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2024 考研数学(二)真题试卷及参考答案
试卷及解2024考研数学（二）真题析一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.函数1(1)(2)()x x f x x --=的第一类间断点的个数是A.3. B.2.C.1.D.0.1.【答案】C【解析】无定义点为12x x ==，对于()()()()()111lim1121211,lim ||ee x x x x x x x x x →⋅-----→===，故1x =是可去间断点.对于()()11222,lim ||x x x x x ---→==+∞，故2x =是第二类间断点另外，0x =是分段点，()()()011limln 12(12lim||ex xx x x x x x →⋅----→==+∞∣，故0x =是第二类间断点.因此只有一个第一类间断点2.设函数()y f x =由参数方程231,et x t y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则2lim 2(2)x x ff x →+∞⎡⎤⎛⎫+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦A.2e.B.4e 3.C.2e3.D.e3.2.【答案】B【解析】()222lim22x f f x x→+∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⋅原式()'22f +=1d d d d t y t x t==2212e 23tt t t==⋅4e 3=.3.设函数sin 30()sin d ,()()d ,xxf x t tg x f t t ==⎰⎰则A.()f x 是奇函数，()g x 是奇函数.B.()f x 是奇函数，()g x 是偶函数.C.()f x 是偶函数，()g x 是偶函数.D.()f x 是偶函数，()g x 是奇函数.3.【答案】D【解析】()sin 30sin d xf x t t =⎰，()3sin(sin )cos f x x x ='为奇函数.所以()f x 为偶函数，()()0d xg x f t t =⎰为奇函数.4.已知数列{}(0),n n a a ≠若{}n a 发散，则A.1n n a a ⎧⎫+⎨⎩⎭发散. B.1n n a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭发散.C.1ee nn a a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭发散. D.1ee nn a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭发散.4.【答案】D【解析】选项A ：取=22n a 11，，， (22)，112+.2n n a a +收敛到错误.选项B ：取=1,1,1,1,,n a -- 10.n na a -收敛到错误.选项C ：取=ln 2,ln 2,ln 2,ln 2,,n a -- 11e2e 2nna a ++收敛到错误.5.已知函数221()sin 0,(,)0,0,x y xy xy f x y xy ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，则在点（0,0）处A.(,)f x y x ∂∂连续，(,)f x y 可微.B.(,)f x y x ∂∂连续，(,)f x y 不可微.C.(,)f x y x ∂∂不连续，(,)f x y 可微.D.(,)f x y x∂∂不连续，(,)f x y 不可微.5.【答案】C 【解析】()(()(,0,0,0,000limlimx y x y x y →→≠≠--⋅+⋅--⋅+⋅=或()(()(()22,0,0,0,000001sin0limlim0,x y x y x y x y x y xy→→≠≠≠≠+---⋅+⋅==且且则(),f x y 在（0,0）处可微.而()2221112sin cos ,0,(,)=0,0,x x y xy f x y xy xy x y x xy ⎧⎛⎫++-≠∂⎪ ⎪⎨⎝⎭∂⎪=⎩()()()()()()222,0,0,0,00000,11limlim 2sin cos x y x y x y x y x y f x y x xxy x y xy →→≠≠≠≠⎡⎤+∂⎢⎥=-∂⎢⎥⎣⎦且且不存在，从而(),f x y x∂∂在（0,0）处不连续.6.设(,)f x y 是连续函数，则12sin 6d (,)d xx f x y y ππ=⎰⎰A.1arcsin 126d (,)d .y y f x y x π⎰⎰B.121arcsin 2d (,)d .yy f x y x π⎰⎰C.1arcsin 206d (,)d .yy f x y x π⎰⎰D.122arcsin d (,)d .yy f x y x π⎰⎰6．【答案】A【解析】11arcsin 21sin 266d (,)d d (,)d .yxx f x y y y f x y x πππ==⎰⎰⎰⎰选A .7.设非负函数()f x 在∞[0,+)上连续.给出以下三个命题：①若20()d f x x +∞⎰收敛，则0()d f x x +∞⎰收敛；②若存在1,p >使得lim ()px x f x →+∞存在，则0()d f x x +∞⎰收敛;③若0()d f x x +∞⎰收敛，则存在1,p >使得lim ()p x x f x →+∞存在.其中真命题的个数为A.0.B.1.C.2.D.3.【答案】B【解析】①取()2011(),d 11f x x x x +∞=++⎰收敛，01d .1x x +∞+⎰发散，错误②极限比较判别法原话.正确.③极限比较判别法为充分不必要条件.错误.()()()201d 1,lim .1ln 1px x p x f x x x +∞→+∞>=∞++⎰取收敛，8.设A 为3阶矩阵，100010101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，P 若T 2200020a c c b c c +⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，P AP 则=A A.0000.00c a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ B.0000.00b c a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭C.0000.00a b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭D.0000.00c b a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭8.【答案】C【解析】()3T 212010000, 010120101a c c b c c +⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且AP B P E P ，故()()()11112233T11T (1)(1)----⎡⎤==⎣⎦PA B P E B E 11131313131T3T131 (1)(1)(1)(1)(1)(1)---⎡⎤==---⎣⎦E BE E E BE E 0 10120100100010001001000120101101a c c b c c -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 0001001000000010010002010110100 a b b c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.9.设A 为4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若*()=-A A A O 且*≠，A A 则()r A 取值为A.0或1.B.1或3.C.2或3.D.1或2.9.【答案】D【解析】由题意可知*()=-A A A O ，故()()*4r r +-≤A A A.()***,,1r ≠-≠-≥又故即A A A A A O A 因此() 3r ≤A .又()*2*22-=-=-==OA A AAAA A A E A ()()**2,0r r ⇒≤=⇒=此时OA A A 又()*1r ≠⇒≥A A A ，故()12r =或A .10.设,A B 为2阶矩阵，且=,AB BA 则“A 有两个不相等的特征值”是“B 可对角化”的A.充分必要条件.B.充分不必要条件.C.必要不充分条件.D.既不充分也不必要条件.10.【答案】B【解析】方法一充分性，A 有两个不相等的特征值，故A 必可相似对角化.又=,AB BA ，且A 有2个不同特征值，故A 的特征向量都是A 的特征向量.（利用线代9讲结论）又A 有2个线性无关特征向量，故B 有2个线性无关特征向量，故B 必可相似对角化.必要性，B 可相似对角化，不妨取,==B E A E ，则推翻.【解析】方法二因题知A 有两个不同特征值，不妨设为12λλ，且12λλ≠，则存在可逆阵P 使1121111111122 λλλλλλ-------⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭=⇔=⎛⎫⎛⎫⇔= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又P AP AB BA P APP BP P BPP APP BP P BP B 可相似对角化1-⇔P BP 可相似对角化.12134121211343422111211221223241324 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b λλλλλλλλλλλλλλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⇔=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设代入上式由P BP 122222313311140000b b b b b b b b λλλλ--⇒=⇒==⇒=⎛⎫⇒=⇒ ⎪⎝⎭可对角化P BP P BP ⇒可对角化B 以上推导均基于12λλ≠，反之 可对角化B 无法推出A 有两不同特征值，故A 有两个不同特征值为 B 可对角化的充分非必要条件.二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分．11.曲线2y x =在点(0,0)处的曲率圆方程为.11.221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【答案】【解析】由图像可转化为2y x =处且()()3221y k y '''=+()0,020,2y xy ==''='12,2k R ==，2211(0)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.12.函数324(,)2961224f x y x x y x y =--++的极点是.12.【答案】（1,1）【解析】由23618120,24240,x y f x x f y '⎧=-+=⎪⎨'=-+=⎪⎩解得驻点为(1,1),(2,1).又21218,0,72,xxxy yy A f x B f C f y ''''''==-====-代入点（1,1）得24320,6,AC B A -=>=-故（1,1）是极大值点.代入点（2,1）得24320,AC B -=-<故（2,1）不是极值点.13.微分方程21()y x y '=+满足条件(1)0y =的解为.13.【答案】()π arctan 4x y y +=+【解析】方程化为2d ()d xx y y=+d d1d d x u u x y y y=+=-令则即2d 1d uu y=+则21d d 1u y u ⎰=⎰+arctan u y c=+代1,0,1x y u ===.得π 4c =得()πarctan 4x y y +=+14.已知函数2()(e 1)xf x x =+，则(5)(1)f =.14．【答案】31e 【解析】()()()52e 1x x +()()()(5)(4)22e 15e 1x x x x '=++⋅+⋅()()(5)225e 1''x C x ++2e 5e 210e 2x x x x x =⋅+⋅⋅+⋅⋅,则(5)e 10e 20e 31e(1)f++==15.某物体以速度()sin πv t t k t =+作直线运动.若它从0t =到3t =的时间段内平均速度是52，则k =.15．【答案】3π2【解析】30(sin )2πd 53t k t t+=⎰,则3015(sin )2πd t k t t +=⎰,30915cos 22k t -π=π915(11)22k ---=π,则3π2k =.16.设向量1231111,,,1111a ab a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα若123,,ααα线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则ab =.16．【答案】4-【解析】由()22123211111111011011,,1101101111011002a a a a a a a a b b a b a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪==→→⎪ ⎪ ⎪--+-+- ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ααα由()123,,2r ≤ααα且()(),2i j r i j =≠αα故()123,,2r =ααα1当1a =时，1α与3α相关，不满足题意2当1a ≠时，()()1231111011011,,0110012002002a aa ab a b a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪+--+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ααα故要满足题意，则20a +=且()120b a -+-=242a ab b =-⎧⇒⇒=-⎨=⎩三、解答题：17～22小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设平面有界区域D 位于第一象限由曲线1,33xy xy ==与直线1,3y x =3y x =围成，计算()1d d Dx y x y +-⎰⎰.17.【解】令yu xy v x==，，（1）x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（2）12J v ∂x ∂x==∂u∂y ∂v ∂y 故∂u∂v1331331d 1d 2u v v ⎛=+⋅ ⎝⎰⎰原式8ln33=.18.设()y x 为微分方程290,x y xy y '''+-=满足条件112,6x x y y =='==的解.（1）利用变换e tx =将上述方程化为常系数线性方程，并求();y x（2）计算21(.y x x ⎰解：（1）290,x y xy y '''+-=令e tx =，则222222d d d d 1d d 1d 1,,d d d d d d d y y t y y y y x t x t x x t x t x ⎛⎫⎛⎫===+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则2222d d d d 90,90d d d d y y y y y y t t t t-+-=-=即，()()()()3332121123221124e e ,1=233,1336,t t C y C C y x C x y C C x C y x C x y C C x -=+=+=+''=-=-=，，①②从而()312=2=0=2.C C y x x ，，则（2）2211(2y x x x x=⎰⎰3222226624352sin16sin4cos d64(1cos)cos d(cos)cos1164)d6435116464.38532816055x tt t t t t tt uu u u u uππππ==--⎛=-=-⎝⎛⎛=-==⎝⎭⎝⎭⎰⎰令令19.设0,t>平面有界区域D由曲线xy-=与直线,2x t x t==及x轴围成，D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积为()V t，求()V t的最大值.19.【解】222222π()π()dπe d(21)e4tt t x xt ttV t y x x x x x--===-+⎰⎰42π(41)e(21)e(0)4t tt t t--⎡⎤=-+-+>⎣⎦()42π1()16e4e0,ln4ln242t tV t t t t'--=--+===,(0,ln2),t∈maxπ3π()0,(ln2,),()0,ln2,[()]ln21664V t t V t t V t''>∈+∞<==+20.已知函数(,)f u v具有2阶连续偏导数，且函数(,)(2,3)g x y f x y x y=+-满足222226 1.g g gx x y y∂∂∂+-=∂∂∂∂（1）求2;fu v∂∂∂（2）若2(,0)1e,(0,)1,50uf u u f v vu-∂==-∂求(,)f u v的表达式.20.【解】（1）23g f fx u v∂∂∂=+∂∂∂2222222222222 2233234129g f f f f f f fx u u v u v v u u v v ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅++⋅=++⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，2gx y ∂∂∂222222222222(1)31)23f f f f f f f u u v u v v u u v v ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂=+⋅-++-=+- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，g f f y u v∂∂∂=-∂∂∂，()()2222222222222112g f f f f f f fy u u v u v v u u v v ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+⋅--+-=-+ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭,代回原式得，2 251f u v∂=∂∂,故2125f v v ∂=∂∂（2）()111d 2525f v v c u u ∂=⎰=+∂，()()1,0e e u uf u u c u u u --∂==∂代得，1e 25u f u v u -∂=+∂故，则()()()211,e d 1e 2525u u f u v u v u u uv c v --⎛⎫=⎰+=-+++ ⎪⎝⎭.代()210,150f v v =-得()22150c v v =综上：()()211,12550uf u v u e uv v -=-+++.21.设函数()f x 具有2阶导数，且()()()01, 1.f f f x ''''=≤证明：（1）当()0,1x ∈时，()()()()()1011;2x x f x f x f x ----≤（2）()()()1011d .212f f f x x +-≤⎰21.证明：（1）()12()(0)(0)2f f x f f x x ξ'''=++①()()22()(1)(1)1(1)2f f x f f x x ξ'''=+-+-②()1x x⋅-+⋅①②()()()()()12221()(0)(1)(1)(0)1(1)1(1)22f f f x f x f x f x x f x x x x xx ξξ''''''⇒=-++-+-+--+，21111()(0)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1).222 2f x f x f x x x x x x x x x x x ----+-=-+-=- （2）[]02111(1)1()(0)(1)(1)d ()d (0)(1)22x f x f x f x x f x x f f ----=-⋅-⋅⎰⎰1100(0)(1)(1)1()d d .22 12f f x x f x x x +-=-=⎰⎰ 22.设矩阵1101,11,1012a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭A B 二次型T123(,,)f x x x =x BAx .已知方程组=0Ax 的解均是T =0B x 的解，但这两个方程组不同解.（1）求,a b 的值；（2）求正交变换=x Qy 将123(,,)f x x x 化为标准形.22.【解】（1）由题意可知，=0Ax 的解均是T=0B x 的解故()r r ⎛⎫=⎪⎝⎭T A A B ,且()2r =A 011011011010101 11011001112011001a a a b b b a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭T 又A B 故1,2a b ==(2)111120111111210122224⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭BA CT T 112112224f ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭x BAx x x由()()12310,tr 6r λλλ=⇒====C C 当120λλ==时，得到线性无关的特征向量为12111,101⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ，单位化为12,0⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ =-= ⎪ ⎪ - ⎪⎪ ⎝⎭⎝η η当36λ=时，得到线性无关的特征向量为3112⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化为2112⎛⎫⎪=⎪⎪⎭η()123 ,,0⎛ ==-⎝故令Q ηηη则23T6f ===x Qyx Cx y。
2023年考研数学二真题及答案-完整版
