考研中值定理专题上

至少存在一点 ,使
b
f ( x)dx
f ( )(b a) .
a
说明： b a
f
(x)d
x
f
( )(b a)
F( )(b a)
F(b)
F(a)
积分中值定理
微分中值定理
牛顿设– F莱(布x)尼茨f (公x)式
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二、中值定理的主要应用 1. 证明恒等式.
2. 证明不等式.
3. 证明有关中值问题的结论.
由推论可知 令x=0,得
(常数)
又
arcsin x arccos x , x [1, 1]. 2
9
例2 设a0 , a1,L
, an是满足方程a0
a1 2
a2 3
L
an n1
0
的一组实数, 证明方程a0 a1 x a2 x2 L an xn 0
至少有一个小于1的正根.
分析：若是a0 a1 x a2 x2 L an xn 0的根， 则有a0 a1 a2 2 L an n 0，则构造一函数,使
( ) a0 a1 a2 2 L an n 0. 证毕
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例3 设f ( x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,0 a b,
且af (b) bf (a), 证明:必 (a,b),使得f ( ) f ( ) .
分析:
(1)分析法
( )
f ( )
f ( ) 0,
难！
( x0 ) ( x 2!
x0 )2
( 在 x0 与 x 之间)
其中余项
Rn( x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)n1
o((
x
x0
)n
)
当 x0 0 时为麦克劳林公式 .
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 2!
f (n)(0) xn ( xn )
从结论出发,把结论改写为( ) f ( ) f ( ) 0,
则得( x)
xf ( x)
f ( x) 0, ( x)
f (x) ,
x
(2)积分法
从结论出发 f ( x)
f (x) x
f ( x) 1 f (x) x
f ( x) dx
f (x)
1 dx
x
ln
f ( x) ln x lnC,
关键: 利用逆向思维 设辅助函数
经验1:且欲研 用证及究 xx求函0不数I时I定或,使f式导( x数的f)(的极x0C)性限0,态只C0—需. 导证数明的在应I上f ( x) 0,
经验2：利用中值定理证明不等式的步骤: (1) 设出辅助函数和区间， (2) 利用中值定理, (3) 根据 a <ξ< b 的关系,证明出不等式.
经验3: 欲证 (a,b)使( ) 0.
(1)设函数 ( x)，
(2)验证函数 (x)在区间[a,b] 上满足罗尔定理. 8
典型例题分析
1.证明恒等式 例1. 证明等式 arcsin x arccos x , x [1, 1].
2
证 设f (x) arcsin x arccos x ,
n! 4
微分中值定理之间的相互关系
罗尔定理 f (a) f (b) 拉格朗日中值定理
f ( ) 0
y
F(
x) x
y f
(x)
f (a) f (b)
o 柯a 西中值b x定理
f (b) f (a) f ( )
F(b) F(a) F ( )
f ( ) f (b) f (a)
ba
F(x) x
2)介值定理：设f (x)C[a , b] ,且f (a) A, f (b) B , A B ,
则对 A 与 B 之间的任一数 C ,
推论: 在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最 大值 之间的任何值 .
即：f (x)C[a , b] ,m C M (a,b),使f ( ) C
或 f (x)C[a , b] ,m C M [a,b],使f ( ) C
( ) a0 a1 a2 2 L an n 0，
( x) a0 a1 x a2 x2 L an xn，
即( x) a0 x
a1 2
x2
a2 3
x3
L
an xn1， n1
用罗而定理
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例2 设a0 , a1,L
, an是满足方程a0
a1 2
a2 3
L
an n1Байду номын сангаас
0
的一组实数, 证明方程a0 a1 x a2 x2 L an xn 0
拉格朗日定理：
柯西定理：
f ( ) f (b) f (a) ,
ba
且F( x) 0
f ( F (
) )
f (b) F (b)
f (a) F(a)
,
3
泰勒中值定理：若函数
内具有 n + 1 阶导数,
f
(x)
f (x0) f (n)( x0 )
n!
f ( x0 )( x x0 ) f ( x x0 )n Rn ( x)
至少有一个小于1的正根.
证明
设
(
x)
a0
x
a1 2
x2 a2 3
x3 L
an xn1， n1
则( x)在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，
且(0) 0，(1) a0
a1 2
a2 3
L
an 0 n1
由罗而定理， (0,1),使得( ) 0，
而 ( x) a0 a1 x a2 x2 L an xn，
6
3. 费马定理
设函数f (x)在点x0处可导,且在点x0处取得极值 f ( x0 ) 0.
4. 积分中值定理
若 f (x)C[a ,b] [a ,b],使
b
f (x)dx f ( )(b a)
a
实质:把积分转化为被积函数在某点的函数值.
P241例6.若 f ( x) C[a , b]，证明在开区间(a,b)内
n0
y
y f (x)
泰勒中值定理
f(
x)
f(
1 n!
xo0 f
)(na) (fx(0x)0()x(bxxxx00))n
1 (n1)!
f (n1)( )( x
x0 )n1
5
2. 零点定理与介值定理
1)零点定理 ：
且
则至少有一点 ( a , b ) , 使 f ( ) 0 .
(又叫根的存在定理). 即方程f ( x) 0在(a,b)内至少存在一个实根.
中值定理及导数的应用
一、 微分中值定理及其应用 二、洛比达法则及其应用 三、导数应用---研究曲线的性态
1
中值定理及其应用
一、几个中值定理 二、中值定理的应用
2
一、 几个中值定理
1. 微分中值定理
罗尔定理： (1) f ( x)C[a, b]
(2)
f
( x)
D(a, b)
f ( ) 0
(3) f (a) f (b)