利用类比思想解决抽象函数问题[曾锦锋]

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类比思想与抽象函数解法

类比思想与抽象函数解法导言：当你站在几十层的高楼下，仰视它时，你会感到它的高大，当你站在高于建筑物几倍高的地方俯视它时，它就会显得矮小。

站在数学思想方法的高度来研究数学，俯视数学问题，一个个数学难题将会变得容易了。

初、高中阶段主要学习研究了一次（含正比例）函数、二次函数、简单的高次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数的以上函数复合而成的复合函数等。

它们的“法则”与“形式”都是具体的，而在解题的过程中会遇到一些函数，它的对应法则或形式不是具体的，即所谓的抽象函数，对这一类函数教材中并没有明确的定义，没有作多的研究，但考试中频频出现。

对于具体函数学习与研究同学们已深感其“抽象”和难于理解，这些抽象函数问题当然就更加“抽象”和难于理解，因此，解决抽象函数问题就成为高中阶段的一个难点。

但我们通过研究，会发现题目中的抽象函数满足的运算律往往与我们学过的具体的某一个（或某一类）函数运算律相类似，或者说某一个（或某一类）具体函数是该抽象函数的一个特例。

在研究解决数学问题中我们也经常强调要坚持“抽象问题具体化”的原则，以及类比的思想方法。

这一原则与思想方法指引我们利用类比思想，通过研究与题目中抽象函数相类似的具体函数，解决抽象函数问题，使抽象函数问题的解决就变得比较容易了。

下面我们通过一些例子体验类比思想解决抽象函数问题中的奥妙，体会数学思想方法的强大威力。

一、常见抽象函数模型：1、满足)()()(y f x f y x f +=+函数模型：正比例函数)0(,≠=k kx y2、满足xy y f x f y x f ++=+)()()(函数模型：二次函数bx axy +=23、满足)()()(y f x f xy f +=（或)()()(y f x f yxf -=）函数模型：对数函数x y alog=4、满足)()()(y f x f y x f =+函数模型：指数函数x a y =5、满足)()(x f x f =-π，)()(x f x f -=-函数模型：正弦函数x y sin =二、例题解析：1、若函数)(x f 满足)()()(y f x f y x f +=+),(R y x ∈则下列各式中不恒成立的是（） A 0)0(=f ； B )1(3)3(f f =； C )1(21)21(f f =； D 0)()(<-x f x f 。

