2004年全国初中数学竞赛试题及答案(初三)
2004年全国初中数学竞赛预选赛试题(湖[下学期] 新人教版
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2004年全国初中数学竞赛预选赛试题(湖北赛区)一、填空题(每小题4分，共32分)1.已知：|x|=3，|y|=2，且xy＜0，则x+y的值等于______.2.设a-b=2+，b-c=2-，则a2+b2+c2-ab-bc-ac的值为______.3.已知实数x1，x2满足-6x1+2=0和-6x2+2=0，求的值为______.4.如果一次函数y=mx+n与反比例函数的图象相交于点(,2)，那么该直线与双曲线的另一个交点为______.5.如图1，要把边长为6的正三角纸板剪去三个三角形，得到正六边形，则它的边长为___.6.如图2，直角梯形ABCD的中位线EF的长为a，垂直于底的腰AB的长为b，则图中阴影部分的面积为______.7.如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，CM的延长线交AB于N，则AN:AB的值为______.8.如图4，BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，若AD:DB=2:3，AC=10，sinB的值为_____.二、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知|a+b|+|a-b|-2b=0，在数轴上给出关于a，b的四种位置关系如图所示，则可能成立的有( )(A)1种(B)2种(C)3种(D)4种2.已知a、b、c均为正数，方程ax2+bx+c=0有实根，则方程acx2+b2x+ac=0( )(A)有两个不相等的正根 (B)有一个正根，一个负根(C)不一定有实根 (D)有两个不相等的负根3.当k取任何实数时，抛物线y=(x-k)2+k2的顶点所在曲线是( )(A)y=x2 (B)y=-x2(C)y=x2(x＞0) (D)y=-x2(x＞0)4.如图5，已知AB⊥CD，△ABD、△BC E都是等腰直角三角形，如果CD=8，BE=3，则AC等于( )(A)8 (B)5 (C)3 (D)5.如图6，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的有( )①∠APB=∠EPC②∠APE=90°③P是BC的中点④BP:BC=2:3(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个6.如图7，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B，已知两圆的半径r1=10，r2=17，圆心距O1O2=21，则公共弦等于( )(A)2(B)16 (C)6(D)17三、解答题1.(12分)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根.甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了某项系数的符号，误求得两根为-1和4，求的值.2.(12分)如图8，正方形表示一张纸片，根据要求需多次分割，把它分割成若干个直角三角形.操作过程如下：第一次分割，将正方形纸片分成4个全等的直角三角形，第二次分割将上次得到的直角三角形中一个再分成4个全等的直角三角形；以后按第二次分割的作法进行下去.(1)请你设计出两种符合题意的分割方案图;(2)设正方形的边长为a，请你就其中一种方案通过操作和观察将第二、第三次分割后所得的最小的直角三角形的面积(S)填入下表：a2(3)在条件(2)下，请你猜想：分割所得的最小直角三角形面积S与分割次数n有什么关系？用数学表达式表示出来.3.(17分)某中学预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定减少10个，总金额多用29元.又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么买甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元.(1)求x、y的关系式；(2)若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x，y的值.4.(17分)如图9，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1.(1)求△AOD和△BCD的面积；(2)若F是线段BE上任一点，FG⊥AG，G是垂足，设线段CG和OF的长分别是x和y，试写出y与x之间的关系式.(不要求写出x的取值范围).参考答案一、1.1或-1 2.15 3.16，2 4.(-1,-) 5.2 6.ab7.1:3 8.二、1.B 2.D 3.A 4.D 5.A 6.B三、1.甲看错了二次项系数，设他所解的方程为a′x2+bx+c=0，于是有：2+4=-，2×4=，∴. ①设乙看错了一次项系数的符号，则他所解的方程为ax2-bx+c=0.于是-1+4=. ②由①，②知，△=b2-4ac=b2-4··(-b)=b2≥0，与题设矛盾.故乙看错的只是常数项，即他所解的方程为ax2+bx-c=0，则-1+4=-. ③由①，③可知：.2.(1)(2)，.(3)(n≥1，且n为整数)3.(1)设预计购买甲、乙商品的单价分别为a元和b元，则原计划是：ax+by=1500，①由甲商品单价上涨1.5元，乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个情形，得：(a+1.5)(x-10)+(b+1)y=1529. ②再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形得：(a+1)(x-5)+(b+1)y=1563.5. ③由①，②，③得：④-⑤×2并化简，得x+2y=186.(2)依题意有：205＜2x+y＜210及x+2y=186.得54＜y＜.由于y是整数，得y=55，从而得x=76. 答：略.4.(1)由切割线定理，得AE·AB=AD2.∴1×(1+2OE)=22，解得EO=.∵D为切点，∴AD⊥OD.∵S△AOD=AD·OD=AD·OE=.又由切线长定理，CD=CB.在Rt△ABC中，AB2+BC2=(AD+CD)2.∵AB=2EO+AE=4，∴42+CD2=(2+CD)2.解得：CD=3.∴AC=AD+CD=5.过点D作DM∥AB交BC于M.∵，∴，∴S△BCD=BC·DM=×3×=.(2)当AO≤AF≤AB时，∵△AFG∽△ACB，∴，..当AE≤AF＜AO时，同时有：，化简得：.。
2004年全国初中数学联赛 试题
2004年全国初中数学联赛试题2004年全国初中数学联赛CASIO杯武汉选拔赛试题一选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1．若|1-x| = 1 + |x| ，则等于（）（A）x-1 （B）1-x （C）1 （D）-12．若ΔABC中，∠A=50°,AB>BC, 则∠B的取值范围是( )（A）0°<∠B<80°（B）50°<∠B<80°（C）50°<∠B<130°（D）80°<∠B<130°3．如图，在ΔABC中，D是AC的中点，E,F是BC的三等分点，AE,AF分别交BD于M,N两点，则BM:MN:ND = ( )（A）3:2:1 （B）4:2:1 （C）5:2:1 （D）5:3:24．化简，所得的结果为( ) （A）（B）（C）（D）5．如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，则重叠部分ΔAFC的面积为( ) （A）12 （B）10 （C）8 （D）66．若2x+5y+4z=6,3x+y-7=-4，则x+y-z的值为( )（A）-1 （B）0 （C）1 （D）47．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB，E为垂足，F为AD中点，若∠AEF=54°，则∠B=（）（A）54°（B）60°（C）66°（D）72°8．在直角梯形ABCD中，AD‖BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3。
E在线段AB上，且ΔEAD 与ΔEBC相似，这样的点E（...2004年全国初中数学联赛CASIO杯武汉选拔赛试题一选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1．若|1-x| = 1 + |x| ，则等于（）（A）x-1 （B）1-x （C）1 （D）-12．若ΔABC中，∠A=50°,AB>BC, 则∠B的取值范围是( )（A）0°<∠B<80°（B）50°<∠B<80°（C）50°<∠B<130°（D）80°<∠B<130°3．如图，在ΔABC中，D是AC的中点，E,F是BC的三等分点，AE,AF分别交BD于M,N两点，则BM:MN:ND = ( )（A）3:2:1 （B）4:2:1 （C）5:2:1 （D）5:3:24．化简，所得的结果为( )（A）（B）（C）（D）5．如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，则重叠部分ΔAFC的面积为( )（A）12 （B）10 （C）8 （D）66．若2x+5y+4z=6,3x+y-7=-4，则x+y-z的值为( )（A）-1 （B）0 （C）1 （D）47．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB，E为垂足，F为AD中点，若∠AEF=54°，则∠B=（）（A）54°（B）60°（C）66°（D）72°8．在直角梯形ABCD中，AD‖BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3。
2004年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)
NABCDP2004年全国初中数学联合数学竞赛试题第一试一．选择题1．已知abc ≠0，且a ＋b ＋c ＝0, 则代数式 a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab的值是（ ）(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 02．已知p ,q 均为质数，且满足5p 2＋3q ＝59，则以p ＋3,1－p ＋q ,2p ＋q －4为边长的三角形是（ ）(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰三角形3． 一个三角形的边长分别为a ,a ,b ，另一个三角形的边长分别为b ,b ,a ，其中a ＞b ，若两个三角形的最小内角相等，则 a b的值等于（ ）(A)3＋1 2 (B) 5＋1 2 (C) 3＋2 2 (D) 5＋224．过点P (-1,3)作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（ ） (A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条5．已知b 2－4ac 是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的一个实数根，则ab 的取值范围为（ ） (A) ab ≥1 8(B) ab ≤1 8(C) ab ≥1 4(D) ab ≤1 46．如图，在2×3矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（ ）(A) 24 (B) 38 (C) 46 (D) 50二．填空题1．计算1 1＋2＋1 2＋3＋1 3＋4＋……＋12003＋2004＝ .2．如图ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆交于另一点P ，延长AP 交BC 于点N ，则BNNC ＝ .3．实数a ,b 满足a 3＋b 3＋3ab ＝1，则a ＋b ＝ .4．设m 是不能表示为三个合数之和的最大整数，则m ＝ .l G B C H F A E P QMD 第二试一、 已知方程x 2－6x －4n 2－32n ＝0的根都是整数，求整数n 的值。
2004年全国初中数学竞赛试题(及答案详解)
育才教育—初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）1. 已知实数b a ≠，且满足)1(33)1(2+-=+a a ，2)1(3)1(3+-=+b b .则ba aa b b+的值为（ ）.（A ）23 （B ）23- （C ）2- （D ）13- 答：选（B ）∵ a 、b 是关于x 的方程()03)1(312=-+++x x的两个根，整理此方程，得0152=++x x ，∵ 0425>-=∆， ∴ 5-=+b a ，1=ab . 故a 、b 均为负数. 因此()232222-=-+-=+-=--=+ababb a ab abb a ab ba ab ab b a aa b b.2. 若直角三角形的两条直角边长为a 、b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则有 （ ）.（A ）2h ab =（B ）hba111=+ （C ）222111hba=+（D ）2222h b a =+答：选（C ）∵ 0>>h a ，0>>h b ，∴ 2h ab >，222222h h h b a =+>+； 因此，结论（A ）、（D ）显然不正确. 设斜边为c ，则有c b a >+，abch h b a 2121)(21=>+，即有h b a 111>+，因此，结论（B ）也不正确. 由abh b a 212122=+化简整理后，得222111hba=+，因此结论（C ）是正确的.3．一条抛物线c bx ax y ++=2的顶点为（4，11-），且与x 轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a 、b 、c 中为正数的（ ）. （A ）只有a （B ）只有b （C ）只有c （D ）只有a 和b 答：选（A ）由顶点为（4，11-），抛物线交x 轴于两点，知a >0. 设抛物线与x 轴的两个交点的横坐标为1x ，2x ，即为方程02=++c bx ax的两个根. 由题设021<x x ，知0<ac ，所以0<c . 根据对称轴x =4，即有02>-ab ，知b <0.故知结论（A ）是正确的.4．如图所示，在△ABC 中，DE ∥AB ∥FG ，且FG 到DE 、AB的距离之比为1:2. 若△ABC 的面积为32，△CDE 的面积为2，则△CFG的面积S等于（ ）.（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 答：选（B ）由DE ∥AB ∥FG 知，△CDE ∽△CAB ，△CDE ∽△41322===∆∆CABCDE S S CACD ，又由题设知21=FAFD ，所以31=AD FD，ACAC AD FD 41433131=⨯==，故DC FD =，于是41212=⎪⎭⎫⎝⎛=∆∆CFGCDE S S ，8=∆CFG S .因此，结论（B ）是正确的.5．如果x 和y 是非零实数，使得3=+y x 和03=+x y x ，那么x +y 等于（ ）.（A ）3 （B ）13 （C ）2131-（D ）134-答：选（D ）将x y -=3代入03=+x y x ，得0323=+-x x x .（1）当x >0时，0323=+-x x x ，方程032=+-x x 无实根； （2）当x <0时，0323=--x x x ，得方程032=--x x 解得2131±=x ，正根舍去，从而2131-=x .于是2137213133-=-+=-=x y .故134-=+y x .因此，结论（D ）是在正确的.二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6． 如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，AD =AE ，︒=∠60BAD ，则=∠EDC （度）.答：30°解：设α2=∠CAD ，由AB =AC 知αα-︒=-︒-︒=∠60)260180(21B ， α+︒=︒-∠-︒=∠6060180B ADB ，由AD =AE 知，α-︒=∠90ADE ， 所以︒=∠-∠-︒=∠30180ADB ADE EDC .7．据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T 与这两个城市的人口数m 、n （单位：万人）以及两城市间的距离d （单位：km ）有2dkmn T =的关系(k 为常数) . 