2020高考数学一轮复习 9-8直线与圆锥曲线的位置关系课
合集下载
高三数学一轮复习 第8章第9节 直线与圆锥曲线的位置关系课件 文 (广东专用)
△OAB 的面积 S＝12|OC|·|y1－y2|
＝32|y2|＝1＋3|k3|k2.＝|1k|＋33|k|≤ 23， 当且仅当|1k|＝3|k|，即 k2＝13时，上式等号成立，此时，△AOB 的
面积为
3 2.
把本例中l的方程换成“y＝kx＋1”且点C为直线与y轴的 交点坐标，其余条件不变求(2)．
(2)证明：由(1)知 OD 所在直线的方程为 y＝－31kx，
将其代入椭圆 C 的方程，并由 k＞0，
解得 G(－ 3k32k＋1， 3k12＋1)．
又 E(－3k32k＋t 1，3k2t＋1)，D(－3，1k)， ...............................8 分
由距离公式及 t＞0，得
当－1＜k＜12且 k≠0 时，直线与抛物线有两个公共点， 当 k＜－1 或 k＞12时，直线与抛物线没有公共点．,
已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：x42＋y22＝1，试问：
当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
y＝2x＋m 【解】 由x42＋y22＝1 得 9x2＋8mx＋2m2－4＝0，(*) Δ＝64m2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144， 由 Δ＝0 即－8m2＋144＝0 得 m＝±3 2. ∴当－3 2＜m＜3 2时，方程(*)有两个不等的实根， 当 m＝±3 2时，方程(*)有两个相等的实根， 当 m＜－3 2或 m＞3 2时，方程(*)没有实根． 综上知，当－3 2＜m＜3 2时，直线与Байду номын сангаас圆有两个公共点， 当 m＝±3 2时，直线与椭圆有且只有一个公共点， 当 m＜－3 2，或 m＞3 2时，直线与椭圆没有公共点．,
高中数学一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系
1．无 一个 两个 (1)①相交 ②相切 ③相离
(2)平行或重合 平行或重合
2．(1)－ba
c a
1＋k2|x1－x2|＝
1＋k2
b2－4ac
|a|
直线 y＝kx－k＋1 与椭圆x92＋y42＝1 的位置关系 是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
解：由于直线 y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1 过定点
圆锥曲线________．
(2)注意消元后非二次的情况，即当 a＝0 时，对应圆锥曲线只
可能是双曲线或抛物线．
当圆锥曲线是双曲线时，直线 l 与双曲线的渐近线的位置关 系是________；当圆锥曲线是抛物线时，直线 l 与抛物线的对称
轴的位置关系是________． (3)直线方程涉及斜率 k 要考虑其不存在的情形．
2．直线与圆锥曲线相交的弦长问题
(1)直线 l：y＝kx＋m 与二次曲线 C：f(x，y)＝0 交
于 A，B 两点，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由fy（＝xk，x＋y）m，＝0
得 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，则 x1＋x2＝________，x1x2＝
________
，
|AB|
由点 P(－12，y0)在线段 BB′上(B′，B 为直线 x＝－12与椭圆的交点，如
图所示)，所以 yB′＜y0＜yB，即－ 3＜y0＜ 3． 所以－3 4 3＜m＜3 4 3，又 k≠0，则 y0＝－2k≠0，从而有 m≠0． 故 m 的取值范围为(－3 4 3，0)∪(0，3 4 3)．
类型二 定点问题
抛物线 C 的顶点为原点，焦点在 x 轴上，直线
x－y＝0 与抛物线 C 交于 A，B 两点，若 P(1，1)为线
2020届高三数学文科一轮复习_第九章 解析几何课时作业9-8-1
过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公 共点：一条与对称轴平行或重合的直线．
题组一 常识题 1．(教材改编) 过原点的直线 l 被抛物线 x2＝4y 截得的线段 长为 4 2，则直线 l 的斜率为____________． 【解析】 设直线 l 的方程为 y＝kx，将其代入抛物线方程， 得 x2－4kx＝0，所以被截得的线段两端点的坐标分别为(0，0)， (4k，4k2)，所以 （4k）2＋（4k2）2＝4 2，解得 k＝±1.
π
π
所以∠SOT 最大值为 3 .综上所述：∠SOT 的最大值为 3 ，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
取得最大值时直线
l
的斜率为
k1＝±
2 2.
