线性方程组习题

第四章 线性方程组习题

12312312

31.322

.x x x x x x x x x λλλλλ++=-⎧⎪

++=-⎨⎪++=-⎩取何值时，线性方程组

有唯一解，无解或有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解

12,312132.,(3,1,1),(2,0,2),.

T T AX b ηηηηηηη+=-+=-=设三元非齐次方程组AX=b 的系数矩阵A 的秩为2，且它的三个解向量，满足

求的通解

1234123413412422

123.21,223,2,335

x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎪⎨

-+=⎪⎪-+=⎩=设线性方程组

则方程组满足条件的全部解为什么？

1231

234122304.().()

20(2,1,2,1),(1,2,4,8).(1)()(2)()()T T x x x I II x x x x a a I a I II αα+-=⎧⎨++-=⎩-+-+设四元齐次线性方程组为而已知另一四元齐次线性方程组的一个基础解系为＝＝求方程组的一个基础解系.

当为何值时，方程组与方程组有非零公共解？在有非零公共解时，求出其所有非零公共解.

1231235.(120,2),(1,4,2,),(3,3,1,6)(151,),(1,8,2,2),(5,2,,10),T T T T T T a a b a b ξξξηηη------已知向量组＝，，－＝＝与向量组

＝，，＝＝均是齐次线性方程组的

基础解系，则应满足什么条件？

12126.00,,,

,.

t t AX AX αααβββαβαβα==设,,,是齐次线性方程组的一个基础解系，向量不是方程组的解，证明：向量组+++线性无关

7.()1,0.n A r A n AX =-=设阶方阵的各行元素之和都为零，且求方程组的一般解

128.0,0,0(,,

,)().

ij T i i in n A A A AX k A A A k R =≠=∈设阶方阵的行列式且有某个代数余子式证明:方程组的一般解为

12123129.112133321,.

x x k k x k k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦设一个非齐次线性方程组的全部解为

其中为任意常数，求满足此条件的一个非齐次线性方程组

12121*110.,,,,,,

,,(1)()(2)()(3);

(4)(5)(6)n n m T n A kA k A m A A A A A P n P AP λλλξξξ--已知阶方阵的特征值为对应的特征向量分别为则为常数的特征值为，对应的特征向量为

；

为正整数的特征值为，对应的特征向量为

；

的特征值为

，对应的特征向量为

可逆时，的特征值为，对应的特征向量为；可逆时，的特征值为，对应的特征向量为

；

为阶可逆矩阵，的特征值为

，对应的特征10111011(7)()().

m m m m m m m m f x c x c x c x c f A c A c A c A c I ----++++向量为；设＝++，则矩阵多项式

＝++

的特征值为

,对应的特征向量为

3211.31,1,2,2||.

A B A A B -=-=已知阶方阵的特征值为则矩阵的特征值为

，

1212212.(,,,),(,,,)0,,(1);

(2)T T T n n T a a a b b b A A A αβαβαβ====设向量都是非零向量，且满足记

求矩阵的特征值和特征向量.

20010013.22020.

31100A a B a b b --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭已知矩阵与相似，求和的值

*214.||0,().

A n A A A E λ≠+设为阶矩阵，若有特征值，则必有特征值

*15.3||0,2,2,4.

A A A A ≠设为阶矩阵，的特征值是－－，求的特征值 *16.(1,3,2)(1,1,2),(2

).

T T T B A B A E αβαβ==-=+已知,,,若矩阵相似，则的特征值为1*32201017.232101,2223001A P B P A P B E -⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥===+⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

设矩阵,,求的特征值和特征向量.*18.|3|0,2,||0,T A I A AA I A A +==<设矩阵是4阶方阵，满足求的一个特征值.

121119.121(1,,1),.

112T A A k k α-⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭设方阵的逆的特征向量为＝求的值

11220.301(1)

4

28;401133(2)

3

53.66

4P AP A A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝

⎭

判断下列矩阵是否可相似对角化？若可以，求出可逆矩阵P,使为对角矩阵.

12321.(1,2,3),(1,22),(2,21),(2,1,2),.

T T T i i A A i i A ααααα==--设三阶方阵满足其中＝，＝－，＝求方阵

12312322.111123149113(1),,(2).

n A A ξξξββξξξβ⎛⎫

⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪

⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

⎝⎭

⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭

设三阶方阵的特征值为1,2,3,对应的特征向量依次为＝＝＝又向量

＝将用线性表示；求

3223.12,12,(1)(2)||2B A B B A A B I =-+已知三阶方阵的特征值为，－，又方阵求方阵的特征值及其相似对角阵；和||.

42224.040,().022n A A n ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪-⎝⎭

设求为正整数