现测得A 、B 、C 三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知A 、B 两个城市间每天的电话通话次数为t ，那么B 、C 两个城市间每天的电话通话次数为次（用t 表示）. 答：2t解：据题意，有kt 21608050⨯=，∴tk 532=.因此，B 、C 两个城市间每天的电话通话次数为2645532320100802t k T BC⨯=⨯⨯=8．已知实数a 、b 、x 、y 满足2=+=+y x b a ，5=+by ax ，则=+++)()(2222y x ab xy b a.答：5-解：由2=+=+y x b a ，得4))((=+++=++bx ay by ax y x b a ， ∵ 5=+by ax ， ∴ 1-=+bx ay .因而，5))(()()(2222-=++=+++by ax bx ay y x ab xy b a . 9． 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC (BC >AD )，︒=∠90D ，BC =CD =12, ︒=∠45ABE ，若AE =10，则CE 的长为 . 答：4或6解：延长DA 至M ，使BM ⊥BE . 过B 作BG ⊥AM ，G 为垂足.易知四边形BCDG 为正方形， 所以BC =BG . 又GBM CBE ∠=∠， ∴ Rt △BEC ≌Rt △BMG .∴ BM =BE ，︒=∠=∠45ABM ABE ， ∴△ABE ≌△ABM ，AM =AE =10.设CE =x ，则AG =x -10，AD =x x -=--2)10(12，DE =x -12. 在Rt △ADE 中，222DE AD AE +=， ∴ 22)12()2(100x x -++=， 即024102=+-x x ，解之，得41=x ，62=x . 故CE 的长为4或6.10．实数x 、y 、z 满足x+y +z =5，xy +yz +zx =3，则z 的最大值是 . 答：313解：∵ z y x -=+5，35)5(3)(32+-=--=+-=z z z z y x z xy ， ∴ x 、y 是关于t 的一元二次方程35)5(22=+-+--z z t z t的两实根.∵ 0)35(4)5(22≥+---=∆z z z ，即0131032≤--z z ，0)1)(133(≤+-z z .∴ 313≤z ，当31==y x 时，313=z .故z 的最大值为313.三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11．通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散. 学生注意力指标数y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示（y 越大表示学生注意力越集中）. 当100≤≤x 时，图象是抛物线的一部分，当2010≤≤x 和4020≤≤x 时，图象是线段. （1）当100≤≤x 时，求注意力指标数y 与时间x 的函数关系式；（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟. 问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36. 解：（1）当100≤≤x 时，设抛物线的函数关系式为c bx ax y ++=2，由于它的图象经过点（0，20），（5，39），（10，48），所以⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.4810100,39525,20c b a c b a c 解得，51-=a ，524=b ，20=c .所以20524512++-=x x y ，100≤≤x . …………………（5分）（2）当4020≤≤x 时，7657+-=x y .所以，当100≤≤x 时，令y =36，得2052451362++-=x x ，解得x =4，20=x （舍去）； 当4020≤≤x 时，令 y =36，得765736+-=x ，解得74287200==x . ……………………（10分）因为24742447428>=-，所以，老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于36时，讲授完这道竞赛题. ……………………（15分） 12．已知a ，b 是实数，关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧+=--=b ax y bx ax x y ,23 有整数解),(y x ，求a ，b 满足的关系式.解：将b ax y +=代入bx ax x y --=23，消去a 、b ，得xy x y -=3， ………………………（5分）3)1(xy x =+.若x +1=0，即1-=x ，则上式左边为0，右边为1-不可能. 所以x +1≠0，于是111123+-+-=+=x x x x xy .因为x 、y 都是整数，所以11±=+x ，即2-=x 或=x 0，进而y =8或=y 0. 故 ⎩⎨⎧=-=82y x 或 ⎩⎨⎧==00y x ………………………（10分）当⎩⎨⎧=-=82y x 时，代入b ax y +=得，082=+-b a ；当⎩⎨⎧==00y x 时，代入b ax y +=得，0=b .综上所述，a 、b 满足关系式是082=+-b a ，或者0=b ，a 是任意实数.………………………（15分）13．D 是△ABC 的边AB 上的一点，使得AB =3AD ，P 是△ABC 外接圆上一点，使得ACB ADP ∠=∠，求PDPB 的值.解：连结AP ，则ADP ACB APB ∠=∠=∠，所以，△APB ∽△ADP ， …………………………（5分） ∴ADAP APAB =，所以223AD AD AB AP =∙=，∴AD AP 3=， …………………………（10分） 所以3==ADAP PDPB . …………………………（15分）14．已知0<a ，0≤b ，0>c ，且ac b ac b 242-=-，求ac b 42-的最小值. 解：令c bx ax y ++=2，由0<a ，0≤b ，0>c ，判别式42>-=∆ac b ，所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，且与x 轴有两个不同的交点)0,(1x A ，)0,(2x B ，因为021<=ac x x ，不妨设21x x <，则210x x <<，对称轴2≤-=ab x ，于是caac b b aac b b x =--=-+-=2424221， ………………（5分）所以aac b aac b b c ab ac 242444222--≥--=≥-， …………………（10分）故442≥-ac b ，当1-=a ，b =0，c =1时，等号成立.所以，ac b 42-的最小值为4. ………………………（15分）（第14（A ）题图）育才教育初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）1. 已知实数b a ≠，且满足)1(33)1(2+-=+a a ，2)1(3)1(3+-=+b b .则ba aa b b+的值为（ ）.（A ）23 （B ）23- （C ）2- （D ）13-2. 若直角三角形的两条直角边长为a 、b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则有 （ ）.（A ）2h ab =（B ）hba111=+ （C ）222111hba=+（D ）2222h b a =+3．一条抛物线c bx ax y ++=2的顶点为（4，11-），且与x 轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a 、b 、c 中为正数的（ ）. （A ）只有a （B ）只有b （C ）只有c （D ）只有a 和b4．如图所示，在△ABC 中，DE ∥AB ∥FG ，且FG 到DE 、AB 的距离之比为1:2. 若△ABC 的面积为32，△CDE 的面积为2，则△CFG的面积S等于（ ）.（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）125．如果x 和y 是非零实数，使得3=+y x 和03=+x y x ， 那么x +y 等于（ ）.（A ）3 （B ）13 （C ）2131-（D ）134-6． 如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，AD =AE ，︒=∠60BAD ，则=∠EDC （度）.7．据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T 与这两个城市的人口数m 、n （单位：万人）以及两城市间的距离d （单位：km ）有2dkmn T =的关系(k为常数) . 现测得A 、B 、C 三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知A 、B 两个城市间每天的电话通话次数为t ，那么B 、C 两个城市间每天的电话通话次数为 次（用t 表示）.8．已知实数a 、b 、x 、y 满足2=+=+y x b a ，5=+by ax ，则=+++)()(2222y x ab xy b a .9． 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC (BC >AD )，︒=∠90D ，BC =CD =12, ︒=∠45ABE ，若AE =10，则CE 的长为 .10．实数x 、y 、z 满足x+y +z =5，xy +yz +zx =3，则z 的最大值是 .11．通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散. 学生注意力指标数y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示（y 越大表示学生注意力越集中）. 当100≤≤x 时，图象是抛物线的一部分，当2010≤≤x 和4020≤≤x 时，图象是线段.12．已知a ，b 是实数，关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧+=--=bax y bx ax x y ,23 有整数解),(y x ，求a ，b 满足的关系式.13．D 是△ABC 的边AB 上的一点，使得AB =3AD ，P 是△ABC 外接圆上一点，使得ACB ADP ∠=∠，求PDPB 的值.14．已知0<a ，0≤b ，0>c ，且ac b ac b 242-=-，求acb 42-的最小值.。
2004年全国初中数学竞赛辽宁省
考试时间120分钟，试卷满分120分 一、选择题(下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，将正确答案的序号填入题后的括号内，每小题2分，共20分)1.下列各式中，最简二次根式为( )A. B. C. D.2.方程(x+1)x=0的根是( )A.x 1=1，x 2=0B.x 1=-1，x 2=1C.x 1=-1，x 2=0D.x 1=x 2=03.如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，点C 为优弧上一点，∠ACB=60°，则∠APB 的度数是( ) A.60° B.120° C.30°或120° D.30°4.二次函数y=-x 2-4x+2的顶点坐标、对称轴分别是( )A.(-2,6)，x=-2B.(2,6)，x=2C.(2,6)，x=-2D.(-2,6)，x=25.已知Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，且AB=2A′B′，则sinA 与sinA′的关系为( )A.sinA =2sinA′B.2sinA=sinA′C.sinA=sinA′D.不确定6.在下面四种边长相等的正多边形的组合中，能作平面镶嵌的组合是( )7.如图，点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P做x轴的垂线PQ交双曲线y=于点Q，连结OQ，当点P向右运动时，Rt△QOP的面积( )A.逐渐增大B.逐渐减小C.保持不变D.无法确定8.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2和m，圆心距为n，且2和m都是方程x2-10x+n=0的两根，则两圆的位置关系是( )A.相交B.外离C.内切D.外切9.将某氢氧化钠溶液加水，则描述溶液pH值与加水量(m)间变化规律的图象大致是( )10.如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连结OC并延长交⊙O于点D。
若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是( )A.6B.9-C.D.25-3二、填空题(每小题2分，共20分)11.已知点P(-3,2)，点P′是点P关于原点的对称点，则点P′的坐标是____。
2004年全国初中数学联赛答案
2004年全国初中数学联赛答案一、1、A 原式＝()()()b c a a c b a b c bc ac ab -+-+-+++＝a a b b c c b c a c a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝3a b ca b c++= 2、B因为253p q +为奇数，故,p q 必为一奇一偶。
而,p q 均为质数，故,p q 中有一个为2。
若2q =，则2535p =，不合题意，舍去； 若2p =，则13q =。
此时，35,112,2413p p q p q +=-+=+-=。
因为22251213+=，所以，以5、12、13为边长的三角形为直角三角形。
3、B如图，设△ABC 中，AB ＝AC ＝a ，BC ＝b 。
D 是AB 上的一点，有AD ＝b 。
因为a b >，故∠A 是△ABC 的最小角，记∠A ＝θ。
则以,,b b a 为三边的三角形的最小角亦为θ。
从而，此三角形与△ADC 全等。
所以，DC ＝b ，∠ACD ＝θ。
又△ABC ∽△CBD ，于是，BC BD AB BC =，即b a b a b -=。
令ax b=，即得方程210x x --=解得a x b ==4、C设满足条件的直线l ：k kx b =+。
因为P(－1，3)在直线l 上，所以，3k b =-+，故3b k =+ 因此，l 为3y kx k =++l 与两坐标轴的交点分别为3,0k A k +⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0,3)B k +故l 与两坐标轴围成的三角形的面积1133522AOB k S OA OB k k∆+=⋅=-⋅+=，即2(3)10k k += ① 当0k >时，方程①即2490k k -+=，此时方程无实数解；当0k <时，方程①即21690k k ++=，此时方程有两个实数解1,28k =-因此，过点P(－1，3)且与坐标轴围成的三角形面积为5的直线有两条。
初中数学竞赛专题6：因式分解
