《科学》杂志中的数学史研究
《数学史在初中数学概念教学中的应用研究》开题报告
《数学史在初中数学概念教学中的应用研究》开题报告课题陈述人:石嘴山市第六中学彭素敏各位领导、专家、老师:大家好～现在我代表第四届全区基础教育教学立项课题《数学史在初中数学概念教学中的应用研究》课题组做开题报告，请各位专家给以指导。
报告共分两个部分:第一部分: 课题研究论证报告第二部分: 课题研究设计报告第一部分课题研究论证报告一、课题提出的背景在新的教育理念下，培养学生学习数学的兴趣，使其变被动学习为主动学习已成为数学教学的目标之一。
在教学中，教师若能适当将数学史有机结合于教学，便能使课堂教学丰富多彩，使学生的思维得到启迪，能力得到更好的训练。
在数学教学中，有效应用数学史料使学生在掌握知识的同时，了解这些知识的产生与发展过程，分享数学家们经过刻苦钻研取得新的成果时的欢乐;或者向学生介绍一些颇具趣味性的历史名题，或介绍数学家的趣闻轶事，这些无疑都是激发学生学习兴趣的有效途径，同时还能活跃课堂教学。
学习数学史,一方面可以培养中学生“探究”中学数学知识的情感、态度和价值观,提高学习数学的兴趣;另一方面,在优秀数学文化的熏陶下,还可以进一步体会到数学的科学价值、应用价值、人文价值、美学价值,提高自身的文化素养和创新意识,拓宽数学的视野,探究数学发展的历史轨迹。
在讲无理数一课时讲起了无理数在数学史上的故事，让我感到意外的是，全班同学在我讲故事的时候都精神起来了，听得津津有味，并且课后有关无理数的作业，大家都做得很好。
于是，我想到尝试把数学史融入我的数学课堂中，以达到激发学生学习兴趣，提高课堂教学效果的目的。
经过深思熟虑，我确定《数学史在初中数学概念教学中的应用研究》作为我的研究课题。
二、研究的目的1、通过课题的研究，提升自己的数学文化素养，拓宽自己的数学视野，提高学生学习数学的兴趣;2、通过研究，探索出把数学史融入课堂教学的有效途径，形成自己独特的教学风格;3、通过本课题研究，探索出数学是融入初中数学概念教学的策略，使学生轻松愉快地学习。
伽罗瓦定理真的错了吗
‘中国科技史杂志“第45卷(2024年)第1期:67 76The Chinese Journal for the History of Science and Technology ㊀Vol.45(2024)No.1伽罗瓦定理真的错了吗?杨保强(延安大学数学与计算机科学学院,延安716000)摘㊀要㊀1830年,伽罗瓦提出有关本原方程的一个定理㊂在数学史上,很多学者认为该定理对于本原群的刻画是错误的,但有一些研究者猜想伽罗瓦的定理可能无误,也许伽罗瓦的本原群隐含地假设了二重传递性㊂本文通过引入与之相应的 二重传递方程 的概念,利用古证复原或数学实操的方法复原伽罗瓦对于本原方程的真实认识,证实伽罗瓦定理中的 本原方程 实际所指乃二重传递方程,对应于二重传递群的结果,伽罗瓦的定理并无差错㊂关键词㊀伽罗瓦㊀本原方程㊀二重传递群㊀数学实操㊀古证复原中图分类号㊀N09ʒO151.1文献标识码㊀A㊀㊀㊀㊀文章编号㊀1673-1441(2024)01-0067-10㊀㊀㊀收稿日期:2023-01-25;修回日期:2023-07-03㊀㊀㊀作者简介:杨保强,1993年生,延安大学数学与计算机科学学院讲师,研究方向为近现代数学史㊂㊀㊀㊀基金项目:延安大学博士科研启动项目 本原方程的历史研究 (项目编号:YDBK2022-64);国家自然科学基金地区科学基金项目 非欧几何学的若干历史问题研究 (项目编号:12161086)㊂1 问题的提出1828年,挪威数学家阿贝尔(Niels Henrik Abel,1802 1829)提出:代数方程的基本问题是根式可解方程的确定和分类([1],pp218 219)㊂阿贝尔之后,伽罗瓦(Évariste Galois,1811 1832)㊁若尔当(Camille Jordan,1838 1922)等很多数学家都是在这个问题的驱动下去研究代数方程的㊂([2],pp34 38)在彻底解决了素数次不可约方程根式可解的问题之后,伽罗瓦将寻找合数次根式可解的不可约方程的问题简化为寻找素数幂次根式可解的本原方程的问题([3],p286)㊂其中,本原方程(primitive equations)是指方程的伽罗瓦群为本原群的一类不可约方程([4],p119),它并非现代意义中的本原多项式方程㊂1830年4月,伽罗瓦发表了他研究本原方程的结果㊂为刻画素数幂次根式可解的本原方程的类型,伽罗瓦给出这样一个定理:伽罗瓦定理.除了9次和25次方程,素数幂次本原方程根式可解的必要条件是,已知它的两个根,其余的根都可以表示为它们的有理函数㊂([5],p271)伽罗瓦对他的定理并没有太多的解释,也未留下证明㊂两个月后,伽罗瓦更加精确地86中㊀国㊀科㊀技㊀史㊀杂㊀志45卷表述了这一必要条件,并认定它也是该定理的一个充分条件㊂([6],p435)伽罗瓦是通过对素数幂次根式可解的本原方程的伽罗瓦群的刻画来表述它的可解条件的㊂上升到现代群论的认识,他的定理等价于:除了9次和25次方程,该方程的伽罗瓦群同构于1维仿射半线性群AΓL(1,F p n)的一个子群([7],p35)㊂然而,事实并非如此㊂正确的结果应当是,它的伽罗瓦群同构于n维仿射一般线性群AGL(n,F p)的一个子群([8],p452)㊂当n 不等于1时,这两个群是完全不同的㊂因此,正如英国学者纽曼(Peter M.Neumann, 1940 2020)所述,伽罗瓦的结果 是完全错误的 ([7],p35)㊂事实上,伽罗瓦定理的错误最早由法国数学家若尔当在1867年指出㊂([9], p108)若尔当发现,素数平方次的本原方程并不适用伽罗瓦的定理,以此作为伽罗瓦定理的反例,揭示了它的错误性: 伽罗瓦已经提出,根式可解的本原方程属于一种类型,但不包括9次与25次方程㊂根据上面的论述,我们必须取几乎完全相反的断言 ([10], p113)㊂若尔当之后,了解这段历史的研究者纽曼也对伽罗瓦的定理持否定的态度㊂([11],p49)尽管如此,一些学者猜想伽罗瓦的定理也许并无差错㊂1957年,群论专家于佩尔(Bertram Huppert,1927 )得到关于可解二重传递置换群的一个分类定理:于佩尔定理.除了当p n是32,52,72,112,232,34时的情形,任何p n次[p为素数]的可解二重传递置换群同构于1维仿射半线性群AΓL(1,F p n)的一个子群㊂([12], p379)本原群未必都是二重传递的,但是,如果伽罗瓦的 本原 (primitive)实际所指乃 二重传递 (doubly transitive)的话,那么,不考虑伽罗瓦未找到的例外,伽罗瓦的定理已经近乎于佩尔的结果了,而不至于说它存在根本性的错误㊂就像考克斯(David A.Cox, 1948 )2012年评述的那样:若尔当的结果揭示出伽罗瓦对可解本原群的刻画有一定的差距㊂然而,伽罗瓦或许隐含地假设了二重传递性㊂如果是这样的话,那么他的描述(除了上面的例外)就非常接近于完整了㊂([13],p57)在2002年的文章中,拉德洛夫(Ivo Radloff)也假定伽罗瓦的定理是作了二重传递性的假设,只有在此条件下,伽罗瓦的定理才不致有误㊂([14],p133)根据于佩尔的定理,伽罗瓦的定理在二重传递群的条件下才能成立,由这两个数学定理的相似性,拉德洛夫和考克斯猜测伽罗瓦的本原群或许假设了二重传递性㊂如此猜想有一定的合理性,因为,伽罗瓦将 本原群 理解为二重传递群这一点是可能的㊂原因在于,在群论研究的初期,伽罗瓦对于本原群的认识本来就很模糊,比如,他也曾将本原群混同于 拟本原群 (其任意非平凡的正规子群皆为传递群)的概念[15];而且,在生命的最后,伽罗瓦给出了关于可解本原群的正确的定理([11],p87),伽罗瓦的 本原群 概念可能发生了改变,伽罗瓦之前的定理很大可能是他将 本原群 限制于二重传递群得到的㊂不过,归于历史问题的分析,想要证实伽罗瓦的本原群作了二重传递性的假设,无疑是困难的:一方面,伽罗瓦并未证明他的定理,除了定理本身之外, 很难确切地知道伽罗瓦是怎么想的 ([8],p452);另一方面,伽罗瓦没有对他的本原群的概念作出任何解释,㊀1期杨保强:伽罗瓦定理真的错了吗?96更何况二重传递群的概念在伽罗瓦逝世三十年后才出现㊂那么,如何证实伽罗瓦的定理是没错的猜想呢?前人是将伽罗瓦的定理上升至现代群论的认识而猜想它可能没错的,但伽罗瓦最初的定理针对的却是本原方程㊂因此,无论如何,我们都必须返回伽罗瓦的原始表述,通过探析伽罗瓦定理当中的本原方程概念来厘定伽罗瓦定理现存的争议㊂伽罗瓦到底错了还是没有?