多目标及离散变量优化方法

min F ( x) wi fi ( x)
i 1
l
wi——加权因子 (wi≥0，i=1,2,…，l ) 加权因子取值对计算结果的正确性影响较大。
第六章 第二节 多目标优化方法
加权因子wi确定的方法: ①将各分目标转化后加权 为消除各分目标在量级上的差别，先将分目标函数fi(x) 转化为无量纲等量级目标函数 f i ( x) (i 1,2,...,l ) ( f i ( x) 1) 再组成统一目标函数。 l F ( x) wi f i ( x)
第六章 第二节 多目标优化方法
功效系数的确定方法： ①直线法
②折线法
第六章 第二节 多目标优化方法
③指数法
功效系数法的优点： 1、各分目标函数的值数量级大小对优化无影响 2、评价函数比较直观、易于调整 3、适于要求目标函数取值适中的情况
第六章 第二节 多目标优化方法
三、协调曲线法
基本思想：多目标优化问题中，存在目标函数间相互矛盾 的情况，一个（些）目标函数值的减小，将导致另一 个（些）目标函数值的增大。因此，各分目标函数值 之间需要进行协调，以便取得合理的方案。 如图所示，两维双目标函数f1(x)、f2(x)的等值线和两个不 等式约束曲面.
但两者无共同的最优解
第六章 第一节 多目标优化问题
* * x* ① x [0,1] 内， 1, f1( x ) 1, f 2 ( x ) 1 是绝对最优解。
x* D ，对任意 x D 都有 fi ( x) fi ( x* )(i 1,2,...,l ) (若 ，则x*是多目标优化的绝对最优解)


以下类推。
第六章 第二节 多目标优化方法
2、宽容分层序列法 基本思想：即先对各目标函数的最优值取一定的宽容量 ε1，ε2，…，εl (>0)，使求后一个目标函数最优值时，对 前一些目标函数的约束扩大为在其最优值附近的某一范 围内。 ①
② ③
min f1 ( x) f1* xD * min f 2 ( x) f 2 x D1 x | f1 ( x) f1* 1
i 1
wi——按各分目标的重要程度来决定 如各分目标有相同的重要性，则取wi =1 (i=1,2,…,l) —称为均匀计权，否则取各分目标不同的加权因子， l 取 wi 1
i 1
将fi(x)转换为无量纲的等量级目标函数 f i (x) 的方法
第六章 第二节 多目标优化方法
设各分目标函数值的变动范围为： i fi ( x) i
0 2
3．分目标乘除法 多目标混合优化问题：
其中， F ( x) f1 ( x), f 2 ( x),..., f r ( x)T ,
min F V—— max F xD
T
F ( x) f r 1 ( x),..., f l ( x) 则统一目标函数为
第六章 第二节 多目标优化方法
f1(x)最优点T点，f2(x)最优点P点 可行域中任意一点R. 从R点起沿f1(x)=5等值线，向约束面移动f2(x)不断改善， 直至边界上S点。 从R点起沿f2(x)=8等值线，向约束面f1(x)移动不断改善， 直至边界上Q点。
f1(x)=5时，对应f2(x)的最佳点为S点 S、Q点都比R点优 f2(x)=8时，对应f1(x)的最佳点为Q点。 均为约束边界点 由此可得f1(x)（或f2(x)）为定值时 对应的最佳f2(x)（或f1(x)）的点关 系曲线T-Q-S-P—协调曲线。
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第一部分 第二部分 第三部分 第四部分 第五部分 现代机械设计概述 机械优化设计 创新设计——TRIZ 绿色设计 逆向设计
第六章
多目标优化方法和离散变量优化 方法简介
第一节 多目标优化问题 第二节 多目标优化方法 第三节 离散变量优化问题 与离散变量优化方法
第六章 重点内容
1. 什么是非劣解？ 2. 多目标优化方法主要有哪四种方法？ 3. 统一目标法中的线性加权法，如何将各目标函数值的变化 范围均统一为从0到1的变化范围？ 4. 统一目标法中的线性加权法，确定加权因子的方法有哪几 种？ 5. 统一目标法中的理想点法是如何构造统一的目标函数的？ 6. 统一目标法中的功效系数法可以怎样确定功效系数？ 7. 用宽容分层序列法求解的思路 8. 构造离散惩罚函数 9. 离散变量组合型法中如何产生初始复合形的顶点？ 约束条件和迭代终止是如何处理的?
1．线性加权法 基本思想：将各个分目标函数 f1 ( x), f 2 ( x),..., fl ( x) 依其数量级和在整体设计中的重要程度相应地给出一组 w 加权因子， 1 , w2 ,...,wl ,取fi(x)和wi(i=1,2,…，l) 的线性组合， 构成一新的统一的目标函数F(x)
xR n
第六章 第一节 多目标优化问题
例1
min F ( x) [ f1 ( x), f 2 ( x)]T f1 ( x) x 2 2 x, f 2 ( x) x D x | 0 x 2
在 x [0,2] 内两单目标函数 最优解为：
x (1) 1, f1 ( x (1) ) 1, x ( 2 ) 2, f 2 ( x ( 2 ) ) 2
第六章 第二节 多目标优化方法
该曲线反映了两个设计目标全部最佳方案的调整范 围,再建立一个衡量设计方案满意程度的准则，建立一 组反映不同满意程度的曲线u(f1,f2)，使随着满意度增加， 同时使目标函数f1(x)和f2(x)都有所下降。 满意度曲线与协调曲线的切点，即为最优设计方案。 如图所示O点 满意度曲线不同，则最优设计方案也不同。
min f1 ( x) f1* xD
{ f1*}的集合内对f2(x)寻优： 在
min f 2 ( x) f 2* x D x | f1 ( x) f1*
问题：如其中第k个目 标函数的最优解为唯 一时，再往下求解就 失去意义，而后面lk个目标函数也没法得 到最优化解。
xR n xR n
min F ( x) min u( f ( x)) min
xR n
f1 ( x)... f r ( x) f r 1 ( x)... f l ( x)
即要求位于分子的各分目标函数应尽量小，而位于分 母的各分目标函数应尽量大。 一般要求各分目标函数fi(x)在D上均取正值。
式中，f imin和f imax为第i个目标函数的上、下限。 一般 f i (x) 只有单边限制
二、统一目标法
基本思想：将多目标优化问题，通过一定方法转化为 统一目标函数或综合目标函数作为多目标优 化问题的评价函数。
第六章 第二节 多目标优化方法
常用的方法有：线性加权法、理想点法（目标规划法） 、 功效系数法和极大极小法等。
第六章 第一节 多目标优化问题
第二节 多目标优化方法 一、主要目标法
基本思想：多个目标中选择一个目标作为主要目标， 而其它目标则只需满足一定的要求即可，即 将目标转化为约束条件 目标函数转化为：
min f k ( x) (k ) x(D) D k x | f i min f i ( x) f i max (i 1,2,...,k 1, k 1,...l , x D)
目标函数：
f i ( x) F ( x) f i0 i 1
l
0 2 fi

