组合数的性质
3.1.3 组合和组合数( 组合和组合数的性质)(课件)高二数学(人教B版2019选择性必修第二册)
对于（1），可分为两步：第一步，完成（2）中的事情，即选择两所学校；
第二步，讲选出的学校进行全排列（有22 种方法）.因为（1）的答案为23 ，
所以如果设问题（2）的答案是x，那么就能得到
23 =x22
从而得到 =
23
.
22
二 组合数
组合数的定义
从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取
这个问题可以用我们本节所学的组合知识来解。
03 新知探索
一、组合
【尝试与发现】下面这两个问题的答案一样吗？
（1）小张要在三所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，校长
共有多少种不同的选择方式？
（2）小张要在三所大学中选择2所，作为自己的努力的目标，小张有多少种不同
的选择方式？
选择合适的符号，分别表示出上述两题中所有的选择方式，并总结两者之间
02 新知导入
02 新知导入
【情境与问题】
高考不分文理科后，思想整理、历史、地理、物理、化学、生物这6科是选考的，
考生可以从中任选3科作为自己的高考科目，那么选考的组合方式一共有多少种
可能得情况呢？
如果用{思想政治、地理、历史}表示其中一种选考组合，你能用类似的方法表示
出所有的组合方式吗？你有更简单的表示方法吗？
【答案】D
D．5或7
四 课堂练习
【练习3】某校拟从2名教师和4名学生共6名党史知识学习优秀者中随机选取3名
，组成代表队，参加市党史知识竞赛，则要求代表队中既有教师又有学生的选法
共有
种．
【答案】16
四 课堂练习
【练习4】
【解析】
四 课堂练习
组合数的性质
计数问题知识网络
复杂的计数问题 简单的计数问题
组合数的性质
对称性 拆并性 增减性 可和性
计数原理型 排列组合型 十大题型
计数问题总述： 两理两数四原则 十大题型递推法
①
②
③
④
⑤
注①：分类加法及分步乘法计数原理：
化大为小是共性 顾名思义是区分
注②：排列数与组合数： 注③：①○先理后数②○先组后排③○特殊优先④○正难则反
类似于物理中的串联电路
说明
最终结果“分类” 用“加 法 最”终结果“ 分步”用“乘 “法分”类”要不重不漏；各类间要互斥独立
“分步”要连续完整；各步间要关联独立
两理两数四原则 十大题型递推法
1.阶乘： n!1 23 n
A 2.排列数： m n! n • (n 1) • (n 2) (n m 1) n (n m)!
C
3 4
C
4 4
C
3 5
C
4 5
C
5 5
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
C
0 3
C13
C
2 3
C
3 3
C
0 4
C14
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C
0 5
C15
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
左右对称抛物线
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
C13
C
2 3
C
0 3
C14
C
2 4
C
3 3
选修2-3《组合数的性质》辅导与练习(带答案)
选修2-3《组合数的性质》辅导与练习知识方法：1. 组合数的性质1：mn nm n C C -=． 一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m -个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：mn nm n C C -=．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想。
证明：∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=- 又)!(!!m n m n C m n -=，∴n n m n C C -= 说明：①规定：10=n C ；②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；③此性质作用：当2n m >时，计算m n C 可变为计算m n n C -，能够使运算简化.例如20012002C ＝200120022002-C ＝12002C =2002； ④y n x n C C =y x =⇒或n y x =+。
2．组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m nC ． 一般地，从121,,,+n a a a 这n+1个不同元素中取出m 个元素的组合数是mn C 1+，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1-m n C 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有m n C 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．证明：)]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n )!1(!)!1(+-+=m n m n m n C 1+= ∴m n C 1+＝m n C +1-m n C 。
高中数学 组合数及其运算性质
复习
组合数公式
m An m Am
m Cn
=
=
n(n-1)(n-2) …(n-m+1) m﹗
组合数公式的另一形式
m An m Am n(n-1)(n-2) …(n-m+1) m﹗
m Cn
=
=
n(n-1)(n-2) …(n-m+1)(n-m) …3∙2∙1 = m﹗ (n-m) …3∙2∙1
=
n﹗ m﹗(n-m)﹗
例3求证： 2 cn cn cn cn 2
m 1
m 1
m
m 1
思考
求:
17-n
2n 3n 13+n
C
+ C
的值.