压轴题命题区间增分点1抽象问题有形化破解抽象函数难题

压轴题命题区间增分点1抽象问题有形化破解抽象函数难题抽象问题是指那些没有具体实物或情景的问题，通常涉及思维、概念、逻辑等抽象的内容。

对于这类问题，我们需要运用抽象化的思维方式进行分析、归纳和推理，以达到解决问题的目的。

但是，抽象问题常常给人带来一定的困扰，因为没有具体的材料可以依据，我们很难形成明确的思路和解决方案。

因此，为了更好地解决抽象问题，我们需要进行抽象问题的有形化破解，也就是将抽象问题具象化并分解为容易解决的具体问题。

本文将探讨抽象问题的有形化破解方法，并提供一些实例来说明。

在解决抽象问题时，我们通常可以采取以下几个步骤进行有形化破解：1.确定问题的抽象化程度：抽象问题的程度可以分为高度抽象和中度抽象。

高度抽象的问题往往没有明确的指向和背景，需要进一步转化为中度抽象或具体问题进行分析。

中度抽象的问题可能已经具有一定的指向和背景，但还需要进一步具象化。

2.将抽象问题具象化：具象化是将抽象问题转化为具体的情景或实物，以便更好地理解和分析。

具象化可以通过设想一个具体的实例或情况来实现。

例如，如果问题是关于逻辑推理的，可以设想一个具体的故事情节或者设定一个具体的实例，以便更好地理解和分析。

3.分解抽象问题：抽象问题往往比较复杂，不容易直接解决。

因此，我们需要将抽象问题分解为更小、更具体的问题进行解决。

这样，我们可以一步一步地逼近抽象问题的解答。

分解问题时，可以运用归纳、演绎、分类等思维方式进行。

4.利用具体问题进行推理和分析：通过具体问题的推理和分析，我们可以更好地理解和解决抽象问题。

具体问题提供了明确的指向和背景，使我们能够更好地确定解题思路、找到关键点并进行推理。

下面以一个具体的例子来说明抽象问题的有形化破解。

假设有一个抽象问题：给定n个点的集合P，在平面上找到一个连通的子集P'，使得P'中任意两点之间的距离之和最小。

请设计一个算法来解决这个问题。

首先，我们可以将问题具象化为一个实际的情境。

抽象函数问题及解法

抽象函数问题及解法原创/O客本文谈及的抽象函数问题是高考的必考内容，是高中函数与大学函数的衔接内容。

打开窗子说亮话，是高中教材没有，高考要考，大学不教但要经常用的内容。

如果一个关于函数f(x)的题目，已知f(x)的性质及f(x)满足的关系式，求证f(x)的其他性质，题目做完了，我们还不知道f(x)的具体的解析式，这就是抽象函数问题.一般地，抽象函数是指没有（直接或间接）给出具体的解析式，只给出一些函数符号及其满足某些条件的函数.解决抽象函数问题，我们可以用函数性质、特殊化、模型函数、联想类比转化、数形结合等多种方法.（1）函数性质法.函数的特征是通过其性质（如单调性、奇偶性、周期性、特殊点等）反映出来的，抽象函数也如此. 我们可以综合利用上述性质，包括借助特殊点布列方程等来解决抽象函数问题.（2）特殊化法.特殊化法又叫特取法. 为达到我们预期的目的，将已知条件进行适当的变换，包括式子的整体变换与具体数字的代换. 如在研究函数性质时，一般将x换成-x或其他代数式；在求值时，用赋值法，常用特殊值0，1，-1代入.（3）模型函数法.模型函数在解决抽象函数问题中的作用非同小可. 一方面，可以用借助具体的模型函数解答选择题、填空题等客观题. 另一方面，可以用“特例探路”，联想具体的模型函数进行类比、猜想，为解答题等主观题的解决提供思路和方法. 一般地，抽象函数类型有以下几种：①满足关系式f(x+y)=f(x)+f(y) （ⅰ）的函数f(x)是线性型抽象函数. 其模型函数为正比例函数f(x)=kx (k≠0).事实上，f(x+y)=k(x+y)=kx+ky=f(x)+f(y).令x=y=0，得f(0)=0，故f(x)的图象必过原点.令y=-x，得0=f(0)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.命题（ⅰ）可以推广为f(x+y)=f(x)+f(y)+b(b是常数），其模型函数为一次函数f(x)=kx-b(k ≠0).②满足关系式f(x+y)=f(x) f(y) （ⅱ）的函数f(x)是指数型抽象函数. 其模型函数为指数函数f(x)=a x(a>0，a≠1）.事实上，f(x+y)=a x+y=a x·a y=f(x) f(y).令x=y=0，得f(0)=1，故曲线f(x)必过点(0，1).命题（ⅱ）等价于f(x-y)=f(x) f(y).③满足关系式f(xy)=f(x)+f(y) (x，y∈R+) （ⅲ）的函数f(x)是对数型抽象函数. 其模型函数为对数函数f(x)=log a x(a>0，a≠1）.令x=y=1，得f(1)=0，故曲线f(x)必过点(1，0).命题（ⅲ）等价于f( xy)=f(x)-f(y) (x，y∈R+) .④满足关系式f(xy)=f(x) f(y)的函数f(x)是幂型抽象函数. 其模型函数为幂函数f(x)=x n.⑤满足关系式f(x+y)=f(x)+f(y) 1- f (x) f(y)的函数f(x)是正切型抽象函数. 其模型函数为正切函数f(x)=tan x.需要指出的是，不是每种抽象函数都可以找到在中学阶段所熟知的函数作模型函数. 抽象函数的种类还有很多，这里罗列的仅是常见的，尤其是类型①、②、③最常见.我们就上述方法的应用，先进行例说，再分类例说.例如（2008·重庆），若定义域在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，则下列说法一定正确的是（）A.f(x)为奇函数B.f(x)为偶函数C. f(x)+1为奇函数D. f(x)+1为偶函数这是线性型抽象函数问题. 联想模型函数f(x)=kx-1(k≠0），易知选C.如果此题改为解答题，题设条件不变，“判断并证明函数g(x)=f(x)+1的奇偶性”.那么我们首先联想模型函数，窥测解题方向，构建解题思路. 猜测g(x)是奇函数. 于是心中有“底”. 目标就是需要证明g(-x)+g(x)=0，即f(-x)+f(x)+2=0. 又抽象函数奇偶性问题，一般要先用赋值法确定f(0)的值，再用x，-x进行代换，进而得到g(-x)与g(x)的关系式.于是解答如下.g(x)是奇函数. 证明如下：令x1=x2=0，有f(0)=f(0)+f(0)+1，得f(0)=-1.再令x1=x，x2=-x，有f(0)=f(x)+f(-x)+1，即f(-x)+f(x)+2=0，从而g(-x)+g(x)= f(-x)+f(x)+2=0，所以函数g(x)是奇函数.1. 与单调性相关的问题例1已知函数f(x)的定义域为R，对任意x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(1)=-2. 求f(x)在区间[-3，3]上的最大值和最小值.解析联想模型函数f(x)=kx(k≠0)，猜想“f(x)是奇函数，且为减函数”.设m<n，则f(n)-f(m)=f((n-m)+m)-f(m)=f(n-m)+f(m)-f(m)=f(n-m).因为当x>0时，f(x)<0，而n-m>0，所以f(n-m)<0，即f(n)<f(m)，所以f(x)是减函数.根据最值定理，f(x)在[-3，3]上的最大值为f(-3)，最小值为f(3).因为f(1)=-2，所以f(2)=f(1+1)=2f(1)=-4，f(3)=f(2)+f(1)=-6.又令x=y=0，得f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)，故f(0)=0，再令x=1，y=-1，得0=f(0)=f(1)+f(-1)，故f(-1)=2，f(-3)=f(-2)+f(-1)=3f(-1)=6.所以f(x)在[-3，3]上的最大值为6，最小值为-6.点评我们可以举出具有这种性质的一个函数y=-2x（x∈[-3，3]）.此外，我们还可以用奇偶性来证明单调性和求f(-3)的值. 由0=f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)，得f(-x)=-f(x)，故f(x)是奇函数.因此f(n)-f(m)=f(n)+f(-m)=f(n-m)<0，f(-3)=-f(3)=6.注意这两种证明抽象函数单调性的技巧，为创造条件利用关系式，前者是作自变量变换n=n-m +m ；后者是用奇偶性巧妙地实现了“-”向“+”的转化.例2 已知函数f (x )的定义域为R ，对任意m ，n ，均有f (m +n )=f (m )+f (n )-1，且f (-12)=0，当x >-12时，f (x )>0. 求证f (x )是单调递增函数，并举出具有这种性质的一个函数. 解设m >n ，则m -n >0，m -n -12>-12，所以f (m )-f (n )=f (n +m -n )-f (n )=[f (n )+f (m -n )-1]-f (n )=f (m -n )+f (-12)-1=f (m -n -12)>0，即f (m )>f (n ). 从而f (x )为单调递增函数. 具有这种性质的一个函数是y =2x +1.例3 已知函数f (x )的定义域是(0，+∞），且f (xy )=f (x )+f (y )，当x >1时，f (x )>0.（1）求f (1)，并证明f (x )在定义域上是增函数；（2）如果f (13)=-1，求满足f (x )-f (1x -2)≥2的x 的取值范围. 解（1）令x =y =1，则f (1)=f (1)+f (1)，得f (1)=0.设0<m <n ，则f (n ) - f (m )= f (n m ·m ) - f (m )= [f (n m )+f (m )] - f (m )= f (n m )>0 (因为n m>1). 即f (m )<f (n). 所以f (x )在(0，+∞）上是增函数.（2）由f (1)=0， f (1)=f (1x ·x )=f (1x )+f (x )，得f (1x)=-f (x ). 有f (13)=-f (3)=-1，得f (3)=1，故2=f (3)+f (3)=f (9)，有f (x )-f (1x -2)=f (x )+f (x -2)=f (x (x -2))，所以原不等式可化为f (x (x -2))≥f (9)，于是从而所求x 的取值范围是[1+10，+∞）.点评题（2）实质上是解抽象函数不等式. 一般地，先把不等式中的常数项化成某个函数值（如这里的2=f (9))，以便利用单调性“脱去”函数符号，转化成一般不等式. 特别注意抽象函数定义域. 不等式组的前两个不等式是定义域要求（这里也是单调区间的要求，因为只有同一个单调区间，才能“脱去”函数符号），第三个是单调性的逆用.此外，我们可以写出满足题设条件的一个函数y =log 3x .2. 与奇偶性相关的问题例4（2002·北京）已知f (x )是定义域在R 上不恒为0的函数，且对任意a ，b ∈R 都满足f (a ·b )=af (b )+bf (a ). 求f (0)和f (1)，判断并证明f (x )的奇偶性.解令a =b =0，则f (0·0）=0，即f (0)=0.令a =b =1，则f (1)=2 f (1)，即f (1)=0.x >0，x -2>0，解得x ≥1+10.x (x -2)≥9.f (x )为奇函数，证明如下.令a =-1，b =x ，则f (-x )=-f (x )+xf (-1)，又f (1)=f ((-1)·(-1))=-f (-1)-f (-1)，即f (-1)=0，从而f (-x )=-f (x ).