0 式中，除 f i 是为使目标函数无量纲化。
如引入加权系数wi，则目标函数为：
f i ( x) f i F ( x) wi f i0 i 1
l
第六章 第二节 多目标优化方法
第六章 第二节 多目标优化方法
③直接加权法 将加权因子分成两部分
wi=w1i· 2i w (i=1,2,…,l) 其中， w1i——本征权因子，反映各分目标的重要程度 w2i——校正权因子，调整各分目标间量级差别的影响 1 (i 1,2,...,l ) 一般取： w2i 2 f i ( x)
第六章 第二节 多目标优化方法
四、分层序列法和宽容分层序列法
基本思想：将多目标优化问题的各目标函数按重要程 度排列，然后，依次对各个目标函数求最优解，而后一 目标函数应在其前面目标函数最优解的集合域内寻优。 1、分层序列法 设分目标函数重要程度次序为：f1(x)、f2(x)，… 则首先对f1(x)寻优：
② x [0,2] 内，a’，a点都是劣解（若
x* Dx，存在
x D ，有 fi ( x) fi ( x* )
则x*成为劣解。） ③若 x* D ，且不存在 x D
使 fi ( x) fi ( x* )，则x*为非劣解。
x [1,2] 的所有点均为非劣解。 例如b点。
第六章 第二节 多目标优化方法
4．功效系数法 基本思想：对应每一目标函数都用功效系数 Ci Fi ( fi ) (i 1,2,.., l ) 来表示该项指标的好坏 .
Ci 1 该目标达到最满意 0 Ci 1 Ci 0 该目标值最不满意
总功效系数（评价函数） C l c1.c2 ...cl C值越大越好， C=1---方案最满意 C=0---表示此方案不能被接受。 只要有一个方案， Ci=0，此方案都不能被接受 功效系数类型： 1）Ci与fi成正比，即要求目标函数越大越好 2）Ci与fi成反比，即要求目标函数越小越好 3）fi取某适当值时，Ci就越大；否则Ci就越小。
hk ( x) 0 (k 1,2,..., p n)
多目标优化问题的类型： (1)整体多目标优化 (2)分层(步)多目标优化 多目标优化问题与单目标优化问题有根本性区别: ①单目标问题可以得到最优解，而多目标问题往 往得不到最优解，而只能得到非劣解（有效解） ②多目标优化问题的任意两个设计方案，往往不 易于比较其优劣。
f i ( x) i f i ( x) (i 1,2,...,l ) i i
* ② wi 1 f i (i 1,2,..., l )
f i* min f i ( x)
xD
(i 1,2,..., l )
即将各单目标函数的最优值的倒数作为权系数， 它反映了各单目标函数离开各自最优值的程度。另 外相当于各分目标函数进行了无量纲的处理，而消 除了各分目标在数量级上的差别。
第六章 第一节 多目标优化问题
判别方案的优劣： 单目标：只要用f(x)去比较即可
多目标： f j ( X (1) ) f j ( X (0) ) （j=1,2,…l）
绝对最优解：多目标优化设计时，几个分目标同时达到 最优的解 。绝对最优解几乎不可能找到， 因为各分目标函数有时会相互矛盾。 非劣解(有效解)： 指有m个目标函数，找不到一个x，使得其中一个目 标函数值fi(x)比fi(x*) 更好，而其余(m-1)个目标函数值不 变坏，则称x*为非劣解（有效解）; 多目标优化设计时，各分目标往往互相矛盾，甚至 对立，这就需在各分目标函数之间协调，互相作些让步 ，以便取得较好的方案。
第六章
结束
第一节 多目标优化问题
机械设计中，同时要求几项设计指标达到最优的问题 ——多目标优化设计问题
T F ( x ) min [ f1 ( x ), f 2 ( x ) .. f l ( x )] min n
s.t. g j ( x) 0 ( j 1,2,...,m)
x R
x R n
一个分目标函数fi(x)变化越快， fi (x)
2
的值越大，
加权因子w2i愈小，反之，亦然。这样可调整不同的目 标函数值同步下降。
第六章 第二节 多目标优化方法
2．理想点法（目标规化法） 基本思想：先定出各分目标函数的最优值，根据多 目标优化设计的总体要求对这些最优值进行调 整，定出各分目标的最合理值 fi (0) (i 1,2,...,l ) f i* ），再构造新的统一的 （也可以是最优值