微分几何第二章曲面论第一节曲面的概念

C
O
u u坐标直线
u u(t ), v v(t )
x
u坐标曲线
曲线(C )的曲纹坐标方程
曲线(C )在点P(u0 , v0 )的切向量为
r r [u( t ), v( t )] 或u u(t ), v v(t ) 或u u(v ) 或v v(u) 或f (u, v ) 0
R sin R cos 0 0,即x cos y sin R z 0 0 1 ( S )在点P( , t )处的法线方程为： x R cos y R sin z t , o R cos R sin 0 y x R cos y R sin z t 即 . x cos sin 0 可见,沿同一条直母线的切平 面唯一, 法线平行.
由反函数存在定理可知 ， 总存在(u0 , v0 )的一个邻域V，
方程组()有唯一一对连续可微的 反函数 在此邻域V内， u u( x, y ) v v( x, y )
z z[u( x , y ), v( x , y )] z( x , y ) 将其代入z z(u, v )得：
切平面方程 : ( R r (u0 , v0 ), ru (u0 , v0 ), rv (u0 , v0 )) 0
rv
S P(u 0 , v0 )r u
X x( u0 , v0 ) Y y( u0 , v0 ) Z z( u0 , v0 ) xu ( u0 , v0 ) xv ( u0 , v0 ) yu ( u0 , v0 ) yv ( u0 , v0 ) z u ( u0 , v0 ) 0 zv ( u0 , v0 )
第二章
曲面论
§1 曲面的概念
主要内容
1.简单曲面及其参数表示； 2.光滑曲面 曲面的切平面和法线； 3.曲面上的曲线族和曲线网.
1.1 简单曲面及其参数表示
1.简单曲面
平面上不自交的闭曲线 称为约当曲线. 定义1 （约当曲线） 分， （约当定理）约当曲线分平面为两部 注 并且每一部分都以此曲 线为边界， 它们中间一个是有限的 ， 另一部分是无限的 . （初等区域） 定义2 约当曲线的内部及其内 部在平面上的同胚像 y 称为平面上的初等区域 . 如：
如果ru (u0 , v0 ) rv (u0 , v0 ) 0 则称点P(u0 , v0 )为曲面上的正常点， 否则 , 称为奇点 .
注 正常点的几何意义： rv ( u0 , v0 )
ru (u0 , v0 ) rv (u0 , v0 ) 0
v - 曲线
1.2 光滑曲面 曲面的切平面和法线
1.光滑曲面，正常点 定义4 (光滑曲面 ) 如果曲面方程
x x(u, v ), y y(u, v ), z z(u, v )或r r (u, v )
中的函数有直至k阶的连续偏微商 , 则称为C k 类曲面.
1 C ， 特别地， 类曲面又称为光滑曲面 C 0类曲面又称为连续曲面 . 定义5 (正常点) 对于曲面S : r r (u, v )上的点P(u0 , v0 )，


,0 2 )
例3（带缝的旋转曲面） 将xoz面上的曲线(C )：x (t ), z (t )， ( t )
绕z轴旋转一周得一带缝的 旋转曲面 (如图).
v( t )
z
f
O
Fra Baidu bibliotek( x, y, z )
o
x
2 u( )

y
x (t ) cos , y (t ) sin , z (t ) 参数方程： (其中 0 2 , t ) 其坐标曲线为: 曲线(t 常数) : 纬圆. t 曲线( 常数) : 经线.
法线方程 : r (u0 , v0 ) [ru (u0 , v0 ) rv (u0 , v0 )]
X x( u0 , v0 ) Y y( u0 , v0 ) Z z( u0 , v0 ) yu ( u0 , v0 ) zu ( u0 , v0 ) zu ( u0 , v0 ) xu ( u0 , v0 ) xu ( u0 , v0 ) yu ( u0 , v0 ) yv ( u0 , v0 ) zv ( u0 , v0 ) zv ( u0 , v0 ) xv ( u0 , v0 ) xv ( u0 , v0 ) yv ( u0 , v0 )
( S )的坐标式参数表示
u, v叫做曲面的参数或曲纹 坐标. 曲面上的点P( x, y, z )也可直接写作P(u, v ).
3.曲纹坐标网
v
(u0 , v0 )
G
v坐标直线
v坐标曲线
z
.
f
P (u0 , v0 )S
O
y
O
u u坐标直线
x
u坐标曲线
v v0 , u坐标直线的方程为 设曲面 ( S )的方程为r r (u, v ), 则过曲面 ( S )上点P (u0 , v0 )的u - 曲线的方程为： r r ( u, v0 ) { x(u, v0 ), y(u, v0 ), z(u, v0 )}, 或v v0 , u u0 , 同样, v坐标直线的方程为 则过曲面 ( S )上点P (u0 , v0 )的v - 曲线的方程为： r r ( u0 , v ) { x(u0 , v ), y(u0 , v ), z(u0 , v )}, 或u u0 ,
其上的曲纹坐标网是正 规网. 命题1 曲面在正常点的邻域中 总可以用形如 z z( x, y)或y y( x, z )或x x( y, z )
的参数表示 . 证： 设点P(u0 , v0 )为正常点， 则ru (u0 , v0 ) rv (u0 , v0 ) 0,
总存在(u0 , v0 )的一个邻域U， 在此邻域内ru rv 0,
3.曲纹坐标网
v
(u0 , v0 )
v坐标曲线族 v坐标直线族
G
.
f
z
P (u0 , v0 )S
O
y
O
u u坐标直线族
x
v 常数； u坐标曲线族的方程为 u 常数. v坐标曲线族的方程为 u坐标曲线族与 v坐标曲线族形成的曲线 网 叫做曲纹坐标网 （或参数曲线网）
u坐标曲线族
例1（带缝的圆柱面）
v( t )
z
f
O
2 u( )
x
o