所以f (x )为奇函数.点评当然，也可以只令a =-1，推得f (-b )=-f (b )而得结论.例5（2009·全国）函数f (x )的定义域为R . 若f (x +1)与f (x -1)都是奇函数，则（）A. f (x )是偶函数B. f (x )是奇函数C. f (x )=f (x +2)D. f (x +3)是奇函数解析由f (x +1)是奇函数，知f (-x +1)=-f (x +1)， ①由f (x -1)是奇函数，知f (-x -1)=-f (x -1)， ②在①中，用x -1代换x ，得f (2-x )= -f (x )，在②中，用x +1代换x ，得f (-2-x )=-f (x )，所以f (2-x )= f (-2-x )，再用-2-x 代换x ，得f (4+x )=f (x )，知4为f (x )的周期.于是由②，f (-x -1+4)=-f (x -1+4)，即f (-x +3)=-f (x +3)，所以f (x +3)是奇函数，可知选D.点评我们还可以构造模型函数f (x )=cosπx 2来解此选择题，可知选 D. 事实上f (x +3)=sin πx 2. 还有，由f (x +1)是奇函数，可令h (x )=f (x +1)，则h (-x )=-h (x )，即f (-x +1)=-f (x +1).此外，对上述变量代换法可以用换元法帮助理解. 例如，令t =x +1，则x =t -1，代入①式得f (2-t )=-f (t )，即f (2-x )=-f (x ). 注意这里的代换和换元的前提是，不能改变函数f (x )的定义域.例6（2014•全国）已知偶函数f (x )在[0，+∞)上单调递减，且f (2)=0，若f (x -1)>0，则x 的取值范围是 .解析实际上是解抽象不等式f (|x -1|)>f (2).因为f (x )是偶函数，所以f (x -1)= f (|x -1|)，因为f (2)=0，f (x -1)>0，所以f (|x -1|)>f (2).又f (x )在[0，+∞)上单调递减， |x -1|，2∈[0，+∞)，所以|x -1|<2，解得-2<x -1<2，即-1<x <3综上可知，x 的取值范围是(-1，3).例7（2015•全国）设函数f ´(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (-1)=0，当x >0时，xf ´(x )-f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A. (-∞，-1)∪(0，1)B. (-1，0)∪(1，+∞)C. (-∞，-1)∪(-1，0)D. (0，1)∪(1，+∞)解析因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (-x )=-f (x ) ①，对等式两边求导，注意左边用复合函数求导法则，得[f (-x )]´=[ -f (x )]´ ，f ´(-x )•(-x )´=-f ´(x )，即f ´(-x ) =f ´(x ) ②.因为当x >0时，xf ´(x )< f (x )，故当x <0时，则-x >0，-xf ´(-x )< f (-x )，将①，②代入得-xf ´(x )<- f (x )，即xf ´(x )> f (x ) (x <0).由f (x )>0，知xf ´(x )>0，得f ´(x )<0 (x <0)，因此，f (x )在(-∞，0)上是减函数，又f (-1)=0，所以x <0时，由不等式f (x )>0，即f (x )> f (-1)，解得x <-1.由奇偶性与单调性的关系知，f (x )在(0，+∞)上也是减函数，又f (1)=-f (-1)=0，所以x >0时，由不等式f (x )>0，即f (x )> f (1)，解得0<x <1.综上可知，选A.评注（1）这里，我们由f (-x )=-f (x )，推得f ´(-x ) =f ´(x ). 这表明奇函数的导函数是偶函数. 同理可得，偶函数的导函数是奇函数.（2）另法. 我们可以构造辅助函数来解此题. 令g (x )=f (x )x ，得g ´(x )=xf ´(x )-f (x )x 2.当x >0时，g ´(x )<0，知g (x )单调递减. 由f (-1)=-f (1)及f (-1)=0，知g (1)=0，所以由不等式f (x )>0，即g (x )>g (1),解得0<x <1. 可证g (-x )=g (x )，g (x )是偶函数，知g (x )在(-∞，0)上是单调递增. 当x <0时，同理，由g (x )<g (-1)解得x <-1. 一般地，题目条件出现“xf ´(x )-f (x )<0( >0)”时，可以考虑构造辅助函数g (x )=f(x )x；出现“xf ´(x )+f (x )<0( >0)”时，可以考虑构造辅助函数 h (x )=xf (x ).（3）为加深对此题的理解，我们可以举出这类函数的一个特例：它的图象如图1.3. 与周期性相关的问题例8（2001·全国）设f (x )是定义域在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意x 1，x 2∈[0，12 ]，都有f (x 1+x 2)=f (x 1)f (x 2)，且f (1)=a >0. 求f (12)，f (14)，并证明f (x )是周期函数.解由题设得a =f (1)=f (12+12)=f (12)f (12)，即f (12)=21a . 21a = f (12)=f (14+14)=f (14)f (14)，即f (14)=41a . 因为f (x )是偶函数，所以f (-x )= f (x )，又f (x )图象关于直线x =1对称，得f (1+x )=f (1-x )，用x +1代换x ，得f (2+x )=f (-x )，于是f (2+x )=f (x )，所以f (x )是周期函数.例9 设函数f (x )定义在R 上，且对任意的x 有f (x )=f (x +1)-f (x +2)，求证f (x )是周期函数，并找出它的一个周期.解因为f (x )=f (x +1)-f (x +2)，所以f (x +1)= f (x +2)-f (x +3)，两式相加，得f (x )= -f (x +3)，即f (x +3)= - f (x ).因此，f (x +6)=f ((x +3)+3)=-f (x +3)=-(-f (x ))=f (x ).所以，f (x )是周期函数，它的一个周期是6.点评对于由关系式f (x +3)= - f (x )，推得f (x +6)=f (x ). 这个我们可以这样理解，“自变量每增加3，函数值反号一次”. 我们增加6，反号两次，不就“负负得正”了吗. 类似的还有f (x +2)=-x +1，x >0， 0， x =0， -x -1， x <0. f (x )= 图1±1f(x )，可得f (x +4)=f (x )等. 例10（2011·上海）设g (x )是定义在R 上的以1为周期的函数，若函数f (x )=x +g (x )在区间[3，4]上的值域为[-2，5]，求f (x )在区间[-10，10]上的值域.解由g (x +1)=g (x )，知g (x +n )=g (x )，n ∈Z .所以f (x +n )=x +n + g (x +n )=x +g (x )+n =f (x )+n ，n ∈Z .因为x ∈[3，4]时，f (x )∈[-2，5]，故当x ∈[-10，-9]时，x +13∈[3，4]，有f (x +13)∈[-2，5]，即f (x )+13∈[-2，5]，所以f (x )∈[-15，-8].当x ∈[-9，-8]时，x +12∈[3，4]，同理，f (x )∈[-14，-7].……当x ∈[9，10]时，x -6∈[3，4]，从而f (x -6)∈[-2，5]，即f (x )-6∈[-2，5]，所以f (x )∈[4，11].综上，当x ∈[-10，10]时，有f (x )∈[-15，-8]∪[-14，-7]∪…∪[4，11]=[-15，11].所以f (x )值域为[-15，11].4. f (x )=af (x +b )的问题关于已知f (x )所满足的方程求f (x )的解析式问题，我们在7.3节讲述过. 我们现在来研究函数f (x )满足关系式f (x )=af (x +b )，求解与f (x )相关的问题.例11（2010·广东）已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )=kf (x +2)，其中常数k 为负数，且f (x )在区间[0，2]上有表达式f (x )=x (x -2).（1）求f (-1)，f (2. 5)的值；（2）写出f (x )在[-3，3]上的表达式，并讨论f (x )在[-3，3]上的单调性.解析（1）因为当0≤x ≤2时，f (x )=x (x -2)，故f (1)=-1，f (12)=-34. 又x ∈R 时，f (x )=kf (x +2)（k <0），所以f (-1)=kf (-1+2)=kf (1)=-k ; f (2. 5)=f (2+12)=1k f (12)=-34k. （2）因为当0≤x ≤2时，f (x )=x (x -2)，设-2≤x <0，则0≤x +2<2，有f (x +2)=(x +2)(x +2-2)=x (x +2)，所以f (x )=kf (x +2)=k x (x +2).设-3≤x <-2，则-1≤x +2<0，有f (x +2) =k (x +2)(x +4)，所以f (x )=kf (x +2)=k 2(x +2)(x +4). 设2<x ≤3, 则0<x -2≤1，又f (x -2)=kf (x )，所以f (x )=1k f (x -2)=1k(x -2)(x -4).因为k <0，由二次函数性质知，f (x )在[-3，-1]，[1，3]上为增函数；在[-1，1]上为减函k 2(x +2)(x +4)，-3≤x <-2， k x (x +2)， -2≤x <0， x (x -2)， 0≤x ≤2， 1k (x -2)(x -4)， 2<x ≤3. 综上所述，f (x )=数. （图2）例12（2003·上海）已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x +T )=Tf (x )成立.（1）函数f (x )=x 是否属于集合M ，说明理由；（2）设函数f (x )=a x (a >0且a ≠1）的图象与y =x 的图象有公共点，证明：f (x )=a x ∈M . 解（1）对于非零常数T ，f (x +T )=Tf (x )=Tx ，因为对任意x ∈R ，x +T = Tx 不能恒成立，所以f (x )=x M .（2）因为函数f (x )=a x (a >0且a ≠1）的图象与y =x 的图象有公共点，显然x =0不是方程a x =x 的解，所以存在非零常数T ，使a T =T .于是对于f (x )=a x 有f (x +T )=a x +T = a T ·a x = T ·a x = Tf (x )，所以f (x )=a x ∈M .所以方程组有解，消去y 得a x =x ， y =a x ， y =x。

