2019河南中考数学专题训练—类比、拓展探究题

类比、拓展探究题1.如图①，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝2，∠A ＝30°，点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，连接EF .(1)发现线段BE 与AF 的位置关系是______，AF BE ＝______；(2)探究如图②，当△CEF 绕点C 顺时针旋转α(0°＜α＜180°)时，连接AF ，BE ，(1)中的结论是否仍然成立，请说明理由；(3)延伸如图③，当△CEF 绕点C 顺时针旋转α(0°＜α＜180°)时，延长FC 交AB 于点D ，若AD ＝6－23，直接写出旋转角α的度数．第1题图1.解：(1)BE ⊥AF ，3；【解法提示】∵∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC ，∴线段BE 与AF 的位置关系是BE ⊥AF ；∵∠ACB ＝90°，BC ＝2，∠A ＝30°，∴AC ＝BC tan 30°＝23，∵点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，∴AF BE ＝AC BC ＝ 3.(2)(1)中结论仍然成立．理由如下：如解图①，延长BE 交AC 于点O ，交AF 于点M ，∵点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，∴EC ＝12BC ，FC ＝12AC ，∴EC BC ＝FC AC ＝12，第1题解图①∵∠BCE ＝∠ACF ＝α，∴△BEC ∽△AFC ，∴AF BE ＝AC BC ＝1tan 30°＝3，∠1＝∠2， ∵∠BOC ＝∠AOM ，∴∠AMO ＝∠BCO ＝90°，∴BE ⊥AF ；(3)135°.【解法提示】如解图②，过点D 作DH ⊥BC 于点H ，∵∠ACB ＝90°，BC ＝2，∠A ＝30°，第1题解图②∴AB ＝4，∠B ＝60°，∴DB ＝4－(6－23)＝23－2，∴BH＝DB·cos60°＝3－1，DH＝DB·sin60°＝3－3，又∵CH＝2－(3－1)＝3－3，∴CH＝DH，∴∠HCD＝45°，∴∠DCA＝45°，∴α＝180°－45°＝135°.2.如图所示，△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°.探究发现(1)如图①，点E在AB上，点D与点C重合，点F为线段BD的中点，则线段EF与FC的数量关系是EF＝FC；∠EFD的度数为90°．问题应用(2)如图②，在图①的基础上，将△ADE绕A点旋转到如图②所示的位置，其中点D、A、C在一条直线上，F为线段BD的中点，则线段EF与FC是否存在某种确定的数量关系和位置关系？证明你的结论．拓展延伸(3)若△ADE绕A点任意旋转一个角度到如图③的位置，连接BD，点F 为线段BD的中点，且EF＝6，请直接写出FC的长．第2题图2.解：(1)EF＝FC；90°；(2)EF＝FC，EF⊥FC，证明如下：如解图①，延长CF到点M，使CF＝FM，连接DM、ME、EC，第2题解图①∵F 为BD 的中点，∴DF ＝FB ，在△BFC 和△DFM 中，⎩⎪⎨⎪⎧FC ＝FM ∠BFC ＝∠DFM BF ＝DF， ∴△BFC ≌△DFM (SAS)，∴DM ＝BC ，∠MDB ＝∠FBC ，∴MD ＝AC ，MD ∥BC ，∴∠MDC ＝∠BCA ＝90°，∴∠MDE ＝∠CAE ＝135°，在△MDE 和△CAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧MD ＝CA ∠MDE ＝∠CAE DE ＝AE， ∴△MDE ≌△CAE (SAS)，∴ME ＝CE ，∠MED ＝∠CEA ，∴∠MEB ＋∠CEA ＝∠MED ＋∠MEB ＝90°，∴∠MEC ＝90°，又∵F 为CM 的中点，∴EF ＝FC ，EF ⊥FC ；(3)FC ＝6.