分形统计模型的理论研究及其在地质学中的应用
分形结构因子及其在地质学上的应用
分形结构因子及其在地质学上的应用
沈步明
【期刊名称】《岩石学报》
【年(卷),期】1993(009)003
【摘要】本文以分形理论为基础,提出了一个频率分布的分形结构因子,用以表征频率分布的结构性,即表征物质在空间分布的均匀性或测量值之间的相关性。
本文列举了五个实例,说明了分形结构因子是定量地表征矿物、岩石和矿床中各种组分变化特征的强有力的工具。
【总页数】10页(P267-276)
【作者】沈步明
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】P571
【相关文献】
1.Matlab在分形学和物理学上的应用 [J], 赵琳;徐向超
2.中国东部新生代玄武岩稀土配分的分形结构因子与其它化学组成的相关性 [J], 沈步明;周德进
3.变质橄榄岩中尖晶石的分形结构因子类型及其成因意义 [J], 沈步明
4.利用稀土分布分形结构因子对碱性花岗岩稀土组成分类--以东准噶尔花岗岩为例[J], 王喜生
5.“分形”在天然气勘探开发上的应用——谁不熟悉分形,谁就不能认为是科学上的文化人(摘自一位外国学者语) [J], 张子枢;周国英
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分形理论在地质学中的应用探究
分形理论在地质学中的应用探究魏岳;孙伟【摘要】对分形理论在地质学中的应用进行综述,分析分数维在裂缝发育程度、矿产矿床等地质研究领域的应用情况,井就其他应用现状进行讨论,展望分形理论在地质学中的应用前景.【期刊名称】《保定学院学报》【年(卷),期】2011(024)003【总页数】3页(P69-71)【关键词】分形;分数维;地质学【作者】魏岳;孙伟【作者单位】保定学院物理与电子工程系,河北保定,071000;河北软件职业技术学院智能工程系,河北保定,071000【正文语种】中文【中图分类】P628分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，是以非整数维形式充填空间的形态特征.分形可以说是来自于一种思维上的理论存在.1973年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想.分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义.1982年，曼德勃罗又发表了“自然界的分形几何”[1].分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学[2].分形理论的思想进一步成熟起来.分形理论描述自然界广泛存在的一大类经典几何无法表示的奇特结构，现在已广泛应用于自然科学和社会科学各个领域[3].分形理论揭示了非线性复杂系统的不变性、自相似性等全新的系统特征，刻画了局部与整体，离散与连续，微观与宏观，确定性与随机性等关系.按照分形理论，分形体内任何一个相对独立的部分（分形元或生成元），在一定程度上都是整体的再现和缩影[4].分形理论在创立之后的30多年里，已被广泛应用于自然科学和社会科学的几乎所有的领域，成为国际上科学领域的前沿研究课题之一.地质学是关于地球的物质组成、内部构造、外部特征、各层圈之间相互作用和演变历史的知识体系.随着社会生产力的发展，人类活动对地球的影响越来越大，地质环境对人类的制约作用也越来越明显.如何合理有效地利用地球资源、维护人类生存的环境，已成为当今世界所共同关注的问题.地质作用的表现既有随机性又有确定性，所以分形理论最早成熟应用于地质学中.分形理论改变了传统地质学研究方法，给地质科学的发展带来了勃勃生机[5].国内外学者对断裂、地震活动、水系分布、海岸线长度等方面的分形研究取得了令人瞩目的成果.目前，分形理论在地貌、岩石构造、矿床评价和矿产预测等研究领域均有广泛的应用[6].断层、裂缝、微裂纹可视为不同程度下的裂缝，科学家们研究并发现岩石表面裂缝的分布，区域上的断层的分布具有统计意义上的自相似性，我们可以用分形理论研究裂缝的发育程度.分形理论的基本观点就是分数维，分数维是指对空间描述的维数可以是整数、分数还可以是无理数，其变化是连续的.它处理的对象具有自相似性，但又无一定的规则.分数维就是定量描述这种自相似性，可以定义为D[7].所谓分形就是指物体的数目与其纯属尺度之间存在着幂指数关系.分形指物体的形状，与其大小无关；而分数维是分形关系中的幂指数值.这里所用的是关联维；分数维采用的测定方法是嵌入空间法.一切具有自相似结构的事物都可以通过分数维进行定量描述，因此可以根据测井资料中，时间深度序列数据来确定地层的分数维，因为测井所得到的深度序列包含着丰富的信息，最主要的是地层各种特征变量的痕迹也蕴藏其中.测井曲线表现平滑的通常是致密度地层.而裂缝发育地层在测井曲线上表现为曲线震荡起伏，并且裂缝越发育，分数维就越高.由不同曲线算出的分数维所反映的裂缝发育程度的情况不同，在其他条件相同的情况下，科学家们用测得的数据画出的测井曲线均显示出裂缝发育段的分数维要比裂缝不发育段的分维数高.可见分数维D在某种程度上能够对裂缝发育程度进行定量描述.此外，深度区间越短，分数维D的分辨率越高，相空间点数不能太少，当它足够多时，可以认为它对计算分数维D无影响[8].近年来，付晓飞、苏玉平[9]等人研究了贝尔断陷断裂和裂缝在展布方位、剖面组合形态和宽度上具有统计意义的自相似性，是进一步研究断裂和裂缝的分形特征及从断裂的分维去预测裂缝的基础和前提.上式中，d（r）是给定范围内点的密度，也叫做概率密度函数.如果把矿床看成尘埃，那么d（r）便是距离为r的单位面积矿床数，K为常数，D代表分数维.如果矿床的密度分布是分形的，则某一给定的矿床周围的密度就服从（1）式，d（r）随距离的增大而减小.我们分别以每个矿床依次作为中心进行计算，并将结果进行平均，对于间隔小于2 km的矿床归并为1个矿床，则发现矿床的密度服从分形分布，而且存在2个无标度空间，其D值分别为0.428 9（2～100 km）和 1.462 1（100～1 500 km）.科学工作者做了大量研究，对不同地区、不同研究范围、不同矿种类型的空间进行分形分析，结果发现矿床在空间上遵循分形丛集分布，也就是说，矿床在空间上的分布是均匀的.而事实上，在全球范围内，矿床往往集中分布在几个成矿带中.在一个密集区内的矿床，特别是一些大型或者超大型矿床主要集中在一两个矿田内.虽然矿床和矿点为数不少，但往往其中一两个矿床占据了矿石含量的绝大部分.并且在一个矿床中，70%～90%的主矿体都集中在一两个矿点上，甚至在一个矿体中，含量又通常集中在富矿囊中.由此可见，矿床在空间成分形丛集分布现象可能具有普遍意义.事实上，矿床的空间丛集分布，跟“就矿找矿”的勘察战略有着很好的吻合，因此在已知矿区外围找隐伏矿是一条捷径，尤其是在成矿程度较高的矿区. 中国金矿床的空间丛集分形的2个无标度区范围分别为20～150 km和150～5 000 km，其中，20～150 km这个尺度与金矿床呈分形分布，而150～5 000 km 这个尺度，则可能反映了金矿床密集区的空间分形特征.