直角三角形中的折叠问题 (2)
利用勾股定理解决折叠问题—课件
8
x
6
4
10
知识讲解
变式1.已知长方形ABCD在平面直角坐标系中，A （0,8）D（10,8），如图AD沿着AE翻折后点D落在 BC上，求点E的坐标.
E(10,3)
10
8 10
8-x
8 8-x x
6
4
10
知识讲解
变式2.在长方形ABCD中，AB=8，AD=10， 如图AD沿着AC翻折， 求CE的长.
10
8x
8
x
10-x
8
10
课堂练习
变式3.在长方形ABCD中，AB=8，AD=10，如
图，翻折长方形ABCD，使点D与点B重合，
求 折痕EAFE 的长.
x 10G10-x
8 10-x
小结
利用勾股定理解决折叠问题的基本步骤： （1）标出已知和问题，明确目标在哪个直角三 角形中，设适当的未知数x； （2）利用折叠找全等； （3）将已知边和未知边（用含x的代数式表示）， 转化到同一个直角三角形中表示出来； （4）利用勾股定理列方程，解方程，得解。
知识ห้องสมุดไป่ตู้解
类型一、直角三角形的折叠
例1.如图，一块直角三角形的纸片，两直角边 AC=6，BC=8，现折叠纸片使A与B重合，折痕为DE， 求CD的长.
解： ∵Rt△ABC，AC=6，BC=8
设观C察D为、x思，考则BD=8-x
由1折.题叠中的已性知质可什得么，求的是什么？
2∴.D折B叠=A过D=程8中-x 你发现了什么？
在3R.观t △察BCDDE在中哪，一由个勾直股定角理三得角形中，
你能x2表6示2 出(这8 个x直)2角三角形的每
解得条x边= ？7
6 8-x
第2章 三角形折叠问题专题练习（答案）
三角形折叠问题专题练习一、选择题1．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC 边上的点E处，如果∠A＝26°，那么∠CDE度数为（）A．71°B．64°C．80°D．45°【答案】A2．将一张正方形纸片，按如图所示步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（）【答案】B3．将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）【答案】A4．学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚BC剪下△ABC，展开即可得到一个五角星．如果想得到一个正五角星(如图④)，那垂直A．B．C．D．A．126°B．108°C．100°D．90°【答案】A5．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，将其折叠，使点A落在边CB上的点A′处，折痕为CD，则∠A′DB等于（）A．40°B．30°C．20°D．10°【答案】C6．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果＝6，那么线段BE的长度为（）．6 B．6 2 C．2 3 D．32【答案】D【解析】根据折叠的性质知，CD＝ED，∠CDA＝∠ADE＝45°，∴∠CDE＝∠BDE＝90°，∵BD＝CD，BC＝6，∴BD＝ED＝3，即△EDB是等腰直角三角形，∴BE＝2BD＝2×3＝32，故选D．7．如图，把等腰直角△ABC沿BD折叠，使点A落在边BC上的点E处．下面结论错误的是（）A．AB＝BE B．AD＝DC C．AD＝DE D．AD＝EC【答案】B【解析】由折叠知△BAD≌△BED，∴AB＝BE，AD＝DE．ABC是等腰直角三角形，∴∠C＝45°．DEC＝90°，∴∠EDC＝∠C＝45°，∴DE＝EC，∴AD＝EC．∵CD＞DE，∴CD＞AD，故选B．8．如图所示，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D9． 有一张直角三角形纸片，两直角边长AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE (如图)，则CD 等于（ ）A ．254cmB ．223cmC ．74cmD ．53cm【答案】C【解析】设CD ＝x cm ，则AD ＝BD ＝(8－x )cm ，又AC ＝6 cm ，在Rt △ACD 中，根据勾股定理，得62＋x 2＝(8－x )2，∴x ＝74．二、填空题10．把一张纸按图中那样折叠后，若得到∠AOB ′＝70°，则∠BOG ＝__________．【答案】55°11．如图所示，将△ABC 沿着DE 翻折，B 点落到了B'点处．若∠1＋∠2＝80°，则∠B'＝__________．【答案】40°【解析】由外角定理可得∠1＋∠2＝2∠B'，∴∠B'＝40°．12．如图所示，已知等边三角形纸片ABC ，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC ，则∠EFD ＝__________．【答案】45°【解析】由翻折的性质可知∠AFE ＝∠EFD ．∵△ABC 为等边三角形，∴∠B ＝60°，∠C ＝60°，∠A ＝∠EDF ＝60°． ∵ED ⊥BC ，∴△EDC 为直角三角形．∴∠FDB ＝30°．∴∠AFE ＋∠EFD ＝60°＋30°＝90°． ∴∠EFD ＝45°．13．如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，沿直线MN 折叠，使点A 与点B 重合，折痕MN 与AC 交于点D ，已知∠DBC ＝15°，则∠A 的度数是__________．【答案】50°14．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将边BC 沿斜边上的中线CD 折叠到CB ′，如果∠B ＝50°，那么∠ACB ′＝__________．【答案】10°15．如图所示，把△ABC 沿EF 翻折，折叠后的图形如图所示．如果∠A ＝60°，∠1＝95°，那么∠2＝__________．【答案】25°【解析】∵把△ABC 沿EF 翻折， ∴∠BEF ＝∠B ′EF ，∠CFE ＝∠C ′FE ． ∴180°－∠AEF ＝∠1＋∠AEF ， 180°－∠AFE ＝∠2＋∠AFE ．∵∠1＝95°，∴∠AEF ＝12×(180°－95°)＝42.5°．∴∠AFE ＝180°－60°－42.5°＝77.5°． ∴180°－77.5°＝∠2＋77.5°．∴∠2＝25°．16．如图所示，已知△ABC 中，DE ∥BC ，将△ADE 沿DE 翻折，点A 落在平面内的点A ′处，若∠B ＝50°，则∠BDA ′的度数是__________．【答案】80°【解析】∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝50°．∵∠ADE＝∠A′DE，∴∠A′DA＝2∠B．∴∠BDA′＝180°－2∠B＝80°．17．如图所示，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE＝__________．【答案】15°18．如图，△ABC中，D是边AB上的一点，过D作DE∥BC交边AC于点E，过点A作关于直线DE的对称点A'，连结A'D交AC于点O，A'D与AC互相平分．若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为__________．A'OEDCBA【答案】1819．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过点B的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数等于__________．【答案】30°【解析】由题意得，BC＝BD＝AD，∴在Rt△ABC中，BC＝12AB，∴∠A＝30°．20．如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过点D的直线折叠，使点A落在BC边上的F处，若∠B＝50°，则∠BDF＝__________．【答案】80°【解析】由折叠得AD＝DF，又AD＝BD，∴BD＝DF，又∠B＝50°，∴∠BDF＝180°－50°×2＝80°．．如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，AB＝a．将△ABO沿BO对折于△A′BO，M为BC上一动点，则A′M的最小值为__________．【答案】6－24a22．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为__________cm．A'CABDE【答案】3【解析】折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，所以AD＝A'D，AE＝A'E，则阴影部分图形的周长等于BC＋BD＋CE＋A'D＋A'E＝BC＋BD＋CE＋AD＋AE＝BC＋AB＋AC＝3cm．45︒60︒A′BMAODC。
勾股定理解析折叠问题含详细的答案
探究五
如图,矩形纸片ABCD中,AB=6cm,AD=10cm，
点E、F仍在矩形ABCD的边AB 、AD上，仍将 △AEF沿EF折叠，使点A′在BC边上, 当折痕EF 移动时，点A′在BC边上也随之移动。则A′C 的范围为 4≤A′C≤8
分析：根据点E、F分别在 AB、AD上移动，可画出两 个极端位置时的图形。
=EF＋EC=8，A
D
B F A2 F A2 B12 0 8 2 6
FC=BC-BF=10-6=4
设EC=x ,则EF=DC－EC=(8－x)
在Rt△EFC中，根据勾股定理得
EC²=FC²=EF²
B
即x²＋4²=（8－x）²，x=3，
∴EC的长为3cm。
精选课件
F
图2
E
C
5
探究二
如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，
FD
B
C
精选课件
E
19
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在BC上找一点F，沿DF折叠矩形ABCD，使C点 落在对角线BD上的点E处，此时折痕DF的长是 多少？
精选课件
6
精选课件
7
发挥你的想象力
❖ 长方形还可以怎样折叠，要求折叠 一次，给出两个已知条件，提出问题， 并解答问题。
E
A
E
DD
CA
D
F
B F
C
C
A
B
B
E FC
精选课件
8
课堂小结
❖ 1、标已知； ❖ 2、找相等； ❖ 3、设未知，利用勾股定理，列方程； ❖ 4、解方程，得解。
直角三角形的折叠问题
直角三角形的折叠问题长方形的折叠：D AA D 知识关键：1.要解决折叠问题，就要清楚通过折叠造成哪些边相等2.要学会合理的设未知数，从而通过勾股定理构造方程三角形的折叠：折叠方法 1 ：A AC'C BC D B折叠方法 1：将长方形的一个角向对边折叠在没有折叠之前的长方形ABCD中相等的边有相等的角有，BC B在折叠后的图形中，相等的边有，相等的角有全等的三角形有例题 3：如图，长方形ABCD中， AB=6， BC=10，将长方形折叠，使得点上的 D'处。
求 EC的长。
AED'C，D 落在 BCD将三角形的直角向斜边折叠，形成这个图形。
（此时出现角平分线）在右图中相等的线段有例题 1：B如图，在 Rt△ABC 中， AC=6,BC=8，现将直角边沿着直线AD 折叠，使点 C 落在斜边 AB 上的点 E，求 CD 长AE B'E D'C折叠方法 2 ：B B(A)CDEC A CD A将三角形的一个直角顶点向另一个直角顶点折叠。
（此时出现边的垂直平分线）在右图中相等的线段有折叠方法 2：将长方形沿着对角线折叠A D A P在折叠后形成的图形中，B全等三角形为B C等腰三角形为B相等的边为，直角三角形为例题 4：如图，长方形ABCD中， AB=6， BC=8，沿着对角线折叠，使得点处。
求 PD 的长。
DCB 落在 B'B'A PD例题 2：如图，将 Rt△ ABC 折叠，使得点 A 与点 B 重合，折痕为DE，若 BC=6， AC=8求 CD的长BB CEC D A---A'折叠方法 3 ：A D A将长方形两个对角向不相邻的对角线折叠在折叠后形成的图形中，全等三角形为等腰三角形为B C B相等的边为，直角三角形为例题 5：如图，长方形ABCD中， AB=6， BC=8，BD 是对角线 .将 A、C分别落在A'， C'处。