【反思归纳】
跟踪训练 1 已知椭圆 E 的中心在原点，焦点 F1，F2 在 y 轴 上，离心率等于23 2，P 是椭圆 E 上的点．以线段 PF1 为直径的 圆经过 F2，且 9P→F1·P→F2＝1.
y＝4k21x，
x2＝1＋8k421k12，y2＝1＋14k21，
因此|OC|＝ x2＋y2＝
11＋ ＋84kk2121.
由题意可知 sin 12∠SOT＝r＋r|OC|＝1＋1|OrC|，
而|OrC|＝2 3 2·
1＋8k21 1＋1＋k214k211＋8k12＝34 2·
2k21＋1
1＋14＋k212k121 ＋k21，
记直线BT的斜率为k1，且k1＞0，k1≠k.
则|BT|＝1＋8|k41|k21 1＋k12， 故1＋8|k41|k21 1＋k21＝1＋8|k4|k2 1＋k2， 所以 1k＋12＋4kk2141－ 1＋k2＋4kk24＝0. 即(1＋4k2) k21＋k41＝(1＋4k21) k2＋k4， 所以(k2－k21)(1＋k2＋k21－8k2k21)＝0.
题组一 常识题 1．(教材改编) 过原点的直线 l 被抛物线 x2＝4y 截得的线段 长为 4 2，则直线 l 的斜率为____________． 【解析】 设直线 l 的方程为 y＝kx，将其代入抛物线方程， 得 x2－4kx＝0，所以被截得的线段两端点的坐标分别为(0，0)， (4k，4k2)，所以 （4k）2＋（4k2）2＝4 2，解得 k＝±1.
π
π
所以∠SOT 最大值为 3 .综上所述：∠SOT 的最大值为 3 ，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
取得最大值时直线
l
的斜率为
k1＝±
2 2.
【反思归纳】
跟踪训练 1 已知椭圆 E 的中心在原点，焦点 F1，F2 在 y 轴 上，离心率等于23 2，P 是椭圆 E 上的点．以线段 PF1 为直径的 圆经过 F2，且 9P→F1·P→F2＝1.
y＝4k21x，
x2＝1＋8k421k12，y2＝1＋14k21，
因此|OC|＝ x2＋y2＝
11＋ ＋84kk2121.
由题意可知 sin 12∠SOT＝r＋r|OC|＝1＋1|OrC|，
而|OrC|＝2 3 2·
1＋8k21 1＋1＋k214k211＋8k12＝34 2·
2k21＋1
1＋14＋k212k121 ＋k21，
记直线BT的斜率为k1，且k1＞0，k1≠k.
则|BT|＝1＋8|k41|k21 1＋k12， 故1＋8|k41|k21 1＋k21＝1＋8|k4|k2 1＋k2， 所以 1k＋12＋4kk2141－ 1＋k2＋4kk24＝0. 即(1＋4k2) k21＋k41＝(1＋4k21) k2＋k4， 所以(k2－k21)(1＋k2＋k21－8k2k21)＝0.
第08讲 直线与圆锥曲线的位置关系(八大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)
2
2
2
【解析】当 ≥ 0时，曲线 −
= 1，即 − =
9
4
9
4
3
一条渐近线方程为： = 2 ，直线与渐近线平行；
当 <
2
0时，曲线
9
−
4
=
2
1，即
9
2
+
4
画出曲线和直线的图像，如图所示：
根据图像知有2个公共点．
故选：B
1，双曲线右半部分；
= 1，椭圆的左半部分；
）．
题型突破·考法探究
次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ > 0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ ＝ 0；
直线与圆锥曲线相离⇔Δ < 0.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点.
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点.
知识梳理·基础回归
知识点2：弦长公式
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
是，则弦的中点轨迹方程是
．
【答案】 = 2 2 − 7 −2或 4
【解析】设 1 , 1 、 2 , 2 ，中点 , ，
则1 + 2 = 2．
∵ : − 1 − + 5 = 0，∴ 过定点 1, −5 ，
+5
∴ = =
（3）了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质．
（4）通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．
02
稿定PPT
稿定PPT，海量素材持续更
新，上千款模板选择总有一
款适合你
03
知识梳理·基础回归
2
2
【解析】当 ≥ 0时，曲线 −
= 1，即 − =
9
4
9
4
3
一条渐近线方程为： = 2 ，直线与渐近线平行；
当 <
2
0时，曲线
9
−
4
=
2
1，即
9
2
+
4
画出曲线和直线的图像，如图所示：
根据图像知有2个公共点．
故选：B
1，双曲线右半部分；
= 1，椭圆的左半部分；
）．
题型突破·考法探究
次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ > 0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ ＝ 0；
直线与圆锥曲线相离⇔Δ < 0.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点.
