上海复旦附中2017年自招真题数学试卷(含答案)

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2017年复旦附中自招题

1.已知a 、b 、c 是一个三角形的三边，则 a 4 • b 4 • c 4-2a 2b 2-2b 2c 2-2c 2a 2的值是（

）

A 恒正

B 垣负

C •可正可负

D •非负

解：选B

2 2

2.2

2 2

二(a -b -c) -4b c

2 2 2 2 2 2

-(a -b -c 2bc)(a b c - 2bc)

2 2 2 2 二

[a -(b-c) ][a -(b c)]

=(a b -c)(a - b c)(a b c)(a - b - c)

••• a 、b 、c 是一个三角形的三边，

ab-c0 , a-bc0 , a b c 0, a-b-c 0 ,

二(a b 「c)(a 「b c)(a b c)(a 「b -c) 0

2. 设m , n 是正整数，满足 m n mn ，给出以下四个结论：①

m , n 都不等于1 ；② m , n 都

不等于2 :③ m , n 都大于1 ；④m , n 至少有一个等于1，其中正确的结论是（

）

A .①

B .②

C .③

D .④

解：选D

由 m n mn 得 m -1 n -1 1

若 m , n 均大于 1，则 m-1_1, n-1_1, m-1 n-1 - 1，矛盾， .m , n 至少有一个等于1。 3.

已知关于x 的方程 2x x a 有一个根为1，则实数

a 的值为（

）

-1

5 A.- 2

解：选A

将x = 1代入，得 a a 1,

…1 - ■- 5

当时，“1不是原方程的根，舍

-1

5

4.4

4

a b c

-2a 2b 2 _2b 2c 2 _2c 2a

D .以上答案都不正确

两边平方，得 a 2 a 1=0,

解：选B

若x ， y ， z 均小于0，则x y 0，矛盾; 故至少有一个大于0。

5.

已知a ，b ，c 不全为无理数，则关于三个数 A •可能均为有理数

C •可能恰有一个为有理数 解：选D

a b ， b c ， c a ，下列说法错误的是（

）

B •可能均为无理数

D •可能恰有两个为有理数

若a,b,c 均为有理数， A 正确;

若 a = .. 2， b=.. 3， c = 0， B 正确; 若 a = 2， b = - 2， c=0， C 正确;

A . 1组

B . 2组

C . 3组

D . 4组

解：选A

由①得x-y =0或x-2y =0 , 由②得 x y -2=0且 2x — y -1=0,

”x = 1

•••只有丿 一组解。

』=1

2 2

7.为了得到函数 y =3x 的图像，可以将函数 y - -3x -6x • 1的图像（

）

A .先关于x 轴对称，再向右平移

B .先关于x 轴对称，再向右平移

C .先关于y 轴对称，再向右平移

D .先关于y 轴对称，再向右平移 1个单位，最后向上平移 4个单位

1个单位，最后向下平移 4个单位 1个单位，最后向上平移 4个单位 1个单位，最后向下平移 4个单位

解：选A

由于两个函数二次项系数为相反数，故先关于

x 轴对称，得到y = 3x 2 • 6x - 1 ,

即y=3（x+1f —4，再向右平移1个单位，最后向上平移 4个单位，得到y = 3x 2。

4. 已知a , b , c 是不完全相等的任意实数，若

则关于x , y , z 的值，下列说法正确的是（

A •都大于0

B •至少有一个大于0

x = a_2b c ， y = a b_2c ， z - -2a b c ，

)

C •都小于0

D •至多有一个大于0

6. 关于x ，

y 的方程组

y)(x-2y)=0 [(x+y_2)2

+(2x_y_1)2

的实数解有（ 二 0

i, a+ba-b Wb “，丄 g 口

8.若关于x

的方程卜-2亠3有四个实数解，则化简乔耳+芦+中冋的结果是（）

解：选C

画出y = |x—2—b和y = a的函数图像，

•.•有四个交点，0 a b，

a+b a-b a b

•••_ + _- + 一+ 上=4_4+4+4=2

a+b a 归

方法二：

•「| x - 2 - b = a ,

x — 2 — b — a 或x — 2 — b ——a ,

x—2 =a +b或x—2 = b—a ,

•原方程有四个实数解，

•a 0 , a b 0 , b-a 0,

•b 0,

•原式=1「1 • 1 • 1 = 2

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9.如果方程（x -1）（x -2x m^0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范

围是（）

A. 0乞m乞1

解：选C

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设x _2x・m=0的两根为x1, x2,

x1+ x2 >1

A •一2