备战中考--第39讲几何图形折叠问题--(附解析答案)
备战2019 中考初中数学导练学案50 讲第39 讲几何图形折叠问题【疑难点拨】1. 折叠（翻折）问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．2. 折叠（翻折）意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．3. 矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角” 的模型（如图），从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．4. 凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1. 常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆. 2. 折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【基础篇】一、选择题：1. . （2018?四川凉州?3 分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD 于点E，则下到结论不一定成立的是（）A．AD=BC′ B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin ∠ABE=2. （2017 山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图 2 所示的扇形AOB．已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交于点D，点F 是上一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F 重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（）．A．36π -108 B ．108-32 π C．2π D．π3. （2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ ABC沿AC折叠，使点B 落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（）4. （2018·山东青岛· 3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF= ，则BC的长是（）A．B．3 2 C． 3 D．3 3D．5. （2017乌鲁木齐）如图，在矩形 ABCD 中，点 F 在 AD 上，点 E 在 BC 上，把这个矩形沿 EF 折叠后，使点 D 恰好落在 BC 边上的 G 点处，若矩形面积为 4 且∠AFG=60°， GE=2BG ， 则折痕 EF 的长为（）A ．1B ．C ． 2D ．、填空题：6. （2018·辽宁省盘锦市）如图，已知 Rt △ABC 中，∠ B=90°，∠ A=60°， AC=2 +4，点 M 、N 分别在线段 AC.AB 上，将△ANM 沿直线 MN 折叠， 使点 A 的对应点 D 恰好落在线段 BC 上，当△ DCM 为直角三角形时，折痕 MN 的长为．7. （2018·山东威海· 8 分）如图，将矩形 ABCD （纸片）折叠，使点 B 与 AD 边上的点 K 重合，EG 为折痕；点C 与AD 边上的点 K 重合， FH 为折痕．已知∠ 1=67.5°， ∠2=75°， EF=+1，则 BC 的长．处，点 C 落在点 H 处，已知∠ DGH=3°0，连接8. （2018·湖南省常德 ·3 分）如图，将矩形ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 落在 AD 边上的点 GBG ，则∠ AGB=三、解答与计算题：9. （2018·广东· 7 分）如图，矩形ABCD中，AB>AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ ADE≌△ CED；（2）求证：△ DEF是等腰三角形．10. （2018?山东枣庄?10 分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2 ，求BE的长．能力篇】、选择题：11. （ 2018·辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形 落在 BC 边的中点 A 1处， BC=8，那么线段 AE 的长度为 （ ）12. （ 2018·四川省攀枝花·3 分）如图，在矩形 ABCD 中， E 是 AB 边的中点，沿 EC 对折矩 形 ABCD ，使 B 点落在点 P 处，折痕为 EC ，连结 AP 并延长 AP 交 CD 于 F 点，连结 CP 并延长 CP 交 AD 于 Q 点．给出以下结论：① 四边形 AECF 为平行四边形；② ∠PBA=∠APQ ；③ △FPC 为等腰三角形；④ △APB ≌△EPC ．其中正确结论的个数为（ABC （∠ B=90°）沿 EF 折叠，使点 AD ．7A ．1B ． 2C ．3D ．413.2018·湖北省武汉 3 分）如图，在⊙ O 中，点 C 在优弧 上，将弧 沿 BC 折叠后刚好经过AB 的中点D．若⊙ O的半径为，AB=4，则BC的长是（）C．、填空题：14. （2018 ·辽宁省葫芦岛市）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△ BCE沿BE折叠后得到△ BEF、将BF 延长交AD 于点G ．若=，则且点 F 在矩形ABCD的内部，15. （2018·四川宜宾· 3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△ CBE沿CE折叠，使点B 落在矩形内点F处，下列结论正确的是①②③ （写出所有正确结论的序号）①当E 为线段AB中点时，AF∥CE；②当E 为线段AB中点时，AF=9；5③当A、F、C三点共线时，AE=④当A、F、C三点共线时，△ CEF≌△．三、解答与计算题：16.（2018·湖北省宜昌·11 分）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC 沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD 上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD 的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，① 求证：BP=BF；② 当AD=25，且AE< DE 时，求cos∠ PCB的值；③ 当BP=9 时，求BE?EF的值．17. （2018·广东·7 分）如图，矩形ABCD中，AB>AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ ADE≌△ CED；（2）求证：△ DEF是等腰三角形．18. （2018?江苏盐城? 10 分）如图，在以线段为直径的上取一点，连接、. 将沿翻折后得到.（1）试说明点在上；（2）在线段的延长线上取一点，使. 求证：为的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段、相交于点，若，，求线段的长.探究篇】19. （2018 年江苏省泰州市?12 分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE 折叠，使点B 落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E 恰好与点D重合（如图②）1）根据以上操作和发现，求的值；2）将该矩形纸片展开．①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H 重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠ HPC=9°0 ；②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P 点，要求只有一条折痕，且点P 在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）20. （2018 年江苏省宿迁）如图，在边长为 1 的正方形ABCD中，动点E、F 分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B 的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x，1）当AM= 时，求x 的值；2）随着点M 在边AD上位置的变化，△ PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x 之间的函数表达式，并求出S的最小值.第39 讲几何图形折叠问题疑难点拨】1. 折叠（翻折）问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．2. 折叠（翻折）意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．3. 矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角” 的模型（如图），从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．4. 凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1. 常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆. 2. 折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【基础篇】一、选择题：1. . （2018?四川凉州?3 分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（）A．AD=BC′ B．∠ EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin ∠ABE=【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案．【解答】解：A、BC=BC′，AD=BC，∴ AD=BC′，所以正确．B、∠CBD=∠EDB，∠CBD=∠EBD，∴∠ EBD=∠EDB 正确．∴∠EBD=∠EDB∴BE=DE ∴sin ∠ABE= ．故选： C ．点评】本题主要用排除法，证明 A ，B ，D 都正确，所以不正确的就是 C ，排除法也是数学 中一种常用的解题方法．2. （2017 山东烟台） 如图 1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图 2 所示的扇形 AOB ．已知 OA=6，取 OA 的中点 C ，过点 C 作 CD ⊥OA 交 于点 D ，点 F 是 上一点．若将 扇形 BOD 沿 OD 翻折，点 B 恰好与点 F 重合，用剪刀沿着线段 BD ，DF ，FA 依次剪下，则剪下 的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（ ）．A ．36π -108B ． 108-32 πC ．2πD ．π【考点】 MO ：扇形面积的计算； P9：剪纸问题．【分析】先求出∠ ODC ∠= BOD=3°0 ，作 DE ⊥OB 可得 DE= OD=3，先根据 S 弓形 BD =S 扇形BOD ﹣ S △ BOD 求得弓形的面积，再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积．解答】解：如图，∵ CD ⊥ OA ，∴∠ DCO=∠AOB=9°0 ，D 、∵ sin ∠ABE= ，∴∠ ODC=∠BOD=3°0 ，作 DE ⊥ OB 于点 E ，则 DE= OD=3，则剪下的纸片面积之和为 12×（ 3π﹣ 9）=36π﹣ 108，故答案为： 36π﹣ 108．