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点.
知识梳理·基础回归
知识点2：弦长公式
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
是，则弦的中点轨迹方程是
．
【答案】 = 2 2 − 7 −2或 4
【解析】设 1 , 1 、 2 , 2 ，中点 , ，
则1 + 2 = 2．
∵ : − 1 − + 5 = 0，∴ 过定点 1, −5 ，
+5
∴ = =
（3）了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质．
（4）通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．
02
稿定PPT
稿定PPT，海量素材持续更
新，上千款模板选择总有一
款适合你
03
知识梳理·基础回归
人教a版高考数学(理)一轮课件：9.9直线与圆锥曲线的位置关系
第 9 讲 直线与圆锥曲线的位置关 系
考纲展示
1.了 解 圆锥 曲 线 的实际背景 , 了解 圆锥曲线在刻画 现实世界和解决 实际问题中的作 用. 2.理 解 数形 结 合 的思想. 3.了 解 圆锥 曲 线 的简单应用.
ห้องสมุดไป่ตู้
考纲解读
从近两年的高考试题来看, 直线与圆锥曲线的位置关系、弦 长、中点弦的问题等是高考的热点问题 , 题型既有选择题、 填空题, 又有解答题, 难度属中等偏高. 客观题主要考查直线与 圆锥曲线的位置关系、弦长问题,解答题考查较为全面,在考 查上述问题的同时 , 注重考查函数与方程、转化与化归、分 类讨论等思想方法.
������2 ������ 2 【解】(1)设双曲线方程为 2 − 2 =1(a>0,b>0), ������ ������
由已知得 a= 3,c=2.∴ b=1.
������2 2 故所求双曲线方程为 -y =1. 3
(2)将 y=kx+
������2 2 2代入 -y =1, 3
可得 (1-3k 2)x2-6 2kx-9=0, 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 1-3������ 2 ≠ 0, ������ = (-6 2k)2 + 36(1-3������ 2 ) = 36(1- ������ 2 ) > 0, 故 k2≠ 且 k 2<1.①
4 .圆锥曲线的定值、最值、存在性问题很大一部分是利用等价转化思 想求有关圆锥曲线问题中参数的取值范围,常用的处理方法有: (1)不等式(组)的知识.根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不 等式(组),通过解不等式(组)得出参数的变化范围; (2)转化为求函数的值域.把所讨论的参数作为一个变量,另一个适当的 参数作为自变量来表示这个变量,从而建立函数关系,再通过讨论函数的值 域求出参数的变化范围.
考纲展示
1.了 解 圆锥 曲 线 的实际背景 , 了解 圆锥曲线在刻画 现实世界和解决 实际问题中的作 用. 2.理 解 数形 结 合 的思想. 3.了 解 圆锥 曲 线 的简单应用.
ห้องสมุดไป่ตู้
考纲解读
从近两年的高考试题来看, 直线与圆锥曲线的位置关系、弦 长、中点弦的问题等是高考的热点问题 , 题型既有选择题、 填空题, 又有解答题, 难度属中等偏高. 客观题主要考查直线与 圆锥曲线的位置关系、弦长问题,解答题考查较为全面,在考 查上述问题的同时 , 注重考查函数与方程、转化与化归、分 类讨论等思想方法.
������2 ������ 2 【解】(1)设双曲线方程为 2 − 2 =1(a>0,b>0), ������ ������
由已知得 a= 3,c=2.∴ b=1.
������2 2 故所求双曲线方程为 -y =1. 3
(2)将 y=kx+
������2 2 2代入 -y =1, 3
可得 (1-3k 2)x2-6 2kx-9=0, 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 1-3������ 2 ≠ 0, ������ = (-6 2k)2 + 36(1-3������ 2 ) = 36(1- ������ 2 ) > 0, 故 k2≠ 且 k 2<1.①
4 .圆锥曲线的定值、最值、存在性问题很大一部分是利用等价转化思 想求有关圆锥曲线问题中参数的取值范围,常用的处理方法有: (1)不等式(组)的知识.根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不 等式(组),通过解不等式(组)得出参数的变化范围; (2)转化为求函数的值域.把所讨论的参数作为一个变量,另一个适当的 参数作为自变量来表示这个变量,从而建立函数关系,再通过讨论函数的值 域求出参数的变化范围.
