高中数学 第一章 推理与证明 1 归纳与类比 北师大版选修2-2
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第一 章
推理与证明
§1 归纳与类比
课前预习学案
相传，春秋时期鲁国的公输班(后人称鲁班，被认为是木 工的祖师)，一次去林中砍树时，一不小心，手被一种野草的 叶子划破了．他摘下叶片轻轻一摸，原来叶子两边长着锋利的 齿，他的手就是被这些小齿划破的．鲁班想，这样齿状的工具 不是也能很快地锯断树木吗？他经过多次试验，终于发明了锋 利的锯子，大大提高了工效．
n∈N＋，则f2 014(x)的表达式为________．
解析：
x
f1(x)＝
x 1＋x
，f2(x)＝
1＋x 1＋1＋x x
＝
x 1＋2x
，f3(x)＝
x 1＋1＋1＋2xx2x＝1＋x3x，…，归纳法得f2 014(x)＝1＋2x014x.
答案： f2 014(x)＝1＋2x014x
4．对于正整数n，猜想(2n－1)与(n＋1)2的大小关系． 解析： 当n＝1时，2n－1＝1，(n＋1)2＝22＝4， ∴2n－1＜(n＋1)2； 当n＝2时，2n－1＝3，(n＋1)2＝32＝9， ∴2n－1＜(n＋1)2； 当n＝3时，2n－1＝5，(n＋1)2＝42＝16， ∴2n－1＜(n＋1)2. 由此猜想：2n－1＜(n＋1)2.
(3)推理结论：利用归纳推理得出的结论不一定正确．
(1)归纳推理的思维过程是： 实验、观察 → 概括、推广 → 猜想一般性结论 (2)归纳推理的特点 ①归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理 的结论超出了前提所界定的范围，所以“前提真而结论假”的 情况是有可能发生的．
②人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一定的事实材 料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归 纳推理，因此归纳推理是立足于观察和实验的基础上进行的．
3．合情推理
合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、 已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些 结果的推理方式．
归纳、类比是合情推理常用的思维方法，也 是人们学习和生活中经常使用的思维方式，在解决问题的过程 中，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用， 有利于探究意识的培养．
③由归纳推理所得的结论有的虽然未必是可靠的，但是对 科学的发现十分有用．归纳推理能够发现新事实、获得新结 论，提出带有规律性的命题，因此，归纳推理是科学发现的重 要手段．
2．类比推理
(1)定义：对于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基 础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有 _类__似__的___其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．
课堂互动讲义
数列中的归纳推理
已知正项数列{an}满足Sn＝12an＋a1n，求出a1，a2， a3，a4，并推测an.
[思路导引] 既可以直接在已知条件中取n的特殊值，依 次求出前4项，再猜测an，也可以先由Sn与an的关系先推出an的 递推公式，再求前4项，最后猜测an.
[规范解答] 方法一：a1＝S1＝12a1＋a11，
2．下面一组按规律排列的数：1,32,53，…，第n个数应是
()
A．nn
B．n2n－1
C．(2n－1)n
D．(2n－1)2n－1
解析： 第n个数的底数为2n－1，指数为n，故这个数是
(2n－1)n.
答案： C
3．已知f(x)＝1＋x x，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，
那么，鲁班根据齿状树叶发明锯子的过程，体现了怎样的 思维方法呢？
1．归纳推理
(1)定义：根据一类事物中__部__分____事物具有某种属性，推 断该类事物中__每__一__个__事物都有这种属性．我们将这种推理方 式称为归纳推理．
(2) 思 维 特 征 ： 归 纳 推 理 是 由 __部__分___ 到 _整__体____ ， 由 _个__别____到__一__般___的推理．
2分
令n＝2，则S2＝12a2＋a12，
即a1＋a2＝12a2＋a12，
ຫໍສະໝຸດ Baidu
∴1＋12a2＝21a2，
∴a22＋2a2－1＝0，即(a2＋1)2＝2.
