(完整版)重庆巴蜀中学2018级高一下期末数学(理)
重庆市巴蜀中学2018-2019学年高一下学期末考试数学试题
重庆市巴蜀中学高2021届高一(下)期末考试数学试题一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分）1．已知向量，，，，若，则k＝（）A．B．4 C．D．﹣4[2．已知命题p：∀x∈（1，+∞），x﹣e x＜0，则￢p为（）A．∀x∈（﹣∞，1]，x﹣e x≥0B．，，C．∀x∈（1，+∞），x﹣e x≥0D．，，3．已知a＞0＞b，下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．a﹣b＞1 C．＞D．a3＞b34．若等差数列{a n}满足a3+a2019＝4，则{a n}的前2021项之和S2021＝（）A．2021 B．2020 C．4042 D．40405．在△ABC中，已知a＝3，A＝30°，则△ABC的外接圆面积等于（）A．9πB．36πC．6πD．24π6．已知角，，则的最小值为（）A．2 B．1 C．4 D．37．已知实数x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．28．已知直线l1：x+（m+1）y+m＝0，l2：mx+2y+1＝0，则“l1∥l2”的必要不充分条件是（）A．m＝﹣2 B．m＝1 C．m＝﹣2或m＝1 D．m＝2或m＝19．已知实数，则直线l：mx+y+2＝0与圆C：（x+1）2+（y﹣m）2＝m的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且角B，c＝3，则△ABC的内切圆周长为（）A．B．C．D．11．若圆：＞始终平分圆：的周长，则直线3x+4y+3＝0被圆C1所截得的弦长为（）A．B．C．D．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，使所得，则角B的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（本题4小题，每小题5分，共20分）13．已知单位向量，夹角为，则．14．已知直线l1：3x+4y+2＝0，l2：6x+8y+5＝0，则l1与l2之间的距离为．15．已知数列{a n}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N*，都有：a m+n＝a m+a n+mn，则a19＝．16．已知点P为△ABC内的一点，且，则．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题12分，满分70分）17．已知圆：12，圆心在直线4x﹣y﹣12＝0上．（1）求圆C的标准方程；（2）若直线l经过点A（6，0），且与圆C相切，求直线l的方程．18．在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，，．（1）求角B；（2）若b＝3，且sin（C+A）+sin（C﹣A）＝2sin2A，求△ABC的面积．19．已知数列{a n}为等比数列，公比q＞0，S n为其前n项和，且a1＝4，S3＝28．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的前n项和T n．20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若，，，求角B；（2）若，，求△ABC周长的取值范围．21．已知数列{a n}各项均为正数，前n项和为S n，且S n满足：∀ ，．（1）求a1的值及数列{a n}的通项公式；（2）若，且c n＝a n×b n．证明：对一切正整数n，有＜．22．已知圆O：x2+y2＝4，直线l过点M（3，3），且l⊥OM．（1）若点N（x0，y0）上直线l的动点，在圆O上是否存在一点E，使得∠ONE＝30°，若现在，求y0的取值范围；若不存在，请说明理由．（2）过点F（1，0）作两条互相垂直的直线，分别交圆O于A，C和B，D，设线段AC，DB的中点分别为P、Q，求证：直线PQ恒过一个定点．一、1D．2．B3．D4．C5．A6．C7．B8．C9．A10．D11．B12．二、13．单位向量，夹角为，则1．14．直线l1：3x+4y+2＝0，l2：6x+8y+5＝0，则l1与l2之间的距离为：．15．解法一：数列{a n}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N*，都有：a m+n＝a m+a n+mn，∴a2＝3，a3＝6，a4＝10，a8＝36，a16＝136，a19＝190，解法二：数列{a n}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N*，都有：a m+n＝a m+a n+mn，令m＝1，可得a1+n＝a1+a n+n，a n＝a1+a n﹣1+n﹣1，a n﹣1＝a1+a n﹣2+n﹣2，…a2＝a1+a1+1，累加可得：a n＝（n﹣1）a1+a1+1+2+…+n﹣1可得a n．∴a19＝190，16．取AB的四等分点为E，取AC的三等分点为F，以AE，AF为相邻两边作平行四边形AFPE，作EG⊥AC，BH⊥AC，由图可知：，三、17．（1）由题意可得：圆心坐标（，4），圆心在直线4x﹣y﹣12＝0上，所以4•4﹣12＝0⇒m＝8 所以圆的标准方程为：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝4（2）斜率不存在时x＝6，显然圆心（4，4）到x＝6的距离为2，正好等于半径，所以x＝6是其中一条切线；当斜率存在时，设斜率为k，则过A点的直线方程为：y＝k（x﹣6），即kx﹣y﹣6k＝0，圆心到直线的距离等于半径2，2⇒（k+2）2＝k2+1⇒k，所以直线l的方程是3x+4y﹣18＝0．综上，所求的切线方程是：x＝6或3x+4y﹣18＝0．18．（1）因为向量，，，，．所以b sin A﹣a cos B＝a，由正弦定理可得：sin A sin B﹣sin A cos B＝sin A，所以sin B﹣cos B＝1，即2sin B cos B＝0，又B∈（0，π），所以B；（2）因为sin（C+A）+sin（C﹣A）＝2sin2A，所以2sin C cos A＝4sin A cos A，又cos A≠0，所以sin C＝2sin A，即c＝2a，又B，b＝3，所以a，c，所以S△ABC，故△ABC的面积为．19．（1）数列{a n}为等比数列，公比q＞0，且a1＝4，S3＝28．可得4+4q+4q2＝28，解得q＝2（﹣3舍去），可得a n＝4•2n﹣1＝2n+1；（2）b n＝n•2n+1，前n项和T n＝1•4+2•8+3•16+…+n•2n+1，2T n＝1•8+2•16+3•32+…+n•2n+2，相减可得﹣T n＝4+8+16+…+2n+1﹣n•2n+2n•2n+2，化为T n＝4+（n﹣1）•2n+2．20．（1）若，，，可得sin B，由a＞b，即A＞B，则B为锐角，可得B；（2）由sin（A+B），即sin（π﹣C），可得sin（C），由0＜C＜π即有＜C＜，可得C，即C，设Aα，Bα，＜α＜，由可得，即为，可得c，由＜α＜，可得＜cosα≤1，即有2≤c＜4，则6≤a+b+c＜8，则△ABC周长的取值范围为[6，8）．21．（1）S n满足：∀ ，．可得n＝1时，4a1＝4S1＝a12+2a1，解得a1＝2，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1a n a n﹣1，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）＝0，由a n＞0，可得a n﹣a n﹣1＝2，可得a n＝2+2（n﹣1）＝2n，n≥2：上式对n＝1也成立，则a n＝2n，n∈N*：（2）证明：，c n＝a n b n＝2n•＜，则c1+c2+…+c n＜1＝1＜．22．（1）由题得k OM＝1，所以k l＝﹣1，则直线l的方程为x+y﹣6＝0，所以x＝6﹣y，如图可知，对每个给定的点N，当NE为圆O的切线时，∠ONE最大，此时OE⊥EN，若∠ONE＝30°，则ON＝2OE＝4，即4，又因为x0＝6﹣y0，代入整理得，则△＝36﹣40＝﹣4＜0即该方程无解，故不存在这样的点E．（2）当直线AC，BD斜率存在时，设直线AC的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），联立，整理得（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣4＝0，则x1+x2，x1x2，△＝4k4﹣4（1+k2）（k2﹣4）＝16+12k2＞0，，所以P（，），同理得Q（，），即Q（，），k PQ，所以直线PQ方程为y，y，恒过定点（，0），当AC斜率为0，直线BD斜率不存在时，直线AC方程y＝0，此时A（﹣2，0），C（2，0），P（0，0）直线BD方程x＝1，此时B（1，），D（1，），Q（1，0），直线PQ为y＝0，经过点（，0）．综上所述，恒过定点（，0）．。
重庆市巴蜀中学17-18学年度高一下学期期末考试——数
重庆市巴蜀中学2017—2018学年度下学期期末考试高一数学文试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若向量，，满足，则实数（ ）A ．B ．C ．D ． 2.已知为等差数列中的前项和，，，则数列的公差（ ） A ． B ． C ． D ． 3.中，分别是角所对应的边，，，，则（ ） A ． B ． C ． D ．4.已知实数满足且，下列选项中不一定成立的是（ ） A ． B ． C. D ．5.已知函数()2ln f x x ax =+在处取得极值，则实数（ ） A ． B ． C. D ．6.下列说法正确的是（ ） A ．若与共线，则或者 B ．若，则C.若中，点满足，则点为中点 D ．若，为单位向量，则7.若是整数，则称点为整点，对于实数，约束条件2300x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域内整点个数为（ ）个A ．B ． C. D ．8.已知各项均为正的等比数列中，与的等比中项为，则的最小值是（ ） A ． B ． C. D ．9.若直线（，）平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则的最小值为（ ） A ． B ． C. D ．10.在中，若2sin sin cos2AB C =，则是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C.等边三角形 D ．等腰直角三角形 11.数列中，，（），则13241012a a a a a a ++=L （ ） A ． B ． C. D ．12.已知()21()f x a x x x=-+有且仅有两个零点，那么实数（ ） A ． B ． C. D ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若满足约束条件()103030x y f x x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则的最小值为 ．14.圆222(r 0)x y r +=>与圆22(3)(y 4)1x -+-=相外切，则半径的值为 ． 15.是正三角形，，点为的重心，点满足，则 ．16.已知圆22:430M x y y +-+=，直线:0(0)l kx y k -=>，如果圆上总存在点，它关于直线的对称点在轴上，则的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数()[]2144,3,23f x x x x =-+∈- （1）求函数在处切线方程； （2）求函数的最大值和最小值．18. 已知中，分别是角所对应的边，若cos sin a b C c B =+，且的面积为2， （1）求角；（2）若，求的值．19. 已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且． （1）求直线的方程； （2）求圆的方程．20. 已知正项等比数列的前项和满足：213,()42n n S S n N *+=+∈ （1）求数列的首项和公比；（2）若21log ,()n n n b a a n N *+=+∈，求数列的前项和．21. 已知圆22:(4)(1)4C x y -+-=,直线:2(31)y 20l mx m -++= （1）若直线与圆相交于两点，弦长等于，求的值；（2）已知点，点为圆心，若在直线上存在定点（异于点），满足：对于圆上任一点，都有|PM ||PN |为一常数，试求所有满足条件的点的坐标及改常数． 22.已知函数()1xf x e ax =-+（1）若，求函数的单调性；（2）若存在，使恒有，求实数的取值范围．试卷答案一、选择题1-5:BBBCA 6-10: CCCAA 11、12：DD 二、填空题13. 14. 15.16.⎣三、解答题17.解：（1），斜率，切点． 所以切线为18. 解（1）由cos sin a b C c B =+及正弦定理得：sin sin cos sin sin A B C C B =+，即sin()sin cos sin sin B C B C C B +=+得sin cos sin sin C B C B =，又，所以，因为，所以． （2）由1s i n 22ABC S ac B ∆==，得，又22222cos (a c)217b a c ac B ac =+-=+-=-19.解：（1）直线的斜率4013(1)k -==--，中点坐标为，直线的方程为，即；（2）设圆心，则由点在直线上得：①， 又直径，所以，所以② 由①②解得：36a b =-⎧⎨=⎩或52a b =⎧⎨=-⎩所以圆心或圆的方程为22(3)(6)40x y ++-=或22(5)(2)40x y -++=．20.由题有314213421342S S S S ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，两式相减得：，则由题意，有又，可知12311342a a a a ++=+，有111113(1)2442a a ++=+，所以， 由（1），，所以，采用分组求和：12211()(1)111212()1222212nn n n n T n n ----⨯=⨯+=----． 21.解（1）或；（2）由题知，直线的方程为，假设存在定点满足题意， 则设，，|PM ||PN |λ= 得222|PM ||PN |(0)λλ=>，且22(4)4(1)x y -=-- 所以22222224(1)(5)4(1)()y y y y t λλλ--+-=--+- 整理得：222[(22)8]y (3)280t t λλ-+++-= 因为，上式对于任意恒成立， 所以且22(3)280t λ+-= 解得，所以，（舍去，与重合），， 综上可知，在直线上寻在定点，使得|PM ||PN |为常数． 22.（1）易得：，若当时有， 则在单调递减，在单调递增；（2）令()22()21xg x f x x e x ax =+-=+--，且，()2x g x e x a '=+-，，在单调递增， 若，即，，00()(0)g x g ''>>， 此时在单调递减，当，，不成立．若，即，在单调递增， 则，，所以在单调递增， 所以在单调递增 所以，成立，故．。
