线性代数习题-2
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
-
- 1 0 1
- 1 2 0
r 3 +r 1 r4 - 2 r1
-
1 0 0 0
- 1 - 1 1 3
- 1 1
- 1
0
2 2
2
4 -
32
r 3 +r 2 r4 + 3 r2
-
1 0 0 0
- 1 - 1 0 0
- 2 - 2
- 1
0
2 4
2
r 4 -r 3
方法 2
=- 1× (- 1) × (- 2) × (- 2) = 4 0 - 1 2 1 - 1 - 1 2 1 - 1 - 1 1
第二章 行 列 式
习 题 二 ( A)
1.计算二阶行列式 : (1) - 4 1 - 2 3 ; (2) log a b 1 1 .
解 根据二阶行列式的对角线法则 ,有 (1) - 4 1 - 2 3 log a b 1 1
log b a
= (- 4) × 3- (- 2) × 1 =- 10. = log a b · log b a - 1= 0. - 5 3 7 1 3 3 2
1 +4
2
-
1 0 0 0
- 1 - 1 0 0 - 1 2 0 1
- 2 0
- 1
0
2 4
2
- 2
0
2 1 2
2 0
0
r 1 -r 2
0 - 1 - 1 1 1 2 1
- 1 - 1 1 1 2 1
2 0
0 0 1 0
= 2× (- 1) = 4.
- 1
0 1
0
2
c3 -c1
- 2 - 1
2
1 -
=
1
1
1 3 3 3
2 3
1 4 4 4
2 3
2 3
= (2 - 1) (3 - 1) (4 - 1) (3 - 2) (4 - 2) (4 - 3) = 12
1
33
5.计算下列 n 阶行列式 : x a x a a a x a 1 a (1) a a a … … … …
a a a
x ; (2) 0 y 0
2
- 2
2
- 1 1
- 2
- 1
2
x + 1 - 2
6
3 = 0
2
-1
-3 3
-2
2
-2 1
3
-1
1+ 3
x +1
2
6
= 5× 4! = 120.
10
0 - 1 1 1 1 1 2 1 2 4 8 1
- 1 - 1 1 3 27 9 1 2
- 1 - 1 1 64 16 4 1 0
2
2 0 0
;
(3) 解 (1) 3
- 3
- 9 - 5
7
- 1
2 1
;
(4)
.
302
297 = 3 203 =3 2 3
- 4 - 4 2 1 2
| A| =0
= 5× (- 1) (4) 0 | A| = 5 1 8
1 +4
0 0 4 0 0 2 6 9 0 0 0 3 7
0 3 0 0 0 0 0 4
2 0
120 0 = 5 0 0 0 0 = (- 1)
1 +5
× 5×
1 5 10 8
0 2 6 9
0 0 3 7
0 0 0 4
4.利用行列式性质计算下列行列式 : (1) 3 3 2 2 5 2 3 2 - 4 2 1 - 4 2 4 1 302 297 ; (2) 203 - 1 - 2 4 2 3 2 7
0
进行计算 . 如此题的方法 1.