专题6：因式分解第1讲 因式分解赛题练习一、选择题1．（第17届希望杯竞赛题）若22222006200620072007m =+⨯+，则m （ ） A ．是完全平方数，还是奇数 B ．是完全平方数，还是偶数 C ．不是完全平方数，但是奇数D ．不是完全平方数，但是偶数2．（第17届希望杯竞赛题）There is a two-placed number 10ab a b =+satisfying that ab ba + is a complete square number ，then total number of those like ab is （ ） A ．4B ．6C ．8D ．10（英汉词典：two-placed number 两位数；number 数；to satisfy 满足；complete square 完全平方（数）；total 总的，总数）3．（2005年全国初中数学竞赛题）若223894613M x xy y x y =-+-++（x ，y 是实数），则M 的值一定是（ ） A ．正数B ．负数C ．零D ．整数4.（北京市竞赛题）44a +分解因式的结果是（ ） A.()()222222a a a a +--+ B.()()222222a a a a +--- C.()()222222a a a a ++--D.()()222222a a a a ++-+5.（2006年希望杯竞赛题）实数320052005m =-，下列各数中不能整除m 的是（ ） A.2006B.2005C.2004D.20036.（2005年武汉市竞赛题）若3234x kx -+被31x -除后余3，则k 的值为（ ） A.2B.4C.9D.107.（第13届希望杯竞赛题）已知a b c >>，222M a b b c c a =++，222N ab bc ca =++，则M 与N 的大小关系是（ ） A.M N <B.M N >C.M N =D.不能确定8.（美国犹他州竞赛题）322136x x x +-+的因式是（ ） A.21x - B.2x + C.3x -D.21x +E.21x +9.（2005年全国初中数学竞赛题）若22389M x xy y =-+-4613x y ++（x 、y 是实数），则M 的值一定是（ ） A.正数B.负数C.零D.整数10.（武汉市竞赛题）如果328x ax bx +++有两个因式1x +和2x +，则a b +=（ ） A.7 B.8C.15D.21二、填空题11．（第7届五羊杯竞赛题）把()()()()16a b c d b c a d c a b d a b c d abcd ++++--+--+--+因式分解为________．12．（第18届五羊杯竞赛题）在实数范围内分解因式：432344x x x x +---=________． 13．（第18届五羊杯竞赛题）分解因式：2226773x xy y x y --+++=________．14．（2004年全国初中数学竞赛题）已知实数a ，b ，x ，y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，则()()2222ab xy ab x y +++=________．15．（2007年全国初中数学联赛题）若10064a +和20164a +均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是________．16.（北京市竞赛题）已知222246140x y z x y z ++-+-+=，则2002()x y z --=__________. 17.（2004年广西竞赛题）已知()22210x y x y +--+=，则()999x y +=__________.18.（北京市竞赛题）1~100若存在整数n ，使2x x n +-能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的n 有____________个.19.（郑州市竞赛题）分解因式：22423a b a b -+++=_______________________________________. 20.（2004年河南省竞赛题）分解因式：229643x x y y --+-=_______________________________. 21.（第16届希望杯竞赛题）分解因式：()()221ab a b a b +-++=_____________________________. 22.（2004年全国初中数学竞赛题）已知实数a 、b 、x 、y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，则()()2222ab xy ab x y +++=___________________.23.（第15届江苏省竞赛题）已知26x x +-是多项式43221x x ax bx a b +-+++-的因式，则a =___________，b =___________.24.（第18届五羊杯竞赛题）在实数范围内分解因式：432344x x x x +---=___________. 25.（大连市第8届育英杯竞赛题）分解因式：()()112x x y y xy -++-=____________. 三、解答题26．（1991年黄冈初中数学竞赛题）已知a 是自然数，且3221215a a a +-+表示质数，求这个质数．27．（1999年天津市数学竞赛题）当k 为何值时，多项式222352x xy ky x y -++-+能分解成两个一次因式的积？28．（第9届华杯赛总决赛题）计算；()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++．29．（第10届希望杯竞赛题）272-1能被500与600之间的若干整数整除，请找出三个这样的整数，它们是________．30．（第10届希望杯竞赛题）若233x x x k +-+有一个因式是x +1，求k 的值．31．（第6届希望杯竞赛题）计算：2211100.010.01101001000⎛⎫⎛⎫++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．32．（第9届五羊杯竞赛题）当n =1，x =2时，求多项式51n n x x ++的两个因式的和．33．（2000年美国犹他州中学数学竞赛题）如果328x ax bx +++有两个因式x +1和x +2，求a +b 的值．34．（第5届美国数学邀请赛试题）计算：()()()()()()()()()()44444444441032422324343244632458324432416324283244032452324++++++++++．35．（第37届美国中学生数学竞赛题）设543269569106910695691N =+⨯+⨯+⨯+⨯+．问：有多少个正整数是N 的因数？36．（第9届莫斯科奥林匹克试题）证明：对任何整数x 和y ，343223453515412x x y x y x y xy y +--++的值都不会等于33．37．（第37届美国中学生数学竞赛题）已知b ，c 是整数，二次三项式2x bx c ++既是42625x x ++的一个因式，也是4234285x x x +++的一个因式，求当x =1时，2x bx c ++的值．38.（祖冲之杯竞赛题）分解因式：32539x x x ++-.39.（北京市竞赛题）证明恒等式：()244422()2a b a b a ab b +++=++.40.（江苏省竞赛题）已知x 、y 为正偶数，且2296x y xy +=，求22x y +的值.41.（希望杯竞赛题）分解因式：()()()2221x y xy x y xy +-+-+-.42.（第12届五羊杯竞赛题）分解因式：()()42424310x x x x +-+++.43（2006年希望杯培训题）计算：32322007220072005200720072008-⨯-+-.44.（太原市竞赛题）已知关于x 、y 的二次式22754324x xy ay x y ++-+-可分解为两个一次因式的乘积，求a 的值.45.（2005年莫斯科市竞赛题）对方程22222004a b a b ++=，求出至少一组整数解.46.（2006年创新杯培训题）已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，求n .47.（2006年全国初中数学竞赛题）计算 (252)(472)(692)(8112)(200420072)(142)(362)(582)(7102)(200320062)⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯+48.计算：（1）（第15届希望杯竞赛题）2220034004200320024008200320042003300520032003200520053005-⨯+⨯-⨯-⨯-⨯+⨯；（2）（第九届华杯赛竞赛题）()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++49.分解因式： （1）4464a b +； （2）4224x x y y ++； （3）()2222(1)x x x x ++++；（4）（昆明市竞赛题）()()()24c a b c a b ----；（5）（第15届希望杯竞赛题）432234232a a b a b ab b ++++； （6）（重庆市竞赛题）32256x x x +--.50.（重庆市竞赛题）分解因式： （1）224443x x y y --+-； （2）343115x x -+.问题解决例1.分解因式：()()()3332332125x y x y x y -+---=______. 例2.把下列各式分解因式： （1）()()22525312x x x x ++++-； （2）()()()()21236x x x x x +++++； （3）()()()()211x y x y xy xy xy +++++-.例3.阅读理解：观察下列因式分解的过程： （1）244x xy x y -+-原式()()()()()()24444x xy x y x x y x y x y x =-+-=-+-=-+. （2）2222a b c bc --+原式()()()()222222a b c bc a b c a b c a b c =-+-=--=+--+.第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式.仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式： （1）2a ab ac bc -+-； （2）22244x y z yz --+.例4.分解因式：326116x x x +++.例5.把下列各式分解因式： （1）261110y y --； （2）22823x xy y --.数学冲浪 知识技能广场1.分解因式：（1）()()22162x x x ---=______； （2）()()4a b a b ab --+=______； （3）276ax ax a -+=______. 2.分解因式：（1）3222a ab a b +-=______；（2）()()21211x x ---+=______； （3）2221a ab b -+-=______； （4）2244x y x --+=______. 3.分解因式：（1）323412x x x +--=______； （2）()()2223238x xx x +-+-=______.4.若()()23x x m x x n ++=-+对x 恒成立，则n =______.5.把多项式22344x y xy x --分解因式的结果是（ ）. A.()34xy x y x --B.()22x x y --C.()2244x xy y x --D.()2244x xy y x --++6．()()()()()()656565323322134x x x x x x x xx +-+++-+++-与下列哪一个式子相同（ ）.A.()()653421x x x -+ B.()()653423x x x -+ C.()()653421x x x --+D.()()653423x x x --+7．把多项式22243x y x y ----因式分解之后，正确的结果是（ ） A.()()31x y x y ++-- B.()()13x y x y +--+ C.()()31x y x y +--+D.()()13x y x y ++--8．已知212x ax +-能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（ ） A.3个B.4个C.6个D.8个9．先阅读以下材料，然后解答问题.分解因式：()()()()mx nx my ny mx nx my ny x m n y m n +++=+++=+++=()()m n x y ++；也可以()()()()()()mx nx my ny mx my nx ny m x y n x y m n x y +++=+++=+++=++. 以上分解因式的方法称为分组分解法. 请用分组分解法分解因式：3322a b a b ab -+-.10.分解因式：（1）22463a b a b -+-；（2）222944a b bc c -+-； （3）()()()2a c a c b b a +-+-； （4）()()221212x x x x ++++-； （5）()22223122331x x x x -+-+-； （6）()()()213512x x x -+++.思维方法天地11.分解因式：()()()()()12345x x x x x x ++++++=______. 12.分解因式：()()()33322x y x y -----=______.13.已知()()()()1931131713171123x x x x -----可因式分解为()()8ax b x c ++，其中a ，b ，c 均为整数，则a b c ++=______.14.已知1x -得多项式33x x k -+的一个因式，那么k =______；将这个多项式分解因式，得______. 15.44a +分解因式的结果是（ ）.A.()()222222a a a a +--+B.()()222222a a a a +---C.()()222222aa a a ++-- D.()()222222aa a a ++-+16．实数320052005m =-，下列各数中不能整除m 的是（ ） A.2006B.2005C.2004D.200317．已知3a b -=，5b c +=-，则代数式2ac bc a ab -+-的值为（ ） A.15-B.2-C.6-D.618．已知a ，b ，c 是ABC ∆的三边长，且满足()222220a b c b a c ++-+=，则此三角形是（ ）. A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.不能确定19．分解因式：（1）224443x x y y --+-；（2）()()()2221x y xy x y xy +-+-+-； （3）343115x x -+； （4）32539x x x ++-.应用探究乐园20.已知在ABC ∆中，三边长a ，b ，c 满足等式222166100a b c ab bc --++=.求证：2a c b +=.21.下金蛋的鸡法国数学家费马（1601-1665）一生中提出了不少猜想，最著名的是“费马大定理”：关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=（n 为大于2的整数）没有正整数解.直到350年之后，这个猜想才由英国数学家怀尔斯（1953— ）于1994年证明.德国数学家希尔伯特（1862-1943）将费马大定理称为“一只会下金蛋的鸡”，因为在攻克它的漫漫征程中，不但引出了许多数学概念和方法，而且促进了一些新的分支的创立和发展.这些远比证明定理本身更重要！不过费马的猜想并不总是正确的.他考察了12215+=，222117+=，3221257+=，422165537+=，发现结果都是素数（也称质数），于是猜想：对任意正整数n ，221n+（即()221n+）都是素数.瑞士数学家欧拉（1707-1783）指出，5221+并不是素数.我国数学家华罗庚（1910—1985）在他的著作《数论导引》中给出一种简明的证法：设72a =，5b =，可算得()524442111ab a a b +=++-，可见5221+必有除1和本身以外的约数______（填较简单的一个，用含a ，b 的式子表示），即5221+能被______整除（填入具体数值），所以不是素数.第2讲 因式分解的应用赛题练习1.（2004年重庆市竞赛题）已知2310x x x +++=，则220041x x x ++++的值为（ ）A.0B.1C.1-D.20042.（第19届江苏省竞赛题）若432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，则:a b 的值是 （ ） A.2-B.12-C.6D.43.（第14届希望杯竞赛题）若1x y +=-，则43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++的值为（ ） A.0B.1-C.1D.34.（第17届江苏省竞赛题）a 、b 、c 是正整数，a b >，且27a ab ac bc --+=，则a c -的值为（ ） A.1-B.1-或7-C.1D.1或75.（中学生智能通讯赛试题）设()()322320042003200420052003200220012002a -⨯+=⨯--，()()322320052004200520062004200320022003b -⨯+=⨯--，则a 、b 的大小关系是（ ） A.a b >B.a b =C.a b <D.不能确定6.（湖北省竞赛题）设a 是正数，且21a a -=，那么224a a-的值为（ ） A.3-B.1C.3D.57.（2005年全国初中数学竞赛题）已知2221114834441004A ⎛⎫=⨯+++⎪---⎝⎭，则与A 最接近的正整数是（ ） A.18B.20C.24D.258.（2007年全国初中数学竞赛题）方程323652x x x y y ++=-+的整数解(),x y 的个数是（ ） A.0B.1C.3D.无穷多9.（第17届希望杯竞赛题）若22222006200620072007m =+⨯+，则m （ ） A.是完全平方数，还是奇数 B.