信号与系统答案西北工业大学段哲民信号与系统1-3章答案

第一章 习 题
1-1 画出下列各信号的波形：(1) f 1(t)=(2-e -t )U(t); (2) f 2(t)=e -t cos10πt×[U(t -1)-U(t-2)]。

答案
（1）)(1t f 的波形如图1.1（a ）所示.
(2) 因t π10cos 的周期
s T 2.0102==
ππ
,故)(2t f 的波形如图题1.1(b)所示.
1-2 已知各信号的波形如图题1-2所示，试写出它们各自的函数式。

答案
)1()]1()([)(1-+--=t u t u t u t t f
)]1()()[1()(2----=t u t u t t f
)]3()2()[2()(3----=t u t u t t f
1-3 写出图题1-3所示各信号的函数表达式。

答案
2
002121
)2(21121)2(21
)(1≤≤≤≤-⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-+=+=t t t t t t t f
)2()1()()(2--+=t u t u t u t f
)]
2()2([2sin )(3--+-=t u t u t t f π
)3(2)2(4)1(3)1(2)2()(4-+---++-+=t u t u t u t u t u t f
1-4 画出下列各信号的波形：(1) f 1(t)=U(t 2-1); (2) f 2(t)=(t-1)U(t 2-1);
(3) f 3(t)=U(t 2-5t+6); (4)f 4(t)=U(sinπt)。

答案
(1) )1()1()(1--+-=t u t u t f ,其波形如图题1.4(a)所示.
(2))1()1()1()1()]1()1()[1()(2---+--=--+--=t u t t u t t u t u t t f 其波形如图题1.4(b)所示.
(3)
)
3()2()(3-++-=t u t u t f ,其波形如图1.4(c)所示.
(4) )(sin )(4t u t f π=的波形如图题1.4(d)所示.
1-5 判断下列各信号是否为周期信号，若是周期信号，求其周期T 。

)42cos(2)()
1(1π
-=t t f ;
2
2)]6[sin()()
1(π
-=t t f ; (3)
)
(2cos 3)(3t tU t f π=。

答案
周期信号必须满足两个条件:定义域R t ∈,有周期性,两个条件缺少任何一个,则就不是周期信号了.
(1) 是,
s T 32π=
.
(2)
)]32cos(1[213)(π--⨯=t t f ,故为周期信号,周期s
T ππ
==22.
(3) 因0〈t 时有,0)(=t f 故为非周期信号
1-6 化简下列各式：
（1）1)12(⎰∞--t
d ττδ; (2) ()⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+)()4cos(t t dt d δπ; (3)⎰∞∞-tdt t t dt d sin )]([cos δ。

答案
(1) 原式 =
)21(21)21(21)](2[21-=-=-⎰
⎰∞-∞
-t u d d t
t
ττδττδ
(2) 原式 =)
(22
)](4[cos t t dt d δδπ'=• (3) 原式 =1
cos )](n si [sin )(00-=-='-='==∞
∞-⎰t t t tdt t δ
1-7 求下列积分：（1）dt
t t ⎰∞
--0
)]2()3(cos[δω; (2)dt
t e jwt )3(0
+⎰
∞
δ;
(3)⎰∞
--⨯0
02)(dt
t t e t δ。

答案
(1) 原式 = ωωωcos )cos()]32(cos[
=-=- (2) 原式 =0
0)3(033=⨯=+⎰∞
--ωωδj j e dt t e
(3) 原式 =0
220
021)(t
t t
e e dt t t e
--∞
-=⨯=-⎰
δ
1-8 试求图题1-8中各信号一阶导数的波形，并写出其函数表达式，其中
)]
5()([2cos )(3--=t U t U t t f π。

答案
（a ） )2()(3)1(2)(1-+-+='t u t u t u t f ，)(t f '的波形如图题1。

8（d ）所示。

（b ） )3()2(3)1(2)1()(2---+--+='t u t u t u t u t f ，)(2t f '的波形如图题1。

8（e ）所示。

（c ） )
()]5()([2
sin
)(3t t u t u t t f δπ
+---=',)(3t f '的波形如图题1.8（f ）
所示.
1-9 已知信号)
21(f 的波形如图题1-9所示，试画出y(t)=f(t+1)U(-t)的波
形。

答案
)
(
)1
(
)
(t
u
t
f
t
y-
+
=的波形如图题1.9(b)所示。

1-10 已知信号f(t)的波形如图题1-10所示，试画出信号⎰∞--
t
d
fτ
τ)
2(
与信
号
)]
2
6
(
[t
f
dt
d
-
的波形。

答案
(1) )2(t f -的波形与⎰∞--t
d f τ
τ)2(的波形分别如图题1.10(b),(c)所示。

(2) )26(t f -的波形与)]
26([t f dt d
-的波形分别如图题1.10(d),(e)所示。

且 )3(2)5.2()2()]26([---+-=-t t t t f dt d
δδδ
1-11 已知f(t)是已录制的声音磁带，则下列叙述中错误的是(__)。