小节
1 知识点：组合数的两个性质
性质1 。 cn cn
m
nm
m m 1
性质2。c
m
cn cn n 1
2 能力训练要求（1）计算能力 （2）从特殊到一般的猜想推理能力
作业
P104 习题10.3
1,2， 5, 9
198 7
m
nm
例1。计算 (1) c200 , (2) c8 c9 c10 c11
小经验：当m超过n/2时计算组合数时常常 利用性质1简化计算
8
9
9
组合数的性质及应用
问题：一个口袋里装有8个白球1个黑球
（1）从口袋里取出6个球，共有多少种取法？
（2）从口袋里取出6个球，使其中1个是黑球 共有多少种取法？
巩固练习
5 ; 练1. 计算: C8
C3
8
C2
5
c
3 5
练2。计算 c2 c3 c4 c5 c6
组合与组合数公式及组合数的两个性质 课件
[例3] (10分)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过 了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下， 有多少种不同的选法？
(1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必需参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
[思路点拨] 本题属于组合问题中的最基本的问题， 可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正 确分析和判断．
(7 分)
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，可分两步：先从甲、
乙、丙中选 1 人，有 C13＝3 种选法；再从另外 9 人中选 4 人，
有 C49种选法．共有 C13C49＝378 种不同的选法．
(10 分)
[一点通] 解简单的组合应用题时，要先判断它是 不是组合问题，只有当该问题能构成组合模型时，才能运 用组合数公式求解．解题时还应注意两个计数原理的运用， 在分类和分步时，应注意有无重复或遗漏．
组合数公式
组合 数公
式 性质 备注
乘积形式 Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1
阶乘形式
Cmn ＝
n！ m！n－m！
Cmn ＝ Cnn－m ；Cnm＋1＝ Cmn ＋Cmn －1
①n，m∈N＋，m≤n；②规定 C0n＝ 1 .Cnn＝ 1
1．组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是 不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． 2．组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即 元素没有位置的要求． 3．相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同， 不管顺序如何，就是相同的组合．
107C7m＝7×71－0×m7！！m！，
∴m！55！－m！－m！6－6×m5！5－m！ ＝7×m！170－×m7×66－×m5！5－m！， ∴1－6－6 m＝7－m606－m， 即 m2－23m＋42＝0，解得 m＝2 或 21. 而 0≤m≤5，∴m＝2. ∴C8m＋C58－m＝C28＋C38＝C93＝84.
5.3组合、组合数公式及其性质(教学课件)— 高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册高二上学期
整数．
跟踪训练2
1 7 36−474 的值为________．
答案：0
6×5×4
7×6×5×4
3
4
解析：7 6−47 ＝7×
－4×
＝0.
3×2×1
4×3×2×1
n
(2)若Cn10 ＝Cn8 ，则C20
＝(
A．380
B．190
原等式化为：
−
＝
5！
6！
10×7！
化简得：m2－23m＋42＝0，解得m＝21或m＝2.
因为0≤m≤5，m∈N*，所以m＝21应舍去．
所以m＝2.
[课堂十分钟]
1．[多选题]给出下面几个问题，其中是组合问题的有(
A．由1，2，3，4构成的二元素集合
B．五个队进行单循环比赛的分组情况
C．由1，2，3组成两位数的不同方法数
须分完，有多少种分配方法？
②从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分
母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？
③从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？
解析：①是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的
分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．
(3)性质1：Cnm ＝________，
m
+ －1
性质2：Cn+1
＝____________．
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 从 a1 ， a2 ， a3 三 个 不 同 元 素 中 任 取 两 个 元 素 组 成 一 个 组 合 是
课件1：3.1.3 第1课时 组合与组合数、组合数的性质
5．已知 C5n－C4n＝C6n－C5n，求 C1n2的值．
[解] 由已知得 2C5n＝C4n＋C6n， 所以 2·5！nn！－5！＝4！nn！－4！＋6！nn！－6！， 整理得 n2－21n＋98＝0， 解得 n＝7 或 n＝14， 要求 C1n2的值，故 n≥12， 所以 n＝14，于是 C1124＝91.
