第五节线性变换的矩阵表示式
第五章 线性变换
( ) A,
如果 A 是 在基 1,2 , ,n 下的矩阵表示，那么
是 End(V )到 M n (F )的一个一一对应．
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定理4 设 V 是数域 F 上的一个线性空间， 线性变
换 在 V 的一组基 1,2 , ,n 下的矩阵表示为 A．
如果向量 V 在 1,2 , ,n 下的坐标向量为
(1), (2 ), , (s )
也线性相关．也就是说线性变换将线性相关的向 量组仍然变成线性相关的向量组．
1. 乘法
设 , 是 V 上的两个线性变换． 定义 和
的乘积 为 () () ( ()), V .
直接验证， 也是一个线性变换．
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对于任意的线性变换 ， 均有
标(x1, y1) 和 (x2 , y2 ) 满足下面关系：
x2 y2
cos sin
sin cos
x1 y1
.
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三、线性变换的基本性质及运算 设 是 V 上的一个线性变换．则有
性质1 (0) 0 ， () () ．
性质2 如果 是 1,2, ,s 的线性组合， 且组合
M 到 P 的映射，满足 g f (x) g( f (x)), x M .
显然， 对于任意从集合 M 到 N 的映射 f ， 都有 idN f f idM f .
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另外，映射的乘积还满足结合律． 定义7 设 f 是从集合 M 到 N 的一个映射，如果存 在 N 到 M 的一个映射 g， 使得
f (n) 2n, n ,
则 f 是 到自身的映射，且 f 是一个单射但不是 满射． 例3 设 M n ( )是实数域上的所有 n 阶方阵的集合． 定义 M n ( )到 的对应 f ，满足
线性代数 第三章 矩阵 第五节
定义
矩阵A中不等于零的子式的最高阶数
称为矩阵 A 的秩。记为 R（A） 也就是说：
R（A）= r A中存在非零的r 阶子式，且所
有的r+1 阶子式全为零。
3
例如对 A 1
1 3
1 2
A 0, 3 1
1 0 R( A) 2
3
4 2 3
矩阵 的秩与向量 组的秩的关系
若R(A)=r,不妨设Ａ的左上角r阶子式不为０，则它的 r个列向量组线性无关，添加n-r个分量后得到Ａ的
前r个n维列向量也线性无关，可以证明这r个向量是Ａ的 列向量组的最大无关组，因此A的列向量组的秩为r,
与Ａ的秩相等．同理可说明Ａ的行向量组的秩也为r.
注意：
（1）若矩阵 A 中没有不等于零的子式，则 R(A) 0 （2）秩为r 的矩阵可能有等于零的r及r-1 阶子式。
(3) 若A中有一个r阶子式不为0，则R（A） r；
（4）若A中所有r阶子式都为0，则R（A）<r
(5) R( AT ) R( A)由于行列式行列互换后其值不变 Nhomakorabea而矩阵 AT
的每一个子式都是A的某个子式的转置，因此A的
非零子式的最高阶数与 AT 的非零子式的最高阶
数相同，即矩阵的转置不改变矩阵的秩。
C
k n
个。
例如
1 2 3 5
在矩阵 A= 0 4 1 2
1 3 2 1
中可选出C43 4个三阶子式， 1 2 5
选1，2，3行和1，2，4列的子式 0 4 2 131
在A中可选出
C32
C
2 4
18
个二阶子式，
比如1，3行2，4列位于这些行列交叉点上的元素构
25
第三章第五讲 线性变换
通识教育平台数学课程系列教材第一节向量空间第二节向量的线性相关性第三节向量空间的基及向量的坐标第四节欧氏空间第五节线性变换定义1一、线性变换的定义设σ是向量空间V 到向量空间W 的一个映射，如果σ满足:1) σ( α+ β) = σ( α) + σ( β),2) σ( k α) = k σ( α).其中α,β为V 中任意向量，k 为任意实数σ有上面的性质也说成σ保持向量的线性运算. 简言之，线性映射就是保持线性关系的映射.则称σ是V 到W 的一个线性映射. σ(α) 称为α在σ下的象，也可记为σα.§5 线性变换向量空间V 到其自身的线性映射称为V 中的线性变换.(1) 向量空间中变换的写法σ: ( x , y ) →( x + y , x -y ), (x , y ) ∈R 2σ( x , y ) = (x + y , x -y ), ( x , y ) ∈R 2注：(2)).()()(2121βαβασσσk k k k +=+可简写成σ(α+ β) = σ(α) + σ(β),σ(k α) = k σ( α).(3) 通常用花体字母T , S , … 来表示V 中的线性变换. 向量α在线性变换T 下的像，记为T (α) 或T α.上一页例1设A为n 阶实矩阵，对任意的n维行向量α，令T(α)=αA, α∈V.事实上, 设α, β∈V，因为T(α+ β) = (α+ β)A= αA+ βA= T(α) + T( β).T(kα) = ( kα)A = k (αA)= k T( α)故T是R n中线性变换.例2设V 是一向量空间，λ∈R . 对任意的α∈V ，令T (α) = λα，则T 是V 中的一个线性变换.所以T 是V 中的线性变换. 称这种变换为数乘变换.E (α) = α, O (α) = 0.上一页事实上, 设α, β∈V ，k ∈R ，因为T (α+ β) = λ(α+ β)= λα+ λβ= T (α) + T ( β).T (k α) = λ( k α)= k (λα)= k T (α)特别地，当λ= 1 时，T (α) = α，T 称为恒等变换，记为E ；当λ= 0时，T (α) = 0，T 称为零变换，记为O ，即例3R 3 中σ( x , y , z ) = (x , y , 0) 是线性变换.