是完全平方数，还是偶数 C.不是完全平方数，但是奇数D.不是完全平方数，但是偶数10.（2002年全国初中数学联赛题）若22m n =+，22()n m m n =+≠，则332m mn n -+的值为（ ） A.1B.0C.1-D.2-11.（2003年全国初中数学联赛题）满足等式2003=的正整数对(),x y 的个数是（ ）A.1B.2C.3D.412.（第14届希望杯竞赛题）已知54410a a b a a b --+--=，且231a b -=，则33a b +的值为___________.13.（全国初中数学竞赛题）已知a 、b 、x 、y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，则()()2222ab xy ab x y +++=___________.14.（第17届希望杯竞赛题）A 、n 都是自然数，且21526A n n =++是一个完全平方数，则n =_____________.15.（四川省竞赛题）对一切大于2的正整数n ，数5354n n n -+的最大公约数是____________. 16.（2001年全国初中数学联赛题）一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为___________.17.（第9届华杯赛试题）a 、b 、c 是正整数，并且满足等式12004abc ab ac bc a b c +++++++=，那么a b c ++的最小值是__________.18.（祖冲之杯竞赛题）整数a 、b 满足6910303ab a b =-+，则a b +=___________.19.（第18届五羊杯竞赛题）若P 是两位的正整数，则以下等式中有可能成立的式子的个数是______________.①22006(34)(59)x Px x x ++=--； ②22006(17)(118)x Px x x ++=--； ③22006(34)(59)x Px x x --=+-； ④22006(17)(118)x Px x x --=+-； ⑤22006(1)(2006)x Px x x +-=-+.20.（2001年全国初中数学联赛题）若214x xy y ++=，228y xy x ++=，则x y +的值为___________. 21.（2005年四川省竞赛题）对于一个正整数n ，如果能找到正整数a 、b ，使得n a b ab =++，则称n 为一个“好数”，例如31111=++⨯，3就是一个“好数”，那么，在1~20这20个正整数中，好数有___________个.22.（2004年北京市竞赛题）已知x 、y 为正整数，且满足22222341x y x y +=+，则22x y +__________. 23.（第10届希望杯竞赛题）7221-能被500与600之间的若干整数整除，请找出3个这样的整数，它们是__________.24.（2008年天津市竞赛题）已知4个实数a 、b 、c 、d ，且a b ≠，c d ≠.若4个关系式：22a ac +=，22b bc +=，24c ac +=，24d ad +=同时成立，则6232a b c d +++的值为___________. 25.（五城市联赛题）若a 是自然数，则4239a a -+是质数还是合数？给出你的证明.26.（全国初中数学联赛题）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n 个女生的捐款总数相等，都是()911145mn m n +++元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数.27.（2006年俄罗斯萨温市竞赛题）（1）证明：19992000200120032004200536⨯⨯⨯⨯⨯+是一个完全平方数.（2）证明：数848497n n ++-对于任何自然数n 都能被20整除.28.（江苏省竞赛题）（1）证明：791381279--能被45整除；（2）证明：当n 为自然数时，()221n +形式的数不能表示为两个整数的平方差；（3）计算：44444444441111124681044444111111357944444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭29.（2005年太原市竞赛题）二次三项式22x x n --能分解为两个整系数一次因式的乘积. （1）若130n ≤≤，且n 是整数，则这样的n 有多少个？ （2）当2005n ≤时，求最大的整数n .30.（重庆市竞赛题）按下面规则扩充新数：已有两数a 、b ，可按规则c ab a b =++扩充一个新数，在a 、b 、c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作.现有数1和4. （1）求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数； （2）能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由.问题解决例1.方程2270xy x y --+=的整数解（x y ≤）为______. 例2.1621-能分解成n 个质因数的乘积，n 的值是（ ）. A.6 B.5 C.4 D.3例3.计算：（1）2220034004200320024008200320042003300520032003200520053005-⨯+⨯-⨯-⨯-⨯+⨯；（2）()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++. 例4.设9310382a =+-，证明：a 是37的倍数.例5.已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，求n 的值.例6.（1）实数x ，y 满足221252810x xy y y ++-+=，则22x y -=______.（2）在平面直角坐标系中，满足不等式2222x y x y +≤+的整数点坐标(),x y 的个数为（ ）. A.10B.9C.7D.5数学冲浪 知识技能广场1.设y ax =，若代数式()()()23x y x y y x y +-++化简的结果为2x ，则a =______.2.如图，有三种卡片，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长分别为a ，b 的长方形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为______. 3.如果实数x ，y 满足方程组1,2225,x y x y ⎧-=-⎪⎨⎪+=⎩那么22x y -的值为______.4.已知2m ≥，2n ≥，且m ，n 均为正整数，如果将n m 进行如下方式的“分解”，那么下列三个叙述：（1）在52的“分解”中最大的数是11； （2）在34的“分解”中最小的数是13；（3）若3m 的“分解”中最小的数是23，则m 等于5. 其中正确的是______.5.若实数x ，y ，z 满足()()()240x z x y y z ----=，则下列式子一定成立的是（ ） A.0x y z ++= B.20x y z +-= C.20y z x +-=D.20z x y +-=6．边长为a ，b 的矩形的周长为14，面积为10，则22a b ab +的值为（ ） A.140B.70C.55D.247．设n 为某一自然数，代入代数式3n n -计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，其中正确的结果是（ ）. A.5814B.5841C.8415D.84518．a ，b ，c 是正整数，a b >，27a ab ac bc --+=，则a c -等于（ ） A.1- B.1-或7- C.1 D.1或79．计算：（1）32322004220042002200420042005-⨯-+-； （2）44444444441111124681044444111111357944444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.10.选取二次三项式()20ax bx c a ++≠中的两项，配成完全平方式的过程叫配方. ①选取二次项和一次项配方：()224222x x x -+=--；②选取二次项和常数项配方：(()22424x x x x -+=+，或((32424x x x x -+=-+；③选取一次项和常数项配方：22242x x x -+=-.根据上述材料，解决下面的问题.（1）写出284x x -+的两种不同形式的配方；（2）已知22330x y xy y ++-+=，求y x 的值.思维方法天地11.若两个不等实数m ，n 满足22m m a -=，22n n a -=，225m n +=，则实数a 的值为______. 12.已知a ，b ，x ，y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，则()()2222a b xy ab x y +++=______. 13.整数x ，y 满足方程283xy x y ++=，则x y +=______.14.A ，n 都是自然数，且21526A n n =++是一个完全平方数，则n =______. 15.若22222006200620072007m =+⨯+，则m （ ）. A.是完全平方数，还是奇数 B.是完全平方数，还是偶数 C.不是完全平方数，但是奇数D.不是完全平方数，但是偶数16．设n 为某一正整数，代入代数式2n n -计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，其中仅有一个是正确的，则这个正确的结果是（ ） A.7770B.7775C.7776D.777917．方程222334x xy y ++=的整数解(),x y 的组数为（ ）. A.3B.4C.5D.618．黑板上写有1，12，…，1100共100个数字，每次操作先从黑板上的数中选取两个数a ，b ，然后删去a ，b ，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后黑板上剩下的数是（ ）. A.2012B.101C.100D.9919．已知()()222012a b c b a c +=+=，且a b ≠，求()2c a b +的值.20.计算：()()()()()()()()()()424242424242424242422214416618881010133155177199111111++++++++++++++++++++.应用探究乐园21.当我们看到下面这个数学算式333337133713503724613724++==++时，大概会觉得算题的人错用了运算法则吧，因为我们知道3333a b a bc d c d++≠++，但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种等式：333331313232++=++，333352525353++=++，333373737474++=++，3333107107103103++=++，…，你能发现以上等式的规律吗？22.按下面规则扩充新数：已有两数a ，b ，可按规则c ab a b =++扩充一个新数，在a ，b ，c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数……每扩充一个新数叫做一次操作.现有数1和4. （1）求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数； （2）能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由.。
2004年全国初中数学联合竞赛试题及解答
3 ，则 a
1 1 3 3 1 3 3 a 1 1 3= (a ) 3 2 3 6 2 2 a 2 a 2
S△ AOB S△ APC S△PDB S矩形PCOD
因此，二象限中不存在这样的三角形．故选 C． 5．已知 b2 4ac 是一元二次方程 ax2 bx c 0 (a 0) 的一个实数根，则 ab 的取值范围为 （ ） A． ab ≥ 【答】B.
a . 2
D C
因为 BC 为直径，所以∠BPC＝90° . 易证△MBC≌△FAB≌△MAF， 所以 AF＝ MA＝MB＝ 由 DE∥BC 可得： ∴BN＝ ∴
a ，AE＝BC＝a. 2
A F N P M B
BN BP BC 2 AF PF EF 3
a 2a ，NC＝ 3 3
BN 1 NC 2
第一试
一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1. 已知 abc 0 ，且 a b c 0 ，则代数式 A．3 【答】A. 原代数式
a 2 b 2 c 2 a 3 b3 c 3 ． bc ca ab abc
a 2 b2 c 2 的值是（ bc ca ab
l E P M Q K H A O D N R H B C F
G
6
三． （本题满分 25 分）已知点 A(0 ， 3) ， B(2 ， 1) ，C (2 ， 1) ， P(t ， t 2 ) 为抛物线 y x 2 上 位于三角形 ABC 内（包括边界）的一动点，BP 所在的直线交 AC 于 E，CP 所在的直线交 AB 于 F．将
a 2 b 2 c 2 a 3 b3 c 3 3 bc ca ab abc
全国初中数学竞赛历年竞赛试题以及参考答案 (1).pptx
7．据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数 T 与这两个城市的人口
数
m、n（单位：万人）以及两城市间的距离
d（单位：km）有 T
kmn d2
的关系
(k 为常数) . 现测得 A、B、C 三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且
已知 A、B 两个城市间每天的电话通话次数为 t，那么 B、C 两个城市间每天的电
时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的
兴趣保持平稳的状态，随后开始分散. 学生注意力指标数 y 随时间 x（分钟）变
化的函数图象如图所示（y 越大表示学生注意力越集中）. 当 0 x 10 时，图
象 是抛物线的一部分，当10 x 20 和 20 x 40 时，图象是线段.
的两个根，整理此方程，得
x2 5x 1 0，
∵ 25 4 0 ， ∴ a b 5， ab 1. 故 a、b 均为负数. 因此
b b a a b ab a ab a2 b2 ab a b2 2ab 23.
a ba
b
ab
ab
2. 若直角三角形的两条直角边长为a 、 b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则有
9． 如图所示，在梯形 ABCD 中，AD∥BC (BC>AD)，
D 90 ，BC=CD=12, ABE 45 ，若 AE=10，
则 CE 的长为
.
答：4 或 6 解：延长 DA 至 M，使 BM⊥BE. 过 B 作 BG⊥AM， G 为垂足.易知四边形 BCDG 为正方形， 所以 BC=BG. 又 CBE GBM ， ∴ Rt△BEC≌Rt△BMG. ∴ BM=BE， ABE ABM 45， ∴△ABE≌△ABM，AM=AE=10.
2004年山东省初中数学竞赛