∵a2＞0，∴a2＝ 2－1.
4分
令n＝3，则S3＝12a3＋a13，
∴a1＋a2＋a3＝12a3＋21a3，即 2＋12a3＝21a3，
∴a23＋2 2a3＝1，即(a3＋ 2)2＝3.
1．下列推理是合情推理的是( ) (1)由圆的性质类比出球的有关性质； (2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°； (3)a≥b，b≥c，则a≥c； (4)三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形 内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)×180°. A．(1)(2) B．(1)(3)(4) C．(1)(2)(4) D．(2)(4) 答案： C
a4－a14＝－2 3，又因为a4＞0，所以a4＝2－ 3. 8分
将上面4个式子写成统一的形式：a1＝ 1－ 0，
a2＝ 2－ 1，a3＝ 3－ 2，a4＝ 4－ 3，
10分
由此可以归纳推测：an＝ n－ n－1.
12分
方法二：令n＝1，则S1＝12a1＋a11，
即a1＝12a1＋21a1，
∴a21＝1，又a1＞0，∴a1＝1.
(2)思维特征：类比推理是两类事物__特__征____之间的推理． (3)推理结论：利用类比推理得出的结论也不一定正确．
(1)类比推理的思维过程是： 观察、比较 → 联想、类推 → 猜想新的结论 (2)类比推理的特点： ①类比推理是从人们已经掌握的事物的特征，推测被研究 的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可 靠． ②类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现 的功能，因此类比在数学发现中具有重要作用，但必须明确， 类比并不等于论证．
又因为a1＞0，所以a1＝1.
2分
当n≥2时，Sn＝12an＋a1n，Sn－1＝12an－1＋an1－1，
两式相减得：an＝12an＋a1n－12an－1＋an1－1，
即an－a1n＝－an－1＋an1－1，
4分
所以a2－a12＝－2，又因为a2＞0，所以a2＝ 2－1.
a3－a13＝－2 2，又因为a3＞0，所以a3＝ 3－ 2.
推理与证明
§1 归纳与类比
课前预习学案
相传，春秋时期鲁国的公输班(后人称鲁班，被认为是木 工的祖师)，一次去林中砍树时，一不小心，手被一种野草的 叶子划破了．他摘下叶片轻轻一摸，原来叶子两边长着锋利的 齿，他的手就是被这些小齿划破的．鲁班想，这样齿状的工具 不是也能很快地锯断树木吗？他经过多次试验，终于发明了锋 利的锯子，大大提高了工效．
n∈N＋，则f2 014(x)的表达式为________．
解析：
x
f1(x)＝
x 1＋x
，f2(x)＝
1＋x 1＋1＋x x
＝
x 1＋2x
，f3(x)＝
x 1＋1＋1＋2xx2x＝1＋x3x，…，归纳法得f2 014(x)＝1＋2x014x.
答案： f2 014(x)＝1＋2x014x
4．对于正整数n，猜想(2n－1)与(n＋1)2的大小关系． 解析： 当n＝1时，2n－1＝1，(n＋1)2＝22＝4， ∴2n－1＜(n＋1)2； 当n＝2时，2n－1＝3，(n＋1)2＝32＝9， ∴2n－1＜(n＋1)2； 当n＝3时，2n－1＝5，(n＋1)2＝42＝16， ∴2n－1＜(n＋1)2. 由此猜想：2n－1＜(n＋1)2.