事实上, 设α= ( x 1, y 1, z 1) , β=( x 2, y 2, z 2)σ(α+ β) = σ( x 1+ x 2, y 1 + y 2, z 1+ z 2 )= ( x 1+ x 2, y 1 + y 2, 0)= ( x 1, y 1, 0) + ( x 2, y 2, 0)= σ(α) + σ( β).证σ(k α) = σ(k x 1, k y 1, kz 1 )= ( k x 1, k y 1, 0)= k (x 1, y 1, 0)= k σ( α).故σ( x , y , z ) = (x , y , 0) 是R 3 中线性变换，称之为R 3 中向xOy 面的投影变换.x y z ( x , y , z )(x , y , 0)0上一页例4在R 2 中，设0≤ θ<2π, 令σ：(x , y )→(x cos θ-y sin θ, x sin θ+ y cos θ)则σ是R 2的一个线性变换.称线性变换σ是绕原点按逆时针方向旋转θ角的旋转变换.xy ( x , y )0θ事实上，由σ( (x , y )+(x 1 , y 1))=σ(x +x 1, y +y 1)证上一页)cos sin ,sin cos (θθθθy x y x k +-=)cos sin ,sin cos (θθθθky kx ky kx +-=),()),((ky kx y x k σσ=).,(),(11y x y x σσ+=)cos sin ,sin cos (θθθθy x y x +-=)cos sin ,sin cos (1111θθθθy x y x +-+)]cos )(sin )(,sin )(cos )[(1111θθθθy y x x y y x x ++++-+=二、线性变换的性质和运算§5 线性变换定理1设T 是V 中的线性变换，则（1）T 把零向量变到零向量，把α的负向量变到α的像的负向量，即T ( 0 ) = 0, T ( -α) = -T (α).（2）T 保持向量的线性组合关系不变，即)(2211s sk k k ααα+++ T = k 1T (α1)+k 2T (α2)+…+k s T (αs )（3）T 把线性相关的向量组变为线性相关的向量组，即若α1, α2, …, αs 线性相关，则T (α1 ), T (α2), …, T (αs )也线性相关.定义2设L(V) 是向量空间V中的全体线性变换的集合，定义L(V)中的加法、数乘与乘法如下：（1）加法：(T+S)α= T ( α) +S (α) ；（2）数乘：(k T)α= k T (α) ；（3）乘法：(T S)α= T (S (α)) ,其中，α∈V，k∈R,T ,S ∈L(V).易验证，T +S，T S 以及k T 都是V 中的线性变换.§5 线性变换三、线性变换的矩阵设V 是一个m 维向量空间,α1,α2,…,αm 是V 的一组基.T 是V 的一个线性变换.(1)T (α1)=a 11α1+ a 21α2 + … a m 1αm ,T (α2)=a 12α1+ a 22α2 + … a m 2αm ,……………T (αm ) = a 1m α1+ a 2m α2 + … a mm αm ,可用矩阵形式表示为：设则设,,2211m m k k k V ααααα+++=∈∀ (k 1α1+k 2α2+…+ k m αm )= k 1T (α1)+k 2T (α2)+…+k m T (αm )因此，若已知基向量α1,α2, …,αm 在线性变换T 下的像，就可知道V 中任意向量在线性变换T 下的像了.= (α1, α2, …, αm )(T (α1), T (α2), …, T (αm ))⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mm m m m m a a a a a a a a a 212222111211A (T (α1), T (α2), …, T (αm ) ) = (α1, α2, …, αm ) A.称矩阵A 为线性变换T 在基α1, α2, …, αn 下的矩阵.记T (α1, α2, …, αm ) = (T (α1), T (α2), …, T (αm ) )则有T (α1, α2, …, αm ) = (α1, α2, …, αm )A因此，取定V 的一组基后，对于V 的线性变换T 有唯一确定的m 阶方阵A 与它对应.T A在给定基下一一对应(1)V 中的全体线性变换组成的集合L (V ) 与全体实m 阶方阵所成集合R m X m 之间存在一一对应关系.注意：(2)线性变换的和、数乘和乘法对应于相应的矩阵之间的和、数乘和乘法.(3)线性变换可逆（即存在V 的一个变换S ，使得TS =E ）当且仅当T 对应的矩阵A 可逆，且T 的逆变换对应的矩阵就是A -1.例2例1R n 中恒等变换E (α) = α在每一组基下的矩阵为n 阶单位阵.R n 中零变换O (α)=0在任意基下的矩阵为零矩阵.R n 中线性变换T (α) = k α,k ∈R . T 在每一组基下的矩阵为数量矩阵k E n .例3求R 3 中的线性变换T (x 1, x 2, x 3)在标准基下的矩阵.T (e 1) = T (1, 0, 0 ) = (a 1 , b 1, c 1) = a 1e 1+b 1e 2+c 1e 3解所以T 在标准基下的矩阵为),,(332211332211332211x c x c x c x b x b x b x a x a x a ++++++=T (e 2) = T (0, 1, 0 ) = (a 2 , b 2, c 2) = a 2e 1+b 2e 2+c 2e 3T (e 3) = T (0, 0, 1 ) = (a 3 , b 3, c 3) = a 3e 1+b 3e 2+c 3e 3.321321321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c c c b b b a a a A练习求R 2 中旋转变换σ(x , y ) = (x cos θ-y sin θ, x sin θ+ y cos θ)在标准基e 1= (1, 0), e 2= (0, 1)下的矩阵.