故选 A3. （2017浙江衢州） 如图，矩形纸片 ABCD 中， AB=4，BC=6，将△ ABC 沿 AC 折叠，使点 B 落在点 E 处， CE 交 AD 于点 F ，则 DF 的长等于（ ）A ．B ．C ．D ．考点】 PB ：翻折变换（折叠问题） ； LB ：矩形的性质．【分析】根据折叠的性质得到 AE=AB ，∠E=∠B=90°，易证 Rt △AEF ≌Rt △ CDF ，即可得到结 论 EF=DF ；易得 FC=FA ，设 FA=x ，则 FC=x ，FD=6﹣ x ，在 Rt △CDF中利用勾股定理得到关于∴S 弓形 BD =S 扇形 BOD ﹣ S △ BOD =×6×3=3π 9，∵OA=OD=OB=，6OC= OA= OD ，x 的方程x2=42+（6﹣x）2，解方程求出x．【解答】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ ABC落在△ ACE的位置，∴AE=AB，∠ E=∠B=90°，又∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，∴AE=DC，而∠ AFE=∠DFC，∵在△ AEF与△ CDF中，，∴△ AEF≌△ CDF（AAS），∴EF=DF；∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=6，CD=AB=，4∵Rt △AEF≌Rt△CDF，∴FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6﹣x）则FD=6﹣x=实用文档20故选：B ．4. （2018·山东青岛· 3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF= ，则BC的长是（）分析】由折叠的性质可知∠ B=∠EAF=45°，所以可求出∠ AFB=90°，再直角三角形的性质解答】解：∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A 重合，∴∠ B=∠EAF=45°，∴∠AFB=90°，∵点E 为AB中点，∴EF= 1 AB，EF= 3，22∵∠BAC=90°，AB，所以AB=AC的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．D． 3 3可知EF∴AB=AC=3，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．5. （2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4 且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF 的长为（）A．1 B．C．2 D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】由折叠的性质可知，DF=GF、HE=CE、GH=DC、∠ DFE=∠ GFE，结合∠ AFG=60°即可得出∠ GFE=60°，进而可得出△ GEF为等边三角形，在Rt △GHE中，通过解含30 度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC、DC= EC，再由GE=2BG结合矩形面积为4 ，即可求出EC的长度，根据EF=GE=2EC即可求出结论．解答】解：由折叠的性质可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠ DFE=∠GFE．∵∠ GFE+∠DFE=180°﹣∠ AFG=12°0 ，∴∠GFE=60°．∵AF∥ GE，∠ AFG=60°，∴∠ FGE=∠AFG=60°，∴△ GEF为等边三角形，∴EF=GE．∵∠ FGE=60°，∠ FGE+∠HGE=9°0 ，∴∠ HGE=3°0 ．在Rt△GHE中，∠HGE=3°0 ，∴GE=2HE=C，E∴GH= = HE= CE．∵GE=2BG，∴BC=BG+GE+EC=4．EC∵矩形ABCD的面积为4 ，∴4EC? EC=4 ，∴EC=1，EF=GE=2．故选C．二、填空题：6. （2018·辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ABC中，∠ B=90°，∠ A=60°，AC=2 +4，点M、N分别在线段AC.AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A 的对应点D恰好落在线段BC 上，当△ DCM为直角三角形时，折痕MN的长为．解答】解：分两种情况：①如图，当∠ CDM=9°0 时， △CDM 是直角三角形，∵在 Rt△ABC 中，∠ B=90°，∠ A=60°，AC=2 +4 ，∴∠ C=30°，AB= AC= 叠可得：∠ MDN= ∠ A=60°，∴∠ BDN=3°0 ，∴ BN= DN= AN ，∴ BN= AB=，∴∠ ANM= ∠ DNM=6°0 ，∴∠ AMN=6°0 ，∴ AN=MN=DN= AN ， BD\1AB= ，∴ AN=2 ，BN= ，过 N 作 NH ⊥AM 于 H ，则∠ ANH=30° ，∴AH=AN=1 ， HN= ，由折叠可得：∠ AMN= ∠DMN=45° ，∴△ MNH 是等腰直角三角形，∴HM=HN= ，∴ MN= ．，由折 ∵∠ DNB=6°0 AN=2BN= ②如图，当∠ CMD=9°0 时， △CDM 是直角三角形，由题可得： ∠CDM=6°0 ，∠ A= ∠ MDN=6°0 ，∴∠ BDN=6°0 ，∠BND=3°0 ，∴BD= BN故答案为：或．7. （2018·山东威海· 8 分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B 与AD边上的点K 重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠ 1=67.5°，∠2=75°，EF= +1，求BC的长．【分析】由题意知∠ 3=180°﹣2∠1=45°、∠ 4=180°﹣2∠2=30°、BE=KE、KF=FC，作KM⊥BC，设KM=x，知EM=x、MF= x，根据EF的长求得x=1，再进一步求解可得．解答】解：由题意，得：∠3=180°﹣2∠1=45°，∠4=180°﹣2∠2=30°，BE=KE、KF=FC，如图，过点K 作KM⊥BC于点M，设KM=x，则EM=x、MF= x，∴ x+ x= +1，解得：x=1，∴EK= 、KF=2，∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3+ + ，∴BC的长为3+ + ．点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．8. （2018·湖南省常德·3 分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G 处，点C落在点H处，已知∠ DGH=3°0 ，连接BG，则∠ AGB= 75° ．【分析】由折叠的性质可知：GE=BE，∠ EGH=∠ABC=90°，从而可证明∠ EBG=∠EGB．，然后再根据∠ EGH﹣∠ EGB=∠ EBC﹣∠ EBG，即：∠GBC=∠BGH，由平行线的性质可知∠AGB=∠GBC，从而易证∠ AGB=∠ BGH，据此可得答案．【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE，∠ EGH=∠ABC=90°，∴∠ EBG=∠EGB．∴∠ EGH﹣∠ EGB=∠EBC﹣∠ EBG，即：∠ GBC=∠BGH．又∵ AD∥ BC，∴∠ AGB=∠GBC．∴∠ AGB=∠BGH．∵∠DGH=3°0 ，∴∠ AGH=15°0 ，∴∠ AGB= ∠AGH=7°5 ，故答案为：75【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答与计算题：9. （2018·广东· 7 分）如图，矩形ABCD中，AB>AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ ADE≌△ CED；（2）求证：△ DEF是等腰三角形．【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ ADE≌△ CED（SSS）；（2）根据全等三角形的性质可得出∠ DEF=∠ EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△ DEF是等腰三角形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ ADE和△ CED中，，∴△ ADE≌△ CED（SSS）．∴∠ DEA=∠EDC ，即∠ DEF=∠EDF ，∴EF=DF ，∴△ DEF 是等腰三角形．点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是： 1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出 AD=CE 、 AE=CD ；（ 2）利用全等三角形的性质找出 ∠DEF=∠EDF ．10. （2018?山东枣庄 ?10 分）如图，将矩形 ABCD 沿 AF 折叠，使点 D 落在 BC 边的点 E 处， 过点 E 作 EG ∥CD 交 AF 于点 G ，连接 DG ．（1）求证：四边形 EFDG 是菱形；（2）探究线段 EG 、GF 、 AF 之间的数量关系，并说明理由；（3）若 AG=6， EG=2 ，求 BE 的长．【分析】（ 1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠ DGF=∠DFG ，从而得到 GD=DF ，接下 来依据翻折的性质可证明 DG=GE=DF=E ；F（2）由（ 1）得△ ADE ≌△（2）连接DE，交AF 于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF= GF，接下来，证明△ DOF ∽△ ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO?AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△ FGH∽△ FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．【解答】解：（1）证明：∵ GE∥DF，∴∠ EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=G，E DF=EF，∠ DGF=∠EGF，∴∠ DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=E．F∴四边形EFDG为菱形．（2）EG2= GF?AF．理由：如图1 所示：连接DE，交AF 于点O．∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥ DE，OG=OF= GF．∵∠ DOF=∠ADF=90°，∠ OFD=∠ DFA，∴△ DOF∽△ ADF．，即DF2=FO?AF．∵FO= GF，DF=EG，∴EG2= GF?AF．3）如图2 所示：过点G作GH⊥ DC，垂足为H．∵EG2= GF?AF，AG=6，EG=2 ，∴20= FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）∵DF=GE=2 ，AF=10，∴AD= =4 ．∵GH⊥ DC，AD⊥ DC，∴GH∥ AD．∴△ FGH∽△ FAD．∴GH=∴BE=AD ﹣ GH=4 ﹣ =【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、 菱形的判定和性质、 相似三角形的性质和判定、 勾股定理的应用， 利用相似三角形的性质得 到DF 2=FO?AF 是解题答问题 （ 2）的关键，依据相似三角形的性质求得 GH 的长是解答问题 （3）的关键．