这个问题在很大程度上取决于伽罗瓦的定理或许没错的猜想能否得到证实㊂如果不能证实这一点,伽罗瓦可能没错的猜想将依旧止步于猜想,数学史界对于天才数学家伽罗瓦的评定也将存在两种截然相反且并不容中的观点,这是史学研究的科学性所不允许的㊂然而,如果这一猜想可以得到证实,那么,数学史上认为伽罗瓦定理错了的认识将被修正㊂本文是古证复原或数学实操范式于近现代数学史研究的一例应用[16 19]㊂伽罗瓦对此并没有留下太多的文字,更不用说明确的答案,这就决定了我们必须从间接㊁断裂㊁残缺的原始材料的推理分析入手,复原伽罗瓦对于本原方程概念的实际所指㊂2 本原方程与二重传递方程一个不可约方程是本原的还是非本原的,由它的伽罗瓦群所决定㊂在早期,数学家们以置换群来表述方程的伽罗瓦群,它由作用于方程之根且保持根的有理函数不变的置换全体构成㊂([20],p55)不可约方程的伽罗瓦群是一个传递群([21],p131),一个群作用于一个非空集合传递是指,它存在置换使得该集合中的任意两个元素相互变动㊂进一步地,传递群又可一分为二:一个传递群作用于一个非空集合为非本原群,是指该集合存在相等基数的非平凡互斥子集的一个划分,使得在该群的置换作用下,其中的每个子集仍变为某个子集;相反,若该集合不存在满足如上条件的划分,或者其划分是平凡的,即子集为原集合本身或子集中的元素个数均为1,则这样的传递群就是本原群㊂([22],页112)如果一个不可约方程的伽罗瓦群为本原群,那么,这样的方程就是本原方程;反之,则为非本原方程㊂伽罗瓦虽未证明本原方程与本原群的一一对应,但他在论述中隐含使用了如此假设([11],pp171 191)㊂伽罗瓦将不是非本原的方程称之为本原方程:借助一个m次方程,那些可以分解为m个n次方程的mn次方程称之为非本原方程,这是高斯先生的方程,本原方程是不满足这样一种简化的方程㊂([5],p271)非本原方程所对应的多项式可以通过添加基本域上的一个辅助方程的所有根,在基本域的扩域上分解为次数相等且形式相同的因式乘积①,高斯处理过的分圆方程便是一例㊂([15],pp383 385)相反,一个不可约方程如果不是非本原的,即不满足如上性质,那它就是本原方程,比如素数次不可约方程([23],p295)㊂虽然非本原方程的相反情形可以想象,但对于本原方程,这样的描述仍然是模糊的,①不包含只在分裂域上分解为一次因式的不可约方程,因为,此时其伽罗瓦群作用的集合所满足的划分是平凡的,这样的方程是本原方程㊂07中㊀国㊀科㊀技㊀史㊀杂㊀志45卷因为,我们无法获知本原方程确切的类别和特征,这也为伽罗瓦经由不明确的 本原方程 得到不同的定理而埋下了伏笔㊂传递群的概念可以进一步拓展㊂如果作用于一个非空集合的传递群存在置换,使得该集合中的任意两个不同的元素变动到另外两个不同的元素,那么,这样的传递群就是二重传递群㊂我们已经知道,若一个不可约方程的伽罗瓦群是本原群,则该方程就是本原方程,那么,如果一个不可约方程的伽罗瓦群是二重传递群,它所对应的方程又是怎样的类型呢?假设一个m次多项式f(x)ɪK[x]在域K上不可约,由不可约方程与传递群的对应,知其伽罗瓦群Gal(f,K)传递㊂去掉f(x)=0的任意一根,比如:α1,可以得到扩域K(α1)上的一个多项式f1(x)=f(x)(x-α1)=x m-1+b1x m-2+ +b m-1ɪK(α1)x[].此时,Gal(f,K)二重传递当且仅当f1(x)在K(α1)上不可约㊂([24],p69)伽罗瓦群为二重传递群的不可约方程是这样的类型:在添加其一根所得的基本域的扩域上,它所对应的多项式除去包含此根的一次因式之后仍是不可约的㊂在代数学史上,很多方程的概念都是按照方程与群的对应来命名的,由此,我们不妨将其伽罗瓦群为二重传递群的不可约方程称之为 二重传递方程 (doubly transitive equations)㊂按照现代群论,二重传递群必然是本原群([25],p15),故二重传递方程必然也是本原方程,这是伽罗瓦可能将二重传递方程这一特殊类型的方程理解成一般的本原方程的前提,但问题在于,伽罗瓦的数学中存在二重传递方程吗?他又在什么意义上会将二重传递方程等同于本原方程?在伽罗瓦的卷宗(Dossier.16)中有一片段,伽罗瓦考虑了 方程可以分解为两个或者两个以上因式 的这样一种特殊情形:令U=0是一个方程,且U=VT,V与T是这样的函数,其系数可由原方程系数及添加量有理确定 显然,如果给方程U=0添加V=0的所有根,方程U=0将分解为一些因式,其中一个将是T=0,且其他的将是V的单因式㊂([11],p305)根据拉克鲁瓦(Sylvestre François Lacroix,1765 1843)的‘代数基础“(伽罗瓦读过此书,[11],p5),在伽罗瓦的时代, 单因式 (simple factor)是指形如x-a的一次因式([26],p185)㊂贯通起来,伽罗瓦文本的意思是:给原方程所在的基本域添加其部分根之后,原方程所对应的多项式将在扩域上分解为某个因式与包含这部分根的一些一次因式的乘积,即U=T㊃(x-a)(x-b)而且,伽罗瓦对此情形的讨论建立在这样一个基本假设之上:简单来讲,是在方程无有理因式的情形下㊂事实上,如果我们接受在这种情况下它已经被证明,我们假设一个方程可以分解为两个本身无有理因式的因式㊂([11], p307)伽罗瓦讲 一个方程无有理因式 即指其在基本域上不可约㊂上述文字说明,在伽罗瓦所谓的特殊情形中,原方程在基本域上是不可约的,而且,更重要的是,在添加其部分根之后,它所对应的多项式在基本域的扩域上所分解的各个因式也是不可约的㊂㊀1期杨保强:伽罗瓦定理真的错了吗?17伽罗瓦的特殊情形当然包含最简单的情况:设U=0是基本域K上的一个不可约方程,将它的一个根α添加到基本域K,则在扩域K(α)上,原方程所对应的多项式U分解为两个因式:U=(x-α)㊃T㊂按照伽罗瓦的设定,T在K(α)上也是不可约的㊂此时,伽罗瓦所表述的方程U(x)=0正是域K上的一个二重传递方程㊂伽罗瓦的表述揭示出二重传递方程必然是本原方程㊂因为,按照伽罗瓦的描述,它一定不是非本原的:非本原方程所对应的多项式通过添加一个辅助方程的所有根,会在基本域的某个扩域上分解为次数相等且形式相同的因式乘积,但二重传递方程所对应的多项式通过逐一添加原方程之根,只在分裂域上分解为一次因式的乘积,而在中间任何基本域的扩域上都不存在非本原方程所满足的分解㊂通过以上解读和分析,可以发现,伽罗瓦的手稿不仅包含二重传递方程的等价表述,而且他的表述也暗示了二重传递方程是本原方程㊂在此基础上,伽罗瓦将二重传递方程这种特殊类型的本原方程当成一般意义的本原方程是可能的㊂3 伽罗瓦的 本原方程 :二重传递方程伽罗瓦定理中的 本原方程 是否指代二重传递方程?这是我们评判伽罗瓦定理正确与否的关键,而想要揭开这层历史迷雾,就得使伽罗瓦的真实所想复见于纸上㊂在1832年的 遗书 (The Testamentary Letter)中,伽罗瓦记述了他研究本原方程的概况:最简单的分解就是高斯先生的方法中出现的那些分解㊂无论何时,只要添加一方程的一个根,这个方程将变得可约这些分解是显然的,即使是在方程具体形式中,所以没有必要在这个主题上浪费时间㊂对于一个不能用高斯的方法简化的方程,怎样的分解才是可行的呢?我称那些不能用高斯的方法简化的方程为本原[方程];这些方程并不是真的不能被分解,因为它们甚至可能是根式可解的㊂作为根式可解的本原方程的理论的一个引理,我已经于1830年的6月在费吕萨克通报上发表了关于数论的一个虚数分析㊂同时附之以下定理的证明:1.一个可以根式求解的本原方程,其次数必为p v,p是一个素数㊂2.这类方程的所有置换将具有这样的形式x k,l,m, /x ak+bm+cl+ +f,a1k+b1m+c1l+ +g,其中k,l,m, 是n个指标,每个都取p个值,它们代表所有的根㊂这些指标是模p 而取的,也就是说当给这些指标之一加上p的倍数时,所得的根将是一样的㊂([11],p87)伽罗瓦这次给出了关于素数幂次根式可解的本原方程的正确结果,也就是上述定理2㊂对应于现代群论的表述,该定理是指:一个根式可解的p n(p为素数)次的本原方程的伽罗瓦群同构于n维仿射一般线性群AGL(n,F p)的一个子群㊂27中㊀国㊀科㊀技㊀史㊀杂㊀志45卷值得注意的是,伽罗瓦在原始手稿中划去了这么一句 无论何时,只要添加一方程的一个根,这个方程将变得可约 ,这句话正好成为解开这个历史谜题的关键㊂此句的意思是,每当添加不可约方程f(x)=0(fɪK x[])的一个根x1,该方程将在扩域K(x1)上变得可约㊂这句本身无误,它相当于今天的因式定理的事实:如果域K上的不可约方程f(x)=0有一个根x1,那么,在扩域K(x1)上,x-x1将整除f(x),此即f(x)在K(x1)上可约㊂根据上下文的语境,这一句似乎是在解释非本原方程的概念,因为,在舍略文本的前后,伽罗瓦都说的是可以按照高斯简化方法分解的非本原方程的情形,但对比伽罗瓦关于非本原方程的表述,就会发现,事实并非如此:因为,依照伽罗瓦的表述,非本原方程涉及的是添加另一个辅助方程之所有根的情形,而划去的这句描述的则是添加原方程的一个根的情况㊂伽罗瓦为什么会想到这么一句,而最后又划掉了它?