近年来，董方灵、曹月怀[10]等人采用关联维数研究了三江南段地区银铅锌矿床的空间分布规律，研究结果表明，三江南段地区的银铅锌矿床在空间上具有分形丛集分布的特征.我国有丰富的金矿资源，下面分析金矿床密度分布.分形尘埃服从定律：分形在探地雷达信号处理中有应用.探地雷达是一种高精度的地球物理探测仪，但是雷达信号中有较多的多次波干扰，一般方法较难滤除.应用模糊滤波技术和分形相结合的方法，提出模糊分形滤波技术，有效地解决了多次波干扰的问题，同时缩短了雷达子波在反射界面的延续时间，提高了探地雷达信号的分辨率[11].分形理论在石油工业中也得到了一定的应用，有证据表明，油田的频度-大小分布是统计分形的.石油储量的估计可以由分形分布函数的参数估计得到.在石油开采过程中，当水比油更快地流向生产井时，应用分形可描述流体流动的曲线，并可以从部分采完的油储中发现更多的可采石油.20世纪90年代以来，石油学家用分形理论解释储集层的各向异性，研究烃类的运移和聚焦以及油气藏的空间分布，并取得了一些成果.事实表明，分形理论在石油地质上应用前景广阔.分数维在煤田勘探中也可作为一项参考依据，煤层厚度的变化性指标是确定煤田勘探类型的重要指标之一.构造因素、地质条件、沉积环境等多种因素都会影响煤层厚度变化，可利用关联维数和分数维函数取得煤层厚度的定量指标，研究表明能够反应煤层变化性的大小可由分数数值的高低反应出来，并且可以作为评价煤层稳定程度的定量化指标.分形还在煤中断裂分布的特征中有应用.煤中断裂分布具有良好的统计自相似性，可以用分数维来描述.分数维等值线图能有效地反映煤中断裂分布的复杂程度、分布范围和展布方向.分数维是煤中断裂分布长度、条数和分布均匀程度等参数的综合指标，该指标随着以上参数的变化而变化[12].分数维在地震预报方面也有一定的指导意义，分数维不仅仅是一种方法，一种指示，更重要的是分形理论使人们对于地震和地震预报有了新的认识，形成了新的地震预报观.在这方面我国地震学家曾经有过精辟的论述.在岩石破裂实验中，可以用激光干涉技术反映岩石样品表面各部分的应变.在应力不大时，干涉条纹很少，随着应力的增加，干涉条纹变得复杂.无论条件怎样变，每次得到的条纹都是各不相同的，但是由简单到复杂的过程是共同的.研究指出，这种由简单到直至破裂的过程正是减少维数降低的过程，这种降维减熵的过程正是地震的前兆.刘玲玲、孔正义[13]等人用分形理论研究了地震波，通过地震波加速度与时间关系的数据验证了地震波的分形特征，用功率谱法计算出了地震波的分形维数，从而为地震波规律性研究提供新的手段.陈文凯、何少林[14]等人利用汶川地震中获取的遥感影像，采用三角棱柱表面积法对影像中的不同地物进行分数维的计算.计算结果证明，影像中同一区域各个波段计算出来的分形维数不同，波段质量对分形维数影响较大；分形特征能够区分不同破坏程度的建筑物、滚石与其他地物.分形理论作为一种崭新的理论，有着强大的生命力.它不仅为人们提供了从部分认识整体的方法，而且进一步深化和丰富了物质世界的统一性原理.综上所述，分形理论无论在理论上还是在应用上都为地质学带来了新的学科增长点.分形理论把地质学中复杂随机的问题与分形理论很好的结合起来，为地质学的发展开辟了一个崭新的发展空间.【相关文献】［1］Mandelbrot B B.Fractals：forms，chance and dmi ension［M］.San Francisco（CA，USA）：W H Freeman&Co，1977：365.［2］Mandelbrot B B.The fractal geometry of nature［M］.New York：W H Freeman，1982.［3］张志三.漫谈分形［M］.长沙：湖南教育出版社，1994.［4］石雨田，潘保芝.分维的应用：定量描述裂缝发育程度［J］.物探与化探，2000，24（06）：426-430.［5］高安秀树.分数维［M］.北京：地震出版社，1989：33.［6］申维.初论分形地质学［J］.世界地质，1998（4）：75-84.［7］Badii R，Politi plexity［M］.Cambridge：Cambridge University Press，2000. ［8］易顺民，唐辉明.活动断裂的分形结构特征［J］.地球科学，1995，20（1）：58-62. ［9］付晓飞，苏玉平.断裂和裂缝的分形特征［J］.地球科学，2007，32（2）：227-234. ［10］董方灵，曹月怀.矿床空间分布的分形研究及其找矿意义：以三江南段银铅锌矿床分布为例［J］.华南地质与矿产，2010（1）：48-54.［11］施俊法，王春宁.中国金矿床分形分布及对超大型矿床的勘查意义［J］.地球科学，1998，23（6）：616-619.［12］申维.分形理论及其在地质学中的应用［D］.武汉：中国地质大学，1997.［13］刘玲玲，孔正义.分形理论在地震波表征中的应用［J］.四川建材，2010，36（5）：157-158.［14］陈文凯，何少林.地震前后遥感影像分形特征研究［J］.大地测量与地球动力学，2010，30（6）：24-30.。
分形理论及其应用
X 1 ： ( x1，x2，，xm )
X X
2 3
：
(
x
，
2
x
3，，
x
m
1
)
：
(
x
，
3
x
4，，
x
m
2
)
X
4
：
(
x
，
4
x5，，
x
m
3
)
把相点X1，X2，…，Xi，…，依次连起来就是一 条轨线。因为点与点之间的距空间共生成
个相点X1，X2，…，XN，给定一个数r，检查有 多少点对(Xi，Xj)之间的距离|Xi-Xj|小于r，把距离 小于r的点对数占总点对数N2的比例记作C(r)，
•分形理论及其应用
Cantor集合 ，考虑多重分形，把同样的均匀质量棒
从其左端3/5处一分为二，然后把左段压缩为长度
r1=1/4，其质量P1=3/5，而右段保持原长度r2=2/5，其
质量P2=2/5；第二步按着上述的比例对两段分别进行
同样的变换就得到4段，左两段的长度分别为 r12 r1r2
质量分别为 P12 ，P1 P2 ，右两段的长度分别为 ， r2 r1 r22 ，
质量分别为
， P2 P1
P
2 2
；如此操作下去就会得到一个不
均匀的Cantor集合。在这个集合中分布着众多长宽相
同的线条集合，它们构成单分形子集合。对每一个
单分形子集合，其标度指数为α，分维为f(α)。
•分形理论及其应用
最后每段线条的质量相当于二项式 (P1 P2)n展开中的
一项， n。因此可以用P1的q阶矩 Piq 取代单分形 i
分形理论及其在地学研究中的应用
分形理论及其在地学研究中的应用
刘承祚
【期刊名称】《地质科技管理》
【年(卷),期】1994(000)005
【摘要】本文介绍了分形理论在地球科学中的应用概况、分形和分维的基本概念以及常见的三种分维形式，扼要综述了分形理论在准晶体微粒结构、断层体系、地质体表面模拟、地表水系、多湖地貌景观以及地震研究中的应用。
最后给出了简短的讨论和展望。
【总页数】6页(P13-18)
【作者】刘承祚