A.f(-t)是表示将磁带倒转播放产生的信号
B.f(2t)表示磁带以二倍的速度加快播放
C.f(2t)表示磁带放音速度降低一半播放
D.2f(t)表示将磁带音量放大一倍播放 答案
C
1-12 求解并画出图题1-12所示信号f 1(t), f 2(t)的偶分量f e (t)与奇分量f o (t)。

答案
因)]()([2
1
)]()([21)()()(0t f t f t f t f t f t f t f e --+-+=+=式中
)]()([2
1
)()],()([21)(0t f t f t f t f t f t f e --=-+=。

故可画出各待求偶分量
与奇分量的波形，相应如图题1.12中所示。

1-13 已知信号f(t)的偶分量f e (t)的波形如图题1-13(a)所示，信号f(t+1)×U(-t-1)的波形如图题1-13(b)所示。

求f(t)的奇
分量f o (t)，并画出f o (t)的波形。

答案
因 )()()(0t f t f t f e +=
故有 )()()()()()(0t u t f t u t f t u t f e -+-=-
将信号)()(),()()11()11()1()1(1t u t f t u t f t u t f t u t f --=+--+-−−→−--+右移
的波形如图题1。

13(c)所示。

又有
)()()()()()(0t u t f t u t f t u t f e ---=-
)()(0t u t f -的波形如图题1.13(d)所示。

因为)(0t f 是奇函数，关于坐标原点对称，故)()(0t u t f 的波形如图题1.13(e)所示。

最后得
)1()1()()()()()(000----=+-=t u t u t u t f t u t f t f
)(0t f 的波形如图题1.13(f)所示。

1-14 设连续信号f(t)无间断点。

试证明：若f(t)为偶函数，则其一阶导数f′(t)为奇函数；若f(t)为奇函数，则其一阶导数
f′(t)为偶函数。

答案
（1）若)(t f 为偶函数，则有)()(t f t f =-.故)()(t f t f '-=-'.故)(t f '为奇函数。

(2）若)(t f 为奇函数，则有)()(t f t f -=-.故)()(t f t f '-=-'，即)()]([)]([)(t f t f t f t f '='--=-'-=' .故)(t f '为偶函数。

1-15 试判断下列各方程所描述的系统是否为线性的、时不变的、因果的系统。

式中f(t)为激励，y(t)为响应。

(1)
)()(t f dt d
t y =
(2) y(t)=f(t)U(t)
(3) y(t)=sin[f(t)]U(t) (4) y(t)=f(1-t)
(5) y(t)=f(2t) (6) y(t)=[f(t)]2 (7) ⎰∞
-=t
d f t y τ
τ)()(
(8)
⎰∞
-=t
d f t y 5)()(τ
τ
答案
(1) 线性，时不变，因果系统
(2) 线性，时变，因果系统。

因为当激励为)(t f 时，其响应)(t y ；当激励为)(0t t f -时，其响应为)
()()(01t u t t f t y -=，但是
)
()(10t y t t y ≠-，所以系统为时变系统。

(3) 非线性，时变，因果系统。

(4) 线性，时变，非因果系统。

因为当0=t 时有)1()0(f y =，即系统当前时
刻的响应决定于未来时刻的激励，故为非因果系
统。

(5) 线性 ，时变，非因果系统。

(6) 非线性，时不变，因果系统。

因为当激励为)(t f 时，响应为)(t y ；当激
励为)(t kf 时，响应为2
1)]([)(t kf t y =， 但
)()(1t ky t y ≠，故该系统为非线性系统。

(7）线性，时不变，因果系统。

(8) 线性，时变，非因果系统。

1-16 已知系统的激励f(t)与响应y(t)的关系为τ
ττd e f e
t y t
t
⎰
∞
--=)()(，则该
系统为(__)。

A 线性时不变系统
B 线性时变系统
C 非线性时不变系统
D 非线性时变系统
答案
A
1-17 图题1-17(a)所示系统为线性时不变系统，已知当激励f 1(t)=U(t)时，其响应为y 1(t)=U(t)-2U(t-1)+U(t-2)。

若激励为f2(t)=U(t)-U(t-2)，求图题117(b)所示系统的响应y 2(t)。

答案
+-+-----+--=)]3()2(2)1([2)2()1(2)()(2t u t u t u t u t u t u t y
=
-+-----+---)6()5(2)4([)]5()4(2)3([2t u t u t u t u t u t u )6()5(4)4(5)2(5)1(4)(---+---+--t u t u t u t u t u t u
)(2t y 的波形如图题1.17(c)所示.
1-18 图题1-18(a)所示为线性时不变系统，已知h 1(t)=δ(t)-δ(t -1), h 2(t)=δ(t -2)-δ(t -3)。

（1）求响应h(t)；
（2） 求当f(t)=U(t)时的响应y(t)（见图题1-18(b))。

答案
（1） )3()2()1()()()()(21-+----=-=t t t t t h t h t h δδδδ
(2) 因⎰∞-==t
d t u t f ττδ)()()(，故根据现行系统的积分性有
)3()2()1()(])3()2()1()([(()(-+----=-+----==⎰⎰∞
-∞
-t u t u t u t u d d h t y t t
ττδτδτδτδττ
1-19 已知系统激励f(t)的波形如图题1-19(a)所示，所产生的响应y(t)的波形如图题1-19(b)所示。