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2023年考研数学二真题及答案一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1. 1ln(e )1y x x =+- 的斜渐近线为( ) A.e y x =+ B.1e y x =+ C.y x = D.1ey x =- 【答案】B.【解析】由已知1ln e 1y x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，则 1limlim ln e ln e 11x x y x x →∞→∞⎛⎫=+== ⎪-⎝⎭， 11lim lim ln e lim ln e 111x x x y x x x x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 1lim ln e ln e 1x x x →∞⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦ 1lim ln 1e(1)x x x →∞⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦1lime(1)ex x x →∞==-，所以斜渐近线为1ey x =+.故选B. 2.函数0()(1)cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的一个原函数为（ ）.A．)ln ,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B．)ln 1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C．)ln ,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D．)ln 1,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩【答案】D.【解析】由已知0lim ()lim ()(0)1x x f x f x f +-→→===，即()f x 连续. 所以()F x 在0x =处连续且可导，排除A ，C.又0x >时，[(1)cos sin ]cos (1)sin cos (1)sin x x x x x x x x x '+-=-+-=-+， 排除B.故选D.3.设数列{},{}n n x y 满足111111,sin ,22n n n n x y x x y y ++====,当n →∞时( ). A.n x 是n y 的高阶无穷小 B.n y 是n x 的高阶无穷小 C.n x 是n y 的等价无穷小D.n x 是n y 的同阶但非等价无穷小 【答案】B. 【解析】在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭中，2sin x x π>，从而12sin n n n x x x π+=>.又112n n y y +=，从而 1111122444n nn n nn n n y y y y x x x x ππππ++⎛⎫⎛⎫<=<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ， 所以11lim0n n n y x +→∞+=.故选B. 4. 若0y ay by '''++=的通解在(,)-∞+∞上有界，这（ ）.A.0,0a b <>B.0,0a b >>C.0,0a b =<D.0,0a b =>【答案】D【解析】微分方程0y ay by '''++=的特征方程为20r ar b ++=.①若240a b -<，则通解为212()e(cos sin )22a x y x C x C x -=+；②若240a b ->，则通解为2212()eea a x x y x C C ⎛⎛ -- ⎝⎭⎝⎭=+；③若240a b -=，则通解为212()()e a x y x C C x -=+.由于()y x 在(,)-∞+∞上有界，若02a ->，则①②③中x →+∞时通解无界，若02a-<，则①②③中x →-∞时通解无界，故0a =.0a =时，若0b > ，则1,2r =，通解为12()()y x C C =+，在(,)-∞+∞上有界.0a =时，若0b <，则1,2r =12()e y x C C =+，在(,)-∞+∞上无界.综上可得0a =，0b >.故选D.5. 设函数()y f x =由参数方程2||||sin x t t y t t =+⎧⎨=⎩确定，则( ).A.()f x 连续，(0)f '不存在B.(0)f '存在，()f x '在0x =处不连续C.()f x '连续，(0)f ''不存在D.(0)f ''存在，()f x ''在0x =处不连续【答案】C【解析】0lim lim ||sin 0(0)x t y t t y →→===，故()f x 在0x =连续.0()(0)||sin (0)limlim 02||x t f x f t tf x t t →→-'===+. sin cos ,03()()00()sin cos 0t t tt y t f x t x t t t t t +⎧>⎪⎪''===⎨'⎪--<⎪⎩0t =时，0x =；0t >时，0x >；0t <时，0x <，故()f x '在0x =连续.00sin cos 0()(0)23(0)lim lim 39x t t t tf x f f x t +++→→+-''-''===, 00()(0)sin cos 0(0)lim lim 2x t f x f t t t f x t---→→''----''===-,故(0)f ''不存在.故选C.6. 若函数121()(ln )αα+∞+=⎰f dx x x 在0=αα处取得最小值，则0=α( ) A.1ln(ln 2)-B.ln(ln 2)-C.1ln 2- D.ln 2【答案】A. 【解析】已知112221d(ln )111()d (ln )(ln )(ln )(ln 2)a a a ax f a x x x x x aa +∞+∞+∞-++===-=⎰⎰，则 2111ln ln 2111()ln ln 2(ln 2)(ln 2)(ln 2)a a af a a a a a ⎛⎫'=--=-+ ⎪⎝⎭， 令()0f a '=，解得01.ln ln 2a =-故选A.7.设函数2()()e x f x x a =+.若()f x 没有极值点,但曲线()y f x =有拐点,则a 的取值范围是( ). A.[0,1)B.[1,)+∞C.[1,2)D. [2,)+∞【答案】C.【解析】由于()f x 没有极值点,但曲线()y f x =有拐点，则2()(2)e x f x x x a '=++有两个相等的实根或者没有实根，2()(42)e x f x x x a ''=+++有两个不相等的实根.于是知440,164(2)0,a a -≤⎧⎨-+>⎩解得12a ≤<.故选C. 8. ,A B 为可逆矩阵，E 为单位阵，*M 为M 的伴随矩阵，则*⎛⎫= ⎪⎝⎭A E O BA.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B B A O B AB.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A A B O A B C.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A B A O A BD.****|||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B A B O B |A【答案】B 【解析】由于*||||||||⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E A E A E E O AB O O B O B O B O E O A B ，故*1||||||||-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E A E A B O O B O B OA B1111||||||||----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B O A A B O A B O B 1111||||||||||||----⎛⎫-= ⎪⎝⎭A A B A A B B O B A B ****||||⎛⎫-= ⎪⎝⎭A B A B OB A . 故选B. 9.222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--的规范形为A.2212y y +B.2212y y -C.2221234y y y +-D.222123y y y +-【答案】B 【解析】222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--222123121323233228x x x x x x x x x =--+++，二次型的矩阵为211134143⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，211210||134(7)131143141λλλλλλλ---=--=+-----A E210(7)210(7)(3)0141λλλλλλ-=+-=-+-=-， 1233,7,0λλλ==-=，故规范形为2212y y -，故选B.10.已知向量组121212212,1,5,03191⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ ，若γ 既可由12,αα 线性表示，又可由12,ββ线性表示，则=γ( )A.33,4k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭B.35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭C.11,2k k R -⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭D.15,8k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设11223142k k k k =+=+γααββ，则11223142k k k k +--=0ααββ，对关于1234,,,k k k k 的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形，121212211003(,,,)2150010131910011--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ααββ，解得T T T T1234(,,,)(3,1,1,1)(3,1,1,0)(33,1,1,)k k k k C C C C C =--+-=--+-，故=γ11221211(33)(1)5(1)5,8(1)8C k k C C C k k R C -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=-+-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αααα.故选D.二、填空题：11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上. 11．当0x →时，2()ln(1)f x ax bx x =+++与2()e cos x g x x =-是等价无穷小，则ab =________.【答案】2-【解析】由题意可知，2200()ln(1)1lim lim ()e cos x x x f x ax bx x g x x →→+++==-222022221()2lim 11+()[1()]2x ax bx x x o x x o x x o x →++-+=+--+ 220221(1)()()2lim 3()2x a x b x o x x o x →++-+=+，于是1310,22a b +=-=，即1,2a b =-=，从而2ab =-. 12.曲线y =⎰的孤长为_________.【答案】43π【解析】曲线y =⎰的孤长为x x ==2= 2sin 233022cos d2sin 8cos d x tt t t t ππ==⎰⎰31cos 282tdt π+=⎰ 3014sin 22t t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭43π=+13. 设函数(,)z z x y =由方程e 2zxz x y +=-确定，则22(1,1)xz∂=∂_________.【答案】32-【解析】将点(1,1)带入原方程，得0z =. 方程e 2z xz x y +=-两边对x 求偏导，得e2zz zz x x x∂∂++=∂∂， 两边再对x 求偏导，得22222e e 20zz z z z z x x x x x ∂∂∂∂⎛⎫+++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭，将1,1,0x y z ===代入以上两式，得(1,1)1z x ∂=∂，22(1,1)32xz∂=-∂.14. 曲线35332x y y =+在1x =对应点处的法线斜率为_________. 【答案】119-【解析】当1x =时，1y =.方程35332x y y =+两边对x 求导，得2429(56)x y y y '=+，将1x =，1y =代入，得9(1)11y '=.于是曲线35332x y y =+在1x =对应点处的法线斜率为119-. 15. 设连续函数()f x 满足(2)()f x f x x +-=，20()d 0f x x =⎰，则31()d f x x =⎰_________.【答案】12【解析】3323121111()d ()d ()d ()d ()d ()d f x x f x x f x x f x x f x x f x x =-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰312()d ()d f x x f x x=-⎰⎰111201(2)d ()d d 2x tf t t f x x x x -=+-==⎰⎰⎰. 16. 13123123121,0,20,2ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩ 有解，其中,a b 为常数，若0111412a a a = ，则11120a a ab =________. 【答案】8【解析】方程组有解，则0111101110||12211012001202a a a a a a a ab aa b ==-+=A ，故111280a a ab =.三、解答题：17~22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）设曲线):(e ()L y y x x =>经过点2(e ,0)，L 上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距，(Ⅰ)求()y x ；(Ⅱ)在L 上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积. 【解】(Ⅰ)曲线L 在点(,)P x y 处的切线方程为()()Y y y x X x '-=-，令0X =，则切线在y 轴上的截距为()Y y xy x '=-，则()x y xy x '=-，即11y y x'-=-，解得()(ln )y x x C x =-，其中C 为任意常数.又2(e )0y =，则2C =，故()(2ln )y x x x =-.(Ⅱ)设曲线L 在点(,(2ln ))x x x -处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程为(2ln )(1ln )()Y x x x X x --=--.令0Y =，则ln 1xX x =-；令0X =，则Y x =.故切线与两坐标轴所围三角形面积为211()22ln 12(ln 1)x x S x XY x x x ==⋅⋅=--， 则2(2ln 3)()2(ln 1)x x S x x -'=-.令()0S x '=，得驻点32e x =. 当32e e x <<时，()0S x '<；当32e x >时，()0S x '>，故()S x 在32e x =处取得极小值，同时也取最小值，且最小值为332(e )e S =.18.（本题满分12分）求函数2cos (,)e2yx f x y x =+的极值. 【解】由已知条件，有cos (,)e y x f x y x '=+，cos (,)e (sin )y y f x y x y '=-.令(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==，解得驻点为1,e k π⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中k 为奇数；(e,)k π-，其中k 为偶数.(,)1xxf x y ''=，cos (,)e (sin )y xy f x y y ''=-，cos 2cos (,)e sin e cos y y yy f x y x y x y ''=-. 在点1,e k π⎛⎫- ⎪⎝⎭处，其中k 为奇数，1,1e xx A f k π⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭，1,0e xy B f k π⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭，21,e e yy C f k π-⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭， 由于20AC B -<，故1,e k π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是极值点，其中k 为奇数.在点(e,)k π-处，其中k 为偶数，(e,)1xxA f k π''=-=，(e,)0xyB f k π''=-=，2(e,)e yyC f k π-''=-=，由于20AC B ->，且0A >，故(e,)k π-为极小值点，其中k 为偶数，且极小值为2e (e,)2f k π-=-.19.（本题满分12分）已知平面区域(,)|01D x y y x ⎧⎫=≤≤≥⎨⎬⎩⎭， （1）求平面区域D 的面积S .(2)求平面区域D 绕x 一周所形成的旋转体的体积.【解】(1)222144sec 1d d tan sec sin t S x t t t t tππππ+∞===⎰⎰⎰222244sin 1d d cos sin 1cos t t t t tππππ==--⎰⎰241cos 11ln2cos 12t t ππ-==+. (2) 222211111d d 1(1)14V x x x x x x ππππ+∞+∞⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰.20.（本题满分12分）设平面区域D 位于第一象限，由曲线221x y xy +-=，222x y xy +-=与直线,0y y ==围成，计算221d d 3Dx y x y +⎰⎰.【解】221d d 3Dx y x y +⎰⎰30d d πθρ=⎰32201d sin 3cos πθρθθ=+⎰322011ln 2d 2sin 3cos πθθθ=+⎰ 32011ln 2d tan 2tan 3πθθ=+⎰==.21.（本题满分12分）设函数()f x在[,]a a-上有二阶连续导数.（1）证明：若(0)0f=，存在(,)a aξ∈-，使得21()[()()]f f a f aaξ''=+-；（2）若()f x在(,)a a-上存在极值，证明：存在(,)a aη∈-，使得21|()||()()|2f f a f aaη''≥--.【证明】(1)将()f x在x=处展开为22()()()(0)(0)(0)2!2!f x f xf x f f x f xδδ''''''=++=+，其中δ介于0与x之间.分别令x a=-和x a=，则21()()(0)()2!f af a f aξ'''-=-+，1aξ-<<，22()()(0)()2!f af a f aξ'''=+，20aξ<<，两式相加可得212()()()()2f ff a f a aξξ''''+-+=，又函数()f x在[,]a a-上有二阶连续导数，由介值定理知存在ξ∈12[,](,)a aξξ⊂-，使得12()()()2f ffξξξ''''+=，即21()[()()]f f a f aaξ=-+.(2)设()f x在x处取得极值，则()0f x'=.将()f x在x处展开为22000000()()()() ()()()()()2!2!f x x f x xf x f x f x x x f xδδ''''--'=+-+=+，其中δ介于0x与x之间.分别令x a =-和x a =，则2100()()()()2!f a x f a f x η''+-=+，10a x η-<<， 2200()()()()2!f a x f a f x η''-=+，02x a η<<， 两式相减可得222010()()()()()()22f a x f a x f a f a ηη''''-+--=-， 所以222010()()()()|()()|22f a x f a x f a f a ηη''''-+--=-221020|()|()|()|()22f a x f a x ηη''''+-≤+220012|()|[()()](|()|max(|()|,|()|))2f a x a x f f f ηηηη''''''''≤++-= 2200|()|[()()]2|()|2f a x a x a f ηη''''≤++-=，即21|()||()()|2f f a f a aη''≥--.22.（本题满分12分）设矩阵A 满足对任意的123,,x x x 均有112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A .(1)求A(2)求可逆矩阵P 与对角阵Λ，使得1-=P AP Λ.【解】(1)由112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ，得112233*********x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，即方程组123111211011x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦0A 对任意的123,,x x x 均成立，故111211011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A . (2)111101||211(2)20011011λλλλλλλλ---=--=+-----A E ,(2)(2)(1)0λλλ=-+-+=,特征值为1232,2,1λλλ=-==-.3111002211011011000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,1011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α;1111042231013013000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A E ,2431⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α;211201************⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,3102-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,令123041(,,)130112-⎛⎫⎪==- ⎪⎪⎝⎭P ααα ，则1200020001--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭P AP Λ.。
2023年考研《数学二》真题及详解【完整版】
2023年全国硕士研究生招生考试考研《数学二》真题及详解【完整版】一、选择题：1〜10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中, 合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
只有一个选项是最符1.曲线y = xln （e^-LA 的渐近线方程为（）。
A. y=x+eB. y=x+l/eC. y=xD. y=x —1/e【试题答案】B【试题解析】由已知y = xln （e^ —\ JC 1xlnyk = lim — = lim ----X —00JQXTOO,则可得:limln e +X —00 I1=1b = lim (y-Ax) = lim XT8 ' / XToox-1扁仁上、—X=limxL|' 1、e +--------1_ l X-lyX —>00、x — l)1lim xln XToo1+limXToo所以斜渐近线方程为y=x+l/e 。
2.__,x<0函数 x/l +、2[(x + l)cosx,x > 0的原函数为（A.尸("In +— jv ) jv < 0(x + l)cos x - sin x, x > 0B.尸("In ^/1 + %2 —1, x V 0(x + l)cos x - sin x, x > 0C.In ^/1 + x 2 + x) x V 0(x + l)sin x + cos >In^|/1+%2+x1,jv V0D.F(x)=<(x+l)sin x+cos>0【试题答案】D【试题解析】当xWO时，可得:当x〉0时，可得:j f(x)ch=j(x+l)cos xdx=j(x+l)dsinx=(x+l)sin x-j sin xdx=(x+l)sin x+cos x+C2在x=O处，有：lim In@+J1+工2>G=G,lim(x+l)sin%+cos%+C2=1+C2由于原函数在(一8,+8)内连续，所以Ci=l+C2,令C2=C,则C1=1+C,故In1+%2+x1+C,x V0j/(x)dx=<(x+l)sin x+cos x+C,x>0In+x2+1,x<0令C=0,则f(x)的一个原函数为F(x)=<(x+l)sin x+cos>03.设数列{Xn},{yn}满足xi=yi=l/2,x n+i=sinx n,yn+i=y「，当n—8时()。
2023年四川考研数学二试题及答案