重庆市巴蜀中学2018-2018学年高一年级下学期期末考试数学(理)试卷Word版含答案解析
2017-2018学年重庆市巴蜀中学高一下学期期末考试数学理卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.圆22240x y x y ++-=的圆心坐标为（ ）A ．(1,2)-B ．(1,2)-C ．(1,2)D ．(1,2)--2.已知a ，b 为非零实数，且a b <，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．22a b < B ．11b a < C ．1b a> D ．33a b < 3.下列四个方程表示对应的四条直线，其中倾斜角为4π的直线是（ ） 、A ．1x =B ．4y π= C ．0x y += D ． 0x y -=（63a -≤≤）的最大值为（ ）A ．9B ．92C.3 D 5.在等差数列{}n a 中，n S 表示{}n a 的前n 项和，若363a a +=，则8S 的值为（ ）A ．3B ．8 C.12 D ．246.已知向量(2,1)a =，(3,4)b =-，则a 在b 方向上的投影是（ ）A ．25-B ．25 C. D 7.在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，且222c a b ab =++，则角C 的大小为（ ）？A ．6πB ．3π C.56π D ．23π8.已知向量a ，b ，则“||||||a b a b ⋅=⋅”是“a b //”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件9.若x ，y 满足条件4050550x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，当且仅当5x =，0y =时，目标函数z ax y =+取得最小值或最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,1)(,)5-∞--+∞ B ．1(,)5-∞ C.1(,1)5 D ．1(,)(1,)5-∞+∞ 10.在ABC 中，已知a ，b ，c 分别为A ∠，B ∠，C ∠所对的边，且a ，b ，c 成等比数列，3a c +=，3cos 4B =，则ABC 外接圆的直径为（） ABD 11.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数()fx '满足()1xf x '>，则（ ） 'A ．()()21ln 2f f -<B ．()()21ln 2f f ->C.()()21f f -<1 D ．()()21f f ->112.已知M ，N 是圆22:4O x y +=上两点，点(1,2)P ，且0PM PN ⋅=，则||MN 的最小值为（ ）A 1BD 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若2n n S a =+，则实数a 的值为 ．14.若实数x ，y 满足111y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值为 ．!15.函数()2932f x x x=+-（03x <<）的最小值为 ．16.已知函数()232(1)(5)ln 2f x x k x k x =+-++⋅，若()f x 在区间(0,3)上不是单调函数，则k 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数()2(1)f x x x =-． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求()f x 在区间[]1,2-上的最大值和最小值．18. 已知圆C 的圆心为(1,1)，直线40x y +-=与圆C 相切．（1）求圆C 的标准方程；:（2）若直线l 过点(2,3)，且被圆C 所截得弦长为2，求直线l 的方程．19. 在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ccos )bsin B C -=．（1）求角C 的大小；（2）S 是ABC 的面积，若S =c 的最小值．20.已知数列{}n a 满足11a =，1120n n n n a a a a +++-=．（1）求证：数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设12n n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．21. 已知圆C 过点(3,1)A ，(5,3)B ，圆心在直线y x =上．，（1）求圆C 的方程；（2）过圆221:(y 1)1O x ++=上任一点P 作圆C 的两条切线，切点分别为Q ，T ，求四边形PQCT 面积的取值范围．22. 已知函数()log x a f x =，（0a >且1a ≠） （1）当a e =，求证：()0f x >；f x的零点个数．（2）讨论()试卷答案一、选择题\1-5:BDDBC 6-10:ADCDC 11、12：BB二、填空题13.1- 14.5 15.256 16.(5,2)-- 三、解答题17.(1)令()2320f x x x '=->可得0x <或23x >，()203f x x '<⇒0<< 所以()f x 的递增区间为2(,0),(,)3-∞+∞，递减区间为2(0,)3． （2）由（1）知：20,3x =分别是()f x 的极大值点和极小值点 （所以()f x 极大值()00f ==，()f x 极小值24327f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，而()12f -=-，()24f = 所以()f x 最大值()24f ==，()f x 最小值()12f =-=-．18. （1）圆心(1,1)C 直线40x y +-=的距离d ==．所以，圆心(1,1)C ，半径r =22(x 1)(y 1)2-+-=．（3）①当直线l 的斜率存在时，设直线:3(2)l y k x -=-即：320kx y k -+-=，d =，又212d +=，所以1d =，解得34k = :3460l x y -+=②当l 的斜率不存在时，2x =满足条件．—故l 的方程为：3460x y -+=或2x =．19. （1ccos )bsin B C -=]sin(B C)sinCcosB sin sin B C +-=cos sin sin B C B C =，而在ABC 中，sin 0B ≠所以tan C =60C =︒ （2）1sin 602S ab =︒=4ab =， 由余弦定理有：2222cos6024c a b ab ab ab ab =+-︒≥-==．当2a b ==时取“=”， 所以当2a b ==时，c 的最小值为2．20. （1）证明：1120n n n n a a a a +++-=两边同除以1n n a a +得：|12110n n a a ++-=，可得11112(1)n n a a ++=+，且11120a +=≠， 所以11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列．（2）由（1）得：121n n a =-，则11211(21)(21)2121n n n n n n b ++==----- 所以11111122212121n n n n S +++-=-=--- 21. （1）设圆心(,)C a a ，半径为r ，则222222(3)(1)(5)(3)a a r a a r⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得32a r =⎧⎨=⎩ 所以圆C 的方程为：22(3)(y-3)4x -+=（2）设PQ 的长为x ，则122222PQCT PQC S S x x ==⋅⋅⋅=，而x = 由几何关系有：11|CQ |1|PC ||CQ |1-≤≤+．而1|CQ |5=，可得46PC ≤≤，则x S ⎡≤≤⇒∈⎣． 22. （1）证明：当a e =时，()ln f x x =（0x >）()1f x x '==0x >）令()0f x '=，则4x =所以()f x 在(0,4)单调递减，在(4,)+∞单调递增， 所以()()min 42ln 20f x f ==->所以()0f x >（2）()ln 0log lnln x a x f x a a =⇔=⇔=⇔=。
重庆市巴蜀中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学(理)试题(含精品解析)
重庆市巴蜀中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 圆的圆心坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：将圆的方程化为标准方程后可得所求．详解：将圆方程化为标准方程得，∴圆心坐标为．故选B．点睛：本题考查圆的标准方程和一般方程间的转化及根据标准方程求圆的半径，属容易题．2. 已知，为非零实数，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据不等式的性质或函数的性质对四个选项分别进行分析、排除后可得结论．详解：对于A，当时不等式不一定成立，故A不正确．对于B，当时，不等式不成立，故B不正确．对于C，当时不等式不成立，故C不正确．对于D，根据函数的单调性可得不等式成立，故D正确．故选D．点睛：判断关于不等式的命题真假的常用方法（1）直接运用不等式的性质进行推理判断．（2）利用函数的单调性，利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性等进行判断．（3）特殊值验证法，即给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值进行比较、判断．3. 下列四个方程表示对应的四条直线，其中倾斜角为的直线是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据选项中给出的直线的方程，分别求出直线的倾斜角即可．详解：选项A中，直线的倾斜角为，所以A不正确．选项B中，直线的倾斜角为，所以B不正确．选项C中，直线的倾斜角为，所以C不正确．选项D中，直线的倾斜角为，所以D正确．故选D．4. （）的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据基本不等式求解即可．详解：∵，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，∴（）的最大值为．故选B．点睛：使用基本不等式求最值时，注意使用的前提是“一正、二定、三相等”，且这三个条件缺一不可，其中关键是寻求定值，若条件不满足使用的条件，则需要进行适当的变形，以得到定值．5. 在等差数列中，表示的前项和，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据等差数列的前项和公式和数列下标和的性质求解．详解：∵数列为等差数列，∴．∴．故选C．点睛：等差数列中的下标和的性质，即若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q常与前n项和公式结合在一起考查，解题时采用整体代换的思想，可简化解题过程，提高解题的效率．6. 已知向量，，则在方向上的投影是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据向量在另一个向量方向上的投影的概念求解．详解：∵，，∴，.设的夹角为，则向量在方向上的投影为．故选A．点睛：向量在另一向量方向上的投影是向量数量积的几何意义的具体体现，它是一个数量，其值可正、可负、也可为零，计算的主要途径是根据定义进行．7. 在中，、、分别是内角、、的对边，且，则角的大小为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据余弦定理的推论求得，然后可求得．详解：∵，∴．由余弦定理的推论得，又，∴．故选D．点睛：本题考查余弦定理推论的应用，解题时容易出现的错误是在求得角的三角函数值后忽视了角的范围，从而得到错误的结果．8. 已知向量，，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先讨论充分性：由得所以“”是“”的充分条件.再讨论必要性：因为，所以，所以“”是“”的必要条件.故选C.9. 