第5章 微分方程模型

s , im
模型4
被传染人数的估计
记被传染人数比例 x s0 s
SIR模型
1 x s x ln(1 ) 0 s0 i0 s ln 0 s0 s0 i0 0, s0 1
1
x<<s0
x x(1 2 )0 s0 2s0
1
i

P1 O s 1 /
i0
O
1 1 , 1 i ( ) 1 0,
1
t
O
t
i(t)单调下降
>1, i0< 1-1/
i(t)按S形曲线增长
感染期内有效接触使健康者感 染的人数不超过原有的病人数
接触数 =1 ~ 阈值
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
模型4
i
di/dt < 0
0
t
1 , 1 1 i ( ) 1 0,
接触数 =1 ~ 阈值
1 i (t )
模型4
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者
SIR模型
消去dt di si i dt / ds si dt i (0) i0 , s (0) s0 在相平面 s ~ i 上 研究解的性质
• 降低 s0 提高 r0 s0 i0 r0 1 群体免疫
的估计
1
s s0 i0 s ln 0 s0
忽略i0
ln s0 ln s s0 s
模型4
预防传染病蔓延的手段
• 提高移出比例r0
s im
• 降低日接触率 • 提高日治愈率

1
0.6 0.5 0.4 1
在D内作相轨线 i ( s) 的图形，进行分析
D
O 1
s
模型4
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
相轨线 i ( s) 及其分析
1 di 1 ds s i s s i0 0
1 di ds s 1 i s s i0
0
相轨线
s i ( s ) ( s0 i0 ) s ln s0
1
5.3 正规战与游击战
第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型. 战争分类：正规战争，游击战争，混合战争. 只考虑双方兵力多少和战斗力强弱.
第五章
5.1
微分方程模型
传染病模型
5.3
5.4
正规战与游击战
药物在体内的分布与排除
5.6 人口的预测和控制
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程.
• 分析对象特征的变化规律.
• 预报对象特征的未来性态.
• 研究控制对象特征的手段.
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数. • 根据建模目的和问题分析作出简化假设. • 按照内在规律或用类比法建立微分方程.
0.3449
0.1635 0.0200 0.0200 0.1685
0.6
0.5 0.4
0.3
0.5 0.5
0.5
1.0 1.25
0.70
0.70 0.70
0.02
0.02 0.02
0.3056
0.6528 0.6755
0.0518
0.0200 0.0200
,
s , im
s0 (r0 )
5.1 传染病模型
人类史上的重大传染病
【欧洲黑死病简介】 黑死病（Black Death）是人类历史上最严重的瘟疫之一。 起源于亚洲西南部，约在1340年代散布到欧洲，而“黑死病” 之名是当时欧洲的称呼。这场瘟疫在全世界造成了大约7500万 人死亡，其中2500万为欧洲人。根据估计，中世纪欧洲约有三 分之一的人死于黑死病。从1348年到1352年，它把欧洲变成了 死亡陷阱,这是欧洲历史上最为恐怖的瘟疫。
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
相轨线
相轨线 i ( s) 的定义域
s i ( s ) ( s0 i0 ) s ln s0
i
1
1
D {( s, i ) s 0, i 0, s i 1}
以最终未感染比例s和病人比例最大值im为度量指标.