第08讲 直线与圆锥曲线的位置关系讲义——2024届高三数学一轮复习
第08讲 直线与圆锥曲线的位置关系【必备知识】1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0．方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解 l 与C 1的交点 a ＝0b ＝0无解(含l 是双曲线的渐近线) 无公共点 b ≠0 有一解(含l 与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行)一个交点 a ≠0Δ>0两个不等的解 两个交点 Δ＝0 两个相等的解 一个交点 Δ<0无实数解无交点关系．2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则ak y y k x x k AB ∆+=-+=-+=22121221111 3、常用结论：圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率如下表：圆锥曲线方程 直线斜率 椭圆：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)k ＝－b 2x 0a 2y 0双曲线：x 2a 2 －y 2b2 ＝1(a >0，b >0)k ＝b 2x 0a 2y 0 抛物线：y 2＝2px (p >0)k ＝p y 0考点22 直线与圆锥曲线的位置关系【常用方法】研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数．对于过定点的直线常考虑定点与圆锥曲线的位置关系，进而判断直线与圆锥曲线的位置关系．注意：(1)在没有给出直线方程时，要对直线斜率不存在的情况进行讨论，避免漏解；(2)对于选择题、填空题，常根据几何条件，利用数形结合的方法求解．注：(1)研究直线与圆的位置关系，只需抓住圆心到直线的距离与半径的关系；(2)当直线过定点时，注意定点与圆锥曲线的位置关系；(3)注意“直线与抛物线只有一个交点”与“直线与抛物线相切”的区别 【典例分析22】1．直线y ＝2x －1与椭圆x 29 ＋y 24 ＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定2．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1．若l 与C 有两个不同的交点，则实数k 的取值范围为________．考点23 弦长问题【常用方法】处理弦长问题的两个注意点(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形，若k 不存在时，可直接求交点坐标再求弦长．设斜率为k 的直线l 交圆锥曲线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：ak y y k x x k AB ∆+=-+=-+=22121221111解法要点“设而不求，整体代入”． (2)求圆、过抛物线焦点的弦长注意圆、抛物线的特性，一般不用联立直线与曲线方程 【典例分析23】1、已知斜率为2的直线经过椭圆x 25 ＋y 24 ＝1的右焦点F ，与椭圆相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为______________．2、已知M (－2，0)，N (2，0)，动点P 满足：直线PM 与直线PN 的斜率之积为常数－12.设动点P的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线与y 轴交于点)21,0(，点O 为坐标原点，OA →·OB→＝0，求|AB |.考点24 中点弦问题【常用方法】1．用“点差法”求解中点弦问题的步骤(1)设点：设出弦的两端点坐标． (2)代入：代入圆锥曲线方程．(3)作差：两式相减，再用平方差公式把上式展开． (4)整理：转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解． 2．解有关中点弦问题的注意点对于中点弦问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ>0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交． 【典例分析24】1、过椭圆x 216 ＋y 24 ＝1内一点P (3，1)，且被点P 平分的弦所在直线的方程是( )A ．4x ＋3y －13＝0B ．3x ＋4y －13＝0C ．4x －3y ＋5＝0D ．3x －4y ＋5＝02、已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a >0，b >0)，F (5，0)为该双曲线的右焦点，过F 的直线交该双曲线于A ，B两点，且AB 的中点为M (－457 ，－807)，则该双曲线的方程为________________．。
[精]高三第一轮复习全套课件8圆锥曲线方程：直线与圆锥曲线的位置关系
![[精]高三第一轮复习全套课件8圆锥曲线方程：直线与圆锥曲线的位置关系](https://img.taocdn.com/s3/m/640cedc3bb4cf7ec4afed042.png)
【复习目标】
1.在计算直线与圆锥曲线相交弦长或弦中点等相 关问题时,能够运用一元二次方程根与系数的关 系简化运算,如在计算相交弦长可运用弦长公式
AB
AB
1 k x1 x2 4 x1 x2
2 2
或
(其中k为直线的斜率)
1 2 y y 4 y y 2 1 2 1 2 1 k
解方 程
计算判 别式
交 点 个 数
位 置 关 系
判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式 >0 相交 =0 相切 <0 相离
直线与抛物线 把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
y 4 x 是________或________ y 12 x
2
2
3.设双曲线 2 x 3 y 6 的一条弦AB(A,B两点 在双曲线的同一支上)被直线y=kx平分,则AB所在 2 直线的斜率为_________
2 2
3k
4.设椭圆的中心在原点,一个焦点是F 0, 5 2 ,椭圆 截直线y=3x-2所得弦的中点的横坐标为0.5,则椭圆
(2)若l与双曲线C的左，右两支分别交于D,E, 求双曲线C的离心率e的取值范围.