我们知道,二重传递方程的概念有这样两个要点:首先,它在基本域上不可约,但只要通过添加原方程的一个根,它将变得可约,即在基本域的扩域上,它所对应的多项式将分解为包含此根的一次因式与另外一个因式的乘积;其次,第二个因式在新的扩域上也是不可约的㊂显然,伽罗瓦的舍略文本描绘的正是给基本域添加原方程的一个根的情形㊂因伽罗瓦划掉了这句,丢失了文本间的联系,所以伽罗瓦划掉的这句应当意在文外,其中所略需要我们稍作复原㊂事实上,如果顺着伽罗瓦的逻辑,就会发现,他当时想要说明的是:尽管任何不可约方程可以通过添加它的一个根而在基本域的扩域上变得可约,但 本原方程 这种特殊情形则对应的是,除去包含原方程之一根的一次因式的方程,在添加此根所得基本域的扩域上仍然是不可约的(二重传递方程)㊂如果按照这种语言逻辑表述下去,伽罗瓦所要表达的 本原方程 概念就会被解释为二重传递方程,但他在下文给出了关于本原方程可解条件的正确定理,这至少说明,相较之前的 错误 定理,此时,他对于 本原方程 的概念已经有了正确的认识㊂因此,这样的解释如果还写在这里,显然是有悖于下文的真理的㊂所以,伽罗瓦划掉了此句㊂伽罗瓦划去的文本本身是没有错误的,伽罗瓦划掉此句只能是出于与所述事实不符的考虑㊂伽罗瓦划去的这句非常贴近他之前对于二重传递方程的描述,因为仅是二重传递方程才涉及添加原方程之一根的情形㊂故在关于本原方程与非本原方程的语境中,所删文本如果不是指非本原方程的情形,那只能是:伽罗瓦在通过对二重传递方程的刻画来解释他所理解的 本原方程 !因此,伽罗瓦最初所理解的 本原方程 概念对应的是二重传递方程㊂而且,在陈述了本原方程正确的定理之后,伽罗瓦对最初所给的定理作了评注,他表述道: 我在费吕萨克通报中所指明的本原方程根式可解的条件限制性太强㊂ ([11],p 89)伽罗瓦讨论本原方程,却得到一个只在二重传递方程概念下才成立的定理,伽罗瓦自己的评论也暗合了他的定理是将 本原方程 限定于二重传递方程这种特殊的本原方程的理解而得到的㊂所以,伽罗瓦的定理是从二重传递方程的概念出发的㊂综上,伽罗瓦定理中的 本原方程 实际所指应当是二重传递方程㊂而且,伽罗瓦也㊀1期杨保强:伽罗瓦定理真的错了吗?37提到他的定理 例外很少,但还是有一些 ([11],p89)㊂这样,伽罗瓦的定理其实是:伽罗瓦定理.除了9次和25次方程[等],素数幂次[二重传递]方程根式可解的必要条件是,已知它的两个根,其余的根都可以表示为它们的有理函数㊂二重传递方程的伽罗瓦群是二重传递群,该定理正好对应于群论中于佩尔的定理㊂伽罗瓦从二重传递方程出发,得到一个关于二重传递方程的结果,又何错之有呢?或许我们还会有质疑,伽罗瓦明明讨论的是本原方程,却把它理解成二重传递方程去处理,而得到一个二重传递方程的结果,伽罗瓦还是错了,他误解且混淆了本原方程的概念㊂这样的疑问其实带有一种以今度古的倾向㊂首先,这种 错误 已经不再是伽罗瓦定理错误与否的问题;其次,伽罗瓦对基本概念的误解其实也不能算是错误,它只是 名 与 实 的指代和对应问题㊂举个数学史上类似的例子:1853年,克罗内克(Leopold Kronecker,1823 1891)将其伽罗瓦群为循环群的不可约方程称之为 阿贝尔方程 (Abelian equations),但若尔当在1870年建议,应该用 阿贝尔方程 指代阿贝尔所考虑过的更为一般的方程,即其伽罗瓦群是阿贝尓群或交换群的不可约方程㊂克罗内克于1877年接受了若尔当的建议,为作区别,他将之前认识到的循环群所对应的方程改称为 简单阿贝尔方程 ㊂([27],p9)即使这样,博尔萨(Oskar Bolza,1857 1942)在1893年的书评文章中却一仍其旧,把循环群对应的方程称之为 阿贝尔方程 ㊂([28],p103)如此,我们能说后者错了吗?并不能㊂因为,在数学史上,数学家们对于概念的认识本来就是递进的,如同奋身黑夜,每个人的行程长短有限,探见的光亮大小不同,在新的命名方式被认可之前,当然可以用同一个术语指代两种既有融合又互有边界的概念㊂伽罗瓦对本原方程的认识受时代约束本来就是不明确的㊂原因在于,本原方程是通过本原群来界定的,但伽罗瓦对于本原群的理解却是模糊的,比如,他也会把本原群与 拟本原群 等同起来㊂所以,看待伽罗瓦错误与否须得将评判标准转向伽罗瓦究竟从哪种概念出发 本原方程 背后的真实所指才是合理允当的,而这又回到了我们的问题和论证:虽然伽罗瓦定理中的方程名为 本原方程 ,但其实,伽罗瓦却是将二重传递方程当作 本原方程 来理解的,而在二重传递方程的条件下伽罗瓦的定理又是对的,因此,伽罗瓦的定理本身无误㊂4 结论伽罗瓦的定理真的错了吗?数学史界对此历来存有争议㊂将伽罗瓦的定理上升于群论的认识之后,评判伽罗瓦定理正确与否的关键在于伽罗瓦的 本原群 是否是二重传递的㊂不过,由于史料不足,该问题在群的视角下很难得到答案,更何况,伽罗瓦定理的原始表述针对的是 本原方程 ㊂所以,我们通过引入与二重传递群相对应的 二重传递方程 的概念,从方程的角度来考证伽罗瓦定理中的 本原方程 是否指代二重传递方程㊂伽罗瓦对本原方程的表述并不确切,他只提到本原方程不是非本原的㊂在伽罗瓦的卷宗中,我们找到了有关二重传递方程概念的表述,同时,伽罗瓦的描述也暗示了二重传递方程正是本原方程,因为它并不满足非本原方程所满足的分解㊂这两点为伽罗瓦将中㊀国㊀科㊀技㊀史㊀杂㊀志45卷二重传递方程这种特殊类型的本原方程当作一般的本原方程提供了可能㊂伽罗瓦定理中的 本原方程 实际所指乃二重传递方程㊂通过对伽罗瓦的遗书其间舍略文本的语境修复和整体性分析,我们揭示出,伽罗瓦最初的 本原方程 概念是指二重传递方程㊂而且,根据伽罗瓦之后对该定理的评注从旁推断出,伽罗瓦的定理是将他所考虑的 本原方程 限制于二重传递方程这种特殊类型的本原方程得到的㊂从二重传递方程的概念出发,伽罗瓦得到了一个二重传递方程的结果,而且,按照方程与群的对应,如不考虑伽罗瓦未找到的例外(但他承认还有例外),它正好对应群论中的于佩尔定理㊂因此,伽罗瓦的定理并无差错㊂以此,我们修正了数学史上认为伽罗瓦定理错误的观点㊂前人学者所认为的伽罗瓦定理的 错误 实际上是一种被误解的 错误 ,在他们看来,伽罗瓦定理当中的 本原方程 就是我们今天所指的一般意义的本原方程,但根据我们的考证,事实并非如此,伽罗瓦的定理只针对于这种特殊的本原方程 二重传递方程㊂有趣的是,这种被误解的 错误 亦已成为过去数学史的一部分,对后世数学家若尔当的研究以及代数学的发展产生了深远的影响㊂[29 30]图1㊀伽罗瓦定理的认知图数学家的想法,不为载录的,一经过往,便成为历史的一部分,而止于文字的,又未必是我们所理解的真实㊂这就要求我们,在提出或者采信某种数学史观点时应当设身处地地接近古人㊂数学家从不同的概念出发,会得到不同的数学真实,比如,二重传递群的定理㊁本原群的定理,但我们要寻找的历史真实只有一个,那就是:伽罗瓦的定理究竟是二重传递群的定理还是本原群的定理?数学真实不能完全再现历史真实,但它可以引导我们揣思历史真实,而无记述的历史真实可以通过古证复原或数学实操等史学研究方法揭示出来㊂致㊀谢㊀感谢西北大学的曲安京教授对本研究的启发和指导,谢谢京都大学的上野健尔(Kenji Ueno )教授提供了伽罗瓦手稿的相关资料!向匿名审稿人的宝贵意见与建议表达衷心的谢忱!参㊀考㊀文㊀献1㊀Abel N H.Sur la Résolution Algébrique des Equations[A].Sylow L,Lie S(eds.).Oeuvres Complètes de Niels Henrik Abel [C].Christiania:Grøndahl,1881.2㊀Jordan C.Notice sur les Travaux de M.Camille Jordan L appui de sa Candidature L Académie des Sciences[J].47。