初中数学类比思想方法的探究与应用

初中数学类比思想方法的探究与应用一、引言数学是一门基础学科，也是人们日常生活中无处不在的。

然而，对于初中生来说，数学常常被认为是一门难以理解和应用的学科。

为了帮助初中生更好地掌握数学知识，类比思想方法被引入到数学教学中。

本文将探讨初中数学类比思想方法的探究与应用。

二、初中数学类比思想方法的探究1.类比思想方法的概念类比思想方法是指通过将一个问题与一个或多个类似的问题进行比较和联系，从而解决原始问题的一种思考方式。

类比思想方法在数学中的应用，即将一个数学问题与其他具有相似性质或结构的问题进行比较和联系，从而帮助求解原始问题。

2.类比思想方法的特点类比思想方法具有以下几个特点：（1）激发思维：通过将问题与其他相似问题进行比较，可以激发学生的思维，帮助他们更好地理解和解决问题。

（2）拓宽视野：比较不同的问题，可以帮助学生拓宽自己的思维视野，不仅仅局限于某个具体的问题，而是能够从更广阔的角度去思考和理解数学。

（3）提高抽象能力：通过类比思想方法，学生可以将具体的问题抽象成更一般化的形式，从而提高他们的抽象能力。

3.类比思想方法的应用（1）在解决代数问题中的应用在代数问题中，类比思想方法可以帮助学生理解和解决复杂的代数方程。

例如，在解方程2x+1=9时，可以将其类比为2个苹果加1个苹果等于9个苹果的问题，从而帮助学生找到解x=4的思路。

（2）在解决几何问题中的应用在几何问题中，类比思想方法可以帮助学生理解和解决复杂的几何关系。

例如，在证明两个三角形相似的问题中，可以利用类比思想方法，将两个三角形分别与另外两个相似的三角形进行比较，从而得出结论。

（3）在解决排列组合问题中的应用在排列组合问题中，类比思想方法可以帮助学生理解和解决复杂的排列组合关系。

例如，在计算从10个不同的数中取出3个数的排列数时，可以类比为从10个不同的卡片中取出3个卡片的排列数，从而帮助学生理解问题的求解方法。

三、初中数学类比思想方法的应用1.提高解题效率采用类比思想方法，能够帮助学生更高效地解决问题。

解决抽象型函数问题的若干思想

11 a 1 1 a 11
2
且 1 a a 2 1 ，解得 0 a 1
评注：抽象函数与不等式的综合题常需利用单调性，脱掉函数记号。
3、利用周期性，回归已知
例 8 、已知 f ( x) 是定义在正整数集上的函数，对任意正整数 x 都有
解：(1)在 f(xy)=f(x)+f(y)中，令 x=y=1，得 f(1)=0，
1 1 1 又令y=x，得f(x)+f(x)=f(x·x)= f(1)=0， 1 ∴当x>0 时，f(x)=﹣f(x)； x2 x2 (2)设x 1 >0、x 2 >0 且x 1 <x 2 ，则x >1，∴f(x )<0，
1+ f(x) ，( f(x)≠0，1)，例 11、已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x+1)= 1﹣f(x)
若 f(1)=2，求 f(2002)的值.
1+ f(x) 1﹣f(x) 1 1+ f(x) 1+ f(x+1) 中，将x换为x+1 有，f(x+2)= = = ﹣ 解：在f(x+1)= 1+ f(x) f(x)， 1﹣f(x) 1﹣f(x+1) 1﹣ 1﹣f(x) 1+ 1 从而f(x+4)=﹣f(x+2)=﹣ 1 1 =f(x)，∴f(x)是以 4 为周期的周期函数， ﹣f(x)
x+y 例 10、定义在(﹣1,1)上的函数f(x),对任意的x,y∈(﹣1,1)都有f(x)+f(y)=f(1+xy).求
证： f(x)是奇函数.
x+y 解：在f(x)+f(y)=f(1+xy)中，令x=y=0 有f(0)+f(0)=f(0)，∴f(0)=0，

类比思想在高中数学教学中的实践分析

类比思想在高中数学教学中的实践分析引言：在教育教学中，类比思想是一种常用的教学手段，尤其在高中数学教学中起到重要的作用。

类比思想是指通过建立不同事物之间的相似性，帮助学生理解抽象的数学概念和解决数学问题。

本文旨在分析类比思想在高中数学教学中的实践应用，并探讨其在提高学生学习效果和兴趣方面的作用。

一、类比思想在数学概念理解中的应用1.1 类比思想帮助学生理解抽象概念高中数学中存在许多抽象的概念，如函数、导数、积分等，这些概念往往让学生感到难以理解和把握。

通过类比思想，教师可以将这些抽象的数学概念与学生平时生活中的实际经验进行类比，引导学生找到相似之处，从而帮助他们更好地理解和掌握这些概念。

1.2 类比思想激发学生对数学的兴趣将数学概念与生活实际进行类比，不仅有助于学生理解数学概念，还能够激发他们对数学的兴趣。

通过与生活中的实际情境相联系，学生会觉得学习数学并不是一件枯燥的事情，而是与自己的生活息息相关、有着实际意义的学科，从而对数学产生浓厚的兴趣。

2.1 类比思想帮助学生建立数学问题解决的思维模式在高中数学中，问题解决是一个重要的环节。

通过类比思想，教师可以将已解决的实际问题与当前待解决的数学问题进行类比，帮助学生建立问题解决的思维框架。

学生可以运用类比思想从已经解决的实际问题中寻找解决数学问题的思路和方法，进而解决当前的数学问题。

3.1 实例一：函数的概念理解在高中数学中，函数是一个抽象而又重要的概念，学生往往难以理解和把握。

教师可以通过类比思想，将函数的概念比喻为一个自动售货机，输入自变量就会得到相应的因变量，从而帮助学生理解函数的概念及其特点。

3.2 实例二：数学问题解决在解决一道难题时，教师可以引导学生从生活中已解决的问题中找到类似的情境，通过类比思想找到解决问题的思路和方法，激发学生的兴趣，提高他们的解决问题的能力。

四、结论类比思想在高中数学教学中起到了重要的作用。

通过类比思想，教师可以帮助学生更好地理解抽象的数学概念，激发他们对数学的兴趣，建立数学问题解决的思维模式和自信心。

曾湘峰三角函数的图像与性质

三角函数的图像与性质---教学反思闻帆林发布时间： 2010-9-13 13:07:09三角函数的图像与性质是三角函数内容的核心，，在高中数学教学中起着至关重要的作用，实际上只要掌握好三角函数的定义域，值域，单调性，奇偶性和周期性五个重要性质，就基本上达到了学习三角函数的目的和要求。

尤其是其周期性是这部分新学的概念，也学生学习的难点，在教学中，要给学生充足的时间来理解概念，不要只是会做题就行了。

那么究竟在教学中是怎样去落实的哪？1.充分利用数形结合和化归思想。

利用图象去研究函数的性质，是我们的认识从感性上升为理性的一般思维方法。

五点法作图，通过作图了解图像的的性质图像变换法对于的图象和性质的比较，会使学生认识到A、ω 、φ、k 、四个量对函数的哪些性质产生影响，同时导致了函数的性质发生了怎样的变化。

2利用计算机多媒体辅助教学为了给学生认识理解“正弦函数的图象”提供更加形象、直观、清晰的材料，采用电脑动画模拟演示利用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象的过程。

运用多媒体教学手段使问题变得形象直观，易于突破难点，借以帮助学生完成对所学知识的过程建构。

3注意知识的整合与联系。

在本章的各部分内容中，还渗透了综合法、分析法以及观察、比较、抽象、概括等方法。

例如用综合法、分析法证明简单的恒等式；观察三角函数的图象得出其单调性及正弦、余弦函数在一个周期上的五个关键点；比较角的两种单位制，比较正弦函数、余弦函数的图象和性质，比较正弦曲线与函数y = Asin(ωx + φ)的图象；在讲解画函数y = Asin(ωx + φ)的简图的过程时，概括成一段话“函数y = Asin(ωx + φ) ，x∈R(其中A>0, ω>0)的图象，可以看作是用下面的方法得到的：先把正弦曲线上所有的点向左(当φ> 0时)或向右(当φ<0时)平行移动φ个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长（当0＜ω＜l时）到原来的ω倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当A ＞1时)或缩短(当O＜A＜1）到原来的A倍(横坐标不变)”等。