2023年四川考研数学二试题及答案一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.1ln(e 1y x x =+-的斜渐近线为()A.e y x =+B.1e y x =+C.y x =D.1e y x =-【答案】B.【解析】由已知1ln e 1y x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，则1limlimln e ln e 11x x y x x →∞→∞⎛⎫=+== ⎪-⎝⎭，11lim lim ln e lim ln e 111x x x y x x x x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦1lim ln e ln e 1x x x →∞⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦1lim ln 1e(1)x x x →∞⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦1lime(1)ex x x →∞==-，所以斜渐近线为1ey x =+.故选B.2.函数0()(1)cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的一个原函数为（）.A．)ln ,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B．)ln 1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C．)ln ,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪++>⎩D．)ln 1,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪++>⎩【答案】D.【解析】由已知0lim ()lim ()(0)1x x f x f x f +-→→===，即()f x 连续.所以()F x 在0x =处连续且可导，排除A，C.又0x >时，[(1)cos sin ]cos (1)sin cos (1)sin x x x x x x x x x '+-=-+-=-+，排除B.故选D.3.设数列{},{}n n x y 满足111111,sin ,22n n n n x y x x y y ++====,当n →∞时().A.n x 是n y 的高阶无穷小B.n y 是n x 的高阶无穷小C.n x 是n y 的等价无穷小D.n x 是n y 的同阶但非等价无穷小【答案】B.【解析】在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭中，2sin x x π>，从而12sin n n n x x x π+=>.又112n n y y +=，从而1111122444n nn n nn n n y y y y x x x x ππππ++⎛⎫⎛⎫<=<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以11lim0n n n y x +→∞+=.故选B.4.若0y ay by '''++=的通解在(,)-∞+∞上有界，这（）.A.0,0a b <>B.0,0a b >>C.0,0a b =<D.0,0a b =>【答案】D【解析】微分方程0y ay by '''++=的特征方程为20r ar b ++=.①若240a b -<，则通解为212()e(cos sin )22ax y x C x C x -=+；②若240a b ->，则通解为2212()eea a x x y x C C ⎛⎛ -- ⎝⎭⎝⎭=+；③若240a b -=，则通解为212()()e a x y x C C x -=+.由于()y x 在(,)-∞+∞上有界，若02a ->，则①②③中x →+∞时通解无界，若02a-<，则①②③中x →-∞时通解无界，故0a =.0a =时，若0b >，则1,2r =，通解为12()()y x C C =+，在(,)-∞+∞上有界.0a =时，若0b <，则1,2r =，通解为12()e y x C C =+，在(,)-∞+∞上无界.综上可得0a =，0b >.故选D.5.设函数()y f x =由参数方程2||||sin x t t y t t=+⎧⎨=⎩确定，则().A.()f x 连续，(0)f '不存在B.(0)f '存在，()f x '在0x =处不连续C.()f x '连续，(0)f ''不存在D.(0)f ''存在，()f x ''在0x =处不连续【答案】C【解析】0lim lim ||sin 0(0)x t y t t y →→===，故()f x 在0x =连续.0()(0)||sin (0)limlim 02||x t f x f t tf x t t →→-'===+.sin cos ,03()()00()sin cos 0t t tt y t f x t x t t t t t +⎧>⎪⎪''===⎨'⎪--<⎪⎩0t =时，0x =；0t >时，0x >；0t <时，0x <，故()f x '在0x =连续.00sin cos 0()(0)23(0)lim lim 39x t t t tf x f f x t +++→→+-''-''===,00()(0)sin cos 0(0)lim lim 2x t f x f t t t f x t---→→''----''===-,故(0)f ''不存在.故选C.6.若函数121()(ln )αα+∞+=⎰f dx x x 在0=αα处取得最小值，则0=α()A.1ln(ln 2)-B.ln(ln 2)-C.1ln 2- D.ln 2【答案】A.【解析】已知112221d(ln )111()d (ln )(ln )(ln )(ln 2)aa a ax f a x x x x x a a +∞+∞+∞-++===-=⎰⎰，则2111ln ln 2111()ln ln 2(ln 2)(ln 2)(ln 2)a a a f a a a a a ⎛⎫'=--=-+ ⎪⎝⎭，令()0f a '=，解得01.ln ln 2a =-故选A.7.设函数2()()e xf x x a =+.若()f x 没有极值点,但曲线()y f x =有拐点,则a 的取值范围是().A.[0,1)B.[1,)+∞ C.[1,2)D.[2,)+∞【答案】C.【解析】由于()f x 没有极值点,但曲线()y f x =有拐点，则2()(2)e xf x x x a '=++有两个相等的实根或者没有实根，2()(42)e xf x x x a ''=+++有两个不相等的实根.于是知440,164(2)0,a a -≤⎧⎨-+>⎩解得12a ≤<.故选C.8.,A B 为可逆矩阵，E 为单位阵，*M 为M 的伴随矩阵，则*⎛⎫=⎪⎝⎭A E O B A.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B B A O B A B.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A A B O A B C.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A B A O A B D.****|||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B A B O B |A 【答案】B 【解析】由于*||||||||⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E A E A E E O AB O O B O B O B O E O A B ，故*1||||||||-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E A E A B O O B O B OA B 1111||||||||----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B O A A B OA B OB 1111||||||||||||----⎛⎫-= ⎪⎝⎭A A B A A B B O B A B ****||||⎛⎫-= ⎪⎝⎭A B A B OB A .故选B.9.222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--的规范形为A.2212y y + B.2212y y - C.2221234y y y +- D.222123y y y +-【答案】B 【解析】222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--222123121323233228x x x x x x x x x =--+++，二次型的矩阵为211134143⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，211210||134(7)131143141λλλλλλλ---=--=+-----A E 210(7)210(7)(3)0141λλλλλλ-=+-=-+-=-，1233,7,0λλλ==-=，故规范形为2212y y -，故选B.10.已知向量组121212212,1,5,03191⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ，若γ既可由12,αα线性表示，又可由12,ββ线性表示，则=γ()A.33,4k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭ B.35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭C.11,2k k R -⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭D.15,8k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭【答案】D【解析】设11223142k k k k =+=+γααββ，则11223142k k k k +--=0ααββ，对关于1234,,,k k k k 的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形，121212211003(,,,)2150010131910011--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ααββ，解得T T T T 1234(,,,)(3,1,1,1)(3,1,1,0)(33,1,1,)k k k k C C C C C =--+-=--+-，故=γ11221211(33)(1)5(1)5,8(1)8C k k C C C k k R C -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+=-+-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αααα.故选D.二、填空题：11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.11．当0x →时，2()ln(1)f x ax bx x =+++与2()e cos x g x x =-是等价无穷小，则ab =________.【答案】2-【解析】由题意可知，2200()ln(1)1lim lim ()e cos x x x f x ax bx x g x x →→+++==-222022221()2lim 11+()[1()]2x ax bx x x o x x o x x o x →++-+=+--+220221(1)()()2lim 3()2x a x b x o x x o x →++-+=+，于是1310,22a b +=-=，即1,2a b =-=，从而2ab =-.12.曲线y =⎰的孤长为_________.【答案】43π+【解析】曲线y =⎰的孤长为x x ==2=2sin 233022cos d2sin 8cos d x tt t t t ππ==⎰⎰301cos 282tdt π+=⎰314sin 22t t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭43π=+13.设函数(,)z z x y =由方程e 2zxz x y +=-确定，则22(1,1)xz∂=∂_________.【答案】32-【解析】将点(1,1)带入原方程，得0z =.方程e 2z xz x y +=-两边对x 求偏导，得e2zz zz x x x∂∂++=∂∂，两边再对x 求偏导，得22222e e 20zz z z z z x x x x x ∂∂∂∂⎛⎫+++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭，将1,1,0x y z ===代入以上两式，得(1,1)1z x ∂=∂，22(1,1)32x z ∂=-∂.14.曲线35332x y y =+在1x =对应点处的法线斜率为_________.【答案】119-【解析】当1x =时，1y =.方程35332x y y =+两边对x 求导，得2429(56)x y y y '=+，将1x =，1y =代入，得9(1)11y '=.于是曲线35332x y y =+在1x =对应点处的法线斜率为119-.15.设连续函数()f x 满足(2)()f x f x x +-=，2()d 0f x x =⎰，则31()d f x x =⎰_________.【答案】12【解析】3323121111()d ()d ()d ()d ()d ()d f x x f x x f x x f x x f x x f x x=-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰312()d ()d f x x f x x=-⎰⎰111201(2)d ()d d 2x tf t t f x x x x -=+-==⎰⎰⎰.16.131********,0,20,2ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩有解，其中,a b 为常数，若0111412a a a=，则11120a a a b=________.【答案】8【解析】方程组有解，则0111101110||12211012001202a a a a a a a a baa b==-+=A ，故111280a a ab =.三、解答题：17~22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）设曲线):(e ()L y y x x =>经过点2(e ,0)，L 上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距，(Ⅰ)求()y x ；(Ⅱ)在L 上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积.【解】(Ⅰ)曲线L 在点(,)P x y 处的切线方程为()()Y y y x X x '-=-，令0X =，则切线在y 轴上的截距为()Y y xy x '=-，则()x y xy x '=-，即11y y x'-=-，解得()(ln )y x x C x =-，其中C 为任意常数.又2(e )0y =，则2C =，故()(2ln )y x x x =-.(Ⅱ)设曲线L 在点(,(2ln ))x x x -处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程为(2ln )(1ln )()Y x x x X x --=--.令0Y =，则ln 1xX x =-；令0X =，则Y x =.故切线与两坐标轴所围三角形面积为211()22ln 12(ln 1)x x S x XY x x x ==⋅⋅=--，则2(2ln 3)()2(ln 1)x x S x x -'=-.令()0S x '=，得驻点32e x =.当32e e x <<时，()0S x '<；当32e x >时，()0S x '>，故()S x 在32e x =处取得极小值，同时也取最小值，且最小值为332(e )e S =.18.（本题满分12分）求函数2cos (,)e2yx f x y x =+的极值.【解】由已知条件，有cos (,)e y x f x y x '=+，cos (,)e (sin )y y f x y x y '=-.令(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==，解得驻点为1,ek π⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中k 为奇数；(e,)k π-，其中k 为偶数.(,)1xxf x y ''=，cos (,)e (sin )y xy f x y y ''=-，cos 2cos (,)e sin e cos y y yy f x y x y x y ''=-.在点1,ek π⎛⎫- ⎪⎝⎭处，其中k 为奇数，1,1e xx A f k π⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭，1,0e xy B f k π⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭，21,e e yy C f k π-⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭，由于20AC B -<，故1,ek π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是极值点，其中k 为奇数.在点(e,)k π-处，其中k 为偶数，(e,)1xxA f k π''=-=，(e,)0xyB f k π''=-=，2(e,)e yyC f k π-''=-=，由于20AC B ->，且0A >，故(e,)k π-为极小值点，其中k 为偶数，且极小值为2e (e,)2f k π-=-.19.（本题满分12分）已知平面区域(,)|01D x y y x ⎧⎫=≤≤≥⎨⎬⎩⎭，（1）求平面区域D 的面积S .(2)求平面区域D 绕x 一周所形成的旋转体的体积.【解】(1)222144sec 1d d tan sec sin t S x t tt t tππππ+∞===⎰⎰⎰222244sin 1d d cos sin 1cos t t t t tππππ==--⎰⎰241cos 11lnln2cos 12t t ππ-==+.(2)222211111d d 1(1)14V x x x x x xππππ+∞+∞⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰.20.（本题满分12分）设平面区域D 位于第一象限，由曲线221x y xy +-=，222x y xy +-=与直线,0y y ==围成，计算221d d 3Dx y x y +⎰⎰.【解】221d d 3Dx y x y +⎰⎰30d d πθρ=⎰3221d sin 3cos πθρθθ=+⎰322011ln 2d 2sin 3cos πθθθ=+⎰32011ln 2d tan 2tan 3πθθ=+⎰==.21.（本题满分12分）设函数()f x 在[,]a a -上有二阶连续导数.（1）证明：若(0)0f =，存在(,)a a ξ∈-，使得21()[()()]f f a f a a ξ''=+-；（2）若()f x 在(,)a a -上存在极值，证明：存在(,)a a η∈-，使得21|()||()()|2f f a f a aη''≥--.【证明】(1)将()f x 在00x =处展开为22()()()(0)(0)(0)2!2!f x f x f x f f x f x δδ''''''=++=+，其中δ介于0与x 之间.分别令x a =-和x a =，则21()()(0)()2!f a f a f a ξ'''-=-+，10a ξ-<<，22()()(0)()2!f a f a f a ξ'''=+，20a ξ<<，两式相加可得212()()()()2f f f a f a a ξξ''''+-+=，又函数()f x 在[,]a a -上有二阶连续导数，由介值定理知存在ξ∈12[,](,)a a ξξ⊂-，使得12()()()2f f f ξξξ''''+=，即21()[()()]f f a f a a ξ=-+.(2)设()f x 在0x 处取得极值，则0()0f x '=.将()f x 在0x 处展开为22000000()()()()()()()()()2!2!f x x f x x f x f x f x x x f x δδ''''--'=+-+=+，其中δ介于0x 与x 之间.分别令x a =-和x a =，则2100()()()()2!f a x f a f x η''+-=+，10a x η-<<，2200()()()()2!f a x f a f x η''-=+，02x a η<<，两式相减可得222010()()()()()()22f a x f a x f a f a ηη''''-+--=-，所以222010()()()()|()()|22f a x f a x f a f a ηη''''-+--=-221020|()|()|()|()22f a x f a x ηη''''+-≤+220012|()|[()()](|()|max(|()|,|()|))2f a x a x f f f ηηηη''''''''≤++-=2200|()|[()()]2|()|2f a x a x a f ηη''''≤++-=，即21|()||()()|2f f a f a aη''≥--.22.（本题满分12分）设矩阵A 满足对任意的123,,x x x 均有112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A .(1)求A(2)求可逆矩阵P 与对角阵Λ，使得1-=P AP Λ.【解】(1)由112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ，得112233*********x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，即方程组123111211011x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦0A 对任意的123,,x x x 均成立，故111211011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A .(2)111101||211(2)20011011λλλλλλλλ---=--=+-----A E ,(2)(2)(1)0λλλ=-+-+=,特征值为1232,2,1λλλ=-==-.3111002211011011000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,1011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α;1111042231013013000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A E ,2431⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α;211201************⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,3102-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,令123041(,,)130112-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ααα，则1200020001--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭P AP Λ.。
考研真题《数学二》2023年考试真题与参考答案
考研真题：2023年《数学二》考试真题与参考答案一、选择题1〜10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1-*="+［）的斜渐近线为（）A.》=x+e Q.y=x-\~-,eC J=x D.*=x-L.e答案：B"+L],则答案解析：由已知y^xlnhm—=hmm e+ X X-k —]=lne=l, x-ljlimy-x=lim xln|e+^—XToo XToo =lim x In X—00=lim x InX—00fe+^-lne=lim x In1+ 'Too1e(x-l)_X=lim」l1e(x-1)e所以斜渐近线为—4.故选B.,102.函数/(%)=UW的一个原函数为()・|^(x+l)cosx,x>0A.心=^/1+x2-x)x<0 (x+l)cosx-sin x,x>0 InB.心=In^/1+x2-x^-l,x<0 (x+l)cosx-sinx,x>0C.心=In+必_x)(x+l)sinx+cosx9x>0x<0D.心=In^/1+x2+1,x V0 (x+l)sinx+cosx,x>0答案：D答案解析：由已知lim/(x)=lim/(x)=/(O)=l,即/(x)连续.x—>0+xt O所以歹⑴在x=O处连续且可导，排除A, C.又x>0时，[(x+l)cosx-sinx]r=cosx-(x+l)sinx-cosx=-(x+l)sinx,排除B.故选D.3.设数列{》〃},{*〃}满足,^n+i=sin x n,y n+i=—y n,当〃t oo时().A.x〃是灯的高阶无穷小B.儿是％的高阶无穷小C・x〃是儿的等价无穷小 D.x〃是儿的同阶但非等价无穷小答案：B答案解析：在［yl中，sinx>—x,从而Xk2J71n+12=sin%>f.又片+i7112儿从而1以+i<，以=兀以<.£匕4%71所以=0.故选B.I00”4.若y,r+ay f+by-。