数学史研究报告
数学史的课题研究一、前言数学起源于人类早期的生产活动，为古中国六艺之一，亦被古希腊学者视为哲学之起点。
数学的希腊语μαθηματικός（mathematikós）意思是“学问的基础”，源于μάθημα（máthema）（“科学，知识，学问”）。
数学最早用于人们计数、天文、度量甚至是贸易的需要。
这些需要可以简单地被概括为数学对结构、空间以及时间的研究。
对结构的研究是从数字开始的，首先是从我们称之为初等代数的——自然数和整数以及它们的算术关系式开始的。
更深层次的研究是数论。
对空间的研究则是从几何学开始的，首先是欧几里得几何和类似于三维空间（也适用于多或少维）的三角学。
后来产生了非欧几里得几何，在相对论中扮演着重要角色。
到了16世纪，算术、初等代数及三角学等初等数学已大体完备。
17世纪变量概念的产生使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换。
随着自然科学和技术的进一步发展，为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等也开始慢慢发展，数学有着久远的历史。
它被认为起源于人类早期的生产活动; 中国古代的六艺之一就有“数”，数学一词在西方有希腊语词源。
史前的人类就已尝试用自然的法则来衡量物质的多少、时间的长短等抽象的数量关系，如时间－日、季节和年。
算术(加减乘除)也自然而然地产生了。
古代的石碑亦证实了当时已有几何的知识。
已知最古老的数学工具是发现于斯威士兰列朋波山的列朋波骨，大约是公元前35,000年的遗物。
它是一支狒狒的腓骨，上面被刻意切割出29个不同的缺口，使用计数妇女及跟踪妇女的月经周期。
相似的文物也在非洲和法国被出现，大约有35,000至20,000年之久，都与量化时间有关。
伊香苟骨发现于尼罗河上源之一的爱德华湖西北岸伊香苟地区（位于刚果民主共和国东北部），年代大约有20,000年，上面刻了三组一系列的条纹符号。
常见的解释是已知最早的质数序列，亦有认为是代表六个阴历月的纪录。
国外主要数学教育期刊
国外主要数学教育期刊1．《数学教育研究》（Educational Studies in Mathematics）（荷兰）ISSN 0013 0013—1954，季刊，1968年创刊，D.雷伊代尔出版公司出版，克吕韦尔学术出版集团销售中心发行。
刊载中小学及师范学校的教学理论、方法、实践等方面的论文、述评报告、书评以及IMO消息、试题。
是国际性的刊物，主要用英文发表。
2．《数学教育》（L′Enseignement Mathematique）（瑞士），510LG004。
ISSN 0013—8584，季刊，1899年创刊，国际数学教育委员会机关刊物，日内瓦大学数学研究所出版、发行。
刊载数学教学研究文章，供大学数学系师生阅读的文章以及新书介绍等。
用英、法或德文发表。
3．《数学杂志》（Mathematical Gazette）（英国），ISSN 0025—5572，季刊，1894年创刊，英国数学协会出版、发行。
主要刊载初等、中等数学知识及教学法方面的文章与简讯。
4．《数学杂志》（Mathematics Magazine）（美国），0025—570X，年出5期，1926年创刊，美国数学会编辑出版。
刊载有关大学、中学数学教学方面的文章，兼登简讯和书评。
5．《国际科技中的数学教育杂志》（International Journal of Mathematical Education in Science and Technology）（英国），0020—739X，双月刊，1970年创刊，泰勒和费朗西斯（Taylor and Francis）出版公司出版、发行。
刊载数学教育理论文章、书评、经验介绍与有关会议报道等。
6．《结构研究杂志》（Journal of Structural Learning）（英国），ISSN 0022—4774，季刊，1970年创刊，戈登和布里奇（Gordon and Breach）科学出版公司出版、发行。
数学史课题研究开题报告
数学史课题研究开题报告一、研究背景和目的数学是一门源远流长的学科，在人类社会发展进程中起着重要的作用。
数学史研究是对历史上数学知识、数学思想以及数学方法的回顾和总结。
通过研究数学史，我们可以了解数学的起源、发展以及对人类社会的影响。
本课题旨在通过对数学史的研究，深入探讨数学的起源和发展，并分析不同数学思想以及数学方法对当时社会的影响。
通过对数学发展历程的研究，我们可以更好地理解数学的意义和应用，为今后的数学学习和应用提供有益的启示。
二、研究内容2.1 数学史的起源和发展数学作为一门独立的学科，其起源不可追溯到具体的时间和地点。
通过考古学和历史学的研究，我们可以发现古代文明中存在着丰富的数学知识和技巧。
本研究将追溯数学史的起源和发展，探讨古代数学思想和方法。
2.2 数学思想和方法的影响数学思想和方法在不同历史时期对社会的发展起到了重要的推动作用。
本研究将分析数学思想和方法在不同历史时期对经济、政治以及科学等领域的影响，并探讨这些影响对人类社会的作用和意义。
2.3 数学史对数学教育的启示通过对数学史的研究，我们可以深入了解数学的发展历程以及数学思维的演变。
这对于数学教育有着重要的启示作用。
本研究将分析数学史对数学教育本身以及数学教育方法的启示，以及如何将数学史知识应用到实际的教学中。
三、研究方法本研究将采用文献研究法和历史研究法，通过阅读相关文献和历史资料，收集、整理并分析相关数据和信息。
在进行文献研究的基础上，对数学史的起源、发展以及数学思想和方法的影响进行分析和解读。
本研究还将采用案例研究法，选择一些重要的数学思想和方法进行深入研究，探讨其对当时社会的影响以及对现代数学的启示。
四、预期成果本研究的预期成果如下：1.一篇具有较高学术价值的学术论文，详细回顾和总结数学史的发展过程；2.对数学思想和方法的影响进行深入分析，为历史研究提供有益的参考；3.探讨数学史对数学教育的启示，为数学教育理论和实践提供新的思路和方法。
数学史的研究方法有
数学史的研究方法有以数学史的研究方法数学史是研究数学发展历史的学科。
通过数学史的研究方法，可以了解数学发展的历程和数学思想的演变，深入探究数学的本质和内在逻辑。
本文将从数学史的研究方法的角度，探讨数学史的研究过程和方法。
一、文献研究法文献研究法是数学史研究的基本方法之一。
通过搜集古代文献，如古代数学著作、手稿、文集等，对其中的数学内容进行分析和研究，了解古代数学知识的体系和发展历程。
同时，通过对不同文献的比较和对照，可以发现数学思想的演变和相互影响。
例如，欧几里德的《几何原本》是古希腊几何学的经典著作之一，对后来的数学发展有深远影响。
通过对该著作的研究，我们可以了解到古希腊几何学的基本概念、定理和证明方法，以及其对欧洲文艺复兴和科学革命的影响。
二、历史学方法历史学方法是数学史研究的另一种重要方法。
通过对数学发展历史的整体把握和分析，了解数学发展的背景和历史环境，探究数学的社会、文化和科学意义。
例如，费马大定理是数学史上的一个重要成果，其证明历经了数百年的努力。
通过对费马大定理的历史背景和证明过程的分析，我们可以了解到数学家们在证明该定理过程中的思考方式和方法，以及对数学发展的推动作用。
三、数学哲学方法数学哲学方法是一种较为深入的研究方法，通过对数学理论的哲学分析和评价，了解数学知识的本质和内在逻辑，以及它与人类认识的关系。
例如，哥德尔不完备定理是数学哲学的经典成果之一。
通过对哥德尔不完备定理的研究，我们可以了解到数学知识的局限性和人类认识的局限性，以及对数学基础的挑战和反思。
四、数学史与数学教育数学史不仅是一门研究学科，还可以作为数学教育的一种辅助教学手段。
通过对数学史的教学，可以激发学生学习数学的兴趣和热情，加深对数学知识的理解和掌握，同时也可以让学生了解数学知识的发展历程和科学精神。
例如，在教学中可以引用欧几里德的《几何原本》中的定理和证明方法，让学生了解古希腊几何学的基本概念和证明方法，同时也可以让学生学习到数学证明的重要性和正确性。
数学教材中的数学史研究
数学教材中的数学史研究数学教材中的数学史研究本研究限定在“教材”维度。
此处的“教材”是一个狭义的术语，主要指传统意义上教学用的“教科书”,而暂不论及其他教学辅助材料。