浅议类比思想在高等数学教学中的运用

浅议类比思想在高等数学教学中的运用类比思想是指在认识和表达事物的过程中，根据事物之间的共同点进行类似推理和比较的一种思维方式。

在高等数学教学中，类比思想的运用可以帮助学生更好地理解抽象的数学概念和规律，提高他们的数学学习能力和水平。

本文将从类比思想在高等数学教学中的运用角度进行探讨，希望能对教师和学生有所启发。

高等数学是一门抽象概念较多的学科，其中涉及的概念和定理等内容较为抽象和晦涩。

而类比思想在高等数学教学中的运用，可以帮助学生将抽象的数学概念与日常生活中的实际问题相联系，从而更好地理解和掌握相关知识。

类比思想还可以培养学生的逻辑思维能力和创造性思维能力，提高他们的学习兴趣和学习动力。

类比思想在高等数学教学中具有重要的意义。

1. 建立数学模型时的类比思想在高等数学教学中，建立数学模型是一项重要的任务。

通过数学模型，可以更好地分析和解决实际问题。

而在建立数学模型的过程中，类比思想可以帮助学生将实际问题与数学理论相联系，找到二者之间的共同点和规律，从而建立相应的数学模型。

通过将物理问题中的力学原理类比到数学中的微分方程，可以更好地理解微分方程的物理意义和求解方法。

在高等数学教学中，推导数学定理是学生较为困难的一项任务。

而类比思想可以帮助学生通过将未知的定理类比到已知的定理或规律进行推导，从而更好地理解和掌握相关知识。

在证明数学定理时，可以将未知的定理类比到已知的定理或规律，通过类比思想的方式推导出相关结论，从而更好地完成证明过程。

在高等数学教学中，解决数学问题是学生学习的主要内容之一。

而类比思想可以帮助学生将不同类型的数学问题归纳为同一类问题，并通过类比思想的方式找到相应的解决方法。

通过将数学问题类比到已知的问题类型，可以更好地运用相应的解决方法解决问题，提高解决问题的效率和准确性。

1. 注重实际问题与数学理论的联系在高等数学教学中，教师应注重实际问题与数学理论的联系，引导学生将实际问题与数学理论相联系，通过类比思想的方式更好地理解相关知识。

初中数学类比思想方法的探究与应用

初中数学类比思想方法的探究与应用数学是一门抽象而又严谨的科学，它的学习需要一种特殊的思考方式。

而在数学思考中，类比思想方法则发挥了不可忽视的作用。

类比思想是通过对比两种或多种不同事物之间的相似性和差异性，从而找到它们在某些问题上的相似之处，并运用这种相似之处解决新的问题。

下面我们就来探究一下初中数学中的类比思想方法，并探讨一些应用。

一、类比思想方法的探究1.相似性的发现与建立类比思想方法的第一步就是找出相似性。

比如，当我们学习一种新的数学概念时，可以尝试将它与我们已经熟悉的概念进行比较，找出它们之间的共同点。

这样一来，我们就可以借助已有的知识和经验来理解新概念，减少学习的难度。

2.分析相似性与差异性的原因在发现相似性之后，我们需要深入分析其原因。

相似性的原因可以是结构相似、性质相似或者运算规则相似等等。

而差异性则可能是由于不同的背景条件或者参数取值不同等原因。

通过分析相似性与差异性，我们可以更深入地理解问题的本质，并找到解决问题的关键。

3.将类比思想应用于解决问题将类比思想应用于解决数学问题时，可以采取如下方法：（1）将问题转化为已经熟悉的问题。

即找到与待解决问题相似的已知问题，并运用相似性解决新问题。

（2）将问题拆分为更小的部分。

通过比较每个问题部分之间的相似之处，可以解决整个问题。

（3）通过对比不同解决方法的优劣性，找到最佳解决方案。

二、类比思想方法的应用1.数学概念的理解初中数学中存在许多抽象的概念，例如，对于初中生来说，除法就是个抽象的概念。

如果我们可以将除法与更简单的概念，比如分割、平均分配等联系起来，就能够更容易地理解和应用除法的概念。

通过类比思想，我们可以将不熟悉的概念转化为具体的情境，从而深入理解数学概念。

2.解决问题的方法与策略类比思想方法对于解决问题的方法与策略也有着积极影响。

在解决数学问题时，我们可以通过类比思想将问题与我们已经学会的类似问题联系起来，然后采用相似的解决方法。

类比联想法求解抽象函数问题

作者：袁方程黄俊峰
作者机构：湖北省大冶市第一中学,435100
出版物刊名：数学之友
页码： 69-70页
年卷期： 2012年第24期
主题词：抽象函数问题联想法求解类比数学知识亚里士多德函数表达式思维形式
摘要：亚里士多德说过：“我们的思维是从与正在寻求的事物相类似的事物、相反的事物或与之相近的事物开始的，以后便追寻与之相关联的事物，并由此产生联想．”联想是一种经典的数学思维形式，它由此及彼，在未知和已知之间构筑桥梁，丰富数学的解题资源．由于数学知识问存在着内在的联系，当某个问题需应用某个知识点时，那么与之相通的知识点同样可以用来帮助解题．抽象函数问题在高考中常常出现，它没有具体的函数表达式，。

类比联想、突出主线——抽象函数的教学处理

特殊模型正比例函数 f(x)=kx (k≠0) 幂函数 f(x)= xn 抽象函数 f(x+y)= f(x)+ f(y) f(xy)=f(x)f(y) [ 或 f( x )= f(x) ] y f(y) f(x+y)=f(x)f(y) [或f(x- y)= f(x) ] f(y)
【文献标识码】 A
周期函数：正、余弦函数，正切函数 f(x)= sinx f(x)= cosx f(x)= tanx
正切函数 f(x)=tanx
三角函数 f(x)=cosx
在上例中，利用这条主线，根据上表，联想到正切函数 f(x) =tanx ，（ f x+ π ） = 1+f(x) ，类比正切函数 f(x)=tanx 的最小正周期 4 1- f(x)
指数函数 f(x)=ax (a>0 且 a≠1)
对数函数 f(x )= lo gax (a> 0 且 a≠ 1)
f(xy)=f(x)+f(y)[ 或 f( x )=f(x)- f (y) y f(x+T )=f(x) f(x+ y)= f(x)+ f(y) 1- f(x)f(y) f(x+ y)+f(x- y)= 2f(x)f(y)
π=4× π ，先猜想 f(x) 是以 4a 为周期的周期函数，然后进行验 4
证。这样的教学处理，学生就感觉解题过程是 “水到渠成” , 学生的思维得到了训练，教学的效果也大不一样的。讲解完例题后，还要给学生训练的机会，配上练习题，练习题不必太难，让学生认识到解决问题的思考方向和方法，体验到成功的美妙是关键，比如可选用以下题目。案例 1. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f (x + y) = f (x) + f (y)(x， y∈R)，当 x<0 时， f (x)>0 ，则函数 f (x)在[a,b]上( A. 有最小值 f (a) C. 有最小值 f (b) B. 有最大值 f (a) D. 有最大值 f (b) ).