1/ s0 i0
0.3
0.3 0.5 0.5 0.3
0.3
0.5 1.0 1.25 0.3
0.98
0.98 0.98 0.98 0.70
0.02
0.02 0.02 0.02 0.02
0.0398
0.1965 0.8122 0.9172 0.0840
~ 日接触率
1/ ~感染期
~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数.
被治愈所需要的时间
模型3
di/dt
di 1 i[i (1 )] dt
>1
i i0
接触数 (感染期内每个 病人的有效接触人数)
i i0
>1
1
di/dt < 0
1-1/ O 1-1/ 1 i
x(t t ) x(t ) x(t )t
dx x dt x (0) x0
x(t ) x0 et
t x ?
必须区分已感染者(病人) 和未感染者(健康人)
若有效接触的是病人, 则不能使病人数增加
模型2
假设
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 i(t ), s(t ) . 2）每个病人每天有效接触人数 为, 且使接触的健康人致病.
SI 模型
~日
接触率
建模
N[i(t t ) i(t )] [s(t )]Ni (t )t
di si dt
s(t ) i(t ) 1
di i (1 i ) dt i (0) i0
模型2
i 1 1/2 i0
di i (1 i ) dt i (0) i0
【西班牙流感简介】 西班牙型流行性感冒是人类历史上最致命的传染病，在 1918~1919年曾经造成全世界约10亿人感染，2千5百万到4千 万人死亡（当时世界人口约17亿人）；其全球平均致死率约 为2.5%-5%，和一般流感的0.1%比较起来较为致命。其名字 的由来并不是因为此流感从西班牙爆发；而是因为当时西班 牙有约8百万人感染了此病，甚至连西班牙国王也感染了此病， 所以被称为西班牙型流行性感冒。 疯牛病、禽流感、SARS， 虚构的传染病：《生化危机》中的T-virus
病人可以治愈！
模型3
增加假设 建模
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染. SIS 模型 3）病人每天治愈的比例为
~日治愈率
N[i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
1 di i (1 i ) i i[i (1 )] dt i (0) i0 /
兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加. 战斗力与射击次数及命中率有关.
建模思路和方法为用数学模型讨论社会 领域的实际问题提供了可借鉴的示例.
一般模型
模型 假设
x(t) ~甲方兵力，y(t) ~乙方兵力
• 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力.
• 每方非战斗减员率与本方兵力成正比.
• 甲乙双方的增援率为u(t), v(t).
1 0.8 0.6 s(t)
i
0.3 0.2
相轨线i(s)
0.4 0.2 0 i(t)
0.1 P0 0
s
1
0
10
20
30
40
50
0
0.2
0.4
0.6
0.8
i(t)从初值增长到最大; t, i0. s(t)单调减; t, s0.04.
模型4
Βιβλιοθήκη Baidu
SIR模型的相轨线分析 消去dt /
1 di ds s 1 i s s i0 0
Logistic 模型
1 1 t 1 1 e i0
i (t )
1 0 tm t m ln t i 1 0 t=tm, di/dt 最大 tm~传染病高峰期到来时刻 t i 1 ?
1
(日接触率) tm
/ di 1 di i[i (1 )] i (1 i ) i dt dt i (0) i0
di/dt i i0
>1
>1
1-1/
i0
0
1-1/
1 i
0
t
di/dt
i
1
1
di/dt < 0
i0
0
(1-1/)<0
1s
P1: s0>1/ i(t)先升后降至0 P2: s0<1/ i(t)单调降至0
传染病蔓延 传染病不蔓延
1/ ~ 阈值
模型4
预防传染病蔓延的手段
SIR模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
,
(日接触率) 卫生水平 (日治愈率) 医疗水平
i0 s0 1 (通常r(0)=r0很小)
无法求出 i(t ), s(t )
的解析解
先做数值计算, 再在相平面上研 究解析解性质
模型4
SIR模型的数值解
设=1, =0.3, i0=0.02, s0=0.98, 用 MATLAB计算作图i(t), s(t)及i(s)
0.4
di si i, i (0) i0 dt ds si, s (0) s 0 dt
模型
(t ) f ( x, y) x u(t ), 0 x (t ) g ( x, y) y v(t ), 0 y
假设
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者.
SIR模型
1）总人数N不变，病人、健康人和移 出者的比例分别为 i(t ), s(t ), r (t ).
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / 建模
s(t ) i(t ) r (t ) 1
需建立
i(t ), s(t ), r (t ) 的两个方程.
5.1 传染病模型
• 描述传染病的传播过程.
背景 与 问题
• 分析受感染人数的变化规律. • 预报传染病高峰期到来的时刻. • 预防传染病蔓延的手段.
基本 不是从医学角度分析各种传染病的特殊机理, 方法 而是按照传播过程的一般规律建立数学模型.
模型1
假设 建模
已感染人数 (病人) x(t)
每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为
模型4
SIR模型
N[i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
N[s(t t ) s(t )] Ns(t )i(t )t
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
x 2s0 ( s0
s0 - 1/ =
1

)
提高阈值1/
s0
s
小 , s0 1
x 2
降低被传染人数比例 x
传染病模型
模型1 模型2 (SI)
区分病人 和健康人 考虑治愈
模型3 (SIS) 模型4 (SIR)
模型3, 4: 描述传播过程, 分析变化规律,
预报高潮时刻, 预防蔓延手段. 模型4: 数值计算与理论分析相结合.
5.1 传染病模型
模型1
di i dt i (0) i0
i(t ) i0 e
t
t i
指 数 模 型
模型2
(SI 模型)
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
di i (1 i ) dt i (0) i0
Logistic 模型
模型3
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 SIS 模型
SIR模型
1 s i( s) ( s0 i0 ) s ln s0
i
1 D
P4
s(t)单调减相轨线的方向
s 1 / , i im t , i 0
s s满足 s0 i0 s ln 0 s0 1
P2
im
P1 P3
O
s
S0
1 / s0