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】P－3
【相关文献】
1.基于GIS的分形理论在地学中的应用 [J], 严明疆;帕拉提·阿布都卡迪尔
2.分形理论及其在地学领域中的应用 [J], 王世界;王素娜
3.分形理论在地学中的应用 [J], 潘彤;马梅生
4.分形(Fractal)理论及在地学中的应用简介 [J], 杜伯仁
5.分形理论及其在炭素材料研究中的应用(1)——分形理论及分形维数的测定 [J], 印友法
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分形理论在工程地质中的应用
分形理论在滑坡预测预报中的应用1967年，法裔美国科学家 Mandelbrot 研究海岸线的长度后指出海岸线不能用常规尺度来度量，提出了分维数的概念。
经过众多学者不断修正，认为分形是具有下列性质的集： (l)具有精细结构；(2)传统的几何语言不能描述其整体与局部上的不规则性；(3)具有统计意义上的某种自相似的形式。
(4)一般而言，分形维严格大于拓扑维；(5)该集常可由较为简单的方法来定义，可由迭代产生。
(6)分形不能用通常的测度来量度，如长度、面积、体积等。
分形测量的基本方法是改变粗视化程度的方法。
应用不同的尺度去度量目标，对目标描述的粗细程度就不同。
常用的尺度有圆和球、线段和正方形、立方体等具有特征长度的基本图形。
以最简单的曲线为例（图1左侧），以线段ε作为基准尺度，把曲线的一端作为起点，以该点为中心做一个半径为ε的圆，圆与曲线相交于至少一点上。
取其中一点做为起点，重复画圆的操作，反复进行直到圆将曲线全部包含在内。
最后计算圆的总数并记为)(εN 。
若基准长度ε变小，则)(εN 增加。
将不同长度所对应的双对数)(ln εN 、εln 分别作为X 、Y 坐标上的点，对其中的直线部分进行线性拟合，所求得的斜率就是该曲线的分形维数。
图1首先必须确定研究对象在什么尺度范围内具有分形性质。
从定义而言，分形维恒大于拓扑维。
即点、线等一维对象，其分形维大于1，面积的分形维大于2，而体积的分形维必大于3。
在实际计算过程中，有时出现分形维小于拓扑维的情况，这是因为量测尺度超出了范围，而只有在这特定的范围内研究对象才具有分形性质。
此时必须调整量测尺度，使同类研究对象在相同的尺度范围内均具有分形性质，才可以进行对比分析。
应用分形理论对滑坡进行预测预报，在群体滑坡与单体滑坡两方面应当区别应用。
由于研究对象不同，其系统所具有的规律相异，所对应的分维值的变化趋势也大相径庭。
（1）群体滑坡分形理论的根本出发点是局部与整体的相似性。
分形几何在工程地质中的应用
分形几何在工程地质中的应用分形几何是一种数学理论，它可以描述自然界中的复杂形态和非线性因素。
随着工程技术的发展，分形几何在地质领域中的应用越来越广泛。
本文将探讨分形几何在工程地质中的应用。
1. 地质形态分析地质形态是指地面或地下土地的形态。
通过对地质形态的分析，可以了解地下地形和地质构造，从而为地质灾害预防和工程设计提供有效的参考。
分形几何可以用于分析地质形态。
通过计算地质构造的分形维度，可以确定地质形态的复杂程度。
分形维度越高，表明地质构造越复杂，反之亦然。
因此，分形几何可以为地震风险评价、山体滑坡预警、土壤侵蚀评估等提供重要的参考。
工程地质中最常见的问题之一是地层的变形问题。
分形几何可以应用于变形分析中。
工程师可以通过计算地层的分形维度，来确定地层是否发生变形。
如果地层的分形维度发生了变化，则说明地层发生了变形。
这种方法可以用于诊断地层的变形类型，以及确定变形的程度和范围。
3. 地下水运动模拟水文地质与地下水文学是工程地质的一个重要领域。
分形几何可以用于模拟地下水运动。
在地下水运动模拟中，分形几何可以用于计算水流路径和地下水位线的分形维度。
这种方法可以诊断水文地质问题，并提供有效的预测和管理方法。
4. 土壤侵蚀预测土壤侵蚀是一种普遍存在的自然现象。
它对生态环境和农业生产都有极大的影响。
分形几何可以用于预测和评估土壤侵蚀的危害程度。
通过计算土壤质地和斜坡的分形维度，可以确定土壤侵蚀的发生和程度。
这种方法可以为土地使用和管理提供重要的参考。
5. 岩土工程设计岩土工程是工程地质的重要分支。
分形几何可以用于岩土工程的设计和评估。
例如，分形几何可以用于考虑地面沉降的影响，以及土壤的渗透性和压缩性。
这种方法可以为岩土工程设计提供更准确的数据，从而提高工程质量和安全性。
6. 地震监测与预测地震是一种普遍存在的自然灾害。
地震发生的时间、强度和范围都是难以确定的。
分形几何可以用于地震监测和预测。
通过计算地震波和岩土体的分形维度，可以预测地震的频率和强度，从而提供有效的预防和应对措施。
分形或地质统计学方法
分形或地质统计学方法【摘要】本文介绍了分形或地质统计学方法，这是一种用于描述复杂地质形态的数学模型。
具体而言，它用测量数据来描述物理模型的几何特征，这样就可以用来探讨不同地质结构的差异性。
研究也表明，这种方法对岩石和区域地质学也有广泛的应用。
这种方法的优势在于它可以利用空间分布数据，并使用它们来描述复杂的地质结构。
本文还介绍了当前用于分形或地质统计学的计算机技术和方法。
最后，给出了一些研究成果，提出了一些有希望的工作主题。
【关键词】分形，地质统计学，数据，空间分布，计算机技术【Introduction】现代地质学的发展迅速，研究各类地质结构，例如地貌、岩性、构造、油气等，也变得更加重要。
越来越多的空间数据支撑着地质科学家利用地表观测以及测井等数据建立新的地质模型，使地质学研究变得更加精确、更透彻。
随着计算机技术的发展，这种以数据为基础的研究方法得到广泛的应用。
其中，分形或者地质统计学方法就是其中一种最重要的新方法。
【Fractal or Geostatistical Method】分形或者地质统计学方法是指使用测量数据描述物理模型的几何特征的数学模型，用这种方法可以探讨不同地质结构的差异性。
例如，它可以用来识别现象的平均特征，以及空间规律性和不规律性的概率特征，也可以探讨现象的表现形式，以及影响其表现的有效因素。
实际上，研究表明，这种方法对岩石和区域地质学也有重要的应用。
例如，可以用来解释岩石层序结构，或描述空间分布特征和趋势，可以用地质统计学方法来描述油气系统的空间分布特征，甚至可以用来研究基于概率的地质模型。
【Computer Technology】当前采用分形或者地质统计学方法的计算机技术和方法也在不断发展和完善。
其中，基于径向基函数的方法可以计算出特定地质空间模型的统计性质，并可以探测其中的异常现象。
此外，基于熵的方法也可以用来识别复杂的地质空间结构。
此外，计算机要素模型、神经网络、以及基于深度学习的相关方法也被用于地质统计学，以更加准确地描述复杂的地质结构。
分形理论与分形几何在自然科学中的应用
分形理论与分形几何在自然科学中的应用自然界是一个充满着奇妙和神秘的地方。
在大自然中，我们可以发现许多美丽而又复杂的形状，如树枝、云朵、山脉等等。
这些看似无规律的形态背后，隐藏着一个重要的理论——分形理论与分形几何。