|情境导学探新知|
情境导入 高考不分文理科后，思想政治、历史、地理、物理、化 学、生物这 6 大科目是选考的，如果考生任选 3 科作为 自己的考试科目，那么选考的组合方式一共有多少种可 能的情况？ 问题：其中选物理不选历史和选历史不选物理的情况又 分别有几种？
新知初探 1．组合的概念 一般地，从 n 个不同对象中取出 m(m≤n)个对象并成一组， 称为从 n 个不同对象中取出 m 个对象的一个组合．
【答案】A
D．4
3．从 9 名学生中选出 3 名参加“希望英语”口语比赛， 有______种不同的选法． 【解析】由题意可知共有 C39＝93× ×82× ×71＝84 种． 【答案】84
4．6 个朋友聚会，每两人握手 1 次，一共握手______次．
【解析】每两人握手 1 次，无顺序之分，是组合问题， 故一共握手 C26＝15 次． 【答案】15
必备素养
排列与组合的相同点与不同点
名称
排列
组合
相同点 都是从 n 个不同元素中取 m(m≤n)个元素，元素无重复
1.排列与顺序有关；
1.组合与顺序无关；
2．两个排列相同，当且
不同点
2．两个组合相同，当且仅当
仅当这两个排列的元素
这两个组合的元素完全相同
及其排列顺序完全相同
联系
Amn ＝Cmn Amm
组合数公式大全
组合数公式大全组合数是数学中的一个重要概念，用于表示从n个元素中选取r个元素的组合的数量。
在组合数的计算中，有多种公式和方法可供选择。
本文将介绍一些常用的组合数公式，帮助读者理解和计算组合数。
1. 乘法公式：组合数的一个基本性质是乘法公式。
当n和r为非负整数时，组合数C(n, r)可以通过以下公式计算：C(n, r) = n! / ((n-r)! * r!)其中，n!表示n的阶乘。
2. 递推公式：递推公式是一种常见的计算组合数的方法，通过逐步递推得到结果。
C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)如果r为0或r等于n，则C(n, r)为1。
3. Pascal三角形：Pascal三角形是一种展示组合数的图形表示方法，利用递推公式来计算组合数。
Pascal三角形的第n行第r个数表示C(n, r)。
例如，Pascal三角形的第4行为：1 3 3 1，表示C(4,0)=1, C(4,1)=4, C(4,2)=6, C(4,3)=4, C(4,4)=1。
4. 二项式定理：二项式定理是组合数的一个重要公式，将一个二项式展开为一系列项的和。
(x + y)^n = C(n, 0) * x^n + C(n, 1) * x^(n-1) * y + ... + C(n, n-1) * x * y^(n-1) + C(n, n) * y^n5. 组合数的性质：- C(n, r) = C(n, n-r)，即从n个元素中选择r个等于从n个元素中选择n-r个。
- C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)，符合递推公式的性质。
- 对于任意正整数n，有C(n, 0) + C(n, 1) + ... + C(n, n) = 2^n，表示从n个元素中选择0个到n个元素的所有组合数之和等于2的n次方。
6. Lucas定理：Lucas定理是组合数的一个重要定理，用于计算模p的组合数。
对于非负整数n和p，设n = nk * pk + ... + n1 * p + n0，其中0 <= ni < p，0 <= i <= k。
组合数的两个性质ppt 人教课标版
C C n n
m
n m
练习: 计算
9 8 9 36 解: C C 9 C 9 2 1 100 99 98 2 100 4950 C 100C 2 1 n m 1 ) 当 m 时 , 利用这个公式可 的计算 注 ( C n 2
C
7
3 !
