第8讲 二次根式的乘除运算(培优课程讲义例题练习含答案)
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二次根式的乘除运算—知识讲解（提高）
【学习目标】
1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.
2.能运用二次根式的有关性质进行分母有理化. 【要点梳理】
要点一、二次根式的乘法 1.乘法法则：
（a ≥0，b ≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.
要点诠释：
(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a 、b 都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
≥0，
≥0，…..
≥0）.
(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如
.
要点二、二次根式的除法 1.除法法则：
)a a a b a b b b
==÷或（a ≥0，b >0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数
相除.
要点诠释：
(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，a ≥0，b >0，因为b 在分母上，故b 不能为0.
(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号. 要点三、分母有理化 1.分母有理化
把分母中的二次根式化去叫做分母有理化. 2.有理化因式
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式：a a a =来确定，如：a a 与a b a b ++与，b a -与b a -等分别互为有理化因式.
②两项二次根式：利用平方差公式来确定.如a b +与a b ，
a b a b 与，
a x
b y a x b y 与.
要点诠释：
分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式.
【典型例题】
类型一、二次根式的乘除运算
1.（1） 2
1521)74181(2133÷-⨯ （2）243)2()()(a a a -÷-⋅- 【答案与解析】
（1）原式=7111111171123
()3()22872282711
⨯-÷=⨯-⨯⨯⨯ =3
4
-
(2)原式=2
2
1
22
a a a a a a -⋅÷=-
【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简. 举一反三
【变式】b b
a b a x x b a -÷
+⋅-5433622222 【答案】原式=2222
5214633a b x a b
x a b b
--⨯⨯⋅÷+ =22
5()()55
2263()21812a b a b x b b b x a b a b -+⋅⋅==+-
2. （春•潮南区月考）化简：4x 2
．
【思路点拨】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案． 【答案与解析】 解：4x 2
=4x 2÷12×3 =x 2
=xy ．
【总结升华】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键． 举一反三： 【变式】已知
，且x 为偶数，求(1+x)
的值．
【答案】由题意得，即
∴6＜x ≤9，∵x 为偶数，∴x=8 ∴原式=(1+x)
=(1+x)
=(1+x)
=
∴当x=8时，原式的值==6．
类型二、分母有理化
3. 把下列各式分母有理化：
2(1)5 22
(2)
a b a b -- (3)a b a b -+ 【思路点拨】找分母有理化因式. 【答案与解析】
（1）
5
5
25
5525
2=
••=
（2）
b a b a b
a b a b a b
a b a b a b a b
a b a -+=--•-=-•--•-=
--)()()(222222
（3）
b a b a b a b a b a b
a b a -=-•+-•-=
+-)
()()()(
【总结升华】有理化因式不止一个，但以它们的乘积较简为宜.显然，a ±b 与a b ，a ±b 与
a
b ，a ±b 与a b 都是互为有理化因式.
举一反三：
【变式】（春•隆化县校级期末）阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将
分母有理化．
解：原式=
=+
运用以上方法解决问题：
（1）将分母有理化；
（2）比较大小：（在横线上填“＞”、“＜”或“=”）
（n≥2，且n 为整数）
（3）化简：
+
+
+…+．
【答案】解：（1）=
= =2﹣；
（2）∵
=+
，
=
+
，
又＜
， ∴＜
，
∵=+，=
+
，
∴
＜
，
故答案为：＜，＜； （3）原式
=
+
+…+
=﹣1+
﹣
+
﹣
+…+
﹣
=
﹣1.
4. 已知323x =
+，2323
y +=-，求下列各式的值：（1）x y x y +-；（2）22
3x xy y -+.
【思路点拨】先把x 、y 的值分母有理化，再分别代入所求的两个式子即可.
【答案与解析】 2323
743,7432323
x y -+=
=-==++-