分形统计模型的理论研究及其在地质学中的应用

第33卷　第2期1998年4月

SC IEN T I A GEOLO G I CA S I N I CA

V o l .33N o.2

A p r .,1998

3地矿部“九五”基础研究重点项目《矿产定量预测的勘查评价新理论研究》和中国博士后科学基金项目资助。申　维,男,1957年2月生,博士后,数学地质专业。

1997210207收稿,1997209209改回,王桂凤编辑。

分形统计模型的理论研究及其在

地质学中的应用

3

申　维　赵鹏大

(中国地质大学数学地质研究所　武汉　430074)

摘　要　本文提出了一般分形模型和一般分维数的概念,认为许多地质模型是一般分形模型的特例,指出幂函数分布和帕累托分布是分形统计模型的数学基础,论证了幂函数分布在高端截尾条件下具有尺度不变的分形性质,根据非线性回归模型参数估计的方法,提出了求分维数的新方法,该方法具有许多优点。通过在计算机上产生随机数对分形统计模型进行模拟研究,以及通过实例说明分形统计模型应用的方法及步骤,并解释了分维数的实际意义。

关键词　分形统计模型　分维数　模拟研究　成矿预测

由于人类社会和自然界中广泛地存在无序、混乱、不规则和不光滑的复杂现象,传统的理论只能是简化或定性地刻画它们。分形理论的提出为揭示隐藏于混乱复杂现象中的精细结构和定量地刻画描述它们提供了理论基础。

分形理论创立于70年代中期,其研究对象为自然界和社会活动中广泛存在的无序(无规则)而具有自相似性的系统。分形论借助于自相似性原理洞察隐藏于混乱现象中的精细结构;为人们从局部认识整体,从有限认识无限提供新的方法论;为不同学科发现规律性提供崭新的语言和定量的描述;为现代科学技术提供新思想新方法。分形理论不但为复杂的现象提供了一种简便的定量描述工具,而且它是一种辩证的思想方法和认识方法:部分与整体有相似性是整个的相对缩影,含有整体的信息,因而人们可以通过认识部分来认识整体。

1　一般分形模型

设非线性模型

y =f (x ,Η

)+Ε(1)

式中:x 为可观测的已知变量,可以是向量;y 为可观测的随机变量;Ε为不可观测具有零

均值和有限方差Ρ2>0独立同分布F 的随机误差项(Ρ2未知);Η=(Η1,Η2,…,Ηp )′为未知参数,定义域为欧氏空间R p 上的一个子空间(;f 称为模型函数,它的函数形式已知,但含有未知参数Η。如果f 是Η的线性函数,则(1)式化为线性模型,否则就称为非线性模型。

设一般分形模型

Y ∝X

F (D )

(2)

其中X 和Y 为变量,根据具体问题可以代表不同的意义;F (D )称为分维数函数,也可称为一般分维数,F (D )选取什么函数形式,依具体研究问题而定。

模型(2)可以推出许多具体模型。

(1)取Y =A (面积),X =P (周长),F (D )=2 D ,得到面积与周长关系:

A ∝P

2 D

(2)取Y =N (覆盖的盒子数目),X =b (盒子的大小或尺寸),F (D )=-D ,得到盒子数目与盒子的大小或尺寸关系:

N ∝b

-D

(3)取Y =L (Σ)(轨迹的长度length of trail ),X =Σ(步长大小),F (D )=1-D ,得到划分关系:

L (Σ)∝Σ

1-D

(4)取Y =N (A >a )(大于a 的面积或区域数目),X =a (尺寸大小),F (D )=-(D 2),得到Ko rcak’s 关系:

N (A >a )∝a

-(D 2)

(5)取Y =P (w )(功率pow er ),X =w (频率),F (D )=-(5-2D ),得到功率谱与频

率关系:

P (w )∝w

-(5-2D )

(6)取Y =< z p -z q 2>,X =d p q (p 与q 之间距离),F (D )=4-2D ,z p 和z q 代表在点p 和q 处的高程,<　>代表统计上的数学期望,得到变差图关系:

〈 (z p -z q ) 2〉∝(d p q )(4-2D )

(7)取Y =N (R )(像元数目),X =R (回转半径),F (D )=D ,得到扩散限制凝聚(DL A 模

型):

N (R )∝R

D

模型(2)可改写为下面模型:

Y =CX

F (D )

(3)

此模型即是非线性回归模型(1)的特例,Η=(C ,F (D )),F (D )可视为参数函数。对分维数

D 的研究可转为对分维数函数的研究,其效果是一致的。

因为F (D )是D 的一个一对一变换。

2　分形统计模型

设分形统计模型:

N (r )=C r +D

-　r >0

(4)

其中,r 表示特征尺度;C >0称为比例常数;D >0称为分维数;N (r )表示尺度大于等于r 的数目(当分维数D 前面的符号取负号,记为N (≥r ))或尺度小于等于r 的数目(当分维数D 前面的符号取正号,记为N (≤r ))。

为了研究方便,(4)式可分解为下面2式:

5

32　2期申　维等:分形统计模型的理论研究及其在地质学中的应用

N(≤r)=C r D r>0 N(≥r)=C r-D r>0(4’) (4”)

许多地质现象具有标度不变的特征,如岩石碎片、断层、地震、火山喷发、矿藏和油井等,这些现象的频度和大小之间的分布具有尺度不变性。分形分布的特点要求大于等于或小于等于某一尺度的数目,与物体大小之间存在幂指数关系,即(4)式的关系。例如r可表示金品位;N(≥r)表示金品位大于r的样品数目;r也可表示圆的半径;N(≤r)表示落入半径为r圆中矿体的个数。

分形分布的特点要求大于某一尺度物体的数目,与物体大小之间存在着幂函数关系,地质现象的统计分布中,幂函数分形分布(即幂函数分布、帕累托分布和齐波夫)不是唯一的一类,还有如对数分布等其它类型。但是幂函数分形分布是其中唯一的一类不含特征尺度的分布。因此,这些分布可以应用于那些具有标度不变特征的地质现象。而标度不变性则提供了应用幂函数分形分布的基础。首先引入幂函数分布(John et al.,1970)函数。如果随机变量X密度函数:

f(x)=ak-a X a-1 a>0 0

由(5)式可求得随机变量X的分布函数,数学期望和方差,即

F(x)=P(X≤x)=(x k)a a>0 0

E(X)=ak(a+1)-1a>0

V(X)=ak2(a+2)-1(a+1)-2a>0

在高端截尾条件下,0

P(X≤x X≤k′)=(x K)a(K′ K)-a=(x K′)a 0

上式表明幂函数分布在高端截尾条件下具有分形性质。

P(X≤x X≤k′)=P(X≤cx X≤ck′) 0

上式表明幂函数分布具有尺度不变的特征。其中k′为尺度参数;c为任意正的常数。

综上所述,幂函数分布是具有尺度不变的概率分布(在高截尾条件下),幂函数分布是(4’)式的数学基础。

M andbelb ro t(1982)认为帕累托分布(John et al.,1970)在低端截尾条件下具有尺度不变的分形性质。帕累托分布具有尺度不变的概率分布(在低截尾条件下),帕累托分布是(4”)式的数学基础。

分形统计模型(4)式是(1)式的特殊情形,此时Y=N(r),Η=(C,D),f(X,Η)=C r±D。为了求出分维数D,将观测数据(N(r1),N(r2),…,N(r n))和(r1,r2,…,r n),绘在双对数坐标纸上,如果其点大致分布在一条直线上的话,分维数D可以利用直线的斜率求出,也就是说,将观测数据(N(r1),N(r2),…,N(r n))和(r1,r2,…,r n),代入(4)式,然后两边取对数,(4)式化为一元线性回归模型,

log N(r)=±D log r+log C(6)用最小二乘法求出斜率D的估计量,即为分维数。目前几乎都用此方法(传统方法)求解分维数D。虽然用该方法求出D较简单,但结果可能不正确(B ethea et al.,1985),应该用非线性回归模型的方法去估计参数C和D。

632地　质　科　学1998年