【解法提示】如解图②，延长CF 到点M ，使CF ＝FM ，连接ME 、EC ，连接DM 交AE 于点G ，交AC 于点H ，∵F 为BD 的中点，∴DF ＝FB.第2题解图②在△BFC 和△DFM 中，⎩⎪⎨⎪⎧FC ＝FM ∠BFC ＝∠DFMBF ＝DF，∴△BFC ≌△DFM (SAS)，∴DM ＝BC ，∠MDB ＝∠CBF ，∴MD ＝AC ，HD ∥BC ，∴∠AHG ＝∠BCA ＝∠DEG ＝90°，又∵∠AGH ＝∠DGE ，∴∠MDE ＝∠CAE ，在△MDE 和△CAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧MD ＝CA∠MDE ＝∠CAEDE ＝AE，∴△MDE ≌△CAE (SAS)，∴ME ＝CE ，∠MED ＝∠CEA ，∴∠CEA －∠AEM ＝∠MED －∠AEM ＝∠AED ＝90°，∴∠MEC ＝90°，又∵F 为CM 的中点，∴EF ＝FC ，EF ⊥FC .∴FC ＝6.3.已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，连接BE ，CD ，点F ，G ，H 分别为DE ，BE ，CD 中点．(1)观察猜想当△ADE 绕点A 旋转时，如图①.填空：①线段GF 、FH 之间的数量关系为GF ＝FH ；②∠GFH ＝60°；(2)问题解决在△ADE 旋转的过程中，当B ，D ，E 三点共线时，如图②，若AB ＝3，AD ＝2，求线段FH 的长；(3)拓展延伸在△ADE 旋转的过程中，若AB ＝a ，AD ＝b (a ＞b ＞0)，请直接写出△FGH 周长的最大值和最小值．第3题图3.解：(1)①60°；②GF ＝FH ；【解法提示】如解图①所示，连接BD 、CE ，并延长BD 交CE 于M ，设BM 交FH 于点O ，第3题解图①∵△ABC 和△ADE 均为等边三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，∴BD ＝CE ，∠ADB ＝∠AEC .∵EG ＝GB ，EF ＝FD ，∴FG ＝12BD ，GF ∥BD .∵DF ＝EF ，DH ＝HC ，∴FH ＝12EC ，FH ∥EC ，∵BD ＝CE ，∴FG ＝FH .∵∠ADB ＋∠ADM ＝180°，∴∠AEC ＋∠ADM ＝180°，∴∠DME ＋∠DAE ＝180°，∴∠DME ＝120°，∴∠BMC ＝60°，∴∠GFH ＝∠BOH ＝∠BMC ＝60°；(2)如解图②所示，连接AF 、EC ，第3题解图②∵DF ＝EF ，AD ＝AE ，∴AF ⊥DE ，在Rt △AEF 中，AE ＝2，EF ＝DF ＝1，∴AF ＝22－12＝3，在Rt △ABF 中，BF ＝AB 2－AF 2＝6，由(1)知BD ＝CE ＝BF －DF ＝6－1，∴FH ＝12EC ＝6－12；(3)△FGH 的周长的最大值为32(a ＋b )，最小值为32(a －b )．【解法提示】由(1)可知，△GFH 是等边三角形，GF ＝12BD ，∴△GFH的周长＝3GF ＝32BD ，∵AB ＝a ，AD ＝b ，∴BD 的长的最大值为a ＋b ，最小值为a －b ，∴△FGH 的周长的最大值为32(a ＋b )，最小值为32(a －b )．4.如图①，在等腰Rt △ABC 和等腰Rt △EDB 中，AC ＝BC ，DE ＝BD ，∠ACB ＝∠EDB ＝90°，P 为AE 的中点．(1)观察猜想连接PC 、PD ，则线段PC 与PD 的位置关系是________，数量关系是________；(2)探究证明如图②，当点E 在线段AB 上运动时，其他条件不变，作EF ⊥BC 于F ，连接PF ，试判断△PCF 的形状，并说明理由；(3)拓展延伸在点E 的运动过程中，当△PCF 是等边三角形时，直接写出△ACB 与△EDB 的两直角边之比．第4题图4.