e 2
1.若抛物线y ax
2. 已知椭圆C:
l1 : x a y b 1
【巩固练习】
2
1 上总存在关于直线x+y=0
y 1(a b 0) , 直线
2
3 , 对称的两点,则实数a的取值范围是__________. 4 2 2
1.在计算直线与圆锥曲线相交弦长或弦中点等相 关问题时,能够运用一元二次方程根与系数的关 系简化运算,如在计算相交弦长可运用弦长公式
AB
AB
1 k x1 x2 4 x1 x2
2 2
或
(其中k为直线的斜率)
1 2 y y 4 y y 2 1 2 1 2 1 k
解方 程
计算判 别式
交 点 个 数
位 置 关 系
判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式 >0 相交 =0 相切 <0 相离
直线与抛物线 把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
y 4 x 是________或________ y 12 x
2
2
3.设双曲线 2 x 3 y 6 的一条弦AB(A,B两点 在双曲线的同一支上)被直线y=kx平分,则AB所在 2 直线的斜率为_________
2 2
3k
4.设椭圆的中心在原点,一个焦点是F 0, 5 2 ,椭圆 截直线y=3x-2所得弦的中点的横坐标为0.5,则椭圆
(2)若l与双曲线C的左，右两支分别交于D,E, 求双曲线C的离心率e的取值范围.
e 2
1.若抛物线y ax
2. 已知椭圆C:
l1 : x a y b 1
【巩固练习】
2
1 上总存在关于直线x+y=0
y 1(a b 0) , 直线
2
3 , 对称的两点,则实数a的取值范围是__________. 4 2 2
高三理科数学一轮复习 第八章 解析几何 第八节 直线与圆锥曲线的位置关系课件
B.2
C.3
D.4
2.C
【解析】由题意知直线 AB 的方程为 y=
3
������-
������ 2
, 即为������ =
������ 3
+
������ 2
,
代入抛物线方程整理得
3������2 −
2������������ −
3������2 = 0, 解得������������ =
3������, ������������
7
8
9
10
11
直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法以及注意点 (1)判定方法:一般是代数法,即将直线方程代入圆锥曲线方程,消去一个变量得到关于另一个变量的方程,进 而判定该方程解的个数,方程组有几组解,直线与圆锥曲线就有几个交点.
(2)注意点:①联立直线与圆锥曲线的方程消元后,应注意讨论二次项系数是否为零的情况; ②判别式的作用是限定所给参数的范围,以此为依据确定哪些根是增根,从而判断取舍.
典例1 (2015·四川高考)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段
AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是 ( )
A.(1,3) B.(1,4)
C.(2,3)
D.(2,4)
【解题思路】由抛物线与圆的对称性知,满足条件的直线如图所示,其中 两条是与x轴垂直的直线l1,l2,另两条直线为图中的l3,l4.当存在l1,l2使其满 足条件时,则有0<r<5.当存在l3,l4使其满足条件时,设其方程为 y=kx+m(k≠0),代入y2=4x,得k2x2+(2km-4)x+m2=0,则Δ=(2km-4)2-4k2m2>0,所 以km<1 ①.设A(x1,y1),B(x2,y2),
高考数学一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系课件理
4．椭圆 ax2＋by2＝1 与直线 y＝1－x 交于 A、B 两点，若
过原点与线段 AB 中点的直线的倾斜角为 30°，则ab的值为( )
3
3
A. 4 B. 3
3 C. 2 D. 3
解析：设 AB 的中点为 M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2, y2)，
由点差法得yx11－ －yx22＝－abxy00＝－1，
解析：方法 1：设以 Q 为中点的弦 AB 端点坐标为 A(x1， y1)，B(x2，y2)，则有 y12＝8x1，y22＝8x2，
两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)． 又 x1＋x2＝8，y1＋y2＝2， 则 k＝xy22－－xy11＝y1＋8 y2＝4，
∴所求直线 AB 的方程为 y－1＝4(x－4)， 即 4x－y－15＝0. 方法 2：设弦 AB 所在的直线方程为 y＝k(x－4)＋1，
由yy＝ 2＝k8xx－4＋1， 消去 x 整理，得 ky2－8y－32k＋8＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由韦达定理得 y1＋y2＝8k. 又∵Q 是 AB 中点，∴y1＋2 y2＝1，
∴8k＝2，∴k＝4. ∴弦 AB 所在直线方程为 4x－y－15＝0.
点评：有关弦中点轨迹、中点弦所在直线的方程，中点坐 标的问题，有时采用“平方差”法，可优化解题方法，简化运 算．
＝2 5m＋20.
