泛函分析中的定理

第四章 习题课

基本内容

1．线性有界泛函

:f D X ⊂→∧满足()()()f x y f x f y αβαβ+=+，线性． 若x D ∀∈，|()|||||f x M x ≤．——称f 有界． 2．线性有界泛函的范数 |()|

||||sup

||||

x f x f x θ

≠=． ||||1

||||1

||||sup |()|sup |()|x x f f x f x ≤===．

共轭空间（Banach 空间）*()n n R R =，*()p q l l =，*([,])p q L a b L =，*H H =． 基本定理：

①延括定理：G X ⊂是线性子空间，:f G X ⊂→∧是线性有界泛函，则*F X ∃∈，使（ⅰ）当x G ∈时，()()F x f x =； （ⅱ）||||||||X G F f =． ②两个推论：

（Ⅰ）（Hahn —Banach 定理）设X l.n.s ，0x X ∀∈，0x θ≠，则*f X ∃∈，||||1f =，00()||||f x x =．

（Ⅱ）设X l.n.s ，G X ⊂是线性子空间，0x X ∈，0(,)0d x G >，则*f X ∃∈，满足（ⅰ）x G ∀∈，()0f x =；

（ⅱ）0()f x d =； （ⅲ）||||1f =． 3．线性有界算子

1X ，2X ——l.n.s ，1D X ⊂线性子空间，2:T D X ⊂满足 ()()()T x y T x T y αβαβ+=+．

4．线性有界算子，算子范数． 5．基本定理

引理：（开映射原理）：若1X ，2X 是Banach 空间，12()T B X X ∈→，且

2()R T X =，则T 为开映射．

① 逆算子定理：设1X ，2X 都是Banach 空间，12:T X X →满射，可逆的线

性有界算子，则T 的逆算子1T -是有界算子．

② 闭图像定理：设1X ，2X 都是Banach 空间，12:()T D T X X ⊂→是闭算子，

其中()D T 是1X 的闭子空间，则T 是线性有界算子．

③ 共鸣定理：设1X 是Banach 空间，2X 是l.n.s.{|}i X i A ∈是一族12

X X →的线性有界算子，则

{|||||}i T i A ∈有界1x X ⇔∀∈，{|||||}i T x i A ∈有界．

6．强收敛与弱收敛

① l.n.s 中的点列的强、弱收敛．

（ⅰ）若||||0n x x →→，称{}n x 强收敛于x ，记为n x x →； （ⅱ）若*

f X ∀∈，|()()|0n f x f x -→，称*

n x x →（弱收敛）． ② 有限维空间中，强弱收敛等价． ③ 弱收敛的判别（等价条件）

*

n x x →⇔（ⅰ）{||||}n X 有界；（ⅱ）**M X ∃⊂（稠密），使*f M ∀∈，

0|()()|0n f x f x -→．

④ 算子列的各种收敛性：

（ⅰ）一致收敛：||||0n T T -→； （ⅱ）强收敛：||||0n T x Tx -→；

（ⅲ）弱收敛：||()()||0n f T x f Tx -→，*2f X ∀∈，1x X ∈． 特别泛函列n f ：

（ⅰ）强收敛：||||0n f f -→（对应一致收敛）；

（ⅱ）弱*收敛：||()()||0n f x f x -→（对应算子列强收敛）．

7．共轭算子

设1X ，2X 是同一数域∧上的l.n.s.12()T B X X ∈→， ***21:T X X →，如果对任何1x X ∈，*2f X ∈，都有

*()()()T f x f Tx = 或 *(,)(,)x T f Tx f =

成立，就称*T 是T 的共轭算子（也称伴随算子）．

共轭算子的范数：

定理（共轭算子的范数）：设12()T B X X ∈→，*T 是T 的共轭算子，则*T 是

**21X X →的线性有界算子，且有

*||||||||T T =．

定理（共轭算子的性质）： （1）**()aT aT =； （2）***2112()T T T T ⋅=⋅； （3）***1212()T T T T +=+；

（4）12:I X X →,则***12:I X X →． 8．自共轭算子

H 是Hilbert 空间，若,x y H ∀∈，(,)(,)Tx y x Ty =．T ——自共轭算子． Th ．（自共轭算子的充要条件）：H 是复的Hilbert 空间，T 为自共轭算子x H ⇔∀∈，

(,)Tx x 为实数．

性质：（1）特征值为实数；

T 1X *1X *

T 2X *

2X

（2）不同特征值的特征向量正交．

投影算子：0Px x =.（0x x z =+，0x M ∈，z M ⊥∈）．

举 例

例1．设21,X X 是s n l ..，)(21X X T →∈，则T X X B T ⇔→∈)(21应某个内部非空的有界集为有界集。

证：)(⇐设Φ≠⊂01,A X A （0A 是A 的内部）

2X TA ⊂有界，取A r a O ⊂),(（Φ≠0A ），,0>r 令∞<=∈||||sup Tx A

x β，

,0,1≠∈∀x X x 有),(||||1r a O x x r a ∈+-，因此

β≤+-||)||||(||1x x r a T

可以推出 r x r x Ta x x r

a T Tx /||||2/||||||)||

||(||||||β≤-+= 因此T 有界。

)(⇒显然成立。

例2．设)(Y A B T →∈，A 是X 的稠密子空间，Y 完备，则∃唯一的)(Y X B T →∈，使得||||||||,T T T T A ==。 证：X x ∈∀，取,}{A x n ⊂使)(∞→→n x x n 。因

||||||||||||n m n m x x T Tx Tx -≤-

故 }{n Tx 是Y 中的Cauchy 列；由于Y 完备，必存在n n Tx ∞

→lim ，记为x T ，这

与}{n x 的选取无关（事实上，若)(A x x x n n ∈'→'，取},,,,{}{2

211 x x x x y n ''=，x y →，则}{n Ty 为Cauchy 列，x T Ty n →，则x T x T n →'），这样就定义了

一个算子Y X T →:，T 显然是线性的，且T T A =。由

||||||||||||||||lim ||||lim

||||x T x T Tx x T n n n n =≤=∞

→∞→