1、相交线(对顶角、垂线)

学生姓名： 年级：七年级 科目：数学 授课教师：贺琴 授课时间： 学生签字：
相交线
知识点一、余角、补角
注意：对个数有限制，对位置没有要求
（1）若两角之和为90°，则这两个角互为余角
互为余角的有关性质：
①∠1＋∠2＝90°，则∠1、∠2互余；反过来，若∠1，∠2互余，则∠1+∠2＝90°； ②同角或等角的余角相等，如果∠l 十∠2＝90°，∠1+∠ 3＝90°，则∠2＝∠3.
（2）若两角之和为180°，则这两个角互为补角
互为补角的有关性质：
① 若∠A +∠B ＝180°，则∠A 、∠B 互补；反过来，若∠A 、∠B 互补，则∠A +∠B ＝180°. ②同角或等角的补角相等.如果∠A +∠C ＝180°，∠A +∠B ＝180°，则∠B ＝∠C .
（3）同角的余角（补角）相等；
1、如果一个角是36°，那么下列说法中正确的是（ ）
A 、它的余角是64°
B 、它的补角是64°
C 、它的余角是144°
D 、它的补角是144°
2、如图，已知点O 是直线AB 上一点，C O ⊥AB ，∠EOD=90°，那么图中互余的角有（ ）
A 、1对
B 、2对
C 、3对
D 、4对
3、如图，∠BOC=∠AOM=∠AON=90°，则图中∠1的余角有哪些？∠1与∠3
有什么关系？∠3的补角有哪些？
4
321
M
N
C B
4、如图，已知∠AOC 和∠BOD 都是直角，∠BOC=51°
（1） 求∠AOB 、∠DOC 和∠AOD 的度数
（2） ∠AOB 与∠DOC 有何大小关系？ （3） 若∠BOC 的具体度数不确定，其他条件不变，（2）中的关系仍然成立吗？
试说明理由
知识点二、对顶角及其性质 （1）认识对顶角
对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线.
1、图中，∠∠1
2、是对顶角的为（ ）
1 2 A
B C D
1
2
1
1
2
2
2、判断下列图中，∠1，∠2是否是对顶角：
3、判断下列图形中，有没有对顶角，若有，是哪两个角？
1.
4 1 3
25
2.
1 4 8 7
2
3 5 6
9 12 10 11
3.
1 2
3 4 7 5 6
D
B
C
O A
4.
1
2
5.
1 4
2 3
4、判断题，对的打“√”，错的打“×”。

1、顶点相对的角是对顶角。

（ ）
2、有公共顶点并且相等的两个角是对顶角。

（ ）
3、两条直线相交，有公共顶点的角是对顶角。

（ ）
4、两条直线相交，有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角。

（ ）
（2）对顶角的性质：对顶角相等
1、如图，直线AB 、CD 、EF 都经过O 点，并且已知∠=︒∠=︒AOC COE 3546，，则∠=EOB __________，∠=BOC _________，∠=DOF ________，∠=FOA ______。

A F
C O
D
E B
2、如图，三条直线l l l 123，，相交于点O ，则∠+∠+∠=123（ ） A. 90︒
B. 120︒
C. 180︒
D. 360︒
1 O 3
2 l 1 l 2 l 3
3、已知：直线AD 、BC 交于O 点，∠+∠=︒AOB COD 110，求：∠COD 的度数。

A
B O C
D
4、已知：如图直线AB 与CD 交于O 点，∠-∠=︒3180，求：∠2的度数。

A
4 D 2 1
C 3
B
O
5、如图，直线AB ，CD 相交于O 点，∠AOC=2∠COB ，OE 平分∠DOB ，则∠DOE= 度。

6、已知：直线AB 、EF 相交于O 点，CD AB ⊥于O 点，∠=︒'EOD 12819，
求AOF BOF ∠∠、 C
E
A O B
F
7、如图，直线AB ，CD ，EF 相交于O 点，已知∠AOE=20°，∠DOB=52°，OG 平分∠COF ，求∠EOG 的度数。

8、如图，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，∠DOB 是它的余角的2倍，∠=∠AOE DOF 2，且有OG OA ⊥，求∠EOG 的度数。