(3)设线段 AB 中点坐标为(x，y)，则 x＝x1＋2 x2＝－2， y＝y1＋2 y2＝2x1＋2 x2＝－4. ∴AB 中点坐标为(－2，－4).
题型三 圆锥曲线的中点弦问题 例 3 过点 Q(4,1)作抛物线 y2＝8x 的弦 AB，恰被 Q 所平分， 求 AB 所在直线的方程．
高三数学一轮复习 第8章 第8课时 直线与圆锥曲线的位置关系课件 文 新人教版A
故椭圆方程为x42＋y32＝1.
精选ppt
16
考点突破 题型透析
考点一 直线与圆锥曲线位置关系的确定
(2)证明：直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点． (2)证明：直线 PQ 的方程为bay2－－22aa＝－x－c－aca2c2，
即 y＝acx＋a. 将上式代入ax22＋by22＝1 得 x2＋2cx＋c2＝0， 解得 x＝－c，y＝ba2. 所以直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点．
精选ppt
11
考点突破 题型透析
考点一 直线与圆锥曲线位置关系的确定
{突破点} 直线与圆锥曲线位置和它们的交点个数的关系 直线与封闭曲线：圆、椭圆有一个交点、二个交点、无交点，分别对应 相切、相交、相离；但对于抛物线和双曲线就不成立；即讨论一元二次 方程解时要注意 x2 的系数是否为零．
精选ppt
精选ppt
3
教材梳理 基础自测
一、直线与圆锥曲线的位置关系
(1)当 a≠0 时，设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式为 Δ，则 Δ＞0⇔
直线与圆锥曲线 C相交 ； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线 C 相切 ； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线 C 相离 ．
(2)当 a＝0，b≠0 时，即得到一个一次方程，则直线 l 与圆锥曲线 C 相交， 且只有一个交点，此时，若 C 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线的位
置关系是平行 ；若 C 为抛物线，则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系 是平行 ．
精选ppt
4
教材梳理 基础自测
一、直线与圆锥曲线的位置关系
[自测 1] (教材改编)直线 y＝kx－k＋1 与椭圆x92＋y42＝1 的位置关系为
()
A．相交
B．相切
直线与圆锥曲线的位置关系课件-2024届高考数学一轮复习
为 y 0 y ＝ p （ x 0＋ x ） .
2
2
2. 椭圆 E ： 2 ＋ 2 ＝1（ a ＞ b ＞0）的左焦点为 F ， P 为椭圆上一点，
直线 PF 的倾斜角为θ.当点 P 在 x 轴上方时，｜ PF ｜＝
；当
−
点 P 在 x 轴下方时，｜ PF ｜＝
＋
得 y 2－8 ty ＋16＝0.由Δ＝（－8 t ）2－64＜0，得 t 2＜1.联立
＝ − ，
消去 x 、整理，得（ t 2＋2） y 2－4 ty －4＝0.设 A （ x 1， yຫໍສະໝຸດ ＋ = ，
1），B'（ x 2， y 2），则 y 1＋ y 2＝ + ， y 1 y 2＝－ + .所以｜AB'｜＝
＋
= ，
消去 y 、整理，
得（3＋4 k 2） x 2－8 k 2 x ＋4 k 2－12＝0.所以 x 1＋ x 2＝
， x 1 x 2＝
+
+）
−
（
+ ｜ x － x ｜＝
.所以｜
AB
｜＝
.同理，可得｜
1
2
+
+
+
（ +）
的离心率为（ C ）
A. 3
B.
6
2
C.
21
3
D. 7
返回目录
4. （多选）（RA选一P136练习第4题改编）已知抛物线 C ： y 2＝2 px
（ p ＞0）与圆 O ： x 2＋ y 2＝5交于 A ， B 两点，且｜ AB ｜＝4，直线 l 过
2
2
2. 椭圆 E ： 2 ＋ 2 ＝1（ a ＞ b ＞0）的左焦点为 F ， P 为椭圆上一点，
直线 PF 的倾斜角为θ.当点 P 在 x 轴上方时，｜ PF ｜＝
；当
−
点 P 在 x 轴下方时，｜ PF ｜＝
＋
得 y 2－8 ty ＋16＝0.由Δ＝（－8 t ）2－64＜0，得 t 2＜1.联立
＝ − ，
消去 x 、整理，得（ t 2＋2） y 2－4 ty －4＝0.设 A （ x 1， yຫໍສະໝຸດ ＋ = ，
1），B'（ x 2， y 2），则 y 1＋ y 2＝ + ， y 1 y 2＝－ + .所以｜AB'｜＝
＋
= ，
消去 y 、整理，
得（3＋4 k 2） x 2－8 k 2 x ＋4 k 2－12＝0.所以 x 1＋ x 2＝
， x 1 x 2＝
+
+）
−
（
+ ｜ x － x ｜＝
.所以｜
AB
｜＝
.同理，可得｜
1
2
+
+
+
（ +）
的离心率为（ C ）
A. 3
B.