CCC
8 7 7
3
2
3
即从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以 分为两类:一类含1个黑球,一类不含黑球.所以根 据分类计数原理,上面等式成立. 从 , 2 ,a 这 n 1 个不同的 a 1a n 1
元素中取出 m 个的组合数是 C n 1
m
含有 的 a 1
元素与 组成 ,有 个 a C 1 n
m m 1
m 1
m
m
m
n m
小 结
性 质 应 用
C C
n n
m n 1
m
n m
证明
m 1 n
C C C
n
m
简化计算 等式证明
作业: 1 2 3 4 5 (1)求 C 2 2 2 5 C C C 5 5 5 5 C
(2)证明:
n n n n n n 1 n 1 n 2 n m 1 n m 1
m 1 n
C8 C7C7
C C C
n 1 n
m
m
性质2
m
证明:根据组合数公式有
m 1
C C C
n 1 n n
m
m
m 1
n ! n ! n C n C m ! ( n m )! ( m 1 )! [ n ( m 1 )]!
组合数的性质
组合数的性质与特点
组合数的性质
• 对称性：C(n, k) = C(n, n-k)
• 交换性：C(n, k) = C(n, k')，其中k' = n-k
• 加法性：C(n, k) + C(n, k-1) = C(n+1, k)
组合数的特点
• 组合数与排列数的关系：C(n, k) = P(n, k) / k!，其中P(n, k)为排列数
组成的组合数，记为C(n, k)
k)!)
• 当k=0时，C(n, 0) = 1
• 即C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
• 递推法：C(n, k) = C(n-1, k-1) +
• 当k=n时，C(n, n) = 1
C(n-1, k)
• 迭代法：C(n, k) = C(n-1, k) +
• 计算多项式分布的置信区间：P(X=k) = C(n, k)p_1^k * p_2^k * ... * p_n^k
组合数在假设检验中的应用
假设检验的定义
• 对总体参数θ进行假设检验，检验H_0：θ=θ_0是否成立
组合数在假设检验中的应用
• 计算二项分布的假设检验：P(X=k) = C(n, k)p^k(1-p)^(n-k)
组合数的递推关系
• C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)
组合数的性质
• 对称性：C(n, k) = C(n, n-k)
• 交换性：C(n, k) = C(n, k')，其中k' = n-k
• 加法性：C(n, k) + C(n, k-1) = C(n+1, k)
第2课时 组合数的性质
反思感悟 性质“Cnm＝Cnn－m”的意义及作用
二、组合数的性质2
知识梳理
组合数的性质 2：Cmn＋1＝Cmn ＋Cmn －1. 注意点： (1)下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标 与大的相同的一个组合数； (2)体现了“含”与“不含”的分类思想.
第六章 6.2.3 组合
学习目标
1.掌握组合数公式和组合数的性质. 2.能运用组合数的性质进行计算. 3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题.
一、组合数的性质1
知识梳理
组合数的性质 1：Cmn ＝_C__nn－_m__. 注意点： (1)体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思想； (2)两边下标相同，上标之和等于下标.
例 2 (1)已知 m≥4，C3m－C4m＋1＋C4m等于
A.1 B.m
√ C.m＋1
D.0
解析 C3m－C4m＋1＋C4m＝C3m＋C4m－C4m＋1＝C4m＋1－C4m＋1＝0.
(2)C04＋C14＋C25＋C36＋…＋C22 002129等于
A.C22 020
B.C32 021
C.C32 022
解析 C7n＋1＝C7n＋C8n＝C8n＋1，∴n＋1＝7＋8，n＝14.
(2)C22＋C23＋C24＋…＋C218等于
A.C318
√B.C319
C.C318－1
D.C319－1
解析 C22＋C23＋C24＋…＋C218＝C33＋C23＋C24＋…＋8＝C34＋C24＋…＋C218 ＝C35＋C25＋…＋C218＝…＝C319.