A
D E O F C
G B
（3）两两相交分类法求对顶角的对数
1、三条直线相交于一点，所成的对顶角的对数是（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
分析:根据对顶角的定义可知，任意两条直线相交，可以得到2对对顶角，所以可以从两直线相交上分类寻找对顶角的对数。

（1）直线AB、CD相交于点O，得到∠AOC与∠BOD、∠BOC与∠AOD两对对顶角。

（2）直线AB、EF相交于点O，得到∠AOE与∠BOF、∠AOF与∠EOB两对对顶角。

（3）直线EF、CD相交于点O，得到∠EOC与∠DOF、∠EOD与∠COF两对对顶角。

综上可知，图中共有2×3＝6对对顶角。

点评：通过这道题，我们不难发现每组（两条相交直线）都存在2对对顶角，所以，三条直线交同一点，所构成的对顶角的对数为2×3＝6（对）。

推广： n条直线相交于同一点，有（n-1）+（n-2）+……+3+2+1组两两相交的直线，即n（n-1）对对顶角。

2、如图，图中共有对对顶角。

3、如图，直线AB，CD，EF相交，则图中共有对对顶角。

4、试探索当有100条直线相交于一点时，可得到几对对顶角？
5、如图，已知B点是∠DAE的AD边上任意一点，过点B作直线MN交AE于C，交AD于B，且∠1=∠2，则图中对顶角有对，与∠1（不包括∠1）相等的角有个。

分别是：。

⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角 ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。

⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。

知识点三、垂线及其性质、画法 （1）垂直的概念
当两条直线相交所成的角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直.如图，AB 与CD 相交于O ，当交角为90°时，称AB 与CD 垂直，记作AB ⊥CD 于O . 其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
D
A
C
O
B
（2）垂直的性质
垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简称：垂线段最短。

1、指出下面各图中的垂直关系：
(1) 如图1，已知∠C=90° （2）如图2，已知∠A=90°,∠1与∠2互余
2、写出下面图形所有直角：
(1) ∠1与∠2互余,AB ⊥CD. (2) OC ⊥AD 。

（3）垂线的画法
⑴过直线上一点画已知直线的垂线； ⑵过直线外一点画已知直线的垂线。

注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；
②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。

1、如图，过一点P 画出线段AB 或射线AB 的垂线.
A
C
D
A
C
2
1B D
A
C
2
1
B
D
A
C O
B
B
2、如图，画AD⊥BC于D，CE⊥AB于E.
3、过P点，画出OA、OB的垂线或画出AB、CD的垂线。

2.
3. B
A P
C D
4. A
P
B
O
（4）垂线段的概念及其性质
从直线外一点到这条直线所引的直线中，点与垂足之间的线段叫做垂线段。

直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段最短。

（5）点到直线距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.
P
A
C
B
P
4 3 2 1
5 6
l
四、各概念之间的区别与联系
⑴垂线与垂线段
区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。

联系：具有垂直于已知直线的共同特征。

(垂直的性质)
⑵两点间距离与点到直线的距离
区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。

联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。

⑶线段与距离
距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。

1、判断下列语句是否正确：
（1）直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；
（2）直线外一点到这条直线的线段叫做点到直线的距离；
（3）直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；
（4）直线外一点到这条直线的线段的长度叫做点到直线的距离。

2、判断下列语句是正确：
（1）过一点画线段或射线的垂线，垂足不一定在线段或射线上；
（2）作已知直线的垂线，有且只有一条.
（3）直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离.
（4）两条直线相交所成的四个角中，如果一对邻补角相等，那么这两条直线垂直.
3、点到直线的距离是指这点到这条直线的（）
A. 垂线段
B. 垂线的长
C. 长度
D. 垂线段的长度
4、直线外________与直线上各点连接的所有线段中，垂线段________.
5、定点P在直线外，动点O在直线AB上运动，当线段PO最短时，∠POA=________度.这时，点P到直线AB的距离是线段________的长度.
6、如图，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，小明、小颖、小涵三人各抒己见，你认为哪个说法正确？
小明说：B D 、DC 、AD 分别表示点A 到BC 、点D 到AC 、AB 的距离. 小颖说：DA 、DE 、DF 分别表示点A 到BC 、点D 到AC 、AB 的距离. 小涵说：DA 、DE 、DF 的长度分别表示点A 到BC ，点D 到AC 、AB 的距离.
7、如图，CD ⊥AB ，CD=DB ，DB=3㎝，求： ①C 到AB 的距离； ②∠ADC=？，∠BDC=？
8、已知：A B ⊥CD 于O 点，直线EF 过O 点，∠EOC=15°，求∠BOF 的度数.
9、如图，直线AB 、CD 、EF 相交于O ，且AB CD ⊥，∠=︒127. 则∠=2_________，∠=FOB ___________。