a 2+ 4 b2a 2+ 4 b22004 年山东省初中数学竞赛一、选择题(每小题 6 分 ,共 48 分) 1. 已知 n 是奇数 , m 是偶数 ,方程组2 004 + y = n , 11 x + 28 y = m有整数解( x 0 , y 0 ) . 则() .(A) x 0 、y 0 均为偶数 (B) x 0 、y 0 均为奇数(C) x 0 是偶数 , y 0 是奇数 (D) x 0 是奇数 , y 0 是偶数2. 若 ab ≠0 ,则等式3. 设 a 、b 、c 、d 都是非零实数. 则 - ab 、 ac 、 b d 、 c d ( ) .(A ) 都是正数 (B ) 都是负数(C) 是两正两负(D) 是一正三负或一负三正 4. 如图 1 , 在矩形 ABCD 中 , AB = a , BC= b , M 是 BC 的中点 , DE ⊥AM , E 为垂足. 则DE = ( ) .(A)2 ab图 1a 5 - - b= a 3- 1 ab4 a 2 + b 2(B)ab 成立的条件是() (A ) a > 0 , b > 0 (B ) a < 0 , b > 0(C ) a > 0 , b < 0(D ) a < 0 , b < 0(C) 2 ab(D)ab运动员名下 ,那么 ,其中必有一名运动员至少被5 位裁判都评为 1 分 ,于是 ,由题设可知 ,其余裁判给该运动员的评分不大于 4 ,从而 , c 1 ≤5 ×1 + 4 ×4= 21.(3) 如果 9 位裁判评出的 9 个 1 分集中在三名运动员名下 ,那么 ,这三名运动员各自所得的总分之和不大于9 ×1 + 9 ×3 + 9 ×4 = 72.从 而 ,3 c 1 ≤c 1 + c 2 + c 3 ≤72. 故 c 1 ≤24.(4) 如果 9 个 1 分为 4 名运动员拥有 ,那么 ,这 4名运动员各人所得总分之和等于9 ×1 + 9 ×2 + 9 ×3 + 9 ×4 = 90.从而 ,4 c 1 ≤90. 故 c 1 < 23. 综上可知 , c 1 ≤24.c 1 = 24 这种情形是可以实现的 ,见表 2.表 2(汤文卿 提供)4 a 2 + b 2A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 A 11 A 12B 1 1 4 3 2 5 6 7 9 10 8 11 12 B 2 1 4 3 2 5 6 7 9 10 8 11 12 B 3 1 4 3 2 5 6 7 9 10 8 11 12 B 4 4 3 1 5 2 7 9 6 8 11 10 12 B 5 4 3 1 5 2 7 9 6 8 11 10 12 B 6 4 3 1 5 2 7 9 68 11 10 12B 7 3 1 4 2 5 9 6 7 11 10 8 12 B 8 3 1 4 5 2 9 6 7 11 10 8 12 B 931 425 96 7 11 10 8 12合计 24 24 24 303366 66 66 87 87 87 108进价0 a + b的值为 2005 年第 5 期5. 某商店出售某种商品每件可获利 m27若 DE = 2 , BC = 6 ,则 MN =.元 , 利润率为 20 % 利润率 =售价 - 进价.若这种商品的进价提高 25 % ,而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利 m 元 ,则提价后的利润率为( ) .(A ) 25 % (B ) 20 % (C ) 16 %(D ) 1215 %6. 如图 2 , 在 △ABC 中 , ∠ACB = 90°,∠A = 20°. 将 △ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转角α到 △A ′B ′C 的位置 ,其中 A ′、B ′分别是 A 、B 的对应点 ,B 在 A ′B ′上 ,C A ′交 AB 于 D . 则 ∠BDC 的度 数 为图 3 图 412. 如图 4 ,在矩形 ABCD 中 , AB = 5 , BC = 12. 将矩形 ABCD 沿对角线AC 对折后放在桌面上 ,折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是 .三、解答题(每小题 20 分 ,共 60 分)13. 甲、乙两汽车零售商 (以下分别简称甲、乙) 向某品牌汽车生产厂订购一批汽车 , () .图 2甲开始订购的汽车数量是乙所订购数量的 3 (A ) 40° (B ) 45° (C ) 50° (D ) 60° 7. 若 x 是一元二次方程 ax 2+ bx + c = 0 ( a ≠0) 的根 ,则判别式Δ = b 2- 4 ac 与平方倍. 后来 ,由于某种原因 ,甲从其所订的汽车中转让给乙 6 辆. 在提车时 ,生产厂所提供的汽车比甲、乙所订购的总数少了 6 辆 ,最后 , 式 M = (2 ax 0 + b ) 2的大小关系是() .甲所购汽车的数量是乙所购的 2 倍. 试问 : (A )Δ > M (B )Δ = M (C )Δ < M(D ) 不能确定8. 在 △ABC 中 , a 、b 、c 分别 为 ∠A 、∠B 、∠C 的对边. 若 ∠B = 60°, 则c+a ( ) . c + b甲、乙最后所购得的汽车总数至多是多少辆 ? 又至少是多少辆 ?14. 如图 5 ,已知 3 个边长相等的正方形相邻并 排. 求 ∠EB F+ ∠EBG .图 5(A) 12(B) 22(C ) 1(D ) 215. 从 1 ,2 , ,2 004 中任选 k 个数 ,使所二、填空题(每小题 8 分 ,共 32 分)9. 若 x 1 、x 2 都满足条件| 2 x - 1| + | 2 x + 3| = 4 , 且 x 1 < x 2 ,则 x 1 - x 2 的取值范围是.10. 已知 a 、b 是方程 x 2- 4 x + m = 0 的两个根 , b 、c 是方程 x 2- 8 x + 5 m = 0 的两个根. 则 m = .11. 如图 3 ,在 △ABC 中 , D 、E 分别在边 AB 、AC 上 ,且 DE ∥BC . 过点 A 作平行于 BC的直线分别交 CD 、B E 的延长线于点 M 、N .选的 k 个数中 ,一定可以找到能构成三角形边长的 3 个数(这里要求三角形三边长互不相等) . 试问:满足条件的 k 的最小值是多少 ?参 考 答 案一 、1. C 2. B 3. D 4. A 5. C 6. D 7. B8. C二 、9. - 2 ≤x 1 - x 2 < 0 10. 0 或 3 11. 6 12.2 03548三、13. 设甲、乙最后所购得的汽车总数为 x 辆 ,致 读 者1《. 中等数学》2004 年合订本现正发售 ,每本 27 元(含邮挂费) 。
04-1995年全国初中数学竞赛试题及答案
1995年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题1．已知a＝355,b＝444,c＝533,则有［]A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜bA．1B．2 C．3 D．43．如果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［]A．62πB．63πC．64πD．65π5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定6．设实数a、b满足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，则[ ]A．a＞0且b＞0B．a＜0且b＞0二、填空题1．在12，22，32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____个。
4．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2＝AC·BC，则∠CAB＝______．第二试一、已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如图）求证F为△CDE的内心。
二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数理由。
三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。
1995年全国初中数学联赛参考答案第一试一、选择题1．讲解：这类指数幂的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有c＝(53)11＝12511＜24311＝(35)11＝a＜25611＝(44)11＝b。
选C。
利用lg2＝0.3010，lg3＝0.4771计算lga、lgb、lgc也可以，但没有优越性。
2．讲解：这类方程是熟知的。
先由第二个方程确定z＝1,进而可求出两个解：(2，21，1)、(20，3，1)．也可以不解方程组直接判断：因为x≠y(否则不是正整数)，故方程组①或无解或有两个解，对照选择支，选B。
全国初中数学竞赛试题及答案(2004年).doc
2004年全国初中数学联合数学竞赛试题第一试一．选择题1．已知abc ≠0，且a+b+c =0, 则代数式222a b c bc ca ab++的值是（ ） (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 02．已知p,q 均为质数，且满足5p 2+3q=59，则以p+3,1-p+q,2p+q-4为边长的三角形是（ ） (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰三角形3． 一个三角形的边长分别为a,a,b ，另一个三角形的边长分别为b,b,a ，其中a>b ，若两个三角形的最小内角相等，则ab的值等于（ ）(A)12 (B) 12 (C) 22+ (D) 224．过点P(-1,3)作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（ ）(A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条5．已知b 2-4ac 是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的一个实数根，则ab 的取值范围为（ ） (A) 18ab ≥(B) 18ab ≤ (C) 14ab ≥ (D) 14ab ≤ 6．如图，在2×3矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（ ）(A) 24 (B) 38 (C) 46 (D) 50二．填空题 1．计算2003++= .2．如图ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆交于另一点P ，延长AP 交BC 于点N ，则BNNC= .D A C B3．实数a,b满足a3+b3+3ab=1,，则a+b= .4．设m是不能表示为三个合数之和的最大整数，则m= .第二试（A）一．已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数，求整数n的值。
二．已知如图，梯形ABCD中，AD∥BC, 以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF，设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M，EP⊥l于P，FQ⊥l于Q。
2004年荆州市初中数学竞赛初三
22 中等数学竞赛之窗2004 年荆州市初中数学竞赛(初三)一、选择题(每小题5 分,共30 分)1. 若n 满足( n - 2 004) 2 + (2 005 - n) 2 = 1 ,则(2 005 - n) ( n - 2 004) 等于( ) . 0) . 则S = a + b + c 的值的变化范围是( ) .(A) 0 < S < 1 (B) 0 < S < 2(A) - 1 (B) 0 (C)12(D) 1(C) 1 < S < 2 (D) - 1 < S < 1x2 - 5| x| + | y| = 0 ,2. 如图1 , 已知 6. 方程组 2 在实数y - 5| y| + | x| = 0∠CGE= 120°. 则∠A+∠B + ∠C + ∠D + ∠E+ ∠F = ( ) .(A) 150°(B) 210°(C) 240°(D) 270°图13. 设x 、y 、z 均为正实数,且满足z< x < y .x + y y + z z + x则x 、y 、z 的大小关系是( ) .(A) z < x < y (B) y < z < x(C) x < y < z (D) z < y < x 范围内解的组数为( ) .(A) 多于5 组(B) 5 组(C) 3 组(D) 1 组二、填空题(每小题5 分,共30 分)1.已知p 、q 均为质数,且满足5 p2 + 3 q = 59. 则p + q = .2.如图3 , G 是边长为4 的正方形ABCD 的边BC 上一点, 矩形DEFG 的边EF 过点A ,GD = 5. 则FG 的长为4.如图2 , 两名滑冰. 图3运动员陈洁和李莉分别在平坦冰面上的点 A 和点B . 点A 和B 之间的距离是100 m ,陈洁离开点A 以8 m/ s 的速度沿着图 2与AB成60°角的直线滑行,在陈洁离开点 A 的同时,李莉以7 m/ s的速度也沿着一条直线滑行离开点 B ,这条直线能使这两名滑冰者在给定的速度下最早相遇. 则最早相遇的时间是( ) .(A) 18 s (B) 20 s (C) 22 s (D) 100s 35.二次函数y = ax2 + bx + c ( a ≠0) 图像3.若干名游客要乘坐汽车,要求每辆汽车坐的人数相等. 如果每辆汽车乘坐30 人, 那么,有一人未能上车; 如果少一辆汽车,那么,所有游客正好能平均分到各辆汽车上. 已知每辆汽车最多容纳40 人. 则有游客人.4.已知△ABC 是非等腰直角三角形, ∠BAC = 90°,在BC 所在直线上取两点 D 、E 使DB = BC =CE ,联结AD 、A E. 已知∠BAD = 45°. 那么,tan ∠C A E= .5. 四条直线y = x + 10 , y = - x + 10 , y = x - 10 , y = - x - 10 在平面直角坐标系中围成的正方形内(包含四边) 整点的个数有的顶点在第一象限,且过点(0 ,1) 和点( - 1 , . (注: 若x 、y 为整数, 则( x , y ) 为整32 a2005 年第 11 期 23点)6. 如图 4 ,已知圆内接等边 △ABC , 在劣弧BC 上有一点 P . 若 A P 与 BC 交于点 D , 且 PB =参 考 答 案一、1. B.设 (2 005 - n ) = a , ( n - 2 004) = b , 则a +b = 1 , a 2 + b 2 = 1.( a + b ) 2 - ( a 2 + b 2 )21 , PC = 28 , 则 PD =.图 4故 ab =2. C.2= 0.三、(15 分) 已知 k 是整数 ,且方程 x 2+ kx - k + 1 = 0有两个不相等的正整数根. 求 k 的值.四、(15 分) 某出版公司为一本畅销书定价如下 :12 n , 1 ≤n ≤24 ;联结 AG ,有∠AGC = ∠B + ∠BAG , ∠AGE = ∠F + ∠FAG . 则 ∠B + ∠BA F + ∠F = ∠EGC = 120°. 同理 , ∠C + ∠D + ∠E = ∠BGF = 120°. 故 ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F = 240°.3. A.C ( n ) = 11 n , 25 ≤n ≤48 ;≥因为 x 、y 、z 为正实数 ,则有x + y > y + z > z + x .10 n , n 49.z x y这里的 n 表示订购书的数量 , C ( n ) 是订购书所付的钱款数(单位 :元) .(1) 有多少个 n ,会出现买多于 n 本书比恰好买 n 本书所花的钱少 ?(2) 若一本书的成本是 5 元 ,现有两个人来买书 ,每人至少买一本 ,两人共买 60 本 ,则出版公司最少能赚多少元 ? 最多能赚多少元 ?五、(15 分) 如图 5 ,已知 AC 、BD 是 ⊙O,x + y + z > x + y + z > x + y + z .zxy4. B.过点 C 作 CD ⊥AB 于 D . 设满足题设的时间为t s ,则 AC = 8 t , BC = 7 t .又 ∠A = 60°,有 AD = 4 t , CD = 4 3 t . 由勾股定理知(7 t ) 2 = (100 - 4 t ) 2 + (4 3 t ) 2 .解得 t = 20 或 t =100(舍) . 的内接四边形 ABCD 的对角线 , 且 BD 垂直平分半径 OC ,在 AC 上取一点 P 使 CP = OC , 联结 B P 并延长交 AD 于点 E 、交 ⊙O 于点F . 求证 : PF 是 EF 和 B F 的比例中项.5. B.分别令 x = 0 , y = 1 和 x = - 1 , y = 0. 解 得 c = 1 , a = b - 1. 故 S = a + b + c = 2 b .由题设知 - b > 0 ,且 a < 0 ,推知 2 b > 0. 又由 b = a + 1 及 a < 0 推知 2 b < 2. 故 0 < S < 2.6. A.设| x | = a ,| y | = b ,则原方程组可化为a 2 - 5 a +b = 0 ,六、(15 分) 如图 6 ,已知矩形 ABCD , ADb 2 - 5 b + a = 0.= 2 , DC = 4 , BN = 2 AM = 2 MN ,点 P 在 CD 上移动 , A P 交 DM 于点 E , PN 交 CM 于点 F ,设四边形 M EPF 的面积为 S . 求 S 的最大值.两式相减并化为( a - b ) ( a + b - 6) = 0.则 a - b = 0 或 a + b - 6 = 0. 由此可得从而44 DP CP 24a 2 - 5 a +b = 0 , 或a -b = 0a 2 - 5 a +b = 0 , a + b - 6 = 0.DO ) , △DOA ( 仅不含边 AO ) . 