能力篇】、选择题：11. （ 2018·辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形 ABC （∠ B=90°）沿 EF 折叠，使点 A落在 BC 边的中点 A 1处， BC=8，那么线段 AE 的长度为 （ ） ．解答】解： 由折叠的性质可得 AE=A 1E ．∵△ ABC 为等腰直角三角形， BC=8，∴ AB=8．2∵A 1为 BC 的中点， ∴A 1B=4，设 AE=A 1E=x ，则 BE=8﹣ x ．在 Rt △A 1BE 中， 由勾股定理可得 42+（8﹣ x ） 2=x 2，解得 x=5．故答案为： 5．故选 BA ．4B ． 5C ． 6D ．7∴ ，即 = ．12. （2018·四川省攀枝花·3 分）如图，在矩形ABCD中，E 是AB 边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F 点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4解：①如图，EC，BP交于点G；∵点P是点B关于直线EC的对称点，∴ EC 垂直平分BP，∴ EP=EB，∴∠ EBP=∠EPB．∵点E为AB中点，∴ AE=EB，∴ AE=EP，∴∠ PAB=∠PBA．∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠ PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴ AP⊥BP，∴AF∥EC；∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故①正确；∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ ABC=∠ABP+∠PBC=90°，∴∠ ABP=∠APQ ，故②正确；③∵AF ∥EC ，∴∠ FPC=∠PCE=∠BCE ．∵∠PFC 是钝角，当△BPC 是等边三角形， 即∠BCE=30°时， 才有∠ FPC=∠FCP ，如右图，△PCF 不一定是等腰三角形，故③不正确；④∵AF=EC ， AD=BC=P ，C ∠ADF=∠EPC=90°，∴ Rt △EPC ≌△FDA （ HL ）．∵∠ADF=∠APB=90°，∠ FAD=∠AB P ，当 BP=AD 或△BPC 是等边三角形时，△ APB ≌△ FDA ， ∴△APB ≌△EPC ，故④不正确； 其中正确结论有①②， 2 个．故选 B ．13. （2018·湖北省武汉 ·3 分）如图，在⊙ O 中，点 C 在优弧 上，将弧沿 BC 折叠后刚好经过 AB 的中点 D ．若⊙ O 的半径为 ， AB=4，则 BC 的长是（）②∵∠ APB=90°，∴∠ APQ+∠BPC=90°，由折叠得： BC=PC ，∴∠ BPC=∠PBC ．【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥ CE于F，如图，利用垂径定理得到OD⊥ AB，则AD=BD= AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到= ，所以AC=DC，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF后得到CE=BE=3，于是得到BC=3 2 ．【解答】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥ AB于E，OF⊥CE于F，如图，∵D 为AB的中点，∴OD⊥ AB，∴AD=BD= AB=2，在Rt△OBD中，OD= ( 5)2 22=1，∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，∴=，∴AC=DC，∴AE=DE=1，易得四边形ODEF为正方形，∴OF=EF=1，∴CE=CF+EF=2+1=，3而 BE=BD+DE=2+1=，3∴BC=3 ．故选： B ．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线， 必连 过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和垂径定理．二、填空题：∵点 E 是 CD 的中点，∴ EC=DE∵将△BCE 沿BE 折叠后得到 △BEF 、且点 F 在矩形 ABCD 的内部， ∴EF=DE ，∠ BFE=90° ．在14. （2018 ·辽宁省葫芦岛市 ） 如图，在矩形 折叠后得到△BEF 、 且点 F 在矩形 ABCD 的内将 BF 延长交 AD 于点 G ．若 = ，则在Rt △OCF 中，CF= ( 5)2 12 =2，ABCD 中，点 E 是 CD 的中点，将△ BCE 沿BE解答】 解：连接GE ．，∴Rt △EDG ≌Rt △EFG （HL ），∴FG=DG ．∵ = ，∴设 DG=FG=a ，则 AG=7a ，故 AD=BC=8a ，则 BG=BF+FG=9a ，∴ AB=15. （2018·四川宜宾· 3分）如图，在矩形 ABCD 中， AB=3，CB=2，点 E 为线段 AB 上的动点，将△ CBE 沿 CE 折叠，使点 B 落在矩形内点 F 处，下列结论正确的是 ①②③ （写出 所有正确结论的序号） ①当 E 为线段 AB 中点时， AF ∥CE ；②当E 为线段 AB 中点时， AF=9；5③当 A 、 F 、C 三点共线时， AE=④当 A 、 F 、 C 三点共线时，△ CEF ≌△ AEF ．=4 a ，故故答案为：考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性质．分析】分两种情形分别求解即可解决问题；解答】解：如图1 中，当AE=EB时，∵AE=EB=EF，∴∠ EAF=∠EFA，∵∠ CEF=∠CEB，∠ BEF=∠ EAF+∠EFA，∴∠ BEC=∠EAF，∴AF∥EC，故①正确，作EM⊥ AF，则AM=FM，在Rt△ECB中，EC= = ，∵∠ AME=∠B=90°，∠ EAM=∠ CEB，∴△ CEB∽△ EAM，=，∴AM= ，9∴AF=2AM= ，故②正确，5如图2 中，当A、F、C 共线时，设AE=x．则EB=EF=3﹣x，AF= 13 ﹣2，在Rt △ AEF中，∵ AE2=AF2+EF2，∴x =（﹣2）+（3﹣x）∴x=∴AE= ，故③正确，如果，△ CEF≌△ AEF，则∠ EAF=∠ECF=∠ECB=30°，显然不符合题意，故④错误，故答案为①②③．【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．16.（2018·湖北省宜昌 ·11 分）在矩形 ABCD 中，AB=12，P 是边 AB 上一点，把△PBC沿直线 PC 折叠，顶点 B 的对应点是点 G ，过点 B 作 BE ⊥CG ，垂足为 E 且在 AD 上，BE 交 PC 于点 F ．（1）如图 1，若点 E 是 AD 的中点，求证： △AEB ≌△DEC ； （2）如图 2，① 求证： BP=BF ；② 当 AD=25，且 AE < DE 时，求 cos ∠ PCB 的值；【分析】（1）先判断出 ∠ A=∠D=90°，AB=DC 再判断出 AE=DE ，即可得出结论；（2） ① 利用折叠的性质，得出 ∠PGC=∠PBC=9°0，∠BPC=∠GPC ，进而判断出 ∠GPF=∠PFB 即可得出结论；② 判断出 △ABE ∽ △DEC ，得出比例式建立方程求解即可得出 AE=9， DE=16，再 判断出 △ECF ∽△GCP ，进而求出 PC ，即可得出结论； ③ 判断出 △GEF ∽ △EAB ，即可得出结论．【解答】解：（1）在矩形 ABCD 中， ∠A=∠D=90°，AB=DC ， ∵E 是 AD 中点，∴AE=DE ， 在△ABE 和△DCE 中，三、解答与计算题：③ 当 BP=9 时，求 BE?EF 的值．∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）① 在矩形ABCD，∠ABC=9°0，∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，∴∠PGC=∠PBC=90，°∠BPC=∠GPC，∵BE⊥CG，∴BE∥PG，∴∠GPF=∠PFB，∴∠BPF=∠BFP，∴BP=BF；② 当AD=25 时，∵∠BEC=90，°∴∠AEB+∠CED=90，°∵∠AEB+∠ABE=90，°∴∠CED=∠ABE，∵∠A=∠D=90 ，° ∴△ABE∽△DEC，∴，∴，设AE=x，∴ DE=25﹣x，∴，∴，∴x=9 或x=16，∵AE<DE，∴AE=9，DE=16，∴CE=20，BE=15，由折叠得，BP=PG，∴BP=BF=PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，设BP=BF=PG=，y∴，∴y=在Rt△PBC中，PC= ，cos∠PCB= = ；③ 如图，连接FG，∵∠GEF=∠BAE=90，∵BF∥PG，BF=PG，∴?BPGF是菱形，∴BP∥GF，∴∠GFE=∠ABE，∴△GEF∽△EAB，∴ BE?EF=AB?GF=12 × 9．=108【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．17. （2018·广东·7 分）如图，矩形ABCD中，AB>AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ ADE≌△ CED；（2）求证：△ DEF是等腰三角形．分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ ADE≌△ CED（SSS）；2）根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠ EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△ DEF是等腰三角形．解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ ADE和△ CED中，，∴△ ADE≌△ CED（SSS）．2）由（1）得△ ADE≌△ CED，∴EF=DF ，∴△ DEF 是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是： （1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出 AD=CE 、 AE=CD ；（ 2）利用全等三角形的性质找出 ∠DEF=∠EDF ．18. （2018?江苏盐城? 10 分）如图，在以线段为直径的 上取一点，连接 、. 将 沿 翻折后得到 .（1）试说明点 在 上；（2）在线段 的延长线上取一点 ，使 . 求证： 为 的切线； （3）在（ 2）的条件下，分别延长线段、 相交于点 ，若 ， ，求线段 的长 . 【答案】（ 1）解：连接 OC ，OD，∴∠ DEA=∠EDC ，即∠ DEF=∠EDF ，由翻折可得OD=OC，∵OC是⊙ O的半径，∴点D在⊙ O上。
人教版八年级数学下册《利用勾股定理解决折叠问题的技巧》练习题(附带答案)
