八年级一次函数与几何综合好题

1．已知：如图，在△ABC 中，AD 、BE 是高，F 是AB 的中点，FG DE ⊥，点G 是垂足．求证：点G 是DE 的中点．

2．如图，在△OBC 中，点O 为坐标原点，点C 坐标为（4，0），点B 坐标为（2，23），

AB y ⊥轴，点A 为垂足，BC OH ⊥，点H 为垂足．动点P 、Q 分别从点O 、A 同时

出发，点P 沿线段OH 向点H 运动，点Q 沿线段AO 向点O 运动，速度都是每秒1个单位长度．设点P 的运动时间为t 秒． （1）求证：OB CB =；

（2）若△OPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及定义域； （3）当PQ OB ⊥（垂足为点M ）时，求五边形ABHPQ 的面积的值.

A

B

H O

Q

P

y x

M

C

3.如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 是BC 边上的一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，CM ⊥AB 于M ，试探究线段PD 、PE 、CM 的数量关系，并说明理由。

B

P

4. 如图，R t △ABC 中，AB=AC ，︒=∠90A ，O 为BC 中点。 （1） 写出点O 到△ABC 三个顶点的距离之间的关系；

（2） 如果点M 、N 分别在边AB 、AC 上移动，且保持AN=BM 。请判断△OMN 的形状，并证明

你的结论。

5．如图，点A 的坐标为（3,0），点C 的坐标为（0,4），OABC 为矩形，反比例函数x

k

y =的图像过AB 的中点D ，且和BC 相交于点E ，F 为第一象限的点，AF =12,CF =13. （1）求反比例函数x

k

y =

和直线OE 的函数解析式； （2）求四边形OAFC 的面积．

_

6．已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点

（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；

（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？ （3）是反比例函数图象上的一动点，其中过点作直线

轴，交轴于点

；过点

作直线

轴交轴于点，交直线

于点

．当四边

形

的面积为6时，请判断线段与

的大小关系，并说明理由．

7．已知：如图，在⊿ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AC =6，点D 在边BC 上，AD 平分∠CAB ，E 为AC 上的一个动点（不与A 、C 重合），EF ⊥AB ，垂足为F ． （1）求证：AD=DB ；

（2）设CE=x ，BF=y ，求y 关于x 的函数解析式； （3）当∠DEF =90°时，求BF 的长.

第26题图

F

E D C

B

A

压轴题答案

1．证明： 联结EF 、DF ．……………………………1分

∵AD 是高， ∴AD BC ⊥，

∴90ADB ∠=．………………………1分 又∵F 是AB 的中点， ∴1

2

DF AB =

(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) ．……2分 同理可得：1

2

EF AB =．……………………………………………1分

∴EF DF =．…………………………………………………………1分 又∵FG DE ⊥，…………………………………………………………1分 ∴DG EG =．…………………………………………………………1分 即：点G 是DE 的中点．

2．解：（1）∵

4OB =

=………………………………………………1分

4CB =

=………………………………………1分

∴OB CB = ………………………………………………………………1分 （2）易证：△OBC 为等边三角形． ∵BC OH ⊥，

∴30BOH HOC ∠=∠=．………………1分 ∴30AOB ∠=．

过点P 作PE OA ⊥垂足为点E ． 在Rt △PEO 中，30EPO ∠=,PO t =， ∴

122

t

EO PO =

=，由勾股定理得：

2PE =．…………………………1分 又∵OQ AO AQ t =-=，………………………………………………1分

∴()

2

11

3632322

24

t t S OQ PE t t -==

-=．………………………1分 即：23

42

S t =-

+（320<

（3）易证Rt △OAB ≌Rt △OHB ≌Rt △OHC ，

G

F

E

D

C

B

A

∴2OABH 3

434

OAB OHB

OHB OHC

OBC

S S S

S

S

S

OC =+=+==

⨯=四边形．1分 易证△OPQ 为等边三角形， ∴OQ OP =，

即：23t t -=，解得 3t =．……………………………………………1分

∴233344

OPQ

S

OP =

⨯=．…………………………………………………1分 ∴ABHPQ 3313

43344

OPQ

OABH S S S =-=-

=五边形四边形．……………1分 3. 解：PD+PE=CM ， 证明：连接AP ，

∵AB=AC， ∴S △ABC =S △ABP +S △ACP =AB ×PD+AC ×PE=×AB ×（PD+PE ）， ∵S △ABC =AB ×CM， ∴PD+P E=CM 。

4. 解： 1）因为直角三角形的斜边中点是三角形的外心， 所以 O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 距离相等； 2）△OMN 是等腰直角三角形。 证明：连接OA ，如图， ∵AC=AB ，∠BAC=90°，

∴OA=OB ，OA 平分∠BAC ，∠B=45°， ∴∠NAO=45°， ∴∠NAO=∠B ， 在△NAO 和△MBO 中，

AN=BM ，∠NAO=∠B ，AO=BO ， ∴△NAO ≌ △MBO ， ∴ON=OM ，∠AON=∠BOM ， ∵AC=AB ，O 是BC 的中点， ∴AO ⊥BC ，

即∠BOM+∠AOM=90°， ∴∠AON+∠AOM=90°， 即∠NOM=90°，

∴△OMN 是等腰直角三角形．