每 中 等 数 学由第一个方程组解得( a , b ) = (0 ,0) , (4 ,4) . 由第二个方程组解得( a , b ) = (3 + 3 ,3 - 3) , (3 - 3 ,3 + 3) .因此 ,由( a , b ) 的第一组解推得( x , y ) = (0 ,0) ; 其他三组解可分别推得 4 组解.所以 ,原方程组共有 13 组不同的实解. 二、1. 15.由 5 p 2 + 3 q 为奇数 ,知 p 、q 必为一奇一偶. 又 p 、q 均为质数 ,故 p 、q 中有一个为 2.若 q 为 2 ,则 p 2 = 53,不合题意 ,舍去 ;个三角形内所含整点的个数均为1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 + 10 = 55 , 再加上原点 , 共有 55 ×图 84 + 1 = 221.6. 12.由 △ABD ∽ △CPD ,知BD =AB.DC AC5若 p 为 2 ,则 q = 13. 16又由 △ACD ∽ △B PD ,知DP = B P.两式相除得BD =B P = 3 .2. 5. 联结 AG . 由DCCP4因为 △ABD ∽ △CPD ,知PD = CP. 所以 ,BDBD BDAB3设有 x 辆汽车 ,少一辆汽车后每辆车坐 y 人 ,则有30 x + 1 = y ( x - 1) .从而 , y = 30 x + 1 = 30 + 31.PD =AB·CP =BC·CP = 7×28 = 12.三、设方程 x 2 + kx - k + 1 = 0 的两个不相等的正整数根为 a 、b (不妨设 a < b ) . 于是 ,a +b = - k , ab = - k + 1. 消去 k 有 ab - a - b = 1 ,即( a- 1) ( b - 1) = 2.只有 a - 1 = 1 , b - 1 = 2 ,即 a = 2 , b = 3.故 k = - 5.x - 1 x - 1四、(1) 由 C (25) = 275 , C (24) = 288 ,所以 , x = 2 (不合题意) , x = 32.因此 ,游客人数为 30 ×32 + 1 = 961.4. 1 . 4如图 7 ,过 B 、C 两点作 BM ∥AC 、CN ∥AB 分别交 AD 、A E 于 M 、N .图 7易知 AC = 2 BM , AB = 2 CN . C (23) = 276 , C (22) = 264 ,有 C (25) < C (23) < C (24) .由 C (49) = 490 , C (48) = 528 , C (47) = 517 ,C (46) = 506 , C (45) = 495 , C (44) = 484 ,有 C (49) < C (45) < C (46) < C (47) < C (48) .共有 6 个 n (即 23 ,24 ,45 ,46 ,47 ,48) ,会出现买多于 n 本书比恰买 n 本所花的钱少.(2) 设两人各购买 a 本和 b 本共付钱 S 元 ,不妨设 a ≤b . 由 a + b = 60 , 知 1 ≤a ≤30.(i ) 1 ≤a ≤11 时 ,49 ≤b ≤59 ,BM CNS = 12 a + 10 b = 10 ( a + b ) + 2 a = 600 + 2 a ,又 tan ∠BAD =AB,tan ∠CA E =AC,从而 ,tan ∠BAD ·tan ∠C A E =1 . 因为 tan ∠BAD = 1 ,则 tan ∠CA E = 1 .5. 221.如图 8 , 分 4 个三角形考虑 : △AOB ( 仅不含边 BO ) , △BOC ( 仅 不 含 边 CO ) , △COD ( 仅 不 含 边则 602 ≤S ≤622 ;(ii ) 当 12 ≤a ≤24 时 ,36 ≤b ≤48 , S = 12 a + 11 b = 660 + a ,则 672 ≤S ≤684 ;(iii ) 当 25 ≤a ≤30 时 ,30 ≤b ≤35 ,则 S = 11 a + 11 b = 660.(下转第 36 页)S △ADG = 1 S 正方形ABCD = 1S 长方形DEFG = 8 ,2 2 5注 :还可利用 △A ED ∽ △GDC 求解.3. 961.则 FG = 16.x + 15 - x3236中 等 数 学从而 , ∠OAH = ∠OAM = ∠OBM . 在 △AHB 中 , ∠AHB = 90°,因此 , ∠O AH + ∠OAM + ∠OBM = 90°. 这表明 ∠A = ∠O AH + ∠OAM = 60°.8. 2. 同 6. 4. 8. 3. 用反证法.假设所言不真. 将所得到的 14 位数记为a 1 a 2a k a k + 1a 14 ,而被删去的 0 位于 a k 与 a k + 1 之间. 由于该 14 位数是81 的倍数 ,所以 ,恰好在 9 个数位上是 1 ,其余数位上是 0. 这就意味着在 a k + 1 ,, a 14 中至多能有 8 个1 ,从而 , a k + 1a 14 不是 9 的倍数.另一方面 ,却有10 ·a 1 a 2a k a k + 1a 14 - a 1 a 2a k 0 a k + 1a 14= 9·a k + 1 a 14 ,该式左端是 81 的倍数 ,右端不是 81 的倍数 ,矛盾.8. 4. 为了确定面值为 k 匹亚斯特的硬币是否为假币 ,可以如同第 7. 4 题那样进行有该枚硬币参与的 33 次称量 ,其中只需要其余各枚硬币参与不多于一次称量. 例如 ,对于 33 < k ≤66 ,可以进行如下一些称量 :(1) + ( k ) = ( k + 1) , (2) + ( k ) = ( k + 2) ,(33) + ( k ) = ( k + 33) ;对于其他的 k , 不难写出相应的称量. 如同第7. 4题那样 ,如果面值为 k 匹亚斯特的硬币为假币 ,则其中有一多半不平衡 ;而如果为真币 ,则只有一小半不平衡.8. 5. n = 6.显然 , n 不是质数 ,也不是完全平方数. 令 n =ab ,其中 a 、b 是 n 的相异的正约数. 将 n 的所有除了 n 之外的正约数的平方和记为 s . 则 s ≥a 2 + b 2 +1. 因为 a ≠b ,所以 , a 2 + b 2 + 1 > 2 ab + 1. 于是 ,s ≥a 2 + b 2 + 1 ≥2 ab + 2 = 2 n + 2.当且仅当 a 、b 都是质数 ,并且| a - b | = 1 时 ,该式中的等号成立.因此 , a 、b 只能是 2 、3 ,从而 , n = 6.8. 6. 将每个罐头的价格表示为两个部分的和 a + b ,其中 a 为“底价”,按 1 卢布/ 克计算 ; b 称为“附加价”. 由题意知 ,商店共有 1 吨罐头 ,它们的底价的总和刚好为 100 万卢布. 而每听罐头的附加价 不超过 300 卢布 ,故 1 994 听罐头的附加价总和少于2 000 ×300 = 60 万卢布. 所以 , 罐头的总价值少于 160 万卢布.8. 7. 同 7. 7.(上接第 24 页) 故出版公司最少赚 602 - 60 ×5 = 302 元 ,最多赚684 - 60 ×5 = 384 元.因此 , PF 2 = EF ·B F .六、联结 PM . 设 DP = x ,则 PC = 4 - x .因为 AM ∥DP ,所以 , PE = DP.五、如 图 9 , 联 结 OB 、 A F . 因为 BD 垂直平分半径 EA AM于 是 , PE = DP , 即 PE = x .OC , 则 BO = BC .又 OB = OC = CP ,所以 ,CP = CB .PA DP + AM 又 S △MEP = PE ,且 S S △A PM PA PA x + 1 △A P M = 1 AM ·AD = 1 ,则 从而 , ∠PBC = ∠B PC . 由 ∠PBD= ∠PBC - ∠CBD ,图 9S △MPE = x.同理 , S △MPF = 4 - x.∠AB P = ∠B PC - ∠BAC ,x 4 - x 1 1及已知 OC ⊥BD ,得到点 C 是劣弧BD 的中点. 所以 ,故 S = 1 + x + 5 - x = 2 - 1 + x -5 - x∠BAC = ∠DAC = ∠CBD . 因此 , ∠PBD = ∠AB P .= 2 -- x 2 6 + 4 x + 5= 2 + 6 2( x - 2) - 9 故点 P 为 △ABD 的内心.≤2 - 2 3 = 4 . 3于是 , ∠EA F = ∠AB F , ∠F = ∠F .所以 , △A EF ∽ △BA F . 从而 , A F 2 = EF ·B F . 又因为 ∠FA P = ∠FA E + ∠CAD , ∠FPA = ∠AB F + ∠BAC , 由内心性质可知∠CAD = ∠BAC , ∠FA E = ∠AB F . 所以 , ∠FA P = ∠FPA , PF = A F .当 x = 2 时 ,上式等号成立.因此 , S 的最大值为 4.(陈子俊 王业胜 提供)。
二次函数竞赛题
二次函数竞赛题1．二次函数c bx x y ++=2的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则=+c b 2 ．2．在直角坐标系中有三点A （0，1），B （1，3），C （2，6）；已知直线b ax y +=上横坐标为0、1、2的点分别为D 、E 、F .试求b a ,的值使得AD 2+BE 2+CF 2达到最小值.3.（2004年“TRULY @信利杯”全国初中数学竞赛试题）实数x 、y 、z 满足x +y +z =5，xy +yz +zx =3，则z 的最大值是_______．4.已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于___________。
5.（2003年“TRULY @信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知二次函数y =ax 2+bx +c （其中a 是正整数）的图象经过点A （-1，4）与点B （2，1），并且与x •轴有两个不同的交点，则b +c 的最大值为________．6.设抛物线()452122++++=a x a x y 的图象与x 轴只有一个交点，（1）求a 的值；（2）求618323-+a a 的值.7. 通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散. 学生注意力指标数y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示（y 越大表示学生注意力越集中）. 当100≤≤x 时，图象是抛物线的一部分，当2010≤≤x 和4020≤≤x 时，图象是线段.（1）当100≤≤x 时，求注意力指标数y 与时间x 的函数关系式； （2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟. 问老师能否经过适当安排， 使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36.8．课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口．．的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．初三（1）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，•水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，•他们对水槽的横截面进行了如下探索： （1）方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图a ）．若∠ACB =90°，设AC =x 厘米，该水槽的横截面面积为y 厘米2，请你写出y 关于x 的函数关系式（不必写出x 的取值范围），并求出当x 取何值时，y 的值最大，最大值又是多少？方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图b ）．若∠ABC =120°，•请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的y 的最大值比较大小．（2）假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供两种方案，•使你所设计的水槽的横截面面积更大．画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）．9．如图，抛物线2(0)y ax bx a =+>与双曲线ky x=相交于点A ，B . 已知点A 的坐标为（1，4），点B 在第三象限内，且△AOB 的面积为3（O 为坐标原点）.（1）求实数a ，b ，k 的值；（2）过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，求所有满 足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标.10.如图，抛物线()2230y mx mx m m =-->与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点.（1）请求出抛物线顶点M 的坐标（用含m 的代数式表示），A B 、两点的坐标； （2）经探究可知，BCM △与ABC △的面积比不变，试求出这个比值；（3）是否存在使BCM △为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明 理由.11．已知抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公共点),(11y x ，),(22y x ，且3222221-+=+t t x x . （1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值.12.已知0<a ，0≤b ，0>c ，且ac b ac b 242-=-，求ac b 42-的最小值.13. 在自变量x 的取值范围59≤x ≤60内，二次函数212y x x =++的函数值中整数的个数是( ) A .59 B .120 C .118 D .6014. 在直角坐标系中，抛物线223(0)4y x mx m m =+->与x 轴交于A ，B 的两点.若A ，B 两点到原点的距离分别为OA ，OB ，且满足1123OB OA -=，则m =__ ___.15. Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y =上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则（ ）（A ）h <1 （B ）h =1 （C ）1<h <2 （D ）h >216. 设0＜k ＜1，关于x 的一次函数)1(1x kkx y -+=，当1≤x ≤2时的最大值是（ ） （A ）k （B ）k k 12- （C ）k1（D ）k k 1+17. 平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数1212-+=x x y 的图象上整点的个数是 （ ）（A ）2个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）8个18. 函数1422-+=x x y 的最小值是 ．19.对220b a ab ≠≠，，二次函数))((b x a x y --=的最小值为 （ ）A . 2)2(b a + B . 2)2(b a +- C . 2)2(b a - D . 2)2(b a --20.两抛物线222b ax x y ++=和222b cx x y -+=与x 轴交于同一点（非原点），且a 、b 、c 为正数，a ≠c ，则以a 、b 、c 为边的三角形一定是 （ ） A . 等腰直角三角形 B . 直角三角形 C . 等腰三角形 D . 等腰或直角三角形21.当n =1，2，3，……，2003，2004时，二次函数1)12()(22++-+=x n x n n y 的图象与x 轴所截得的线段长度之和为（ ） A . 20032002B .20042003C .20052004D .2006200522.已知二次函数c bx ax y ++=2图象如图6-2所示，则下列式子： ab ，ac ，a +b +c ，a -b +c ，2a +b ，2a -b 中，其值为正的式子共有 个.23.如果当m 取不等于0和1的任意实数时，抛物线mm x m x m m y 3212--+-=在平面直角坐标系上都过两个定点，那么这两个定点间的距离为＿＿＿＿＿＿＿24.已知抛物线1)1(2+++=x k x y 与x 轴两个交点A 、B 不全在原点的左侧，抛物线顶点为C ，要使△ABC 恰为等边三角形，那么k 的值为＿＿＿＿＿＿＿25.