(1) 利用行列式性质 ,将行列式化为上三角形行列式或下三角形行列式 , 再 (2) 利用行列式性质 , 将行列式的某行 ( 列 ) 化为仅有一个非零元 , 然后按 2 5 2 4 - 1 2 1
1 +3
小结 计算所有元均为数值的较高阶的行列式时 ,一般有两种方法 :
x 0 x = x 0 0 0 y 0
y x 0 y 0 x 0 0
0
y
…
0 0
… … 0 0
0
x 0
0
0
y x y
n +1
0
… … …
n +1
…
0 0
x 0
+ y· ( - 1) y x
x 0
0
y
…
0
…
0
1+ a1 1 1
(3) 行列式的第一行乘以 ( - 1) 加到第二行 、…、第 n 行上 : 1+ a2 1 1 1 1 1 … … 1 1 1 1 1+ a1 - a1 a2 0 0 1 1 0
y x 0 0
0
y
…
x 1
0 0
… …
0
x 0
0
0
; y x
0
1+ a1 (3) 1 1
1+ a2 1
1 1 1 2 1 x
1+ a3 1
1
…
…
…
3 2
1
4 3 2
… … …
…
1
1
1
1
n
1+ an
1
1
1
…
( a i ≠0,i = 1,2,…, n ) ;
(4)பைடு நூலகம்
1
1
1
x x
1
x x
x
1
…
n- 3 1
n- 1
n- 1
出公因式 x + (n - 1) a , 有 x a x a a a x a a a a a … … … …
解 (1) 行列式各行元之和相等 ,将第二列 、…、第 n 列均加到第一列上 ,提 a a a x 1 =[x + (n - 1) a ] 1 1 1 a x a a a 0 0 a a x a … a a a x
x -y
= 2( a +b +c ) 1 1 1
1
a b +c +2 a a a b +c +a 0
b b c +a +2 b b b c +a +b
= 2( a +b +c ) 0 = 2( a +b +c ) .
3
0
7.解方程
2 - 3 3 4
x - 5
2
2
解 方法 1.计算方程左边的行列式 : 2 4 x -5
…
1
1
1
1
1
1
1
1
= (- 1)
n +1
行列式性质先化简 ,再设法降阶或化为上 ( 下 ) 三角形行列式 . 6. 计算下列矩阵的行列式 : (1) A = (2) A = x x+ y y x+ y x y x y x+ y a ; b c+ a+ 2b b . 1 y
小结 当高阶行列式的元含有字母时 ,应注意观察行列式的结构特点 ,利用
1- x 0 0
1
1
0 0 0
1
1
1
…
…
…
r i -r i + 1 i= 1 ,2 ,… , n - 2
(- 1)
1- x
n +1
x
0 0
0
1- x 0 0
x
(n - 1) 阶 … 1- x 1 0 … 0 0 0 0 0 x … … … 0 1- x x 0 0 1 0 0
- 1 0 0 0 - 1 - 1 5
- 2 6 0 3 3 0
=- 1× (- 1) =- 3× (- 1)
- 5
9 4
- 1 - 1 - 1 1 16 64 4 5
3
3 =- = 9. 1 1 2 2 2
2 3
2 +3
- 23 4 1 3 27 9
0
(4) 利用范德蒙行列式 ,有 1 1 1 1 1 2 4 8
1
300 + 2 300
200 + 3
300 - 3 3 2 2 - 4 2 1 - 3 3 2
0 1 2
(2) 方法 1. - 1 - 1 2 1 0
= 0+ (- 5) =- 5. 2 1 - 1 2 0 - 1 - 1 2 1 0
200
300 + 3
- 1 2 1 0
- 1
- 1 0
r1 吃 r2
= x + (- 1)
n
…
…
x
0
0
y
0
y .
n
… …
1
1+ a3 1
… …
1 1 a2 0 0
1
c1 +
a1 aj
cj
1 +a 1 +钞 0
j =2
n
a1 aj
1+ an 1 a3 0 0 … … … 1 0 0
1
= - a1 - a1 1 0 0
0
a3
…
1 0
0
1 0
该行 ( 列 ) 展开 ,化为较低阶的行列式 . 再继续计算 ,如此题的方法 2. 一般地 ,利用方法 2 时计算量较小 . (3) - 3 7 - 1 - 2 2 7 4
r 2 -r 1 r3 + 2 r1 r 4 +r 1
- 9 - 5
- 5 9 4 6 0
2
- 1 - 1 9 4 - 23
3
4
…
… …
r i -r 1 ( i ≥2 )
[x + (n - 1) a ] 0
0
1
a x- a . 0 0
a x- a 0 0
…
…
…
0
n -1
…
34
(2) 行列式的每行 ( 列 ) 仅有两个非零元 ,将行列式按第一列展开 :
= [x + (n - 1) a ] ( x - a)
…
a x-
= 2( x +y ) 0
(2) 将 | A| 的第二列 、第三列加到第一列上 ,提出公因式 : A = 36 a +b +2 c c c a b b +c +2 a a b c +a +2 b )
=-2( x +y )
3 3
=-2( x -y ) ( x -xy +y )
2
0
-y
=2( x +y )
x
n -2
.