t R
y
参数方程：x R cos , y R sin , z t (其中 0 2 , t ) 其坐标曲线为: 曲线(t 常数) : r { R cos , R sin , t0 } 纬圆 t 曲线( 常数) : r { R cos 0 , R sin 0 , t } { R cos0 , R sin0 ,0} t{0,0,1} 直母线
(2)若曲面S : z z( x, y)， 则r { x, y, z( x, y )} ， z z 于是rx {1,0, p}， ry {0,1, q}， 其中p ，q ， x y 曲面在点( x, y)处的切平面方程为： Xx Y y Zz 1 0 p 0 0 1 q 即Z z p( X x ) q(Y y ). Xx Y y Zz . 法线方程为： p q 1
注 z z( x, y )是曲面的一种特殊的参 数表示， 即r r { x , y, z( x , y )}， ( x, y是参数).
2.曲面的切平面和法线
v
(u0 , v0 )
G
v坐标直线
v坐标曲线
z
.
f
P (u0 , v0 ) S : r r ( u, v )
O
y

O
x
长方形内部 正方形内部 圆内部 椭圆内部
全平面
（简单曲面） 定义3 平面上的初等区域在 E 3中的同胚像称为简单曲 面. 如：
f
g
简单曲面
2.简单曲面的参数表示
v
G
( u, v )
.
f
u
x
z
u, v y) , z) P (x S r r ( u, v )
O
y
O
r r ( u, v ) { x(u, v ), y(u, v ), z( u, v )}, ( S )的向量式参数表示 x x(u, v ), y y(u, v ), z z(u, v ),
例1 求圆柱面( S ) : r { R cos , R sin , t }在任一点P ( , t )处 的切平面和法线方程 . 解：r { R cos , R sin , t }, r { R sin , R cos ,0}, rt {0,0,1}, ( S )在任一点P( , t )处的切平面方程为： x R cos y R sin z t
y z z x x y u u u u u u 即ru rv , , 0, ( u, v ) U . y z z x x y v v v v v v x y x x(u, v ) u u () 不妨设 0, 对于方程组 x y y y(u, v ) v v 满足： (i ) x(u, v )，y(u, v )至少有一阶连续偏微商 ； x0 x( u0 , v0 ) ( ii ) x y y0 y( u0 , v0 ) ( x, y) u u ( iii ) Jocbi 行列式 0, ( u0 ,v 0 ) x y ( u, v ) v v ( u0 ,v0 )
z
例2（带缝的球面）
v ( )
2
R
f
2 u( )
O θ
x R cos cos , y R cos sin , z R sin 参数方程：
O 2

y
x
(其中

2 2 其坐标曲线为: 曲线( 常数) : 纬圆. 曲线( 常数) : 经线.
P
y
z
S
表示经过点( u0 , v0 )的 u - 曲线和v - 曲线不相切.
x
O
ru ( u0 , v0 )
u - 曲线
定义6 (正规曲线网 曲线网， ) 曲面上两族曲线构成的 则称该曲线网为 如果任意两条异族曲线 不相切， 正规曲线网 .
网是正规网 . 注 (1)正则曲面上的曲纹坐标 ( 2)曲面的正常点总在一正 则曲面片上，
du r t0 ru ( u0 , v0 ) dt
t0
dv rv ( u0 , v0 ) dt
t0
定义7 (切方向) 与曲线(C )在点P的切向量平行的方向 叫做曲面在该点的切方 向 (或方向). 方向都在过该点的 命题2 曲面在一点处的所有切 坐标曲线的切向量ru , rv所决定的平面上. 线的切向量ru , rv 定义8 (切平面) 曲面在一点处的坐标曲
所决定的平面上叫做曲 面在该点的切平面 . 切平面的 ) 曲面在正常点处垂直于 定义9 (法方向、法线 方向称为曲面的法方向 . 过该点平行于法方向的 直线叫做曲面在该点的
法线. 法向量N ru rv， ru rv 单位法向量n . ru rv
P
S
切平面和法线方程 (1)若曲面S : r r (u, v )，
因而其上的曲纹坐标网 是正规网 .
事实上， 如果点P(u0 , v0 )为正常点， ru , rv 连续, 则ru (u0 , v0 ) rv (u0 , v0 ) 0, 因为曲面是光滑的， 从而ru ru连续. 总存在(u0 , v0 )的一个邻域U， 在此邻域内ru rv 0, 于是点P(u0 , v0 )在邻域U所对应的正则曲面片上 ，