设x 为实数，则函数12156322++++=x x x x y 的最小值是＿＿＿＿＿＿26.设二次函数q px x y ++=2的图象经过点（2，-1）， 且与x 轴交于不同的两点A （x 1，0） B （x 2，0），M为二次函数图象的顶点，求使△AMB 面积最小时的二次函数的解析式.27.已知：3x 2+2y 2=6x , x 和y 都是实数，求：x 2+y 2的最大、最小值.28.ABC ∆中,∠B =60，AC =1，求BA +BC 的最大值及这时三角形的形状.29.如图，点G 、D 、C 在直线a 上，点E 、F 、A 、B 在直线b 上，若a b ∥，Rt GEF ∆从如图所示 的 位置出发，沿直线b 向右匀速运动，直到EG 与BC 重合．运动过程中GEF ∆与矩形ABCD 重合部分．．．．的面积()S 随时间()t 变化的图象大致是（ ）FEGABCD N MH GFEDC BAkg ）30.（南京）如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC CD ，上的点，413CE CF ==，,直线EF 交AB 的延长线于G ，过线段FG 上的一个动点H 作HM AG ⊥，HN AD ⊥，垂足分别为M N ，，设HM x =，矩形AMHN 的面积为y⑴ 求y 与x 之间的函数关系式；⑵ 当x 为何值时，矩形AMHN 的面积最大，最大面积为多少？31.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示． （1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大.32．函数623)12(222+-+--=k k x k x y 的最小值为m ，则当m 达到最大时，x ＝______ （2004年全国初中数学联赛）33．设a ，b 为实常数，k 取任意实数时，函数)3()(2)1(2222b ak k x k a x k k y ++++-++=的图像与x 轴-2-1O1x2交于点A （1，0）（1）求a ，b 的值（2）若函数与x 轴的另一个交点为B ，当k 变化时，求AB 的最大值34.（2007年福州）如图所示，二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象经过点（－1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为1x 、2x ，其中－2＜1x ＜－1，0＜2x ＜1，下列结论：①420a b c -+<；②20a b -<；③a ＜－1；④284b a ac +＞.其中正确的有：（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个35.（2007年天门）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米，现在O点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图所示）． （1）直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； （2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．36.（2009年天津市）已知函数212y x y x bx c αβ==++，，，为方程120y y -=的两个根，点()1M T ，在函数2y 的图象上． （Ⅰ）若1132αβ==，，求函数2y 的解析式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数1y 与2y 的图象的两个交点为A B ，，当ABM △的面积为112时，求t 的值； （Ⅲ）若01αβ<<<，当01t <<时，试确定T αβ，，三者之间的大小关系，并说明理由．37. 已知点A (0,3)，B (-2,-1)，C (2,-1) P (t ,t 2)为抛物线y ＝x 2上位于三角形ABC 内（包括边界）的一动点，BP 所在的直线交AC 于E ， CP 所在的直线交AB 于F 。
2004年全国初中数学联赛山东赛区预赛暨(及答案)
2004年全国初中数学联赛山东赛区预赛暨2003年山东省“KLT 快灵通杯”初中数学竞赛试题（2003年11月30日上午 8：00-11：00）一、 选择题（本题共8小题，每小题6分，满分48分）：下面各题给出的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在题促括号内。
1．如果a,b,c 是非零数，且a+b+c=0,那么abcabcc c b b c a +++的所有可能的值为（ ） （A ） 0 （B ） 1或-1 （C ） 2或-2 （D ） 0或-22．如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是（ ）（A ） 1+a （B ）12+a （C ） 122++a a （D ）122++a a3．甲、乙、丙三人比赛象棋，每局比赛后，若是和棋，则这两人继续比赛，直到分出胜负，负者退下，由另一人与胜者比赛。
比赛若干局后，甲胜4局、负2局；乙胜3局、负3局。
若丙负3局，那么丙胜（ ） （A ）0局 （B ）1局 （C ）2局 （D ）3局4．关于x 的不等式组 a x x x x +<+->+235352只有5个整数解，则a 的取值范围是（ ）（A ）2116-<<-a （B ）2116-<≤-a （C ）2116-≤<-a （D ）2116-≤≤-a5．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1,则这个正方形的面积为（ ） （A ）2537+（B ）253+ （C ）215+（D ）()221+6．某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元。
用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件。
如果获利润最大的产品是第k 档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么k 等于（ ） （A ） 5 （B ） 7 （C ） 9 （D ）107．如图，在ABC Rt ∆中，∠C=90°∠A=30°∠C 的平分线与∠B 的外角平分线交于E 点，连结AE ，则是（A ） 50° （B ）45° （C ）40° （D ）35°8．已知四边形ABCD ，从下列条件中：⑴AB ∥CD ⑵BC ∥AD ⑶AB=CD ⑷BC=AD⑸∠A=∠C ⑹∠B=∠D任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况有（ ） （A ）4种 （B ）9种 （C ）13种 （D ）15种 二、 填空题（本题共4小题，每小题8分，满分32分）：将答案直接填写在对应题目的横线上。
2004年全国初中数学联赛试题及参考答案
2004年全国初中数学联赛试题及参考答案（江西赛区加试题2004年4月24日上午8:30-11:00）一. 选择题(本题满分42分,每小题7分)1.直角三角形斜边长为整数,两条直角边长是方程9x2－3(k+1)x＋k＝0的两个根,则k2的值是…………………………( )(A)2 (B)4 (C)8 (D)92.(8+3 )9 ＋值是……………………………………………( )(A)奇数(B)偶数(C)有理数而不是整数(D)无理数3.边长分别是2、5、7的三个正方体被粘合在一起，在这些用各种方式粘合在一起的立方体中，表面积最小的那个立方体的表面积是…………………………….（）(A)410 (B)416 (C)394 (D)402x+yz=14.设有三个实数x 、y、z满足：y+zz=1 则适合条件的解组（x、y、z）有（）z+xy=1(A)3组(B) 5组(C)7组(D)9组5.8a≥1, 则的值是( )(A)1 (B) 2 (C)8a (D)不能确定6.方程的整数解有( )(A)1组(B)3组(C)6组(D)无穷多组二．填空题（本题满分28分,每小题7分）1．函数y=x2－2（2k－1）x＋3k2－2k＋6的最小值为m。
则当m达到最大时x＝2．对于1，2，3，。
，9作每二个不同的数的乘积，所有这些乘积的和是3．如图，AB，CD是圆O的直径，且AB⊥CD，P为CD延长线上一点，PE 切圆O为E，BE交CD于F，AB=6cm,PE=4cm,则EF的长=。
4．用6张1x2矩形纸片将3x4的方格表完全盖住，则不同的盖法有种。
三。
综合题1。
有二组数：A组1，2，。
，100 B组12，22 ，32 ，。
，1002若对于A组中的X，在B组中存在一个数Y，使得X+Y也是B组中的数，则称X为关联数，求A中关联数的个数2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象和x轴，y轴都只有一个交点，分别为A，B。
AB=3 ,b+2ac=0,一次函数y=x+m的图象过A点，并和二次函数的图象交于另一点D。
全国初中数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何
历年(95-10)年全国数学竞赛(联赛)分类题型详解 - 几何(1)选择题(30道题)1. 如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［ ]A．62πB．63π C．64πD．65π1995年全国初中数学联赛试题答案: D详解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一．又由AB2＋AD2 ＝252＋602 ＝52×（52＋122）＝52×132＝(32＋42)×132 ＝392＋522 ＝BC2＋CD2故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D．2. 设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定1995年全国初中数学联赛试题答案: B详解1: 不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S△ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．选B．详解2: 若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有｜CE－DF｜＝2OL．即M＝N．选B．3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于[ ]1996年全国初中数学联赛试题答案: B4．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的[ ]A．内心B．外心C．重心D．垂心1996年全国初中数学联赛试题答案: A5．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有[ ]A．4个B．8个 C．12个 D．24个1996年全国初中数学联赛试题答案: C6. 在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）181998年全国数学联赛试卷答案: C详解: 连ED，则又因为DE是△ABC两边中点连线，所以故选C．7．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（）．A．11 B．12 C．13 D．141999年全国初中数学竞赛答案: C8．在三角形ABC 中，D 是边BC 上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC 的面积是（ ）．A ．30B ．36C ．72D ．1251999年全国初中数学竞赛答案: B9．在正五边形ABCDE 所在的平面内能找到点P ，使得△PCD 与△BCD 的面积相等，并且△ABP 为等腰三角形，这样的不同的点P 的个数为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．51999年全国初中数学竞赛答案: D10. 设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a ba b a +++=，则它的内角∠A 、∠B 的关系是（ ）。
初三数学竞赛试题(有答案)
嵊州市2004年初三数学竞赛试题1．小明同学买了一包弹球，其中14是绿色的，18是黄色的，余下的15是蓝色的。
如果有12个蓝色的弹球，那么，他总共买了弹球 （）A.48个B.60个C.96个D.720个 2．一种儿童游戏，以确定这个人是“谁”。
孩子们站成一个圆圈，并唱一首有九个单词的诗歌。
按这个圆圈的顺时针方向连续计数，将第九个孩子淘汰出圈。
开始时，一圈有六个孩子。
按顺时针方向分别记为a ，b ，…，f 。
最后剩下的这个孩子是c 。
开始记数的位置是 （ ） A.b B.d C.c D.f3．若123456789123456786x =⨯，123456788123456787y =⨯，则x ，y 的大小关系是 （ ） A.x y = B.x y < C.x y > D.不确定的4．已知动点P 在边长为2的正方形ABCD 的边上沿着A －B －C －D 运动，x 表示点P 由A 点出发所经过的路程，y 表示△APD 的面积，则y 和x函数关系的图像大致为 （ ）A.B.C.D.5．如图，平行四边形ABCD 中，E 是AD 上的一点，且AE ＝13AD ，对角线AC ，BD 交于点O ，EC 交BD 于F ，BE 交AC 于G ，如果ABCD 的面积为S ，那么，△GEF 的面积为（ ）A.110S B.115SC. 120SD.130S 6．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，Q （n ，2）是图象上的一点，且AQ ⊥BQ ，则a 的值为（ ）第6题A.13-B.12-C.－1D.－2二、填空题（每小题5分，共30分） 7．若关于x 的方程212x ax +=-+的解为正数，则实数a 的取值范围是 。
8．已知四边形ABCD 内接于⊙O ，分别延长AB 和DC 相交于点P ，CB CD =，AB ＝12，CD ＝6，PB ＝8，则⊙O 的面积为 。
9．观察图形，用i S 表示第i 个三角形的面积，有12S =；22S =；3S =，…，若12310n S S S S ++++>，则n 的最小值为 。
2004年全国初中数学竞赛天津赛区初赛
