2020高考数学一轮复习 9-8直线与圆锥曲线的位置关系课

一种方法 点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交 和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点 坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然 后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点 弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问 题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式 Δ是否为正数．
第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系
【2013年高考会这样考】 1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联 立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想． 2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查 函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用． 【复习指导】 本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲 线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个 数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的 轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题．
【训练1】 若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则
3，长轴长为2 b2＋4＝2 7.
答案 C
4．(2012·成都月考)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的
焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－
12，－15)，则E的方程为( )．
A.x32－y62＝1
B.x42－y52＝1
C.x62－y32＝1
D.x52－y42＝1
解析
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则 Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交 ； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切 ； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 无公共点 ． (2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲 线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与 双曲线的渐近线的位置关系是 平行 ；若C为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是 平行 ．
设双曲线的标准方程为
x2 a2
－by22
＝1(a＞0，b＞0)，由题意
知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：
ax212－by212＝1， ax222－by222＝1，
两式作差得：
y1－y2 x1－x2
＝
b2x1＋x2Fra Baidu biblioteka2y1＋y2
＝
－12b2 －15a2
＝
4b2 5a2
基础梳理 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 Ax＋By＋C＝0(A、B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x， y)＝0，消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量 y)的一 元方程． 即AFxx＋，Byy＋＝C0，＝0， 消去 y 后得 ax2＋bx＋c＝0.
A．3 2 B．2 6
C．2 7 D．4 2
解析
根据题意设椭圆方程为
x2 b2＋4
＋
y2 b2
＝1(b＞0)，则将x＝－
3 y－4代入椭圆方程，得4(b2＋1)y2＋8 3 b2y－b4＋12b2＝0，
∵椭圆与直线x＋ 3y＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(8 3b2)2
－4×4(b2＋1)·(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)(b2－3)＝0，∴b2＝
解析 由题意得Q(－2,0)．设l的方程为y＝k(x＋2)，代入y2＝ 8x得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0，∴当k＝0时，直线l与抛物线恒 有一个交点；当k≠0时，Δ＝16(k2－2)2－16k4≥0，即k2≤1， ∴－1≤k≤1，且k≠0，综上－1≤k≤1. 答案 C
研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方 程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填 空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．
在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
答案 A
2．(2012·泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线 只有一个公共点”的( )． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点． 答案 A
3．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋ 3 y＋4＝ 0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )．
若k≠0，则Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1.故k＝0或k＝1. 答案 0或1
考向一 直线与圆锥曲线的位置关系 【例1】►(2011·合肥模拟)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点 Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值 范围是( )． A.－12，12 B．[－2,2] C．[－1,1] D．[－4,4] [审题视点] 设直线l的方程，将其与抛物线方程联立，利用 Δ≥0解得．
2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点 为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两 点所得的线段)，线段的长就是弦长．
(2)圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1， y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ x2－x12＋y2－y12 ＝ 1＋k2 |x1－x2| ＝ 1＋k12·|y1－y2|.(抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝si2np2θ， θ为弦AB所在直线的倾斜角)．
一条规律 “联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范 围，曲线定义不能忘”．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆
x2 9
＋
y2 4
＝1
的位置关系为( )．
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
解析 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，而点(1,1)
，又AB的斜率是
－15－0 －12－3
＝1，所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝
9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线的标准方程是x42－y52＝1.
答案 B
5．(2011·泉州模拟)y＝kx＋2与y2＝8x有且仅有一个公共点，则
k的取值为________．
解析
由
y＝kx＋2， y2＝8x，
得ky2－8y＋16＝0，若k＝0，则y＝2；