初中数学类比思想方法的探究与应用

初中数学类比思想方法的探究与应用一、引言数学是一门抽象而理论化的学科，对于许多初中生来说，数学的概念和公式可能显得难以理解和抽象。

为了帮助这些学生更好地理解和应用数学知识，数学教育界引入了类比思想方法。

本文将浅谈初中数学类比思想方法的探究与应用。

二、什么是类比思想方法类比思想方法指的是通过将问题与我们熟悉的问题进行比较和类比，从而更好地理解和应用新概念和新方法。

类比思想方法是从具体到抽象的思维过程，在数学中应用类比思想方法可以帮助学生把抽象的数学概念和实际问题联系起来，使其更直观和易懂。

三、类比思想方法在初中数学中的应用1.数的比较对于初学者来说，理解大小关系可能存在困难。

此时我们可以采用类比思想方法，将数的大小比较类比为物体的大小，比如小明身高为1.5米，小红身高为1.3米，可以类比为小明比小红高0.2米。

这样一来，学生可以更直观地理解和应用数的比较。

在数的大小比较中，类比思想方法可以帮助学生理解和记忆相关概念，如大于、小于和等于。

2.代数中的变量代数中的变量可能是学生容易混淆和理解的概念之一。

在初学阶段，类比思想方法可以帮助学生将代数中的变量类比为未知数，即未知的物体或数字。

通过寻找不同变量之间的关系，学生可以更好地理解和应用代数中的变量。

例如，将方程2x + 3 = 7看作两个相同的物体加上三个物体等于七个物体，可以类比为2个x加上3等于7，从而找出x的值。

3.几何中的类比几何中的类比思想方法尤为重要，因为几何问题通常涉及到形状和空间的概念。

通过类比思想方法，学生可以将几何中的形状类比为日常生活中的物体，从而更好地理解相关概念。

例如，我们可以将正方形类比为蛋糕模具，圆形类比为饼干切割机，通过这种类比，学生可以更好地理解几何中的面积和周长等概念，以及不同形状之间的关系。

四、类比思想方法的优点和限制类比思想方法在初中数学教育中有许多优点。

首先，类比思想方法可以帮助学生更好地理解抽象的数学概念，使其更直观和易懂。

大胆类比,精心联想,开辟解决抽象问题道路

大胆类比,精心联想,开辟解决抽象问题道路065200 河北省三河市第一中学周学刚抽象函数通常是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子（如函数递推式，函数符号，函数的定义域，函数性质及特征，部分图象等）的一类函数问题．因为抽象，学生难以理解，接受困难；教师对教材难以处理，因此，这类问题时常困惑着不少师生．但是这类问题对于发展学生的思维能力，进行数学思想方法的渗透，培养学生的创新思想，提高学生的数学素质，有着重要作用．大量的抽象函数问题都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得,解题时,若能从研究抽象函数的“背景”入手,根据题设中抽象函数的性质,通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，常可为解题指明方向,开辟道路．本文从这一认识出发，谈谈抽象函数问题的解法．一、联想线性函数，解决抽象函数问题：例1：已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足如下两个条件：（1）对任意实数x,y R ∈，均有f(x+y)=f(x)+f(y)，（2）当x >0时，f(x)<0,且f(1)=-2，求函数f(x)在[-3,3]上的最大值与最小值．分析:对于抽象函数往往通过研究函数的单调性确定其最值．由题设可知,函数f(x)是y=kx(k<0)的抽象函数,是减函数．解:设0<x 1<x 2≤3,f(x 2)=f[(x 2-x 1)+x 1]=f(x 2-x 1)+f(x 1),∴f(x 2)-f(x 1)= f(x 2-x 1)<0,又∵()f x 是定义在R 上的奇函数,∴f(x)在[-3,3]上是减函数,∴f(x)max =f(-3)=-f(3)=-f(1+2)=f(1)-f(1+!)=-3f(1)=6,f(x)min =f(3)=-f(-3)=-6．二、联想对数函数，解决抽象函数问题例2:定义在()0,+∞上的函数()f x ，对任意的x ，y ∈()0,+∞都有()()()f xy f x f y =+，当且仅当x 1>时()0f x >成立；（1）设x ，y ∈R +，求证:()()()yf f y f x x=- ；（2）设x 1，x 2∈R +，12()()f x f x >，试比较x 1与x 2的大小;分析：因为定义域为()0,+∞，所以由f(x)=log a x(a>1)理解题意．第(1)小题可联想对数运算法则,而第(2)小题可联想对数函数的单调性来完成．（1）证明：∵()()()()y y f y f x f f x x x =⋅=+∴ ()()()y f f y f x =-（2）解：∵ 12()()f x f x >， ∴1122()()()0x f x f x f x -=> ∴ 121x x > ∵20x > 12x x >例3、已知函数f （x ）(x≠0)满足f(xy)=f(x)+f(y),（1）求证：f(1)=f(-1)=0；（2）求证：f(x)为偶函数；（3）若f(x)在(0,+∞)上是增函数，解不等式f(x)+f(x -21)≤0．分析：因为定义域为(-∞,0)∪(o,+∞)，所以由f(x)=log a x (0＜a ＜1）理解题意显然不当，但是只要稍加变通，可以发现用f(x)=log a |x ︳理解题意较为恰当，第（3）小题解不等式就可与解对数不等式类比处理．（1）令x =y =1得f (1)=0，令x =y = -1得f (-1)=0；（2）令y = -1得f(-x)=f(x)；（3）∵f(x)为偶函数，∴f （x ）+f （x-21）=f （|x |）+f （|x -21|）=f （|x (x -21)|）≤f （1）．三、联想指数函数，解决抽象函数问题：例4:已知函数f(x)对一切实数x ِ、y 满足f (0)≠0，f(x+y)=f(x)(y),且当x ＜0时，f(x)＞1,则当x ＞0时f(x)的取值范围是0＜f （x ）＜1．分析：令f(x)=a x(0＜a ＜1)易得0＜f （x ）＜1．例5:已知函数()f x 满足以下条件：对任意实数x ，有()0f x ≠；对任意实数a ，b 均有()()()f a f a b f b -=；当x 0<时()1f x >；且1(4)16f =．（1）求(2)f 的值；（2）解不等式2(3)(5)f x f x -⋅-≤14．分析:由题设可知,函数f(x)为y=a x 的抽象函数,又由1(4)16f =得a=21，所以可猜测f （x ）为减函数，第（2）小题也就迎刃而解了．解：（1）∵ ()()()22()f x x x f f x x f =-=且()0f x ≠ ∴ 对任意的实数x ，有2()[()]02x f x f => ∴ 21(4)[(2)]16f f == ∵(2)0f > ∴ 1(2)4f = （2）先证()f x 在区间(),-∞+∞上是减函数．设1212,,,x x R x x ∈<则120,x x -<∴ 12()1,f x x -> ∵ 1122()()()f x f x x f x -= ∴12()1()f x f x > ∵ 2()0f x > ∴ 12()()f x f x > ∴ ()f x 在区间(),-∞+∞上是减函数．又∵原不等式即为2(3)(5)f x f x -⋅-≤(2)f ．由()()()f a f a b f b -=得，2(2)(5)(3)f f x f x -≤- 即 2(2)(5)[2(3)](3)f f x f x f x -≤=--- ∵ ()f x 在区间(),-∞+∞上是减函数．∴ 255x x -≥- 解得：01x ≤≤∴ 不等式的解集为{}|01,x x x R ≤≤∈四、联想三角函数，解决抽象函数问题：例6：设函数f(x)的定义域为R ，对任意x 1,x 2有f(2x 1)+f(2x 2)=2f(x 1+x 2) f(x 1-x 2)，f(1)=0,判定f(x)是否是周期函数？若是求出它的一个周期．分析：联想三角公式，不难发现y=cosx 满足题设条件．因为f(x)=cosx 是以π2为周期的函数，且cos2π=0，故类比推测是4为周期的函数．解：f(222+⋅x )+f(22x ⋅)=2f(x+1)f(1)=0 ∴f(x+2)=-f(x)．∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)故f(x)是周期函数，4是它的一个周期．例7:已知函数()f x 的定义域为R ，且满足 ①121221()()1()()()f x f x f x x f x f x +-=-； ②存在正常数a ，使()1f a =；（1）判断()f x 是的奇、偶性，并说明理由．（2）求证:()f x 是周期函数，且有一个周期是4a分析:由题意可联想f(x)是212121cot cot 1cot cot )cot(x x x x x x -+=-的抽象函数，从而猜想函数为奇函数且是周期函数．证明:（1）对任意x R ∈令12x x x =-，则 21x x x -=- 212112()()1()()()()f x f x f x f x x f x f x +-=-=- 1221()()1()()f x f x f x f x +=--12()()f x x f x =--=- ∴ ()f x 是奇函数；（2）∵ 存在正常数a ，使()1f a =∴ ()[()]f x a f x a +=+-()()1()()f x f a f a f x -+=--()()1()()f x f a f a f x -+=--()1()()f x f a f x -+=-- ()1()()f x f a f x -+=--()11()f x f x -=+ ∴ (2)[()]f x a f x a a +=++()11()f x a f x a +-=++ ()111()()11f x f x f x --+=-+1()f x =- 则(4)[(2)2]f x a f x a a +=++ 1()1()f x f x =-=- 即 (4)()f x a f x +=∴ ()f x 是周期函数，且有一个周期是4a。