σ(e 1) = (cos θ, sin θ) = cos θ⋅e 1+ sin θ⋅e 2,,σ(e 2) = (-sin θ, cos θ) = -sin θ⋅e 1+cos θ⋅e 2,,,.cos sin sin cos ),())(),((2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθe e e e σσ解若设(x , y )的象σ(x , y )在e 1, e 2下的坐标为(x ', y ')则x ' = x cos θ-y sin θy ' = x sin θ+ y cos θ.cos sin sin cos ''⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x y x θθθθ四、象与原象的坐标变换公式设α1,α2, …, αn 是向量空间V 的一组基，线性变换σ在基α1, α2, …, αn 下的矩阵为A. 如果ξ与σ(ξ)在该基下的坐标分别为(x 1, x 2, …, x n ) 和(y 1, y 2, …, y n )，则(3)§5 线性变换得由n n y y y αααξ+++= 2211)(σ),,,(21n ααα =.21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n y y y nn x x x αααξ+++= 2211).()()()(2211n n x x x ασασασξσ+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n x x x 2121))(,),(),((ααασσσ),,,(21n ααα =.21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x A 将(3)与(4)比较得.2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x A y y y α的坐σ(α)的坐σ的矩(4)定理2设α1,α2,…,αn 是向量空间V 的一组基，线性变换σ在基α1,α2,…,αn 下的矩阵为A .如果ξ与σ(ξ)在该基下的坐标分别为(x 1,x 2,…,x n )和(y 1,y 2,…,y n )，则.2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x A y y y例4设σ是R 4的一个线性变换，对∀(x 1,x 2,x 3,x 4)∈R 4,σ(x 1,x 2,x 3,x 4)=(2x 1+x 2,3x 1-x 3,x 3,x 1+x 4),求σ在标准基ε1,ε2,ε3,ε4下的矩阵.σ(ε1) = σ(1, 0, 0, 0) = (2, 3, 0, 1)=2ε1+ 3ε2+ε4,σ(ε2) = σ(0, 1, 0, 0)= (1, 0, 0, 0)=ε1,,σ(ε3) = σ(0, 0, 1, 0) = (0, -1, 1, 0)=-ε2 + ε3,σ(ε4) = σ(0, 0, 0, 1) = (0, 0, 0, 1)=ε4.解因为))(),(),(),((4321εεεεσσσσ.1001010001030012),,,(4321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=εεεε所以σ在ε1, ε2, ε3, ε4下的矩阵为.1001010001030012⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 上一页定理3设α1,α2,⋯,αm 和β1,β2,⋯,βm 是向量空间V 的两组基.线性变换σ在这两组基下的矩阵分别为A 与B ,从基α1,α2,⋯,αm 到基β1,β2,⋯,βm 的过渡矩阵是C ,则五、同一线性变换在不同基下的矩阵B =C -1AC .§5 线性变换线性变换与矩阵的对应关系是在取定了空间的一组基的情况下建立的.如果取不同的基，同一线性变换对应的矩阵一般是不相同的.于是得B =C -1AC.●●●由 证,),,(),,(2121A m m αααααα =σ,),,(),,(2121B m m ββββββ =σ.),,,(),,(2121C m m αααβββ =),,(21m βββ σ[][]C C m m ),,,(),,,(2121αααααα σσ==AC m ),,(21ααα =.),,,(121AC C m -=βββ (线性变换保持线性关系)定义4设A,B为两个n阶矩阵,如果存在可逆矩阵C,使得B=C-1AC,则称A与B相似,记作A~B.由定理3知线性变换在不同基下的矩阵是相似的;反之,若两矩阵相似,那么它们可以看作同一线性变换在不同基下的矩阵.定理设B=C-1AC,如果线性变换σ在基α1,α2,⋯,αn下的矩阵为A，且则σ在基β1, β2, ⋯, βn 下的矩阵为B.(β1, β2, ⋯, βn) = (α1, α2, ⋯, αn )C.σ基α1, α2, ⋯, αn下Aσ基(β1, ⋯, βn) = (α1, ⋯, αn)CBB = C-1AC.下上一页*相似是矩阵之间的一种关系,它具有下面三个性质:1. 反身性:A~A;2. 对称性:如果A ~B, 则B ~A;3. 传递性:如果A~B, B ~C, 则A~C.