探究务须谨慎_细节决定成败_也谈与两定圆同时相切的动圆圆心轨迹

当两定圆内切时，动圆与两定圆同时相切的情形有三
种：
（1）一动圆与两定圆中的小圆外切，同时与大圆内切；
（2）一动圆与两定圆同时外切；
（3）一动圆与两定圆同时内切.
设 圆 C1: (x + 3)2 + y2 = 4 ，圆 C2: (x - 3)2 + y2 = 64 （ 由
|C1C2 | = | r2 - r1| 知，两圆是内切关系，设两圆相切于点 D）
x2 16
+
y2 7
=1
(x
≠
-
8 3
)
变 4 动圆 M 与圆 C1 和圆 C2 同时外切.
如图 3，| MC2 | - | MC1| =(r2 + r) -(r1 + r) = r2 - r1 = 4 < |C1C2 | ,
因此动圆圆心 M 的轨迹是以
C1 ，C2 为两焦点，| r2 - r1| = 4 为实轴
轨迹方程为
x2 16
+
y2 7
= 1 (-4 ≤ x < - 83)
.
变 3 动圆 M 与其中一个圆内 切，同时与另一个圆外切.
图2
综合变 1 和变 2 可知，将两部分轨迹合并得到，动圆圆心
M 的轨迹是以 C1 ，C2 为两焦点, r1 + r2 为长轴长的椭圆(但除
去两定圆的交点 E 和 F).轨迹方程为
x2 4
+
y2 3
= 1(x ≠ -2)
，但极易写成
x2 4
+
y2 3
=1.
若将本题改为填空题，丢掉“ x ≠ -2 ”就等于丢“5 分”.这也
正是文[1]、文[2]忽略的细节之一. 尤其，在两定圆相交的情形中，两文中都遗漏了“动圆与
一个圆外切，同时与另一个圆内切”的情形. 有鉴于此，笔者特写本文，澄清两文中的错误与不严密
椭圆位于圆 C2 内的部分，图中加粗 部分为点 M 的轨迹.
图1
变 2 动圆 M 与圆 C1 内切，同时与圆 C2 外切.
如 图 2，| MC1| + | MC2 | =(r1 - r) +(r2 + r) = r1 + r2 = 8 > |C1C2 | ,
易得动圆圆心 M 的轨迹仍是以 C1 ， C2 为两焦点, r1 + r2 为长轴长的椭圆 (但只包括位于圆 C1 内的部分).
或
ìíïa1
=
1 2
,（舍去），所以
îïq = -1.
数列
{an}
的通项公式为
a
n
=
æ è
1 2
n
ö（ ø
n
∈
N*
）．
所以
bn
=
(2n
2n + 5
+ 1)(2n
+
3)∙an
=
(2n
2n + 5
+ 1)(2n
+
3)∙21n
．
所以
bn
=
æ è
2 2n + 1
-
1 2n +
3
öø∙21n
=
(2n
1 + 1)2n - 1
的 射 线 （ 不 包 括 点 D， C1 ， C2 ）. 轨 迹 方 程 为 y = 0(x > -5,且x ≠ ±3) .
注：当 M 与 C1 重合时，圆 M 与圆 C1 也重合，这与两圆相 切有唯一公共点矛盾，故应除去点 C1 ，同理点 C2 也应除去.
三 两定圆内含
当两定圆内含时，动圆与两定圆同时相切的情形有两
本文要探讨的是一类“熟悉的陌生题”——与两定圆都
相切的动圆圆心轨迹.说它熟悉是因为即便是高中生都会解
答，又说它陌生是许多一线教师都不完全清楚它的多般变化.
笔者之前，已有人对此做过探究.文[1]和文[2]都对该问
题作了深入的分析，拜读之后受益良多.然而遗憾的是，两文
中却均存在明显的不完善和不严密之处.数学是严密学科，
一个细节上的失误，不仅会给教学带来不利，更有可能让诸
多考生高考因此失利.比如：
已 知 圆 M : (x + 1)2 + y2 = 1 , 圆 N : (x - 1)2 + y2 = 9 , 动 圆 P
与圆 M 外切并且与圆 N 内切，求圆心 P 的轨迹方程. (2013
新课标 理 20（1）)
正确答案是
引例 动圆 M 与圆 C1 外切，同时与圆 C2 内切.
由 题 意 ， | MC1| + | MC2 | =(r1 + r) +(r2 - r) = r1 + r2 = 12
> |C1C2 | ,
因此，动圆圆心 M 的轨迹是以 C1 ，C2 为两焦点，r1 + r2
为长轴长的椭圆，点 M 的轨迹方程为
26
中学数学研究
2015 年第 1 期（上）
和 F.在下列各情形下求动圆圆心 M 的轨迹方程.
