匀速定轴转动的均匀带电球体的全

匀速定轴转动的均匀带电球体的全空间磁场分布

摘要：如何求匀速定轴转动的均匀带电球体的全空间磁场分布是电磁学中的一个非常重要的问题。这类问题的解法是多种多样的，可是传统的方法比较繁琐。对于匀速定轴转动的均匀带电球体，本文先运用多种方法求出均匀带电球面的磁场分布，再运用磁场的叠加原理求出匀速定轴转动的均匀带电球体的全空间磁场分布。

关键词：均匀带电球体磁场分布磁场叠加原理磁矢势磁标势

1.引言

求绕对称轴匀速转动的均匀带电球体的全空间磁场分布是电磁学中的一个非常重要问题。这类问题的解法是多种多样的，可是传统的方法比较繁琐。文献[6]从场强的叠加原理出发，用类比的方法，在介绍矢势A、.磁化强度M、和电场强度E三者关系的基础上，给出了一个解决此类问题的新方法。本文首先利用类比的方法，将绕对称轴匀速转动的非导体均匀带电球面等效成均匀磁化介质球，然后用多种方法先求出绕对称轴匀速转动的均匀带电球面的全空间磁场分布，再运用磁场的叠加原理，通过把均匀带电球面看作非常薄的均匀带电球体，利用数学积分计算，从而得到了匀速定轴转动带电球体的全磁场分布。本文用三种方法求出均匀磁化球的磁场强度，从而就能得到绕对称轴匀速转动的均匀带电球体的全空间磁场分布[6]。

2. 均匀带电球面的磁场分布

图1所示的是一半径为R的表面均匀带电的非导体球面，其电荷面密度为，如果这一非导体球面以自身直径为轴并以恒角速度转动，因此将在周围空间中产生磁场。均匀带电球面绕轴转动，所以它的面电流密度为:

由磁化强度M与磁化电流密度之间的关系式（其中介质的外法线方向单位矢是n）可得，对于一个均匀磁化介质球而言，其磁化面电流密度大小是：

如图2所示为其分布图像。经过对比可知，在研究产生的磁特性时，可以将以匀角速度绕轴旋转的一个均匀带电的非导体球面，等效成一个均匀磁化介质球体。

比较上面的两个式子可得:对于匀速旋转的非导体均匀带电球面，可等效成为均匀磁化介质球。其等效磁化强度为:

磁标势

设定一个半径为a的均匀磁化介质球处于真空中，若球心O取为原点，M的方向为极轴，如图所示取球坐标系。由于无自有电流，则，因此有磁标势，可使得又有，则有，球内外的均满足拉普拉斯方程如下：

（1）

因在极轴上应有确定值，故得上式的通解为:

（2）

在球内，时，有限，故

（3）

在球外，时，，故

（4）

下面用边界条件定系数，当r=a时，，故得

（5）

当r=a时，，即，故有

比较两边的系数得

（6）

（7）

解（5）（6）（7）三式得

（8）

于是得所求的此表示为

（9）

（10）

所求的磁感应强度为

,（11）

（12）

上式所求，即是匀速定轴转动的均匀带电球面的空间磁场分布规律。

磁失势

由和导出失势A的微分方程如下：

（1）

因为

（2）

所以

（3）

这就是静磁场的失势A所满足的微分方程。取库伦规范

（4）

介质球是均匀的，球外是真空，故；没有自由电流，故。于是失势的微分方程化为

（5）

以球心为原点，M的方向为极轴，取球坐标系如图所示。A的分量式为

（6）

因轴对称性，故A与方位角无关，即

（7）

在球坐标系中，的公式为

（8）

另一方面，M可看为是，由于球面上的一层磁化面电流所产生的。

根据电流产生的失势公式

（9）

知dA平行于。磁化面电流密度为，根据

（9）式可知

（10）

带入（8）便得

（11）

球坐标系中有

（12）

带入（11）式并利用，便得

（13）

下面利用分离变数法求解，令

（14）

带入（13）上式得

（15）

令

（16）

（17）

这是二阶欧拉方程，它的解为

（18）

当时，球是一个磁偶极子，它的A应具有

（19）

的性质，由此得（16式中的常数C=2。于是（18）式便是

（20）

再求由式得

（21）

做变换上式便化为

（22）

与连带勒让德方程

（23）

比较，可见（22）是l=1,m=1的连带勒让德方程。（23）式的有界解为

（24）

由此得（23）的解为

（25）

结合（10）（14）（20）（25）式子及边界条件（19）和便时A为有限得

（26）

（27）

于是可得所求的磁感应强度为

（28）

（29）

现在由边界条件定系数

（30）

（31）

由三式（28）（29）（30）的

（32）

由（28）（29）两式得

（33）

（34）

代入（31）得

（35）

解（32）（35）两式得

（36）

于是最后求得的失势为

（37）

（38）

所求的磁感强度为

B= ,（39）

（40）

特殊法

根据电场的叠加原理，由任意形状的均匀带电体产生的电场为

（1）式中ρ为电荷体密度，是真空中的介电常量，r是场点的位矢，r’是源点的位矢，是方向的单位矢.