 − 25 = 0
求得驻点值.
{ } ∫∫ (4) 设 D = (x, y)∈ R2 x2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 ，则二重积分 x9 y 7 dxdy = ______
D
解答：首先指出两个重要函数， B 函数和 Γ 函数及相关结论.
∫ ∫ B( p, q) = 1 x p−1(1 − x)q−1dx ， Γ( p) = +∞ x p−1e−xdx ( p > 0, q > 0 )
0
0
π
∫ 令 x = sin2 t ，可得其等价形式 B( p, q) = 2 2 sin2 p−1 t cos2q−1 tdt 0
它们之间有如下关系：
=
lim
n→∞
n k =1
1 n
⋅
1
1 +
k
=
1 1 dx = ln 2 . 01+ x
n
∫ (2) +∞1 − e−t sin tdt = ______
0t
∫ ∫ +∞
解答：将原积分拆成两部分，注意到
sin t dt
=
π
+∞
，只需计算 e−t
sin t dt
.
0t
2
0
t
∫ 令
I (α )
=
+∞
e−αt
1.(42 分) 填空
(1) lim⎜⎛ 1 + 1 + 1 ⎟⎞ = ______ n→∞⎝ n + 1 n + 2 2n ⎠
解答：本题考察的是对定积分的定义，比较简单。注意到 1 = 1 ⋅ 1 ， n+ k n 1+ k n
所以，
lim
n→∞
⎛ ⎜⎝
1 n +1
+
n
1 +
2
+
∑ ∫ 1
2n
⎞ ⎟⎠
解答：闭区域上求最值是一个典型问题，常见的方法是先求区域内部驻点值，再求边界上的 最值，最后放到一起比较。
令
⎧ ⎨ ⎩
f x′ f y′
= =
4x + 12 12x + 2
y y
= =
0 0
解得 (x, y) = (0,0) 为 f (x, y) 在 D 内的唯一驻点，且 f (0,0) = 0 .
及
Γ(
3 4
)Γ(
1 4
)
=
π sin π
=
2π ， Γ(5) = 4! = 24
4
∫∫ 所以， D
x9 y7 dxdy = 1 B(11, 9) =
1
Γ(11)Γ( 9 ) ×4 4
=
7
2π = 7
2π
.
20 4 4 20 Γ(5)
213 8192
{ } (5) 设 S = (x, y, z)∈ R3 x 2n + y 2n + z 2n = 1 ， n ∈ N ，则下面曲面积分