试求激励f 1(t)
（波形如图题1-19(c)所示）所产生的响应y 1(t)的波形。

答案
用)(t f 表示)(1t f 即
)1()1()(1--+=t f t f t f
故)(1t f 在同一系统中所产生的响应为
)1()1()(1--+=t y t y t y
故)(),1(),1(t y t y t y -+ 的波形分别如图题1.19(d),(e),(f)所示。

1-20 已知线性时不变系统在信号δ(t)激励下的零状态响应为h(t)=U(t)-U(t-2)。

试求在信号U （t-1)激励下的零状态
响应y(t)，并画出y(t)的波形。

答案
因有⎰∞-=t
d t u ττδ)()(，故激励)(t u 产生的响应为
⎰⎰∞-∞-=--==t t
d u u d h t y τττττ)]1()([)()(1
⎰
⎰∞
-∞
-=--t
t
d u d u ττττ)1()(
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥〈≤-〈=---3
2311
10)1()1()(t t t t t u t t tu 故激励)1(-t u 产生的响应为
)2()2()1()1()1()(1-----=-=t u t t u t t y t y
)(t y 的波形如图题1。

20所示。

1-21 线性非时变系统具有非零的初始状态，已知激励为f(t)时的全响应为y 1(t)=2e -t U(t)；在相同的初始状态下，当激励为
2f(t)时的全响应为y 2(t)=(e -t
+cosπt)U(t)。

求在相同的初始状态下，当激励为4f(t)时的全响应y 3(t)。

答案
设系统的零输入响应为)(t y x ，激励为)(t f 时的零状态响应为)(t y f ， 故有
)(2)()()(1t u e t y t y t y t f x -=+=
)()cos ()(2)()(2t u t e t y t y t y t f x π+=+=-
故联解得
)()cos 3()(t u t e t y t x π-=-
)()cos ()(T u t e t y t f π--=-
故得
第二章 习题
2-1. 图题2-1所示电路，求响应u 2(t)对激励f(t)的转移算子H(p)及微分方程。

答案
解 其对应的算子电路模型如图题2.1（b ）所示，故对节点①，②可列出算子形式的KCL 方程为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+0)(111)(1)()(1
)(13121
21
t u p p t u p t f t u p t u p
即
()
⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=-⎪⎭⎫
⎝⎛+0
)(1)()
()()(13
1221
21t u p p t u t pf t u t u p
联解得
)
()()(443
)(22t f p H t f p p t u =++=
故得转移算子为
443
)()()2
2++==
p p t f t u p H （
u 2(t)对f(t)的微分方程为
()
）（）（t f t u p p
34422
=++
即
）（t f t u t u dt d t u dt d 3)(4)(4)(22222=++
2-2图题2-2所示电路，求响应i(t)对激励f(t)的转移算子H(p)及微分方程。

答案
解 其对应的算子电路模型如图2.2（b ）所示。

故得
）（）（t f p p p
p p
p t f t i 301110
102222
1.01)(2+++=+⨯+
+=
故得转移算子为
301110
10)()()(2
+++==
p p p t f t i p H
i(t)对f(t)的微分方程为
)()1010()()3011(2t f p t i p p +=++
即
)(10)(10)(30)(11)(22t f t f dt d t i t i dt d t i dt d +=++
2-3 图题2-3所示电路，已知u C (0-)=1 V, i(0-)=2 A 。

求t>0时的零输入响应i(t)和u C (t)。

答案
解 其对应的算子电路模型如图题2.3（b ）所示。

故对节点N 可列写出算子形式的KCL 方程为
0)(2312=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++t u p p C
又有uc(t)=pi(t)，代入上式化简，即得电路的微分方程为
⎪⎩⎪⎨⎧=====++-+-
+1
)0()0(2)0()0(0)()23(2c c
u u i i t i p p
电路的特征方程为
0232=++p p
故得特征根（即电路的自然频率）为p 1=-1，p 2=-2。

故得零输入响应的通解式为
t
t t p t p e A e A e A e A t i 2212121)(--+=+=
又 t t e A e A t i 2212)(----='
故
有
2)0(21=+=+A A i (1)
212)0(A A i --='+
又因有
)
()(t i L t u c '=
故 )
0()0(++'=i L u c
即 1)2(21=--A A L
即 1221=--A A (2)
式（1）与式（2）联解得A 1=5,A 2=-3。

故得零输入响应为
035)(2≥-=--t A e e t i t
t
又得
[]
65351)()(22≥+-=-==----t V e e e e dt
d
dt t di L
t u t t t t c
解 其对应的算子电路模型如图题2.3（b ）所示。

故对节点N 可列写出算子形式的KCL 方程为
0)(2312=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++t u p p C
又有uc(t)=pi(t)，代入上式化简，即得电路的微分方程为
⎪⎩⎪⎨⎧=====++-+-
+1
)0()0(2)0()0(0)()23(2c c
u u i i t i p p
电路的特征方程为
0232=++p p
故得特征根（即电路的自然频率）为p 1=-1，p 2=-2。

