北师大版七年级数学下册 第四章 三角形全等的解题思路(共21张ppt)
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∴∠BAC=∠DCA,∠ACB=∠CAD(全等三角形对应角相等） （内错角相等，两直线平行）
C ∴AB∥CD，AD∥BC
你会自己制作风筝吗？如图是一个风筝的示意图，按照风筝的制作要求，应使∠DEH=∠DFH，小 张想检测这个风筝制作的是否符合要求，可是手边没有测量角的工具，只有一把卷尺，你有办法检 测吗？若有，请你为小丽设计一个检测方案，并说出你的理由。
证明： 在AB上截取线段AF＝AD， ∵∠1＝∠2
AE＝AE ∴△ADE≌△AFE(SAS) ∴∠D=∠5 ∵AD∥BC ∴∠D＋∠C＝180°
而∠5＋∠6＝180°， ∴∠6＝∠C 又∵∠3＝∠4 BE＝BE ∴△BCE≌△BFE(AAS) ∴BF＝BC ∴AD＋BC＝AF＋BF＝AB.
AD
21 F5
在△AOP和△BOP中 ∠PAO＝∠PBO ∠MOP＝∠NOP OP＝OP ∴△AOP≌△BOP(AAS) ∴AO ＝ BO
∴∠PAO＝∠PBO ∴∠MOP＝∠NOP
M
AP
O
BN
全等三角形的基本模型(平移型、翻折型、旋转型)
如图,已知四边形ABCD中,AB＝CD且AB∥CD,连接BD,在BD上截取BE＝DF,连接AE,CF. 求证:AE＝CF
AB=DE
∠ABC=∠DEF
BC=EF
∴△ABC≌△DEF(SAS)
∴AC=DF
∴BC=EF
A
D
B
E
CF
全等三角形的基本模型(平移型、翻折型、旋转型)
如图A、B分别为OM、ON上的点,点P在∠AOB的平分线上,且∠PAM＝∠PBN,求证:AO ＝ BO
证明：∵Hale Waihona Puke BaiduPAM＝∠PBN ∵点P在∠AOB的平分线上
用图形变换有利于找对应边和对应角，从而有助于证明三角形全等.
全等三角形的基本模型(平移型、翻折型、旋转型) 如图，点B、E、C、F在同一直线上，如果AB=DE，BE=CF，AB∥DE，求证：AC＝DF.
证明：
∵AB∥DE
∴∠ABC＝∠DEF
∵BE＝CF
∴BE＋EC＝CF＋EC
在△ABC和△DEF中
F
B
P
C
E
如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点(BP＜CP)，分别过B、C作BE⊥AP于E，
CF⊥AP于F. 求证：EF＝CF－BE；
A
证明：∵∠BAC＝90° ∴∠BAE＋∠CAF＝90°
∵BE⊥AE ∴∠BAE＋∠ABE＝90° ∴∠CAF＝∠ABE ∵CF⊥AP，BE⊥AE ∴∠AEB＝∠CFA
6
E
3
4
B
C
截长补短法是两种不同的辅助线方法，在具体问题中根据有利条件合理选择. 添加辅助线的关键是添加后能否构造全等三角形或其它特殊图形，从而对相等的线段进行 转化，得到线段间的和差关系.
6.如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF，试说明AB∥DE.
9.如图，OA=OB，OC=OD，AD=BC，∠O=500，∠D=350，则∠DBC等于
.
如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE.试说明：∠A=∠B.
如图，已知AB=CD，BC=DA。你能说明△ABC与△CDA全等吗？你能说明AB∥CD，AD∥BC吗？ 为什么？
解：在△ABC与△CDA中，
A
D
∵ AB=CD（已知），
BC=DA（已知），
AC=CA（公共边），
B
∴△ABC≌△CDA（SSS）
第四章 三角形
三角形全等证明 的解题思路
学习指南
教学目标 1、了解全等三角形的基本模型。用旋转、翻折、平移等图形变换方 式来描述全等三角形，运用图形变换有利于找对应边和对应角，从而有 助于证明三角形全等. 2、根据有利条件选择合适的证明方法.