分形理论由波兰数学家曼德博特尔（Benoit Mandelbrot）于20世纪70年代提出。
他发现了自然界中的许多现象都具有自相似的特点。
自相似是指一个物体的一部分与整体的形状相似，这种相似性在不同的尺度上都能得到体现。
分形理论的核心思想就是研究这种自相似性，并通过数学模型来描述和解释这些现象。
分形几何是分形理论的一个重要分支，它通过数学方法来研究自然界中的分形结构。
分形几何的研究对象包括分形曲线、分形图形和分形维度等。
分形曲线是指具有无限细节和复杂性的曲线，如科赫曲线和希尔伯特曲线。
分形图形是指具有自相似性的图形，如分形树、分形花朵等。
分形维度是对分形结构复杂性的度量，它可以用来描述一个物体的空间尺度和形态特征。
分形理论与分形几何在自然科学中有着广泛的应用。
首先，它们在地质学中发挥着重要的作用。
地球上的山脉、河流、岩石等都具有分形结构。
通过分形理论和分形几何的研究，我们可以更好地理解地壳运动、地质构造和地球演化等自然现象。
例如，分形理论可以用来解释地震的发生和传播规律，通过分析地震波的分形特征，可以预测地震的强度和发生概率，为地震灾害的防治提供依据。
其次，分形理论和分形几何在生物学中也有着重要的应用。
生物界中存在着许多分形结构，如树枝、血管、叶片等。
通过分形理论的研究，我们可以更好地理解生物体的生长、发育和进化过程。
例如，分形几何可以用来解释植物根系的分形形态，通过分析根系的分形维度，可以揭示出根系的生物力学特性和水分吸收能力，为农业生产和植物育种提供指导。
此外，分形理论和分形几何还在气象学、物理学、经济学等领域中得到了广泛的应用。
在气象学中，分形理论可以用来研究天气系统的自相似性和混沌性质，从而提高天气预报的准确性。
分形理论在地貌学的应用研究进展与展望
分形理论在地貌学的应用研究进展与展望作者：张桐来源：《价值工程》2018年第33期摘要：分形理论是从研究不规则客观事物中孕育而生的，成为了复杂系统研究和非线性科学的重要组成部分，在各个学科均有广泛的运用。
在地貌学研究中，分形理论的应用也取得了显著的成果；本文在搜集大量文献的基础上，从分形理论在地貌学的意义，分形理论在地貌学中的应用研究相关进展，分形计算方法，三个方面进行总结，并针对在应用现状提出建议与展望，建议在地貌研究过程中探讨研究尺度对分形维数的影响，在实践中将分形理论与小波分析等其它理论进行综合，以分形数值模拟模型的研究进行深入探讨，对多种地貌过程及其动力机制进行模型模拟。
Abstract： Fractal theory is bred from the study of irregular objects， and has become an important part of complex system research and nonlinear science， and has been widely used in various disciplines. In the geomorphology research， the application of fractal theory has also made remarkable achievements； on the basis of collecting a large number of documents， this paper summarizes the significance of fractal theory in geomorphology， the related progress of the application of fractal theory in geomorphology， the fractal calculation method， and puts forward the construction in view of the shortcomings in the application. It is suggested that the influence of research scale on fractal dimension should be discussed in the process of geomorphological study. In practice， the fractal theory and other theories such as wavelet analysis should be integrated to study the fractal numerical simulation model and to simulate the various geomorphologic processes and their dynamic mechanisms.关键词：分形理论；地貌学；研究进展；分形维数Key words： fractal theory；geomorphology；research progress；fractal dimension中图分类号：P931 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2018）33-0279-050 引言分形理论是由美籍数学家曼德布罗特首先提出的，曼德布罗特在研究英国海岸线的长度问题时，将统计自相似与分数维度引入到该问题的研究中，从而得出了分形的概念，他将分形定义为豪斯道夫维数大于或等于拓扑维数的集合；直到今天，分形本身也没有完整的严格定义，但是，公认把它看成是具有下面性质的集合F的：①F具有精细的结构，即在任意小的比例下，都可呈现出更加精致的细节；②F是如此的不规则，以至于它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述；③F通常有某种自相似的形式；可能是近似的或是统计意义下相似的；④在大多数令人感兴趣的情形下，F能用非常简单的方法产生出（例如用迭代法）；⑤F的大小不能用通常的测度（例如长度、面积等）来度量[1]。
分形理论在地质学中的应用
分形理论在地质学中的应用：分形理论在地质学中的应用现代科学已进入非线性科学时代，非线性科学是目前世界性的热门课题。
地质学研究中非线性科学研究的对象主要是非线性问题以及在野外实践工作中遇到的各种各样非常复杂的地质现象。
因此，非线性科学在地质学研究中具有重大的意义。
分形理论是今年来非线性科学发展的最重要体系之一。
近年，众多地质学者运用分形理论对构造、元素地球化学异常、成矿预测等都进行深入的研究，取得了良好的成果。
1. 分形理论简介分形理论创始于20世纪70年代初期，创立的代表人物为美国数学家芒德布罗。
自然界和现实生活中广泛存在的具有自相似特性的非规则的几何形态是分形理论的研究对象。
分形是其组成部分以某种方式与整体相似的形。
它是以分维数、自相似性、统计自相似性和幂函数等为工具，研究不具有自相似性的复杂现象，定量描述这种自相似性的参数称为“分维数”或简称“分数”，记为D。
