1.极限习题题目2010(第一次习题课题目)

极限习题题目

1.试写出一个从[0,1]到(0,1)的一一对应映射． 2．求极限 )21(lim 21m n a n a n a m n ++++++∞

→"，其中021=+++m a a a "． 3．用极限定义证明 (1)0)1(lim =−+∞→n n n ；（2）1)(lim =∞

→n n n 4．利用夹逼定理求极限 （1）135(21)lim 246(2)

n n n →∞⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅""； （2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∑∑=−=∞→n m k n k n m k n k n a a 1111lim ，其中),,2,1(0m k a k "=>． 5．设11

(1)n n u n +=+（易知数列{}n u 收敛于e）．

（1）研究数列{}n u 的单调性； （2）利用（1）的结果证明111ln(1)1n n n

<+<+对于任意正整数n 都成立． 6．证明：若单调数列具有收敛的子列，则此单调数列收敛．

7．设122(1,2,)101010

n n n p p p a n =

+++=""，其中{}k p 是一有界非负数列，试证数列{}n a 收敛．

8．设n n n q a q a q a a b ++++="2210，其中1

9．若数列}{n a 满足 ),2,1(11"=−≤−−+n a a q a a n n n n ，其中10<

10．设0()n a n >∀，12lim()n n a a a →∞+++=+∞"，且数列{}n a 单调减，证明1321242lim 1n n n

a a a a a a −→∞+++=+++""． 11．设极限lim ()12a a a a n n +++=→∞"存在，证明212lim 0a a na n n n +++=→∞

"． 12．设1ln (0)x a a =>，1ln()n n n x x a x +=+−，证明{}n x 收敛，并求极限lim n n x →∞

的值．

13．证明Stolz 定理：设{}n a 和{}n b 为两个数列，若}{n b 单调增加，且+∞=∞→n n b lim ，A b b a a n

n n n n =−−++∞→11lim ，则A b a n n n =∞→lim ． 14．利用Stolz 定理求下列极限 （1）2212lim n na a a n

n +++∞→"，其中a a n n =∞

→lim ． （2）1

21lim +∞→+++m m

m m n n n "，m 为自然数． （3）21111212223222lim 212121−−−→∞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠−−−"n n n n n ．

15．设,k θπ≠ 证明数列{sin }n θ发散．

16．已知,m n ∀，有0m n m n x x x +≤≤+，证明lim n n x n →∞存在．