故得零输入响应的通解式为
t
t t p t p e A e A e A e A t i 2212121)(--+=+=
又 t
t e A e A t i 2212)(----='
故
有
2)0(21=+=+
A A i (1)
212)0(A A i --='+
2-4图题2-4所示电路，t<0时S 打开，已知u C (0-)=6 V, i(0-)=0。

(1) 今于t=0
时刻闭合S ，求t>0时的零输入响应u C (t)和i(t)；（2） 为使电路在临界阻尼状态下放电，并保持L 和C 的值不变，求R 的值。

答案
解 （1）t>0时S 闭合，故有
V
i L u c 6)0()0(='=-+
0)0()0(==-+i i
t>0时的算子电路模型如图题2.4(b)所示。

故得t>0电路的微分方程为
=-+=+
=)41
)(415.2()()415.2()(c c pu p t i p t u
)
(161
)(45.22t u p t pu c c --
即 0)(142.5 1612=⎪⎭⎫
⎝⎛++t u p p c
即
⎪⎩
⎪⎨⎧=====++-+-
+0)0()0(6)0()0(0
)()1610 (2i i u u t u p p c c c
其特征方程为p 2+10p+16=0，故得特征根（即电路的自然频率）为p 1=-2,p 2=-8。

故得零输入响应u c (t)的通解形式为 t
t c e A e A t u 8221)(--+=
又有
t t c
e A e A t u 822182)(----='
故
)82()(8221t
t e A e A C t u C ----=' 即 =
--=---)82(41
)(8221t t e A e A t i V
t
t e A e A 8221221
----
即
t t e A e A t i 8221221
)(--+=
故有 ⎪
⎩⎪⎨⎧=+==+=++0221)0(6)0(2121A A i A A u c 联解得A 1-=8,A 2=-2。

故得
28)(82≥-=--t V
e e t u t t c
又得
4
4
)(8
2≥
-
=
-
=-
-t
A
e
e
dt
du
C
t i t
t
c
2-5图题2-5所示电路，（1）求激励f(t)=δ(t) A时的单位冲激响应u
C
(t)和i(t)；（2）求激励f(t)=U(t) A时对应于i(t)的单位阶跃响应g(t)。

答案
解（1）该电路的微分方程为
)(
)(
)(
)(
2
2
t
f
t i
t i
dt
d
R
L
t i
dt
d
LC=
+
+
代入数据并写成算子形式为
)(
4
)(
4
)()4
5
(2t
t
f
t i
p
pδ
=
=
+
+
故得
=
+
+
=)(
4
5
4
)(
2
t
p
p
t iδ
)(
4
1
3
4
)(
1
1
3
4
)(
4
3
4
1
3
4
t
p
t
p
t
p
p
δ
δ
δ
+
⨯
-
+
⨯
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
-
+
+
故得
A
t U e e t i t t )
(3434)(4⎪⎭⎫
⎝⎛-=--
进一步又可求得u c (t)为
=⎪⎭⎫
⎝⎛+-==--t t c e e dt t di L
t u 43163425.0)()(
V
t U e e t t )
(343
14⎪⎭⎫
⎝⎛+---
（2）因有τ
τδd t U t
⎰∞-=)()(，故根据线性电路的积分性有
τ
τττττd U e e d i t g t t )(3434)()(4⎰⎰∞---∞-⎪⎭⎫
⎝⎛-==
A
t U e e t t )
(313414⎪⎭⎫
⎝
⎛+---
2-6图题2-6所示电路，以u C (t)为响应，求电路的单位冲激响应h(t)和单位阶
跃响应g(t)。

答案
解 电路的微分方程为
)(2232
2t f u uc dt d uc dt d c =++
写成算子形式为
)
(2)()23(2t f t u p p c =++
⑴ 当V t t f )()(δ=时，有)
()(t h t u c =。

故得单位冲击响应为
()()=++=++=
)(212
)(232)(2
t p p t p p t h δδ
=+-=+)(22
)(12t p t p δδ
V t U e e e e t t t t )()(22222-----=-
⑵ 当f(t)=U(t) V 时，有uc(t)=g(t)。

故得
=
-==⎰⎰∞
-∞
---ττττττd U e e d h t g t t
)()(2)()(2
V
t U e e d e e t
)
()12()(220
2+++-=-----⎰τττττ
2-7 求下列卷积积分
（1） t[U(t)-U(t-2)]*δ(1-t); (2) [(1-3t)δ’(t)]*e -3t U(t)
答案
解 ⑴ 原式=[]=-*--)1()2()(t t U t U t δ
[])3()1()1(----t U t U t
⑵ 原式==*'-*'--)()(3)()(33t U e t t t U e t t t δδ
[]
[]{}
=*-'
-'--)()()(3)(33t U e t t t t U e
t t
δδ
)()(3)()(333t t U e t t U e t t δδ=++---
2-8已知信号f 1(t)和f 2(t)的波形如图题2-8(a), (b)所示。