6
2
C.
21
3
D. 7
返回目录
4. （多选）（RA选一P136练习第4题改编）已知抛物线 C ： y 2＝2 px
（ p ＞0）与圆 O ： x 2＋ y 2＝5交于 A ， B 两点，且｜ AB ｜＝4，直线 l 过
85-直线与圆锥曲线的位置关系省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
2
【分析】(1)因为直线过定点M,能够用点斜式设出直线方程, 联立椭圆方程,构成方程组,然后消元得到有关x旳一元二次 方程,利用根与系数旳关系及中点坐标公式,求得直线旳斜
高考第一轮复习用书·数学(理科)
第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系
率,从而得所求旳直线方程.本题也能够用点差法来进行求 解,即设出弦两个端点旳坐标(x1,y1),(x2,y2),将这两点代入椭圆 旳方程,并对所得两式作差,得到一种弦旳中点坐标与弦所在 直线旳斜率有关旳式子,进而求得斜率,再用点斜式得到所求 直线旳方程.
高考第一轮复习用书·数学(理科)
第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系
变式训练1 (1)已知双曲线旳方程为x2- y2 =1,若过点P(1,1)旳
4
直线l与双曲线只有一种公共点,则直线旳条数为 ( )
(A)4. (B)3. (C)2. (D)1.
(2)直线y=kx+2与椭圆 x2 + y2 =1至多一种交点旳充要条件是
高考第一轮复习用书·数学(理科)
第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系
(2)求出抛物线旳焦点,设出直线方程,再联立方程组消元,然 后根据根与系数之间旳关系求解;
(3)数形结合,比较直线斜率k与渐近线旳斜率来建立a,b,k与e
之间旳不等关系即可求解.
【解析】(1)直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1,1),且定点在椭
(2)在抛物线y=x2上存在两个不同旳点M、N有关直线y=-kx+
9 2
对称,则直线MN旳方程可设为y= 1k
x+b,代入抛物线方程中,
可知Δ>0,又线段MN旳中点在直线y=-kx+ 9上,由根与系数之
【分析】(1)因为直线过定点M,能够用点斜式设出直线方程, 联立椭圆方程,构成方程组,然后消元得到有关x旳一元二次 方程,利用根与系数旳关系及中点坐标公式,求得直线旳斜
高考第一轮复习用书·数学(理科)
第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系
率,从而得所求旳直线方程.本题也能够用点差法来进行求 解,即设出弦两个端点旳坐标(x1,y1),(x2,y2),将这两点代入椭圆 旳方程,并对所得两式作差,得到一种弦旳中点坐标与弦所在 直线旳斜率有关旳式子,进而求得斜率,再用点斜式得到所求 直线旳方程.
高考第一轮复习用书·数学(理科)
第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系
变式训练1 (1)已知双曲线旳方程为x2- y2 =1,若过点P(1,1)旳
4
直线l与双曲线只有一种公共点,则直线旳条数为 ( )
(A)4. (B)3. (C)2. (D)1.
(2)直线y=kx+2与椭圆 x2 + y2 =1至多一种交点旳充要条件是
高考第一轮复习用书·数学(理科)
第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系
(2)求出抛物线旳焦点,设出直线方程,再联立方程组消元,然 后根据根与系数之间旳关系求解;
(3)数形结合,比较直线斜率k与渐近线旳斜率来建立a,b,k与e
之间旳不等关系即可求解.
【解析】(1)直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1,1),且定点在椭
(2)在抛物线y=x2上存在两个不同旳点M、N有关直线y=-kx+
9 2
对称,则直线MN旳方程可设为y= 1k
x+b,代入抛物线方程中,
可知Δ>0,又线段MN旳中点在直线y=-kx+ 9上,由根与系数之
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第9章平面解析几何 第8节直线与圆锥曲线的位置关系
2 2
+
2 2
=1(a>b>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,弦的中点为
M(x0,y0),请你推出直线AB的斜率的表达式.