AD
BE
CF
AD
C
B
B
C
E
D
A
D D
E
全等三角形在位置上通常有着特殊的关系，可以用旋转、翻折、平移等图形变换方式来描述，运
与全等三角形相关的问题中，有一类问题表现为三条线段间的和差关系，这类问题通常需要运用“ 截长补短”法添加辅助线，将其转化为证明线段相等的问题.
一 等线段代换
如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点(BP＜CP)，分别过B、C作BE⊥AP于E，
CF⊥AP于F.
A
求证：EF＝CF－BE；
证明： ∵AB∥CD ∴∠ABE＝∠CDF 在△ABE和△CDF中
A
B
F
E
AB=CD ∠ABE=∠CDF BE=DF ∴△ABE≌△CDF(SAS) ∴AE＝CF
D
C
方法总结
两个待证的全等三角形如果位置较为特殊，我们可以从平移、翻折、旋转等角度找用于证明全等的等 边或等角，同时要根据有利条件选择合适的证明方法.
（
）
A.600
B.500
C.850
D.300
如图，已知AC=AE,AD=AB,ED=CB，BC的延长线分别交AD，ED于点G，F。 （1）试说明：△ADE≌△ABC.
（2）如果∠ACD=100,∠B=200,∠EAB=1300,求∠DGF的度数。
如图，AB=AD，BC=CD，∠B=250，则∠D=
在△ABE和△CAF中 ∠ABE＝∠CAF
F
B
P
C
E
∠AEB＝∠CFA
AB＝AC ∴△ABE≌△CAF
∴CF＝AE，AF＝BE
∴EF＝AE－AF＝CF－BE
二 截长补短法 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A与∠B的平分线交于点E，点E在CD上，求证：AD＋BC＝AB
AD
21
E
3
4
B
C
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A与∠B的平分线交于点E，点E在CD上，求证：AD＋BC＝AB
C ∴AB∥CD，AD∥BC
你会自己制作风筝吗？如图是一个风筝的示意图，按照风筝的制作要求，应使∠DEH=∠DFH，小 张想检测这个风筝制作的是否符合要求，可是手边没有测量角的工具，只有一把卷尺，你有办法检 测吗？若有，请你为小丽设计一个检测方案，并说出你的理由。
证明： 在AB上截取线段AF＝AD， ∵∠1＝∠2
AE＝AE ∴△ADE≌△AFE(SAS) ∴∠D=∠5 ∵AD∥BC ∴∠D＋∠C＝180°
而∠5＋∠6＝180°， ∴∠6＝∠C 又∵∠3＝∠4 BE＝BE ∴△BCE≌△BFE(AAS) ∴BF＝BC ∴AD＋BC＝AF＋BF＝AB.
AD
21 F5
在△AOP和△BOP中 ∠PAO＝∠PBO ∠MOP＝∠NOP OP＝OP ∴△AOP≌△BOP(AAS) ∴AO ＝ BO
∴∠PAO＝∠PBO ∴∠MOP＝∠NOP
M
AP
O
BN
全等三角形的基本模型(平移型、翻折型、旋转型)
如图,已知四边形ABCD中,AB＝CD且AB∥CD,连接BD,在BD上截取BE＝DF,连接AE,CF. 求证:AE＝CF
AB=DE
∠ABC=∠DEF
BC=EF
∴△ABC≌△DEF(SAS)
∴AC=DF
∴BC=EF
A
D
B
E
CF
全等三角形的基本模型(平移型、翻折型、旋转型)
如图A、B分别为OM、ON上的点,点P在∠AOB的平分线上,且∠PAM＝∠PBN,求证:AO ＝ BO
证明：∵Hale Waihona Puke BaiduPAM＝∠PBN ∵点P在∠AOB的平分线上
用图形变换有利于找对应边和对应角，从而有助于证明三角形全等.