若，满足条件，当且仅当，时，目标函数取得最小值或最大值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：作出可行域，根据最优解的位置判断目标函数的斜率范围，列出不等式解出．详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．由可得．∵目标函数仅在处取得最大值或最小值，∴或，解得或，∴实数的取值范围是．故选D．点睛：线性规划中已知最优解求参数的取值或范围时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值．10. 在中，已知，，分别为，，所对的边，且，，成等比数列，，，则外接圆的直径为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用成等比数列得到，结合余弦定理及求得，再根据正弦定理求得三角形外接圆的直径．详解：∵成等比数列，∴．在中，由余弦定理得，∴，∴．由得．设外接圆的半径为,则，∴外接圆的直径为．故选C．点睛：用余弦定理解三角形时注意整体代换思想的利用，即解题中常用到变形，可简化运算．令由正弦定理可得，若外接圆的半径为，则有．11. 已知定义在上的函数的导函数满足，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：根据题意，由可得，构造函数，可得，故单调递增，根据单调性可得结论．详解：令，∴，∵，∴，∴函数在上单调递增，∴，即，∴．故选B．点睛：本题考查对函数单调性的应用，考查学生的变形应用能力，解题的关键是根据题意构造函数，通过判断函数的单调性得到函数值间的关系，从而达到求解的目的．12. 已知，是圆上两点，点，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：如图，由得，设的中点为，则．令，在中，根据弦长、弦心距和半径的关系求得后可得所求．详解：如图所示，由得．设的中点为，则．由题意可得当最小时，则最小，此时，又为的中点，故点在上，即垂直平分．令，则，．在中，根据勾股定理得，即，整理得，解得或（舍去）．∴的最小值为．故选B．点睛：解答本题的关键是根据平面几何的关系得到最小时点，的位置，然后再根据计算得到所求的值，利用几何法解决圆的有关问题，可省去大量的运算，提高解题的效率，这是研究解析几何问题时常用的方法．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 等比数列中，为其前项和，若，则实数的值为__________．【答案】.【解析】分析：由题意求得，然后根据数列成等比数列可得实数的值．详解：∵，∴，由题意得成等比数列，∴，即，解得．点睛：本题考查等比数列的运算，解题的关键是根据题意得到数列的前三项，然后列出方程求解．另外，解题时也可利用结论求解，即若等比数列的前项和，则有，注意要注意结论中必须为．14. 若实数，满足，则的最大值为__________．【答案】5.【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的及其内部：其中，，，设，将直线进行平移，当经过点时，目标函数达到最大值，此时.故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 函数（）的最小值为__________．【答案】.【解析】分析：将所给函数的解析式变形为，再结合，并根据基本不等式求解即可得到结论．详解：由题意得，∵，∴．又，∴．∴，当且仅当，即时等号成立．∴函数的最小值为．点睛：（1）使用基本不等式求最值时，注意使用的前提是“一正、二定、三相等”，且这三个条件缺一不可．（2）在运用基本不等式时，若条件不满足使用的条件，则要注意通过“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．16. 已知函数，若在区间上不是单调函数，则的取值范围为__________．【答案】.【解析】分析：由题意得，因为在区间上不单调，故在区间上有解，分离参数后通过求函数的值域可得所求的范围．详解：∵，∴．∵在区间上不单调，∴在区间上有解，即方程在区间上有解，∴方程在区间上有解．令，则，∴函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴当时，取得最大值，且最大值为．又.∴.又由题意得在直线两侧须有函数的图象，∴．∴实数的取值范围为．点睛：解答本题时注意转化的思想方法在解题中的应用，将函数不单调的问题化为导函数在给定区间上有变号零点的问题处理，然后通过分离参数又将问题转化为求函数的值域的问题，利用转化的方法解题时还要注意转化的合理性和准确性．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求在区间上的最大值和最小值．【答案】(1) 的递增区间为，递减区间为．(2) 最大值，最小值．详解：（1）∵，∴．由，解得或；由，解得，所以的递增区间为，递减区间为．（2）由（1）知是的极大值点，是的极小值点，所以极大值，极小值，又，，所以最大值，最小值．点睛：（1）求单调区间时，由可得增区间，由可得减区间，解题时注意导函数的符号与单调性的关系．（2）求函数在闭区间上的最值时，可先求出函数的极值和区间的端点值，通过比较后可得最大值和最小值．18. 已知圆的圆心为，直线与圆相切．（1）求圆的标准方程；（2）若直线过点，且被圆所截得弦长为，求直线的方程．【答案】(1) .(2) ；或．【解析】分析：（1）由直线和圆相切可得圆的半径，进而可得圆的标准方程．（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况考虑，根据待定系数法设出直线的方程并结合弦长公式求解可得结果．详解：（1）由题意得圆心到直线的距离为．所以圆的圆心为，半径，∴圆的标准方程为．（2）①当直线的斜率存在时，设直线方程为即，∴圆心到直线的距离为．又由题意得，解得．∴，解得．∴直线的方程为．②当的斜率不存在时，可得直线方程为，满足条件．综上可得直线的方程为或．点睛：解决解析几何问题时注意把几何问题转化为数的运算的问题，通过计算达到求解的目的．在本题（2）中，容易忽视斜率不存在的情形，解题时要注意这一特殊情况，通过验证可求得，以得到完整的解．19. 在中，角、、的对边分别为、、，且．（1）求角的大小；（2）是的面积，若，求的最小值．【答案】(1) .(2)2.【解析】分析：（1）根据条件及正弦定理可得，然后由并根据三角变换得到，进而可求得．（2）由得到，再由余弦定理和基本不等式可得所求．详解：（1）由及正弦定理得，所以，所以，因为在中，，所以，又，所以．（2）由，得，由余弦定理得，当且仅当时等号成立，所以，所以的最小值为．点睛：三角形的面积公式和余弦定理经常结合在一起考查，解题时往往用到整体代换的思想方法，其中变形是重要的解题方法，同时也常与基本不等式结合在一起，解题时要注意等号成立的条件是否满足．20. 已知数列满足，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析.(2)【解析】分析：（1）将两边同除以得，变形得，故得结论．（2）由题意得到，根据裂项相消法可得．详解：（1）证明：将两边同除以，得，∴，又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列．（2）由（1）得，∴，∴∴.点睛：（1）证明数列为等比数列时，在得到后，不要忘了证明，这是容易忽视的步骤．（2）在用裂项相消法求数列的和时，要注意在相消后剩余的项具有前后对称的特征，即前面剩下了第几项，则后面就剩下倒数第几项，根据此结论可判断结果是否正确．21. 已知圆过点，，圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）过圆上任一点作圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的取值范围．【答案】(1).(2).【解析】分析：（1）根据条件设圆的方程为，由题意可解得，于是可求得圆的方程．（2）根据几何知识可得，故将所求范围的问题转化为求切线长的问题，然后根据切线长的求法可得结论．详解：（1）由题意设圆心为，半径为，则圆的标准方程为．由题意得，解得，所以圆的标准方程为．（2）由圆的切线的性质得，而．由几何知识可得，又，所以，故，所以，即四边形面积的取值范围为．点睛：解决圆的有关问题时经常结合几何法求解，借助图形的直观性可使得问题的求解简单直观．如在本题中将四边形的面积转化为切线长的问题，然后再转化为圆外一点到圆上的点的距离的范围的问题求解．22. 已知函数，（且），当，求证：.【答案】证明见解析.【解析】分析：先判断函数的单调性，求得函数的最小值后可证得结论成立．详解：证明：当时，（）∴（）∴当时，单调递减；当时，单调递增，∴当时，有极小值，也为最小值，且所以，所以．点睛：本题考查函数的单调性及最值的应用，证明不等式时，可转化为求函数的最值的问题，如在本题中证明不等式成立时只需证明函数的最小值大于零即可．。
重庆市巴蜀中学2017-2018学年高一下学期期末模拟数学试题及答案解析
重庆市巴蜀中学2017-2018学年高一下学期期末模拟数学试题一、选择题：共9小题.1．△ABC中，若C=30°，a=8，b=8，则S△ABC等于（）A．32B．12C．32或16D．16【解析】△ABC中，∵C=30°，a=8，b=8，∴S△ABC=ab sin C=×8×8×=16．故选：D．2．“a＞b＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不允分也不必要条件【解析】由a＞b＞0能推出；但反之不然，因此平方不等式的条件是a，b∈R且a≠b．故选：A．3．已知f′（x）是函数f（x）的导数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能是图中（）A．B．C．D．【解析】根据导函数可知函数在（﹣∞，﹣1）上单调减，在（﹣1，1）上单调增，在（1，+∞）上单调减，结合图象可知y=f（x）的图象最有可能是图中B.故选：B．4．若x、y满足，则z=2x+y的最大值为（）A．2 B．4 C．D．【解析】作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A（2，0）时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．此时z的最大值为z=2×2+0=4，故选：B．5．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A．∠C为钝角的三角形B．∠B为直角的直角三角形C．锐角三角形D．∠A为直角的直角三角形【解析】∵，合并提出得，得，∴∠A=90°，则△ABC的形状是∠A为直角的直角三角形．故选：D．6．已知点p（x，y）（x＞0，y＞0）在经过点A（2，0），B（0，1）两点的直线上，则+的最小值为（）A．9 B．4 C．D．【解析】由A（2，0）、B（0，1）可求直线AB的斜率k AB==﹣，∴由点斜式可得直线AB的方程为：x+2y=2，∴+=（+）（x+2y）=（1+4++）≥（5+2）=（5+4）=，当且仅当x=，y=时取等号，故选：C．7．已知数列a n=2n，前n项和为S n，若数列的前n项和为T n，则T2012的值为（）A．B．C．D．【解析】∵数列a n=2n，∴数列{a n}是一个等差数列，∴前n项和S n==n2+n．∴，∴T n=…+=1﹣=．∴T2012=．故选：D．8．已知，且关于x的函数在R上有极值，则与的夹角范围为（）A．B．C．D．【解析】因为，且关于x的函数=在R上有极值，所以f'（x）=x2+2|x+2||2cosθ=0在R上有不等实根，所以判别式△=4||2﹣8||2cosθ＞0，所以cosθ＜，所以θ∈（，π]；故选：D．9．过M（1，3）引圆x2+y2=2的切线，切点分别为A、B，则△AMB的面积为（）A．B．4 C．D．【解析】如图，由题意可得|OM|==，由勾股定理可得|MA|=|MB|==2，故sin∠OMB===，∴cos∠AMB=cos2∠OMB=2cos2∠OMB﹣1=﹣，故sin∠AMB=，三角形面积S=×|MA|×|MB|×sin∠AMB=，故选：C．二、填空题：共4小题.10．在平面直角坐标系xOy中，A，B为直线3x+y﹣10=0上的两动点，以AB为直径的圆M 恒过坐标原点O，当圆M的半径最小时，其标准方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．【解析】由题意圆心到直线的距离d==，过原点且与AB垂直的直线方程为x﹣3y=0，与3x+y﹣10=0联立，可得x=3，y=1，∴当圆M的半径最小时，其标准方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．故答案为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．11．在△ABC中，角A的平分线为AD，D在边BC上，AB=，AD=，B=45°，则A=30°．【解析】角A的平分线为AD，D在边BC上，AB=，AD=，B=45°，△ABD中，由正弦定理，，可得：sin∠ADB=，∴∠ADB=60°或120°当∠ADB=60°时，那么：∠BAD=180°﹣45°﹣60°=75°，∴A=2∠BAD=150°，可得∠C=180﹣150°﹣45°=﹣15°不成立．故得∠ADB=120°，那么：∠BAD=180°﹣120﹣60°=15°，∴A=2∠BAD=30°，故答案为：30°．12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=，a=4，角A的平分线交边BC于点D，其中AD=3，则S△ABC=12．【解析】由A=，a=4，余弦定理：cos A=，即bc=b2+c2﹣112．…①角A的平分线交边BC于点D，由ABD和ADC面积和定理可得AD=，AD=3，即bc=3（b+c）…②由①②解得：bc=48．那么S△ABC=cb sin A=12．故答案为：1213．已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，S n为其前n项和，且满足a n2=S2n﹣1（n∈N+）．