解：(1)PC ⊥PD ，PC ＝PD ；【解法提示】如解图①，过点E 作EF ⊥BC 于F ，过点P 作PH ⊥BC 于H ，连接PF ，易得四边形EFBD 是正方形，∴EF ＝ED ，∠DEB ＝∠FEB ＝45°，∴∠PEF ＝∠PED ，在△PEF 和△PED中，⎩⎪⎨⎪⎧EF ＝ED ∠PEF ＝∠PED PE ＝PE，∴△PEF ≌△PED (SAS)，第4题解图①∴PF＝PD，∠EPF＝∠EPD，∵AC∥PH∥EF，点P为AE的中点，∴点H是FC的中点，∴CH＝HF，又PH⊥BC，∴PC＝PF，故△PCF是等腰三角形，∴∠CPH＝∠FPH，∴PC＝PD；∵∠HPB＝∠HPF＋∠EPF＝45°，∴∠CPD＝∠CPH＋∠HPF＋∠EPF＋∠EPD＝2(∠HPF＋∠EPF)＝90°，∴PC⊥PD.第4题解图②(2)△PCF为等腰三角形，理由如下：如解图②，过点P作PH⊥BC于点H，则AC∥PH∥EF，∵P为AE的中点，∴点H是FC的中点，∴CH＝HF，又PH⊥BC，∴PC＝PF，∴△PCF为等腰三角形；(3)3＋2.【解法提示】如解图③，过点E作EF⊥BC于点F，过点P作PH⊥BC 于点H，由(1)知，四边形BDEF为正方形，设EF＝BF＝BD＝x，HF＝y，第4题解图③∵△PCF 是等边三角形，∴PH ＝3y ，∵PH ∥EF ，∴△BEF ∽△BPH ，∴EF PH ＝BF BH ，即x 3y ＝x x ＋y， 解得y ＝3＋12x ，∴BC ＝x ＋2y ＝(3＋2)x ，∴BC BD ＝（3＋2）x x＝3＋2. ∴△ACB 与△EDB 的两直角边之比为3＋2.5.在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD 与边长为22的正方形AEFG 按图①位置放置，AD 与AE 在同一条直线上，AB 与A G 在同一条直线上．(1)小明发现DG ⊥BE ，请你帮他说明理由；(2)如图②，小明将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转，当点B 恰好落在线段DG 上时，请你帮他求出此时BE 的长；(3)如图③，小明将正方形ABCD 绕点A 继续逆时针旋转，线段DG 与线段BE 相交，交点为H ，写出△GHE 与△BHD 面积之和的最大值，并简要说明理由．图①图②图③第5题图5.解：(1)如解图①，延长EB交DG于点H，第5题解图①∵四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE，∴△ADG≌△ABE(SAS)，∴∠AGD＝∠AEB.在△ADG中，∠AGD＋∠ADG＝90°，∴∠AEB＋∠ADG＝90°.∴∠DHE＝180°－∠AEB－∠ADG＝90°，即DG⊥BE；(2)如解图②,∵四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝∠GAE＝90°，AG＝AE，∴∠DAB＋∠BAG＝∠GAE＋∠BAG，∴∠DAG＝∠BAE.∵AD＝AB，∠DAG＝∠BAE，AG＝AE.∴△ADG ≌△ABE(SAS)，∴DG＝BE.过点A作AM⊥DG于点M，第5题解图②∴∠AMD ＝∠AMG ＝90°，∵BD 是正方形ABCD 的一条对角线，∴∠MDA ＝45°.在Rt △AMD 中，∵∠MDA ＝45°，AD ＝2，∴DM ＝2，AM ＝2， 在Rt △AMG 中，∵AM 2＋GM 2＝AG 2，∴GM ＝22AM AG -＝22)2()22(-，∴GM ＝ 6.∵DG ＝DM ＋GM ＝2＋6，∴BE ＝DG ＝2＋6；(3)△GHE 与△BHD 面积之和的最大值为6.理由：对于△EGH ，由于线段GE 是固定的，且BE ⊥DG ，故可得点H 在以EG 为直径的圆上，当点H 与点A 重合时，△EGH 中GE 边上的高最大为外接圆半径即12 GE .同理对于△BDH ，点H 在以BD 为直径的圆上，当点H 与点A 重合时，△BDH 中BD 边上的高最大为外接圆半径，即12BD ，∴△GHE 与△BHD 面积之和的最大值是12S 正方形ABCD ＋12S 正方形AEFG＝12×22＋12×(22)2＝2＋4＝6.6.已知四边形ABCD 是菱形，AB ＝4，∠ABC ＝60°，∠EAF 的两边分别与线段CB ，DC 相交于点E ，F ，且∠EAF ＝60°.