例2线性变换σ在基β1, β2下的矩阵为上一页设α1,α2与β1 , β2 是向量空间V 的两组基，由基α1,α2到基β1, β2的过渡矩阵为C ,线性变换σ在基α1,α2下的矩阵为求线性变换σ在基β1, β2下的矩阵B.,2111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=C ,0112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 解AC C B 1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-2111011221111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11011112.1011⎪⎪⎫ ⎛=定理4设σ是欧氏空间的一个线性变换，则下面几个命题等价：六、正交变换(1) σ是正交变换；§5 线性变换定义5设σ为欧氏空间V 中的线性变换, 如果对于任意的α, β∈V , 都有),,(),(βασβσα=则称σ为V 中的正交变换.(2) σ保持向量的长度不变，即对于任意的;)(,αασα=∈V 的标准正交基；也是的标准正交基，则是如果V V m m )(,),(),(,,,)3(2121ασασασααα (4) σ在任一组标准正交基下的矩阵都是正交矩阵.B =C -1AC .例6定义映射上述映射显然为一个线性变换，σ在标准正交基下的矩阵为(,)(cos sin ,sin cos ).x y x y x y σθθθθ=-+.cos sin sin cos ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθA .,为正交矩阵即且满足A E AA A A T T ==故坐标旋转变换是一个正交变换，它保持向量的长度不变.七、线性变换的特征值与特征向量§5 线性变换给定V 中的一个线性变换σ，是否存在V 的一组基，使σ在此组基下的矩阵为对角矩阵？事实上，的特征向量的属于特征值也是，非零实数的特征向量，则对任意的属于特征值是如果.λσξλσξk k 定义6设σ是向量空间V 的一个线性变换,如果存在实数λ和V 中一非零向量ξ,使得λξξ=)(σ那么λ称为σ的一个特征值, ξ称为σ的属于特征值λ的一个特征向量.1.线性变换的特征值与特征向量的概念例7设σ是数乘变换：σ(α)=λα, α∈V，则λ是σ的特征值，V中非零向量都是σ的属于特征值λ的特征向量.2. 线性变换可对角化的条件定理5设V为m维向量空间，为V中的一个线性变换.那么存在V的一组基，使得σ在这组基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是σ有m个线性无关的特征向量.设σ可对角化, 则存在V 的一组基α1, α2, ⋯αm , 使σ在此基下的矩阵为对角形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m Λλλλ 21即σ(α1, α2, …, αm ) = (α1, α2, …, αm )Λ证则mi i i i ,2,1,)(==ααλσ反之,如果σ有m 个线性无关的特征向量,就取它们为基,则σ在此基下的矩阵就是对角形矩阵.因此α1,α2,⋯αm 就是σ的m 个线性无关的特征向量.上一页注意：从以上证明可知，如果线性变换σ在某一组基下的矩阵为对角阵A ，则这组基由σ的特征向量组成，且矩阵A 的对角元就是线性变换σ的特征值.方阵与线性变换是一一对应的，可类似引入方阵的特征值与特征向量的概念.3.矩阵的特征值与特征向量的概念定义1设A 是一个m 阶实方阵, 如果存在实数λ和非零的m 维列向量ξ, 使得λξξ=A 那么λ称为方阵A 的一个特征值, ξ称为A 的属于特征值λ的一个特征向量.（1）设m 阶方阵A 是m 维向量空间V 上线性变换σ在一组基下的矩阵，则λ是σ的特征值的充要条件是λ为矩阵A 的特征值.结论：从线性变换与矩阵的对应关系可得如下结论.设R m 中线性变换σ在基α1, α2, …, αm 下的矩阵为A . 即的特征向量于特征值的属是矩阵是的特征向量的充要条件征值的属于特是线性变换则为下的坐标中非零向量，它在基为..),,,(,,,2121λλσξαααξA X x x x X V Tm m =（2）m 阶矩阵A 可对角化的充要条件是A 有m 个线性无关的特征向量.即m 阶矩阵A 相似于对角矩阵的充要条件是A 有m 个线性无关的特征向量.σ的特征值= A 的特征值ξ= (α1, α2, …, αm ) XA 的属于λ的特征向量σ的属于λ的特征向量练习设R 2 的线性变换σ为σ: (x 1, x 2)→(2x 1+ 4x 2, -x 1),求σ在基α1= (1, -1), α2= (-1, 2) 下的矩阵.上一页σ在标准基ε1, ε2下的矩阵为,0142⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 而由ε1, ε2 到α1, α2 的过渡矩阵为,2111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=C 解那么σ在α1, α2 下的矩阵为B =C -1AC ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-2111014221111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211101421112.73135⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=。
第五章 线性变换 S2 线性变换的矩阵
第五章 线性变换
第二节 n维线性空间中线性 变换的矩阵
只讨论n维线性空间V上的线性变换T. 研究线性变换T和n阶矩阵之间的关系.