求y(t)=f 1(t)*f 2(t)，
并画出y(t)的波形。

答案
解 (a))1(1)(1-+=t U t f
)1()()
1(2
+=+-t U e t f t 故 =*=)()()(211t f t f t y
[]=+*-++-)1()1(1)1(t U e t u t
⎰⎰∞
∞
-∞
∞
-+-+-=
+--++τττττττd U e t U d U e )1()1()1()1()1(
=
+⎰⎰
--+-∞-+-1
1
)1(1
)
1(t d e d e
ττττ
⎩⎨⎧≥-<=-+--0,2,
0,1)()1(1t e t t U e t
t y 1(t)的波形如图.2.8(c)所示
(b)
)1()(),(sin )(21-==t U t f t tU t f ,故
=-*=*=)1()(sin )()()(212t U t tU t f t f t y
=
--⎰
∞
∞
-ττττd t U U )1()(sin
[])1()1cos(1)1(sin 10---=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰-t U t t U d t ττ y 2(t)的波形如图.2.8(d)所示
2-9图题2-9(a), (b)所示信号，求y(t)=f 1(t)*f 2(t)，并画出y(t)的波形。

答案
解 利用卷积积分的微分积分性质求解最为简便。

⎰∞
-'
t
d f t f τ
τ)()(21和的波形分
别如图2.9 （c ）,(d)所示。

故
⎰∞
-*'=*=t d f t f t f t f t y τ
τ)()()()()(221
y(t)的波形如图题2.9(e)所示.
2-10. 已知信号f 1(t)与f 2(t)的波形如图题2-10(a), (b)所示，试求y(t)=f 1(t)*f 2(t)，并画出y(t)的波形。

答案
解 (a).
[]=-++-*=*=)1()1()()()()(1211t t t f t f t f t y δδ
)1()1(11+++-t f t f y 1(t)的波形如图题2.10(c)所示
(b). =*=)()()(212t f t f t y
[]=-+---*)3()2()1()(1t t t t f δδδ
)3()2()1(111-+---t f t f t f y 2(t)的波形如图题2.10(d)所示
2-11． 试证明线性时不变系统的微分性质与积分性质，即若激励f(t)产生的响
应为y(t)，则激励)(t f dt d 产生的响应为)(t y dt d （微分性质），激励⎰∞-t
d f τ
τ)(产
生的响应为⎰∞
-t
d y τ
τ)(（积分性质）。

答案
解 （1）设系统的单位冲激响应为h(t)，则有
)()()(t h t f t y *=
对上式等号两端求一阶导数，并应用卷积积分的微分性质，故有
)
()()(t f dt d
t h t y dt d *= （证毕
（2） )()()(t h t f t y *=
对上式等号两端求一次积分，并应用卷积积分的积分性质，故有
⎰⎰∞-∞-*=t
t d f t h d y τ
τττ)()()(
（证毕）
2-12. 已知系统的单位冲激响应h(t)=e -t U(t)，激励f(t)=U(t)。

（1）. 求系统的零状态响应y(t)。

（2）.如图题2-12(a), (b)所示系统，
[][])()(21)(,)()(21
)(21t h t h t h t h t h t h --=-+=
求响应y 1(t)和y 2(t)
（3）. 说明图题2-12(a), (b)哪个是因果系统，哪个是非因果系统。

答案
解 （1）
)()()()()(t U t U e t f t h t y t
*=*=-
)()1()(t U e t y t
--= (2) []=-*=)()()()(211t h t h t f t y
[][]=
⎭⎬⎫⎩⎨⎧----+*+)()(21)()(21)(t h t h t h t h t U
⎩⎨
⎧≥<=-*=-*0,10
,)()()()(t t e t U e t U t h t U t t
[]=+*=)()()()(212t h t h t f t y
[][]=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧--+-+*)()(21)()(21)(t h t h t h t h t U
)()1()()(t U e t h t U t
--=* （3）因f(t)=U(t)为因果激励，但 y 1(t)为非因果信号，y 2(t)为因果信号，故
图题2.12(a)为非因果系统，图题2.12(b)为因果系统。

2-13. 已知激励
)()(5t U e t f t
-=产生的响应为)(sin )(t tU t y ω=，试求该系统的单位冲激响应h(t)。

答案
解 因有y(t)=f(t)*h(t)，即
)(*)()(sin 5t h t U e t tU t
-=ω 对上式等号两端同时求一阶导数，并应用卷积积分的微分性质有
[]=+-=-)(*)()(5)(cos 5t h t t U e t tU t
δωω
=+--)()(*)(55t h t h t U e t )()(sin 5t h t tU +-ω 故得系统的单位冲激响应为
)()cos sin 5()(t U t t t h ωωω+=
2-14. 已知系统的微分方程为)()(2)(3)(t f t y t t y =+'+''。

（1）. 求系统的单位冲激响应h(t)；
（2）. 若激励
)()(t U e t f t
-=，求系统的零状态响应y(t)。

答案
解 （1）其算子形式的微分方程为
()
)()(232
t f t y p p
=++
故得
)(231
)(2
t f p p t y ++=
当)()(t t f δ=时，则有)()(t h t y =。