2023年安徽考研数学二试题及答案-完整版
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2023年安徽考研数学二试题及答案一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1. 1ln(e )1y x x =+- 的斜渐近线为( ) A.e y x =+ B.1e y x =+ C.y x = D.1ey x =- 【答案】B.【解析】由已知1ln e 1y x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，则 1limlim ln e ln e 11x x y x x →∞→∞⎛⎫=+== ⎪-⎝⎭， 11lim lim ln e lim ln e 111x x x y x x x x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 1lim ln e ln e 1x x x →∞⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦ 1lim ln 1e(1)x x x →∞⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦1lime(1)ex x x →∞==-，所以斜渐近线为1ey x =+.故选B. 2.函数0()(1)cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的一个原函数为（ ）.A．)ln ,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B．)ln 1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C．)ln ,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D．)ln 1,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩【答案】D.【解析】由已知0lim ()lim ()(0)1x x f x f x f +-→→===，即()f x 连续. 所以()F x 在0x =处连续且可导，排除A ，C.又0x >时，[(1)cos sin ]cos (1)sin cos (1)sin x x x x x x x x x '+-=-+-=-+， 排除B.故选D.3.设数列{},{}n n x y 满足111111,sin ,22n n n n x y x x y y ++====,当n →∞时( ). A.n x 是n y 的高阶无穷小 B.n y 是n x 的高阶无穷小 C.n x 是n y 的等价无穷小D.n x 是n y 的同阶但非等价无穷小 【答案】B. 【解析】在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭中，2sin x x π>，从而12sin n n n x x x π+=>.又112n n y y +=，从而 1111122444n nn n nn n n y y y y x x x x ππππ++⎛⎫⎛⎫<=<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ， 所以11lim0n n n y x +→∞+=.故选B. 4. 若0y ay by '''++=的通解在(,)-∞+∞上有界，这（ ）.A.0,0a b <>B.0,0a b >>C.0,0a b =<D.0,0a b =>【答案】D【解析】微分方程0y ay by '''++=的特征方程为20r ar b ++=.①若240a b -<，则通解为212()e(cos sin )22a x y x C x C x -=+；②若240a b ->，则通解为2212()eea a x x y x C C ⎛⎛ -- ⎝⎭⎝⎭=+；③若240a b -=，则通解为212()()e a x y x C C x -=+.由于()y x 在(,)-∞+∞上有界，若02a ->，则①②③中x →+∞时通解无界，若02a-<，则①②③中x →-∞时通解无界，故0a =.0a =时，若0b > ，则1,2r =，通解为12()()y x C C =+，在(,)-∞+∞上有界.0a =时，若0b <，则1,2r =12()e y x C C =+，在(,)-∞+∞上无界.综上可得0a =，0b >.故选D.5. 设函数()y f x =由参数方程2||||sin x t t y t t =+⎧⎨=⎩确定，则( ).A.()f x 连续，(0)f '不存在B.(0)f '存在，()f x '在0x =处不连续C.()f x '连续，(0)f ''不存在D.(0)f ''存在，()f x ''在0x =处不连续【答案】C【解析】0lim lim ||sin 0(0)x t y t t y →→===，故()f x 在0x =连续.0()(0)||sin (0)limlim 02||x t f x f t tf x t t →→-'===+. sin cos ,03()()00()sin cos 0t t tt y t f x t x t t t t t +⎧>⎪⎪''===⎨'⎪--<⎪⎩0t =时，0x =；0t >时，0x >；0t <时，0x <，故()f x '在0x =连续.00sin cos 0()(0)23(0)lim lim 39x t t t tf x f f x t +++→→+-''-''===, 00()(0)sin cos 0(0)lim lim 2x t f x f t t t f x t---→→''----''===-,故(0)f ''不存在.故选C.6. 若函数121()(ln )αα+∞+=⎰f dx x x 在0=αα处取得最小值，则0=α( ) A.1ln(ln 2)-B.ln(ln 2)-C.1ln 2- D.ln 2【答案】A. 【解析】已知112221d(ln )111()d (ln )(ln )(ln )(ln 2)a a a ax f a x x x x x aa +∞+∞+∞-++===-=⎰⎰，则 2111ln ln 2111()ln ln 2(ln 2)(ln 2)(ln 2)a a af a a a a a ⎛⎫'=--=-+ ⎪⎝⎭， 令()0f a '=，解得01.ln ln 2a =-故选A.7.设函数2()()e x f x x a =+.若()f x 没有极值点,但曲线()y f x =有拐点,则a 的取值范围是( ). A.[0,1)B.[1,)+∞C.[1,2)D. [2,)+∞【答案】C.【解析】由于()f x 没有极值点,但曲线()y f x =有拐点，则2()(2)e x f x x x a '=++有两个相等的实根或者没有实根，2()(42)e x f x x x a ''=+++有两个不相等的实根.于是知440,164(2)0,a a -≤⎧⎨-+>⎩解得12a ≤<.故选C. 8. ,A B 为可逆矩阵，E 为单位阵，*M 为M 的伴随矩阵，则*⎛⎫= ⎪⎝⎭A E O BA.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B B A O B AB.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A A B O A B C.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A B A O A BD.****|||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B A B O B |A【答案】B 【解析】由于*||||||||⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E A E A E E O AB O O B O B O B O E O A B ，故*1||||||||-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E A E A B O O B O B OA B1111||||||||----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B O A A B O A B O B 1111||||||||||||----⎛⎫-= ⎪⎝⎭A A B A A B B O B A B ****||||⎛⎫-= ⎪⎝⎭A B A B OB A . 故选B. 9.222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--的规范形为A.2212y y +B.2212y y -C.2221234y y y +-D.222123y y y +-【答案】B 【解析】222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--222123121323233228x x x x x x x x x =--+++，二次型的矩阵为211134143⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，211210||134(7)131143141λλλλλλλ---=--=+-----A E210(7)210(7)(3)0141λλλλλλ-=+-=-+-=-， 1233,7,0λλλ==-=，故规范形为2212y y -，故选B.10.已知向量组121212212,1,5,03191⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ ，若γ 既可由12,αα 线性表示，又可由12,ββ线性表示，则=γ( )A.33,4k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭B.35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭C.11,2k k R -⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭D.15,8k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设11223142k k k k =+=+γααββ，则11223142k k k k +--=0ααββ，对关于1234,,,k k k k 的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形，121212211003(,,,)2150010131910011--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ααββ，解得T T T T1234(,,,)(3,1,1,1)(3,1,1,0)(33,1,1,)k k k k C C C C C =--+-=--+-，故=γ11221211(33)(1)5(1)5,8(1)8C k k C C C k k R C -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=-+-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αααα.故选D.二、填空题：11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上. 11．当0x →时，2()ln(1)f x ax bx x =+++与2()e cos x g x x =-是等价无穷小，则ab =________.【答案】2-【解析】由题意可知，2200()ln(1)1lim lim ()e cos x x x f x ax bx x g x x →→+++==-222022221()2lim 11+()[1()]2x ax bx x x o x x o x x o x →++-+=+--+ 220221(1)()()2lim 3()2x a x b x o x x o x →++-+=+，于是1310,22a b +=-=，即1,2a b =-=，从而2ab =-. 12.曲线y =⎰的孤长为_________.【答案】43π【解析】曲线y =⎰的孤长为x x ==2= 2sin 233022cos d2sin 8cos d x tt t t t ππ==⎰⎰31cos 282tdt π+=⎰ 3014sin 22t t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭43π=+13. 设函数(,)z z x y =由方程e 2zxz x y +=-确定，则22(1,1)xz∂=∂_________.【答案】32-【解析】将点(1,1)带入原方程，得0z =. 方程e 2z xz x y +=-两边对x 求偏导，得e2zz zz x x x∂∂++=∂∂， 两边再对x 求偏导，得22222e e 20zz z z z z x x x x x ∂∂∂∂⎛⎫+++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭，将1,1,0x y z ===代入以上两式，得(1,1)1z x ∂=∂，22(1,1)32xz∂=-∂.14. 曲线35332x y y =+在1x =对应点处的法线斜率为_________. 【答案】119-【解析】当1x =时，1y =.方程35332x y y =+两边对x 求导，得2429(56)x y y y '=+，将1x =，1y =代入，得9(1)11y '=.于是曲线35332x y y =+在1x =对应点处的法线斜率为119-. 15. 设连续函数()f x 满足(2)()f x f x x +-=，20()d 0f x x =⎰，则31()d f x x =⎰_________.【答案】12【解析】3323121111()d ()d ()d ()d ()d ()d f x x f x x f x x f x x f x x f x x =-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰312()d ()d f x x f x x=-⎰⎰111201(2)d ()d d 2x tf t t f x x x x -=+-==⎰⎰⎰. 16. 13123123121,0,20,2ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩ 有解，其中,a b 为常数，若0111412a a a = ，则11120a a ab =________. 【答案】8【解析】方程组有解，则0111101110||12211012001202a a a a a a a ab aa b ==-+=A ，故111280a a ab =.三、解答题：17~22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）设曲线):(e ()L y y x x =>经过点2(e ,0)，L 上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距，(Ⅰ)求()y x ；(Ⅱ)在L 上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积. 【解】(Ⅰ)曲线L 在点(,)P x y 处的切线方程为()()Y y y x X x '-=-，令0X =，则切线在y 轴上的截距为()Y y xy x '=-，则()x y xy x '=-，即11y y x'-=-，解得()(ln )y x x C x =-，其中C 为任意常数.又2(e )0y =，则2C =，故()(2ln )y x x x =-.(Ⅱ)设曲线L 在点(,(2ln ))x x x -处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程为(2ln )(1ln )()Y x x x X x --=--.令0Y =，则ln 1xX x =-；令0X =，则Y x =.故切线与两坐标轴所围三角形面积为211()22ln 12(ln 1)x x S x XY x x x ==⋅⋅=--， 则2(2ln 3)()2(ln 1)x x S x x -'=-.令()0S x '=，得驻点32e x =. 当32e e x <<时，()0S x '<；当32e x >时，()0S x '>，故()S x 在32e x =处取得极小值，同时也取最小值，且最小值为332(e )e S =.18.（本题满分12分）求函数2cos (,)e2yx f x y x =+的极值. 【解】由已知条件，有cos (,)e y x f x y x '=+，cos (,)e (sin )y y f x y x y '=-.令(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==，解得驻点为1,e k π⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中k 为奇数；(e,)k π-，其中k 为偶数.(,)1xxf x y ''=，cos (,)e (sin )y xy f x y y ''=-，cos 2cos (,)e sin e cos y y yy f x y x y x y ''=-. 在点1,e k π⎛⎫- ⎪⎝⎭处，其中k 为奇数，1,1e xx A f k π⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭，1,0e xy B f k π⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭，21,e e yy C f k π-⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭， 由于20AC B -<，故1,e k π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是极值点，其中k 为奇数.在点(e,)k π-处，其中k 为偶数，(e,)1xxA f k π''=-=，(e,)0xyB f k π''=-=，2(e,)e yyC f k π-''=-=，由于20AC B ->，且0A >，故(e,)k π-为极小值点，其中k 为偶数，且极小值为2e (e,)2f k π-=-.19.（本题满分12分）已知平面区域(,)|01D x y y x ⎧⎫=≤≤≥⎨⎬⎩⎭， （1）求平面区域D 的面积S .(2)求平面区域D 绕x 一周所形成的旋转体的体积.【解】(1)222144sec 1d d tan sec sin t S x t t t t tππππ+∞===⎰⎰⎰222244sin 1d d cos sin 1cos t t t t tππππ==--⎰⎰241cos 11ln2cos 12t t ππ-==+. (2) 222211111d d 1(1)14V x x x x x x ππππ+∞+∞⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰.20.（本题满分12分）设平面区域D 位于第一象限，由曲线221x y xy +-=，222x y xy +-=与直线,0y y ==围成，计算221d d 3Dx y x y +⎰⎰.【解】221d d 3Dx y x y +⎰⎰30d d πθρ=⎰32201d sin 3cos πθρθθ=+⎰322011ln 2d 2sin 3cos πθθθ=+⎰ 32011ln 2d tan 2tan 3πθθ=+⎰==.21.（本题满分12分）设函数()f x在[,]a a-上有二阶连续导数.（1）证明：若(0)0f=，存在(,)a aξ∈-，使得21()[()()]f f a f aaξ''=+-；（2）若()f x在(,)a a-上存在极值，证明：存在(,)a aη∈-，使得21|()||()()|2f f a f aaη''≥--.【证明】(1)将()f x在x=处展开为22()()()(0)(0)(0)2!2!f x f xf x f f x f xδδ''''''=++=+，其中δ介于0与x之间.分别令x a=-和x a=，则21()()(0)()2!f af a f aξ'''-=-+，1aξ-<<，22()()(0)()2!f af a f aξ'''=+，20aξ<<，两式相加可得212()()()()2f ff a f a aξξ''''+-+=，又函数()f x在[,]a a-上有二阶连续导数，由介值定理知存在ξ∈12[,](,)a aξξ⊂-，使得12()()()2f ffξξξ''''+=，即21()[()()]f f a f aaξ=-+.(2)设()f x在x处取得极值，则()0f x'=.将()f x在x处展开为22000000()()()() ()()()()()2!2!f x x f x xf x f x f x x x f xδδ''''--'=+-+=+，其中δ介于0x与x之间.分别令x a =-和x a =，则2100()()()()2!f a x f a f x η''+-=+，10a x η-<<， 2200()()()()2!f a x f a f x η''-=+，02x a η<<， 两式相减可得222010()()()()()()22f a x f a x f a f a ηη''''-+--=-， 所以222010()()()()|()()|22f a x f a x f a f a ηη''''-+--=-221020|()|()|()|()22f a x f a x ηη''''+-≤+220012|()|[()()](|()|max(|()|,|()|))2f a x a x f f f ηηηη''''''''≤++-= 2200|()|[()()]2|()|2f a x a x a f ηη''''≤++-=，即21|()||()()|2f f a f a aη''≥--.22.（本题满分12分）设矩阵A 满足对任意的123,,x x x 均有112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A .(1)求A(2)求可逆矩阵P 与对角阵Λ，使得1-=P AP Λ.【解】(1)由112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ，得112233*********x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，即方程组123111211011x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦0A 对任意的123,,x x x 均成立，故111211011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A . (2)111101||211(2)20011011λλλλλλλλ---=--=+-----A E ,(2)(2)(1)0λλλ=-+-+=,特征值为1232,2,1λλλ=-==-.3111002211011011000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,1011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α;1111042231013013000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A E ,2431⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α;211201************⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,3102-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,令123041(,,)130112-⎛⎫⎪==- ⎪⎪⎝⎭P ααα ，则1200020001--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭P AP Λ.。
2023年考研数二真题及答案解析