由于研究的具体对象（分形）不同，其分维数计算的具体形式和名称也有多种，最常见的分维数有相似维或容量维、信息维、关联维和广义维2. 分形理论在地质构造中的应用分形理论作为研究构造地质学的一种新方法，拓宽了构造地质的研究领域。
分形理论在地质构造中应用较为广泛的主要是断裂构造的自相似性的分形（线性分形）。
改变观察尺度求维数的方法是目前在断裂构造的二维平面分布研究中应用较多的分形方法。
毛政利（2004）通过该方法研究，认为个旧矿区东区断裂构造系统在二维平面上服从分形分布。
成矿有利地区断裂构造系统分维值均较大，并成正相关性，由此推测，高松矿田具有很大的找矿潜力。
断裂网络具有自相似性，是一种复杂的分形体系。
描述几何不规则性的分维可以用来定量评价矿井断裂网格复杂程度。
张建中（2007）利用分形理论对祁南煤矿构造复杂程度进行了评价，分维不仅能反映出断裂分布不均匀性，水平延伸长度和条数及其组合形式等综合性信息，同时能分出的不同等级的块段的分布情况，真实、准确地反映了矿井实际断裂构造的复杂变化。
第12讲 计算机地质学---分形理论与地质应用(49页)
12 分形理论与地质应用
12 分形理论与地质应用 （3）网络覆盖法 网络覆盖法一般用于研究一个区域内某种几何对 象（点、线）的分形结构。 将研究区分成若干个边长为r的正方形格子，数 出有点或线进入的格子数N(r)；按1/2的倍率缩小r， 并数出相对应的格子数N(r)，并以此类推。如果研究 区内几何对象具自相似结构，则有：
12 分形理论与地质应用
② 岩土结构
有人对岩石颗粒和土颗粒的粒度分布、岩石空隙 和土粒间孔隙的大小分布、颗粒表面形态等进行研 究，发现它们均符合分形分布规律。
③ 矿物晶体结构
传统的晶体结构模型是以欧几里德空间为基础建 立起来的。现在有人提出用分形空间建立晶体结构 模型，并有人用计算机模拟出一些理想的分形晶体 模型。
若N(d)是能够覆盖住一个点集的直径为d的小球 的最小数目，则该点集的容量维定义为：
12 分形理论与地质应用
（2）信息维(Di)
在容量维的定义中，只考虑了直径为d的小球数 目与d之间的关系，而未考虑研究对象。因此，对于 非确定性的研究对象，这种定义仍不实用。于是， 引入了信息维的定义：
其中，pi(d)为研究对象落在第i个球中的概率。 若概率分布均匀，则pi(d)=1/N，Di=Dk。一般情况下， Di≤Dk,可见信息维是容量维的一种推广。
12 分形理论与地质应用 事实上，地质体大多具有自相似性，一条断层可 能以不同比例尺存在，而其外表却十分相像。因此， 地质学家长期以来凭直觉认识到了这一基本事实， 从而形成了一个不言而喻却是不可改变的原则，即 任何地质体的照片必须附上一个比例尺参照物，在 野外拍摄的地质照片中通常附上已知尺寸的某种普 通物品，例如铅笔、地质锤或人体。 自然界事物自相似性只在一定尺度范围内才能出 现，这个具有自相似性的范围叫做无标度区。在无 标度区内，放大或缩小几何对象的尺寸，整个结构 并不改变，即其形状与标度无关。在无标度区外， 自相似现象不存在。
数学中的分形理论及其应用
数学中的分形理论及其应用分形，指的是一种形状或图案，在各种尺度下的细节都具备相似性的特征。
这种特征常常出现在自然界的许多地方，例如云朵、山脉、海岸线、植物等等。
虽然分形已经被许多人所熟知，但这种形式却是由数学家们的发明而来的。
分形一词由法国数学家Benoit Mandelbrot于1975年创建，并在1982年进一步推广。
他将自相似性描述为“特别的几何对称性”。
在数学中，分形理论指的是一些拥有自相似性并且可以无限重复的集合。
这种集合的几何形状经常会出现在自然界和科学领域的各种构造中。
分形理论在数学和物理学、化学、地质学等学科领域都有广泛的应用。
广义上说，分形是高度复杂的形式，无法用欧几里得几何学或其它古典数学框架描述。
因此，分形理论采用自相似性的思想以及强大的计算机算法，帮助人们研究这些神奇的模式。
分形模式包含了一些非常基本的观念，其中最重要的是定型自相似性。
换句话说，这种形式在不同的尺度上，都具备相同的形状和结构。
对于一个分形集合，我们可以把它分成无限小的独立部分，每一个部分都和整个集合相似。
分形集合的经典例子是康托集（Cantor set），这是一个包含在实数轴上的完全不连续的集合。
康托集的建立与开放映射定理密切相关，这是一个重要的数学原理。
当计算机被广泛应用时，分形理论得到了更为广泛的应用。
它可以用于绘制自然形态的图像如云朵、山脉、海岸线，也可以应用到计算机图形学的设计和图形特效中。
分形噪声也非常有价值而且普遍使用，它形成了许多逼真的自然现象的背景（例如云层）。
此外，分形可以用于投资风险评估、混沌理论和微量降噪等方面，它们在现代科学和技术中扮演着重要的角色。
分形模式、几何用途和物理学中的双馈环路系统都是分形理论的研究对象。
分形模式研究可以帮助我们理解生物学、社会学、经济学等学科中的自相似性问题；几何应用可以帮助我们研究高维空间的结构；而物理学中双馈环路系统的研究则可以帮助我们探索其在不同尺度下的可视性。
分形理论及其在地学领域中的应用
（） １分形几何与欧氏几何 的比较 。 分形学 的初创形式是分
形几何 ， ２ 是 ０世纪 ７ ０年代发展起来 的一个新的数学 分支 。在 经典 的欧几 里德几何 中 ， 我们 可 以用直 线 、 圆锥 、 等这一 类 球 规则的形状去描述人造物体 ， 是很 自然 的事 ， 这 因为这些 物体 本来就是根据欧氏几何的规则生成 的。而 自然界 中却存 在着
（） ３ 分形曲线的生成。 分形 曲线的代表作 ｋ ｃ ｏｈ曲线 ， 即首 先从一单位线段开始 ，截去 中间 １ ／ ３部分 ，而代之 以两个 １ ／ ３
长的相交 ６ ０度角的线段 ， 然后再 对 １ ／ ３长线段 （ 此时共 ４段 ） 重 复上述过程 ， 以致无穷 。 这就是 ｋ ｃ ｏｈ曲线 。 它是按一定 的数 学法则生成 的， 因此具有严格 的 自相似性 。这种 曲线的生成元
分形理论的产生和发展为深入进行地学研究探索自然界的时空复杂性提供了新的理论工具可以预见在不远的将来随着大量地学工作者对它的逐渐了解和熟悉分形理论必将在地学领域中得到更广泛更深入的应用并为地学的创新与持续发展做出重要的贡献
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分形理论及其在地学 领域 中的应用
力等等。大多数生物都有上述特征 ， 也有个别生物对其 中某 但
些特征有例外 。同样 对于 “ 分形”似 乎ｌ好也是看成具有一些 ， 最
性 质的集合 ， 而不必刻 意追求难 以精 确的意义 。可以这样说 ，
是 ，曲线 由把每一折线段反复迭代成缩小 比例为 的生成元而
分形是一些 简单空 间上 的一些 “ 复杂 ” 的点 的集合 ， 这种集合
１分 形 理 论 ．
具有某些特殊性质 ， 首先 它是所在空 间的紧子集 ， 并且具有 以
分形理论及其在绵阳市地质灾害研究中的应用
分 形 理 论 及 其 在 绵 阳 市 地 质 灾 害 研 究 中 的 应 用★
卢 江 董宏 戈 王 哲 水 李家明