若不等式≤对任意的n∈N+恒成立，则实数λ的最大值为﹣21．【解析】在a n2=S2n﹣1中，令n=1，n=2，得，即，解得a1=1，d=2，∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1，a n+1=2n+1．①当n为偶数时，要使不等式≤恒成立，即需不等式恒成立，∵，等号在n=2时取得，∴此时λ需满足λ≤25；②当n为奇数时，要使不等式≤恒成立，即需不等式恒成立，∵随n的增大而增大，∴n=1时，取得最小值﹣6．则λ≤﹣6﹣15=﹣21．综合①、②可得λ的取值范围是λ≤﹣21．∴实数λ的最大值为﹣21．故答案为：﹣21．三、解答题：共5小题.14．设{a n}是一个公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，已知S9=90，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），则a2=a1+d，a4=a1+3d，由a1，a2，a4成等比数列，可得，即，整理，可得a1=d．由，可得a1=d=2，∴a n=a1+（n﹣1）d=2n．（2）由于a n=2n，所以，从而，即数列{b n}的前n项和为．15．已知函数f（x）=ax3+cx在x=3处的切线方程为8x﹣y﹣18=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（x）≤m（m∈R）对任意x∈[﹣2，2]上恒成立，求m的取值范围．解：（1）f′（x）=3ax2+c，k=f′（3）=27a+c=8，①f（3）=27a+3c=8×3﹣18=6，②联立①②解得：，c=﹣1．∴f（x）=x3﹣x；（2）f（x）≤m（m∈R）对任意x∈[﹣2，2]上恒成立，即f（x）max≤m，x∈[﹣2，2]恒成立，f′（x）=x2﹣1，由f′（x）=x2﹣1=0，得x1=﹣1，x2=1．列x、f′（x）、f（x）的关系表：由表可知，．∴．16．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．解：（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，故无论k取何值，直线l总过定点（﹣2，1）．（2）直线l的方程可化为y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，要使直线l不经过第四象限，则，解得k的取值范围是k≥0．（3）依题意，直线l在x轴上的截距为﹣，在y轴上的截距为1+2k，∴A（﹣，0），B（0，1+2k），又﹣＜0且1+2k＞0，∴k＞0，故S=|OA||OB|=×（1+2k）=（4k++4）≥（4+4）=4，当且仅当4k=，即k=时，取等号，故S的最小值为4，此时直线l的方程为x﹣2y+4=0．17．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，且sin2B（Ⅰ）求角B的大小．（Ⅱ）已知b=2，求△ABC面积的最大值．解：（Ⅰ）∵a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，且sin2B，∴1﹣cos2B+=2，即cos2B﹣，解得cos B=2（舍）或cos B=，解得B=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知B=，又b=2，根据余弦定理得b2=a2+c2﹣2ac cos B，把b=2，cos B=，代入得a2+c2﹣ac=4，∴a2+c2=ac+4≥2ac，解得ac≤4，∴△ABC面积S△ABC==，∴△ABC的面积最大值为．18．已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0和抛物线E：y2=2px（p＞0），圆心C到抛物线焦点F的距离为．（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB．设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l方程．解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0可化为（x+1）2+（y﹣1）2=1，则圆心为（﹣1，1）．抛物线E：y2=2px（p＞0），焦点坐标F（），由于：圆心C到抛物线焦点F的距离为．则：，解得：p=6．故抛物线的方程为：y2=12x（2）设直线的方程为x=my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），则：，整理得：y2﹣12my﹣12t=0，所以：y1+y2=12m，y1y2=﹣12t．由于：OA⊥OB．则：x1x2+y1y2=0．即：（m2+1）y1y2+mt（y1+y2）+t2=0．整理得：t2﹣12t=0，由于t≠0，解得t=12．故直线的方程为x=my+12，直线经过定点（12，0）．当CN⊥l时，即动点M经过圆心C（﹣1，1）时到直线的距离取最大值．当CP⊥l时，即动点M经过圆心C（﹣1，1）时到动直线L的距离取得最大值．k MP=k CP=﹣，则：m=．此时直线的方程为：x=，即：13x﹣y﹣156=0．。
重庆市巴蜀中学1718学年度高一下学期期末考试——数学
重庆市巴蜀中学2017—2018学年度下学期期末考试高一数学文试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若向量，，满足，则实数（ ）A ．B ．C ．D ．2.已知为等差数列中的前项和，，，则数列的公差（ ）A ．B ．C ．D ．3.中，分别是角所对应的边，，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．4.已知实数满足且，下列选项中不一定成立的是（ ）A ．B ． C. D ．5.已知函数在处取得极值，则实数（ ）A ．B ． C. D ．6.下列说法正确的是（ ）A ．若与共线，则或者B ．若，则C.若中，点满足，则点为中点D ．若，为单位向量，则7.若是整数，则称点为整点，对于实数，约束条件2300x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域内整点个数为（）个A ．B ． C. D ．8.已知各项均为正的等比数列中，与的等比中项为，则的最小值是（ ）A ．B ． C. D ．9.若直线（，）平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则的最小值为（ ）A ．B ． C. D ．10.在中，若，则是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形 C.等边三角形 D ．等腰直角三角形11.数列中，，（），则13241012a a a a a a ++=L （ ）A ．B ． C. D ．12.已知有且仅有两个零点，那么实数（ ）A ．B ． C. D ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若满足约束条件()103030x y f x x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则的最小值为 ．14.圆与圆相外切，则半径的值为 ．15.是正三角形，，点为的重心，点满足，则 ．16.已知圆22:430M x y y +-+=，直线，如果圆上总存在点，它关于直线的对称点在轴上，则的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数()[]2144,3,23f x x x x =-+∈- （1）求函数在处切线方程；（2）求函数的最大值和最小值．18. 已知中，分别是角所对应的边，若，且的面积为2，（1）求角；（2）若，求的值．19. 已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且．（1）求直线的方程；（2）求圆的方程．20. 已知正项等比数列的前项和满足：213,()42n n S S n N *+=+∈ （1）求数列的首项和公比；（2）若21log ,()n n n b a a n N *+=+∈，求数列的前项和．21. 已知圆22:(4)(1)4C x y -+-=,直线:2(31)y 20l mx m -++=（1）若直线与圆相交于两点，弦长等于，求的值；（2）已知点，点为圆心，若在直线上存在定点（异于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标及改常数．22.已知函数（1）若，求函数的单调性；（2）若存在，使恒有，求实数的取值范围．试卷答案一、选择题1-5:BBBCA 6-10: CCCAA 11、12：DD二、填空题13. 14. 15.16.⎣ 三、解答题17.解：（1），斜率，切点．所以切线为18. 解（1）由及正弦定理得： sin sin cos sin sin A B C C B =+，即sin()sin cos sin sin B C B C C B +=+ 得sin cos sin sin C B C B =，又，所以，因为，所以．（2）由1s i n 22ABC S ac B ∆==，得，又22222cos (a c)217b a c ac B ac =+-=+-=-19.解：（1）直线的斜率，中点坐标为，直线的方程为 ，即； （2）设圆心，则由点在直线上得：①，又直径，所以，所以②由①②解得：或所以圆心或圆的方程为22(3)(6)40x y ++-=或22(5)(2)40x y -++=．20.由题有314213421342S S S S ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，两式相减得：，则 由题意，有又，可知12311342a a a a ++=+，有111113(1)2442a a ++=+，所以， 由（1），，所以，采用分组求和： 12211()(1)111212()1222212n n n n n T n n ----⨯=⨯+=----． 21.解（1）或；（2）由题知，直线的方程为，假设存在定点满足题意， 则设，，得222|PM ||PN |(0)λλ=>，且所以22222224(1)(5)4(1)()y y y y t λλλ--+-=--+- 整理得：222[(22)8]y (3)280t t λλ-+++-= 因为，上式对于任意恒成立，所以且解得，所以，（舍去，与重合），，综上可知，在直线上寻在定点，使得为常数．22.（1）易得：，若当时有，则在单调递减，在单调递增；（2）令()22()21x g x f x x e x ax =+-=+--，且， ，，在单调递增，若，即，，，此时在单调递减，当，，不成立．若，即，在单调递增，则，，所以在单调递增，所以在单调递增所以，成立，故．。
重庆市巴蜀中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学(文)试题(解析版)
重庆市巴蜀中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若向量，，满足，则实数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由，可得，从而可得结果.详解：，，，，解得，故选B.点睛：本题考查向量垂直的坐标表示，属于简单题.利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.2. 已知为等差数列中的前项和，，，则数列的公差（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由，可得,解方程组即可的结果.详解：由等差数列中的前项和，，，得，解得，故选B.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.3. 中，分别是角所对应的边，，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：直接利用正弦定理求解即可.详解：，，，由正弦定理可得，，故选B,点睛：本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于简单题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.4. 已知实数满足且，下列选项中不一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以．对于A，因为，所以；对于B，因为，所以，又，所以；对于D，因为，所以，又，所以；对于C，因为且，所以或，因此与的大小不能确定，即不一定成立．故选C．5. 已知函数在处取得极值，则实数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：求出，利用可得结果.详解：由题意知函数的定义域为，由可得，函数在处取得极值，，，经检验时函数在处取得极大值，故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于简单题.已知函数的极值求参数的一般步骤是：（1）列方程求参数；（2）检验方程的解的两边导函数符号是否相反.6. 下列说法正确的是（）A. 若与共线，则或者B. 若，则C. 若中，点满足，则点为中点D. 若，为单位向量，则【答案】C【解析】分析：由与共线可得，错误；由与可以同垂直于可得错误；由向量加法法则可得正确；由单位向量方向不确定得错误.详解：由与共线得，故“若与共线，则或者”不正确，错误；由与可以同垂直于可得“若，则”不正确，错误；由平面向量加法法则可得“若中，点满足，则点为中点”正确，正确.由单位向量的方向不确定得“若，为单位向量，则”不正确，错误，故选C.点睛：本题主要考查平面向量的基本概念与基本运算，意在考查学生对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.7. 若是整数，则称点为整点，对于实数，约束条件所表示的平面区域内整点个数为（）个A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：画出可行域，根据可行域列举出整点，从而可得结果.详解：画出所表示的可行域，如图中的，由图可知，在可行域内的整点有共有个，故选C.点睛：本题考查线性规划问题，以及新定义问题，属于中档题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，使问题得以解决.8. 已知各项均为正的等比数列中，与的等比中项为，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用等比数列的性质，结合基本不等式可得结果.详解：等比数列与的等比中项为，，等比数列各项均为正数，，当且仅当时，取等号，的最小值是，故选C.点睛：本题主要考查等比数列的性质的应用，属于简单题.等比数列最主要的性质是下标性质，解答比数列问题要注意应用等比数列的性质：若则.9. 若直线（，）平分圆的周长，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用直线始终平分圆的周长，可得圆的圆心在直线上，再利用“”的代换，结合基本不等式，即可求出最小值.详解：因为利用直线始终平分圆的周长，所以，圆的圆心在直线上，，，，当且仅当时，等号成立，即的最小值为，故选A.点睛：本题主要考查圆的方程与性质，以及利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.10. 在中，若，则是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】A【解析】由得，则，即，所以，则，即，又是的内角，所以，则，即，所以是等腰三角形。