从课程、教材与教学的关系看，在教材中恰当呈现数学史内容，是解决长期以来HPM(数学史与数学教学关系国际研究小组)教学“无米之炊”和“高评价、低利用”等问题的关键。
一、研究缘起20世纪末，教材中的数学史就已引起世界各国数学教育界的关注。
如：1998年在法国马塞举行的国际数学教育大会(ICMI)“数学教育中的数学史”,其中就有对教材中数学史的专题关注;2010年，在维也纳召开的第6届暑期会议(ESU-6)“数学教育中的数学史与认识论”,主要议题之一是“学校教材中的数学史”,以法国、意大利等多个国家教材中使用数学史的情况为基础开展讨论。
这些研究与讨论相对较为粗略、浅表，虽对我们具有一定的启发意义，但缺乏相关理论分析，对我国新课程的适应性需进行深入研究与思考。
近年来，国内学者也对教材中的数学史进行了研究。
主要包括两类：一类是对教材中的数学史进行量与类的统计与分析;另一类是对数学史融入教材的某一方面，如方式、原则等进行分析、探讨。
这些研究对我们系统研究教材中的数学史具有借鉴意义。
HPM教学开启了多元教学方法之门，是认识数学不同领域之间以及数学和其他学科之间联系的极佳手段，这在当今的数学教育改革中受到高度重视。
然而，如何使HPM教学走进常态课堂?教材是课程内容的重要载体，也是教师教学的主要依据，“讲历史，讲思想，讲文化”是教材编写的指导思想之一[1],因此研究数学教材中的数学史具有重要意义。
二、研究问题与方法国内外针对已有教材数学史使用情况的相关研究，虽发现存在内容与方式单一等问题，并给出了相应的改进措施与建议，但缺乏对教材未来建设的系统性理论思考和实践研究。
针对新课程改革，我们需进一步搞清：数学史如何进入教材才能适应、体现并实现数学课程目标?教材中的数学史，是否将历史上科学领域的数学学习过程与学校教育过程中个人的学习过程联系起来了?这涉及教材中数学史的目标与价值取向、内容选取及其原则、呈现方式以及质量标准等。
数学史的研究意义
数学史的研究意义数学作为一门古老而重要的学科，其在人类社会发展中扮演着重要的角色。
对于数学史的研究不仅可以帮助我们了解数学的起源和发展过程，还可以揭示数学对于人类思维方式和文明进步的深远影响。
本文将从几个方面探讨数学史的研究意义。
数学史的研究帮助我们了解数学的起源和发展。
通过对古代数学文献的研究，我们可以了解到早期人类对于数的认知和计算方法。
例如，埃及人使用简单的几何法解决土地测量问题，巴比伦人创造了著名的巴比伦数字系统。
这些早期的数学成就为后世的数学发展奠定了基础，了解它们有助于我们更好地理解现代数学的起源和发展。
数学史的研究可以揭示数学在解决实际问题中的应用。
数学不仅仅是一门纯粹的学科，它在各个领域都有广泛的应用。
通过研究数学史，我们可以了解到数学在天文学、物理学、工程学等领域的应用历史。
例如，古希腊数学家欧几里得的几何学对于建筑和地理测量有着重要的应用，牛顿和莱布尼茨的微积分为物理学的发展做出了巨大贡献。
了解这些历史应用可以帮助我们更好地认识数学的实用价值。
数学史的研究有助于我们认识数学对人类思维方式的影响。
数学是一门逻辑严密的学科，它培养了人们的抽象思维能力和逻辑推理能力。
通过研究数学史，我们可以了解到古代数学家们是如何运用逻辑思维解决问题的。
例如，古希腊数学家毕达哥拉斯提出的毕达哥拉斯定理通过几何图形的推导得出，展示了他们的逻辑思维能力。
而在现代，数学的逻辑思维方式也影响了其他学科，如哲学、计算机科学等。
因此，数学史研究有助于我们理解数学对人类思维方式的影响及其在其他学科中的应用。
数学史的研究还可以帮助我们认识数学的发展模式和方法。
通过对历史数学问题的研究，我们可以发现数学发展的一些规律和方法。
例如，数学家们在解决问题的过程中常常使用归纳法、逆推法等方法，这些方法在不同的数学领域都有广泛应用。
通过了解这些历史数学方法，我们可以更好地应用它们解决现实问题。
数学史的研究对于我们了解数学的起源和发展、认识数学在实际问题中的应用、理解数学对人类思维方式的影响以及探索数学的发展模式和方法都具有重要意义。
2024版《数学史》数学的起源ppt课件
微积分的应用
在物理学、工程学、经济学等领 域有广泛应用，如求解速度、加 速度、曲线的长度、面积、体积
等问题。
概率论与数理统计的兴起
1 2 3
概率论的起源 起源于17世纪中叶人们对机会性游戏的数学研究， 如赌博中的骰子点数问题。
数理统计的发展 随着数据收集和分析的需求增加，数理统计逐渐 从概率论中独立出来，成为一门研究如何从数据 中提取有用信息的学科。
《数学史》数学的起源ppt课件
目录
• 引言 • 古代数学的起源 • 中世纪数学的发展 • 近代数学的崛起 • 现代数学的发展与挑战 • 数学史对数学教育的启示
01
引言
Chapter
数学的定义与重要性
数学是研究数量、结构、空间及变化等概念的一门学科。
数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们解决各种问 题，推动科技进步和社会发展。 数学在自然科学、社会科学、工程学、医学等领域都有 广泛应用，具有不可替代的重要性。
数学史的研究意义
了解数学发展的历史 进程，探究数学思想 和方法的演变。
借鉴历史经验，为现 代数学教育和研究提 供启示和借鉴。
揭示数学与人类社会、 文化、科技等方面的 互动关系。
课件内容与结构
课件内容
介绍数学的起源、早期数学的发展、古代数学的辉 煌成就、中世纪数学的停滞与复兴、近代数学的兴 起与发展等。
概率论与数理统计的应用 在金融、保险、医学、社会科学等领域有广泛应 用，如风险评估、质量控制、假设检验、回归分 析等。
代数与几何的变革
代数的抽象化
19世纪，数学家们开始研究抽象代数结构，如群、环、域 等，使得代数的研究对象从具体的数扩展到更一般的数学 对象。
几何的变革 非欧几何的兴起打破了欧几里得几何一统天下的局面，揭 示了几何学的多样性。同时，微分几何和拓扑学的发展也 为几何学注入了新的活力。
《科学》评出年度十大科学进展
级 细菌可 能源 自火 星 ， 搭乘 陨石来 到地球 ， 并最终 成为 地球上最早的简 单生命。他们 的研究成 果将 发表在最新
一
鱼 迈 出 的 第 一 步 ： 古 学 家 发 现 一 种 特 殊 的 鱼 考
化 石 ， 种 鱼 能 用 胸 鳍 站 立 并 “ 走 ”这 可 能 是 后 来 动 这 行 ， 物 在 陆 地 上 用 以行 走 的 肢 进 化 的 开 始 。这种 鱼 是有 肢脊 椎 动 物 己知 的最 近 亲 ， 人 类 研 究 生 命 如 何 离 开 海 洋 登 为
类 新 的小 Ｒ Ａ分 子 ， 们 能 够 关 闭 基 因 的 表 达 ， 类 新 Ｎ 它 这
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分 子 被 命 名 为“ ｉ ｉ Ｐ ｗ －干扰 ＲＡ 。 Ｎ ”
可 以保 持 水 分 的 功 能 。 科 学 家 们 不 相 信 任 何 地 球 上 起 源 的 生 命 可 以演 化 出 这 些 特 异 功 能 ， 因 为 有 证 据 显 示 ，在 过 去 ４ ０多亿 年 中 ， 球 上 的 辐 射 强度 变 化 不 大 ， 以他 们 认 为 ， 些 超 地 所 这
解 码 和 分 析 技 术 ， 究 人 员 从 尼 安 德 特 人 化 石 和 猛 犸 化 研
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冰 原 在 收 缩 ： 究 人 员 在 ２ ０ 记 录 下 了这 一 研 ０ ６年
“ 人不安” 令 的趋 势 ， 极 洲 和 格 陵 兰 岛 的 冰 原 都 在 以 前 南 所 未有 的速 度 消 失 ， 入海 洋 中 。 流
【课题申报】数学学科中的数学史研究与数学文化传承成果
数学学科中的数学史研究与数学文化传承成果《数学学科中的数学史研究与数学文化传承成果》一、前言数学学科作为一门自然科学的基础学科，不仅仅是一门重要的学科，同时也包含着丰富的历史和文化内涵。
数学史研究和数学文化传承是数学学科中一个重要的方向，对于提高学生对数学学科的兴趣和理解能力，促进数学科学的研究和发展具有重要的意义。
本次课题申报旨在通过对数学史研究与数学文化传承成果的深入研究和探索，为数学学科的发展和传承提供有力的支持。