人教版八年级数学下册《利用勾股定理解决折叠问题的技巧》练习题(附带答案）类型一 利用勾股定理解决三角形的折叠问题1．如图 △ABC 中 ∠ACB ＝90° AC ＝8 BC ＝6 将△ADE 沿DE 翻折使点A 与点B 重合 则CE 的长为 ．思路引领：设CE ＝x 则AE ＝BE ＝8﹣x 在Rt △BCE 中 由勾股定理可得62+x 2＝（8﹣x ）2 即可解得答案．解：设CE ＝x 则AE ＝BE ＝8﹣x在Rt △BCE 中 BC 2+CE 2＝BE 2∴62+x 2＝（8﹣x ）2解得x =74故答案为：74． 总结提升：本题考查直角三角形中的折叠问题 解题的关键是掌握折叠的性质 熟练应用勾股定理列方程解决问题．2．（2021秋•介休市期中）如图所示 有一块直角三角形纸片 ∠C ＝90° AC ＝8cm BC ＝6cm 将斜边AB 翻折 使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处 折痕为AD 则CE 的长为 cm ．思路引领：根据勾股定理可将斜边AB 的长求出 根据折叠的性质知 AE ＝AB 已知AC 的长 可将CE 的长求出．解：在Rt △ABC 中∵∠C＝90°AC＝8cm BC＝6cm∴AB=√AC2+BC2=10cm根据折叠的性质可知：AE＝AB＝10cm∵AC＝8cm∴CE＝AE﹣AC＝2cm即CE的长为2cm故答案为：2．总结提升：此题考查翻折问题将图形进行折叠后两个图形全等是解决折叠问题的突破口．3．（2020秋•金台区校级期末）如图在△ABC中∠ACB＝90°点E F在边AB上将边AC沿CE翻折使点A落在AB上的点D处再将边BC沿CF翻折使点B落在CD的延长线上的点B′处（1）求∠ECF的度数；（2）若CE＝4 B′F＝1 求线段BC的长和△ABC的面积．思路引领：（1）由折叠可得∠ACE＝∠DCE=12∠ACD∠BCF＝∠B'CF=12∠BCB' 再根据∠ACB＝90°即可得出∠ECF＝45°；（2）在Rt△BCE中根据勾股定理可得BC=√41设AE＝x则AB＝x+5 根据勾股定理可得AE2+CE2＝AB2﹣BC2即x2+42＝（x+5）2﹣41 求得x=165得出AE的长和AB的长再由三角形面积公式即可得出S△ABC．解：（1）由折叠可得∠ACE＝∠DCE=12∠ACD∠BCF＝∠B'CF=12∠BCB'又∵∠ACB＝90°∴∠ACD+∠BCB'＝90°∴∠ECD+∠FCD=12×90°＝45°即∠ECF＝45°；（2）由折叠可得：∠DEC＝∠AEC＝90°BF＝B'F＝1 ∴∠EFC＝45°＝∠ECF∴CE＝EF＝4∴BE＝4+1＝5在Rt△BCE中由勾股定理得：BC=√BE2+CE2=√52+42=√41设AE＝x则AB＝x+5∵Rt△ACE中AC2＝AE2+CE2Rt△ABC中AC2＝AB2﹣BC2∴AE2+CE2＝AB2﹣BC2即x2+42＝（x+5）2﹣41解得：x=16 5∴AE=165AB＝AE+BE=165+5=415∴S△ABC=12AB×CE=12×415×4=825．总结提升：本题主要考查了折叠变换的性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握折叠变换的性质由勾股定理得出方程是解题的关键．4．（2022秋•安岳县期末）如图在△ABC中∠C＝90°把△ABC沿直线DE折叠使△ADE与△BDE 重合．（1）若∠A＝34°则∠CBD的度数为；（2）当AB＝m（m＞0）△ABC的面积为2m+4时△BCD的周长为（用含m的代数式表示）；（3）若AC＝8 BC＝6 求AD的长．思路引领：（1）根据折叠可得∠1＝∠A＝34°根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC＝56°进而得到∠CBD＝22°；（2）根据三角形ACB的面积可得12AC•BC＝2m+4 进而得到AC•BC＝4m+8 再在Rt△CAB中CA2+CB2＝BA2再把左边配成完全平方可得CA+CB的长进而得到△BCD的周长；（3）根据折叠可得AD＝DB设CD＝x则AD＝BD＝8﹣x再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x2+62＝（8﹣x）2再解方程可得x的值进而得到AD的长．解：（1）∵把△ABC 沿直线DE 折叠 使△ADE 与△BDE 重合∴∠ABD ＝∠A ＝34°∵∠C ＝90°∴∠ABC ＝180°﹣90°﹣34°＝56°∴∠CBD ＝56°﹣34°＝22°故答案为：22°；（2）∵△ABC 的面积为2m +4∴12AC •BC ＝2m +4 ∴AC •BC ＝4m +8∵在Rt △CAB 中 CA 2+CB 2＝BA 2 AB ＝m∴CA 2+CB 2+2AC •BC ＝BA 2+2AC •BC∴（CA +BC ）2＝m 2+8m +16＝（m +4）2∴CA +CB ＝m +4∵AD ＝DB∴CD +DB +BC ＝m +4．即△BCD 的周长为m +4故答案为：m +4；（3）∵把△ABC 沿直线DE 折叠 使△ADE 与△BDE 重合∴AD ＝DB设CD ＝x 则AD ＝BD ＝8﹣x在Rt △CDB 中 CD 2+CB 2＝BD 2x 2+62＝（8﹣x ）2解得：x =74AD ＝8−74=254．总结提升：此题主要考查了图形的翻折变换 以及勾股定理 完全平方公式 关键是掌握勾股定理 以及折叠后哪些是对应角和对应线段．5．（2021秋•章丘区期中）（1）如图① Rt △ABC 的斜边AC 比直角边AB 长2cm 另一直角边BC 长为6cm 求AC 的长．（2）拓展：如图②在图①的△ABC的边AB上取一点D连接CD将△ABC沿CD翻折使点B的对称点E落在边AC上．①AE的长．②求DE的长．思路引领：（1）在Rt△ABC中由勾股定理可求AB的长即可求解；（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°DE＝DB EC＝BC＝6cm于是得到答案；②在Rt△ADE中由勾股定理可求DE的长．解：（1）设AB＝xcm则AC＝（x+2）cm∵AC2＝AB2+BC2∴（x+2）2＝x2+62解得x＝8∴AB＝8cm∴AC＝8+2＝10（cm）；（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°DE＝DB EC＝BC＝6cm∴∠AED＝90°AE＝AC﹣EC＝4（cm）；②设DE＝DB＝ycm则AD＝AB﹣BD＝（8﹣y）cm在Rt△ADE中AD2＝AE2+DE2∴（8﹣y）2＝42+y2解得：y＝3∴DE＝3（cm）．总结提升：本题考查了翻折变换折叠的性质勾股定理利用勾股定理列出方程是本题的关键．类型二利用勾股定理解决长方形的折叠问题6．（2022•纳溪区模拟）如图在矩形ABCD中AB＝5 AD＝3 点E为BC上一点把△CDE沿DE翻折 点C 恰好落在AB 边上的F 处 则CE 的长为 ．思路引领：利用勾股定理得出AF 的长度 再利用折叠的性质 在△BEF 中求解BE 的长 即可得出CE 的长度．解：在矩形ABCD 中 AB ＝5 AD ＝3 由折叠的性质可得：DF ＝DC ＝AB ＝5∴AF =√DF 2−AD 2=√52−32=4∴BF ＝AB ﹣AF ＝5﹣4＝1设CE ＝x 则：EF ＝CE ＝x BE ＝BC ﹣CE ＝3﹣x在Rt △BEF 中 由勾股定理可得：12+（3﹣x ）2＝x 2解得：x =53∴CE =53故答案为：53． 总结提升：本题考查了折叠的性质、矩形的性质和勾股定理等知识点 解题的关键是利用AF 求出BF 的长度．7．（2021•郯城县校级模拟）如图 在长方形ABCD 中 AB ＝3cm AD ＝9cm 将此长方形折叠 使点D 与点B 重合 折痕为EF 则△ABE 的面积为（ ）cm 2．A ．12B ．10C ．6D ．15思路引领：由长方形的性质得BAE ＝90° 再由折叠的性质得BE ＝ED 然后在Rt △ABE 中 由勾股定理得32+AE2＝（9﹣AE）2解得AE＝4（cm）即可求解．解：∵四边形ABCD是长方形∴∠BAE＝90°∵将此长方形折叠使点B与点D重合∴BE＝ED∵AD＝9＝AE+DE＝AE+BE∴BE＝9﹣AE在Rt△ABE中由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2∴32+AE2＝（9﹣AE）2解得：AE＝4（cm）∴S△ABE=12AB•AE=12×3×4＝6（cm2）故选：C．总结提升：本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质由勾股定理得出方程是解题的关键．8．（2020春•余干县校级期末）如图把长方形纸片ABCD沿EF折叠使点B落在边AD上的点B'处点A落在点A'处．（1）试说明B'E＝BF；（2）设AE＝a AB＝b BF＝c试猜想a b c之间的关系并说明理由．思路引领：（1）根据折叠的性质、平行的性质及等角对等边即可说明；（2）根据折叠的性质将AE、AB、BF都转化到直角三角形△A'B'E中由勾股定理可得a b c之间的关系．（1）证明：由折叠的性质得：B'F＝BF∠B'FE＝∠BFE在长方形纸片ABCD中AD∥BC∴∠B'EF＝∠BFE∴∠B'FE＝∠B'EF∴B'F＝B'E∴B'E＝BF．（2）解：a b c之间的关系是a2+b2＝c2．理由如下：由（1）知B'E＝BF＝c由折叠的性质得：∠A'＝∠A＝90°A'E＝AE＝a A'B'＝AB＝b．在△A'B'E中∵∠A'＝90°∴A'E2+A'B'2＝B'E2∴a2+b2＝c2．总结提升：本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；灵活利用折叠的性质进行线段间的转化是解题的关键．9．（2020秋•罗湖区校级期末）如图把一张长方形纸片ABCD折叠起来使其对角顶点A与C重合D 与G重合若长方形的长BC为8 宽AB为4 求：（1）DE的长；（2）求阴影部分△GED的面积．思路引领：（1）设DE＝EG＝x则AE＝8﹣x在Rt△AEG中根据AG2+EG2＝AE2构建方程即可解决问题；（2）过G点作GM⊥AD于M根据三角形面积不变性AG×GE＝AE×GM求出GM的长根据三角形面积公式计算即可．解：（1）设DE＝EG＝x则AE＝8﹣x在Rt△AEG中AG2+EG2＝AE2∴16+x2＝（8﹣x）2解得x＝3∴DE＝3．（2）过G 点作GM ⊥AD 于M则12•AG ×GE =12•AE ×GM AG ＝AB ＝4 AE ＝CF ＝5 GE ＝DE ＝3 ∴GM =125∴S △GED =12GM ×DE =185．总结提升：本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性 灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键．类型三 利用勾股定理解决正方形的折叠问题10．（2019•黔东南州一模）如图 将边长为6cm 的正方形纸片ABCD 折叠 使点D 落在AB 边中点E 处 点C 落在点Q 处 折痕为FH 则线段AF 的长为（ ）A ．32B ．3C ．94D ．154思路引领：由正方形的性质和折叠的性质可得EF ＝DE AB ＝AD ＝6cm ∠A ＝90° 由勾股定理可求AF 的长．解：∵将边长为6cm 的正方形纸片ABCD 折叠 使点D 落在AB 边中点E 处∴EF ＝DE AB ＝AD ＝6cm ∠A ＝90°∵点E 是AB 的中点∴AE ＝BE ＝3cm在Rt △AEF 中 EF 2＝AF 2+AE 2∴（6﹣AF ）2＝AF 2+9∴AF=9 4故选：C．总结提升：本题考查了翻折变换正方形的性质勾股定理利用勾股定理求线段的长度是本题的关键．11．如图将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠使点D落在BC边的中点E处点A落在点F处折痕为MN则线段CN的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm思路引领：由折叠的性质可得DN＝NE由中点的性质可得EC＝4cm结合正方形的性质可得∠BCD＝90°；设CN的长度为xcm则EN＝DN＝（8﹣x）cm接下来在直角△CEN中运用勾股定理就可以求出CN的长度．解：∵四边形MNEF是由四边形ADMN折叠而成的∴DN＝NE．∵E是BC的中点且BC＝8cm∴EC＝4cm．∵四边形ABCD是正方形∴∠BCD＝90°．设CN的长度为xcm则EN＝DN＝（8﹣x）cm由勾股定理NC2+EC2＝NE2得x2+42＝（8﹣x）2解得x＝3．故选：A．总结提升：本题考查翻折变换的问题折叠问题其实质是轴对称对应线段相等对应角相等找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．第二部分专题提优训练1．（2022秋•慈溪市校级期中）在Rt△ABC中∠B＝90°AB＝4 BC＝8 D、E分别是边AC、BC上的点将△ABC沿着DE进行翻折点A和点C重合则EC＝．思路引领：设EC ＝x 在Rt △ABE 中 由勾股定理得42+（8﹣x ）2＝x 2 即可解得答案．解：设EC ＝x 则BE ＝8﹣x∵将△ABC 沿着DE 进行翻折 点A 和点C 重合∴AE ＝EC ＝x在Rt △ABE 中 AB 2+BE 2＝AE 242+（8﹣x ）2＝x 2解得x ＝5∴EC ＝5故答案为：5．