重庆市巴蜀中学2017_2018学年高一数学下学期期末考试试题文
A． 2 3
4.已知实数 a , b, c 满足 c b a 且 ac 0 ，下列选项中不一定成立的是（ A． ab ac B． c (b a) 0 C. cb ab
2 2
D． ac (a c) 0 ）
5.已知函数 f x 2ln x ax 在 x 1 处取得极值，则实数 a （ A． 2 B． 2 ） C. 0 D． 1
r
r
r
r
）
2.已知 S n 为等差数列 an 中的前 n 项和，a3 3 ，S 4 10 ， 则数列 an 的公差 d （ A．
1 2
B． 1
C． 2
D． 3
3. V ABC 中，a , b, c 分别是角 A, B , C 所对应的边，B 60 ，b 4 3 ， A 30 ，则 a （ ） B． 4 C． 6 D． 4 3 ）
6.下列说法正确的是（
A．若 a 与 b 共线，则 a b 或者 a b B．若 a b a c ，则 b c
r
r
r r
r
r
r r
r r
r r uuu r u r uuu r uuu r
C.若 V ABC 中，点 P 满足 2 AP AB AC ，则点 P 为 BC 中点 D．若 e1 ， e2 为单位向量，则 e1 e2
A ，则 V ABC 是（ 2
C.等边三角形
1 2
D． 3 4 2 ） D．等腰直角三角形 ）
11.数列 an 中， a1 2 ， an 2an 1 （ n N ） ，则 a1a3 a2 a4 L a10 a12 （
4 11 16 1 C. (4 1) (1 ( )11 ) 3 3 4 1 12.已知 f x a ( x 2 x ) 有且仅有两个零点，那么实数 a （ x 4 2 3 27 A． B． C. D． 27 3 2 4
2017-2018年重庆市巴蜀中学高一(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年重庆市巴蜀中学高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y＝0，则圆C的圆心坐标为（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（﹣1，﹣2）2．（5分）已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＜b2B．＜C．＞1D．a3＜b33．（5分）下列四个方程表示对应的四条直线，其中倾斜角为的直线是（）A．x＝1B．y＝C．x+y＝0D．x﹣y＝04．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9B．C．3D．5．（5分）在等差数列{a n}中，S n表示{a n}的前n项和，若a3+a6＝3，则S8的值为（）A．3B．8C．12D．246．（5分）已知向量＝（2，1），＝（﹣3，4），则在方向上的投影是（）A．﹣B．C．﹣D．7．（5分）在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，且c2＝a2+b2+ab，则角C 的大小为（）A．B．C．D．8．（5分）已知向量，，则“|•|＝||•||”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）若x，y满足条件，当且仅当x＝5，y＝0时，目标函数z＝ax+y取得最小值或最大值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞）B．（﹣∞，）C．（，1）D．（﹣∞，）∪（1，+∞）10．（5分）在△ABC中，已知a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，且a，b，c成等比数列，a+c＝3，cos B＝，则△ABC外接圆的直径为（）A．B．C．D．11．（5分）设定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）满足xf′（x）＞1，则（）A．f（2）﹣f（1）＞ln2B．f（2）﹣f（1）＜ln2C．f（2）﹣f（1）＞1D．f（2）﹣f（1）＜112．（5分）已知M，N是圆O：x2+y2＝4上两点，点P（1，2），且＝0，则||的最小值为（）A．B．﹣C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）等比数列{a n}中，S n为其前n项和，若S n＝2n+a，则实数a的值为．14．（5分）若实数x，y满足，则2x+y的最大值为．15．（5分）函数f（x）＝+（0＜x＜3）的最小值为．16．（5分）已知函数f（x）＝x2+2（k﹣1）x+（k+5）•lnx，若f（x）在区间（0，3）上不是单调函数，则k的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）＝x2（x﹣1）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值和最小值．18．（12分）已知圆C的圆心为（1，1），直线x+y﹣4＝0与圆C相切．（1）求圆C的标准方程；（2）若直线l过点（2，3），且被圆C所截得弦长为2，求直线l的方程．19．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（a﹣c cos B）＝b sin C．（1）求角C的大小；（2）S是△ABC的面积，若S＝，求c的最小值．20．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，2a n+1+a n+1a n﹣a n＝0．（1）求证：数列{+1}是等比数列；（2）设b n＝2n•a n a n+1，求数列{b n}的前n项和S n．21．（12分）已知圆C过点A（3，1），B（5，3），圆心在直线y＝x上．（1）求圆C的方程；（2）过圆O1：x2+（y+1）2＝1上任一点P作圆C的两条切线，切点分别为Q，T，求四边形PQCT面积的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝﹣log a x，（a＞0且a≠1）（1）当a＝e，求证：f（x）＞0；（2）讨论f（x）的零点个数．2017-2018学年重庆市巴蜀中学高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y＝0，则圆C的圆心坐标为（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（﹣1，﹣2）【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y＝0 即（x+1）2+（y﹣2）2＝5，故圆心为（﹣1，2），故选：B．2．（5分）已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＜b2B．＜C．＞1D．a3＜b3【解答】解：a，b为非零实数，且a＜b，a2＜b2不一定成立，比如a＝﹣2，b＝﹣1；＜不一定成立，比如a＝﹣2，b＝1；＞1不一定成立，比如a＝﹣2，b＝1；由函数y＝x3在R上递增，可得a3＜b3成立．故选：D．3．（5分）下列四个方程表示对应的四条直线，其中倾斜角为的直线是（）A．x＝1B．y＝C．x+y＝0D．x﹣y＝0【解答】解：直线x＝1的倾斜角为；直线y＝的倾斜角为0；直线x+y＝0的斜率为﹣1，倾斜角为；直线x﹣y＝0的斜率为1，倾斜角为．∴倾斜角为的直线是x﹣y＝0．故选：D．4．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9B．C．3D．【解答】解：令f（a）＝（3﹣a）（a+6）＝﹣+，而且﹣6≤a≤3，由此可得当a＝﹣时，函数f（a）取得最大值为，故（﹣6≤a≤3）的最大值为＝，故选：B．5．（5分）在等差数列{a n}中，S n表示{a n}的前n项和，若a3+a6＝3，则S8的值为（）A．3B．8C．12D．24【解答】解：由等差数列{a n}的性质可得：a1+a8＝a3+a6＝3，则S8＝＝4×3＝12．故选：C．6．（5分）已知向量＝（2，1），＝（﹣3，4），则在方向上的投影是（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：∵向量＝（2，1），＝（﹣3，4），∴在方向上的投影为：＝＝﹣，故选：A．7．（5分）在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，且c2＝a2+b2+ab，则角C 的大小为（）A．B．C．D．【解答】解：由a2+b2+ab＝c2，得到a2+b2﹣c2＝﹣ab，则根据余弦定理得：cos C＝＝﹣＝﹣，又C∈（0，π），则角C的大小为．故选：D．8．（5分）已知向量，，则“|•|＝||•||”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：设＜＞＝θ，由|•|＝||•||，得＝，即|cosθ|＝1，∴∥一定成立，而∥时，向量，同向或反向，此时|•|＝||•||•|cosθ|＝||•||，∴“|•|＝||•||”是“∥”的充要条件．故选：C．9．（5分）若x，y满足条件，当且仅当x＝5，y＝0时，目标函数z＝ax+y取得最小值或最大值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞）B．（﹣∞，）C．（，1）D．（﹣∞，）∪（1，+∞）【解答】解：作出x，y满足条件表示的平面区域如图：由z＝ax+y得y＝﹣ax+z，∵z＝ax+y仅在（5，0）处取得最值，∴﹣a＞﹣，或﹣a＜﹣1，解得a＜或a＞1．故选：D．10．（5分）在△ABC中，已知a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，且a，b，c成等比数列，a+c＝3，cos B＝，则△ABC外接圆的直径为（）A．B．C．D．【解答】解：∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac．又a+c＝3，cos B＝，∴＝＝，可得：ac＝2，∴b＝．又sin B＝＝．则△ABC外接圆的直径2R＝＝＝．故选：C．11．（5分）设定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）满足xf′（x）＞1，则（）A．f（2）﹣f（1）＞ln2B．f（2）﹣f（1）＜ln2C．f（2）﹣f（1）＞1D．f（2）﹣f（1）＜1【解答】解：根据题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），即x＞0，则，故，即f（2）﹣f（1）＞ln2，故选：A．12．（5分）已知M，N是圆O：x2+y2＝4上两点，点P（1，2），且＝0，则||的最小值为（）A．B．﹣C．D．【解答】解：如图所示：设R（x，y）是线段MN的中点，则OR⊥MN，∵＝0，∴⊥，于是|PR|＝|MN|＝|RN|，在RT△ORN中，|ON|＝2，|OR|＝，|RN|＝|RP|＝，由勾股定理得：22＝x2+y2+（x﹣1）2+（y﹣2）2，整理得+（y﹣1）2＝，故R（x，y）的轨迹是以C（，1）为圆心，r＝为半径的圆，故|OR|max＝|OC|+r＝+＝+，故|MN|min＝2|NR|min＝2＝2＝＝﹣，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）等比数列{a n}中，S n为其前n项和，若S n＝2n+a，则实数a的值为﹣1．【解答】解：a1＝21+a＝2+a，a2＝S2﹣S1＝2，a3＝S3﹣S2＝4，∴（2+a）•4＝4，求得a＝﹣1故答案为﹣1．14．（5分）若实数x，y满足，则2x+y的最大值为5．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z＝2x+y，则y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象知在A处y＝﹣2x+z的截距最大，z最大，由，得，即A（2，1），代入z＝2x+y得z＝2×2+1＝5，故答案为：515．