组合数的性质(2)
C C
1 2 2 98
100件产品中, 98件合格品,2件次品. 例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3 100件产品中任意抽出3件 (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多 少种? 法1 含1件次品或含2件次品 1 2 2 1 C2 • C98 + C2 • C98 = 9604(种)
一般地，从a1 , a2 ,L , an +1这n + 1个不同的元素 中取 出 m个 元 素 的 组 合 数 是 C ， 这些组合可分成两类：一类含有a1，一类不含有a1，
m n +1
含 有 a 1的 组 合 是 从 a 2 , a 3 , L , a n + 1 这 n个 元 素 中 取 出
m m − 1个 元 素 与 a 1 组 成 的 ， 共 有 C n − 1 个 ；
8
= C7 + C7
2
3
对上面的发现(等式 作怎样解释 对上面的发现 等式)作怎样解释？ 等式 作怎样解释？
C
3 8
=C + C
2 7
3 7
我们可以这样解释： 我们可以这样解释：从口袋内的 8个球中所取出的 个球，可以分为 个球中所取出的3个球 个球中所取出的 个球， 两类：一类含有 个黑球，一类不含 两类：一类含有1个黑球， 含有 有黑球．因此根据分类计数原理， 有黑球．因此根据分类计数原理， 上述等式成立． 上述等式成立．
法2 100件中抽3件减98件合格品中抽3件 3 3 C100 − C98 = 9604(种)
例 计算
(1)
; C200
198
C
2
§1.3.2组合数的性质
§1.3.2 组合数的性质【使用说明】 1.仔细阅读课本14~16P ，课前完成预习导学稿，牢记基础知识，掌握基本题型；A 完成所 有题目，B 完成除（★★）外所有题目，C 完成不带（★）题目. 2.课前独立完成，书写规范，课上小组合作探究，答疑解惑. 3.科代表按时收交，各组长督促落实，全部达标后及时二次收交. 【学习目标】1.理解组合数的性质，领会组合数性质的推导方法，会应用性质解决有关的数学问题；2.自主学习，合作交流，探究解题规律和数学思想方法.3.激情投入，高效学习，养成扎实严谨的科学态度,会用组合数的性质解决问题. 一．预习导引：1.排列与组合的联系与区别是__________________________________________________________________________________；2.组合与组合数的区别是：_______________________________________________________________________________________；3.组合数的两个公式在使用时有无差别____________________________________________；__________________________________________；二．探究交流：探究一。
组合数的性质一：;m n mn n C C -=证法一：（公式法）-----请同学自己完成证明。
证法二：（定义法）注意：01;nn n C C ==------应用很广泛哦。
探究二。
组合数的性质二：11;m m m n n n C C C -+=+证法一：（公式法）因为 左边=(1)!![(1)]!n m n m ++-=()(1)!!1()!n n m n m n m +⋅+-⋅-右边=()!!!!(1)![(1)]!n n m n m m n m +----=()()!!!!!(1)!n m n m n m m n m n m ⋅+--+⋅-=()(1)!!!(1)!n m n m n m n m n m -+⋅-⋅-+⋅-=()(1)!!1()!n n m n m n m +⋅+-⋅-；所以，等式成立。
组合数的性质
不 含 a 1的 组 合 是 从 a 2 , a 3 , L , a n + 1 这 n个 元 素 中 取 出
m m个 元 素 组 成 的 ， 共 有 C n 个
由分类计数原理，得
组合数性质2 组合数性质
Cn+1 = Cn +Cn
m m
m−1
性质2 性质
证明:
m n
C +C
= cn + cn c n +1
n−m n m n
作业： 作业：习题 10.3 1，9，11(B本) ， ， 本
本讲到此结束，请同学们课 后再做好复习. 谢谢！
再见！
王新敞 王新敞 王新敞 王新敞 特级教师 特级教师 特级教师 特级教师 源源 头学子小屋 头学子小屋 源 /:源 .c 38 23 0 .oc m 头学子小屋 头学子小屋 hp x t w
(2) C
m+1 n m−1 n m n m+1 n+ 2
一、等分组与不等分组问题