（ １ ． 四川省地质矿产勘查开发局 １ ０ ８地质队 ， 四川 崇州 ６ １ １ ２ ３ ０； ２ ． 四川省地 质矿产勘查开发局 ９ ０ ９地质队 ， 四川 绵阳 ３ ． 西南科技大学 ， 四川 绵阳 ６ ２ １ ０ ０ ０； ４ ． 四川正基岩土工程 有限公司， 四川 绵阳 ６ ２ １ ０ ０ ０） ６ ２ １ ０ ０ ０；
杂一些 ， 而 比２维空 间简单 一些。在欧氏空间中 ， 把空 间看成 ３维 的程度 ” 。测定分形维数的方法主要有 以下几种 ： 的， 平面或球面看成 ２维 ， 而把直线或 曲线看成 １维。引发人们注 １ ） 改变观察 尺度求维数 ： 用具有特 征长度 的基本 图形去近 似
１ ． ２ 分 维 的 概 念
ｒ 的 ｎ维盒 Ⅳ ， （ Ａ ） 是直径最大为 ｒ 可 以覆盖 的最少个数 ， 则集 合 分维 （ ｆ ｒ ａ ｅ ｔ ａ ｌ ｄ ｉ ｍ ｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ ） 是 分形 几何 学 定量 描述 分形 集合 特 Ａ的 Ｂ ｏ ｘ维数 Ⅳ（ Ａ ） 定义为 ：
第４ ０卷 第 ３ ４期 ・Fra bibliotek６ ６．
２ ０ １ ４年 １ ２月
山 西 建 筑
ＳＨＡＮＸＩ ＡＲＣＨＩ ＴＥＣＴＵＲＥ
Ｖｏ １ ． ４ ０ Ｎｏ ． ３ ４ Ｄｅ ｃ． ２Ｏ１ ４
文章编号 ： １ ０ ０ ９ — ６ ８ ２ ５ （ ２ ０ １ ４） ３ ４ — ０ ０ ６ ６ — ０ ３
Ｄ ｓ （ 。
征和几何复杂程度 的参 数 ， 其分维 值不 一定是 整数 ， 故 称其 为分
分形或地质统计学方法
分形或地质统计学方法
分形与地质学统计学是研究几何特征和几何结构的一个分支，它们提供了一种以空间结构为基础的方法，用于从宏观到微观方面对地质样品进行表征和分析。
特别适用于研究连续和离散的属性的一致性和不一致性。
分形统计学用于评估地质事件之间的相似度和复杂性，也可以用于评估分布和结构，以及地质学中已知和未知事件之间的关系。
与经典统计方法不同，分形统计学深入了解地质学中复杂和非线性关系，并基于这一理论进行模型建立，以非常广泛和复杂的方式研究地质属性。
分形统计方法主要分为两类：空间结构分析和空间分布分析。
空间结构分析通常用于分析地层的分类，颗粒大小和形态分类，以及其他各种空间变量。
空间分布分析主要用于研究属性数据之间的空间分布，以及分析像素之间的空间结构。
地质统计学是地质学研究的一个重要方法，它为我们分析和解释地质现象提供了一种衡量体系。
地质统计学可用于发现自然现象背后的隐藏规律，在数据处理、建模、评估和认证等方面发挥重要作用。
例子主要分为数据处理、建模、评估和认证。
例如，可以使用Kolmogorov-Smirnov 检验或Chi-Square检验，分析样本在空间上的不均匀特征；也可以使用空间自相关，计算属性数据之间的相关性；以及使用空间平滑，对地质数据进行平滑和滤波，更多的空间趋势。
总的来说，分形统计学和地质统计学是研究几何特征和几何结构的一个专业方向，是用于分析地质样本中复杂性、一致性和不一致性的一般方法，运用这些方法可以更加全面有效地研究地质样本，帮助我们更好地理解地质现象。
分形几何学的应用领域与实例
分形几何学的应用领域与实例一、简介分形几何学是一门研究自相似结构的几何学分支，它的应用涵盖了许多领域，包括自然科学、社会科学和工程技术等。
本文将介绍分形几何学在不同领域的应用，并举例说明其实际应用。
二、自然科学领域的应用1. 生态学分形几何学可以描述生态系统的空间结构和模式，揭示物种多样性和物种分布的规律。
例如，通过分析森林的分形维度，可以评估生物多样性和生态系统的稳定性。
2. 气象学分形几何学被用于分析天气系统中的云朵形态和气象图像的变化。
通过计算云朵的分形维度，可以对天气系统的复杂性和演化进行研究，并提供天气预报模型的改进。
3. 地质学分形几何学在地质学中的应用广泛，如地貌形态的分析和土地利用规划。
通过分形维度的计算，可以量化地表的粗糙度和复杂性，为地质灾害的预测和防治提供依据。
三、社会科学领域的应用1. 经济学分形几何学可以应用于金融市场的分析和预测。
股市价格的波动、股市指数和交易量等变量的时间序列数据都具有分形特征，分形几何学的方法可以揭示这些数据背后的模式和规律。
2. 城市规划分形几何学可以应用于城市结构的研究和规划。
通过计算城市空间的分形维度，可以评估城市发展的复杂性和组织性，为优化城市规划和交通规划提供指导。
3. 社交网络分形几何学可以用于分析和模拟社交网络的结构和演化。
通过研究社交网络的分形特征，可以揭示社交网络中的群体结构、信息传播模式等，为社交媒体的设计和社交行为的预测提供支持。
四、工程技术领域的应用1. 通信工程分形几何学可以用于无线信号传输中的天线设计和信道建模。
通过利用分形结构的多频段和多尺度特性，可以提高无线信号的传输效率和抗干扰能力。
2. 图像处理分形几何学在图像压缩和图像分割领域有着广泛的应用。
通过使用分形编码算法，可以实现对图像的高效压缩和恢复，实现图像传输和存储的节约。
3. 材料科学分形几何学可以用于研究材料表面的粗糙度和纹理特征。
通过分析材料表面的分形维度，可以评估材料的机械性能和耐磨性，为材料设计和制造提供指导。
基于分形理论的地形分类与应用研究
基于分形理论的地形分类与应用研究地形是指地球表面在水平方向和垂直方向上的起伏变化，它是地球表面最基本的特征之一。
地形分类与应用研究是地质学、地理学等学科的重要领域，在地质灾害预测、资源勘查、土地利用规划、城市规划等方面具有重要作用。
本文将基于分形理论，探讨地形的分类方法及其应用研究。
一、分形理论概述分形理论是20世纪60年代初由著名数学家曼德勃罗提出的一种新的几何学说，它对非规则和复杂的自然和社会现象进行了深入研究，并开辟了一个新的研究领域。
分形理论具有自相似性、分形维数、分形尺度等重要概念，能够有效地描述自然界中的许多非线性、非平稳性的现象，如云彩形态、山川地貌、海岸线、经济、金融等领域。
二、地形分类方法1.基于地貌特征的分类方法基于地貌特征的分类方法是指从地貌形态出发，根据地形的特征进行分类。
这类方法主要包括地貌单元分类法、地貌成因分类法、地貌分类等级法等。
其中，地貌单元分类法是将地面划分为有限的几何体，如山地、丘陵、平原等。
地貌成因分类法是根据地质构造和地形发育过程进行分类，如断层地形、冰川地形等。
地貌分类等级法是在单元分类法的基础上，根据地形高差、远近、面积、形态、背景地貌等因素，将地形分为不同的等级。
这些方法在实际应用中具有一定的局限性，不能全面反映地形的空间分布及其特征，无法满足新形态地形的需求。
2.基于分形特征的分类方法基于分形特征的分类方法是指从地形的分形特征出发，根据分形维数、分形尺度等指标进行分类。
这类方法主要包括分形维数分类法、小波多重分形分类法等。
其中，分形维数分类法是根据地形的分形维数大小，将地形分为不同的类型。
小波多重分形分类法是利用小波变换和多重分形理论，将地形分为不同的层次。
这些方法能够更全面、准确地反映地形分布及其特征，具有更强的灵活性和适用性，能够满足不同尺度、形态、复杂度的地形分类需求。
三、地形应用研究1. 地质灾害预测地形是地质灾害的重要指示标志，地形分类方法和地形分析技术是地质灾害预测的重要工具。
统计学在地质学中的应用
统计学在地质学中的应用地质学作为一门研究地球历史和构造的学科，其数据量庞大且复杂，因此需要一种有效的方法来整理、分析和解释这些数据。
统计学的应用在地质学中扮演着关键的角色，它为地质学家提供了宝贵的工具和技术，以更好地理解和解释地球过程。
一、样本分析在地质学中，样本分析是一项重要的工作。
地质学家需要收集各种类型的样本，包括岩石、土壤、化石等，以了解地球的历史和构造。
统计学可以帮助地质学家确定样本的数量和取样位置，并提供验证结果的可靠性的方法。
通过采用统计学的方法，地质学家能够更好地确定样本的代表性，并有效地利用资源。
二、数据分析对于地质学的研究，数据分析是非常重要的工作。
统计学为地质学家提供了各种分析方法，以帮助他们从数据中发现模式、趋势和关联。
其中一个常用的方法是回归分析，它可以帮助地质学家确定变量之间的关系，并进行预测。
另外，统计学的聚类分析和主成分分析等方法也被广泛应用于地质学的数据分析中。
三、可视化展示统计学不仅可以帮助地质学家分析数据，还可以帮助他们将数据可视化展示出来。
可视化可以提供地质学研究的更直观的结果，并帮助地质学家更好地传递和解释自己的发现。
在地质学中，常用的可视化方法包括统计图表、地质图、地质剖面图等。
通过统计学的方法，地质学家可以更好地展示地球的构造和演化历史。
四、风险评估在地质学中，风险评估是一个重要的任务。
统计学可以帮助地质学家评估各种地质灾害的概率和可能性，并帮助制定相应的预防措施。
通过统计学的方法，地质学家可以分析历史数据和地质特征，以预测可能的地震、火山喷发等自然灾害，并提出相应的风险管理策略。
总结：统计学在地质学中的应用是多方面的，从样本分析、数据分析到风险评估，都能从中获得收益。
通过统计学的手段，地质学家能够更好地理解和解释地球过程，为地质学的研究提供有力支持。
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第33卷 第2期1998年4月SC IEN T I A GEOLO G I CA S I N I CAV o l .33N o.2A p r .,19983地矿部“九五”基础研究重点项目《矿产定量预测的勘查评价新理论研究》和中国博士后科学基金项目资助。
申 维,男,1957年2月生,博士后,数学地质专业。
1997210207收稿,1997209209改回,王桂凤编辑。
分形统计模型的理论研究及其在地质学中的应用3申 维 赵鹏大(中国地质大学数学地质研究所 武汉 430074)摘 要 本文提出了一般分形模型和一般分维数的概念,认为许多地质模型是一般分形模型的特例,指出幂函数分布和帕累托分布是分形统计模型的数学基础,论证了幂函数分布在高端截尾条件下具有尺度不变的分形性质,根据非线性回归模型参数估计的方法,提出了求分维数的新方法,该方法具有许多优点。
通过在计算机上产生随机数对分形统计模型进行模拟研究,以及通过实例说明分形统计模型应用的方法及步骤,并解释了分维数的实际意义。
关键词 分形统计模型 分维数 模拟研究 成矿预测由于人类社会和自然界中广泛地存在无序、混乱、不规则和不光滑的复杂现象,传统的理论只能是简化或定性地刻画它们。
分形理论的提出为揭示隐藏于混乱复杂现象中的精细结构和定量地刻画描述它们提供了理论基础。
分形理论创立于70年代中期,其研究对象为自然界和社会活动中广泛存在的无序(无规则)而具有自相似性的系统。
分形论借助于自相似性原理洞察隐藏于混乱现象中的精细结构;为人们从局部认识整体,从有限认识无限提供新的方法论;为不同学科发现规律性提供崭新的语言和定量的描述;为现代科学技术提供新思想新方法。
分形理论不但为复杂的现象提供了一种简便的定量描述工具,而且它是一种辩证的思想方法和认识方法:部分与整体有相似性是整个的相对缩影,含有整体的信息,因而人们可以通过认识部分来认识整体。
1 一般分形模型设非线性模型y =f (x ,Η)+Ε(1)式中:x 为可观测的已知变量,可以是向量;y 为可观测的随机变量;Ε为不可观测具有零均值和有限方差Ρ2>0独立同分布F 的随机误差项(Ρ2未知);Η=(Η1,Η2,…,Ηp )′为未知参数,定义域为欧氏空间R p 上的一个子空间(;f 称为模型函数,它的函数形式已知,但含有未知参数Η。
如果f 是Η的线性函数,则(1)式化为线性模型,否则就称为非线性模型。
设一般分形模型Y ∝XF (D )(2)其中X 和Y 为变量,根据具体问题可以代表不同的意义;F (D )称为分维数函数,也可称为一般分维数,F (D )选取什么函数形式,依具体研究问题而定。
模型(2)可以推出许多具体模型。
(1)取Y =A (面积),X =P (周长),F (D )=2 D ,得到面积与周长关系:A ∝P2 D (2)取Y =N (覆盖的盒子数目),X =b (盒子的大小或尺寸),F (D )=-D ,得到盒子数目与盒子的大小或尺寸关系:N ∝b-D (3)取Y =L (Σ)(轨迹的长度length of trail ),X =Σ(步长大小),F (D )=1-D ,得到划分关系:L (Σ)∝Σ1-D (4)取Y =N (A >a )(大于a 的面积或区域数目),X =a (尺寸大小),F (D )=-(D 2),得到Ko rcak’s 关系:N (A >a )∝a-(D 2) (5)取Y =P (w )(功率pow er ),X =w (频率),F (D )=-(5-2D ),得到功率谱与频率关系:P (w )∝w-(5-2D ) (6)取Y =< z p -z q 2>,X =d p q (p 与q 之间距离),F (D )=4-2D ,z p 和z q 代表在点p 和q 处的高程,< >代表统计上的数学期望,得到变差图关系:〈 (z p -z q ) 2〉∝(d p q )(4-2D )(7)取Y =N (R )(像元数目),X =R (回转半径),F (D )=D ,得到扩散限制凝聚(DL A 模型):N (R )∝RD模型(2)可改写为下面模型:Y =CXF (D )(3)此模型即是非线性回归模型(1)的特例,Η=(C ,F (D )),F (D )可视为参数函数。
对分维数D 的研究可转为对分维数函数的研究,其效果是一致的。
因为F (D )是D 的一个一对一变换。
2 分形统计模型设分形统计模型:N (r )=C r +D- r >0(4)其中,r 表示特征尺度;C >0称为比例常数;D >0称为分维数;N (r )表示尺度大于等于r 的数目(当分维数D 前面的符号取负号,记为N (≥r ))或尺度小于等于r 的数目(当分维数D 前面的符号取正号,记为N (≤r ))。
为了研究方便,(4)式可分解为下面2式:532 2期申 维等:分形统计模型的理论研究及其在地质学中的应用N(≤r)=C r D r>0 N(≥r)=C r-D r>0(4’) (4”) 许多地质现象具有标度不变的特征,如岩石碎片、断层、地震、火山喷发、矿藏和油井等,这些现象的频度和大小之间的分布具有尺度不变性。