x11 x2 2
xn n
又T是线性变换，（保持线性组合不变）必有
2
T T ( x1 1 x2 2 x1T 1 x2T 2
xn n ) xnT n
(1)
这说明当已知 T 1 ,T 2 , ,T n 时，每个向量的象 由(1)确定，即线性变换被完全确定.
T x2 x 3 x3 x1
求T在基底
1 0 0 e1 0 , e2 1 , e3 0 0 0 1
下的矩阵A.
解：由T的定义知 1 0 1
T [T 1 , T 2 , x2 ,T n ] [T 1 , T 2 , x n
xnT n
,T n ]X
(3)
T [T 1 , T 2 ,
(2)代入(3)得到
, T n ] X ( 1 , 2 ,
T ( 1 , 2 ,
, n M ) (T 1 , 2 ,
, n ) M
[T 1 ,T 2 ,
1 ,2 ,
,T n ]M 1 , 2 ,
,n M AM
1
, n AM
线代代数课件王继忠编稻谷书苑
a11 a12 a13
由消元法可得： a21 a22 a23 0
a31 a32 a33
方程组有惟一解
b1 a12 a13
a11 b1 a13
a11 a12 b1
b2 a22 a23
a21 b2 a23
a21 a22 b2
b3 a32
x1
a11 a12
a33 a13
D1 ; D
x2
a31 a11
本学期的内容:
第一章 线性方程组与行列式 第二章 矩阵与线性方程组 第三章 向量组的线性相关性 第四章 相似矩阵与二次型 第五章* 线性空间与线性变换
教学运用
1
第一章
线性方程组 与行列式
行列式的概念
行列式的性质 与计算
克莱姆法则解 线性方程组
教学运用
2
§1 二元、三元方程组与二阶与三阶行列式
一．二元线性方程组与二阶行列式
推论：奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成
标准排列的对换次数为偶数。
教学运用
16
§3 n 阶行列式的定义
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
000a
0 0 b 0 (1) (4321) abcd abcd
0c00
d 000
p1 4, p2 3, p3 2, p4 1.
教学运用
20
a00b
例2：计算
0 D
0
c e
d f
0 0
g00h
解 D是一个4!=24项的代数和.
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结线性代数知识点总结篇1第一章行列式知识点1：行列式、逆序数知识点2：余子式、代数余子式知识点3：行列式的性质知识点4：行列式按一行（列）展开公式知识点5：计算行列式的方法知识点6：克拉默法则第二章矩阵知识点7：矩阵的概念、线性运算及运算律知识点8：矩阵的乘法运算及运算律知识点9：计算方阵的幂知识点10：转置矩阵及运算律知识点11：伴随矩阵及其性质知识点12：逆矩阵及运算律知识点13：矩阵可逆的判断知识点14：方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算知识点15：矩阵方程的求解知识点16：初等变换的概念及其应用知识点17：初等方阵的概念知识点18：初等变换与初等方阵的关系知识点19：等价矩阵的概念与判断知识点20：矩阵的子式与最高阶非零子式知识点21：矩阵的秩的概念与判断知识点22：矩阵的秩的性质与定理知识点23：分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算知识点24：矩阵分块在解题中的技巧举例第三章向量知识点25：向量的概念及运算知识点26：向量的线性组合与线性表示知识点27：向量组之间的线性表示及等价知识点28：向量组线性相关与线性无关的概念知识点29：线性表示与线性相关性的关系知识点30：线性相关性的判别法知识点31：向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念知识点32：矩阵的秩与向量组的秩的关系知识点33：求向量组的最大无关组知识点34：有关向量组的定理的综合运用知识点35：内积的概念及性质知识点36：正交向量组、正交阵及其性质知识点37：向量组的正交规范化、施密特正交化方法知识点38：向量空间（数一）知识点39：基变换与过渡矩阵（数一）知识点40：基变换下的坐标变换（数一）第四章线性方程组知识点41：齐次线性方程组解的性质与结构知识点42：非齐次方程组解的性质及结构知识点43：非齐次线性线性方程组解的各种情形知识点44：用初等行变换求解线性方程组知识点45：线性方程组的公共解、同解知识点46：方程组、矩阵方程与矩阵的乘法运算的关系知识点47：方程组、矩阵与向量之间的联系及其解题技巧举例第五章矩阵的特征值与特征向量知识点48：特征值与特征向量的概念与性质知识点49：特征值和特征向量的求解知识点50：相似矩阵的概念及性质知识点51：矩阵的相似对角化知识点52：实对称矩阵的相似对角化.知识点53：利用相似对角化求矩阵和矩阵的幂第六章二次型知识点54：二次型及其矩阵表示知识点55：矩阵的合同知识点56 : 矩阵的等价、相似与合同的关系知识点57：二次型的标准形知识点58：用正交变换化二次型为标准形知识点59：用配方法化二次型为标准形知识点60：正定二次型的概念及判断线性代数知识点总结篇2行列式一、行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