本不同的书， 例3、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法； 、 本不同的书 按下列条件，各有多少种不同的分法； （1）分给甲、乙、丙三人，每人两本； ）分给甲、 丙三人，每人两本； （2）分成三份，每份两本； ）分成三份，每份两本； （3）分成三份，一份 本，一份 本，一份 本； ）分成三份，一份1本 一份2本 一份3本 （4）分给甲、乙、丙3人，一人 本，一人 本，一人 本； ）分给甲、 人 一人1本 一人2本 一人3本 （5）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本； ）分给甲、 人 每人至少一本； （6）分给5个人，每人至少一本； ）分给 个人，每人至少一本； 个人 本相同的书， （7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。 ） 本相同的书 分给甲乙丙三人，每人至少一本。
组合数性质
组合数性质
1、互补性质：即从n个不同元素中取出m个元素的组合数=从n个不同元素中取出
（n-m）个元素的组合数，规定：c（n，0）=1 c（n，n）=1 c（0，0）=1。
2、组合恒等式：若表示在 n 个物品中选取 m 个物品，公式：c（n，m）=c（n，n-m）=c（n-1，m-1）+c（n-1，m）。
组合数：
从n个相同元素中，余因子m（m≤n）个元素并成一组，叫作从n个相同元素中抽出
m个元素的一个女团；从n个相同元素中抽出m(（m≤n）个元素的所有女团的个数，叫作
从n个相同元素中抽出m个元素的女团数。
定义：
女团就是数学的关键概念之一。
从 n 个相同元素中每次抽出 m 个相同元素
（0≤m≤n），不管其顺序制备一组，称作从 n 个元素中不重复地挑选出 m 个元素的一
个女团。
所有这样的女团的种数称作女团数。
1.3.4组合(平均分堆问题)
关于平均分堆问题：
1 1 C2 C1 将2个苹果平均分成两堆，有多少种分法： 2 1 A2
苹果A、B、C、D
第一堆： C A、B A、 C A、 D
B、C B、D C、D
2 4
第二堆： C
C、D B、D B、C A、 D A、 C A、B
2 2
2 2 C4 C2 将4个苹果平均分成两堆，有多少种分法： 2 3 A2
关于平均分堆问题：
考虑：将4个苹果平均分给甲、乙两个同学，有多少种 分法？ 2 种 第一步：从4个苹果中选2个给甲 有 C4 第二步：将剩余的2个苹果给乙 有 C 种
2 由分步计数原理得：有 C4 C2 2（种）
2 2
第一步：将苹果平均分成2堆 有x种分法 2 第二步：将两堆苹果分给甲、乙两人 有A2 种
（ 2 ） C C C A 360 （种）
2 2 2 （ 3 ） C6 C4 C2 90 （种）
1 6
2 5
3 3
3 3
例1 有6本不同的书，按下列要求分配，有多少种分法？
（3）甲得2本，乙得2本，丙得2本； （4）平均分成三组，每组2本；
2 2 2 （ 3 ） C6 C4 C2 90 （种） 2 2 2 （4） C6 C4C2 ???
练习2：3名医生和6护士分到3个医院，每个医院分 1名医生和两名护士，有多少种分配方式。
1 2
3
4
5
6
3 第一步：将三名医生分配到三所医院 A3
CCC 第二步：将6名护士平均分成三堆 15 A
第三步：把三堆护士分到三所医院
3 A3
2 6
2 4 3 3
2 2
2 2 2 C 3 3 6 C4 C2 由分步原理得： A3 A 3 540 3 A3
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组合数的性质
组合导学案
课题:组合数的性质课型:新授执笔:韩春冬审核: 使用时间:
一、学习目标
1、了解组合数的性质
2、会应用组合数的性质解决计算问题二、重点难点
1、组合数的性质
2、组合数的性质应用三、学习内容 1、对偶法则
因为从n 个元素中选取k 个元素的组合数,与从n 个元素中选留n -k 个元素
的组合数是相等的,因此有等式:
2、增一法则:
我们来做一个练习:2
39
9
98987
1202!3!
C C ???+=+=, 310
1098
1203!
C ??=
=, 于是有 233
9910
C C C +=,这是巧合还是具有一般性?
把这个浅显的道理,推广到一般的情况,就得到组合数的第二个重要性质:
四、探究分析
1、计算:
(1)4850C ; (2)296
300C ;(3)239999
C C +.
方法总结:
2、若1
10510
2-+=x x C
C
,求
x 的值
方法总结:
课堂训练
1、计算:
(1)97100C ; (2)198
200C ;(3)9798100100
C C +.
2、若4
20
20-=n n C C ,求n
课后作业
1、计算:
(1)2830C (2)58
60
5760C C +
2、求证:(1)5
105958575655C C C C C =++++ (2)1212++-+=++m n m n m n m n C
C C C
3、解方程:1123
15---=+X x x x x C C C
教学后记
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