分形分布的特点要求大于等于或小于等于某一尺度的数目,与物体大小之间存在幂指数关系,即(4)式的关系。
例如r可表示金品位;N(≥r)表示金品位大于r的样品数目;r也可表示圆的半径;N(≤r)表示落入半径为r圆中矿体的个数。
分形分布的特点要求大于某一尺度物体的数目,与物体大小之间存在着幂函数关系,地质现象的统计分布中,幂函数分形分布(即幂函数分布、帕累托分布和齐波夫)不是唯一的一类,还有如对数分布等其它类型。
但是幂函数分形分布是其中唯一的一类不含特征尺度的分布。
因此,这些分布可以应用于那些具有标度不变特征的地质现象。
而标度不变性则提供了应用幂函数分形分布的基础。
首先引入幂函数分布(John et al.,1970)函数。
如果随机变量X密度函数:f(x)=ak-a X a-1 a>0 0<x≤k(5)则随机变量X服从幂函数分布。
其中k称为尺度参数;a称为形关参数或指数。
由(5)式可求得随机变量X的分布函数,数学期望和方差,即F(x)=P(X≤x)=(x k)a a>0 0<x≤kE(X)=ak(a+1)-1a>0V(X)=ak2(a+2)-1(a+1)-2a>0在高端截尾条件下,0<x≤k′≤k,我们推得下列等式:P(X≤x X≤k′)=(x K)a(K′ K)-a=(x K′)a 0<x≤k′≤k上式表明幂函数分布在高端截尾条件下具有分形性质。
P(X≤x X≤k′)=P(X≤cx X≤ck′) 0<x≤k′≤k上式表明幂函数分布具有尺度不变的特征。
其中k′为尺度参数;c为任意正的常数。
综上所述,幂函数分布是具有尺度不变的概率分布(在高截尾条件下),幂函数分布是(4’)式的数学基础。
M andbelb ro t(1982)认为帕累托分布(John et al.,1970)在低端截尾条件下具有尺度不变的分形性质。
帕累托分布具有尺度不变的概率分布(在低截尾条件下),帕累托分布是(4”)式的数学基础。
分形统计模型(4)式是(1)式的特殊情形,此时Y=N(r),Η=(C,D),f(X,Η)=C r±D。
为了求出分维数D,将观测数据(N(r1),N(r2),…,N(r n))和(r1,r2,…,r n),绘在双对数坐标纸上,如果其点大致分布在一条直线上的话,分维数D可以利用直线的斜率求出,也就是说,将观测数据(N(r1),N(r2),…,N(r n))和(r1,r2,…,r n),代入(4)式,然后两边取对数,(4)式化为一元线性回归模型,log N(r)=±D log r+log C(6)用最小二乘法求出斜率D的估计量,即为分维数。
目前几乎都用此方法(传统方法)求解分维数D。
虽然用该方法求出D较简单,但结果可能不正确(B ethea et al.,1985),应该用非线性回归模型的方法去估计参数C和D。
632地 质 科 学1998年事实上,(4)式是非线性回归模型,其中C 、D 为未知参数,用非线性回归模型中的最小二乘法直接求出(4)式中参数D 的估计量也是分维数。
用这种新方法求出的分维数D ,比上面传统方法(即(4)式转化为一元线性回归模型(6))求出的分维数更精确,误差更小。
新方法有以下优点:(1)使用传统方法求分维数D ,要对原始数据(N (r 1),N (r 2),…,N (r n ))和(r 1,r 2,…,r n ),同时作对数变换,但是在大多数情况下,原始数据特别是(r 1,r 2,…,r n ),不适合作对数变换。
新方法直接用原始数据求分维数D ,避免了以上情况的发生。
(2)使用新方法可以求出分维数估计量D δ的近似偏差和方差,同时也能求出近似预测偏差和预测方差。
使用传统方法不能得到上述结果。
(3)使用新方法求出参数估计量比使用传统方法求出参数估计量在拟合分形模型时更好,即剩余平方和更小(剩余平方和是衡量拟合的优良程度的定量指标),并且参数估计量 [Q (D δ,Cδ)=∑nk =1(N (r k )-C δr D δk)2]更稳定。
3 分形统计模型模拟研究我们在计算机上产生了[0,1]区间上的均匀分布,标准正态分布和对数态分布的随机数各100000个,将每种分布的随机数分布10组(即每组1000个随机数,共有30组),用于分形统计模型的模拟研究。
将每组1000个随机数,按从小到大的次序排列,并把随机数分布的总区间分成k 个子区间,计算进入第i 个子区间内的随机数的频数N F i (i =1,2,…,k ),令N (r )=∑i ≥rN F i,其中r 为正整数。
这样得到了数据(N (r 1),N (r 2),…,N (r n ))和(r 1,r 2,…,r n ),将这些数据代入分形统计模型(4”),应用最小二乘法,可求出分维数估计量D δ。
具体计算结果见表1-3。
需要说明的是:(1)对于均匀分布的随机数,取K =150,n =26,r i =2i (i =1,2,…,26);表1 均匀分布分维数估计量D δTable 1 fractal di m ensi on Dδof U nifo r m distributi on组 号12345678910平均数标准数传统方法011490.1350.1420.1510.1420.1440.1350.1420.1510.1420.14330.0057新方法0.1320.1220.1270.1360.1280.1290.1220.1270.1360.1280.12870.0049表2 正态分布分维数估计量D δTable 2 fractal di m ensi on Dδof N o r m al distributi on 组 号12345678910平均数标准数传统方法1.0571.1031.1011.0781.0291.1210.9960.9190.9460.9561.03060.0728新方法0.6860.7220.7070.7030.6790.7270.6800.6430.6340.6720.68530.0308732 2期申 维等:分形统计模型的理论研究及其在地质学中的应用832地 质 科 学1998年δ表3 对数正态分布分维数估计量Dδof Logno r m al distributi onTable3 fractal di m ensi on D组 号12345678910平均数标准数传统方法1.6291.4361.8761.6711.7231.8461.3501.3321.7301.2101.58030.2319新方法1.0260.9591.0911.0191.0201.0930.8720.8701.0020.8100.97620.0965(2)对于正态分布的随机数,取K=80,n=21,r i=2i+10(i=1,2,…,21);(3)对于对数正态分布的随机数,取K=100,n=21,r i=2i(i=1,2,…,21);(4)对于不同分布的随机数据,k和r的取值范围也不相同,主要依据数据(N(r1),N (r2),…,N(r n))和(r1,r2…,r n),在此范围内,存在无标度区和统计上的要求;(5)随机数抽取样本1000个,符合统计推断的要求条件。