变 1 动圆 M 与圆 C1 外切，同时与圆 C2 内切.
如图 1，设动圆 M 的半径为 r ，则 | MC1| = r1 + r ⋯(1) ， | MC2 | = r2 - r ⋯(2) 则
| MC1| + | MC2 | =(r1 + r) +(r2 - r) = r1 + r2 = 8 > |C1C2 | , 因 此 动
圆圆心 M 的轨迹是以 C1 ，C2 为两焦点, r1 + r2 为长轴长的椭 圆(但只包括位于圆 C2 内的部分).易得
点 M 的轨迹方程为
x2 16
+
y2 7
=
1
(-
8 3
< x ≤ 4)
.
注 ：由 两 圆 交 点 E 满 足
| EC1| + | EC2 | = r1 + r2 知，椭圆必过点
E.同理也过点 F，但结合题目，只取
| r2 - r1| < |C1C2 | < r2 + r1 知，两圆是相交关系,设两圆的交点为 E
( )( ) ( ) ( ) （2）
3n
-
2∙3n - 2n 2n 3n + 1 -
2n + 1
=
1 3n - 2n
-
1 3n + 1 - 2n + 1
( )( ) ( ) ( ) 推广：(A - 1)∙Bn -(B - 1)Bn An - Bn An + 1 - Bn + 1
-
(2n
1 + 3)∙3n
；
推广：
(C - 1)A + (An + B)[
AC((nA++1B) +) -BB] ∙C1n
=
(An
+
1 B)∙Cn - 1
-
[A(n
+
1 1) +
B]∙Cn
小结：裂项相消求和的方法不像等差等比数列求和运用
公式这么简单，它需要学生经过深入的思考，关键在于分母
形式的观察，而且裂项只是其中一个环节，裂项后还要求和，
变 5 动圆 M 与圆 C1 和圆 C2 同时内切. 在该情形下，内切也分两种
（i）当圆 C1 和圆 C2 同时内切于动圆 M 时，
由题意，| MC1| - | MC2 | = r2 - r1 = 4 < |C1C2 | ,因此动圆圆心 M 的轨迹是以 C1 ，C2 为两焦点，| r2 - r1| = 4 为实轴长的双曲
变 6 动圆 M 与圆 C1 外切，同时与圆 C2 内切.
由 题 意 ， | MC1| + | MC2 | =(r1 + r) +(r2 - r) = r1 + r2 = 10 > |C1C2 | ,因此动圆圆心 M 的轨迹是以 C1 ，C2 为两焦点，r1 + r2
为 长 轴 长 的 椭 圆 ( 但 除 去 两 圆 的 切 点 D). 轨 迹 方 程 为
长的双曲线的左支(实质上为含小
圆圆心的一支)的一部分(只包括位
于 圆 C1 外 的 部 分). 轨 迹 方 程 为
Biblioteka Baidu
x2 4
-
y2 5
= 1 (x < - 83)
.
注：易知双曲线必过两圆交点.
图3
特别地，当 r1 = r2 时，点 M 的轨迹是线段 C1C2 的垂直平 分线(位于圆 C1 外的部分).
x2 36
+
y2 27
=1
.
变 9 动圆 M 与圆 C1 和圆 C2 同时内切.
由题意，| MC1| + | MC2 | =(r - r1) +(r2 - r) = r2 - r1 = 8 > |C1C2 | ,
因此动圆圆心 M 的轨迹是以 C1 ，C2 为两焦点, r2 - r1 =8
种：
（1）一动圆与两定圆中的小圆外切，同时与大圆内切；
（2）一动圆与两定圆同时内切.
2015 年第 1 期（上）
中学数学研究
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设 圆 C1: (x + 3)2 + y2 = 4 ，圆 C2: (x - 3)2 + y2 = 100 ( 由
|C1C2 | < | r2 - r1| 知，两圆是内含关系).
C1 ，C2 为两焦点，| r2 - r1| = 4 为实轴
长的双曲线的左支(含小圆圆心的一
支)的一部分(只包含位于圆 C1 内的 部分).
轨迹方程为
x2 4
-
y2 5
=
1
(-
8 3
<
x
≤
-2)
.
图4
综合（i），（ii）即为当动圆 M 与两相交定圆 C1 、C2 同时内
切 时 点 M 的 完 整 轨 迹. 轨 迹 方 程 为
有些学生以为裂项完就一定可以求和是错误的想法.例如：
1 2n(2n
+
1)
=
1 2n
-
1 (2n +
1)
，
Sn
=
1 2
-
1 3
+
1 4
-
1 5
+
⋯
+
1 2n
-
1 2n +
1
，导致这样错误的是没有弄清楚前后两项之间的关系，
2n + 1 的前一项是 2n - 1 ，而不是 2n .所以裂项求和一定要把
握住前后两项的关系.