x + 122004 年全国初中数学竞赛天津赛区初赛一、选择题(每小题 5 分 ,共 30 分).1. 已 知 m 2 + n 2 + mn + m - n + 1 = 0. 则 1 + 18. 将边长为 5 的正方形的值等于() .mn的每条边五等分 ,连结相应的 分点 , 如图 3 所示. 则图中所 (A ) - 1(B ) 03 ”(C ) 1 3 ”(D ) 2 2. a 、b 、c 为非零实数 ,且 a + b + c ≠0. 若 a + b - c = a - b + c = - a + b + c ,有正方形的个数为.9. 海滩上有一堆苹果是 3 只猴子的财产. 第一只猴子来c b a图 3( a + b ) ( b + c ) ( c + a )则 abc( ) . 了 ,把苹果平均分成 3 堆还多出 1 个 ,然后 ,它把多出的那个苹果扔到海里 ,自己(A ) 8 (B ) 4 (C ) 2(D ) 1 3. 方程 x + 3- y = 0 的整数解有() 组. (A ) 1(B ) 2(C ) 3(D ) 44. 如图 1 ,在 △ABC 中 , M 是 AC 的中点 , P 、Q 为边BC 的三等分点. 若 BM 与A P 、AQ 分别交于 D 、E 两点 ,则 BD 、DE 、EM 三条线段的长度比等于( ) .(A ) 3∶2∶1 (B ) 4∶2∶1 图 1 (C ) 5∶3∶2 (D ) 5∶2∶1 5. 在 △ABC 中 , ∠BAC ∶∠ABC ∶∠ACB = 4∶2∶1 , AD 是 ∠BAC 的平分线. 有如下三个结论 :①BC ∶AC ∶AB = 4∶2∶1 ; ②AC = AD + AB ; ③△DAC △ABC .其中正确的结论是() . (A ) ①② (B ) ②③ (C ) ①③ (D ) ①②③ 6. 如 图 2 , 在 等 腰 △ABC 中 , O 为底边 BC 的中点 ,以 O 为圆心作半圆与 AB 、AC 相切 ,切点分别为 D 、E . 过半圆上一点 F 作半 圆 的 切 线 , 分 别 交 AB 、AC 于 M 、N . 那 么 , BM ·CN 的值等于( ) . 图 2 BC拿走一堆 ;第二只猴子来了 ,又把剩下的苹果平均分成 3 堆 ,又多出 1 个 ,它也把多出的那个苹果扔到海里 ,拿走了一堆 ; 第三只猴子也照此办理. 则原来至少 有 个 苹 果 .10. 如图 4 所示 , AB是 ⊙O 1 的 直 径 , AO 1 是 ⊙O 2 的 直 径 , 弦 MN ∥AB , 且 MN 与 ⊙O 2 相切于点 C . 若 ⊙O 1 的半径为2 ,则由 O 1 B 、BN 、NC 、CO 1图 4围成图形的面积等于 .11. 若 1 ≤p ≤20 ,1 ≤q ≤10 ,且方程 4 x 2 - px + q = 0 的两根均为奇数. 则此方程的根为 .三、解答题(每小题 20 分 ,共 60 分)12. 已知两个二次函数 y 1 和 y 2 ,当 x =α(α> 0) 时 , y 1 取得最大值 5 ,且 y 2 = 25. 又 y 2 的最小值为- 2 , y 1 + y 2 = x 2 + 16 x + 13. 求 α的值及二次函数 y 1 、y 2 的解析式.13. 在正 2 004 边形 A 1 A 2 A 2 004 的各顶点上随意填上 1 ,2 , ,501 中的一个数. 试证明 ,一定存在四个顶点满足如下条件 :(1) 这四个顶点构成的四边形为矩形 ; (2) 此四边形相对两顶点所填数之和相等. 14. 已知直线 l 与 ⊙O 交于不同的两点 E 、F , CD 是 ⊙O 的直径 , CA ⊥l , DB ⊥l , 垂足分别为 A 、 (A) 18 (B) 14 (C) 12(D) 1B . 若 AB = 7 , BD - AC = 1 , A E = 1 ,试问在线段 AB 上二、填空题(每小题 6 分 ,共 30 分)7. 已 知 x = 3 - 1 , y = 3 + 1 . 则 x 4 + y 4 等 于是否存在点 P ,使得以点 P 、A 、C 为顶点的三角形与以点 P 、B 、D 为顶点的三角形相似 ? 若存在 ,求出3 + 1 3 - 1A P 的长 ;若不存在 ,请说明理由.等于由题意可知 , y = x + 3 = 1 + 2为整数.x + 1 x + 1所以 , x + 1 = ±1 或 x + 1 = ±2. 解 得 x = 0 , - 2 ,1 , - 3. 故原方程有 4 组整数解.m 42 3 设则abc·2004 年第 4 期 29参 考 答 案一、1. B.1[ ( m + n ) 2 + ( m + 1) 2 + ( n - 1) 2] = 0.2所以 , ∠1 + ∠2 =90°- ∠5.又 ∠BOM = ∠1 + ∠2 = 90°- ∠5 所以 , m = - 1 , n = 1. 故 1 2. A.+ 1n= 0.= ∠ON E ,∠MBO = ∠NCO , 所以 ,a +b -c = a - b + c = - a + b + c = k ,c b a△MBO △OCN ,图 7BM = OB .a +b +c = k ( a + b + c ) .因为 a + b + c ≠0 ,故 k = 1. 所以 ,原式 =2 c ·2 a ·2 b= 8.CO CN故 BM ·CN = CO ·OB = 1 BC 2. 从而 ,BM ·CN = 1 .3. D.BC 24 二、7. 194. 由已知得 x = 2 - x + y = 4 , xy = 1 ,, y = 2 + 3 . 则4. C.如图 5 ,过点 M 作 MH ∥BC 交 AQ 于 F 、交 A P 于 H . 因此 ,MD = MH = 1 ·PC = 1 ,x 2 + y 2 = ( x + y ) 2- 2 xy = 14 , x 4 + y 4 = ( x 2 + y 2 ) 2 - 2 x 2 y 2 = 194. 8.137.见表 1.表 1BD B P 2 B P EM = M F = 1 CQ = 1 .B E BQ 2 BQ 4BD = 5 EM , DE = 3EM .22故 BD ∶DE ∶EM = 5∶3∶2.9. 25.设最初有 n 个苹果 ,每次剩下的苹果数分别为 y 1 、 y 2 、 y 3 . 则y 1 =2 ( n - 1) = 2( n + 2) - 2 , 3 y = 2 3y = 2 332( n + 2) - 2 , 3( n + 2) - 2. 要使 y 3 为正整数 , n + 2 必须是 33的倍数 ,所以 , n 的最小值为 25.10.π +3+ 1.12 2如图 8 ,过 O 1 作 O 1 D⊥MN , 垂 足 为 D , 连 结 CO 2 , 则 O 1 D = 1 , O 1 N = 2.故 ∠O 1 NC = 30°,∠DO 1 N = 60°, ∠NO 1 B = 30°.图 8因此 , S 扇形NO B = 4π= π ,11236. B.S △NO D = 1·O 1 D ·DN = 1 ×1 × 3 = 3.1 2 2 2如图 7 ,连结 OD 、OM 、OF 、ON 、OE ,则∠1 = ∠6 , ∠2 = ∠3 , ∠4 = ∠5.由 O 1 D 、CD 、CO 1 围成的面积为3 配方得 解得 边长 2 212 23 2 22 2345 合计 个数 40 25 25 161259 4 1 137。
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2004年“TRULY ®信利杯”全国初中数学竞赛试题参考答案和评分标准一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）1. 已知实数b a ≠，且满足)1(33)1(2+-=+a a ，2)1(3)1(3+-=+b b .则baaa b b+的值为（ ）. （A ）23 （B ）23- （C ）2- （D ）13- 答：选（B ）∵ a 、b 是关于x 的方程()03)1(312=-+++x x的两个根，整理此方程，得0152=++x x ，∵ 0425>-=∆， ∴ 5-=+b a ，1=ab . 故a 、b 均为负数. 因此()232222-=-+-=+-=--=+abab b a ab abb a ab b a ab a b b a a a b b .2. 若直角三角形的两条直角边长为a 、b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则有 （ ）.（A ）2h ab = （B ）h b a 111=+ （C ）222111hb a =+ （D ）2222h b a =+ 答：选（C ）∵ 0>>h a ，0>>h b ，∴ 2h ab >，222222h h h b a =+>+； 因此，结论（A ）、（D ）显然不正确.设斜边为c ，则有c b a >+，ab ch h b a 2121)(21=>+，即有 hb a 111>+， 因此，结论（B ）也不正确.由ab h b a 212122=+化简整理后，得222111hb a =+， 因此结论（C ）是正确的.3．一条抛物线c bx ax y ++=2的顶点为（4，11-），且与x 轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a 、b 、c 中为正数的（ ）. （A ）只有a （B ）只有b （C ）只有c （D ）只有a 和b 答：选（A ）由顶点为（4，11-），抛物线交x 轴于两点，知a >0. 设抛物线与x 轴的两个交点的横坐标为1x ，2x ，即为方程02=++c bx ax的两个根.由题设021<x x ，知0<ac，所以0<c . 根据对称轴x =4，即有02>-ab，知b <0. 故知结论（A ）是正确的.4．如图所示，在△ABC 中，DE ∥AB ∥FG ，且FG 到DE 、AB的距离之比为1:2. 若△ABC 的面积为32，△CDE 的面积为2，则△CFG的面积S等于（ ）.（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 答：选（B ）由DE ∥AB ∥FG 知，△CDE ∽△CAB ，△CDE ∽△41322===∆∆CAB CDE S S CACD， 又由题设知21=FA FD ，所以 31=AD FD ， AC AC AD FD 41433131=⨯==，故DC FD =，于是41212=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆CFG CDE S S ，8=∆CFG S . 因此，结论（B ）是正确的.5．如果x 和y 是非零实数，使得3=+y x 和03=+x y x ，那么x +y 等于（ ）.（A ）3 （B ）13 （C ）2131- （D ）134- 答：选（D ）将x y -=3代入03=+x y x ，得0323=+-x x x .（1）当x >0时，0323=+-x x x ，方程032=+-x x 无实根； （2）当x <0时，0323=--x x x ，得方程032=--x x 解得2131±=x ，正根舍去，从而2131-=x . 于是2137213133-=-+=-=x y . 故134-=+y x .因此，结论（D ）是在正确的.二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6． 如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，AD =AE ，︒=∠60BAD ，则=∠EDC （度）.答：30°解：设α2=∠CAD ，由AB =AC 知αα-︒=-︒-︒=∠60)260180(21B ，α+︒=︒-∠-︒=∠6060180B ADB ，由AD =AE 知，α-︒=∠90ADE ， 所以︒=∠-∠-︒=∠30180ADB ADE EDC .7．据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T 与这两个城市的人口数m 、n （单位：万人）以及两城市间的距离d （单位：km ）有2d kmnT =的关系(k 为常数) . 现测得A 、B 、C 三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知A 、B 两个城市间每天的电话通话次数为t ，那么B 、C 两个城市间每天的电话通话次数为 次（用t 表示）.答：2t解：据题意，有k t 21608050⨯=， ∴t k 532=. 因此，B 、C 两个城市间每天的电话通话次数为2645532320100802t k T BC⨯=⨯⨯=8．已知实数a 、b 、x 、y 满足2=+=+y x b a ，5=+by ax ，则=+++)()(2222y x ab xy b a . 答：5-解：由2=+=+y x b a ，得4))((=+++=++bx ay by ax y x b a ， ∵ 5=+by ax ， ∴ 1-=+bx ay .因而，5))(()()(2222-=++=+++by ax bx ay y x ab xy b a . 9． 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC (BC >AD )，︒=∠90D ，BC =CD =12, ︒=∠45ABE ，若AE =10，则CE 的长为 . 答：4或6解：延长DA 至M ，使BM ⊥BE . 过B 作BG ⊥AM ，G 为垂足.易知四边形BCDG 为正方形， 所以BC =BG . 又GBM CBE ∠=∠， ∴ Rt △BEC ≌Rt △BMG .∴ BM =BE ，︒=∠=∠45ABM ABE ， ∴△ABE ≌△ABM ，AM =AE =10.设CE =x ，则AG =x -10，AD =x x -=--2)10(12，DE =x -12. 在Rt △ADE 中，222DE AD AE +=， ∴ 22)12()2(100x x -++=， 即024102=+-x x ， 解之，得41=x ，62=x .故CE 的长为4或6.10．实数x 、y 、z 满足x+y +z =5，xy +yz +zx =3，则z 的最大值是 .答：313解：∵ z y x -=+5，35)5(3)(32+-=--=+-=z z z z y x z xy ， ∴ x 、y 是关于t 的一元二次方程035)5(22=+-+--z z t z t的两实根.∵ 0)35(4)5(22≥+---=∆z z z ，即0131032≤--z z ，0)1)(133(≤+-z z .∴ 313≤z ，当31==y x 时，313=z . 故z 的最大值为313.三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11．通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散. 学生注意力指标数y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示（y 越大表示学生注意力越集中）. 当100≤≤x 时，图象是抛物线的一部分，当2010≤≤x 和4020≤≤x 时，图象是线段. （1）当100≤≤x 时，求注意力指标数y 与时间x 的函数关系式；（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟. 问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36. 解：（1）当100≤≤x 时，设抛物线的函数关系式为c bx ax y ++=2，由于它的图象经过点（0，20），（5，39），（10，48），所以⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.4810100,39525,20c b a c b a c 解得，51-=a ，524=b ，20=c .所以20524512++-=x x y ，100≤≤x . …………………（5分）（2）当4020≤≤x 时，7657+-=x y .所以，当100≤≤x 时，令y =36，得2052451362++-=x x ， 解得x =4，20=x （舍去）；当4020≤≤x 时，令 y =36，得765736+-=x ，解得74287200==x . ……………………（10分）因为24742447428>=-，所以，老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于36时，讲授完这道竞赛题. ……………………（15分） 12．已知a ，b 是实数，关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧+=--=bax y bx ax x y ,23 有整数解),(y x ，求a ，b 满足的关系式.解：将b ax y +=代入bx ax x y --=23，消去a 、b ，得xy x y -=3， ………………………（5分）3)1(x y x =+.若x +1=0，即1-=x ，则上式左边为0，右边为1-不可能. 所以x +1≠0，于是111123+-+-=+=x x x x x y .因为x 、y 都是整数，所以11±=+x ，即2-=x 或=x 0，进而y =8或=y 0. 故⎩⎨⎧=-=82y x 或⎩⎨⎧==0y x ………………………（10分） 当⎩⎨⎧=-=82y x 时，代入b ax y +=得，082=+-b a ； 当⎩⎨⎧==00y x 时，代入b ax y +=得，0=b . 综上所述，a 、b 满足关系式是082=+-b a ，或者0=b ，a 是任意实数.………………………（15分）13．D 是△ABC 的边AB 上的一点，使得AB =3AD ，P 是△ABC 外接圆上一点，使得ACB ADP ∠=∠，求PD PB的值.解：连结AP ，则ADP ACB APB ∠=∠=∠，所以，△APB ∽△ADP ， …………………………（5分） ∴AD APAP AB =， 所以223AD AD AB AP =∙=，∴AD AP 3=， …………………………（10分） 所以3==ADAPPD PB . …………………………（15分） 14．已知0<a ，0≤b ，0>c ，且ac b ac b 242-=-，求ac b 42-的最小值. 解：令c bx ax y ++=2，由0<a ，0≤b ，0>c ，判别式042>-=∆ac b ，所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，且与x 轴有两个不同的交点)0,(1x A ，)0,(2x B ，因为021<=acx x ，不妨设21x x <，则210x x <<，对称轴02≤-=abx ，于是 c aac b b a ac b b x =--=-+-=2424221， ………………（5分）所以a acb a ac b b c a b ac 242444222--≥--=≥-， …………………（10分） 故442≥-ac b ，当1-=a ，b =0，c =1时，等号成立.所以，ac b 42-的最小值为4. ………………………（15分）（第14（A ）题图）。