2023年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题及答案考试时间：180分钟，满分：150分一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．（1）曲线1ln()1yx e x =+−的斜渐近线方程为（ ） （A）y x e =+ （B）1y x e=+（C）y x = （D）1y x e=−【答案】B 【解析】1limlimln()11x x y ke x x →∞→∞==+=−，11lim()lim()lim[ln(]lim [ln(ln ]11x x x x b y kx y x x e x x e e x x →∞→∞→∞→∞=−==−=+−=+−−−111lim ln(1lim (1)(1)x x x x e x e x e→∞→∞=+==−−，所以渐进线方程为1y x e =+，答案为B（2）设0()(1)cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的一个原函数为（ ）（A）),0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧⎪−≤=⎨+−>⎪⎩（B）)1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧⎪−+≤=⎨+−>⎪⎩（C）),0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧⎪+≤=⎨++>⎪⎩（D）)1,0()(1)sin cos ,x x F x x x x x ⎧⎪++≤=⎨++>⎪⎩【答案】D【解析】根据原函数的连续性，可排除（A）（C）；再根据原函数的可导性，可排除选项（B），答案为（D） （3）已知{}n x ，{}n y 满足1112x y ==，1sin n n x x +=，21(1,2,)n n y y n +== ，则当n →∞时（ ）（A）n x 是n y 的高阶无穷小（B）n y 是n x 的高阶无穷小（C）n x 与n y 是等价无穷小（D）n x 与n y 是同阶但不等价的无穷小【答案】B【解析】由已知可得，{}n x ，{}n y 均单调递减，且12n y ≤，又因为sin x x 在(0,2π上单调递减，故2sin 1x x π<<，所以2sin x x π>，所以21112sin sin 24n n n n nn n n n n ny y y y y y x x x x x ππ++==≤=，依次类推可得，111100()444n nn n n n y y y n x x x πππ++⎛⎫⎛⎫≤≤≤≤=→→∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故n y 是n x 的高阶无穷小，答案为B （4）若微分方程0y ay by ′′′++=的解在(,)−∞+∞上有界，则（ ）（A）0,0a b <>（B）0,0a b >>（C）0,0ab =>（D）0,0ab =<【答案】C 【解析】0y ay by ′′′++=的解一共三种情形：①240a b Δ=−>，1212x xy C e C e λλ=+，但此时无论12,λλ取何值，y 在(,)−∞+∞上均无界；②240a b Δ=−=，12()xy C C x eλ=+，但此时无论λ取何值，y 在(,)−∞+∞上均无界；③240a b Δ=−<，12(cos sin )xy e C x C x αββ=+，此时若y 在(,)−∞+∞上有界，则需满足0α=，所以0,0a b =>，答案为（C）（5）设函数()y f x =由2sin x t ty t t⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则（ ） （A）()f x 连续，(0)f ′不存在（B）(0)f ′不存在，()f x ′在0x =处不连续（C）()f x ′连续，(0)f ′′不存在（D）(0)f ′′存在，()f x ′′在0x =处不连续【答案】C 【解析】当0t =时，有0x y ==①当0t>时，3sin x t y t t=⎧⎨=⎩，可得sin 33x xy =，故()f x 右连续；②当0t<时，sin x ty t t=⎧⎨=−⎩，可得sin y x x =−，故()f x 左连续，所以()f x 连续；因为0sin 033(0)lim 0x x x y x ++→−′==；0sin 0(0)lim 0x x x y x −−→−−′==，所以(0)0f ′=；③当0x >时，1sin sin cos 333393x x x x x y ′⎛⎫′==+ ⎪⎝⎭，所以0lim ()0x y x +→′=，即()f x ′右连续；④当0x <时，()sin sin cos y x x x x x ′′=−=−−，所以0lim ()0x y x −→′=，即()f x ′左连续，所以()f x ′连续；考虑01sin cos 23393(0)lim 9x x x xf x ++→+′′==；0sin cos (0)lim 2x x x x f x −−→−−′′==−，所以(0)f ′′不存在，答案为C（6）若函数121()(ln )f dx x x αα+∞+=⎰在0αα=处取得最小值，则0α=（ ） （A）1ln(ln 2)−（B）ln(ln 2)− （C）1ln 2（D）ln 2【答案】A 【解析】当0α>时，121()(ln )f dx x x αα+∞+=⎰收敛， 此时21122111111()ln (ln )(ln )(ln )(ln 2)f dx d x x x x x ααααααα+∞+∞+∞++===−=⎰⎰，故211111ln ln 2()(ln 2)(ln 2)(ln 2)f ααααααα′⎡⎤−′==−⎢⎥⎣⎦，令()0f α′=，解得0α=1ln(ln 2)−（7）设函数2()()x f x x a e =+，若()f x 没有极值点，但曲线()y f x =有拐点，则a 的取值范围是（ ）（A）[0,1)（B）[1,)+∞（C）[1,2)（D）[2,)+∞【答案】C 【解析】2()()x f x x a e =+，2()(2)x f x x x a e ′=++，2()(42)x f x x x a e ′′=+++，因为()f x 没有极值点，所以440a −≤；又因为曲线()y f x =有拐点，所以164(2)0a −+>，联立求解得：[1,2)a ∈（8）设A ，B 为n 阶可逆矩阵，*M 为矩阵M 的伴随矩阵，则*A E OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） （A）****A B B A O B A ⎛⎫−⎪⎝⎭（B）****B A A B O A B ⎛⎫−⎪⎝⎭（C）****B A B A OA B ⎛⎫−⎪⎝⎭（D）****A B A B OB A ⎛⎫−⎪⎝⎭【答案】B【解析】*11111A E A E A E A AB A B O B O B O B O B −−−−−⎛⎫−⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111***1*A B A A B A B B A A B O A B B OA B −−−−⎛⎫⎛⎫−−== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，答案为B （9）二次型222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++−−的规范形为（ ）（A）2212y y +（B）2212y y −（C）2221234y y y +−（D）222123y y y +−【答案】B 【解析】222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++−−222123121323233228x x x x x x x x x =−−+++二次型矩阵为211134143A ⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭,211134(7)(3)143E A λλλλλλλ−−−−=−+−=+−−−+ 故答案为B（10）已知向量1123α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2211α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1259β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101β⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，若γ既可由12,αα线性表示，也可由12,ββ线性表示，则γ=（ ）（A）33,4k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭ （B）35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭ （C）11,2k k R −⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭（D）15,8k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】令γ11221122k k l l ααββ=+=+，则有112211220k k l l ααββ+−−=，即12121212(,)0k k l l ααββ⎛⎫ ⎪ ⎪−−= ⎪ ⎪⎝⎭而121212211003(,)2150010131910011ααββ−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−=−→− ⎪ ⎪⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭所以1212(,,,)(3,1,1,1),TT k k l l c c R =−−∈，所以12(1,5,8)(1,5,8),T T c c c k k R γββ=−+=−=∈，答案为D二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上． （11）当0x →时，函数2()ln(1)f x ax bx x =+++与2()cos x g x e x =−是等价无穷小，则ab =________【答案】2−【解析】由已知可得：2222200022221(())()ln(1)2lim lim lim 1()cos (1())(1())2x x x x ax bx x x o x f x ax bx x g x e x x o x x o x →→→++−++++==−++−−+220221(1)(()2lim 13()2x a x b x o x x o x →++−+==+所以1310,22a b +=−=，即1,2a b =−=,所以2ab =−（12）曲线y =⎰的弧长为________43π【解析】由题意可得函数定义域为[x ∈，根据公式可得：2302sin 24cos L x t tdtπ====⎰304(1cos 2)t dt π=+=⎰43π+（13）设函数(,)z z x y =由2ze xz x y +=−确定，则2(1,1)2zx∂=∂_________【答案】32−【解析】代入(1,1)点可得，0z =，先代入1y =，可得21z e xz x +=−，两边对x 求导，2z e z z xz ′′++=，得(1)1z ′=两边再对x 求导，20z ze z e z z z xz ′′′′′′′++++=，代入(1,1)及0z =，(1)1z ′=得2(1,1)232zx∂=−∂（14）曲线35332x y y =+在1x =对应点处的法线斜率为________【答案】119−【解析】代入1x =得到1y =，两边对x 求导，242956x y y y y ′′=+，代入1x =，1y =可得：911y ′=，故1x =对应点处的法线斜率为1119y −=−′（15）设连续函数()f x 满足：(2)()f x f x x +−=，2()0f x dx =⎰，则31()f x dx =⎰_______【答案】12【解析】323211121()()()()(2)f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx=+=++⎰⎰⎰⎰⎰[]2121111()()()022f x dx f x x dx f x dx xdx =++=+=+=⎰⎰⎰⎰（16）已知线性方程组13123123121202ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩有解，其中,a b 为常数，若0111412a a a =，则11120a a ab =_______【答案】8【解析】由题意可得：方程组系数矩阵秩为3，可得增广矩阵的秩也为3，即011110012002a a a ab =按照第四列进行行列式展开可得：144411011(1)122(1)11012a a a a a b a ++⋅−+⋅−⋅=所以111280a a ab =三、解答题：17～22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分10分）设曲线:()()L y y x x e =>经过点2(,0)e ，L 上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距（1）求()y x ；（2）在L 上求一点，使得该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小，并求此最小面积【答案】（1）()(2ln )y x x x =− （2）33221(,)2e e ，最小面积是3e 【解析】（1）曲线L 上任一点(,)P x y 处的切线方程为()Y y y X x ′−=−，令0X =，则y 轴上的截距为Y y xy ′=−，则有x y xy ′=−，即11y y x′−=−，解得(ln )y x C x =−，其中C 为任意常数，代入2(,0)e 可得2C =，故()(2ln )y x x x =−（2）该点设为000(,(2ln ))x x x −，切线方程为0000(2ln )(1ln )()Y x x x X x −−=−− 令0X =，解得0Y x =；令0Y =，解得00ln 1x X x =−；所以该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积为：200011()22ln 1x S x XY x ==−求导00020(2ln 3)()2(ln 1)x x S x x −′=−，令0()0S x ′=，解得320x e =且为最小值点，最小面积为332()S e e =（18）（本题满分12分） 求函数2cos (,)2yx f x y xe=+的极值【答案】极小值为21(,2)2f e k e π−=−（k Z ∈） 【解析】先求驻点cos cos 0(sin )0y xy y f e x f xe y ⎧′=+=⎪⎨′=−=⎪⎩，解得驻点为1(,(21))e k π−−+和(,2)e k π−，其中k Z∈下求二阶偏导数，cos cos 2cos 1(sin )sin cos xx yxy y y yy f f e y f xe y xe y ⎧′′=⎪⎪′′=−⎨⎪′′=−⎪⎩代入1(,(21))e k π−−+（k Z ∈），解得210xxxy yy A f B f C f e −⎧′′==⎪⎪′′==⎨⎪′′==−⎪⎩，20AC B −<,故1(,(21))e k π−−+不是极值点； 代入(,2)e k π−（k Z ∈），解得210xxxy yy A f B f C f e ⎧′′==⎪⎪′′==⎨⎪′′==⎪⎩，20AC B −>且0A >,故(,2)e k π−是极小值点，其极小值为21(,2)2f e k e π−=−（k Z ∈） （19）（本题满分12分）已知平面区域{(,)01}D x y y x =≤≤≥（1）求D 的面积（2）求D 绕x 轴旋转所成旋转体的体积【答案】（1）ln(1S = （2）24V ππ=−【解析】（1）222214441tan sec csc ln csc cot tan sec D S x t tdt tdt t tt t ππππππ+∞====−⎰⎰⎰ln(1=+;（2）22222111111(1)1x V dx dx dx x x x x πππ+∞+∞+∞⎛⎫===− ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰11arctan x x π+∞⎛⎫=−− ⎪⎝⎭24ππ=−（20）（本题满分12分）设平面有界区域D 位于第一象限，由曲线221x y xy +−=，222x y xy +−=与直线y =，0y =围成，计算2213Ddxdy x y +⎰⎰【解析】本题采用极坐标计算，322013Ddxdy d x y πθ=+⎰⎰⎰333222222000111ln 3cos sin 3cos sin 3cos sin d r d d πππθθθθθθθθθ===+++⎰⎰332220011111ln 2ln 2tan ln 22(3tan )cos 23tan 2d d ππθθθθθ=⋅=⋅==++⎰⎰（21）（本题满分12分） 设函数()f x 在[,]a a −上具有2阶连续导数，证明： （1）若(0)0f =，则存在(,)a a ξ∈−，使得21()[()()]f f a f a aξ′′=+−（2）若()f x 在(,)a a −内取得极值，则存在(,)a a η∈−，使得21()()()2f f a f a aη′′≥−−【答案】（1）利用泰勒公式在0x =处展开，再利用介值性定理； （2）利用泰勒公式在极值点处展开，再利用基本不等式进行放缩；【解析】（1）在0x =处泰勒展开，22()()()(0)(0)(0)2!2!f c f c f x f f x x f x x ′′′′′′=++=+， 其中c 介于0与x 之间；代入两个端点有：211()()(0),(0,)2!f f a f a a a ξξ′′′=+∈222()()(0)(),(,0)2!f f a f a a a ξξ′′′−=−+∈−两式相加可得：212()()()()2f f f a f a a ξξ′′′′++−=即122()()1[()()]2f f f a f a a ξξ′′′′++−=因为()f x 在[,]a a −上具有2阶连续导数，所以()f x ′′存在最大值M 与最小值m ， 根据连续函数的介值性定理可得，12()()2f f m M ξξ′′′′+≤≤，所以存在(,)a a ξ∈−，使得12()()()2f f f ξξξ′′′′+′′=，即21()[()()]f f a f a aξ′′=+−成立；（2）若()f x 在(,)a a −内取得极值，不妨设0x 为其极值点，则由费马引理可得，0()0f x ′=将()f x 在0x 处泰勒展开，22000000()()()()()()()()()2!2!f d f d f x f x f x x x x x f x x x ′′′′′=+−+−=+−其中d 介于0x 与x 之间；代入两个端点有：210010()()()(),(,)2!f f a f x a x x a ηη′′=+−∈ 220020()()()(),(,)2!f f a f x a x a x ηη′′−=+−−∈−两式相减可得：221200()()()()()()22f f f a f a a x a x ηη′′′′−−=−−−−所以22120022()()11()()()()2222f f f a f a a x a x a a ηη′′′′−−=−−−− 22102021[()()()()]4f a x f a x aηη′′′′≤−++，记112()max[(),()]f f f ηηη′′′′′′=， 又因为22220000()()[()()]4a x a x a x a x a −++≤−++=，所以21()()()2f a f a f aη′′−−≤成立 （22）（本题满分12分）设矩阵A 满足对任意123,,x x x 均有112321233232x x x x A x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−+ ⎪ ⎪⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭（1）求A（2）求可逆矩阵P 与对角矩阵Λ，使得1P AP −=Λ【答案】（1）111211011A ⎛⎫⎪=− ⎪⎪−⎝⎭11 /11 （2）401310112P −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭，1221P AP −⎛⎫ ⎪=Λ=− ⎪ ⎪−⎝⎭【解析】（1）因为任意123,,x x x 均有112321233232x x x x A x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭，即112233*********x x A x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭故可分别取单位向量100010001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，可得100111100010211010001011001A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以111211011A ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭（2）111101101211221(2)2110110(2)1011E A λλλλλλλλλλλ−−−−−−−−=−+−=−+−=+−−−+−++−+101(2)211(2)(2)(1)20λλλλλλ−−=+−−=+−+− 所以A 的特征值为21,2−−，，下求特征向量： 当2λ=−时，解方程组(2)0E A x −−=，可得基础解系为1(0,1,1)T ξ=−;当1λ=−时，解方程组()0E A x −−=，可得基础解系为2(1,0,2)Tξ=−当2λ=时，解方程组(2)0E A x −=，可得基础解系为3(4,3,1)T ξ=令401310112P −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭，有1221P AP −⎛⎫ ⎪=Λ=− ⎪ ⎪−⎝⎭成立。
2023年江苏考研数学二试题及答案-完整版
且喜平常度，切忌神慌乱。