(3)推理结论：利用归纳推理得出的结论不一定正确．
(1)归纳推理的思维过程是： 实验、观察 → 概括、推广 → 猜想一般性结论 (2)归纳推理的特点 ①归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理 的结论超出了前提所界定的范围，所以“前提真而结论假”的 情况是有可能发生的．
②人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一定的事实材 料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归 纳推理，因此归纳推理是立足于观察和实验的基础上进行的．
3．合情推理
合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、 已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些 结果的推理方式．
归纳、类比是合情推理常用的思维方法，也 是人们学习和生活中经常使用的思维方式，在解决问题的过程 中，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用， 有利于探究意识的培养．
③由归纳推理所得的结论有的虽然未必是可靠的，但是对 科学的发现十分有用．归纳推理能够发现新事实、获得新结 论，提出带有规律性的命题，因此，归纳推理是科学发现的重 要手段．
2．类比推理
(1)定义：对于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基 础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有 _类__似__的___其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．
课堂互动讲义
数列中的归纳推理
已知正项数列{an}满足Sn＝12an＋a1n，求出a1，a2， a3，a4，并推测an.
[思路导引] 既可以直接在已知条件中取n的特殊值，依 次求出前4项，再猜测an，也可以先由Sn与an的关系先推出an的 递推公式，再求前4项，最后猜测an.
[规范解答] 方法一：a1＝S1＝12a1＋a11，
2．下面一组按规律排列的数：1,32,53，…，第n个数应是
()
A．nn
B．n2n－1
C．(2n－1)n
D．(2n－1)2n－1
解析： 第n个数的底数为2n－1，指数为n，故这个数是
(2n－1)n.
答案： C
3．已知f(x)＝1＋x x，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，
那么，鲁班根据齿状树叶发明锯子的过程，体现了怎样的 思维方法呢？
1．归纳推理
(1)定义：根据一类事物中__部__分____事物具有某种属性，推 断该类事物中__每__一__个__事物都有这种属性．我们将这种推理方 式称为归纳推理．
(2) 思 维 特 征 ： 归 纳 推 理 是 由 __部__分___ 到 _整__体____ ， 由 _个__别____到__一__般___的推理．
2分
令n＝2，则S2＝12a2＋a12，
即a1＋a2＝12a2＋a12，
ຫໍສະໝຸດ Baidu
∴1＋12a2＝21a2，
∴a22＋2a2－1＝0，即(a2＋1)2＝2.
∵a2＞0，∴a2＝ 2－1.
4分
令n＝3，则S3＝12a3＋a13，
∴a1＋a2＋a3＝12a3＋21a3，即 2＋12a3＝21a3，
∴a23＋2 2a3＝1，即(a3＋ 2)2＝3.
1．下列推理是合情推理的是( ) (1)由圆的性质类比出球的有关性质； (2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°； (3)a≥b，b≥c，则a≥c； (4)三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形 内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)×180°. A．(1)(2) B．(1)(3)(4) C．(1)(2)(4) D．(2)(4) 答案： C
a4－a14＝－2 3，又因为a4＞0，所以a4＝2－ 3. 8分
将上面4个式子写成统一的形式：a1＝ 1－ 0，
a2＝ 2－ 1，a3＝ 3－ 2，a4＝ 4－ 3，
10分
由此可以归纳推测：an＝ n－ n－1.
12分
方法二：令n＝1，则S1＝12a1＋a11，
即a1＝12a1＋21a1，
∴a21＝1，又a1＞0，∴a1＝1.
(2)思维特征：类比推理是两类事物__特__征____之间的推理． (3)推理结论：利用类比推理得出的结论也不一定正确．
(1)类比推理的思维过程是： 观察、比较 → 联想、类推 → 猜想新的结论 (2)类比推理的特点： ①类比推理是从人们已经掌握的事物的特征，推测被研究 的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可 靠． ②类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现 的功能，因此类比在数学发现中具有重要作用，但必须明确， 类比并不等于论证．
又因为a1＞0，所以a1＝1.
2分
当n≥2时，Sn＝12an＋a1n，Sn－1＝12an－1＋an1－1，
两式相减得：an＝12an＋a1n－12an－1＋an1－1，
即an－a1n＝－an－1＋an1－1，
4分
所以a2－a12＝－2，又因为a2＞0，所以a2＝ 2－1.
a3－a13＝－2 2，又因为a3＞0，所以a3＝ 3－ 2.