…
a+ b+ 2c c c
b+ c+ 2a a y
解 (1) 将 A 的第二列 、第三列都加到第一列上 ,提出公因式 : A = x x +y y x +y 1 x x +y x y y x -y x =2( x +y ) 1 x +y -x
2
1
x +y x x
x +y x y -y -x
0
…
0
an
j =2 ,… , n
= 1 +a1 +钞
j =2 n
0
(4) 从行列式的第二行开始 ,直至第 n 行 ,每行乘 ( - 1) 加到前一行上 : 2 1 x x 3 2 1 x 4 3 2 1 … … … … … n- 1 1 n 0 0 = 0 0 0 1- x 0 x 0 0 1 1- x 0 x 0 1 1 1 1 1 … … … 1 1 1 1
b
- a ; 1
- b
1- a
1- a
a
= 1× 2× 3+ (- 5) × 1× (- 3) - 1× 7× (- 3) -
(- 5) × 2× 2 - 4 - 2 3 3× 1× 3+ 2× 2× (- 2) - 1× 1× (- 2) - 2× (- 4) × 3 - 1 = 0 2
30
1 - c - b 2 2 2 (3) | A| = c 1 - a = 1× 1× 1+ cab - bca + a + c + b b a 1 2 2 2 = 1+ a + b + c 1- a a 0 3 (4) | A| = - 1 1- a a = (1 - a) - (1 - a) a( - 1) - a( - 1)(1 - a) 0 - 1 1- a 2 3 = 1- a+ a - a 2 = (1 - a ) (1 + a ). 3.利用行列式定义计算下列矩阵的行列式 : 1 0 0 2 2 - 1 3 1 2 2 4 (1) A = 3 1 - 5 ; (2) A = ; 3 - 1 - 4 0 4 - 1 3 1 2 - 1 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 (4) A = 5 2 0 0 0 . (3) A = 0 0 0 2 0 ; 0 0 3 0 0 8 6 3 0 0 0 4 0 0 0 10 9 7 4 0 解 (1) 2 - 1 3 1 - 5 3 - 5 1 +2 | A| =3 1 - 5 = 2× + (- 1) ( - 1) - 1 3 4 3 4 - 1 3 3 1 1 +3 + (- 1) 3 4 - 1 = 2× (- 2) + 29 + 3× (- 7) = 4 (2) 1 0 0 2 2 2 4 1 2 2 1 2 2 4 1 +4 = 1× - 1 - 4 0 + (- 1) × 2 3 - 1 - 4 | A| = 3 - 1 - 4 0 2 - 1 5 1 2 - 1 1 2 - 1 5 = 6- 2× 21 =- 36 (3) 5 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 3 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 5× 0 = 0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0 31
(2)
2.计算下列三阶矩阵的行列式 : (1) A = 1 (3) A = c 1 2 1 0 2 - 3 1
log b a
; (2) A = 2 (4) A = - 1 0
- 4 - 2 a
- 1 ; 0 1- a - 1 0 .
- c a
解 根据三阶行列式的对角线法则 ,有 (1) | A| =1 2 = 62 (2) | A| =2 = 5 3 1 1 0 2 - 5 3 7 - 3
a1 a 2 a 3 … a n = a 1 a 2 … a n 1 +钞 1 aj j =1 a j
n
0
…
0
an
1 1 1 1
n- 2
1
1
1
x
x
x
n- 3
1
1- x 0 x
…
…
1- x x
1
1 1
1
35
按 c,展 开
(- 1)
1- x
n +1
1
0 0
0