利用类比思想解决抽象函数问题[曾锦锋]

利用类比思想解决抽象函数问题

我们把没有给出具体解析式的函数称之为抽象函数。由于抽象函数的这种表现形式具有抽象性，其性质隐而不露，很难找到解决问题的突破口。其实，大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“背景”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，常可觅得解题思路。 根据教学实际，对于抽象函数许多学生感到束手无策，就是老师给出解答，学生也表示难以接受。其实，如果解题前能够启发学生由题目条件联想一个已经学过的初等函数，那么问题就会迎刃而解。本文通过题目所提供的抽象函数的恒等条件进而联想到某些初等函数的性质来解决抽象函数的问题。

1、线性函数型抽象函数

线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。

例1．.已知函数()f x 对任意实数,x y ，均有()()()f x y f x f y ，且当0x 时，()0,(1)2f x f ，求()f x 在区间[－2，1]上的值域。

分析：由题设可知，函数()f x 是(0)y

kx k 的抽象函数，因此求函数()f x 的值域，

关键在于研究它的单调性。 解：设12x x <则210x x ->，当0x >时()0f x >，则有21()0f x x ->，

2211211()[()]()()f x f x x x f x x f x =-+=-+

整理得2121()()()0f x f x f x x -=->，故函数()f x 为增函数

又因为()()()f x y f x f y 恒成立，令y x =-，则(0)()()f f x f x =+-，再令0x y ==，则(0)2(0)f f =，即(0)0f =，故()()f x f x -=-，()f x 为奇函数， 所以(1)(1)2f f =--=，又(2)2(1)4f f -=-=-，()f x 的值域为［－4，2］。 例2．已知函数()f x 对任意,x y R ∈，满足条件()()2()f x f y f x y +=++，且当0x >时， ()2,(3)5f x f >=，求不等式2

(22)3f a a --<的解。

分析：由题设条件可猜测： ()f x 是2y x =+的抽象函数，且()f x 为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。

解：设12x x <则210x x ->，当0x >时()2f x >，故21()2f x x ->，则 221121111()[()]()()22()2()f x f x x x f x x f x f x f x =-+=-+->+-=

即21()()f x f x >，故函数()f x 为增函数

(3)(21)(2)(1)2[(1)(1)(2)](1)23(1)4f f f f f f f f f =+=+-=+-+-=-，

又因为(3)5f =，则(1)3f =。由2

(22)(1)f a a f --<得2221a a --<， 即2230a a --<，解得不等式的解为13a -<<。

2、指数函数型抽象函数

指数函数型抽象函数，即由指数函数抽象而得到的函数。 122())()()x f x x f x a f x

例3．设函数()f x 的定义域是(,)-∞+∞，满足条件：存在12x x ≠，使得12()()f x f x ≠，对任何x 和y ， ()()()f x y f x f y +=成立。求：

⑴(0)f ；⑵对任意值x ，判断()f x 值的正负。

分析：由题设可猜测()f x 是指数函数x

y a =的抽象函数，从而猜想(0)1f =且()0f x >。 解：（1）令0y =代入()()()f x y f x f y +=，则()()(0)f x f x f =，所以 ()[1(0)]0f x f -=。若()0f x =，则对任意12x x ≠，有12()()0f x f x ==，这与题设矛盾，故()0f x ≠，且(0)1f =。

（2）令0y x =≠，则2

(2)()()[()]0f x f x f x f x ==≥，又由（1）知()0f x ≠，(2)0f x >，即()0f x >，故对任意x ，()0f x >恒成立。

3、对数函数型抽象函数

对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。

122()()()log a f x f x f x x

1()()log a f f x x x

12212

1)()()(x x f x f f x x 例4．（2005绵阳第一次诊断性测试）设()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，对任意的 12,(0,)x x ∈+∞，都有1212()()()f x x f x f x =+，则关于函数()f x ，你能得到什么结论？（要求写出三个结论，并说明理由）

解：根据题意，函数()f x 的定义域(0,)+∞不关于原点对称，所以()f x 既不是奇函数也不是偶函数。

对任意的12,(0,)x x ∈+∞，都有1212()()()f x x f x f x =+，所以令121x x ==，都有

(1)(1)(1)f f f =+，得(1)0f =；则对任意的(0,)x ∈+∞，都有1(1)()()0f f x f x

=+=从而1()()f f x x

=-。类似的可得,(0,)x y ∈+∞有 ()()()x f f x f y y

=- 例5．设()f x 是定义在(0,)+∞上的单调增函数，满足()()()f xy f x f y =+，(3)1f =求：⑴(1)f ；⑵若()(8)2f x f x +-≤，求x 的取值范围。

分析：由题设可猜测()f x 是对数函数3log y x =的抽象函数，(1)0,(9)2f f == 解：（1）∵(3)(13)(1)(3)f f f f =⨯=+，∴(1)0f =。

（2）(9)(33)(3)(3)2f f f f =⨯=+=，从而有()(8)(9)f x f x f +-≤，

即[(8)](9)f x x f -≤，∵f （x ）()f x 是(0,)+∞上的增函数，故

(8)90

80x x x x -≤⎧⎪>⎨⎪->⎩

，解之得：89x <≤。