类比联想、突出主线——抽象函数的教学处理

要给学生训练的机会，配上练习题，练习题不必太难，让学生认
有些抽象函数如果能从它的“ 背景” 下手，根据题中抽象函
体验到成功的美妙是关键。我们把没有给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特识到解决问题思考方向和方法，数的性质、特征，通过类比、联想，猜想出它可能为某种基本函数，再借助函数的一些性质，就可获得解题思路。第二条主线，将抽象函数 “ 直观化” 。抽象函数给人的第一感觉是抽象的， “ 直观化” 就是 “ 化抽象为直观 ” 。函数的图像、函数的示意图的直观特点有利于减轻学生的思维负担，可以在一定程度上克服抽象函数对应关系的抽象性。从而将抽象的函数问题转化为直观的函数图像问题，这就是我们常说的 “ 以形助数” 。在函数的学习过程中，函数与函数的图像是“ 形影不离” 的， “ 以形助数 ” 作为 “ 数形结合 ” 的关键一环，对学生来说有一定的
象函数，其中有这样一道题目：已知函数ｘ１，对于正常数ａ和任师可以引导学生进行类比和联想，将抽象函数具体化，即通过对意实数ｘ等式 “ ｘ＋ｎ）＝恒成立，求证：ｆ（ｘ）是周期函数。
ｌ－１ＬｘＪ
体函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决
ｙ）：ｘ）【或｝）＝取卜）］
ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）
以推广，但一直没有等到教师的讲解。走出教室，我和听课学生
一
样感觉累，累在哪？主要是在思维上感觉很累，在累的过程中

类比思想在初中数学教学中的应用

类比思想在初中数学教学中的应用Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】类比思想在初中数学教学中的应用【内容摘要】类比思想在初中数学教学中之所以应用广泛是因为它可以将数学中复杂的数学公式以及概念更容易，更生动，更直观展现给学生，不但可以增加数学课堂的趣味性，而且有利于培养学生的自主创新能力和促进发展学生的创造性思维。

教师通过引导学生进行概念，策略，知识结构，学习思维的类比，对学生理解概念本质，建造科学的数学知识结构，突破学生学习的思维障碍有着极大的帮助。

【关键词】类比思想初中数学应用大多学生认为数学是一门较为抽象，逻辑思维很强的科学，他们在数学学习中倍感艰辛。

其实，对于学生来说，他们之所以学习数学感到辛苦是因为他们没有找到合适的数学思想方法，无法将前后知识联系起来。

这就需要教师的帮助，在初中数学教学中类比思想作为一种最为简单，直观的数学思想方法，利用它可以将抽象的数学概念，公式转变为易于学生接受的模型使学生更好的理解、掌握数学，帮助他们形成科学的数学体系以此来提高学生学习数学的有效性。

那么如何将类比思想运用到初中数学教学中去？我将从下面几个方面进行阐述。

一、概念类比，理解本质概念是数学领域中最基本的元素，正确理解概念的本质是掌握数学知识解决数学问题的前提。

所以要想让学生学好数学首先要从理解概念本质开始。

然而在初中数学的课本中概念性的东西有很多，如果学生以孤立的眼光去理解，记忆这些概念，很有可能造成概念混淆，造成心理压力从而打击学生学习数学的积极性。

但作为教师我们知道，很多概念虽然内容不同，但它们的定义形式是极其相似的。

比如说：三角形与多边形，它们的定义整体框架是一致的，不同之处在于组成图形的线段条数不同以及多边形强调在“同一平面内”。

教师通过这样的类比教学，在让学生了解概念之间异同的同时，有利于学生进一步了解概念的本质。

另外值得一提的是，概念形成中的类比也是我们需要重视的。

类比联想,“以旧破新”——例谈一类抽象函数问题“原型”破题法

类比联想,“以旧破新”——例谈一类抽象函数问题“原型”
破题法
黄欣
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2012(000)009
【摘要】抽象函数问题由于没有具体解析式,只能通过给出的条件探究推测解题思路,观察其给定的表达式结构特征进行巧妙赋值和变换,是解决这类题目的关键,然而如何进行所谓的"巧妙的赋值和变换",是我们需要突破的难点.因此,本文提出"原型"法尝试突破这一难点.
【总页数】1页(P108-108)
【作者】黄欣
【作者单位】广东省珠海市夏湾中学
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
【相关文献】
1.日本文化式成人女子用新、旧原型在制板中的应用 [J], 冀艳波;戴鸿;薛媛
2.问君哪得破题法为有阅读活水来r——例谈如何进行数学阅读教学 [J], 邓少莲;喻海
3.构造法解一类关于f′（x）的抽象函数问题 [J], 许丽
4.例谈抽象函数问题的『原型』解法 [J], 幸芹
5.土楼再创,隐旧于新——浅析城中村住宅设计中土楼原型的应用模式 [J], 周亦慈; 赵丹玮
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类比思维在高中数学教学中的应用