C
E
A 2 O B
1 F
D
10、如图：CD AB ⊥于D ，∠=∠23，则∠1__________∠4。

23
A D B
14
D A C
B
11、已知：如图，CD AB ⊥于D ，∠=︒130，则∠=FDB ________，∠=ADE ______，∠=BDE __________。

C
F 1
A D
B E
12、将一张长方形的白纸，按如图所示折叠，使D 到D′，E 到E′处，并且BD′与BE′在同一条直线上，那么AB 与BC 的位置关系是_________.
13、如图，107国道a 上有一出口M ，现想在附近公路b 旁建一个加油站，欲使通道长最短，应沿怎样的线路施工？
14、如图，在河岸l 的同侧有一村庄A 和自来水厂B 。

现要在河岸l 上建立一抽水站D ，将河中的水输送到自来水厂后，再送往A 村，为了节省资金，所铺设的水管应尽可能的短。

问抽水站D 应建在何处，应沿怎样的路线来铺设水管?在图中画出来.
15、如图，计划把池中的水引到C 处，可过点C 作CD ⊥AB 于D ，然后沿CD 开渠，可使所开的渠道最短.这种设计的依据是________.
16、汽车在直线形的公路上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的两个学校。

(1)汽车行驶时，会对公路两旁的学校都造成一定的影响，当汽车行驶到何处时，分别对
两个学校影响最大？在图中标出来；
(2)当汽车从A向B行驶时，在哪一段上对两个学校影响越来越大？越来越小？对M学
校影响逐渐减小而对N学校影响逐渐增大？
【随堂练习】
1、我们知道，“两点之间线段最短”，“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直段最短”.在此基础上，人们定义了点到点的距离、点到直线的距离，类似地，若点P是O 外一点(如图5-40)，则点P与O的距离应定义为( )
A.线段PO的长度
B.线段PA的长度
C.线段PB的长度
D.线段PC的长度
2、如图所示的长方体中，和平面AC垂直的棱有( )
A.2条
B.4条
C.6条
D.8条
3、如图，已知直线AD、BE、CF相交于O，OG⊥AD，且∠BOC=35°，∠FOG=30°，则∠DOE=___________.
4、如图，∠α与∠β有公共顶点，且∠α两边与∠β的两边互相垂直，∠α=7
5
∠β.试求∠α，∠β的度数.
5、如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，则AB 、AC 、CD 之间的大小关系是_______________________(用“＜”号连接起来).
6、直线l 上有A 、B 、C 三点，直线l 外有点P ，若PA=5 cm ，PB=3 cm ，PC=2 cm,那么点P 到直线l 的距离_________(用不等式表示).
7、已知：OA OC AOB AOC ⊥∠∠=，：：23，则∠BOC 的度数为（ ）
A. 30︒
B. 150︒
C. 30150︒︒或
D. 不同于以上答案
8、已知：如图，AO BO ⊥∠=∠，12.求证：CO DO ⊥.
B
C D
2 3 1
O A
证明： AO BO ⊥（ ） ∴∠=︒AOB 90（ ）
∴∠+∠=︒1390 ∠=∠12（
）
∴∠+∠=︒
2390
∴⊥
CO DO（）
13。

求证：A、O、B三点在同一条直线上。

9、已知：如图，COD是直线，∠=∠
A
C
1
2 O
3
D
B
证明： COD是一条直线（）
12___________（）
∴∠+∠=
13（）
∠=∠
3__________
∴__________+∠=
∴_______________（）
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。