提示 因为点 A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上,所以
21 -22
①-②得 2
的斜率
+
21 -22
2 0
k=-2 .
2
综上可知,过点 M(0,-1)且与双曲线 4
2
− 9 =1 仅有一个公共点的直线共有 4 条.
[对点训练1](1)直线3x-4y=0与双曲线
A.0
B.1
解析 (方法一)由
2 2
9 16
2 2
−
9 16
C.2
= 1,
3-4 = 0,
=1的交点个数是( A )
D.3
2
消去 x,得 9
8
相交于A,B两点,则|AB|=
.
= -1,
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),联立 2 = 4,消去y,整理得x2-6x+1=0,则x1+x2=6.
因为直线y=x-1过抛物线焦点,所以|AB|=x1+x2+p=6+2=8.
题组三连线高考
8.(2023·新高考Ⅱ,5)已知椭圆
2 2
由直线 MN 与曲线 x +y =1(x>0)相切可得
2
2
||
=1,所以 m2=k2+1,
2 +1
= + ,
联立
2
3
+ 2 = 1,
消去 y,整理得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
，又AB的斜率是
－15－0 －12－3
＝1，所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝
9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线的标准方程是x42－y52＝1.
答案 B
5．(2011·泉州模拟)y＝kx＋2与y2＝8x有且仅有一个公共点，则
k的取值为________．
解析
由
y＝kx＋2， y2＝8x，
得ky2－8y＋16＝0，若k＝0，则y＝2；
设双曲线的标准方程为
x2 a2
－by22
＝1(a＞0，b＞0)，由题意
知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：
ax212－by212＝1， ax222－by222＝1，
两式作差得：
y1－y2 x1－x2
＝
b2x1＋x2 a2y1＋y2
＝
－12b2 －15a2
＝
4b2 5a2
【训练1】 若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则
基础梳理 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 Ax＋By＋C＝0(A、B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x， y)＝0，消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量 y)的一 元方程． 即AFxx＋，Byy＋＝C0，＝0， 消去 y 后得 ax2＋bx＋c＝0.
2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点 为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两 点所得的线段)，线段的长就是弦长．
(2)圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1， y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ x2－x12＋y2－y12 ＝ 1＋k2 |x1－x2| ＝ 1＋k12·|y1－y2|.(抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝si2np2θ， θ为弦AB所在直线的倾斜角)．
一种方法 点差法：线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点 坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然 后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点 弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问 题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式 Δ是否为正数．
第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系
【2013年高考会这样考】 1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联 立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想． 2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查 函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用． 【复习指导】 本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲 线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个 数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的 轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题．
一条规律 “联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范 围，曲线定义不能忘”．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆
x2 9
＋
y2 4
＝1
的位置关系为( )．
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
解析 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，而点(1,1)
3，长轴长为2 b2＋4＝2 7.
答案 C
4．(2012·成都月考)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的
焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－
12，－15)，则E的方程为( )．
A.x32－y62＝1
B.x42－y52＝1
C.x62－y32＝1
D.x52－y42＝1
解析
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则 Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交 ； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切 ； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 无公共点 ． (2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲 线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与 双曲线的渐近线的位置关系是 平行 ；若C为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是 平行 ．
解析 由题意得Q(－2,0)．设l的方程为y＝k(x＋2)，代入y2＝ 8x得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0，∴当k＝0时，直线l与抛物线恒 有一个交点；当k≠0时，Δ＝16(k2－2)2－16k4≥0，即k2≤1， ∴－1≤k≤1，且k≠0，综上－1≤k≤1. 答案 C
研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方 程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填 空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．
A．3 2 B．2 6
C．2 7 D．4 2
解析
根据题意设椭圆方程为
x2 b2＋4
＋
y2 b2
＝1(b＞0)，则将x＝－
3 y－4代入椭圆方程，得4(b2＋1)y2＋8 3 b2y－b4＋12b2＝0，
∵椭圆与直线x＋ 3y＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(8 3b2)2
－4×4(b2＋1)·(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)(b2－3)＝0，∴b2＝
若k≠0，则Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1.故k＝0或k＝1. 答案 0或1
考向一 直线与圆锥曲线的位置关系 【例1】►(2011·合肥模拟)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点 Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值 范围是( )． A.－12，12 B．[－2,2] C．[－1,1] D．[－4,4] [审题视点] 设直线l的方程，将其与抛物线方程联立，利用 Δ≥0解得．
在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
答案 A
2．(2012·泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线 只有一个公共点”的( )． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点． 答案 A
3．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋ 3 y＋4＝ 0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )．