CAD、CAM复习题参考题

CAD复习资料
一插值与拟合（共30分）
已知下图中三个数据点（1,10）、（3,1）、（5，-1）求解下列问题：
⑴对三个数据点进行线性拟合，并计算X=2和x=4所对应的y值。

（10分）
解：设该线性拟合函数为y=kx+b，
因为线性拟合函数的要求为该函数与已知点集的纵向平方差（标准差）最小，所以：当x=1时，有y1=k×1+b=k+b
当x=3时, 有y2=k×3+b=3k+b
当x=5时, 有y3=k×5+b=5k+b
于是得到方差公式：
（y1-10）2+（y2-1）2+（y3-（-1））2=（k+b-10）2+（3k+b-1）2+（5k+b-（-1））2 即（y1-10）2+（y2-1）2+（y3+1）2=（k+b-10）2+（3k+b-1）2+（5k+b+1）2 要求其方差最小。

所以分别求k、b偏导，在其偏导数为0时有最小值。

b的偏导：2(k+b-10)+2(3k+b-1）+2（5k+b+1）18k+6b-20=0
k的偏导：2(k+b-10)+ 2×3(3k+b-1）+2×5（5k+b+1）
于是解得k= −11
4 b= 139
12
所以拟合函数为y= −11
4x+139
12
当x=2时 y=73
12当x=4时 y= 7
12
⑵对三个数据点进行二次插值，并计算X=2和x=4所对应的y值。

（10分）
解：设该二次插值函数为：y=ax2+bx+c,将（1,10）、（3,1）、（5，-1）得 10=a×12+b×1+c 10=a+b+c ①
1= a×32+b×3+c 1=9a+3b+c ②
-1= a×52+b×5+c -1=25a＋5b＋c ③
②-①得 8a+2b=-9 ④
③-②得16a+2b=-2 ⑤
⑤- ④得 8a=7 a=7
8
代入8a+2b=-9得 b=-8 ，解得c=137/8
方程y=7
8x²-8b＋137
8
当x=2时 y=37
8
当x=4时y=- 7
8
⑶在上图中画出⑴和⑵中的拟合和插值曲线（只需大概画出曲线的形状，
如果曲线穿过坐标点必须明确标识出）。

（5分）
⑷能否对利用方程y=ax3+bx2+cx+d或y=a(1
x
)+bx+c对已知数据点进行曲线拟合？
如果不能，请给出解释。

答： y=ax3+bx2+cx+d 不能，因为方程中有四个未知数，至少需要列四个方程才有可能求出四个未知数的解，列四个方程需要四个点的坐标。

所有不能。

y=a(1
x
)+bx+c 能
二、图形变换（共20分）
设有平面三角形abc，其中三点定点的坐标分别为a(7，5)、b（10，5）、c （7，7）。

将三角形abc绕A（6，4）点逆时针旋转90度，求变换后的a′b′c′的定点坐标。

P101
解：图形相对于任意一点作旋转变换，用三个变换矩阵复合而成：
⑴现将旋转中心移到坐标原点（平移）；⑵按要求的角度方向旋转（旋转）；
⑶将旋转后的图形平移到原来的旋转中心（平移）。

1 0 0 cos90° sin90° 0 1 0 0
复合变换矩阵T = 0 1 0 - sin90° cos90° 0 0 1 0
-6 -4 0 0 0 1 6 4 1
1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0
= 0 1 0 -1 0 0 0 1 0 = -1 0 0 0 1 0 -6 -4 1 0 0 1 6 4 1 4 -6 1 6 4 1
0 1 0
= -1 0 0
10 2 1
△abc通过了变换，到了△a′b′c′的位置。

即：
x a′ y a′ 1 x a y a 1 0 1 0
x b′ y b′ 1 = x b y b 1 -1 0 0
x c′ y c′ 1 x c y c 1 10 2 1
7 5 1 0 1 0 5 9 1
= 10 5 1 -1 0 0 = 5 12 1
7 7 1 10 2 1 3 9 1
变换后△a′b′c′的角点坐标：a′（5 ，9）、b′（5 ，12）、c′（3 ，9）
三概念题（共50分）
1、阐述线框建模、表面建模和实体建模的特点和区别。

（10分）
答：线框建模：优点：①信息最少，数据运算简单，②容易处理，绘图、显示快，③可表示零件各种投影视图；局限性：①不准确性：曲面体，物体的棱边不准确，②多义性：没有边与边的关系，会对物体形状判断产生多义性。

③描述的结构体无法进行消隐、干涉检查、物性计算，④无体的概念，不能计算物理特征。

表面建模：优点：①能较完整定义三维实体表面，②能生产逼真的彩色图像，③可以为有限元板壳分析及面加工提供模型；局限性：①无体的概念，无法表示零件立体属性，②不能表明相邻两面的拓扑关系。

实体建模：特点：①克服了线框建模存在二义性以及曲面建模容易丢失面信息等缺陷；②可以自动进行真实感图像的生成和物体间的干涉检查；③产品设计、分析和制造工序所需要的关于物体几何描述方面的数据可从实体模型中取得。

2、实体建模的方法有哪些，阐述各自的特点。

（10分）
3、请对比说明实体模型表示法中B-Rep表示法和CSG表示法各自的特点。

（10分）
答： B-Rep是边界表示法的简称，边界表示法强调实体外部的细节，详细记录了构成物体的所有几何元素的几何信息和相互之间的连接关系，即拓扑信息，将面、边界、顶点的信息分层记录，建立层与层之间的联系。

B-Rep——侧重实体的面、边、点表示，系统内部模型。

构造立体几何法简称CSG法，这种方法的数据结构是树状结构，这种方法简洁，生成速度快，处理方便，无冗余信息，而且能够详细地记录构成的原始体素参数或附加体素进行重新拼合。

但是由于信息简单，这种数据结构无法存贮物体最终的详细信息。

CSG——侧重建模过程，拓扑信息，系统外部模型。

4、如图所示为一个零件的三维实体，用N表示，根据该零件形状画出其基本体素，并给出其不同集合运算的CSG树和布尔运算表达式。

（20分）
已知三点（0，1）、（1，1）、（2，3）确定一个线性拟合函数。