2019年温州永嘉中学提前自主招生选拔模拟考试数学试题及参考答案(含详解)

2019年温州永嘉中学提前自主招生选拔模拟考试

数学试题

（时间：120分钟满分：150分）

一、选择题（共8小题，满分48分，每小题6分）

1．（2017•浙江诸暨中学自主招生）已知a＜0，ab＜0，化简|a﹣b﹣1|﹣|2+b﹣a|的结果是（）

A．1B．3C．﹣1D．﹣3

2．x，y满足0＜x＜y，且，则不同的整数对（x，y）的对数为（）A．7B．8C．9D．10

3．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）

A．36种B．48种C．96种D．192种4．（2017•湖北武汉一中自主招生）如图，正方形OPQR内接于△ABC．已知△AOR、△BOP和△CRQ的面积分别是S1＝1，S2＝3和S3＝1，那么，正方形OPQR的边长是（）

A．B．C．2D．3

第4题第6题

5．（2017•江苏江阴中学自主招生）对于方程x2﹣2|x|+2＝m，如果方程实根的个数为3个，则m的值等于（）

A．1B．C．2D．2.5 6．（2017•湖北黄冈中学自主招生）如图，正方形ABCD的边AB＝1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）

A．B．1﹣C．﹣1D．1﹣7．（2017•浙江萧山中学自主招生）已知在△ABC中，∠BAC＝90°，M是边BC

的中点，BC的延长线上的点N满足AM⊥AN．△ABC的内切圆与边AB、AC 的切点分别为E、F，延长EF分别与AN、BC的延长线交于P、Q，则＝（）A．1B．0.5C．2D．1.5

8．抛物线y＝ax2与直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是（）

A．≤a≤1B．≤a≤2C．≤a≤1D．≤a≤2

二、填空题（共6小题，满分36分，每小题6分）

9．（2017•湖北黄冈中学自主招生）方程组的解是．

10．（2017•安徽芜湖一中自主招生）已知x、y是实数且满足x2+xy+y2﹣2＝0，设M＝x2﹣xy+y2，则M的取值范围是．

11．设（x2﹣x﹣2）4＝a8x8+a7x7+a6x6+…+a2x2+a1x1+a0，对于任意的x∈R成立，则式子a8+a6+…+a0的值为．

12．（2017•湖北武汉一中自主招生）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB 的上有一运动的点P．从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH 的内心为I，当点P在上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为．

第12题第14题13．（2017•浙江诸暨中学自主招生）如果记f（x）＝，并且f（1）表示当x＝1时y的值，即f（1）＝，那么f（2014）+f（2013）+…+f（2）+f （1）+f（）+f（）+…+f（）＝．

14．如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△B n+1D n∁n的面积为S n，则S n＝

（用含n的式子表示）．

三、解答题（共6小题，满分66分）

15．（10分）（2015•宁波重点高中自主招生）已知函数y＝（x＞1，m＞0）的图象C是由函数y＝（x＞0，m＞0）的图象向右平移一个单位得到，如图所示，函数y＝﹣x+5的图象与图象C交于A，B两点，作AD⊥y轴，垂足为D．（Ⅰ）求实数m的取值范围；

（Ⅱ）若AB＝AD，求实数m的值．

第15题

16．（10分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣4nx﹣2n＝1和x2﹣（3n﹣1）x+2n2﹣3n＝2，问是否存在这样的n值，使得第一个方程的两实根的平方和等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n值；若不存在，请说明理由．

17．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M，N，点P在AB的延长线上，且∠CAB＝2∠BCP．

（1）求证：直线CP是⊙O的切线；

（2）若BC＝2，sin∠BCP＝，求△ACP的周长．

第17题

18．（12分）（2011•浙江苍南中学自主招生）通过观察a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0可知：，与此类比，当a≥0，b≥0时，（要求填写），你观察得到的这个不等式是一个重要不等式，它在证明不等式和求函数的极大值或者极小值中非常有用．请你运用上述不等式解决下列问题：

（1）求证：当x＞0时，；

（2）求证：当x＞1时，；

（3）的最小值是．

19．（12分）如图，已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于E、F，EF与AC相交于点P．

（1）求证：PA•PE＝PC•PF；

（2）求证：；

（3）当⊙O与⊙O′为等圆时，且PC：CE：EP＝3：4：5时，求△PEC与△FAP 的面积的比值．

第19题

20．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C，已知点A的坐标为（﹣3，0），点B坐标为（1，0），点C在y轴的正半轴，且∠CAB ＝30°．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）若直线l：y＝x+m从点C开始沿y轴向下平移，分别交x轴、y轴于点

D、E．

①当m＞0时，在线段AC上否存在点P，使得点P，D，E构成等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

②以动直线l为对称轴，线段AC关于直线l的对称线段A′C′与二次函数图象有交点，请直接写出m的取值范围．

第20题

2019年温州永嘉中学提前自主招生选拔模拟考试

数学试题参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题，满分48分，每小题6分）

1．已知a＜0，ab＜0，化简|a﹣b﹣1|﹣|2+b﹣a|的结果是（）

A．1B．3C．﹣1D．﹣3

【解析】由于a＜0，ab＜0，

∴b＞0，

∴a﹣b﹣1＜0，

2+b﹣a＞0，

∴原式＝﹣（a﹣b﹣1）﹣（2+b﹣a）

＝﹣a+b+1﹣2﹣b+a

＝﹣1

故选：C．

2．x，y满足0＜x＜y，且，则不同的整数对（x，y）的对数为（）A．7B．8C．9D．10

【解析】∵0＜x＜y，且+＝＝20＝+19＝2+18＝3+17＝4+16＝5+15＝6+14＝7+13＝8+12＝9+11，

∴不同的整数对（x，y）的对数为9，

故选：C．

3．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）

A．36种B．48种C．96种D．192种

【解析】设4门课程分别为1，2，3，4，甲选修2门，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6种情况，同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4种情况，∴不同的选修方案共有6×4×4＝96种，故选C．4．（2017•江汉区校级自主招生）如图，正方形OPQR内接于△ABC．已知△AOR、△BOP和△CRQ的面积分别是S1＝1，S2＝3和S3＝1，那么，正方形OPQR的