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2023年江苏考研数学二试题及答案一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1. 1ln(e )1y x x =+- 的斜渐近线为( ) A.e y x =+ B.1e y x =+ C.y x = D.1ey x =- 【答案】B.【解析】由已知1ln e 1y x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，则 1limlim ln e ln e 11x x y x x →∞→∞⎛⎫=+== ⎪-⎝⎭， 11lim lim ln e lim ln e 111x x x y x x x x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 1lim ln e ln e 1x x x →∞⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦ 1lim ln 1e(1)x x x →∞⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦1lime(1)ex x x →∞==-，所以斜渐近线为1ey x =+.故选B. 2.函数0()(1)cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的一个原函数为（ ）.A．)ln ,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B．)ln 1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C．)ln ,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D．)ln 1,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩【答案】D.【解析】由已知0lim ()lim ()(0)1x x f x f x f +-→→===，即()f x 连续. 所以()F x 在0x =处连续且可导，排除A ，C.又0x >时，[(1)cos sin ]cos (1)sin cos (1)sin x x x x x x x x x '+-=-+-=-+， 排除B.故选D.3.设数列{},{}n n x y 满足111111,sin ,22n n n n x y x x y y ++====,当n →∞时( ). A.n x 是n y 的高阶无穷小 B.n y 是n x 的高阶无穷小 C.n x 是n y 的等价无穷小D.n x 是n y 的同阶但非等价无穷小 【答案】B. 【解析】在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭中，2sin x x π>，从而12sin n n n x x x π+=>.又112n n y y +=，从而 1111122444n nn n nn n n y y y y x x x x ππππ++⎛⎫⎛⎫<=<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ， 所以11lim0n n n y x +→∞+=.故选B. 4. 若0y ay by '''++=的通解在(,)-∞+∞上有界，这（ ）.A.0,0a b <>B.0,0a b >>C.0,0a b =<D.0,0a b =>【答案】D【解析】微分方程0y ay by '''++=的特征方程为20r ar b ++=.①若240a b -<，则通解为212()e(cos sin )22a x y x C x C x -=+；②若240a b ->，则通解为2212()eea a x x y x C C ⎛⎛ -- ⎝⎭⎝⎭=+；③若240a b -=，则通解为212()()e a x y x C C x -=+.由于()y x 在(,)-∞+∞上有界，若02a ->，则①②③中x →+∞时通解无界，若02a-<，则①②③中x →-∞时通解无界，故0a =.0a =时，若0b > ，则1,2r =，通解为12()()y x C C =+，在(,)-∞+∞上有界.0a =时，若0b <，则1,2r =12()e y x C C =+，在(,)-∞+∞上无界.综上可得0a =，0b >.故选D.5. 设函数()y f x =由参数方程2||||sin x t t y t t =+⎧⎨=⎩确定，则( ).A.()f x 连续，(0)f '不存在B.(0)f '存在，()f x '在0x =处不连续C.()f x '连续，(0)f ''不存在D.(0)f ''存在，()f x ''在0x =处不连续【答案】C【解析】0lim lim ||sin 0(0)x t y t t y →→===，故()f x 在0x =连续.0()(0)||sin (0)limlim 02||x t f x f t tf x t t →→-'===+. sin cos ,03()()00()sin cos 0t t tt y t f x t x t t t t t +⎧>⎪⎪''===⎨'⎪--<⎪⎩0t =时，0x =；0t >时，0x >；0t <时，0x <，故()f x '在0x =连续.00sin cos 0()(0)23(0)lim lim 39x t t t tf x f f x t +++→→+-''-''===, 00()(0)sin cos 0(0)lim lim 2x t f x f t t t f x t---→→''----''===-,故(0)f ''不存在.故选C.6. 若函数121()(ln )αα+∞+=⎰f dx x x 在0=αα处取得最小值，则0=α( ) A.1ln(ln 2)-B.ln(ln 2)-C.1ln 2- D.ln 2【答案】A. 【解析】已知112221d(ln )111()d (ln )(ln )(ln )(ln 2)a a a ax f a x x x x x aa +∞+∞+∞-++===-=⎰⎰，则 2111ln ln 2111()ln ln 2(ln 2)(ln 2)(ln 2)a a af a a a a a ⎛⎫'=--=-+ ⎪⎝⎭， 令()0f a '=，解得01.ln ln 2a =-故选A.7.设函数2()()e x f x x a =+.若()f x 没有极值点,但曲线()y f x =有拐点,则a 的取值范围是( ). A.[0,1)B.[1,)+∞C.[1,2)D. [2,)+∞【答案】C.【解析】由于()f x 没有极值点,但曲线()y f x =有拐点，则2()(2)e x f x x x a '=++有两个相等的实根或者没有实根，2()(42)e x f x x x a ''=+++有两个不相等的实根.于是知440,164(2)0,a a -≤⎧⎨-+>⎩解得12a ≤<.故选C. 8. ,A B 为可逆矩阵，E 为单位阵，*M 为M 的伴随矩阵，则*⎛⎫= ⎪⎝⎭A E O BA.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B B A O B AB.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A A B O A B C.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A B A O A BD.****|||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B A B O B |A【答案】B 【解析】由于*||||||||⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E A E A E E O AB O O B O B O B O E O A B ，故*1||||||||-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E A E A B O O B O B OA B1111||||||||----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B O A A B O A B O B 1111||||||||||||----⎛⎫-= ⎪⎝⎭A A B A A B B O B A B ****||||⎛⎫-= ⎪⎝⎭A B A B OB A . 故选B. 9.222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--的规范形为A.2212y y +B.2212y y -C.2221234y y y +-D.222123y y y +-【答案】B 【解析】222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--222123121323233228x x x x x x x x x =--+++，二次型的矩阵为211134143⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，211210||134(7)131143141λλλλλλλ---=--=+-----A E210(7)210(7)(3)0141λλλλλλ-=+-=-+-=-， 1233,7,0λλλ==-=，故规范形为2212y y -，故选B.10.已知向量组121212212,1,5,03191⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ ，若γ 既可由12,αα 线性表示，又可由12,ββ线性表示，则=γ( )A.33,4k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭B.35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭C.11,2k k R -⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭D.15,8k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设11223142k k k k =+=+γααββ，则11223142k k k k +--=0ααββ，对关于1234,,,k k k k 的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形，121212211003(,,,)2150010131910011--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ααββ，解得T T T T1234(,,,)(3,1,1,1)(3,1,1,0)(33,1,1,)k k k k C C C C C =--+-=--+-，故=γ11221211(33)(1)5(1)5,8(1)8C k k C C C k k R C -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=-+-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αααα.故选D.二、填空题：11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上. 11．当0x →时，2()ln(1)f x ax bx x =+++与2()e cos x g x x =-是等价无穷小，则ab =________.【答案】2-【解析】由题意可知，2200()ln(1)1lim lim ()e cos x x x f x ax bx x g x x →→+++==-222022221()2lim 11+()[1()]2x ax bx x x o x x o x x o x →++-+=+--+ 220221(1)()()2lim 3()2x a x b x o x x o x →++-+=+，于是1310,22a b +=-=，即1,2a b =-=，从而2ab =-. 12.曲线y =⎰的孤长为_________.【答案】43π【解析】曲线y =⎰的孤长为x x ==2= 2sin 233022cos d2sin 8cos d x tt t t t ππ==⎰⎰31cos 282tdt π+=⎰ 3014sin 22t t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭43π=+13. 设函数(,)z z x y =由方程e 2zxz x y +=-确定，则22(1,1)xz∂=∂_________.【答案】32-【解析】将点(1,1)带入原方程，得0z =. 方程e 2z xz x y +=-两边对x 求偏导，得e2zz zz x x x∂∂++=∂∂， 两边再对x 求偏导，得22222e e 20zz z z z z x x x x x ∂∂∂∂⎛⎫+++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭，将1,1,0x y z ===代入以上两式，得(1,1)1z x ∂=∂，22(1,1)32xz∂=-∂.14. 曲线35332x y y =+在1x =对应点处的法线斜率为_________. 【答案】119-【解析】当1x =时，1y =.方程35332x y y =+两边对x 求导，得2429(56)x y y y '=+，将1x =，1y =代入，得9(1)11y '=.于是曲线35332x y y =+在1x =对应点处的法线斜率为119-. 15. 设连续函数()f x 满足(2)()f x f x x +-=，20()d 0f x x =⎰，则31()d f x x =⎰_________.【答案】12【解析】3323121111()d ()d ()d ()d ()d ()d f x x f x x f x x f x x f x x f x x =-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰312()d ()d f x x f x x=-⎰⎰111201(2)d ()d d 2x tf t t f x x x x -=+-==⎰⎰⎰. 16. 13123123121,0,20,2ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩ 有解，其中,a b 为常数，若0111412a a a = ，则11120a a ab =________. 【答案】8【解析】方程组有解，则0111101110||12211012001202a a a a a a a ab aa b ==-+=A ，故111280a a ab =.三、解答题：17~22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）设曲线):(e ()L y y x x =>经过点2(e ,0)，L 上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距，(Ⅰ)求()y x ；(Ⅱ)在L 上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积. 【解】(Ⅰ)曲线L 在点(,)P x y 处的切线方程为()()Y y y x X x '-=-，令0X =，则切线在y 轴上的截距为()Y y xy x '=-，则()x y xy x '=-，即11y y x'-=-，解得()(ln )y x x C x =-，其中C 为任意常数.又2(e )0y =，则2C =，故()(2ln )y x x x =-.(Ⅱ)设曲线L 在点(,(2ln ))x x x -处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程为(2ln )(1ln )()Y x x x X x --=--.令0Y =，则ln 1xX x =-；令0X =，则Y x =.故切线与两坐标轴所围三角形面积为211()22ln 12(ln 1)x x S x XY x x x ==⋅⋅=--， 则2(2ln 3)()2(ln 1)x x S x x -'=-.令()0S x '=，得驻点32e x =. 当32e e x <<时，()0S x '<；当32e x >时，()0S x '>，故()S x 在32e x =处取得极小值，同时也取最小值，且最小值为332(e )e S =.18.（本题满分12分）求函数2cos (,)e2yx f x y x =+的极值. 【解】由已知条件，有cos (,)e y x f x y x '=+，cos (,)e (sin )y y f x y x y '=-.令(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==，解得驻点为1,e k π⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中k 为奇数；(e,)k π-，其中k 为偶数.(,)1xxf x y ''=，cos (,)e (sin )y xy f x y y ''=-，cos 2cos (,)e sin e cos y y yy f x y x y x y ''=-. 在点1,e k π⎛⎫- ⎪⎝⎭处，其中k 为奇数，1,1e xx A f k π⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭，1,0e xy B f k π⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭，21,e e yy C f k π-⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭， 由于20AC B -<，故1,e k π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是极值点，其中k 为奇数.在点(e,)k π-处，其中k 为偶数，(e,)1xxA f k π''=-=，(e,)0xyB f k π''=-=，2(e,)e yyC f k π-''=-=，由于20AC B ->，且0A >，故(e,)k π-为极小值点，其中k 为偶数，且极小值为2e (e,)2f k π-=-.19.（本题满分12分）已知平面区域(,)|01D x y y x ⎧⎫=≤≤≥⎨⎬⎩⎭， （1）求平面区域D 的面积S .(2)求平面区域D 绕x 一周所形成的旋转体的体积.【解】(1)222144sec 1d d tan sec sin t S x t t t t tππππ+∞===⎰⎰⎰222244sin 1d d cos sin 1cos t t t t tππππ==--⎰⎰241cos 11ln2cos 12t t ππ-==+. (2) 222211111d d 1(1)14V x x x x x x ππππ+∞+∞⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰.20.（本题满分12分）设平面区域D 位于第一象限，由曲线221x y xy +-=，222x y xy +-=与直线,0y y ==围成，计算221d d 3Dx y x y +⎰⎰.【解】221d d 3Dx y x y +⎰⎰30d d πθρ=⎰32201d sin 3cos πθρθθ=+⎰322011ln 2d 2sin 3cos πθθθ=+⎰ 32011ln 2d tan 2tan 3πθθ=+⎰==.21.（本题满分12分）设函数()f x在[,]a a-上有二阶连续导数.（1）证明：若(0)0f=，存在(,)a aξ∈-，使得21()[()()]f f a f aaξ''=+-；（2）若()f x在(,)a a-上存在极值，证明：存在(,)a aη∈-，使得21|()||()()|2f f a f aaη''≥--.【证明】(1)将()f x在x=处展开为22()()()(0)(0)(0)2!2!f x f xf x f f x f xδδ''''''=++=+，其中δ介于0与x之间.分别令x a=-和x a=，则21()()(0)()2!f af a f aξ'''-=-+，1aξ-<<，22()()(0)()2!f af a f aξ'''=+，20aξ<<，两式相加可得212()()()()2f ff a f a aξξ''''+-+=，又函数()f x在[,]a a-上有二阶连续导数，由介值定理知存在ξ∈12[,](,)a aξξ⊂-，使得12()()()2f ffξξξ''''+=，即21()[()()]f f a f aaξ=-+.(2)设()f x在x处取得极值，则()0f x'=.将()f x在x处展开为22000000()()()() ()()()()()2!2!f x x f x xf x f x f x x x f xδδ''''--'=+-+=+，其中δ介于0x与x之间.分别令x a =-和x a =，则2100()()()()2!f a x f a f x η''+-=+，10a x η-<<， 2200()()()()2!f a x f a f x η''-=+，02x a η<<， 两式相减可得222010()()()()()()22f a x f a x f a f a ηη''''-+--=-， 所以222010()()()()|()()|22f a x f a x f a f a ηη''''-+--=-221020|()|()|()|()22f a x f a x ηη''''+-≤+220012|()|[()()](|()|max(|()|,|()|))2f a x a x f f f ηηηη''''''''≤++-= 2200|()|[()()]2|()|2f a x a x a f ηη''''≤++-=，即21|()||()()|2f f a f a aη''≥--.22.（本题满分12分）设矩阵A 满足对任意的123,,x x x 均有112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A .(1)求A(2)求可逆矩阵P 与对角阵Λ，使得1-=P AP Λ.【解】(1)由112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ，得112233*********x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，即方程组123111211011x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦0A 对任意的123,,x x x 均成立，故111211011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A . (2)111101||211(2)20011011λλλλλλλλ---=--=+-----A E ,(2)(2)(1)0λλλ=-+-+=,特征值为1232,2,1λλλ=-==-.3111002211011011000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,1011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α;1111042231013013000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A E ,2431⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α;211201************⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,3102-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,令123041(,,)130112-⎛⎫⎪==- ⎪⎪⎝⎭P ααα ，则1200020001--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭P AP Λ.。
2024年全国硕士研究生招生考试考研《数学二》真题带答案
2024年全国硕士研究生招生考试考研《数学二》真题带答案2024考研数学二真题及参考答案考研的考试内容有哪些一、考研公共课：政治、英语一、英语二、俄语、日语、数学一、数学二、数学三，考研公共课由国家教育部统一命题。
各科的考试时间均为3小时。
考研的政治理论课(马原22分、毛中特30分、史纲14分、思修18分、形势与政策16分)。
考研的英语满分各为100分(完型10分、阅读理解60分、小作文10分、大作文20分)。
数学(其中理工科考数一、工科考数二、经管类考数三)满分为150分。
数一的考试内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分);数二的内容分布：高数78%(117分)、线代22%(33分);数三的内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分)。
这些科目的考试知识点和考试范围在各科考试大纲上有详细规定，一般变动不大，因此可以参照前一年的大纲，对一些变动较大的科目，必须以新大纲为准进行复习。
二、考研专业课统考专业课：由国家教育部考试中心统一命题，科目包括：西医综合、中医综合、计算机、法硕、历史学、心理学、教育学、农学。
其中报考教育学、历史学、医学门类者，考专业基础综合(满分为300分);报考农学门类者，考农学门类公共基础(满分150分)。
三、非统考专业课：由各个院校自主命题，分为专业课一和专业课二。
各科考试时间为3个小时，每科的分值满分为150分。
考研考点怎么分配考研的考场分配根据考生的所在地以及报考学校等进行安排，在职人员考研时，考场一般都会分配在户籍所在地或工作单位所在地。
考研报考同一学校的考生理论上是分配在一个考点，甚至是同一考场的。
考研报考同一学校的相同专业和不同专业是一起考试的。
因为考研的考点、考场分配是实行统一管理，采取统一分配的原则，便于管理。
考研考场还有另外的分配方法，是划分考研的考场、考点时先按照各省、各市进行统一划分，然后是按照学校进行划分，再次是按照专业进行划分。
2023考研数学二真题及解析答案