工程数学线性代数第五版
行列式的性质
总结词
行列式具有交换律、结合律、代数余子式等性质。
详细描述
行列式具有一系列重要的性质，这些性质使得行列式在数学和工程领域中具有广泛的应用。其中，交 换律、结合律和代数余子式等性质是行列式的基本属性，它们在计算行列式值和简化计算中起着关键 作用。
行列式的计算方法
总结词
行列式的计算方法包括展开法、递推法、化简法等。
特征值和特征向量的计算方法
计算特征值的方法
通过求解线性方程组得到特征多项式， 然后解特征多项式得到特征值。
计算特征向量的方法
将特征值代入线性方程组中求解，得 到对应的特征向量。
特征值和特征向量的应用
在振动分析中的应用
通过求解系统的特征值和特征向量，可以分析 系统的振动行为。
在控制理论中的应用
通过分析系统的特征值和特征向量，可以判断 系统的稳定性以及响应特性。
解的稳定性
在数值计算中，解的稳定性是 一个重要的问题，不稳定的解 可能导致计算误差的累积，影 响计算结果的精度。
解的敏感性
解对系数矩阵中元素变化的敏 感程度，也称为条件数，用于 衡量解的稳定性。
线性方程组的数值解法
迭代法的收敛性
迭代法是否收敛以及收敛速度的快慢是数值解法中需要考虑的问 题，需要选择合适的迭代方法和参数。
线性变换的矩阵表示
矩阵表示的定义
对于一个线性变换，如果存在一个矩阵，使 得该线性变换可以用这个矩阵乘以向量来表 示，那么这个矩阵就称为该线性变换的矩阵 表示。
矩阵表示的性质
线性变换的矩阵表示具有一些重要的性质， 如矩阵的加法性质、数乘性质、乘法性质等。 这些性质使得线性变换可以用矩阵来进行计 算和表示。
向量空间的基和维数
5阶行列式计算公式
5阶行列式计算公式行列式是线性代数中一个非常重要的概念，它可以用来表示线性方程组的解、计算向量空间的基等。
在行列式的计算中，5阶行列式是一个比较常见的情况，本文将介绍5阶行列式的计算公式及其应用。
一、5阶行列式的定义对于一个5阶方阵A，它的行列式定义为：$$begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}a_{21}&a_ {22}&a_{23}&a_{24}&a_{25}a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{35}a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}&a_{45}a_{51}&a_{52}&a_{53}&a_{5 4}&a_{55}end{vmatrix}$$其中，$a_{ij}$表示A的第i行第j列的元素。
二、5阶行列式的计算公式为了方便计算5阶行列式，我们可以使用拉普拉斯展开法。
具体来说，我们可以选取A的某一行或某一列，然后对应的元素乘上它们的代数余子式，再按照正负号规则相加即可。
这个方法虽然比较繁琐，但是可以保证计算结果的正确性。
如果我们选取第一行进行展开，那么5阶行列式的计算公式为：$$begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}a_{21}&a_ {22}&a_{23}&a_{24}&a_{25}a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{35}a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}&a_{45}a_{51}&a_{52}&a_{53}&a_{54}&a_{55}end{vmatrix}=a_{11}begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}&a_{ 24}&a_{25}a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{35}a_{42}&a_{43}&a_{44}&a _{45}a_{52}&a_{53}&a_{54}&a_{55}end{vmatrix}-a_{12}begin{vm atrix}a_{21}&a_{23}&a_{24}&a_{25}a_{31}&a_{33}&a_{34}&a_{35 }a_{41}&a_{43}&a_{44}&a_{45}a_{51}&a_{53}&a_{54}&a_{55}end{ vmatrix}+a_{13}begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}&a_{24}&a_{25}a_{ 