全等三角形的基本模型(平移型、翻折型、旋转型) 如图，点B、E、C、F在同一直线上，如果AB=DE，BE=CF，AB∥DE，求证：AC＝DF.
证明：
∵AB∥DE
∴∠ABC＝∠DEF
∵BE＝CF
∴BE＋EC＝CF＋EC
在△ABC和△DEF中
F
B
P
C
E
如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点(BP＜CP)，分别过B、C作BE⊥AP于E，
CF⊥AP于F. 求证：EF＝CF－BE；
A
证明：∵∠BAC＝90° ∴∠BAE＋∠CAF＝90°
∵BE⊥AE ∴∠BAE＋∠ABE＝90° ∴∠CAF＝∠ABE ∵CF⊥AP，BE⊥AE ∴∠AEB＝∠CFA
6
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B
C
截长补短法是两种不同的辅助线方法，在具体问题中根据有利条件合理选择. 添加辅助线的关键是添加后能否构造全等三角形或其它特殊图形，从而对相等的线段进行 转化，得到线段间的和差关系.
6.如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF，试说明AB∥DE.
9.如图，OA=OB，OC=OD，AD=BC，∠O=500，∠D=350，则∠DBC等于
.
如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE.试说明：∠A=∠B.
如图，已知AB=CD，BC=DA。你能说明△ABC与△CDA全等吗？你能说明AB∥CD，AD∥BC吗？ 为什么？
解：在△ABC与△CDA中，
A
D
∵ AB=CD（已知），
BC=DA（已知），
AC=CA（公共边），
B
∴△ABC≌△CDA（SSS）
第四章 三角形
三角形全等证明 的解题思路
学习指南
教学目标 1、了解全等三角形的基本模型。用旋转、翻折、平移等图形变换方 式来描述全等三角形，运用图形变换有利于找对应边和对应角，从而有 助于证明三角形全等. 2、根据有利条件选择合适的证明方法.
AD
BE
CF
AD
C
B
B
C
E
D
A
D D
E
全等三角形在位置上通常有着特殊的关系，可以用旋转、翻折、平移等图形变换方式来描述，运
与全等三角形相关的问题中，有一类问题表现为三条线段间的和差关系，这类问题通常需要运用“ 截长补短”法添加辅助线，将其转化为证明线段相等的问题.
一 等线段代换
如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点(BP＜CP)，分别过B、C作BE⊥AP于E，
CF⊥AP于F.
A
求证：EF＝CF－BE；
证明： ∵AB∥CD ∴∠ABE＝∠CDF 在△ABE和△CDF中
A
B
F
E
AB=CD ∠ABE=∠CDF BE=DF ∴△ABE≌△CDF(SAS) ∴AE＝CF
D
C
方法总结
两个待证的全等三角形如果位置较为特殊，我们可以从平移、翻折、旋转等角度找用于证明全等的等 边或等角，同时要根据有利条件选择合适的证明方法.
（
）
A.600
B.500
C.850
D.300
如图，已知AC=AE,AD=AB,ED=CB，BC的延长线分别交AD，ED于点G，F。 （1）试说明：△ADE≌△ABC.
（2）如果∠ACD=100,∠B=200,∠EAB=1300,求∠DGF的度数。
如图，AB=AD，BC=CD，∠B=250，则∠D=
在△ABE和△CAF中 ∠ABE＝∠CAF
F
B
P
C
E
∠AEB＝∠CFA
AB＝AC ∴△ABE≌△CAF
∴CF＝AE，AF＝BE
∴EF＝AE－AF＝CF－BE
二 截长补短法 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A与∠B的平分线交于点E，点E在CD上，求证：AD＋BC＝AB
AD
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C
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A与∠B的平分线交于点E，点E在CD上，求证：AD＋BC＝AB