二、课题背景数学学科在古代的发展历程非常悠久，从东方的中国古代数学，到西方的古希腊数学，再到近代数学学科的形成和发展，每个时期都体现着当时数学学科的独特性和特点。
这些数学史的故事和数学文化的衍生物不仅仅是一段历史，更是数学学科发展的重要组成部分，对于理解数学学科的本质和意义具有重要的价值。
然而，在当前数学学科教学中，往往忽视了这些数学史和数学文化的传承，而将重点放在理论和概念的灌输上，导致学生对数学学科兴趣的减弱和对数学学科的认识的片面化。
因此，通过深入研究数学史和数学文化，将数学史与数学学科的教学相结合，可以提高学生对数学学科的兴趣和学习的主动性，培养学生的创新思维和数学背景知识，推动数学学科的创新和发展。
三、课题目标与意义本课题旨在通过研究数学学科中的数学史和数学文化，实现以下目标：1. 深入研究数学史和数学文化的传承，了解其对数学学科发展的影响和意义。
2. 探索将数学史和数学文化融入数学学科教学的方法和途径，提高学生对数学学科的理解和兴趣。
3. 建立数学史研究与数学文化传承的档案和数据库，为数学学科的研究和发展提供有力的支持。
通过实现以上目标，本课题将对数学学科的发展和传承产生重要的推动作用，为数学学科的研究和发展提供有力的支持。
四、课题内容和方法1. 数学史研究通过对数学史的深入研究，了解数学在不同历史时期的发展状况和人物的贡献，分析不同时期数学思想的特点和演变规律，深入挖掘数学史中的经典问题和解决方法，为数学学科的研究和发展提供借鉴和启示。
中国数学史
李善兰(清, 1811－1882)
李善兰恒等式
19世纪的中国数学
李善兰(清, 1811－1882)翻译部分西方学术著作
《几何原本》(1857) 《谈天》(1858, 赫谢尔) 《重学》(1859, 惠威尔)
徐光启等译《几何原本》 后250年
万有引力定律及天体力学 牛顿运动定律
《代微积拾级》(1859, 卢米斯)
《代数学》(1859, 德摩根)
“此书为算学中上乘功夫，此书一出，非特中
法几可尽废，即西法之古者亦无所用之矣。”
19世纪的中国数学
直线之公式，地＝甲天丄乙，则地为天的函数。
dx a x ln (a x) c
禾 彳天 (甲 天)对 丙 甲 天
xdx ydy mydx
3.14159261<π<3.14159271
割之又割
《算经十书》
《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》 《夏候阳算经》、《张邱建算经》、《缀术》、《五曹算经》 《五经算术》、《缉古算经》。
《算经十书》
公元656年
汉唐千余年间中国 数学发展的水平
3.中算发展的第三次高峰
数学全盛时期
承前启后、融会中西的数学家 “历算第一名家”、“开山之袓” 《梅氏历算丛书辑要》62卷 代数(笔算)、几何、三角 康熙：历象算法，朕最留心，此 学今鲜知者，如梅文鼎实仅见也。
(清, 1633-1721)
光禄大夫、左都御史 “会通中西”、“西学中源”
18世纪的中国数学
康熙：“即西洋算法亦善，原系中国算法，
《缀术》
《隋书〃律历志》
公元462年, 祖冲之算出 3.1415926<π<3.1415927 密率355/113，约率22/7。 所著之书,名为《缀术》, 学官莫能究其深奥，是故废 而不理。 1913年起称355/113为祖率。
从“李约瑟难题”看科技史研究范式转型
19作者简介：陆遥（1992— ），男，汉族，江苏常熟人，硕士研究生。
主要研究方向：科学思想史、技术哲学。
李约瑟通过对我国古代科技文明进行深入的研究，得出这样的结论：“尽管中国古代对人类科技发展做出了很多重要的贡献，但为什么科学和工业革命没有在近代史的中国发生？”。
哲学上讲，物质决定意识，意识对物质有反作用，传统的思维方式影响了科学技术在当时中国的发展。
一、“难题”的提出我国学者关于中国古代科学的讨论，至少可以追溯到1919年前后：中国现代史上最早的科学杂志《科学》创刊号（1915）上有任鸿隽的文章《说中国无科学之原因》，1922年，冯友兰发表文章，题为《为什么中国没有科学》，1945年，竺可桢发表文章，题为《为什么中国古代没有产生自然科学》，他们都把“中国古代无科学”作为当然的前提[1]。
彼时的中国正处于危险之中，科学作为具有普世价值的学问何以在中国古代落后甚至缺席，该论题引起思想界的注意，这是容易理解的。
上世纪40年代，李约瑟在湄潭大会上的演讲给出截然相反的结论，批驳了“中国自来无科学”的观点，被认为是“李约瑟难题”的雏形。
在其成于60年代，后被收入《大滴定》的论文中，李约瑟明确写道：“为什么中国（或者）印度文明没有发展出现代科学？随着岁月流逝，我对中国科学与社会的了解渐增，就意识到还有第二个最少同样重要的问题，即是为什么公元前1世纪以至公元15世纪之间，中国文明在将人类自然知识应用于人类实际需要的效率，要比西方高的多？”[2]这段话可视为是“李约瑟难题”的定型。
而如今，“难题”更多被转述如下：中国古代科学技术曾长期遥遥领先于西方，为何近代科学却没有在中国出现？二、“难题”的消解严格说来，将该问冠之以“难题”之谓或许并不确切，因为李约瑟在《大滴定》中已为之（至少是在很大程度上）给出了答案，对李氏本人来说，该问题与其说是“难题”，更不如说是具有引导性质的“诘问”，其观点可提炼如下：现代科学脱胎于实验科学；实验科学由资本主义的刺激而来。
钱宝琮中国近代数学史研究的先驱
钱宝琮中国近代数学史研究的先驱我国的数学有悠久的历史和光辉的成就，内容非常丰富，在世界数学史上也占有十分重要的地位。
法国著名数学家庞加莱说过：“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。
”中国近代数学史研究的先驱钱宝琮曾说：“在学术上并不存在青年人、老年人的关系，应该展开争论。
如果什么都听老年人的，那么就会一代不如一代。
老年人也不应该以长者自居，不肯听取青年人的意见。
当然，老先生可能有些经验，这是应该尊重的。
”钱宝琮（1892―1974），字琢如，著名数学史家、数学教育家，中国古代数学史、中国古代天文学史研究领域的开拓者和奠基人。
他率先为大学师生和中学教师开设了数学史课程。
钱宝琮研究中国数学史和中国天文学史数十年，撰有《古算考源》、《中国算学史》（上卷）、《中国数学史话》、《算经十书》（校点）、《中国数学史》（主编）、《宋元数学史论文集》（主编）及《算术史》（稿本）等专著多种和科学史论文60多篇。
钱宝琮治学之余，尤喜吟咏，存稿百余首，自题《骈枝集》，后以《钱宝琮诗词》为名刊行。
从小勤奋刻苦，求知文理兼顾钱宝琮1892年5月出生于浙江省嘉兴市南门外一个小地主家庭。
6岁在私塾开蒙，读过《论语》《孟子》等古代典籍，也学过算术、地理、历史、英文等新课程。
1907年春，考入苏州省铁路学堂土木科，学习成绩优异，时常获奖。
在那里，他曾参加抗议清政府丧权辱国借款筑路的运动。
1908年夏天，浙江省第一次招考20名留学欧美的官费生，钱宝琮参加考试且被录取，16岁的他是年纪最小的一名。
同年9月，他与后来成为外交法律人才的翁文灏、胡文耀、徐新陆等8位考生由上海启程，搭乘“利照”号大轮赴欧洲。
1911年，他又跑到曼彻斯特工学院建筑系学习。
但因家境问题未能续读研究院课程，于1912年2月回国，先在杭州任浙江省民政司工程课课员，后为上海南洋公学附属中学数学教员。
同年8月，转至苏州的江苏省立第二工业学校任教，讲授土木工程兼代土木工程科主任，一年后辞去代科主任职务。
《数学史》数学的起源
欧拉
沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺 回来。欧拉完全失明以后，虽然生活在黑暗中，但仍然 以惊人的毅力与黑暗搏斗，欧拉的记忆力也确实罕见， 他能够完整地背诵出几十年前的笔记内容，数学公式当 然更能背诵如流。欧拉总是把推理过程想得很细，然后 口授，由他的长子记录。他用这种方法又发表了论文４ ００多篇以及多部专著，这几乎占他全部著作的半数以 上。直到逝世，竟达17年之久。
分数分解
研究埃及数学的依据
埃及最古老的文字是象形文字，后来演变成一种较简单的书写 体，通常叫僧侣文。除了这两卷纸草书外，还有一些写在羊皮 上或用象形文字刻在石碑上和木头上的史料，藏于世界各地。 两卷纸草书的年代在公元前1850～前1650年之间，相当于中 国的夏代。
单位分数之和：
7 1 1 1 1 1 29 6 24 58 87 232
a 2uv, b u 2 v 2 , c u 2 v 2
（2）相当于给出了正割的平方表.
