直角三角形中的折叠问题 (2)

教 案

课 题：直角三角形中的折叠问题

教学目标：1.让学生理解折叠问题中的全等三角形及相等的线段和相等的角；

2.让学生会灵活应用勾股定理构造方程解决简单的几何问题，感受面

积法有时是解决几何问题的捷径；

教学重点：掌握解决折叠问题的一般方法，体会方程思想的重要性.

教学难点：折叠问题是操作问题，让学生会熟练寻找折叠前后图形中的相等量，

并能顺利解决问题.

教学准备：每人一张直角三角形纸片.

教学过程:

一．新课导入：

我们给定的三角形纸片命名为Rt △ABC ，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则斜边AB= .

二．新课教学：

探究一：折叠中点与点的重合

问题1：折叠△ABC 使点B 与点C 重合，求折痕DE 的长；

【解析】由C 、B 两点关于DE 轴对称，则DE 垂直平分BC ，

所以DE 是△ABC 的中位线，DE=12

AC=3 问题2：折叠△ABC 使点A 与点C 重合，求折痕FG 的长；

【解析】与问题同理可得FG=12

BC=4

问题3：折叠△ABC 使点A 与点B 重合，求折痕HI 的长.

【解析】由HI 垂直平分AB 得AI=BI

设AI=BI=x ，则CI=8-x

∴2226(8)x x -=- ∴254

x = 1122ABI S AB IH BI AC ∆=⋅=⋅即251068

IH =⨯ ∴IH=258

小结：1.利用全等三角形寻找相等的线段

2.利用勾股定理及面积法求线段的长

探究二：折叠中边与边的重叠

问题1：折叠△ABC ，使AC 边落在AB 上的AC'处，求折痕AP 的长；

【解析】由△ACP ≌AC ′P 得

AC=AC ′，PC=PC ′=6，BC ′=4

设PC=PC ′=x ，则BP=8-x

2224(8)x x +=-

∴x=3

∴

=问题2：折叠△ABC ，使BC 边落在BA 上的BC'处，求折痕BM 的长；

【解析】与问题1同理，设CM=CM ′=x 可得83

x =，则

BM=3 小结：一般用未重叠的直角三角形构造勾股定理.

问题3：折叠△ABC ，使CA 边落在CB 上的CA'处，

求折痕CN 的长.

【解析】作ND ⊥BC 与点D

∵∠CAN=∠BCN=45°，CA=CA ′=6，A ′B=2

设CD=DN=x

'2A BN ABC ACN S S S ∆∆∆=- ∴11126826222

x x ⨯=⨯⨯-⨯⨯ ∴247

x = ∴

小结：面积法是捷径

学以致用：如图所示，在矩形ACBD 中，AC=6，BC=8，沿对角线AB 折叠，△ABC 成为三角形ABE ，BE 交AD 于点F ，求EF 的长.

D

【解析】由全等可得∠ABC=∠ABE

∵AD ∥BC 得∠ABC=∠BAD

∴∠ABE=∠BAD

∴设AF=BF=x ，则EF=8-x

∴2226(8)x x +-= ∴254x =即EF=254

再探：若再沿GH 折叠，使点A 与点D 重合，求折痕GH 的长.

【解析】∠BAE=∠ABD

GH ∥BD 得∠AHG=∠ABD

∴∠GAH=∠GHA

∴AG=HG

设PG=x ，则AG=HG=3+x

∴2224(3)x x +=+ ∴76

x = ∴HG=3+

72566= 小结：这里的AG=HG 是学生很难发现的结论，可适当引导 本堂课总结

知识：解决折叠问题的一般方法

方法：体会方程思想的重要性

推广：矩形中的折叠问题

作业布置：附配套作业

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