（5分）函数f（x）＝+（0＜x＜3）的最小值为．【解答】解：函数f（x）＝+（0＜x＜3），∴＞0，＞0．∴f（x）＝×+×＝+++＝（当且仅当x＝时，等号成立），∴函数f（x）＝+（0＜x＜3）的最小值为．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）＝x2+2（k﹣1）x+（k+5）•lnx，若f（x）在区间（0，3）上不是单调函数，则k的取值范围为（﹣5，﹣2）．【解答】解：函数f（x）＝x2+2（k﹣1）x+（k+5）•lnx（x＞0）的导数为f′（x）＝3x+2（k﹣1）+，由题意可得函数y＝f′（x）在（0，3）存在零点，可得k＝在x∈（0，3）有解，设t＝2x+1（1＜t＜7），可得x＝（t﹣1），即有g（t）＝，化为g（t）＝（10﹣3t﹣），由3t+在（1，3）递减，（3，7）递增，可得3t+∈[18，30），可得在x∈（0，3）的范围是（﹣5，﹣2]．由于k＝﹣2时，f′（x）＝3x﹣6+≥0，f（x）递增，则k的范围是（﹣5，﹣2）．故答案为：（﹣5，﹣2）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）＝x2（x﹣1）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）令f′（x）＝3x2﹣2x＞0，可得x＜0或x＞，令f′（x）＜0，解得：：0＜x＜，所以f（x）的递增区间为（﹣∞，0），（，+∞），递减区间为（0，）．（2）由（1）知：x＝0，分别是f（x）的极大值点和极小值点，所以f（x）极大值＝f（0）＝0，f（x）极小值＝f（）＝﹣，而f（﹣1）＝﹣2，f（2）＝4，所以f（x）最大值＝f（2）＝4，f（x）最小值＝f（﹣1）＝﹣2．18．（12分）已知圆C的圆心为（1，1），直线x+y﹣4＝0与圆C相切．（1）求圆C的标准方程；（2）若直线l过点（2，3），且被圆C所截得弦长为2，求直线l的方程．【解答】解：（1）圆心C（1，1）到直线x+y﹣4＝0的距离d＝＝．∵直线x+y﹣4＝0与圆C相切，∴r＝d＝．∴圆的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．（3）①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程：y﹣3＝k（x﹣2），即：kx﹣y+3﹣2k＝0，d＝，又d2+1＝2，∴d＝1．解得：k＝．∴直线l的方程为：3x﹣4y+6＝0．②当l的斜率不存在时，x＝2，代入圆的方程可得：（y﹣1）2＝1，解得y＝1±1，可得弦长＝2，满足条件．故l的方程为：3x﹣4y+6＝0或x＝2．19．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（a﹣c cos B）＝b sin C．（1）求角C的大小；（2）S是△ABC的面积，若S＝，求c的最小值．【解答】解：（1）∵（a﹣c cos B）＝b sin C，可得[sin（B+C）﹣sin C cos B]＝sin B sin C，∴sin B cos C＝sin B sin C，而∵在△ABC中，sin B≠0，∴tan C＝，可得C＝60°．（2）∵S＝ab sin60°＝，可得ab＝4，∴由余弦定理有：c2＝a2+b2﹣2ab cos60°≥2ab﹣ab＝ab＝4．当a＝b＝2时取“＝”，∴当a＝b＝2时，c的最小值为2．20．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，2a n+1+a n+1a n﹣a n＝0．（1）求证：数列{+1}是等比数列；（2）设b n＝2n•a n a n+1，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）证明：a1＝1，2a n+1+a n+1a n﹣a n＝0，两边同除以a n a n+1得：+1﹣＝0，可得+1＝2（＝1），且+1＝2，所以{+1}是首项为2、公比为的等比数列；（2）由（1）得+1＝2n，即有a n＝，则b n＝2n•a n a n+1＝＝﹣，所以数列{b n}的前n项和S n＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．21．（12分）已知圆C过点A（3，1），B（5，3），圆心在直线y＝x上．（1）求圆C的方程；（2）过圆O1：x2+（y+1）2＝1上任一点P作圆C的两条切线，切点分别为Q，T，求四边形PQCT面积的取值范围．【解答】解：（1）设圆心C（a，a），半径为r，则，解得．∴圆C的方程为：（x﹣3）2+（y﹣3）2＝4；（2）设PQ的长为x，则，而x＝．由几何关系有：|CO1|﹣1≤|PC|≤|CO1|+1．而|CO1|＝5，可得4≤PC≤6，则，∴S∈[]．22．（12分）已知函数f（x）＝﹣log a x，（a＞0且a≠1）（1）当a＝e，求证：f（x）＞0；（2）讨论f（x）的零点个数．【解答】（1）证明：当a＝e时，f（x）＝﹣lnx，f′（x）＝（x＞0），令f′（x）＝0，得x＝4．∴f（x）在（0，4）上单调递减，在（4，+∞）单调递增，∴f（x）min＝f（4）＝2﹣ln2＞0．∴f（x）＞0；（2）解：f（x）＝0⇔⇔⇔．令y＝，y′＝＝．由y′＝0，可得x＝e2，∴当x∈（0，e2）时，y′＞0，当x∈（e2，+∞）时，y′＜0，作出函数y＝的图象如图：由图可知，当lna＜0，即0＜a＜1时，f（x）有1个零点；当0＜lna＜，即1＜a＜时，f（x）有2个零点；当a＝时，f（x）有1个零点；当a＞时，f（x）无零点．。
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2017-2018学年重庆市巴蜀中学高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若向量＝（2，k），＝（﹣1，2），满足⊥，则实数k＝（）A．﹣1B．1C．4D．02．（5分）已知S n为等差数列{a n}中的前n项和，a3＝3，S4＝10，则数列{a n}的公差d＝（）A．B．1C．2D．33．（5分）△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对应的边，B＝60°，，A＝30°，则a＝（）A．2B．4C．6D．4．（5分）已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＞0 5．（5分）已知函数f（x）＝2lnx+ax在x＝1处取得极值，则实数a＝（）A．﹣2B．2C．0D．16．（5分）下列说法正确的是（）A．若与共线，则＝或者＝﹣B．若•＝•，则＝C．若△ABC中，点P满足2＝+，则点P为BC中点D．若，为单位向量，则＝7．（5分）若a，b是整数，则称点（a，b）为整点，对于实数x，y，约束条件所表示的平面区域内整点个数为（）个A．4B．5C．6D．78．（5分）已知各项均为正的等比数列{a n}中，a2与a8的等比中项为，则a42+a62的最小值是（）A．1B．2C．4D．89．（5分）若直线ax﹣by+1＝0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0的周长，则最小值为（）A．B．C．D．10．（5分）在△ABC中，若sin B sin C＝cos2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形11．（5分）数列{a n}中，a1＝2，a n＝2a n+1（n∈N*），则a1a3+a2a4+…+a10a12＝（）A．（410﹣1）B．（411﹣1）C．（1﹣（）11）D．（1﹣（）10）12．（5分）已知f（x）＝a（x2﹣x）+有且仅有两个零点，那么实数a＝（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最小值为．14．（5分）圆x2+y2＝r2（r＞0）与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1相外切，则半径r的值为．15．（5分）△ABC是正三角形，AB＝2，点G为△ABC的重心，点E满足，则＝．16．（5分）已知⊙M：x2+y2﹣4y+3＝0，直线l：kx﹣y＝0（k＞0），如果⊙M上总存在点A，它关于直线l的对称点在x轴上，则k的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）＝x2﹣4x+4，x∈[﹣3，2]．（1）求函数f（x）在x＝0处切线方程；（2）求函数f（x）的最大值和最小值．18．（12分）已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对应的边，若a＝b cos C+c sin B，且△ABC的面积为2，（1）求角B；（2）若a+c＝5，求b2的值．19．（12分）已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4．（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程．20．（12分）已知正项等比数列{a n}的前n项和S n满足：S n+2＝S n+，（n∈N*）（1）求数列{a n}的首项a1和公比q；（2）若b n＝a n+log2a n+1，（n∈N*），求数列{b n}的前f（x）项和T n．21．（12分）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣1）2＝4，直线l：2mx﹣（3m+1）y+2＝0．（1）若直线l与圆C相交于两点A，B，弦长AB等于2，求m的值；（2）已知点M（4，5），点C为圆心，若在直线MC上存在定点N（异于点M），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax+1．（1）若a＝1，求函数f（x）单调性；（2）若存在b＞0，使得x∈（0，b）恒有f（x）≥2﹣x2，求实数a的取值范围．2017-2018学年重庆市巴蜀中学高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若向量＝（2，k），＝（﹣1，2），满足⊥，则实数k＝（）A．﹣1B．1C．4D．0【解答】解：∵向量＝（2，k），＝（﹣1，2），满足⊥，∴＝﹣2+2k＝0，解得实数k＝1．故选：B．2．（5分）已知S n为等差数列{a n}中的前n项和，a3＝3，S4＝10，则数列{a n}的公差d＝（）A．B．1C．2D．3【解答】解：∵a3＝3，S4＝10，∴a1+2d＝3，4a1+d＝10，联立解得d＝1．故选：B．3．（5分）△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对应的边，B＝60°，，A＝30°，则a＝（）A．2B．4C．6D．【解答】解：∵B＝60°，，A＝30°，∴由正弦定理，可得：a＝＝＝4．故选：B．4．（5分）已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＞0【解答】解：∵a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，∴c＜0＜a由此知A选项ab＞ac正确，由于c（b﹣a）＞0知B选项不正确，由于b2可能为0，故C选项不正确，由于ac＜0，a﹣c＞0，故ac（a﹣c）＜0，所以D不正确故选：A．5．（5分）已知函数f（x）＝2lnx+ax在x＝1处取得极值，则实数a＝（）A．﹣2B．2C．0D．1【解答】解：f′（x）＝+a，若f（x）在x＝1处取极值，则f′（1）＝2+a＝0，解得：a＝﹣2，故f（x）＝2lnx﹣2x，f′（x）＝﹣2，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，x＝1是极大值点，符合题意，故选：A．6．（5分）下列说法正确的是（）A．若与共线，则＝或者＝﹣B．若•＝•，则＝C．若△ABC中，点P满足2＝+，则点P为BC中点D．若，为单位向量，则＝【解答】解：对于A，根据共线向量的定义显然不成立，对于B，令＝，显然不成立，对于C，根据向量的运算性质，成立，对于D，根据单位向量的定义，显然不成立，故选：C．7．（5分）若a，b是整数，则称点（a，b）为整点，对于实数x，y，约束条件所表示的平面区域内整点个数为（）个A．4B．5C．6D．7【解答】解：当x＝0时，不等式组等价为，得0≤y≤，此时y＝0，y＝1，当x＝1时，不等式组等价为，得0≤y≤1，此时y＝0，y＝1，当x＝2时，不等式组等价为，得0≤y≤，此时y＝0，当x＝3时，不等式组等价为，得y＝0，综上共有6个整数点，故选：C．8．（5分）已知各项均为正的等比数列{a n}中，a2与a8的等比中项为，则a42+a62的最小值是（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：等比数列{a n}中，a2与a8的等比中项为，∴a4a6＝a2a8＝2，则a42+a62≥2a4a6＝4，当且仅当a4＝a6＝时取等号．故选：C．9．（5分）若直线ax﹣by+1＝0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0的周长，则最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0配方可得：（x+1）2+（y﹣2）2＝4，可得圆心C（﹣1，2）．∵直线ax﹣by+1＝0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0的周长，∴﹣a﹣2b+1＝0，即a+2b＝1．∵a＞0，b＞0则＝（a+2b）＝3++≥3+2，当且仅当a＝b＝﹣1时取等号．∴最小值为3+2．故选：A．10．