(1)如图①，当点E 是线段CB 的中点时，直接写出线段AE ，EF ，AF之间的数量关系；(2)如图②，当点E 是线段CB 上任意一点时(点E 不与点B 、C 重合)，求证：BE ＝CF ；(3)如图③，当点E 在线段CB 的延长线上，且∠EAB ＝15°时，直接写出点F 到BC 的距离．第6题图6.(1)解：AE ＝EF ＝AF ；【解法提示】如解图①，连接AC ，第6题解图①∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∴∠BCD ＝120°，∴∠ACE ＝∠ACF ＝60°，∴AB ＝BC ＝AC ，即△ABC 为等边三角形，又∵∠BAC ＝∠1＋∠2＝60°，∠EAF ＝∠2＋∠3＝60°，∴∠1＝∠3，在△ABE 和△ACF 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠1＝∠3 AB ＝AC ∠ABE ＝∠ACF，∴△ABE ≌△ACF (ASA)， ∴AE ＝AF ，又∵∠EAF ＝60°，∴△AEF 为等边三角形，∴AE ＝EF ＝AF ；(2)证明：如解图②，连接AC ，由(1)知，AB ＝AC ，∠ACF ＝60°，第6题解图②∵∠BAC ＝∠4＋∠5＝60°，∠EAF ＝∠5＋∠6＝60°，∴∠4＝∠6，在△ABE 和△ACF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠4＝∠6AB ＝AC ∠ABE ＝∠ACF，∴△ABE ≌△ACF (ASA)， ∴BE ＝CF ；(3)解：点F 到BC 的距离为3－ 3.【解法提示】由(2)知，BE ＝CF ，如解图③，过点A 作AG ⊥CE 于点G ，过点F 作FH ⊥CE 于点H ，第6题解图③∵∠EAB ＝15°，∠ABC ＝60°，∴∠BAG ＝90°－∠ABC ＝30°，∴∠EAG ＝15°＋30°＝45°，∴△AEG 为等腰直角三角形，又∵AB ＝4，∴AG ＝AB ·cos ∠BAG ＝4×32＝23，∴BG＝AB2－AG2＝42－（23）2＝2，∵EG＝AG＝23，∴BE＝EG－BG＝23－2，∴CF＝23－2，∵FH⊥CE，∴∠FCH＝180°－∠BCD＝60°，∴FH＝CF·sin∠FCH＝(23－2)×32＝3－3，∴点F到BC的距离为3－ 3.7.已知在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF 交于点G.(1)如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：DECF＝ADCD；(2)如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得DECF＝ADCD成立？并证明你的结论；(3)如图③，若BA＝BC＝6，DA＝DC＝8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，求DECF的值．第7题图7.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形,∴∠A＝∠FDC＝90°，∴∠ADE＋∠GDC＝90°，∵DE⊥CF，∴∠DCG＋∠GDC＝90°，∴∠ADE＝∠DCF，∴△AED∽△DFC，∴DE CF ＝AD DC ；(2)解：当∠B ＋∠EGC ＝180°时，DE CF ＝AD CD 成立，证明：如解图①，在AD 上取点M ，且M 点不与F 点重合，使CM ＝CD ，第7题解图①∵四边形ABCD 是平行四边形，AB =CD ，AD ∥BC ，∴CM ＝AB ，∴四边形ABCM 是等腰梯形，∴∠AMC ＝∠A ，∵∠B ＋∠EGC ＝180°，∴∠BCG ＋∠BEG ＝180°，又∵∠AED ＋∠BEG ＝180°，∴∠AED ＝∠BCG ，∵AD ∥BC ，∴∠MFC ＝∠BCG ，∴∠MFC ＝∠AED ，∴△AED ∽△MFC ，∴DE CF ＝AD MC ，即DE CF ＝AD CD ；(3)解：如解图②，过点C 作CH ⊥AD 于点H ，连接AC ，BD 交于点O ，第7题解图②∵∠BAD ＝90°，DE ⊥CF ，∴∠AED ＋∠AFG ＝360°－180°＝180°，又∵∠CFH ＋∠AFG ＝180°，∴∠AED ＝∠CFH ，又∵∠DAE ＝∠CHF ＝90°，∴△AED ∽△HFC ，∴DE CF ＝AD HC ，由题意可知△ABD ≌△CBD ，故可知AC ⊥BD ，在Rt △ABD 中，AB ＝6，AD ＝8，∴BD ＝10，∵sin ∠ADB ＝AB BD ＝AO AD ，∴AO ＝AB ·AD BD ＝6×810＝245，∴AC ＝2AO ＝485，DO ＝AD 2－AO 2＝325，根据等面积法：S △ACD ＝12OD ·AC ＝12HC ·AD ，∴HC ＝OD ·AC AD ＝325×4858＝19225，∴DE CF ＝AD HC ＝819225＝2524.8.在正方形ABCD 中，BD 是一条对角线，点E 在直线CD 上(与点C ，D 不重合)，连接AE ，平移△ADE ，使点D 移动到点C ，得到△BCF ，过点F 作FG ⊥BD 于点G ，连接AG ，EG .(1)问题猜想：如图①，若点E 在线段CD 上，试猜想AG 与EG 的数量关系和位置关系；(2)类比探究：如图②，若点E 在线段CD 的延长线上，其余条件不变，小明猜想(1)中的结论仍然成立，请你给出证明；(3)解决问题：若点E 在线段DC 的延长线上，且∠AGF ＝120°，正方形ABCD 的边长为2，请在备用图中画出图形，并直接写出DE 的长度．第8题图8.(1)解：由平移得EF ＝CD ＝AD ，∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ADB ＝∠CDB ＝45°，∵FG ⊥BD ，∴∠DGF ＝90°，∴∠GFD ＋∠CDB ＝90°，∴∠DFG ＝45°，∴GD ＝GF ，在△AGD 和△EGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧ AD ＝EF ∠ADG ＝∠EFG DG ＝FG， ∴△AGD ≌△EGF (SAS)，∴AG ＝EG ，∠AGD ＝∠EGF ，∴∠AGE ＝∠AGD ＋∠DGE ＝∠EGF ＋∠DGE ＝90°，∴AG ⊥EG ；(2)证明：由平移得EF ＝CD ＝AD ，∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ADB ＝∠CDB ＝45°，∵FG ⊥BD ，∴∠DGF ＝90°，∴∠GFD ＋∠CDB ＝90°，∴∠DFG ＝45°，∴GD ＝GF ，在△AGD 和△EGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧ AD ＝EF ∠ADG ＝∠EFG DG ＝FG， ∴△AGD ≌△EGF (SAS)，∴AG ＝EG ，∠AGD ＝∠EGF ，∴∠AGE ＝∠AGD －∠DGE ＝∠EGF －∠DGE ＝90°，∴AG ⊥EG ；(3)解：画出图形如解图，DE ＝2 3.第8题解图【解法提示】同(1)可得，AG ＝EG ，AG ⊥EG ，∴∠GEA ＝45°，∵∠AGF ＝120°，∴∠AGB ＝∠EGF ＝30°，又∵∠GFD ＝45°，∴由外角性质得∠CEG ＝∠EFG ＋∠EGF ＝75°，∴∠AED ＝∠CEG －∠GEA ＝30°，在Rt △ADE 中，AD ＝2，∴DE ＝2 3.9. (1)【感知】如图①，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在AB 、BC 边上，且AD＝BE，连接AE、CD交于点M.填空：①线段AE、CD之间的数量关系是________；②∠EMC＝________；(2)【探究】如图②，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BA、CB的延长线上，且AD＝BE，延长EA交CD于点M，请判断线段AE、CD之间的数量关系及求∠EMC的度数，并说明理由；(3)【拓展】如图③，在△ABC中，AB＝AC，F是AC上一点，且∠1＝∠2，点D、E分别在BA、FB的延长线上，且AD＝BE，若AF＝32CF＝2BE，S△ABF＝6，直接写出S△BCD的值．