总结提升：本题考查直角三角形中的翻折问题 解题的关键是掌握翻折的性质 能应用勾股定理列方程解决问题．2．（2021秋•靖江市期中）如图 在Rt △ABC 中 ∠C ＝90° D 是AB 的中点 AD ＝5 BC ＝8 E 是直线BC 上一动点 把△BDE 沿直线ED 翻折后 点B 落在点F 处 当FD ⊥BC 时 线段BE 的长为 ．思路引领：分点F 在BC 下方 点F 在BC 上方两种情况讨论 由勾股定理可BC ＝4 由平行线分线段成比例可得BD AD =BP BC =DP AC =12 求出FP 由勾股定理可求BE 的长． 解：若点F 在BC 下方时 DF 与BC 交于点P 如图1所示：∵D 是AB 的中点∴BD ＝AD ＝5∴AB ＝2AD ＝10∵∠C ＝90° BC ＝8∴AC =√AB 2−BC 2=√102−82=6∵点D 是AB 的中点∵FD ⊥BC ∠C ＝90°∴FD ∥AC∴BD AD =BP BC =DP AC =12 ∴BP ＝PC =12BC ＝4 DP =12AC ＝3∵△BDE 沿直线ED 翻折∴FD ＝BD ＝5 FE ＝BE∴FP ＝FD ﹣DP ＝5﹣3＝2在Rt △FPE 中 EF 2＝FP 2+PE 2∴BE 2＝22+（4﹣BE ）2解得：BE =52；若点F 在BC 上方时 FD 的延长线交BC 于点P 如图2所示：FP ＝DP +FD ＝3+5＝8在Rt △EFP 中 EF 2＝FP 2+EP 2∴BE 2＝64+（BE ﹣4）2解得：BE ＝10故答案为：52或10．总结提升：此题考查了折叠的性质、平行线的性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识 熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．3．如图 在Rt △ABC 中 AC ＝6 BC ＝8 D 为BC 上一点 将Rt △ABC 沿AD 折磨 点C 恰好落在AB 边上的E 点 求BD 的长．思路引领：由勾股定理求出AB＝10 由折叠的性质得出CD＝DE∠C＝∠AED＝90°AE＝AC＝6 得出BE＝AB﹣AE＝4 ∠BED＝90°设CD＝ED＝x则BD＝8﹣x在Rt△BDE中由勾股定理得出方程解方程即可．解：∵Rt△ABC中AC＝6 BC＝8∴AB=√62+82=10由折叠的性质得：CD＝DE∠C＝∠AED＝90°AE＝AC＝6∴BE＝AB﹣AE＝4 ∠BED＝90°设CD＝ED＝x则BD＝8﹣x在Rt△BDE中由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2解得：x＝3∴BD＝8﹣3＝5．总结提升：本题考查了翻折变换的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质由勾股定理得出方程是解题的关键．4．（2018秋•襄汾县校级月考）如图在Rt△ABC中∠C＝90°AC＝8 BC＝6 按图中所示方法将△BCD沿BD折叠使点C落在边AB上的点C'处求AD的长及四边形BCDC′的面积．思路引领：利用勾股定理列式求出AB根据翻折变换的性质可得BC′＝BC C′D＝CD然后求出AC′设AD＝x表示出C′D、AC′然后利用勾股定理列方程求解即可求出AD；然后根据三角形的面积公式计算即可求出四边形BCDC′的面积．解：∵∠C＝90°AC＝8 BC＝6∴AB=√AC2+BC2=10由翻折变换的性质得BC′＝BC＝6 C′D＝CD∴AC′＝AB﹣BC′＝10﹣6＝4设CD＝x则C′D＝x AD＝8﹣x在Rt△AC′D中由勾股定理得AC′2+C′D2＝AD2即42+x2＝（8﹣x）2解得x＝3即CD＝3∴AD＝8﹣x＝5；由折叠可知：S△BCD＝S△BC′D∴四边形BCDC′的面积＝2S△BCD＝2×12×CD•BC＝3×6＝18．总结提升：本题考查了翻折变换的性质勾股定理此类题目熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．5．（2021春•厦门期中）在矩形ABCD中AB＝3 BC＝4 E是AB上一个定点点F是BC上一个动点把矩形ABCD沿直线EF折叠点B的对应点B′落在矩形内部．若DB′的最小值为3 则AE＝53．思路引领：连接DE则DB′+EB′≥DE由EB′＝EB为定值故当D E B′三点共线时DB′最小利用勾股定理建立方程即可求解．解：如图1 连接DE由折叠性质可得：EB′＝EB∵DB′+EB′≥DE∴DB′≥DE﹣EB′＝DE﹣EB∵点E为定点∴EB为定值∴当D E B′三点共线时DB′最小且最小值为3∴DB′＝3如图2∵四边形ABCD 为矩形∴∠A ＝90° AD ＝BC ＝4设AE ＝x 则：EB ′＝EB ＝AB ﹣AE ＝3﹣x∴ED ＝EB ′+DB ′＝3﹣x +3＝6﹣x在Rt △AED 中 由勾股定理可得：x 2+42＝（6﹣x ）2解得：x =53∴AE =53故答案为：53． 总结提升：本题考查折叠的性质、矩形的性质、勾股定理等知识点 解题的关键是运用方程思想．6．（2021秋•城阳区校级月考）把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠 使顶点B 和点D 重合 折痕为EF ．若AB ＝3cm BC ＝5cm 则重叠部分△DEF 的面积是（ ）cm 2．A ．2B ．3.4C ．4D ．5.1思路引领：由矩形的性质得AD ＝BC ＝5cm CD ＝AB ＝3cm ∠A ＝90° 再由折叠的性质得A 'D ＝AB ＝3cm ∠A '＝∠A ＝90° AE '＝AE 设AE ＝xcm 则A ′E ＝xcm DE ＝（5﹣x ）cm 然后在Rt △A 'DE 中 由勾股定理得出方程 解方程 进而得出DE 的长 即可解决问题．解：∵四边形ABCD 是矩形 AB ＝3cm BC ＝5cm∴AD＝BC＝5cm CD＝AB＝3cm∠A＝90°由折叠的性质得：A'D＝AB＝3cm∠A'＝∠A＝90°AE'＝AE 设AE＝xcm则A′E＝xcm DE＝（5﹣x）cm在Rt△A'DE中由勾股定理得：A′E2+A′D2＝ED2即x2+32＝（5﹣x）2解得：x＝1.6∴DE＝5﹣1.6＝3.4（cm）∴△DEF的面积=12DE•CD=12×3.4×3＝5.1（cm2）故选：D．总结提升：此题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质由勾股定理得出方程是解题的关键．7．（2017秋•金牛区校级月考）如图在矩形ABCD中E是AD的中点将△ABE沿BE折叠后得到△GBE 延长BG交CD于点F结果发现F点恰好是DC的中点若BC＝2√6则AB的长为？思路引领：连接EF由折叠性质得AE＝EG∠A＝∠EGB＝90°BG＝AB则∠EGF＝90°易证EG＝DE由矩形的性质得AB＝CD∠C＝∠D＝90°推出∠EGF＝∠D＝90°由HL证得Rt△EGF≌Rt△EDF得出FG＝FD求得CF＝DF＝FG=12CD=12AB BF＝BG+FG=32AB由勾股定理得出BC2+CF2＝BF2即可得出结果．解：连接EF如图所示：由折叠性质得：AE＝EG∠A＝∠EGB＝90°BG＝AB ∴∠EGF＝90°∵点E是AD的中点∴AE＝DE∴EG＝DE∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD∠C＝∠D＝90°∴∠EGF ＝∠D ＝90°在Rt △EGF 与Rt △EDF 中 {EG =ED EF =EF∴Rt △EGF ≌Rt △EDF （HL ）∴FG ＝FD∵F 点恰好是DC 的中点∴CF ＝DF ＝FG =12CD =12AB∴BF ＝BG +FG ＝AB +12AB =32AB在Rt △BCF 中 BC 2+CF 2＝BF 2即：（2√6）2+（12AB ）2＝（32AB ）2 解得：AB ＝2√3．总结提升：本题考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识 熟练掌握折叠的性质 证明三角形全等是解题的关键．8．（2018春•新抚区校级期中）如图 在矩形ABCD 中 已知AD ＝10 AB ＝8 将矩形ABCD 沿直线AE 折叠 顶点D 恰好落在BC 边上的F 处 求CE 的长．思路引领：先根据矩形的性质得AD ＝BC ＝10 AB ＝CD ＝8 再根据折叠的性质得AF ＝AD ＝10 EF ＝DE 在Rt △ABF 中 利用勾股定理计算出BF ＝6 则CF ＝BC ﹣BF ＝4 设CE ＝x 则DE ＝EF ＝8﹣x 然后在Rt △ECF 中根据勾股定理得到x 2+42＝（8﹣x ）2 再解方程即可得到CE 的长．解：∵四边形ABCD 为矩形∴AD ＝BC ＝10 AB ＝CD ＝8∵矩形ABCD 沿直线AE 折叠 顶点D 恰好落在BC 边上的F 处∴AF＝AD＝10 EF＝DE在Rt△ABF中∵BF=√AF2−AB2=6∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4设CE＝x则DE＝EF＝8﹣x在Rt△ECF中∵CE2+FC2＝EF2∴x2+42＝（8﹣x）2解得x＝3即CE＝3．总结提升：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换它属于轴对称折叠前后图形的形状和大小不变位置变化对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．9．（2018秋•通川区校级期中）将一张边长为2的正方形纸片ABCD对折设折痕为EF（如图（1））；再沿过点D的折痕将∠A翻折使得点A落在线段EF上的点H处（如图（2））折痕交AE于点G则EG 的长度是（）A．8﹣4√3B．4√3−6C．4﹣2√3D．2√3−3思路引领：由于正方形纸片ABCD的边长为2 所以将正方形ABCD对折后AF＝DF＝1 由折叠的性质得出AD＝DH＝2 AG＝GH在Rt△DFH中利用勾股定理可求出HF的长进而求出EH的长再设EG＝x在Rt△EGH中利用勾股定理即可求解．解：∵正方形纸片ABCD的边长为2∴将正方形ABCD对折后AE＝DF＝1∵△GDH是△GDA沿直线DG翻折而成∴AD＝DH＝2 AG＝GH在Rt△DFH中HF=√HD2−DF2=√22−12=√3∴EH＝2−√3在Rt△EGH中设EG＝x则GH＝AG＝1﹣x∴GH2＝EH2+EG2即（1﹣x）2＝（2−√3）2+x2解得x＝2√3−3．∴EG＝2√3−3．故选：D．总结提升：本题考查了正方形的性质折叠的性质勾股定理关键是学会用方程的思想方法解题．10．（2020秋•新都区校级月考）如图AD是△ABC的中线∠ADC＝45°把△ADC沿着直线AD对折点C落在点E的位置．如果BC＝6 那么以线段BE为边长的正方形的面积为（）A．6B．72C．12D．18思路引领：由题意易得BD＝CD＝DE＝3 再求出∠BDE＝90°然后根据勾股定理求出BE最后由正方形的面积进行求解即可．解：∵D是BC中点BC＝6∴BD＝CD＝3由折叠的性质得：CD＝DE＝3 ∠ADC＝∠ADE＝45°即∠CDE＝90°∴BD＝DE＝3 ∠BDE＝90°在Rt△BDE中由勾股定理得：BE=√BD2+DE2=√32+32=3√2∴以BE为边的正方形面积为：（3√2）2＝18故选：D．总结提升：本题考查了折叠的性质、勾股定理、正方形的面积计算等知识熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键．。
直角三角形中的折叠问题
——英国 波尔克
情境引入：
【动动手，动动脑】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 点D在AC上，沿BD折叠直角三角形纸片，点C恰好落在AB上 的点E处,连接DE．
(1)请找出其中全等的三角形？___________________ (2)图中有哪些相等的角和相等的线段:_____________ （3）对称轴是哪条线段所在的直线？
图形的轴对称变换 归纳:折叠问题的实质是____________
转化思想
直角三角形中的折叠问题
——从动手中领悟知识的内涵
学会求角度
例1：如图，沿BD折叠直角三角形纸片，使点C落在AB上 的点E处,连接DE．已知∠A=30°，∠C=90°， 则∠CBD=_______,∠BDE= ___________ .