（5分）在△ABC中，若sin B sin C＝cos2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【解答】解：由题意，即sin B sin C＝1﹣cos C cos B，亦即cos（C﹣B）＝1，∵C，B∈（0，π），∴C＝B，故选：A．11．（5分）数列{a n}中，a1＝2，a n＝2a n+1（n∈N*），则a1a3+a2a4+…+a10a12＝（）A．（410﹣1）B．（411﹣1）C．（1﹣（）11）D．（1﹣（）10）【解答】解：由数列{a n}中，a1＝2，a n＝2a n+1（n∈N*），可得数列{a n}为等比数列，首项为2，公比为．∴a n＝＝22﹣n，a n a n+2＝22﹣n•22﹣（2+n）＝．则a1a3+a2a4+…+a10a12＝＝＝×．故选：D．12．（5分）已知f（x）＝a（x2﹣x）+有且仅有两个零点，那么实数a＝（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）＝a（x2﹣x）+有且仅有两个零点，即方程a（x2﹣x）＝﹣有且仅有两个实数根，也就是函数y＝a（x2﹣x）与y＝﹣的图象有两个交点，如图，当a＝0时，不合题意；当a＜0时，由函数y＝a（x2﹣x）的图象过原点，不合题意；∴a＞0，两函数y＝a（x2﹣x）与y＝﹣的图象在第二象限必有1个交点，则两函数y＝a（x2﹣x）与y＝﹣的图象在第四象限必相切．设切点为P（x0，y0），由y＝a（x2﹣x），得y′＝2ax﹣a，由y＝﹣，得y．∴函数y＝a（x2﹣x）在P点处的切线方程为y﹣＝（2ax0﹣a）（x﹣x0），即；函数y＝﹣在P点处的切线方程为，即y＝，则，解得：．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最小值为﹣5．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，4）．化目标函数z＝x﹣2y为y＝x﹣z，由图可知，当直线y＝x﹣z过B（3，4）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为：3﹣2×4＝﹣5．故答案为：﹣5．14．（5分）圆x2+y2＝r2（r＞0）与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1相外切，则半径r的值为4．【解答】解：圆x2+y2＝r2（r＞0）的圆心坐标（0，0），半径为r；圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心坐标（3，4），半径为1，∵两圆外切，∴两圆圆心距等于两圆半径之和，∴＝5＝1+r，∴r＝4，故答案为：4．15．（5分）△ABC是正三角形，AB＝2，点G为△ABC的重心，点E满足，则＝﹣．【解答】解：如图所示：，△ABC是正三角形，AB＝2，点G为△ABC的重心，点E满足，则A（1，），E（，0），C（2，0），G（1，），则＝（，﹣），＝（﹣1，），故＝﹣﹣1＝﹣，故答案为：﹣．16．（5分）已知⊙M：x2+y2﹣4y+3＝0，直线l：kx﹣y＝0（k＞0），如果⊙M上总存在点A，它关于直线l的对称点在x轴上，则k的取值范围是[]．【解答】解：化圆M：x2+y2﹣4y+3＝0为x2+（y﹣2）2＝1，可知圆M的圆心坐标为（0，2），半径为1，设圆心M关于直线y＝kx的对称点为M′（x′，y′），则，即．由|y′|＝||≤1，解得：．∴k的取值范围是[]．故答案为：[]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）＝x2﹣4x+4，x∈[﹣3，2]．（1）求函数f（x）在x＝0处切线方程；（2）求函数f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）＝x3﹣4x+4的导数为f′（x）＝x2﹣4，斜率k＝f′（0）＝﹣4，切点（0，4），所以切线为y＝﹣4x+4；（2）极大值极小值﹣所以函数最小值为﹣，最大值为．18．（12分）已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对应的边，若a＝b cos C+c sin B，且△ABC的面积为2，（1）求角B；（2）若a+c＝5，求b2的值．【解答】解：（1）∵a＝b cos C+c sin B，∴由正弦定理得：sin A＝sin B cos C+sin C sin B，即sin（B+C）＝sin B cos C+sin C sin B，∴得sin C cos B＝sin C sin B，又∵sin C≠0，∴tan B＝1，∵B∈（0，π），∴B＝．（2）∵由S△ABC＝ac sin B＝2，得ac＝4，∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝（a+c）2﹣2ac﹣ac＝17﹣8．19．（12分）已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4．（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程．【解答】解：（1）由题意知直线CD垂直平分线段AB，∵A（﹣1，0），B（3，4），∴AB的中点M（1，2），又，∴k CD＝﹣1，∴直线CD的方程为：y﹣2＝﹣1×（x﹣1），即x+y﹣3＝0；（2）由题意知线段CD为圆的直径，∴2r＝，得r＝2．设圆P的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝40，∵圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），∴，解得或．∴圆P的方程为（x+3）2+（y﹣6）2＝40或（x﹣5）2+（y+2）2＝40．20．（12分）已知正项等比数列{a n}的前n项和S n满足：S n+2＝S n+，（n∈N*）（1）求数列{a n}的首项a1和公比q；（2）若b n＝a n+log2a n+1，（n∈N*），求数列{b n}的前f（x）项和T n．【解答】解：（1）正项等比数列{a n}的前n项和S n满足：S n+2＝S n+，（n∈N*），令n＝1和2，得到：，两式相减得：，解得．由于q为正数，则q＝．又，可知，解得：a1＝1，（2）由（1）得：，所以b n＝a n+log2a n+1＝，利用分组求和得：，＝．21．（12分）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣1）2＝4，直线l：2mx﹣（3m+1）y+2＝0．（1）若直线l与圆C相交于两点A，B，弦长AB等于2，求m的值；（2）已知点M（4，5），点C为圆心，若在直线MC上存在定点N（异于点M），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．【解答】解：（1）圆心C（4，1）到直线l的距离d＝＝．∵d2+＝22，解得d＝1．∴＝1．平方化为：m（3m+1）＝0，解得m＝0或m＝﹣．（2）由题知，直线MC的方程为：x＝4，假设存在定点N（4，t）满足题意，设P（x，y），＝λ，得|PM|2＝λ2•|PN|2（λ＞0），且（x﹣4）2＝4﹣（y﹣1）2，∴4﹣（y﹣1）2+（y﹣5）2＝4λ2﹣λ2（y﹣1）2+λ2（y﹣t）2，整理得：[（2﹣2t）λ2+8]y+（3+t2）λ2﹣28＝0，由于上式对于任意y∈[﹣1，3]恒成立，∴（2﹣2t）λ2+8＝0，且（3+t2）λ2﹣28＝0，解得：t2﹣7t+10＝0，∴t＝2，或t＝5（舍去，与M重合），λ2＝4，λ＞0，解得λ＝2．综上可知，在直线MC上存在定点N（4，2），使得为常数2．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax+1．（1）若a＝1，求函数f（x）单调性；（2）若存在b＞0，使得x∈（0，b）恒有f（x）≥2﹣x2，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝e x﹣x+1的导数为f′（x）＝e x﹣1，当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）递减，则f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增；（2）存在b＞0，使得x∈（0，b）恒有f（x）≥2﹣x2，可得a≤在x∈（0，b）恒成立，由y＝e x﹣x﹣1的导数为y′＝e x﹣1，可得函数y在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，即为e x﹣x﹣1≥0，即有e x﹣1≥x，则＞＝x+1＞1，可得a≤1，即a的取值范围是（﹣∞，1]．。
2018-2019学年重庆市巴蜀中学高一(上)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年重庆市巴蜀中学高一（上）期末数学试卷一、选择题1．sin（﹣690°）的值为（）A．B．C．D．2．设集合A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{x||x|＜1}，则A∪B＝（）A．（1，2]B．（﹣1，1）C．（﹣1，2]D．[0，1）3．若函数f（x）＝，则f（f（4））＝（）A．1B．2C．3D．44．下列函数是（0，+∞）上的增函数的是（）A．y＝ln（x﹣1）B．C．D．5．已知a＝sin29°，b＝cos52°，c＝tan50°，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a 6．已知tan（α﹣）＝，tan（+β）＝，则tan（α+β）＝（）A．B．C．D．7．函数y＝2sin x﹣x3+1的图象（）A．关于原点对称B．关于y轴对称C．关于（0，1）对称D．关于（1，0）对称8．为了得到函数的图象，可以将函数y＝cos3x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度9．已知，则cos2α的值为（）A．0B．C．D．﹣10．已知函数f（x）是R上的奇函数，且对任意x∈R有f（x+1）是偶函数，且f（﹣1）＝1，则f（2018）+f（2019）＝（）A．0B．1C．﹣1D．211．函数的图象与与函数y＝2sinπx+1（﹣2≤x≤4）的图象的所有的交点的横坐标与纵坐标之和等于（）A．8B．12C．16D．2012．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0）的一条对称轴为x＝，一个对称中心为（，0），且在（，）上单调，则ω的最大值（）A．9B．12C．16D．20二、填空题13．tan30°＝．14．函数f（x）＝sin x sin（x﹣）的最小值为．15．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其部分图象如图所示，则φ＝．16．若函数恰有两个零点，则实数a的取值范围为．三、解答题17．已知（1）求的值；（2）求的值．18．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣a|（1）当a＝2时，解不等式f（x）≤6；（2）当a＜2时，若f（x）的最小值为2，求a的值．19．已知函数f（x）＝2cos x（sin x+cos x）﹣1．（1）求f（x）的最小值；（2）求f（x）在的值域．20．已知函数为R上的偶函数（1）求实数k的值；（2）若方程f（2x）＝log2a在x∈[0，1]上只有一个实根，求实数a的取值范围．21．已知（1）求g（x）＝f（2x﹣）的递增区间；（2）若函数在的最大值为2，求实数a的值．22．已知函数f（x）＝ax2+4x+2．（1）若f（x）在区间[﹣1，2]上单调递增，求实数a的取值范围；（2）当a＜0时，|f（x）|≤4对x∈[0，m]（m＞0）恒成立，求m的最大值．2018-2019学年重庆市巴蜀中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．sin（﹣690°）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：sin（﹣690°）＝sin（﹣720°+30°）＝sin30°＝，故选：C．2．设集合A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{x||x|＜1}，则A∪B＝（）A．（1，2]B．（﹣1，1）C．（﹣1，2]D．[0，1）【解答】解：∵A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∪B＝（﹣1，2]．故选：C．3．若函数f（x）＝，则f（f（4））＝（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，则f（4）＝＝﹣log24＝﹣2，则f（f（4））＝f（﹣2）＝（﹣2）2﹣1＝3；故选：C．4．下列函数是（0，+∞）上的增函数的是（）A．y＝ln（x﹣1）B．C．D．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝ln（x﹣1），其定义域为（1，+∞），不符合题意；对于B，y＝，为幂函数，是（0，+∞）上的增函数，符合题意；对于C，y＝（）x，为指数函数，是（0，+∞）上的减函数，不符合题意；对于D，y＝x+，在区间（0，）上为减函数，不符合题意；故选：B．5．已知a＝sin29°，b＝cos52°，c＝tan50°，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a【解答】解：∵b＝cos52°＝sin38°＞sin29°＝a，∴1＞b＞a＞0，又∵c＝tan50°＞tan45°＝1，∴a、b、c的大小关系为c＞b＞a．故选：D．6．已知tan（α﹣）＝，tan（+β）＝，则tan（α+β）＝（）A．B．C．D．