之处，并结合引例及其 18 道变式题，希望呈现给读者一篇较 详尽地介绍该轨迹的文章，以供大家教学参考.
下文我们将针对两圆五种不同的位置关系对该轨迹展 开讨论.首先我们从文[1]、文[2]遗漏明显的相交情形说起.
一 两定圆相交
当两定圆相交时，动圆与两定圆同时相切的情形有三种： （1）一动圆与两定圆中的一个外切，同时与另一个内切； （2）一动圆与两相交定圆同时外切； （3）一动圆与两相交定圆同时内切. 设圆 C1: (x + 3)2 + y2 = 4 ，圆 C2: (x - 3)2 + y2 = 36 ，圆 C1 的圆 心 C1(-3,0) ，半径 r1 = 2 ，圆 C2 的圆心 C2(3,0) ，半径 r2 = 6 ，由
-
(2n
1 + 3)2n
．
所以 Sn = b1 + b2 + ⋯ + bn
=
æ è
1 3
-
1 5∙2
ö ø
+
æ
ç
è
1 5∙2
-
1 7∙22
ö
÷
ø
+
⋯
+
é
ëêê(2n
1
+ 1)2n - 1
-
(2n
+13)2nùûúú
=
1 3
-
(2n
1
+ 3)2n
．
故数列 {bn} 的前
n
项和
Sn
=
1 3
-
(2n
1
+ 3)2n
=
1 An - Bn
-
1 An + 1 - Bn + 1
三、等差 × 等比型裂项求和
例 3（2012 年广一模理数）等比数列 {an} 的各项均为正
数 ， 2a4,a3,4a5 成 等 差 数 列 ， 且 a3 = 2a22 ． 设
bn
=
(2n
2n + 5
+ 1)(2n
+
3)
an
，求数列
{bn}
的前
x2 25
y2 + 16
= 1(x ≠ -5)
.
变 7 动圆 M 与圆 C1 和圆 C2 同时外切.
易知，动圆圆心 M 的轨迹是以点 D 为端点，与 x 轴反方向
的射线(不包括点 D).
轨迹方程为 y = 0(x < -5) .
变 8 动圆 M 与圆 C1 和圆 C2 同时内切. 易知，动圆圆心 M 的轨迹是以点 D 为端点，与 x 轴同方向
线 的 右 支 ( 含 大 圆 圆 心 的 一 支)，可 求 得 轨 迹 方 程 为
x2 4
-
y2 5
= 1 (x ≥ 2)
.
（ii）当动圆 M 分别内切于圆 C1 和圆 C2 时，
如图 4，| MC2 | - | MC1| = r2 - r1 = 4 < |C1C2 | ,
因此动圆圆心 M 的轨迹是以
．
评注：此题是前两类题的基础上再增加难度，属于较高
难度的裂项求和，学生对此类等差乘等比型的裂项很少见，
但只要细心总结还是有规律可循的.常见的公式有以下几类：
（1）nn(n++21)∙21n
=
1 n∙2n - 1
-
(n
1 + 1)∙2n
；
(2n
4n + 8 + 1)(2n
+
3)∙31n
=
(2n
1 + 1)∙3n - 1
n
项和
Sn
．
解：设等比数列 {an} 的公比为 q ，依题意，有
ìíïa3 îïa3
= =
2a4 +
2 2a22.
4a5 ,
即
ìíîaa33
= =
a4 + 2a5, 2a22.
所以
ìíîaa11qq22
= =
a1q3 + 2a1q4, 2a12 q2.
由于
a1
≠
0
，q
≠
0
，解之得
ìíîïïaq1==1212. ,
x2 4
-
y2 5
=
1
(-
8 3
< x ≤ -2或x ≥ 2)
.
注：这里即便将变 4 和变 5 的三部分轨迹合并，也不是完
整的双曲线，还需除去两圆的两个交点.参阅文[2]，在这一点
上不严密.
特别地，当 r1 = r2 时，点 M 的轨迹是线段 C1C2 的垂直平分 线(除去两圆交点).
二 两定圆内切
2015 年第 1 期（上）
中学数学研究
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探究务须谨慎，细节决定成败
——也谈与两定圆同时相切的动圆圆心轨迹
山西省阳泉市平定一中（045200） 李素波
引 例 一 动 圆 与 圆 x2 + y2 + 6x + 5 = 0 外 切 ，同 时 与 圆
x2 + y2 - 6x - 91 = 0 内切，求动圆圆心的轨迹方程.