故上式变为
=
+-++=++=
)()21
11()()2)(1(1)(t p p t p p t h δδ
)
()()(21
)(112t U e e t p t p t t ---=+-+δδ
（2）零状态响应为
=*-=*=---)()()()()()(2t U e t U e e t f t h t y t
t t
)()(21t U te e e t t t ---++-
2-15. 图题2-15所示系统，其中h 1(t)=U(t)(积分器)，h 2(t)=δ(t -1)（单位延时器），h 3(t)=-δ(t)（倒相器），激励f(t)=e -t U(t)。

（1）. 求系统的单位冲激响应h(t)； （2）. 求系统的零状态响应y(t)。

答案
解 （1）当)()(t t f δ=时，)()(t h t y =， 故
=
*+=)()()()(321t h t h t h t h
[])1()()()1()(--=-*-+t t U t t t U δδδ
（2）
[]=--*=*=-)1()()()()()(t t U t U e t h t f t y t
δ
=-*-*--)1()()()(t t U e t U t U e t
t δ
)1()()1()1(-------t U e t U e t t
2-16. 已知系统的微分方程为
)(3)(3)()(2)(22t f t f dt d
t f dt d t y t y dt d ++=+
求系统的单位冲激响应h(t)和单位阶跃响应g(t)。

答案
解 （1）系统算子形式的微分方程为
)()33()()2(2
t f p p t y p ++=+
故 )
(233)(2t f p p p t y +++=
当)()(t t f δ=时，)()(t h t y =故得单位冲激响应为
=
+++=+++=)()21
1()(233)(2t p p t p p p t h δδ
)()()(2t U e t t t
-++'δδ （2）系统的阶跃响应为
)
()()21
1()()(2t t U e d h t g t t
δττ+-==-∞-⎰
2-17. 图题2-17所示系统，h 1(t)=h 2(t)=U(t)，激励f(t)=U(t)-U(t-6π)。

求系统的单位冲激响应h(t)和零状态响应y(t)，并画 出它们的波形。

答案
解 （1）.求单位冲激响应h(t)。

由图题2.17(a)得 [])()()()()(12t y t h t h t y t f =**- 即 [])()()()()(t y t U t U t y t f =**- 即 )()()()()()(t y t U t U t y t U t f =**-* 对上式等号两端求一阶导数有
)()()()()()(t y t U t t y t t f '=*-*δδ 即 )()()()(t y t U t y t f '=*- 再求一阶导数有 )()()()(t y t t y t f ''=*-'δ 故得系统的微分方程 )()()(t f t y t y '=+''
写成算子形式为 )()()1(2
t pf t y p =+
故得 )(1)(2
t f p p
t y +=
当)()(t t f δ=时，有y(t)=h(t)。

故得单位冲激响应为 )(cos )(t tU t h = h(t)的波形如图题2.17(b)所示 （2）.系统的零状态响应为
[]=*--=*=)(cos )6()()()()(t tU t U t U t h t f t y π =*--*)(cos )6()(cos )(t tU t U t tU t U π =*--*)(cos )6()(cos )(t tU t U t tU t U π
[]
⎰
⎰
---=-t
t t U t U t d d 0
60
)6()(sin cos cos π
πττττ
y(t)的波形如图题2.17（c ）所示。

2-18. 图题2-18(a)所示系统，已知)
(21
)(4t U e t h t A -=，子系统B 和C 的单位阶跃响应分别为
)
(2)(),()1()(3t U e t g t U e t g t c t B --=-=。

（1） 求整个系统的单位阶跃响应g(t)；
（2） 激励f(t)的波形如图题2-18(b)所示，求大系统的零状态响应y(t)。

答案
解 （1）系统B 的单位冲激响应为
[]
)()()1()()(t U e t U e dt d t g dt d t h t t B B --=-==
设系统C 的单位冲激响应为h C (t)。

故大系统的单位冲激响应为
[]
)()()()(t h t h t h t h B A c +*=
故大系统的单位阶跃响应为
[]=
+*==⎰∞
-)()()()()(t h t h t g d h t g B A c t
ττ
=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+*---)()(21)(243t U e t U e t U e t t t
=*+*----)()(2)()(343t e t U e t U e t U e t
t t t
)()(4t U e e t t --- （查卷积积分表） （2） 激励f(t)的函数表达式为
)4(2)4()2(2)()(-+-+--=t t U t U t U t f δ 大系统的单位冲激响应为
[]
=-=-==
----)()()()()()(44t U e t U e dt d t U e e dt d t g dt d t h t t
t t
)()4()(4)()()(44t U e e t U e t t U e t t
t t t -----=+--δδ 故零状态响应为
⎰∞
-=
'*=*=t
t f d h t f t h t y )()()()()(ττ
[]=-'+-+--*)4(2)4()2(2)()(t t t t t g δδδδ
[]
+----------)2(2)()()2(4)2(4t U e e t U e e t t t t []
)4(7)4()
4(4------t U e e
t t
2-19. 已知系统的单位阶跃响应为g(t)=(1-e t
2-)U(t)，初始状态不为零。

（1）若激励f(t)=e t
-U(t)，全响应y(t)=2e t
-U(t)，求零输入响应y x (t)；
（2） 若系统无突变情况，求初始状态y x (0-)=4，激励f(t)=δ′(t)
时的全响应y(t)。