下面介绍两位大家比较熟悉的数学家：
柯西 和 欧拉。
柯西
柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857），出生生 于巴黎，在数学领域，有很高的建树和造诣。很多数学 的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、 柯西积分公式...他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚 的，在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的 人，他一生一共著作了789篇论文和几本书。
古埃及人创造出了几套文字，其中一套是象形文 字．“象形文字”这个词源于希腊文，意思是神圣的文 字．直到基督降生的年代，埃及在纪念碑文和器皿上还 刻有象形字．自公元前2500年左右起，开始使用象形文 字的缩写，称作僧侣文(hieraticwriting)．
数学中的数学史研究
数学中的数学史研究数学，作为一门精确的科学，其发展历程非常复杂而漫长。
数学史研究旨在探索数学的起源、发展和变革，揭示数学背后的思想、方法和应用。
本文将根据数学的发展历史，从古代到现代，探讨数学史研究的重要性和意义。
一、古代数学的起源与发展古埃及、巴比伦、希腊等文明古国都有各自的数学传统。
古埃及人以计算为主，他们用简单的数学技巧解决日常生活中的实际问题。
而巴比伦人则重视代数和几何学，他们开发了一套复杂的计算方法，包括解方程和计算三角形面积等。
古希腊是数学发展的重要里程碑。
毕达哥拉斯学派提出了许多数学概念和定理，如毕达哥拉斯定理。
欧几里得在《几何原本》中系统总结了古代希腊数学的发展成果，并奠定了几何学的基础。
这些数学成果为后世的数学研究提供了坚实的基础。
二、中世纪数学的发展与转变中世纪的数学发展受到了宗教和哲学的限制，研究集中在几何学和代数学领域。
阿拉伯数学家穆罕默德·本·穆萨（Mohammad ibn Musa）在《勾股定理》中详细介绍了勾股定理的运用。
然而，在这个时期，数学逐渐成为独立的学科，开始追求自身的内在逻辑和方法。
文艺复兴时期，数学逐渐被视为一门重要的研究对象。
皮亚诺的《算术原理》和《几何原理》奠定了现代数学的基础。
同时，符号计算的引入也极大地促进了数学的研究。
数学家们开始注重推理和证明方法，逐渐发展出了严密的证明体系。
三、近代数学的创新与发展近代科学革命的兴起给数学研究带来了新的理论和方法。
牛顿和莱布尼兹的微积分发现为物理学、工程学和经济学的发展打下了基础。
拉格朗日、欧拉等数学家在微积分的基础上，进一步发展了变分法和级数理论。
19世纪的数学研究呈现出丰富多样的面貌，代数学、几何学和数论等分支得到了迅猛发展。
高斯提出了代数学的基本理论，开创了代数几何学的发展。
黎曼在复变函数理论上做出突破性的研究，奠定了拓扑学和复分析的基础。
庞加莱则为拓扑学的发展做出了巨大贡献。
四、现代数学的前沿与挑战20世纪数学的发展既有新的理论架构的构建，也有对经典理论的深入研究和拓展。
数学史的研究概况
作者： 严敦杰
出版物刊名： 中国科技史杂志
页码： 121-126页
主题词： 数学史学 中国数学史 数学思想 十九世纪 概率论 科学史研究所 天文学史 二十世纪初 三个阶段 出版
摘要： <正> 一、数学史研究的历史关于数学史研究的历史,基本上可以分为三个阶段。
最早是法国满得拉的《数学史》,初版成于1758年,只两卷;新版成于1799—1802年,凡四卷。
第三卷中已引用了早期概率论的历史。
这部书大约支配了一个世纪。
到十九世纪末及二十世纪初,德国坎托尔编写了四卷本的数学史专著,奠定了数学史这门学科的基础。
坎托尔的著作影响很大,解放前我国编写中国数学史也受其影响。
这部书主要是描述性的,资料很多,但分析较少。
坎托尔的书也支配了约半个世纪。
到四十年代末,美国斯特洛伊克的《数学简史》一书出版,把数学。
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Ｉ 《 学》 科 中的科 学 史 研 究概 述
《 科学 》 志创 办于 １ ｌ 杂 ９ ５年 ， 刊 于 １ ５ 停 ９ ０年 ． 此期 间 ， 本 以月 刊 的形 式 出版 ， 在 基 每年 为 １ ， 卷 每卷 分 为 １ ． ２期 中间 由于战 事 和经费 等原 因 曾合刊甚 至停 刊 ， 以 ３ 所 ６年 问共 出 版 ３ ２卷 ． 科 学 》 《 的发 起人 是 胡 明 复 ，
天 文 学史 大纲 》 等 ， 也有 外 国的科 学史 ， 《发 达 之 概 况 》 ． ［、 ３ ［ 等 以时 间来 ４
分类 ， 既有 古代 科学 史 ， 中 国古 代 陶业之 科学 观 》５、 古代 巴 比伦人 对 于生理 化学 之发 明 》 ， 如《 Ｌ 《 ］ ［ 等 也有 近现 ６
史 、 理学 史 、 学 史等 ． 物 化 这些 文章 记载 了科 学 发生 和发 展 的过 程 ， 一过 程 也包 括 我 国 近代 史 上 著名 的“ 这 西
学 东 渐” ．
《 科学 》 学者们 提 供 了学术 研究 和学 术 交 流 的平 台 ， 时也 培 养 了一 批科 学 史 界 的泰 斗人 物 ， 以说 为 同 可
算 学史 》《３ 、 １算椭 圆周术 》计 １ 篇 多． ， ５ 从 １２ ９ ０年 开始 ，李 俨所 藏 中 国算 书 目录》 科学 》 《 在《 连载 ， 到第 １ 卷 ， 刊登过 多次 ， ５ ８ 续 共 ３页． 李俨 将 书
目发表 于《 学 》 通过《 科 ， 科学 》 广泛 的影 响力 ， 征集 自己所没 有 的科技 史 料 科 学 》 ３卷 和 １ 《 １ ４卷 曾 多次 登 出 李 俨《 征求 中 国算 学书启 事 》 的广告 ， 表示 只要 是李 俨所 藏 算学 书 目上 没 有 的古算 书 ， 都愿 意 出钱收 购 ， 即使 不 能转 让也 愿意 出资借 抄． 另外 ， 也不 吝啬 自己的收藏 ， 中算史 书得 到充分 利用 ， 他 使 必要 时方便 其他 同仁 们 借 阅． 钱 宝琮 的著作 数量 不及李 俨 ， 由于其论 文多 见于《 又 学艺 》 等其 他 杂志 ， 以发表 于《 学 》 所 科 的文章 数 目并 不 多 ， 九章算 术盈不 足术 流传 欧洲考 》 《 髀算 经 考 》 《 子 算经 考 》 《 侯 阳算 经考 》 ， 文章 多 集 中 有《 、周 、孙 、夏 等 其
第４卷 第 ４ １ 期
２１ ０ ２年 ７月
内 蒙古 师 范 大 学 学 报 （ 自然 科 学 汉 文 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＩ ｎ ｒ Ｍ ｏ ｇ ｌ ｒ ｌＵｎ ｖ ｒ ｉ （ ｔ ｒ ｌＳ ｉ ｎ ｅ Ｅｄ ｔ ｎ ｏ ｒ ａ ｎ ｅ ｎ ｏ ｉ Ｎｏ ｍａ ｉｅ ｓｔ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｉｉ ） ｏ ａ ｙ ｏ