2023考研数学二真题及解析一、选择题：1~10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1．曲线1ln e 1y x x=+ −的斜渐近线方程为（ ）. （A ）e y x =+（B ）1ey x =+（C ）yx = （D ）1ey x =−【答案】（B ）【解析】方法1. 1ln e 11limlim x x y k x x →∞→∞=+==− ()()11lim lim ln e 1lim ln e ln 111e 1x x x b y x x x x x →∞→∞→∞=−=+−=++− −−()11lim e 1ex x x →∞=− 故曲线的斜渐近线方程为1ey x =+．故选（B ） 方法2. ()()11ln e 11ln 1e 1e 1y x x x x=+=++−−()11ln 1e 1e x x x x α =++=++ −，其中lim 0x α→∞=，故1e y x =+为曲线的斜渐近线. 【评注】由()11lim ln 1e 1e x x x →∞+= − ，知()11ln 1e 1ex x α +=+ − 【评注】1.由()11lim ln 1e 1e x x x →∞ += − ，知()11ln 1e 1e x x α +=+ −2.本题属于常规题：《基础班》《强化班》的例子不再对应列举，《答题模版班》思维定势19【例13】2.函数() 0,()1cos ,0.x f x x x x ≤=+>的一个原函数是( )(A) ), 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x −≤= +−>(B))1, 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x +≤= +−>(C) ), 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −≤= ++>(D))1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x +≤= ++>【答案】 (D) .【分析】本题主要考查原函数的概念,分段函数不定积分的求法以及函数可导与连续的关系.【详解】由于当0x <时，)1()lnF xx x C ==++∫当0x >时，()()2()1cos d 1sin cos F x x x x x x x C =+=+++∫ 由于()F x 在0x =处可导性，故()F x 在0x =处必连续 因此，有00lim ()lim ()x x F x F x −+→→=，即 121C C =+.取20C =得)1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −+≤= ++> 应选(D) .【评注】此题考查分段函数的不定积分，属于常规题，与2016年真题的完全类似，在《真题精讲班》系统讲解过. 原题为已知函数2(1),1,()ln ,1.x x f x x x −< = ≥ 则()f x 的一个原函数是( )(A) 2(1),1,()(ln 1), 1.x x F x x x x −<=−≥ (B) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= +−≥ (C) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<=++≥ (D) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= −+≥3.设数列{}{},n n x y 满足211111,sin ,2n n n n x y x x y y ++====()1,2,n = ，则当n →∞时（ ） （A ）n x 是n y 的高阶无穷小（B ）n y 是n x 的高阶无穷小（C ）n x 是n y 的等阶无穷小 （D ）n x 是n y 的同阶但不等价无穷小 【答案】（B ）【解析】由2111,,2n n y y y +==知2112nn y + =，则有112n n y y +<利用12sin n n n x x x π+=>，则1112n nx x π+<故21111111224444n n nn nn n n n n y y y y y x x x x x πππππ+−+− ≤=≤≤≤= 于是1110lim lim 04nn n n n y x +→∞→∞+ ≤≤= ，由夹逼准则lim 0nn ny x →∞=，选（B ） 【评注】本题属于今年难度较大的题，涉及到两个递推数列确定的无穷小的比较，涉及到不等式的放缩，有一定的综合性.4．若微分方程0y ay by ′′′++=的解在(,)−∞+∞上有界，则（ ）（A ）00a b <>， （B ）00a b >>， （C ）00a b =>， （D ）00a b =<， 【答案】（C ）【解析】特征方程为20r ar b ++=，解得1,2r =．记24a b ∆=−当0∆>时，方程的通解为1212()e e r x r x yx c c ⋅⋅=+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆=时，1202ar r −=<=，方程的通解为1112()e e r x r x yx c c x =+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆<时，1,22a r i β=−±,方程的通解为()212()e cos sin axy x c x c x ββ−=+．只有当0a =，且240a b ∆=−<，即0b >时，lim ()lim ()0x x y x y x →+∞→−∞==，此时方程的解在(,)−∞+∞上有界. 故选（C ）【评注】此题关于x →+∞方向的讨论，在《基础班》习题课上讲解过，见《基础班》习题课第八讲《常微分方程》第15题5.设()y f x =由2,sin ,x t t y t t =+=确定，则（ ） （A ）()f x 连续，(0)f ′不存在 （B ）(0)f ′存在，()f x ′在0x =不连续 （C ）()f x ′连续，(0)f ′′不存在 （D ）(0)f ′′存在，()f x ′′在0x =不连续 【答案】（C ） 【解析】0t ≥时3,sin ,x t y t t == ，即有sin 33x xy =.0t <时,sin ,x t y t t = =−，即有sin y x x =−.sin ,033sin ,0x x x y x x x ≥= −< ,显然有()f x 在0x =不连续，且(0)0f = 0x >时，sin cos 33(3)9x x x xf x =+′；0x <时，sin ()cos x f x x x ′=−−， 利用导数定义可得()0sin 0330lim 0x x xf x ++→−′==，()0sin 0lim 0x x x f x+−→−′==，即得(0)0f ′= 易验证()0lim ()lim ()00x x f x f x f +−→→′′===，即()f x ′在0x =连续()01sin cos 233930lim 9x x x xf x ++→+′′=，()0sin cos 0lim 2x x x x f x+−→−−′′==−，故(0)f ′′不存在 ，选（C ） 【评注】此题考查参数方程确定的分段函数，只要在参数方程中去掉绝对值的过程，就成了我们常规的分段函数求导的问题，无论是《基础班》第二讲例24，《强化班》第二讲例17. 6.若函数()()121d ln f x x x αα+∞+=∫在0αα=处取得最小值，则0α=（ ）（A ）()1ln ln 2−（B ）()ln ln 2−（C ）1ln 2−（D ）ln 2【答案】（A ）【解析】反常积分的判别规律知11α+>，即0α>时反常积分()121d ln x x x α+∞+∫收敛此时()()()212111d ln ln f x x x x αααα+∞+∞+==−∫()11ln 2αα=令()()()2111ln ln 2ln 2ln 2f ααααα′=−−()2111ln ln 20ln 2ααα =−+= 得唯一驻点()1ln ln 2α=−，故选（A ）【评注】此题是属于由反常积分确定的函数求最值的问题，积分本身不难，积分结果再求导，找驻点得结果.难度不大，只要基本计算能力过关，可轻松应对.《基础班》《强化班》相应问题得组合而已. 7.设函数()()2e xf x xa =+，若()f x 没有极值点，但曲线()f x 有拐点，则a 的取值范围是（ ）（A ）[)0,1（B ）[)1,+∞ （C ）[)1,2 （D ）[)2,+∞【答案】（C ）【解析】()()2e xf x xa =+，()()22e x f x xa x ′=++，()()242e x f x xa x ′′=+++由()()211e x f x x a ′=++−，知10a −≥时，()0f x ′≥，此时()f x 无极值点.由()()222e x f x x a ′′=++−，知20a −<时，()f x ′′在2x =±的左右两侧变号，依题意有[)1,2a ∈，选（C ）【评注】本题考查了极值点、拐点的必要条件与判定，题目本身是常规的，分开对这两个考点出题，在《基础班》和《强化班》都讲过，但这种问法有些学生可能会觉得很别扭.8．设A,B 分别为n 阶可逆矩阵，E 是n 阶单位矩阵，*M 为M 的伴随矩阵，则AE OB 为（ ） （A ）*****−A B B A O A B （B ）****− A B A B O B A（C ）****−B A B A O A B （D ）**** −B A A B O A B 【答案】（D ）【解析】由分块矩阵求逆与行列式的公式，结合1∗−=A A A 得11111∗−−−−− − ==A E A E A E E A A AB B O B O B O B O B ∗∗∗∗−=B O A A A B B ，选（D ） 【评注】这钟类型的题在02年，09年均考过完全类似的题，《基础班》第二讲也讲过，原题为【例1】设,A B ∗∗分别为n 阶可逆矩阵,A B 对应的伴随矩阵，∗∗=A O C O B9.二次型()()()222123121323(,,)4f x x x x x x x x x =+++−−的规范形为（ ）. （A ）2212y y +（B ）2212y y −（C ）222123y y y −−（D ）222123y y y +−【答案】（B ） 【详解】因为123(,,)f x x x 222123121323233228x x x x x x x x x =−−+++方法1.二次型的矩阵为 211134143=− −A , 由()()211134730143λλλλλλλ−−−−=−+−=+−=−−+E A ，得特征值为0,7,3−，故选（B ）方法2.()222123123121323,,233228f x x x x x x x x x x x x =−−+++()()()22232322211232323233842x x x x x x x x x x x x ++=+++−−−+222222322332323126616222x x x x x x x x x x x +++++− =+− ()22231237222x x x x x +=+−− 故所求规范形为()2212312,,f x x x y y =−，故选（B ）【评注】本题考查二次型的规范形，与考查正负惯性指数是同一类题，在《基础班》《强化班》均讲过. 《解题模板班》类似例题为【11】设123123(,,),(,,)T T a a a b b b αβ==，,αβ线性无关，则二次型 123112233112233(,,)()()f x x x a x a x a x b x b x b x =++++的规范型为( )． (A)21y (B)2212y y + (C) 2212y y − (D) 222123y y y ++10．已知向量12121,,1222150390,1====ααββ，若γ既可由12,αα表示，也由与12,ββ表示，则=γ（ ）.（A ）334k （B ）3510k（C ）112k−（D ）158k【答案】（D ） 【解析】由题意可设11212212x y x y +==+γααββ，只需求出21,x x 即可 即解方程组112112220x y y x +−−=ααββ()121212211003,,2150010131910011,−−−−=−→− −−ααββ 得()()2211,,1,3,,1,1TTx k x y y =−−，k 为任意常数11221212133215318x k k k k k x+=−+=−+=−=γαααα，故选（D ）【评注】1.此题与《强化班》讲义第三讲练习第12题完全类似，原题为【12】(1)设21,αα，21,ββ均是三维列向量，且21,αα线性无关, 21,ββ线性无关，证明存在非零向量ξ，使得ξ既可由21,αα线性表出，又可由21,ββ线性表出．(2)当 =4311α，=5522α：1231β = − ，2343β−=−时，求所有既可由21,αα线性表出， 又可21,ββ线性表出的向量。
2024年考研数学二真题及参考答案
2024年考研数学二真题及参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分）1. 设函数$f(x) = \ln(1+x) - \frac{x}{1+x}$，则$f(x)$在$(-1,0)$区间内（）A. 无界B. 连续但不可导C. 可导且单调递增D. 可导且单调递减【参考答案】D2. 设函数$y = e^{2x} - 2e^x + 1$，则该函数的极值点为（）A. $x = 0$B. $x = \ln 2$C. $x = \ln 3$D. 无极值点【参考答案】B3. 设函数$y = x^3 - 3x + 1$，则曲线$y = x^3 - 3x + 1$在$x = 1$处的切线方程为（）A. $y = 2x - 1$B. $y = -x + 2$C. $y = 3x - 2$D. $y = -2x + 2$【参考答案】B4. 设函数$y = \sqrt{1 - x^2}$，则$y$在$[0,1]$区间上的最大值为（）A. 1B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$C. $\frac{1}{2}$D. 0【参考答案】A5. 设$f(x)$是连续函数，且$\int_0^2 f(x) \, dx = 3$，则$\int_0^1 f(x+1) \, dx = （）$A. 2B. 3C. 1D. 4【参考答案】A6. 设$f(x) = \int_0^x (t - x) e^t \, dt$，则$f''(x) = （）$A. $-2e^x$B. $e^x$C. $2e^x$D. $-e^x$【参考答案】A7. 设$a$和$b$是方程$x^2 - (a+1)x + b = 0$的两根，且$a < b$，则$a$和$b$满足的条件是（）A. $a + b > 1$B. $a + b < 1$C. $a - b < 1$D. $a - b > 1$【参考答案】B8. 设矩阵$A$满足$A^2 - 3A + 2E = O$，其中$E$为单位矩阵，则$A$的特征值为（）A. 1, 2B. 2, 3C. 1, 3D. 0, 2【参考答案】C二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\tan 5x} = $【参考答案】$\frac{2}{5}$2. 设$f(x) = \sqrt{1 + x^2}$，则$f'(x) = $【参考答案】$\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$3. 设$f(x) = x^2 \sin x$，则$f''(x) = $【参考答案】$2x \sin x + 2 \cos x - x^2 \cos x$4. 设$f(x) = \ln(1 + x^2)$，则$\int_0^1 f(x) \, dx = $【参考答案】$\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2$5. 设$y = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$，则$y'$在$x = 1$处的值是$【参考答案】06. 设$a$和$b$是方程$x^2 - 2x + 1 = 0$的两根，则$a^2 + b^2 = $【参考答案】27. 设矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，则$A^{-1} = $【参考答案】$\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 &1 \end{pmatrix}$8. 设矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$，则$A$的特征值为$【参考答案】1, 3三、解答题（本题共9小题，共94分）1. （本题10分）求极限$\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1 - x}{x^2}$。
2023年云南考研数学二试题及答案
2023年云南考研数学二试题及答案一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.1ln(e 1y x x =+-的斜渐近线为()A.e y x =+B.1e y x =+C.y x =D.1e y x =-【答案】B.【解析】由已知1ln e 1y x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，则1limlimln e ln e 11x x y x x →∞→∞⎛⎫=+== ⎪-⎝⎭，11lim lim ln e lim ln e 111x x x y x x x x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦1lim ln e ln e 1x x x →∞⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦1lim ln 1e(1)x x x →∞⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦1lime(1)ex x x →∞==-，所以斜渐近线为1ey x =+.故选B.2.函数0()(1)cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的一个原函数为（）.A．)ln ,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B．)ln 1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C．)ln ,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪++>⎩D．)ln 1,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪++>⎩【答案】D.【解析】由已知0lim ()lim ()(0)1x x f x f x f +-→→===，即()f x 连续.所以()F x 在0x =处连续且可导，排除A，C.又0x >时，[(1)cos sin ]cos (1)sin cos (1)sin x x x x x x x x x '+-=-+-=-+，排除B.故选D.3.设数列{},{}n n x y 满足111111,sin ,22n n n n x y x x y y ++====,当n →∞时().A.n x 是n y 的高阶无穷小B.n y 是n x 的高阶无穷小C.n x 是n y 的等价无穷小D.n x 是n y 的同阶但非等价无穷小【答案】B.【解析】在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭中，2sin x x π>，从而12sin n n n x x x π+=>.又112n n y y +=，从而1111122444n nn n nn n n y y y y x x x x ππππ++⎛⎫⎛⎫<=<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以11lim0n n n y x +→∞+=.故选B.4.若0y ay by '''++=的通解在(,)-∞+∞上有界，这（）.A.0,0a b <>B.0,0a b >>C.0,0a b =<D.0,0a b =>【答案】D【解析】微分方程0y ay by '''++=的特征方程为20r ar b ++=.①若240a b -<，则通解为212()e(cos sin )22ax y x C x C x -=+；②若240a b ->，则通解为2212()eea a x x y x C C ⎛⎛ -- ⎝⎭⎝⎭=+；③若240a b -=，则通解为212()()e a x y x C C x -=+.由于()y x 在(,)-∞+∞上有界，若02a ->，则①②③中x →+∞时通解无界，若02a-<，则①②③中x →-∞时通解无界，故0a =.0a =时，若0b >，则1,2r =，通解为12()()y x C C =+，在(,)-∞+∞上有界.0a =时，若0b <，则1,2r =，通解为12()e y x C C =+，在(,)-∞+∞上无界.综上可得0a =，0b >.故选D.5.设函数()y f x =由参数方程2||||sin x t t y t t=+⎧⎨=⎩确定，则().A.()f x 连续，(0)f '不存在B.(0)f '存在，()f x '在0x =处不连续C.()f x '连续，(0)f ''不存在D.(0)f ''存在，()f x ''在0x =处不连续【答案】C【解析】0lim lim ||sin 0(0)x t y t t y →→===，故()f x 在0x =连续.0()(0)||sin (0)limlim 02||x t f x f t tf x t t →→-'===+.sin cos ,03()()00()sin cos 0t t tt y t f x t x t t t t t +⎧>⎪⎪''===⎨'⎪--<⎪⎩0t =时，0x =；0t >时，0x >；0t <时，0x <，故()f x '在0x =连续.00sin cos 0()(0)23(0)lim lim 39x t t t tf x f f x t +++→→+-''-''===,00()(0)sin cos 0(0)lim lim 2x t f x f t t t f x t---→→''----''===-,故(0)f ''不存在.故选C.6.若函数121()(ln )αα+∞+=⎰f dx x x 在0=αα处取得最小值，则0=α()A.1ln(ln 2)-B.ln(ln 2)-C.1ln 2- D.ln 2【答案】A.【解析】已知112221d(ln )111()d (ln )(ln )(ln )(ln 2)aa a ax f a x x x x x a a +∞+∞+∞-++===-=⎰⎰，则2111ln ln 2111()ln ln 2(ln 2)(ln 2)(ln 2)a a a f a a a a a ⎛⎫'=--=-+ ⎪⎝⎭，令()0f a '=，解得01.ln ln 2a =-故选A.7.设函数2()()e xf x x a =+.若()f x 没有极值点,但曲线()y f x =有拐点,则a 的取值范围是().A.[0,1)B.[1,)+∞ C.[1,2)D.[2,)+∞【答案】C.【解析】由于()f x 没有极值点,但曲线()y f x =有拐点，则2()(2)e xf x x x a '=++有两个相等的实根或者没有实根，2()(42)e xf x x x a ''=+++有两个不相等的实根.于是知440,164(2)0,a a -≤⎧⎨-+>⎩解得12a ≤<.故选C.8.,A B 为可逆矩阵，E 为单位阵，*M 为M 的伴随矩阵，则*⎛⎫=⎪⎝⎭A E O B A.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B B A O B A B.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A A B O A B C.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A B A O A B D.****|||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B A B O B |A 【答案】B 【解析】由于*||||||||⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E A E A E E O AB O O B O B O B O E O A B ，故*1||||||||-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E A E A B O O B O B OA B 1111||||||||----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B O A A B OA B OB 1111||||||||||||----⎛⎫-= ⎪⎝⎭A A B A A B B O B A B ****||||⎛⎫-= ⎪⎝⎭A B A B OB A .故选B.9.222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--的规范形为A.2212y y + B.2212y y - C.2221234y y y +- D.222123y y y +-【答案】B 【解析】222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--222123121323233228x x x x x x x x x =--+++，二次型的矩阵为211134143⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，211210||134(7)131143141λλλλλλλ---=--=+-----A E 210(7)210(7)(3)0141λλλλλλ-=+-=-+-=-，1233,7,0λλλ==-=，故规范形为2212y y -，故选B.10.