第9题图9.解：(1)①AE＝CD；②60°；【解法提示】①在等边△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，∵AD＝BE，∴△ADC≌△BEA(SAS)，∴AE＝CD；②∵△ADC≌△BEA，∴∠ADC ＝∠BEA ，∵在△ABE 中，∠BAE ＋∠ABE ＋∠BEA ＝180°，在△AMD 中，∠DMA ＋∠ADM ＋∠BAE ＝180°，∴∠DMA ＝∠ABE ＝60°，∴∠EMC ＝∠DMA ＝60°.(2)AE ＝CD ，∠EMC ＝60°，理由如下：在等边△ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC ＝∠BAC ＝60°， ∴∠ABE ＝∠DAC ＝120°，∵AD ＝BE ，∴△ADC ≌△BEA(SAS)，∴CD ＝AE ，∠ADC ＝∠BEA ，∵∠EAB ＝∠DAM ，∠ABC ＝∠BEA ＋∠EAB ＝60°，∴∠EMC ＝∠ADC ＋∠DAM ＝60°；(3)13.【解法提示】∵∠1＝∠2，∴AF ＝BF ，∠DAC ＝∠EBA ，∵AD ＝BE ，AC ＝AB ，∴△ADC ≌△BEA (SAS)，∴S △ADC ＝S △BEA ，∵AF ＝2BE ，AF ＝BF ，∴BF ＝2BE ，∴S △ABE ＝12S △ABF ＝3，∴S △ADC ＝3，∵AF ＝32CF ，∴S △BFC ＝23S △ABF ＝4，∴S △BCD ＝S △BCF ＋S △ABF ＋S △ADC ＝13.10. 在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点P 在线段BC 上(不与点B 重合)，E 在线段BO 上，且∠BPE ＝12∠BCA ，过点B 作BG ⊥PE交PE 的延长线于点F ，交AC 于点G .(1)发现当点P 与点C 重合时(如图①)，填空：PE 、BG 的数量关系为________，BF PE ＝________；(2)探究当点P 不与点C 重合时(如图②)，求BF PE 的值；(3)应用把正方形ABCD 改为菱形，其他条件不变(如图③)，若∠ACB ＝30°，直接写出BF PE 的值．第10题图10. 解：(1)PE ＝BG ，12；【解法提示】∵四边形ABCD 是正方形，点P 与点C 重合， ∴OB ＝OP ，∠BOC ＝∠BOG ＝90°.∵PF ⊥BG ，∴∠PFB ＝90°，∴∠GBO ＝90°－∠BGO ，∠EPO ＝90°－∠BGO ，∴∠GBO ＝∠EPO ，∴△BOG ≌△POE (ASA)，∴BG ＝PE .∵∠BPE ＝12∠BCA ，∴∠BPE ＝∠GPF ，∵PF ⊥BG ，∴BF ＝12BG ，∴BF ＝12PE ，∴BF PE ＝12.(2)如解图①，过P 作PM ∥AC 交BG 于M ，交BO 于N ， ∴∠PNE ＝∠BOC ＝90°，∠BPN ＝∠OCB .第10题解图①∵∠OBC ＝∠OCB ＝45°，∴∠NBP ＝∠NPB ＝45°，∴NB ＝NP .∵∠MBN ＝90°－∠BMN ，∠NPE ＝90°－∠BMN ， ∴∠MBN ＝∠NPE ，∴△BMN ≌△PEN (ASA)，∴BM ＝PE .∵∠BPE ＝12∠ACB ，∠BPN ＝∠ACB ，∴∠BPF ＝∠MPF .∵PF ⊥BM ，∴BF ＝MF ，即BF ＝12BM .∴BF ＝12PE ，即BF PE ＝12； (3)36.【解法提示】如解图②，过点P 作PM ∥AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，∴∠BPN ＝∠ACB ＝30°，∠PNE ＝∠BOC ＝90°，由(2)同理可得BF ＝12BM ，∠MBN ＝∠EPN ，第10题解图②∵∠BNM ＝∠PNE ＝90°，∴△BMN ∽△PEN ，∴BM PE ＝BN PN ，在Rt △BNP 中，tan30°＝BN PN ＝33， ∴BM PE ＝33，即2BF PE ＝33，∴BF PE ＝36.。