答案
解 （1）.系统的单位冲激响应为
)(2)()(2t U e t g t h t
-='= 故零状态响应为
)
()(2)(2)()()()(22t U e e t U e t U e t h t f t y t t t t f -----=*=*=
故得系统的零输入响应为
=
-=)()()(t y t y t y f x
)(2)(2)(2)(222t U e t U e t U e t U e t t t t ----=+- 故得系统的初始状态为
2
)0()0(==+-x x y y
（2）.当)()(t t f δ'=的零状态响应为
)
(4)(2)()()()()()(2t U e t t h t h t t h t t y t f --='='*=*'=δδδ
根据零输入响应的线性性质，当y x (0-)=4的零输入响应为
[]
)
(4)(22)(22t U e t U e t y t t x --==
故得激励)()(t t f δ'=，初始状态4)0(=-x y 时的全响应为
)
(2)(4)(4)(2)()()(22t t U e t U e t t y t y t y t t x f δδ=+-=+=--
2-20. 已知系统的微分方程为)()(2)(t f t y t y =+',系统的初始状态
2)0(=-y .(1)求激励)()(1t U e t f t -=时的全响应)(1t y ;(2)求激励)(5)(2t U e t f t -=时的全响应)(2t y .
答案
解 将微分方程写成算子形式为
)()()2(t f t y p =+
故 )(21
)(t f p t y +=
(1) 求系统的零输入响应
)
(t y x .系统的特征方程为02=+p ,故特征根为
2-=p .故得零输入响应的通解形式为
t
x Ae t y 2)(-=
故 2
)0()0(===--A y y x
故得系统的零输入响应为
)
(2)(2t U e t y t x -=
(1) 求激励
)()(1t U e t f t
-=时的零状态响应)(t y f .当激励)()(1t t f δ=时,有)()(t h t y =,故得单位冲激响应为
)()(21
)(2t U e t p t h t -=+=
δ
故得系统的零状态响应为
)
()()()()()()(221t U e e t U e t U e t h t f t y t t t t f -----=*=*=
故得系统的全响应为
=
-+=+=---)()()(2)()()(221t U e e t U e t y t y t y t t t f x
)()(2t U e e
t t
--+
(1) 激励
)(5)(2t U e t f t
-=时的零状态响应为 )
()(5)(2t U e e t y t t f ---=
故得此时系统的全响应为
=
-+=+=---)()(5)(2)()()(222t U e e t U e t y t y t y t t t f x
)()35(2t U e e t
t --- 2-21. 已知系统的微分方程为 )(3)()(2)(3)(t f t f t y t y t y +'=+'+'' 系统
零输入响应的初始值为1)0(=+x y ,2)0(='+x y ，激励
)()(3t U e t f t -=.试求系统的全响应y(t),并求全响应的初始值y(0+).
答案
解 （1）求零输入响应y x (t)。

将微分方程写成算子形式为
)()3()()23(2t f p t y p p +=++ 故 )
(233
)(2t f p p p t y +++=
系统的特征方程为
0232
=++p p 故得特征根为p 1=-1,p 2=-2。

故得零输入响应
)
(t y x 的通解形式为
t
t x e A e A t y 221)(--+=
又
t t
x e A e
A t y 2212)(----='
故有 ⎪⎩⎪⎨⎧=--='=+=++22)0(1)0(2121A A y A A y x x
联解得41=A ,32-=A 。

故得零输入响应为
)
()34()(2t U e e t y t t x ---=
(2) 求单位冲激响应h(t)
=+++=+++=
)()2)(1(3)(233)(2
t p p p t p p p t h δδ
)
()2()(21
)(122t U e e t p t p t t ---=+-++δδ
（2） 求零状态响应y f (t).
[]
=-*=*=---)(2)()()()(223t U e e t U e t h t f t y t t t f
=*-*----)()()(2)(233t U e t U e t U e t U e t t t t
=
-+------)()()())(21
(2233t U e e t U e e t t t t
)()(2t U e e t
t --- （2） 全响应为
=
+=)()()(t y t y t y f x
=-+-----)()()()34(22t U e e t U e e t t t t
)()45(2t U e e t t ---
（2） 全响应)(t y 的初始值为
1)0(=+
y 。

全响应)(t y 的一阶导数为
)()85()(2t U e e t y t
t --+-=' 故 385)0(=+-='+
y
第三章 习 题
3.1 图题3.1所示矩形波，试将此函数)(t f 用下列正弦函数来近似
nt C t C t C t f n sin 2sin sin )(21+⋯++=。

t
图题3.1
答案
任一函数在给定的区间内可以用在此区间的完备正交函数集表示，但若只取函数集中的有限项，或者正交函数集不完备，则
只能得到近似的表达式。

⎰⎰-
-
=π
ππ
π
ntdt ntdt t f C n
2
sin sin )(
由于分母与分母中的被积函数在区间),(ππ-内是偶函数，故有
[]
1)1(2
2sin 2121cos 1
sin sin 0
20
--=
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=
-=⎰⎰n n n nt t nt n ntdt ntdt
C π
ππ
ππ
故得
⋯=-
==-
=,0,34
,0,4
4321C C C C ππ
3.2 求图题3.2（a ）所示周期锯齿波)(t f 的傅里叶级数。