解：设DE=x ∵ 折叠 ∴ DE=CD=x ∠C=∠DEB= ∠DEA=90° 又∵∠A=30° ∴AD=2DE=2x ∴AC=x+2x=12， ∴x=4 即DE=4 X 12 2X X
30°
方程思想
我们知道
直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半。
学会求线段的长Байду номын сангаас——体验感悟：
1）如图，在△ABC中，BC=3，AC=4，AB =5，现将它 折叠，使点A与点B重合，折痕与AC,AB分别交于D,E两点, 求CD的长。
解：∵点M是AB的中点，∠ACB=90°
∴CM=
1 AB =AM 2
∴∠A=∠ACM,设∠A=x ∵折叠 ∴∠ACM=∠MCD=x ∵CD⊥AB ∴∠A+∠ACM+∠MCD=90 ° 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 ∴3x=90° ∴x=30° 即∠A=30
折叠问题(人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：折叠问题的处理思路是什么？问题2：折叠背景下勾股定理的应用，折叠这个条件可以怎么用？勾股定理怎么用？问题3：折叠问题中利用勾股定理建等式时需要注意什么？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：折叠问题的处理思路是什么？答：折叠问题的处理思路：（1）找折痕（折痕所在直线为对称轴）；（2）表达，转移；（3）利用勾股定理等建等式．问题2：折叠背景下勾股定理的应用，折叠这个条件可以怎么用？勾股定理怎么用？答：折叠这个条件主要是转移条件，转移边，转移角；勾股定理主要用来建立等式．问题3：折叠问题中利用勾股定理建等式时需要注意什么？答：在利用勾股定理建立等式时，将条件转移到直角三角形中，要找准斜边．折叠问题（人教版）一、单选题(共8道，每道12分)1.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则DE的长为( )cm．A.5cmB.3cmC.cmD.4cm答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用2.如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EF=( )A.4cmB.3cmC.5cmD.6cm答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题3.如图，将边长为16cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F 处，折痕为MN，则线段CN的长是( )A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题4.如图，长方形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为( )A. B.6C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题5.如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，已知AB=6cm，BC=18cm，则Rt△CDF的面积是( )A.8cm2B.6cm2C.48cm2D.24cm2答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题6.如图，在长方形ABCD中，BC=4，DC=3，将该长方形沿对角线AC折叠，使点B落在点F 处，CF交AD于点E，则EF的长为( )A. B.C.1D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题7.把一张长方形纸片（长方形ABCD）按如图所示方式折叠，使顶点B与点D重合，折痕为EF．若AB=6，BC=10，求重叠部分△DEF的面积为( )A. B.C.20D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题8.如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与C重合，若长方形的长BC 为16，宽AB为8，则折叠后重合部分的面积是( )A.30B.40C.60D.80答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题。
三角形的折叠问题总结
三角形的折叠问题总结三角形是一种常见的几何图形，它有三条边和三个顶点。
今天我们就来学习三角形的知识，解决一些相关问题。
三角形的折叠问题1：三个角的度数分别是90°、 135°、 145°的直角三角形是全等的吗？三个角的度数分别是135°、 145°、 180°的直角三角形是全等的。
三个角的度数分别是90°、 135°、 180°的直角三角形是全等的。
三角形的折叠问题2：证明：（ 1）假设三角形ABC中， BC=BC=AB， AD=AD，则AD=BC=AC；（ 2）若AB、 AD、BC三线合一且交于一点O，求三角形OE的面积；（ 3）若AB=AC=AD，求三角形BE的面积。
三角形的折叠问题3：如图，在△ABC中，点D 的位置如图所示，那么这个△ABC是等腰梯形还是直角梯形呢？答：这个△ABC是等腰梯形。
证明：①将△ACD旋转到正视图，在A、 B 两点取得一条中线作垂线，此时图形变为长方形。
在AB边上任取一点C，使△ADC的高CD=1，在CD上任取一点E，使△ABC的底AC=AD，在AC上任取一点F，使△ABC的底AB=CD。
由此可得： AE=AF，∠DAB=∠ADB。
②将线段AF折叠到AE上，作法同前。
2：证明：（ 1）假设三角形ABC中， AD=BC， AE=BC，则AD=BC。
（ 2）将三角形ABC沿着AD向右平移3格，再将△BCD沿着BC向右平移5格，即得到△ABC，则四边形ABCD是菱形，但是，该四边形不是正方形。
因为在四边形ABCD中， AB、 AC、 BC、 BD均互相平行，且BD=2AB，可得△BCD是直角梯形。
三角形的折叠问题4：在△ABC 中，已知∠A=∠B=∠C=45°，∠A+∠B=30°，∠C+∠A=135°，∠A+∠C=180°。
①将三角形ABC旋转到正视图，设A、 B两点的坐标为（ x， y），过A作AE ⊥BC交BC于P，连接BC；再过B作BE ⊥AB交AC于E，交BD于N，则四边形AEBE是平行四边形，且AE=AB，BE=BC， A、 B两点的坐标为（ a， b），（ c， d）， AB=AC=AD，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形，∵∠A+∠B=30°，∠C+∠A=135°，∠A+∠C=180°，∴∠A+∠C=90°；（ 2）将三角形ABC沿着AD向右平移3格，再将△BCD沿着BC 向右平移5格，即得到△ABC，则四边形ABCD是菱形，但是，该四边形不是正方形。
三角形折叠问题总结
三角形折叠问题总结引言三角形折叠问题是一个有趣且具有挑战性的数学问题。
它涉及到折叠一张纸使得两个已知点重合，这两个已知点可能位于纸的不同边上。
本文将全面、详细、完整且深入地探讨三角形折叠问题，并提供解决这个问题的方法和技巧。
二级标题1：问题描述三角形折叠问题可以简洁地描述为：给定一张纸和两个已知的点P和Q，如何将纸折叠，使得点P和点Q重合？二级标题2：解决方法解决三角形折叠问题的方法有很多，下面将介绍几种常用的方法。
三级标题1：正向折叠法正向折叠法是解决三角形折叠问题最直观且易于理解的方法之一。
它的基本思想是在纸上绘制一条连接点P和点Q的直线段，然后将纸沿着这条直线段折叠，使得点P和点Q重合。
这种方法简单明了，特别适用于简单的三角形折叠问题。
三级标题2：逆向折叠法逆向折叠法是一种更加高效的解决三角形折叠问题的方法。
它的基本思想是将纸上的点P和点Q重合，然后逆向还原折叠的过程，找到折叠纸的方法。
这种方法需要一定的推理和观察能力，适用于较为复杂的三角形折叠问题。
三级标题3：裁剪法裁剪法是解决三角形折叠问题的一种替代方法。
它的基本思想是将纸上的三角形裁剪下来，然后通过将裁剪得到的三角形进行旋转、平移等操作，最终将点P和点Q 重合。
这种方法可以通过适当选择裁剪的形状和位置，将复杂的三角形折叠问题简化为简单的几何操作。
二级标题3：解决技巧解决三角形折叠问题的过程中，有几个技巧是值得注意的。
三级标题1：观察几何关系观察几何关系是解决三角形折叠问题的关键。
通过观察纸上已知点和边之间的几何关系，可以帮助我们找到折叠纸的方法。
例如，当点P和点Q位于纸的两个不同边上时，我们可以找到一条边上的一点，使得与点P和点Q连线构成一个直角三角形，从而简化问题。
三级标题2：利用对称性利用纸的对称性是解决三角形折叠问题的另一个重要技巧。
通过利用纸的对称性，可以减少问题的复杂度，找到折叠纸的更简单方法。
例如，当纸是对称的，我们可以将问题简化为在一半大小的纸上折叠，然后通过对称操作得到整个纸的折叠方法。
与直角有关的折叠问题(二)(北师版)(含答案)
与直角有关的折叠问题（二）(北师版）一、单选题(共7道，每道10分)1.如图，在矩形ABCD中，，将矩形沿直线EF折叠，使点B落在AD边中点P 的位置．如果∠DPE=60°，则矩形的周长为( )cm．A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题2.如图，在长方形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．若，则( )A.kB.C.D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题3.如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在处，若，DE=2，则的长为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：等边三角形的判定和性质4.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD=6cm，点E，F分别是CD和AB的中点，现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，若HG的延长线恰好经过点D，则CD的长为( )A.6B.C.3D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：等边三角形的判定和性质5.如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，直角边，现将△BCD沿CD折叠，点B 恰好落在AB的中点E处，则图中阴影部分的面积为( )A.2B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半6.如图，正方形ABCD边长为12，E为CD上一点，沿AE将△ADE折叠得到△AEF，延长EF 交BC于G，连接AG，CF．若BG=6，有下列说法：①△ABG≌△AFG；②DE=4；③AG∥CF；④S△FGC=．其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的性质与判定7.如图，圆柱形玻璃杯，高为6cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底2cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为( )cm．A. B.C. D.10答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称—最短路线问题二、填空题(共2道，每道12分)8.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A<∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM 沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A是____度.答案：30解题思路：试题难度：知识点：等边三角形的判定和性质9.如图，在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AB=8，BC=10，过点A作直线平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线上的点P处，折痕为MN，当点P在直线上移动时，折痕的端点M，N也随之移动，若限定端点M，N分别在AB，BC边上（包括端点）移动，则线段AP长度的最大值与最小值的差为____.答案：4解题思路：试题难度：知识点：折叠问题。
利用勾股定理解决折叠问题
利用勾股定理解决折叠问题一、引言折叠问题是指将一张纸片沿着某条线折叠后，能否在某种条件下使得所有的线段重合。
这个问题看似简单，但实际上涉及到了许多数学知识和技巧。
本文将介绍如何利用勾股定理解决折叠问题。
二、勾股定理的基本概念勾股定理是指直角三角形斜边的平方等于直角边两边平方和的定理。
即：设直角三角形ABC，其中∠C为直角，则有AB²+AC²=BC²。
三、折叠问题的基本原理折叠问题可以看作是一个几何变换问题，在几何变换中，保持长度不变是非常重要的条件。
在折叠纸片时，我们需要保证每个线段长度不变。
四、利用勾股定理解决折叠问题的方法1. 假设我们要将一张正方形纸片对折成一个等腰直角三角形。
2. 将正方形沿着对角线对折成两个等腰直角三角形。
3. 将其中一个等腰直角三角形沿着斜边对折，使得斜边与底边重合。
4. 将纸片展开，我们可以发现，原来的正方形纸片已经被折叠成了一个等腰直角三角形。
5. 根据勾股定理，我们可以计算出这个等腰直角三角形的底边和高的长度。
具体而言，设等腰直角三角形的斜边长为c，底边长为a，则有a²＝c²÷2。
