列方程组解应用题教案

第三讲 列方程组解应用题（二）

（一）阅读思考，学会方法。

例1. 松鼠妈妈彩松籽。晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个。它一连几天共采了112个松籽，平均每天采14个。这几天当中有几天是雨天

思路分析：根据题意，可以设两个未知数列方程组来求解。

如果雨天有x 天，晴天有y 天，那么根据题意，就可以列出下面的两个方程，组成一个方程组：

x y x y +=+=+=+=⎧⎨⎪⎩⎪112141220112()()雨天晴天采松籽的天数雨天采松籽个数晴天采松籽个数采松籽总数

今天我们为同学们介绍二元一次方程常用的方法，代入消元法。

例1. 解方程组：

y x x y =+=⎧⎨

⎩3143132()()

分析与解答：如果这两个方程有公共解，那么两个方程中同一个未知数就应当取相同的值。因此，第二个方程中的y 可以用第一个方程中表y 的代数式3x 来代替。

y x

x y =↓

+=3143132()()

把(1)代入(2)得43313x x +=()，这样就消去了未知数y ，得到一个关于x 的一元一次方程，解这个方程可以求出x 的值。

4913x x +=

1313x =

x =1

把x =1代入方程(1)，得 y =3

∴==⎧⎨

⎩x y 13

再把这对未知数的值代入原方程中的每一个方程进行检验。

检验：把x y ==13，代入方程(1)，得

左边＝3，右边＝3

左边＝右边

再代入方程(2)，得

左边=⨯+⨯=413313，右边＝13

左边＝右边

∴==⎧⎨

⎩x y 13是原方程的解。

例2. 解方程组：

x y x y +=+=⎧⎨⎪⎩⎪112141220112

分析与解答：为了明显地表示出x 与y 的关系，先把方程(1)变形，用含有y 的代数式表示x ，然后再解。

由(1)得 x y

=-83()

把(3)代入(2)，得

12820112()-+=y y

961220112-+=y y

816y =

y =2

把y =2代入(3)

x =-=826 ∴==⎧⎨

⎩x y 62

检验略。

这个问题，就是我们文章开头提出的“松鼠妈妈采松籽”的问题，现在我们找到答案，雨天有6天。

用代入消元法，解方程组的一般步骤是：

(1)将方程组里的一方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数。

(2)把这个代数式代入另一个方程，消去一个未知数，使解二元一次方程组转化为解一元一次方程；

(3)解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；

(4)把求得的这个未知数的值代入原方程组里的任意一个方程，求出另一个未知数的值；

(5)把这两个未知数的值写在一起，就是方程组的解。

（二）尝试体验，合作交流。

请同学们用代入消元法解下列方程组：

(1)y x x y =-+=⎧⎨⎩23328 (2)251437x y x y -=+=⎧⎨⎩

(3)一车间派56名工人做衣服，每个工人每天平均能缝制6件上衣或8条裤子，问应分配多少人缝制上衣，有多少人缝制裤子

分析与解答：这个问题里有两个未知数：缝制上衣的人数和缝制裤子的人数。未知数与已知数之间有以下的等量关系：

(1)缝制上衣的人数＋缝制裤子的人数＝派出的总人数；

(2)每天缝制的上衣总件数＝每天缝制裤子的总数

如果分别用x 、y 表示缝制上衣的人数和缝制裤子的人数，那么根据上述等量关系，就可以列出一个二元一次方程组：

x y x y +==⎧⎨

⎩5668

请你试着解答出来。

（三）灵活运用，创造发展。

1. 兄弟俩共养鸡1000只，哥哥养的鸡的13比弟弟养的1

10多160只，求哥哥和弟弟各养鸡多少只

2. 有一个分数，如果分子加上1，约分后等于1

2；如果分母加上1，约分后等于13，这个分数是多少

3. 同学们去植树，如果每天栽6棵，还剩下14棵树苗，如果每人栽8棵，则少16棵树苗，求一共有多少个同学去栽树

【练习答案】

（二）尝试体验，合作交流。

请同学们用代入消元法解下列方程组：

(1)y x x y =-<>+=<>⎧⎨

⎩231328

2

解：将<1>代入<2> 32238

3x x +-=<>() 3468x x +-=

714x =

x =2

将x =2代入<1>

y =⨯-223

y =1

∴==⎧⎨

⎩x y 21

(2)2514137

2x y x y -=<>+=<>⎧⎨

⎩ 解：将<2>变形

x y

=-<>733

将<3>代入<1> 273514()--=y y

146514--=y y

141114-=y

111414y =-

110y =

y =0

将y =0代入<2>

x +⨯=307

x =7

∴==⎧⎨

⎩x y 70

(3)一车间派56名工人做衣服，每个工人每天平均能缝制6件上衣或8条裤子，问应分配多少人缝制上衣，有多少人缝制裤子

分析与解答：这个问题里有两个未知数：缝制上衣的人数和缝制裤子的人数。未知数与已知数之间有以下的等量关系：

(1)缝制上衣的人数＋缝制裤子的人数＝派出的总人数；

(2)每天缝制的上衣总件数＝每天缝制裤子的总数

如果分别用x 、y 表示缝制上衣的人数和缝制裤子的人数，那么根据上述等量关系，就可以列出一个二元一次方程组：

x y x y +==⎧⎨

⎩5668

请你试着解答出来。

解：设做上衣的有x 个人，做裤子有y 个人。

根据题意，列方程得：

x y x y +=<>=<>⎧⎨

⎩561682