t
(a)
图题 3.2
答案
将)(t f 求导得)('t f ，)('
't f 的波形分别如图3.2（b ），（c ）所示。

图题 3.2
t
(b)
(c)
t
于是得)('
't f 的傅立叶系数为
⎰⎰--Ω-Ω-•
=
-==Ω2222
'''2)(2
)(2)(T T T
T t jn t jn dt e t T dt e t f T jn A δ
[]
⎰⎰⎰---⨯Ω-⨯Ω-=Ω--=Ω+-2222'220'0)(2)(2)()(2T T T
T T
T jn jn dt t T jn dt t T dt t e jn t e T δδδδ
T jn T jn Ω
-=Ω-
220
故得)(t f 的傅立叶系数为
ππjn jn T jn jn T jn jn jn A A n 1222)(2)()(2
22-=
-=Ω-=ΩΩ
-=ΩΩ=•
• )0(≠n
11
2)(2000===
⎰⎰T T tdt T T dt t f T A
于是得)(t f 的傅立叶级数为
∑∑∑∞≠-∞=Ω∞≠-∞=Ω•∞-∞=Ω-+=+==0
0)1(212121221)(n n t
jn n n t jn n n t
jn n e jn e A A e A t f π
∑∞=Ω-=⋯+Ω+Ω+Ω-=1sin 1
121)3sin 312sin 21(sin 121n t n n t t t ππ
3.3 求图题3.3（a ）所示信号)(t f 的傅里叶级数。

t
(a)
图题 3.3
答案
： )('t f ，)(''t f 的波形如图3.3(b),(c)所示。

于是得)('
't f 的傅立叶系数为
图题 3.3
t
t
(b)
⎰
⎰=
--Ω-=
ΩΩ-•
⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=Ω22
22'
2''2)2()2(2)(22)(2
)(T T T
T
t jn T
t
jn dt e T t T t T t T T dt
e
t f T
jn A δδδπ
n
n T jn T T )
1(2)1(44 22-Ω---=
故得)(t f 的傅立叶系数为
[]
0 )1(1)1(1)()(2
222≠-+--=ΩΩ=
•
•
n n j n jn jn A A n n
n ππ
又
21
22)(22000=
==⎰⎰T
T tdt T T dt t f T A
故得)(t f 的傅立叶级数为
∑∞≠-∞
=Ω•+=0
0212)(n n t jn n e
A A t f
3.4 求图题3.4(a)所示信号)(t f 的傅里叶级数，s T 1=。

t
图题 3.4(a)
答案
)('t f ，)(''t f 的波形如图题3.4（b ）,(c)所示。

于是得)('
't f 的傅立叶系数为
图题 3.4
t
(b)
t
(c)
[]
dt
e t
f t E T dt e t f T jn A t jn T
T
T t jn Ω--Ω-•
⎰⎰--==Ω0
222''1)()(22)(2)(πδπ
n t jn T T t jn A T E dt e t f T dt e t E T •Ω-Ω--=-=⎰⎰--2
0204)(2)(22 πππδπ
其中
dt e t f T A t
jn T n Ω-•
⎰-=
0)(2
为)(t f 的傅立叶系数。

故)(t f 的傅立叶n A •
系数可求得如下：
n
n A T E jn A A jn ••
•
-=Ω=Ω2
224)()(ππ
即
[]
T E A jn n ππ
4)(2
2
=
Ω+•
今
s T 1=
故
ππ
22==
ΩT
代入上式得
[]E A
n
n
πππ
442
22
=-•
故得
)14(42--
=•
n E
A n π
于是得)(t f 的傅立叶级数为
∑∑∑∞
∞-∞∞-∞∞-Ω•--=--==t
jn t jn t jn n e n E e n E e A t f ππππ2222)14(2)14(42121)(
3.5 设)(t f 为复数函数，可表示为实部)(t f r 与虚部)(t f i 之和，即
)()()(t jf t f t f i r +=，且设)()(ωj F t f ⇔。

证明：
[]⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-+=•)()(21)(ωωj F j F t f F r
[]⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--=•)()(21)(ωωj F j F j t f F i
其中
⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡=-••
)()(t f F j F ω
答案 因
(1) )()()(t jf t f t f i r +=
故
(2) )()()(t jf t f t f i r -=•
式（1）+式（2）得
⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡+=•)()(21)(t f t f t f r
式（1）-式（2）得
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=•)()(21)(t f t f j t f i
故得
[]⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-+=•)()(21)(ωωj F j F t f F r
[]⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--=•)()(21)(ωωj F j F j t f F i
3.6 求图题3.6所示信号)(t f 的)(ωj F 。

t
图题3.6
答案
=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
-=-=--2
2
2
2
)2(
)2
(
)2
(
)(τω
τω
τω
τω
ωττωτ
τωτ
τωj j j j e
e
Sa A e
Sa A e
Sa A j F。