31}&a_{32}&a_{34}&a_{35}a_{41}&a_{42}&a_{44}&a_{45}a_{51}&a _{52}&a_{54}&a_{55}end{vmatrix}-a_{14}begin{vmatrix}a_{21}& a_{22}&a_{23}&a_{25}a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{35}a_{41}&a_{42 }&a_{43}&a_{45}a_{51}&a_{52}&a_{53}&a_{55}end{vmatrix}+a_{1 5}begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}a_{31}&a_{32}&a_ {33}&a_{34}a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}a_{51}&a_{52}&a_{53}& a_{54}end{vmatrix}$$三、5阶行列式的应用5阶行列式的计算公式虽然比较繁琐，但是它有着广泛的应用。
矩阵的运算的所有公式
矩阵的运算的所有公式矩阵是线性代数中非常重要的一种数学工具，它广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学等。
矩阵的运算包括加法、减法、乘法、转置以及求逆等操作。
下面将详细介绍这些矩阵运算的公式。
一、矩阵的加法和减法设有两个矩阵A和B，它们都是m行n列的矩阵，即A和B的大小相同。
矩阵的加法和减法操作定义如下：1.加法：A+B=C，其中C是一个和A、B大小相同的矩阵，其每个元素的计算公式为：C(i,j)=A(i,j)+B(i,j)，其中i表示矩阵的行数，j表示矩阵的列数。
2.减法：A-B=D，其中D是一个和A、B大小相同的矩阵，其每个元素的计算公式为：D(i,j)=A(i,j)-B(i,j)。
二、矩阵的乘法设有两个矩阵A和B，A是m行n列的矩阵，B是n行p列的矩阵。
矩阵的乘法操作定义如下：1.乘法：A×B=C，其中C是一个m行p列的矩阵。
计算C的方法如下：C(i,j)=A(i,1)×B(1,j)+A(i,2)×B(2,j)+...+A(i,n)×B(n,j)，其中i表示C的行数，j表示C的列数。
需要注意的是，两个矩阵相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
三、矩阵的转置给定一个矩阵A，它是m行n列的矩阵。
矩阵的转置操作定义如下：1.转置：A'，表示矩阵A的转置。
即将A的行变为列，列变为行。
例如，如果A是一个3行2列的矩阵，那么A的转置A'是一个2行3列的矩阵。
四、矩阵的求逆对于一个非奇异的n阶矩阵A，它的逆矩阵记作A^{-1}。
求逆的公式如下：1.A×A^{-1}=I，其中I是单位矩阵。
即矩阵A与其逆矩阵相乘等于单位矩阵。
需要注意的是，只有方阵（行数等于列数）并且满秩的矩阵才有逆矩阵。
五、矩阵的幂运算给定一个n阶矩阵A，A的幂运算定义如下：1.A^k=A×A×...×A（共k个A相乘），其中A^k表示A的k次幂，k是一个正整数。
高教社2024高等数学第五版教学课件-9.3 矩阵的定义与运算
例2 含有个未知量个方程的线性方程组
11 1 + 12 2 + ⋯ + 1 = 1
21 1 + 22 2 + ⋯ + 2 = 2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1 1 + 2 2 + ⋯ + =
把它的系数 ( = 1,2, ⋯ , ; = 1,2, ⋯ , )与常数项 ( = 1,2, ⋯ , )按照
⋮
2
⋯
⋯
⋱⋯Leabharlann 12⋮
称为行列矩阵，简称 × 矩阵．矩阵通常用大写字母, , , ⋯，表示．例
如，上述矩阵可以记为或× ，也可记为 = [ ]．
特别地，
当 = 1时，矩阵只有一行，即 = (11
12
⋯ 1 )，称为行矩阵；
当 = 1时，矩阵只有一列，即 = ⋮ ，称为列矩阵；
12
22
⋮
2
11
⋯ 1
21
⋯ 2
， = ⋮
⋱
⋮
1
⋯
12
22
⋮
2
⋯ 1
⋯ 2
⋱
⋮
⋯
其 中 = 1 1 + 2 2 + ⋯ + = σ=1 ( = 1, 2, ⋯ , ; = 1, 2, ⋯ , ) ，
素可以是零也可以不是零．同时，上（或下）三角矩阵一定是方阵．上三角矩
阵和下三角矩阵统称为三角矩阵．
3．对角矩阵
若一个阶方阵既是上三角矩阵，又是下三角矩阵，则称其为阶对
角矩阵( = 0, ≠ , , = 1,2, ⋯ , )，记为．对角矩阵是非零元素（如
奇数阶反对称行列式
奇数阶反对称行列式介绍在线性代数中，行列式是一种重要的概念。
行列式可以用于求解线性方程组、计算矩阵的逆以及判断线性变换是否可逆。
本文将重点探讨奇数阶反对称行列式的特性和计算方法。
奇数阶反对称行列式的定义奇数阶反对称行列式是指阶数为奇数的方阵，且所有元素满足以下条件： 1. 主对角线上的元素全部为0； 2. 对角线上方的元素与对角线下方的元素互为相反数。