赵元任， 仁， 周 秉志 ， 章元 善 ， 探先 ， 过 金邦 正 ， 杏佛 ， 鸿侮 ， 九 人． 的作 者 包括 了 当时各 学 科 的代 表 性 杨 任 共 它
人物 ， 除个别 学 科外 ， 者和学 科 的分 布体现 了当时 各学 科 的发展 情况 ． 作
《 科学 社招 股章 程 》 中规定 ：本 社发 起《 “ 科学 》 刊 ， 月 以提倡 科 学 ， 吹 实业 ， 鼓 拟定 名词 ， 传播 科学 知识 为宗
收 稿 日期 ；２ ｌ－ ３０ Ｏ ２０ —９ 基 金 项 目 ：国 家 社 会 科 学 基 金 重 大 项 目（ Ｏ Ｄ ９ ） １ ＆Ｚ ０ ５
作 者 简介 ：刘 通 信 作 者 ：代
敏 （９ ５ ） 女 ， １ ８ 一 ， 内蒙 古 乌 海 市 人 ， 蒙 古 师 范 大 学 博 士 研 究 生 ， 和 浩 特 职 业 学 院 讲 师 ， 要从 事科 学技 术 思 想 史 研 究 内 呼 主 ￣ （ ９ ２ ） 男 （ 古 族 ） 内 蒙 古 科 右 中 旗人 ， 蒙 古 师 范 大 学 教 授 ， 学 博 士 ， 士 生 导 师 ， 要 从 事 数 学 史 、 学 教 育 、 １６－ ， 蒙 ， 内 哲 博 主 数
文 章 进行分 类 而成 的． 目录索引 中将 科学 史类 文章 目录单独 列 出 ， 为算 学 史 、 文学 史 、 理 学史 、 学 在 分 天 物 化
史 、 地学史 、 用科 学史 和其 他 ． 史 应
《 科学 》 中科 学史 文 章涵 盖面很 广 ， 以空 间来 分类 ， 既有 中 国科学 史 ， 孙 子算 经 考 》 ］《 汉 以前 中 国 如《 ［ 、东 １
教 育 哲 学 研 究 ， — ｉ ｄ ｉｉｏ ｉ ｕ ｅｕ ｃ ． Ｅ ｍａｌ ａ ｎ ＠ ｍｎ ． ｄ ． ｎ ： ｑ
内蒙古师范大学学报 （ 自然 科 学 汉 文 版 ）
第４ １卷
《 学》 科 是与一 代科 学史 界 的大师共 同成 长 的刊物． 科 学 》 为 民 国时 期最重 要 的综合性 自然科学 刊物之 一 ， 《 作
在 科学 史特别 是数 学史 的形成 和发 展过 程 中 ， 当了重 要 的媒介 角色 ， 充 具有 重要 的历史 意义．
２ 《 学 》 中 国数 学史 研 究 的发 源地 之 一 科 是
中 国是 数学最 早萌 芽 、 生和 发展 的 国家之一 ， 产 中国数 学 的起 源可 以追溯 到 远古 时 期． 一些 古代 数 学 的 成 就在 历史上 曾处 于遥 遥领先 的地 位 ， 是 到了近 代却 远落 后 于 国际 数学水 平． 但 民 国时期 数 学史研 究 尚处 于启 蒙 阶段 ，科 学 》 学 艺 》 数 学史 研 究 的主 要发 源 地． 科 学 》 １ １ 《 和《 是 《 于 ９ ５年
学 》 发表 了大量 的数学 史类 文章 ， 上 这些 文章 中有很 多 数学 史 研究 的经典 之作 ， 《 如 中国算 学 史余 录 》 《 球 、琉
之 结绳 与文 字 》《 数之 发 明及 其 东来 》 《 角术及 三角 函数 表之 东来 》 《 、对 、三 、 明清 算家 之割 圆术研 究 》《 、 中算 史 之 工作 》《 、 中算家 之级数 论 》《 、 中算家 之 方程 论 》《 十 年来 中算史 料 之 发 现 》 《 、二 、 唐宋 元 明 数 学教 育 制 度 》 、 《 国算学 略说 》《 中 、林鹤 一传 略》 《 、 章用君 修治 中国算 学史 遗事 》 《 、 中算家 之 圆锥 曲线 说 》《 十 年来 之 中 国 、三
创 刊 于美 国 ，９ ８年 迁至上 海 ，学艺 》 １ １ １１ 《 于 ９ ７年创 刊于 １ ，９ ０年 迁至上 海． 两种 杂志是旅 美 和 留 １学 ３本 １ ２ 这 ３
生创办 的宣 传和 交流科 学思想 的具 有广 泛影 响力 的刊 物． 此外 ， 当时 发表 数学 史类 文 章 的还 有《 京学 报 》 燕 、 《 图书 季刊 》 就 数量 而言 ， 表 于《 等． 发 科学 》 学艺 》 和《 的文章 占当时数学史 研究 文章 总量 的 ８ 以上 ． Ｏ 《 科学 》 近代 数学 的发展 起 到了积极 的推动作 用 ， 对 在数 学 教 育 、 学史 等 领域 也 起 到 了奠基 作 用． 国 数 中 第 一位 获得博 士学 位的 数学家 胡 明复是《 科学 》 的发 起人 和 主 要作 者 之一． 科 学 》 《 中数 学史 类 文 章 的作 者 多 为数学 史界 的开创 者 、 基人或 代表 人物 ， 奠 如李 俨 、 钱宝琮 、 上义夫 、 敦杰等 ． 三 严 李 俨在《 十年来之 中国算 学史 》 三 的绪 言 中所言 ：前 清末 叶 ， “ 国内志 士深知 非研 制科学无 以 自强 ， 以算 又 学 为科 学基础 ， 专力 修治 中外算 学者 ， 为数 １多． 对于 中 国算 学史 之研究 ， 除畴人 传一 书 ， ３ 但 则 初无 他项 典籍 ， 可 供参 考． 民元 以来 ， 种科学 研究 工作 由科 学 社 主持 ， 出版《 学 》 中 国算 学史 研究 亦 同时开 始 ． ［ 各 并 科 ． ”１ 妇可 见 ，科 学 》 中国数 学 史 的 研 究 开 辟 了崭 新 的阵 地 ， 以 当 之无 愧 地被 称 为 是 中 国数 学 史 研 究 的发 源 地 《 为 可
于《 学 》 １ 科 第 ２卷 到 １ ４卷．
三 上义 夫是 ２ Ｏ世 纪初 国外最 重要 的 中算 史家 ， 不但 在 中 国数 学史 界 颇负 盛 名 ， 而且 在使 世 界 学者 了解 中 国古 代数 学方 面做 出了重 大 的贡献． 三上 义夫对 中 国古 代数 学 的研 究 工作 ， 于李 俨． 早 他对 中 国古代 数 学 史 的研 究 ， 别是 在对 中算 家的 圆周率研 究成 果 的总结 方面 影响 了李 俨 、 特 钱宝琮 、 以升等 人． ９ ７年 ， 关 茅 １２ 他
史 研究 在《 科学 》 中是 占有一席 之 地 的．
２ 世 纪 二三 十年代 ， 国还 没有 形成 “ 学史 ” Ｏ 我 科 或者 “ 学 技术 史 ” 科 学科 ， 科 学 》 《 中刊 登 的大 量 科学 史 类 文章 ， 为后 来科 学史 和各 学科 史 的研究 奠定 了坚 实 的基 础． 中 国科 学社 １ ３ ９ ２年 编辑 出版 了《 学 首 十五卷 目录索 引 》 此 目录索 引 是按 照 专 业将 《 学 》 １ 科 ， 科 前 ５卷 的
代 科 学史 ， 近五 十年 来算 学现 状 （ ） 数论 》 《 十年 来数 理学 在法 国之 概况 》８ ． 如《 一 倚 ［ 五 、 Ｌ 等 以内容来 分类 ， 既 有 综合 科学 史 ， 科 学 历史之 时 代 》 ］《 近 四世纪 科 学进 步之 大 略》 等 ， 如《 ［ 、最 ９ ［ 也有 学科 史 ， 算学 史 、 文学 如 天