已知向量组121212212,1,5,03191⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ，若γ既可由12,αα线性表示，又可由12,ββ线性表示，则=γ()A.33,4k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭ B.35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭C.11,2k k R -⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭D.15,8k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭【答案】D【解析】设11223142k k k k =+=+γααββ，则11223142k k k k +--=0ααββ，对关于1234,,,k k k k 的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形，121212211003(,,,)2150010131910011--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ααββ，解得T T T T 1234(,,,)(3,1,1,1)(3,1,1,0)(33,1,1,)k k k k C C C C C =--+-=--+-，故=γ11221211(33)(1)5(1)5,8(1)8C k k C C C k k R C -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+=-+-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αααα.故选D.二、填空题：11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.11．当0x →时，2()ln(1)f x ax bx x =+++与2()e cos x g x x =-是等价无穷小，则ab =________.【答案】2-【解析】由题意可知，2200()ln(1)1lim lim ()e cos x x x f x ax bx x g x x →→+++==-222022221()2lim 11+()[1()]2x ax bx x x o x x o x x o x →++-+=+--+220221(1)()()2lim 3()2x a x b x o x x o x →++-+=+，于是1310,22a b +=-=，即1,2a b =-=，从而2ab =-.12.曲线y =⎰的孤长为_________.【答案】43π+【解析】曲线y =⎰的孤长为x x ==2=2sin 233022cos d2sin 8cos d x tt t t t ππ==⎰⎰301cos 282tdt π+=⎰314sin 22t t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭43π=+13.设函数(,)z z x y =由方程e 2zxz x y +=-确定，则22(1,1)xz∂=∂_________.【答案】32-【解析】将点(1,1)带入原方程，得0z =.方程e 2z xz x y +=-两边对x 求偏导，得e2zz zz x x x∂∂++=∂∂，两边再对x 求偏导，得22222e e 20zz z z z z x x x x x ∂∂∂∂⎛⎫+++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭，将1,1,0x y z ===代入以上两式，得(1,1)1z x ∂=∂，22(1,1)32x z ∂=-∂.14.曲线35332x y y =+在1x =对应点处的法线斜率为_________.【答案】119-【解析】当1x =时，1y =.方程35332x y y =+两边对x 求导，得2429(56)x y y y '=+，将1x =，1y =代入，得9(1)11y '=.于是曲线35332x y y =+在1x =对应点处的法线斜率为119-.15.设连续函数()f x 满足(2)()f x f x x +-=，2()d 0f x x =⎰，则31()d f x x =⎰_________.【答案】12【解析】3323121111()d ()d ()d ()d ()d ()d f x x f x x f x x f x x f x x f x x=-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰312()d ()d f x x f x x=-⎰⎰111201(2)d ()d d 2x tf t t f x x x x -=+-==⎰⎰⎰.16.131********,0,20,2ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩有解，其中,a b 为常数，若0111412a a a=，则11120a a a b=________.【答案】8【解析】方程组有解，则0111101110||12211012001202a a a a a a a a baa b==-+=A ，故111280a a ab =.三、解答题：17~22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）设曲线):(e ()L y y x x =>经过点2(e ,0)，L 上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距，(Ⅰ)求()y x ；(Ⅱ)在L 上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积.【解】(Ⅰ)曲线L 在点(,)P x y 处的切线方程为()()Y y y x X x '-=-，令0X =，则切线在y 轴上的截距为()Y y xy x '=-，则()x y xy x '=-，即11y y x'-=-，解得()(ln )y x x C x =-，其中C 为任意常数.又2(e )0y =，则2C =，故()(2ln )y x x x =-.(Ⅱ)设曲线L 在点(,(2ln ))x x x -处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程为(2ln )(1ln )()Y x x x X x --=--.令0Y =，则ln 1xX x =-；令0X =，则Y x =.故切线与两坐标轴所围三角形面积为211()22ln 12(ln 1)x x S x XY x x x ==⋅⋅=--，则2(2ln 3)()2(ln 1)x x S x x -'=-.令()0S x '=，得驻点32e x =.当32e e x <<时，()0S x '<；当32e x >时，()0S x '>，故()S x 在32e x =处取得极小值，同时也取最小值，且最小值为332(e )e S =.18.（本题满分12分）求函数2cos (,)e2yx f x y x =+的极值.【解】由已知条件，有cos (,)e y x f x y x '=+，cos (,)e (sin )y y f x y x y '=-.令(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==，解得驻点为1,ek π⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中k 为奇数；(e,)k π-，其中k 为偶数.(,)1xxf x y ''=，cos (,)e (sin )y xy f x y y ''=-，cos 2cos (,)e sin e cos y y yy f x y x y x y ''=-.在点1,ek π⎛⎫- ⎪⎝⎭处，其中k 为奇数，1,1e xx A f k π⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭，1,0e xy B f k π⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭，21,e e yy C f k π-⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭，由于20AC B -<，故1,ek π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是极值点，其中k 为奇数.在点(e,)k π-处，其中k 为偶数，(e,)1xxA f k π''=-=，(e,)0xyB f k π''=-=，2(e,)e yyC f k π-''=-=，由于20AC B ->，且0A >，故(e,)k π-为极小值点，其中k 为偶数，且极小值为2e (e,)2f k π-=-.19.（本题满分12分）已知平面区域(,)|01D x y y x ⎧⎫=≤≤≥⎨⎬⎩⎭，（1）求平面区域D 的面积S .(2)求平面区域D 绕x 一周所形成的旋转体的体积.【解】(1)222144sec 1d d tan sec sin t S x t tt t tππππ+∞===⎰⎰⎰222244sin 1d d cos sin 1cos t t t t tππππ==--⎰⎰241cos 11lnln2cos 12t t ππ-==+.(2)222211111d d 1(1)14V x x x x x xππππ+∞+∞⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰.20.（本题满分12分）设平面区域D 位于第一象限，由曲线221x y xy +-=，222x y xy +-=与直线,0y y ==围成，计算221d d 3Dx y x y +⎰⎰.【解】221d d 3Dx y x y +⎰⎰30d d πθρ=⎰3221d sin 3cos πθρθθ=+⎰322011ln 2d 2sin 3cos πθθθ=+⎰32011ln 2d tan 2tan 3πθθ=+⎰==.21.（本题满分12分）设函数()f x 在[,]a a -上有二阶连续导数.（1）证明：若(0)0f =，存在(,)a a ξ∈-，使得21()[()()]f f a f a a ξ''=+-；（2）若()f x 在(,)a a -上存在极值，证明：存在(,)a a η∈-，使得21|()||()()|2f f a f a aη''≥--.【证明】(1)将()f x 在00x =处展开为22()()()(0)(0)(0)2!2!f x f x f x f f x f x δδ''''''=++=+，其中δ介于0与x 之间.分别令x a =-和x a =，则21()()(0)()2!f a f a f a ξ'''-=-+，10a ξ-<<，22()()(0)()2!f a f a f a ξ'''=+，20a ξ<<，两式相加可得212()()()()2f f f a f a a ξξ''''+-+=，又函数()f x 在[,]a a -上有二阶连续导数，由介值定理知存在ξ∈12[,](,)a a ξξ⊂-，使得12()()()2f f f ξξξ''''+=，即21()[()()]f f a f a a ξ=-+.(2)设()f x 在0x 处取得极值，则0()0f x '=.将()f x 在0x 处展开为22000000()()()()()()()()()2!2!f x x f x x f x f x f x x x f x δδ''''--'=+-+=+，其中δ介于0x 与x 之间.分别令x a =-和x a =，则2100()()()()2!f a x f a f x η''+-=+，10a x η-<<，2200()()()()2!f a x f a f x η''-=+，02x a η<<，两式相减可得222010()()()()()()22f a x f a x f a f a ηη''''-+--=-，所以222010()()()()|()()|22f a x f a x f a f a ηη''''-+--=-221020|()|()|()|()22f a x f a x ηη''''+-≤+220012|()|[()()](|()|max(|()|,|()|))2f a x a x f f f ηηηη''''''''≤++-=2200|()|[()()]2|()|2f a x a x a f ηη''''≤++-=，即21|()||()()|2f f a f a aη''≥--.22.（本题满分12分）设矩阵A 满足对任意的123,,x x x 均有112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A .(1)求A(2)求可逆矩阵P 与对角阵Λ，使得1-=P AP Λ.【解】(1)由112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ，得112233*********x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，即方程组123111211011x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦0A 对任意的123,,x x x 均成立，故111211011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A .(2)111101||211(2)20011011λλλλλλλλ---=--=+-----A E ,(2)(2)(1)0λλλ=-+-+=,特征值为1232,2,1λλλ=-==-.3111002211011011000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,1011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α;1111042231013013000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A E ,2431⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α;211201************⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,3102-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,令123041(,,)130112-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ααα，则1200020001--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭P AP Λ.。
考研数2试题及答案
考研数2试题及答案试题：一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，不是周期函数的是（）A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)2. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3在区间（）上是单调递增的。
A. (-∞, 1)B. (1, +∞)C. (-∞, 2)D. (2, +∞)3. 已知某数列的前5项和为20，且满足a_n = 2a_{n-1} + 3，n≥2，该数列是（）A. 等差数列B. 等比数列C. 不是等差数列也不是等比数列D. 无法确定4. 极限lim (n→∞) (1 - 1/n)^n 的值是（）A. 0B. 1C. e^-1D. e5. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，P(X=k) = λ^k * e^-λ / k!，k=0,1,2,...，那么E(X)等于（）A. λB. λ^2C. e^λD. k6. 曲线y = x^2 在点（1,1）处的切线斜率是（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (1, -1)，向量a与向量b的夹角θ满足（）A. cosθ = 1/2B. cosθ = √2/2C. cosθ = 2/√5D. cosθ = 3/√108. 以下哪个选项不是微分方程dy/dx = y/x的解（）A. y = x^2B. y = cxC. y = e^x/xD. y = ln|x|9. 设函数f(x)在点x=a处连续且可导，f'(a)≠0，那么曲线y=f(x)在点（a,f(a)）处的切线方程是（）A. y = f(a) + f'(a)(x - a)B. y = f(a) + f'(a)xC. y = f(a) - f'(a)(x - a)D. y = f(a) - f'(a)x10. 以下哪个级数是收敛的？（）A. ∑((-1)^n)/√nB. ∑n/(n^2 + 1)C. ∑sin(n)/nD. ∑(1/n^2)答案：一、选择题1. C2. B3. C4. C5. A6. B7. C8. D9. A10. D请根据实际考试内容和要求，自行检查答案的准确性。
考研(数学二)真题及参考答案2024解析
考研（数学二）真题及参考答案2024解析考研(数学二)真题及参考答案2024考研数学二一般人能考多少分考研数学二总分150分，其中高数117分(约占78%)、线性代数33分(约占22%)，不考概率统计。
考试时间为180分钟。
一般人能考80,90左右，60左右就能及格了。
数学二比较简单，一般考80-100之间，但是也要掌握相应的技巧。
目标80-100这个档位的同学在复习的过程中要把大部分的精力都集中在【夯实基础】，证明题、数列极限等较难的题目可以适当取舍。
可以找学长学姐或教授，让他们推荐给你几门名师的书籍、练习册或视频。
考研数学二难不难考研数学二偏重基础，题目难度不高，但不容易算。
这也跟很多同学的感觉是一样的，拿到题第一眼感觉很熟悉，比较简单，但做的时候发现又没有想象中那么容易。
未来考研数学会更加偏重于对基础知识的考查。
考研的同学要注意备考数学时不仅要注重各样方法技巧，基础知识同样也不能落下。
每年考完试后都会有同学觉得难，也会有同学觉得没那么难。
2024年考研国家线预测2024考研预计金融、应用统计、资产评估、保险、国际商务、税务这几个专业的专硕的分数线大概会是在364左右，审计的国家线大概是190分左右，汉语应用心理学，国际教育和教育学为354分。
材料，能源，化工，土木，水利，生物医药，交通运输等专业的分数线在269分左右，风景，园林，农业，兽医的录取分数线在251分左右，药学和护理学的录取分数线在304分左右。
2024年考研国家线上调还是下降2024考研国家线预计呈现上升趋势。
考研分初试和复试环节，初试通过后才能进入复试，个体考生在初试通过后，都会根据自己的成绩判断自己是否能够进入复试，若无法达到复试分数线的话，学生就要提前做好调剂的准备，以免滑档。
随着高等教育的普及和就业压力的增大，越来越多的本科生选择继续深造，因此考研报名人数也在逐年增加。
预计2024考研国家线会上调。
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2u 2u
2u 2u
(A) x2 y 2 . （B） x2 y 2 .
(C) 2u 2u . xy y2
(D) 2u 2u . xy x2
[]
（12）设函数 f (x)
1
x
,则
e x1 1
(A) x=0,x=1 都是 f(x)的第一类间断点.
（B） x=0,x=1 都是 f(x)的第二类间断点.
点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).
设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分
3(x 2 x) f (x)dx. 0
（18）（本题满分 12 分）
用变量代换 x cos t(0 t ) 化简微分方程(1 x 2 ) y xy y 0 ，并求其满足
y 1,y 2 的特解.
(C) x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点.
x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点.
[]
（13）设 1, 2是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1, 2，则 1，
A( 1 2) 线性无关的充分必要条件是
(A) 1 0 .
x t 2 2t,
（9）设函数 y=y(x)由参数方程y ln(1 t) 确定，则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线与
x 轴交点的横坐标是
1
1
(A) ln 2 3.
(B) ln 2 3 .
8
8
(C) 8ln 2 3 .
(D) 8ln 2 3 .
[]
超级狩猎者 （10）设区域 D {(x, y) x 2 y 2 4, x 0, y 0}，f(x)为 D 上的正值连续函数，
求 f(x,y)在椭圆域
D {(x, y) x 2 y 2 1} 上的最大值和最小值. 4
（21）（本题满分 9 分）
计算二重积分 x 2 y 2 1d ，其中 D {(x, y) 0 x 1,0 y 1} . D
（22）（本题满分 9 分）
确定常数 a,使向量组 (1,1, a)T , (1, a,1)T , (a,1,1)T 可由向量组
(x t) f (t)dt
0
.
x0
x
x
f (x t)dt
0
（16）（本题满分 11 分）
超级狩猎者
如图，
C1 和
C2
分别是
y
1 (1 2
ex
)
和
y
ex
的图象，过点(0,1)的曲线C
3 是一单调
增函数的图象. 过C2 上任一点 M(x,y)分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线lx 和ly . 记C1 , C2 与
x0
x0
（19）（本题满分 12 分） 已知函数 f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=1. 证明：
（I）存在 (0,1), 使得 f ( ) 1 ；
（II）存在两个不同的点 , (0,1) ，使得 f ( )f ( ) 1.
（20）（本题满分 10 分）
已知函数 z=f(x,y) 的全微分 dz 2xdx 2 ydy ，并且 f(1,1,)=2.
lx 所围图形的面积为 S1 (x) ； C2 , C3 与 ly 所围图形的面积为 S2 ( y). 如果总有
S1 (x) S2 ( y) ，求曲线C3 的方程 x (y).
（17）（本题满分 11 分）
如图，曲线 C 的方程为 y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1 与 l2 分别是曲线 C 在
二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（7）设函数 f (x) lim n 1 x 3n ，则 f(x)在(,) 内
n
(A) 处处可导. (C) 恰有两个不可导点.
(B) 恰有一个不可导点. (D) 至少有三个不可导点.
（5）当 x 0 时， (x) kx 2 与 (x) 1 x arcsin x cos x 是等价无穷小，则
k= .
（6） 设 1, 2, 3均为 3 维列向量，记矩阵
A ( 1, 2, 3) ， B ( 1 2 3 , 1 2 2 4 3, 1 3 2 9 3 ) ， 如果 A 1 ，那么 B .
(B) 2 0 . (C) 1 0 . (D) 2 0 .
[]
（14）设 A 为 n（ n 2 ）阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B, A* , B* 分
别为 A,B 的伴随矩阵，则
(A) 交换 A* 的第 1 列与第 2 列得 B* . (C) 交换 A* 的第 1 列与第 2 列得 B* .
(B) 交换 A* 的第 1 行与第 2 行得 B* .
(D) 交换 A* 的第 1 行与第 2 行得 B* .
[
]
三 、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.）
（15）（本题满分 11 分）
x
设函数 f(x)连续，且 f (0) 0 ，求极限lim
[]
8 设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数， " M N" 表示“M 的充分必要条件是
N”，则必有
(A) F(x)是偶函数 f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数 f(x)是偶函数.
(C) F(x)是周期函数 f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数 f(x)是单调函数.
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超级狩猎者
2005 年数学二试题分析、详解和评注
一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
（1） 设 y (1 sin x) x ，则 dy
=.
x
3
(1 x)2
（2） 曲线 y
的斜渐近线方程为.
x1（3）x Nhomakorabeax0 (2 x2 ) 1 x2
（4） 微分方程 xy 2 y x ln x 满足 y(1) 1 的解为 9
a f (x) b f (y)
a,b 为常数，则 D
d f (x) f (y)
ab
a b
(A) ab . (B)
. (C) (a b) . (D)
.
2
2
x y
[]
（11） 设函数u(x, y) (x y) (x y) x
(yt)dt , 其中函数 具有二阶导数，
具有一阶导数，则必有