【解答】解：tan（α﹣）＝，tan（+β）＝，则tan（α+β）＝tan（α﹣+β+）＝＝＝．故选：A．7．函数y＝2sin x﹣x3+1的图象（）A．关于原点对称B．关于y轴对称C．关于（0，1）对称D．关于（1，0）对称【解答】解：根据题意，设f（x）＝2sin x﹣x3+1，则f（﹣x）＝2sin（﹣x）﹣（﹣x）3+1＝﹣（2sin x﹣x3）+1，则有f（x）+f（﹣x）＝2，则函数y＝2sin x﹣x3+1的图象点（0，1）对称；故选：C．8．为了得到函数的图象，可以将函数y＝cos3x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：得到函数的图象，只需将y＝cos3x的图象向右平移个单位，即可得到．由于．故选：A．9．已知，则cos2α的值为（）A．0B．C．D．﹣【解答】解：∵，∴sin2α＝（cosα+sinα），两边平方可得：sin22α＝（1+sin2α），即2sin22α﹣sin2α﹣1＝0，∵2α∈（0，π），sin2α＞0，∴解得sin2α＝1，可得cos2α＝0．故选：A．10．已知函数f（x）是R上的奇函数，且对任意x∈R有f（x+1）是偶函数，且f（﹣1）＝1，则f（2018）+f（2019）＝（）A．0B．1C．﹣1D．2【解答】解：根据题意，f（x+1）是偶函数，则f（﹣x+1）＝f（x+1），变形可得f（x+2）＝f（﹣x），又由f（x）为奇函数，则f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），变形可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），则f（x）是周期为4的周期函数，又由f（x）是R上的奇函数，则f（0）＝0，则有f（2）＝f（0+2）＝﹣f（0）＝0，则f（2018）＝f（2+504×4）＝f（2）＝0，f（2019）＝f（﹣1+505×4）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1；故f（2018）+f（2019）＝﹣1；故选：C．11．函数的图象与与函数y＝2sinπx+1（﹣2≤x≤4）的图象的所有的交点的横坐标与纵坐标之和等于（）A．8B．12C．16D．20【解答】解：根据题意，函数＝1+，（﹣2≤x≤4），其图象关于点（1，1）对称，函数y＝2sinπx+1，（﹣2≤x≤4）其图象也关于点（1，1）对称，作出两个函数草图分析可得两个函数在（﹣2，4）上有8个交点，设8个交点从左到右依次为A、B、C、D、E、F、G、H，A与H关于点（1，1）对称，则x A+x H＝2，y A+y H＝2，B与G关于点（1，1）对称，则x B+x G＝2，y B+y G＝2，C与F关于点（1，1）对称，则x C+x F＝2，y C+y F＝2，D与E关于点（1，1）对称，则x D+x E＝2，y D+y E＝2，故两个图象的所有的交点的横坐标与纵坐标之和等于16；故选：C．12．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0）的一条对称轴为x＝，一个对称中心为（，0），且在（，）上单调，则ω的最大值（）A．9B．12C．16D．20【解答】解：依题意，，T是函数f（x）的最小正周期，∴，∴，∴ω＝4k+1，k∈Z，又函数f（x）在上单调，∴，∴ω≤10，∴ω的最大值是9．故选：A．二、填空题13．tan30°＝0．【解答】解：原式＝+＝﹣log33＝﹣＝0．故答案为：0．14．函数f（x）＝sin x sin（x﹣）的最小值为﹣．【解答】解：f（x）＝sin x sin（x﹣）＝﹣sin x cos x＝﹣sin2x≥﹣，故答案为：．15．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其部分图象如图所示，则φ＝．【解答】解：根据题意，由图象可知：A＝2，T＝﹣（﹣）＝2π，所以T＝4π＝，可得ω＝，又因为（，﹣2）在图象上，所以﹣2＝2sin（×+φ），可得sin（+φ）＝﹣1，所以+φ＝2kπ+，k∈Z，解得φ＝2kπ+，k∈Z，因为0＜φ＜π，所以φ＝，故答案为：．16．若函数恰有两个零点，则实数a的取值范围为（，2）．【解答】解：因为函数；当2x﹣a＝0时⇒x＝log2a．当x2﹣4ax+3a2＝0时⇒（x﹣a）（x﹣3a）＝0⇒x＝a或者x＝3a．显然a≤0整个函数无零点，舍去；当a＞0时．显然零点不可能是log2a和a；若两个零点是log2a和3a，需满足⇒＜a≤1；若两个零点是a和3a，需满足：⇒1＜a＜2．综上可得：实数a的取值范围为（，2）．故答案为：（，2）．三、解答题17．已知（1）求的值；（2）求的值．【解答】解：（1）已知所以tanα＝﹣2．所以＝＝．（2）＝＝＝＝＝．18．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣a|（1）当a＝2时，解不等式f（x）≤6；（2）当a＜2时，若f（x）的最小值为2，求a的值．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣2|＝3|x﹣1|．∵f（x）≤6，∴3|x﹣1|≤6，∴﹣1≤x≤3，∴不等式的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）当a＜2时，f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣a|＝，∴f（x）在（﹣∞，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴．∵f（x）的最小值为2，∴，∴a＝﹣2．19．已知函数f（x）＝2cos x（sin x+cos x）﹣1．（1）求f（x）的最小值；（2）求f（x）在的值域．【解答】解：（1）函数f（x）＝2cos x（sin x+cos x）﹣1＝sin2x+cos2x＝，当sin（2x+）＝﹣1时，函数的最小值为﹣2．（2）由于，所以，所以，则函数f（x）．20．已知函数为R上的偶函数（1）求实数k的值；（2）若方程f（2x）＝log2a在x∈[0，1]上只有一个实根，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，函数为R上的偶函数，则有f（﹣x）＝f（x），即log2（2x+1）+kx＝log2（2﹣x+1）+k（﹣x），变形可得：2kx＝log2（2﹣x+1）﹣log2（2x+1）＝log2（）＝﹣x，则有k＝﹣；（2）根据题意，方程f（2x）＝log2a，即log2（22x+1）﹣x＝log2a，方程f（2x）＝log2a在x∈[0，1]上只有一个实根，即log2（22x+1）﹣x＝log2a在x∈[0，1]上只有一个实根，变形可得方程log2（）＝log2a，即＝a在区间[0，1]上只有一个实根，设g（x）＝，x∈[0，1]，设t＝2x，则1≤t≤2，y＝t+，又由t＝2x在[0，1]上为增函数，y＝t+在[1，2]上为增函数，则g（x）＝在区间[0，1]上为增函数，则有2≤g（x）≤，若＝a在区间[0，1]上只有一个实根，必有2≤a≤，即a的取值范围为[2，]．21．已知（1）求g（x）＝f（2x﹣）的递增区间；（2）若函数在的最大值为2，求实数a的值．【解答】解：，（1），令，解得，∴函数g（x）的递增区间为；（2）＝2sin2x+2a sin x﹣2a cos x﹣a＝﹣2（sin x﹣cos x）2+2a（sin x﹣cos x）﹣a+2，令，则，令，由题意知，m（t）max＝2，而二次函数m（t）一定是在或t＝1或处取得最大值，①若在处取得最大值2，则，解得，此时对称轴为，不符合；②若在t＝1处取得最大值2，则﹣2+2a+1＝2，解得，此时对称轴为，不符合；③若在处取得最大值2，则，解得，经验证此时符合．故实数a的值为．22．已知函数f（x）＝ax2+4x+2．（1）若f（x）在区间[﹣1，2]上单调递增，求实数a的取值范围；（2）当a＜0时，|f（x）|≤4对x∈[0，m]（m＞0）恒成立，求m的最大值．【解答】解：（1）当a＝0时，显然成立；当a≠0，f（x）＝ax2+4x+2的对称轴为x＝﹣，当a＞0时，﹣≤﹣1，即0＜a≤2，当a＜0时，﹣≥2，即﹣1≤a＜0，综上，故a∈[﹣1，2]，（2）a＜0，f（x）＝a（x+）2+2﹣，对称轴为x＝﹣＞0，当2﹣时，即﹣2＜a＜0，|f（x）|≤4对x∈[0，m]（m＞0）恒成立，m为am2+4m+2＝4的较小的根，即m＝＝＜1，当2﹣≤4时，即a≤﹣2，|f（x）|≤4对x∈[0，m]（m＞0）恒成立，m的最大值，应为am2+4m+2＝﹣4的较大的根，即m＝＝≤3，综上，故m＝3．。
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重庆巴蜀中学高2018级高一下期末试题
数学（理科）
一、选择题（共12×5＝60分）
1
、直线13x +
=的倾斜角为（ ） A 、
6π B 、3
π
C 、23π
D 、56π
2、圆2220x y x y +++=的半径是（ ）
A 、54 B
C 、3
4
D
3、直线l 1：m x -y ＝0与直线l 2：x -my+4＝0互相平行，则实数m 的值为（ ） A 、1 B 、-1 C 、0 D 、1±
4、函数2
5(3)(0)x y x x
--=
>的最大值为（ ） A 、2 B
、 C
D
、5、已知非零向量,a b 满足3
()()2
a b a b +⊥-，且2a b =，则向量a 与b 的夹角为（ ）
A 、4π
B 、3π
C 、2π
D 、23π
6、已知24
40(2)4x x y x y ⎧⎪
-+⎨⎪+-⎩
≤≥≤免责z ＝x-2y ＝0的取值范围是（ ）
A 、[]8,12-
B 、[]4,12-
C 、[]4,4-
D 、[]8,4- 7、△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且c 2-b 2＝a b ，C ＝3
π
，则
sin sin A
B
的值为（ ） A 、1
2
B 、1
C 、2
D 、3
8、已知123x x x >>，若不等式
122313
12m
x x x x x x +---≥恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A 、9 B 、7 C
、 D 、
9、递增的等差数列{}n a 满足：12312a a a ++=，12363a a a =，S n 是数列{}n a 的前n 项和，则
使S n ﹥2018的最小整数n 的值为（ ）
A 、80
B 、84
C 、87
D 、89
10、已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左顶点、上顶点、右焦点分别为A 、B 、F ，且90ABF ∠=︒，
则
b
a
的值为（ ） A
B
C
D
11、已知数列{}n a 满足：111,2()n n n a a a n N *+=-=∈，数列2log (1)
()1n n n
a b n N a *+=∈+，
12...n n T b b b =+++，则T 10的值为（ ） A 、
245128 B 、509256 C 、1003
512
D 、20131024 12、已知直线l 与椭圆22
221(0)y x a b a b
+=>>相切于直角坐标系的第一象限的点P （x 0，y 0），
且直线l 与x 、y 轴分别相交于点A 、B ，当△AOB （O 为坐标原点）的面积最小时， 1260F PF ∠=︒（F 1、F 2是椭圆的两个焦点），若此时12F PF ∠
的内角平分线长度为a m
， 则实数m 的值是（ ）
A 、52
B 、7
3
C
D
二、填空题（共20分） 13、已知0x y >>，则
x y 与11
x y ++中较大者是 。
14、△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，B ＝23
π
，sinA ：sinC ＝4：3，且△ABC
的面积为c ＝ 。
15、等边△ABC 的边长为2，且32,2AE AC BD BC ==，则BE AD ⋅＝ 。
16、已知远圆C 的圆心在直线x +y-2=0上，圆C 经过点（2，-2）且被x 轴截得的弦长为2，
则圆C 的标准方程为 。
三、解答题（共70分）
17、（10分）已知椭圆
22
1
93
x y
m m
+=
--
的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上。
（1）求实数m的取值范围；
（2）若m＝5，且
13
PF=，求点O到x轴的距离。
18、（12分）△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A为锐角，且
2
2 sin22
tan
A b
A c
=。
（1）求角C的大小；
（2）求sinA+sinB的取值范围。
19、（12分）已知圆的方程为222222410x y x my m m +--+-+=()m R ∈。
（1）当该圆的半径最长时，求m 的值；
（2）在满足（1）的条件下，若该圆的圆周上到直线l
：22430kx y k -+=的距离等于
1的点有且只有3个，求实数k 的值。
20、（12分）已知S n 是数列{}n a 的前n 项和，且112,32()n n a a S n N *+==-∈。
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设41
()log n n
b n N a *=∈，求证，12231...3()n n b b b b b b n N *++++<∈
21、（本小题满分12分）已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为2，且点（2）
在C 上。
（1）求C 的方程；
（2）过点P （2，1）的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且AB 的中点恰为P ，求直线l 的方
程。
足OA OB tOP +=（O 为坐标原点）。