类比思维在高中数学教学中的应用作者：张明凤来源：《中学教学参考·理科版》2019年第02期[摘; ;要]在高中数学教学中引入类比思维到课堂教学和解题中，能有效促进学生理解和学习知识，在数学教学中取得较好的教学效果.如何在高中数学教学和解题中体现类比思维，推动高中数学教学和解题教学质量提高，是教师要研究的主要问题.[关键词]类比思维;高中数学;教学;应用[中图分类号]; ; G633.6; ; ; ; [文献标识码]; ; A; ; ; ; [文章编号]; ; 1674-6058（2019）05-0040-02类比思维是一种非常重要的数学思维，它对学生解题和理解知识有着至关重要的影响.类比思维就是将两个或两个以上的事物进行比较，通过分析和对比其相似之处和不同之处加深对事物的理解.类比思维的核心思想就是对联想和比较的灵活应用.联想就是在面对新事物时回忆和搜索旧知识;对比就是寻求两种事物间的相似之处.在高中数学教学中，存在着大量的抽象的知识点，应用类比思维能有效帮助学生学习数学知识，提升学生的数学能力.一、利用位置关系对比，加深学生对抽象知识的理解在高中数学教材中，几何图形的教学占有较大的比重，这些知识点的分布往往较为分散，学生在学习过程中容易发生混淆，要厘清这些知识点之间的差异还需要学生具有联想能力和想象能力，教学难度较大.不同图形之间的位置关系也是学生容易混淆的知识点，尤其是在解题过程中会对题目进行误判.利用类比思维就可以帮助学生梳理清楚不同图形之间的位置关系，直观了解图形位置关系之间的异同，突破教学难点.在类比的过程中，将各图形进行直观的比较，学生所观察到的图形中的差异往往就是教学过程中的难点，对加深学生对抽象图形的理解有着重要意义.例如，在《直线与圆的位置关系》以及《圆与圆的位置关系》教学中，分别探讨了直线与圆、圆与圆之间的三种位置关系：相离、相交、相切.这三种位置关系是相似的，也是学生容易混淆的.教师在制作教学课件时，可将这些位置关系放在一起.学生通过观看PPT 和教学视频等多媒体所演示的圆与直线相离、相交和相切的完整过程及两个圆相离、相交和相切的完整过程，可以直观感受到两种图形之间的区别.例如，直线与圆的位置关系是描述直线与圆心之间的距离关系，而圆与圆之间的相切还包括内切和外切，这是圆与圆之间独有的位置关系.通过这样的方式可帮助学生有效地掌握圆与直线及圆与圆之间的位置关系，丰富课堂教学的内容，避免学生因为知识点混淆而犯错.二、对概念进行类比，帮助学生厘清学习思路类比思维不仅可以运用到几何图形的教学中，帮助学生梳理图形之间的位置关系，还可以运用到数学概念的教学中.比如，在“函数”教学中，有许多抽象的概念，当概念发生交叉和混淆时，学生就很容易因为知识点模糊不清而在解题过程中犯错.很多学生对于“函数”的概念模糊不清，就是在于初中函数概念与高中函数概念之间的差异.对此，教师可以利用类比思维，将两种函数概念进行总结、对比，让学生明确函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数 f （x）和它对应，那么就称 f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y = f （x），x ∈ A.高中函数是两个集合就是根据相应发展确定关系.例如，指数函数f （x）=ax（a > 0且a≠1），就是在 f函数相应法则变化的基础上确定的变量关系.初中函数是数集的映射关系，高中函数是两个集合的发展关系.以此为基础拓展出指数函数、幂函数等函数的定义之间的类比，有效促进学生函数知识的巩固.运用类比思维能有效帮助学生深化函数知识的重点.笔者发现虽然在课堂上教师认真地讲解了函数知识，学生却没有领会到函数的特点和运算规律，只能进行简单的运算，做不到举一反三.在课堂上学生往往只是消化了教师讲解的内容，却没有进行进一步的思考，这就造成了他们的解题思维被教师的讲解所局限，导致做题时思路不清晰，而类比思维对于函数概念的对比，可以有效解决这一问题.三、利用图形特征来开展对比，帮助学生把握重点几何图形较为抽象，在学生理解过程中需要有较强的空间想象能力，对于学生的抽象思维能力要求较高.学生对于图形之间的特征很容易记忆混淆，造成知识点之间的模糊不清，而各类图形之间具有一定的相似性，也为教师的教学工作带来了一定的难度.教师在教学过程中难度较大，需要花费较多时间进行讲解.教师通过类比思维帮助学生认识各个立体几何图形之间的区别，加深对立体几何图形性质、特征的认识，帮助学生在解题过程中有明确的解题思路.例如，在《空间几何体的结构》的教学中，空间立体几何比较抽象，教师如果采用传统的教学方式学生很难长时间集中注意力听讲，教学质量较差，各个空间几何结构的特征和性质，学生容易混淆空间几何体的结构，这个时候教师可以利用教学视频直接演示，圆柱、球体、圆锥和棱柱之间的结构模型，进行全方位的详细展示.比如，圆锥的侧面是一个三角形，但是展开就是一个半圆形;圆柱的侧面是一个长方形，展开也是长方形;圆台的侧面是一个梯形，但是展开就是一个扇面.让学生感受大量空间实物及模型，概括出柱、锥、台、球的结构特征，引导学生总结多面体及多面体的面、棱、顶点的定义;旋转体及旋转体的轴的定义.给出实物图片让学生按多面体、旋转体给几何体分类，这样的对比更为直观.视频演示的对比过程中，学生就可以明确各立体几何图形之间的内部构造和特征，对立体几何图形有更明确的认识.除此之外，为了有效实现教学目标，取得理想的教学效果，教师应该准备一些经典的图片让学生感受数学就在我们生活的周围，并将做好的实物模型摆放出来让学生观察.对照实物模型归纳总结其结构特征.学好空间几何体的结构特征，为立体几何后续的学习奠定良好的基础，同时有利于理解立体几何中涉及的概念，有利于认识及区分生活中的实物模型.四、运用知识间的联系进行对比，掌握知识结构在高中阶段的学习中，知识量较大，知识点较多，学生在学习新知识时很容易遗忘旧的知识点.因此，教师可以利用类比法教学，在讲解新知识点的过程中，引入旧知识点进行类比，利用旧知识点帮助学生理解新知识，也在此过程中对旧知识点进行复习.例如，在《四面体的性质》教学时，就可以引入三角形进行类比.三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形，四面体是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形.三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条线段上的两个端点的连线所围成的图形，四面体可以看作三角形外一点与这个三角形上各顶点的连线所围成的图形.三角形的面积为 S = [12（a+b+c）] r（r为三角形内切圆的半径），四面体的体积 V = [13]（ S1 + S2 + S3 + S4 ）r （ S1 、 S2 、 S3 、 S4 为四个面的面积， r 为内切球的半径）.在这样对比的过程中，学生能轻易地掌握四面体的体积公式和特征.综上所述，类比思维在高中数学教学和解题过程中的应用对加深学生对抽象知识的理解，帮助学生明确知识概念和理解新知识、复习旧知识有着重要的意义.学生应用类比思维学习，能明确易混淆知识点，对所学知识进行查漏补缺，能有效提升学生的能力.[; 参; ;考; ;文; ;献; ][1]; 和法文.浅议高中数学教学和解题中类比思维的运用价值[J].理科考试研究（高中版），2016（3）：35.[2]; 肖琴.高中数学教学和解题过程中的类比思维运用[J].都市家教（上半月），2016（12）：261.[3]; 胡红.类比思维在高中数学教学和解题中的运用[J].新课程学习（中），2013（7）：46.（责任编辑黄桂坚）。

抽象函数问题处理中的“数列的影子”

x=1时，
为用重要结论“ ”需分两类：
2整体处理，类比“反序求和” 的方法.
例3 函数有f(x1)+f(x2)=1,且f(0)=0,若an=f(0)+f(1/n)+f(2/n)+…+f(n-1/n),求an.
简析：
依据对应法则和所求值的结构特征，如何创造用对应法则？整体把握，类比等差数列前n项和公式推导方法“反序求和”的方法解决.
4 整体变形，类比“裂项相消法求和”的方法.
例5 函数f(x)满足对任意x,y都有f(x)+f(y)=f( )，且当x<0时，都有f(x)>0，求证f( )+f( )+…+f( ) >f( ).
简析：
整体把握不等式左端数列和，从通项入手，类比“裂项相消法求和”的方法，依据对应法则的结构特征，逆用对应法则探求证题思路.
从确定｛an｝为等差数列入手探求解题思路.
由f(1)=Sn,则an=Sn-Sn-1(n≥2),a1=S1,易得an=2n-1.用错位相减法求和解决.f(1/3)=1·(1/3)+3·(1/9)+…+(2n-3)(1/3n-1)+(2n-1)(1/3n).
1/3f(1/3)=1·(1/9)+3·(1/27)+…+(2n-3)(1/3n)+(2n-1)(1/3n+1).相减,中间n-1项等比数列求和化简有,f(1/3)=1-(n+1)/3n.用二项式定理知3n=(1+2)n=1+Cn1·2+Cn2·22+…>1+2n>1+n,所以0<(n+1)/3n<1，故0<f(1/3)<1.

“类比教学”在高中数学中的运用——以“函数的零点与方程的解”为例

“类比教学”在高中数学中的运用——以“函数的零点与方
程的解”为例
谭娜
【期刊名称】《中学数学:高中版》
【年(卷),期】2022()10
【摘要】类比教学是数学教学中十分重要的一种方法,在进行类比教学时,要找到联系新旧知识间的桥梁,引导学生探索并发现它们之间的联系.高中数学知识具有抽象
性和逻辑性,类比教学的运用不仅能提高课堂效率,还能培养学生的类比思维.本文中简要阐述类比教学在高中数学教学中的运用以及重要性,以“函数的零点与方程的解”为例,在一元二次函数零点与二次方程实数根的基础上,采用类比教学,借助问题串的引导,探究归纳零点的概念以及零点存在性定理.
【总页数】3页(P19-21)
【作者】谭娜
【作者单位】哈尔滨师范大学教师教育学院
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.从高中数学概念教学中探索数学思维能力的培养--以《方程的根与函数零点》为例
2.浅谈引用数学史在数学教学中的运用——以高中人教A版《数学（必修1）》《方程的根与函数的零点》为例
3.数学概念教学中引入情境的创设--以“函数的零
点与方程的解”教学为例4.数学教学中问题链创设的实践与思考——以“函数的零点与方程的解”为例5.基于学习迁移理论的对话教学实践——以“函数的零点与方程的解”教学为例
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实例举证“类比思想”在复习“分式”中的应用

实例举证“类比思想”在复习“分式”中的应用
曾省
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2011(000)007
【摘要】类比论证是一种通过已知事物与跟它有某种相同特征的事物进行比较类推证明论点的论证方法．在数学教学中，不需要严格的论证的“类比思维”方法也是解决新问题的一种常用策略．类比思维让学生充分开拓自己的思路，运用已有熟悉的知识、方法、经验或技能对陌生的不熟悉的其他相类似的事物进行比较，【总页数】3页(P6-8)
【作者】曾省
【作者单位】广东东莞市长安镇实验中学,523850
【正文语种】中文
【中图分类】G633.603
【相关文献】
1.类比思想在数学教学中的应用——以"从分数到分式"一课教学为例 [J], 王旭
2.类比思想在"从分数到分式"教学设计中的应用 [J], 唐耀平;蒋桃燕;周宇剑;张一维
3.类比思想在“从分数到分式”教学设计中的应用 [J], 周宇剑;张一维;唐耀平;蒋桃燕
4.类比思想在"从分数到分式"教学设计中的应用 [J], 唐耀平;蒋桃燕;周宇剑;张一维
5.类比思想在《分式》这章教学中的运用和实践 [J], 顾燕莲
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