6. 利用上述结论，我们可以将任何正方形纸片折叠成一个等腰直角三角形。
五、拓展应用1. 利用类似的方法，我们可以将任何矩形折叠成一个等腰直角三角形。
2. 利用勾股定理和相似三角形的性质，我们还可以将任何平行四边形折叠成一个正方形或矩形。
六、总结利用勾股定理解决折叠问题是一种简单而有效的方法。
通过对几何变换和勾股定理的深入理解和应用，我们可以解决更加复杂和有趣的折叠问题。
折叠问题
第四讲 折叠问题【知识要点】1．折叠，就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180º，使它与另一部分在这条直线的同旁，与其重叠或 不重叠；2. 和折叠有关的问题问题1: 将宽度为a 的长方形纸片折叠成如图所示的形状，观察图中被覆盖的部分△A ˊEF.（a ）△A ˊEF 是什么三角形？ 结论： 三角形 A E ΄F 是等腰三角形证明：方法一，∵图形在折叠前和折叠后是全等的, ∴∠1= ∠2,又∵矩形的对边是平行的∴∠1= ∠3,∴ ∠2= ∠3,∴ A ΄E = A ΄F三角形 A E ΄F 是等腰三角形FEA ˊa12 3BAO Bَl图1AB´DB图2C(b) 改变折叠的角度α的大小，三角形AˊEF的面积是否会改变？答：会改变。
分析：α的改变影响了AˊE的长度，但却不能改变边AˊE上的高，三角形AˊE F的面积会随着α的确定而确定.例一：在上面的图中，标出点Aˊ在折叠前对应的位置A,四边形AˊEAF是什么四边形？分析：（2）四边形A E AˊF是菱形证法一：∵ A是Aˊ在折叠前对应的位置,∴A和Aˊ关于直线EF轴对称 ,∴AAˊ⊥EF,且AO=AˊO,又∵AE∥AˊF,∴EO∶OF=AO∶OAˊ,∴EO=OF∴四边形A E AˊF是菱形证法二：A是Aˊ在折叠前对应的位置,∴∆AEF≌∆AˊEF ,AˊE=AˊE,AF=AF，又∵∆AEF是等腰三角形（已证）,AˊE=AˊF, ∴AE=AF=AˊE=AˊF,∴四边形A E AˊF是菱形.FEAˊAαAˊˊEF例2.在上题的图中,若翻折的角度α=30º,a=2, 求图中被覆盖的部分△A ˊEF.的面积。
分析：图中被覆盖的部分△A ˊEF 是等腰三角形，其腰上的高就是原矩形的宽度2,所以，本题的解题关键就是要求出腰A ˊF 或A ˊE 的长。
答：S 四边形AEA ˊF ＝2S △A ˊEF = （解答过程略）练一练： 当α的大小分别45º 、60º时，图中被覆盖的部分△A ˊEF.的面积是多少？例5. 如图，将矩形ABCD 折叠，使C 点落在边AB 上，（如图中的M 点），若AB=10,BC=6,求四边形CNMD 的 面积分析：本题与上一题区别在于点C 折叠后落在矩形的边AB 上，由折叠的意义可以知道，ΔACN 和ΔAMN 是全等的，所以，求四边形CNMD 的面积的关键就是求ΔDCN 或ΔDMN 的面积，所以本题的解题关键还是求出NC(或BN)的长.解:在直角三角形ADM 中,AD=6,DM=DC=10,由勾股定理可以求得AM=8.BM=10-8=2. 设NC=x,则MN=x,BN=6-x, 在Rt △BMN 中，MN 2=BN 2+BM 2∴x 2=（6-x ）2+4 ∴x=310 S 四边形CNMD =2S △DCN =10310 =3100MDA B CN338AB C D α=45º α=60º A BCDαEA ˊF例6. 将长为8，宽为6的矩形ABCD 折叠，使B 、D 重合，（1）求折痕EF 的长。
知识点三：直角三角形之折叠问题
CDAB E1.2 直角三角形之折叠问题一、填空题1、如下左图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平，再次折叠纸片，使A 点落在折痕EF 上的N 点处，并使折痕经过点B 得到折痕BM ，同时得到线段BN ，则∠NBC=_______.2、如上中图在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,∠A<∠B,M 是斜边的中点，将三角形ACM 沿CM 折叠，点A 落在点D 处，若CD 恰好与AB 垂直，则∠A=___________．3、如上右图CD 是Rt △ABC 斜边上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A=___________．4、如下左图，把直角三角形纸片沿着过点B 的直线BE 折叠，折痕交AC 于点E ，欲使直角顶点C 恰好落在斜边AB 的中点上，那么∠A 的度数必须是 ．5、如下中图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，C 落在C '处，若21：：=BE AE ，则折痕EF 的长为 ．6、如上右图，已知边长为6的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D的位置，且ED ⊥BC,则CE 的长是 ．7、正方形纸片ABCD 中，边长为4，E 是BC 的中点，折叠正方形，使点A 与点E 重合，压平后，得折痕MN （如下左图）设梯形ADMN 的面积为1S ，梯形BCMN 的面积为2S ，那么1S :2S =8、如图2,把腰长为4的等腰直角三角形折叠两次后,得到一个小三角形的周长是 .9、有一条两边平行的宽纸带，按如图所示的方式折叠，则∠1的度数为_________。
10、如图，折叠直角三角形纸片，使点C 落在AB 上的E 处．已知∠B=30°,∠C=90°，则∠1=__________,∠5=____________.ACBE图2ANCD BMBCADE11、如图，矩形ABCD 的长AD=9cm ，宽AB=3cm ，将它折 叠，使点D 与点B 重合，折叠后DE 的长为_________.12、等边△OAB 在直角坐标系中的位置如图所示，折叠三角形 使点B 与y 轴上的点C 重合，折痕为MN ，且CN平行于x 轴，则∠CMN = 度．13、有一块矩形的纸片ABCD ，AB=9,AD=6,将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为 ．A B A D B D BFD CE C E C14、如图，有一矩形纸片ABCD ，AB =10，AD =6，将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再 将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于F ，那么△CEF 的面积是 。
勾股定理之折叠问题
A
E
C
练习:三角形ABC是等腰三角形 AB=AC=13，BC=10，将AB向AC方向 对折，再将CD折叠到CA边上，折痕为 CE，求三角形ACE的面积
A
B
D
A 12-x 8 13 x D1 12 E 5 x C D5 C D5 C A
如右图将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点 D恰好落在BC边上F处,已知CE=3,AB=8, 则BF=___________。 A
A 15 B 9 12 13 C
D 5
如图，将一根25cm长的细木棍放入长，宽 高分别为8cm、6cm、和 10 3 cm的长方体 无盖盒子中，求细木棍露在外面的最短长 度是多少？ 25
E5
10 3
20
C 6
10
B
8
D A
如图，公路MN和小路PQ在P处交汇,∠QPN=30°, 点A处有一所学校,AP=160m,假设拖拉机行使时, 周围100m内受噪音影响,那么拖拉机在公路MN上 以18km/h的速度沿PN方向行驶时,学校是否受到 噪音的影响?如果学校受到影响,那么受影响将持续 多长时间?
8 10 10
D
8-X
E
8-X X
B
6
F
4
C
例 2：
☞
折叠长方形纸片，先折出折痕对角线BD，在绕点D折叠， 使点A落在BD的E处，折痕DG，若AB=4，BC=3，求 AG的长。
x 2 (4 x )
2 2
2
x 2 4 16 8 x x 2
8 x 12
D 4 3 E 5 x 2 x C 3 B
如图，已知：等腰直角△ABC中，P为斜边BC 上的任一点. 求证：PB2＋PC2＝2PA2 .
初中数学几何图形中的折叠问题解题思路
初中数学几何图形中的折叠问题解题思路折叠问题中的背景图形通常有，三角形、正方形、矩形、梯形等，解决这类问题的关键是一定要灵活运用轴对称和背景图形的性质。
轴对称性质：折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。
典型例题：例题1、如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，E、F 分别为 AB、BC 上的点，沿线段 EF 将∠B 折叠，使点 B 恰好落在AC 上的点 D 处，试问当△ADE 恰好为直角三角形时，此时 BE 的长度为多少?解题思路：△ADE 为直角三角形分两种情况：①∠ADE = 90°，②∠AED = 90°，此题需要分类讨论，结合三角形的相似、折叠的性质，来求折叠中线段的长度，关键是能画出折叠后的图形。
解答过程：当∠ADE = 90°时，如下图所示：证明：先来证明四边形 DEBF 为棱形：∵在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ADE = 90°，∴ DE∥BC ，∴∠DEF = ∠EFB ，又∵沿线段 EF 将∠B 折叠，∴ DE = BE ,DF = BF ，∠DFE = ∠BFE ，∴∠DEF = ∠DFE ，DE = DF = BF ，∴四边形 DEBF 为棱形。
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是棱形)。
再来证明Rt△ADE ∽Rt△ACB (相似三角形判断图形中的“A”字型)∵在三角形 ACB 中，DE∥BC ，∴ Rt△ADE ∽ Rt△ACB ，设棱形 DEBF 的边长为 x , 则有 DE = x , AE = 10 - x ,在 Rt△ACB 中，AB = 10 , AC = 8 ,由勾股定理得：BC = 6 。
∴ DE : BC = AE : AB , 即 x : 6 = (10-x) : 10 ,解得 x = 15/4 ,∴ BE = 15/4 ;当∠AED = 90°时，如下图所示：易证 Rt△AED ∽ Rt△ACB ，由折叠的性质可得 DE = BE ，设 DE = BE = x ，则 AE = 10 - x ，由相似三角形的性质可得：DE : BC = AE : AC , 即 x : 6 = ( 10 -x ) : 8 ,解得 x = 30/7，∴ BE = 30/7 。
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教 案
课 题：直角三角形中的折叠问题
教学目标：1.让学生理解折叠问题中的全等三角形及相等的线段和相等的角；
2.让学生会灵活应用勾股定理构造方程解决简单的几何问题，感受面
积法有时是解决几何问题的捷径；
教学重点：掌握解决折叠问题的一般方法，体会方程思想的重要性.
教学难点：折叠问题是操作问题，让学生会熟练寻找折叠前后图形中的相等量，
并能顺利解决问题.
教学准备：每人一张直角三角形纸片.
教学过程:
一．新课导入：
我们给定的三角形纸片命名为Rt △ABC ，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则斜边AB= .
二．新课教学：
探究一：折叠中点与点的重合
问题1：折叠△ABC 使点B 与点C 重合，求折痕DE 的长；
【解析】由C 、B 两点关于DE 轴对称，则DE 垂直平分BC ，
所以DE 是△ABC 的中位线，DE=12
AC=3 问题2：折叠△ABC 使点A 与点C 重合，求折痕FG 的长；
【解析】与问题同理可得FG=12
BC=4
问题3：折叠△ABC 使点A 与点B 重合，求折痕HI 的长.
【解析】由HI 垂直平分AB 得AI=BI
设AI=BI=x ，则CI=8-x
∴2226(8)x x -=- ∴254
x = 1122ABI S AB IH BI AC ∆=⋅=⋅即251068
IH =⨯ ∴IH=258
小结：1.利用全等三角形寻找相等的线段
2.利用勾股定理及面积法求线段的长
探究二：折叠中边与边的重叠
问题1：折叠△ABC ，使AC 边落在AB 上的AC'处，求折痕AP 的长；
【解析】由△ACP ≌AC ′P 得
AC=AC ′，PC=PC ′=6，BC ′=4
设PC=PC ′=x ，则BP=8-x
2224(8)x x +=-
∴x=3
∴
=问题2：折叠△ABC ，使BC 边落在BA 上的BC'处，求折痕BM 的长；
【解析】与问题1同理，设CM=CM ′=x 可得83
x =，则
BM=3 小结：一般用未重叠的直角三角形构造勾股定理.
问题3：折叠△ABC ，使CA 边落在CB 上的CA'处，
求折痕CN 的长.
【解析】作ND ⊥BC 与点D
∵∠CAN=∠BCN=45°，CA=CA ′=6，A ′B=2
设CD=DN=x
'2A BN ABC ACN S S S ∆∆∆=- ∴11126826222
x x ⨯=⨯⨯-⨯⨯ ∴247
x = ∴
小结：面积法是捷径
学以致用：如图所示，在矩形ACBD 中，AC=6，BC=8，沿对角线AB 折叠，△ABC 成为三角形ABE ，BE 交AD 于点F ，求EF 的长.
D
【解析】由全等可得∠ABC=∠ABE
∵AD ∥BC 得∠ABC=∠BAD
∴∠ABE=∠BAD
∴设AF=BF=x ，则EF=8-x
∴2226(8)x x +-= ∴254x =即EF=254
再探：若再沿GH 折叠，使点A 与点D 重合，求折痕GH 的长.
【解析】∠BAE=∠ABD
GH ∥BD 得∠AHG=∠ABD
∴∠GAH=∠GHA
∴AG=HG
设PG=x ，则AG=HG=3+x
∴2224(3)x x +=+ ∴76
x = ∴HG=3+
72566= 小结：这里的AG=HG 是学生很难发现的结论，可适当引导 本堂课总结
知识：解决折叠问题的一般方法
方法：体会方程思想的重要性
推广：矩形中的折叠问题
作业布置：附配套作业
P。