奇数阶反对称行列式的性质奇数阶反对称行列式具有以下性质：性质1：行列式的值为0由于奇数阶反对称行列式的主对角线上的元素全部为0，且对角线上方的元素与对角线下方的元素互为相反数，因此所有对应的元素相加为0，即行列式的值为0。
性质2：对角线上的元素个数为偶数由于奇数阶反对称行列式的主对角线上的元素全部为0，而对角线上方的元素与对角线下方的元素互为相反数，因此对角线上的元素个数必为偶数。
性质3：一阶、三阶、五阶反对称行列式的计算一阶反对称行列式为一个数，即行列式的值为该数。
三阶反对称行列式的计算公式为：∣∣∣∣0a b −a 0c −b −c 0∣∣∣∣=−abc −acb −bca +bac +cab +cba =0五阶反对称行列式的计算公式为：∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣0a b c d −a 0e f g −b −e 0ℎi −c −f −ℎ0j −d −g −i −j 0∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=−abcde −abcdg −abcef +abceℎ+abcfg −abcfi −abdeg +abdei +abdfℎ−abdfi −abgℎj +acbdℎ+abgℎi +acbdi +acbdj +acbef −acbfℎ−acbfg +acbfi +acneg +acℎed −acieg −acℎem +acief −adbfℎ−adfeg −adegi +adegℎ+adegℎ−adfgi −adℎji +adℎfi +aeigj −aefℎi −aefgj +aefℎi +ageℎm +agicj −agiem +agiec −afcij −afcgm −afcbi +afcbg +afcℎem −afcℎei −afbgm +afbgi −afgdi +afgem +adℎfi +adfgj −adfℎj −agℎji+agℎmi =0由上述计算可见，三阶和五阶反对称行列式的值都为0。
线性代数 2-5 矩阵的初等变换和初等矩阵
例2、 设A可逆，求证A可逆，并求( A )1 .
证明 得 所以
因为A可逆， 所以 | A | 0, 由
AA A A | A | I
|
1 A
|
A A
A |
1 A|
A
I
A可逆， A 1 1 A. | A|
例3、 已 知 三 阶 矩 阵A的 逆 矩 阵 为
0
0
1
b21
b23
b22
b31 b32 b33 0 1 0 b31 b33 b32 .
据例1可知,
左乘--行变换;右乘—列变换.
初等矩阵左乘A,C----相当于是对A,C做相应的初等行变换
初等矩阵右乘B----相当于是对B做对应的初等列变换
A1( A B) (E A1 B)
即
( A B) (E A1 B)
初等行变换
同理, 求解矩阵方程 XA B, 等价于计算矩阵BA1,
则可利用初等列变换, 计算矩阵 BA1 , 即
A 初等列变换 E
B
BA1
注意: 也可改为对 ( AT , BT ) 作初等行变换..
0 0 1 0
0
1
0
0
0
k
0
k
0
0
1 0 0 00 0 1 1 0 0 0
0
0
0
1
c
0
0
1
c
0
0
系数行列式解法
系数行列式解法摘要：一、引言二、系数行列式的概念与性质1.定义2.性质三、系数行列式的计算方法1.代数余子式2.扩展行列式3.拉普拉斯展开式四、系数行列式的应用1.线性方程组的解2.矩阵的逆3.线性变换五、结论正文：一、引言在线性代数中，系数行列式是一个非常重要的概念，它用于解决线性方程组、求矩阵的逆以及研究线性变换等问题。
本文将对系数行列式的概念、性质以及计算方法进行详细的介绍，并通过实例展示其在实际问题中的应用。
二、系数行列式的概念与性质1.定义系数行列式是一个n 阶方阵的元素按照一定规则组合起来所得到的代数式。
对于一个n 阶方阵A，其系数行列式用det(A) 表示。
2.性质系数行列式具有以下几个重要性质：(1) 行列式是一个标量；(2) 行列式的某一行（或列）乘以一个常数k，行列式的值也要乘以k；(3) 行列式的某一行（或列）加上另一行（或列）的k 倍，行列式的值不变；(4) 行列式的值等于它的主对角线元素之积减去副对角线元素之积，当且仅当行列式是一个2 阶行列式；(5) 若行列式有两行（或两列）完全相同，则行列式的值为0。
三、系数行列式的计算方法1.代数余子式计算系数行列式的一种常用方法是代数余子式法。
给定一个n 阶方阵A，我们可以在其某一行（或列）上添加一个单位矩阵，得到一个(n+1) 阶方阵。
新方阵的代数余子式是指去掉(n+1) 阶方阵的某一行（或列）后所得到的n 阶方阵的系数行列式。
通过计算所有代数余子式的值，我们可以得到原系数行列式的值。
2.扩展行列式扩展行列式是另一种计算系数行列式的方法。
给定一个n 阶方阵A，我们可以通过添加一个单位矩阵得到一个(n+1) 阶方阵。
新方阵的扩展行列式是指去掉(n+1) 阶方阵的某一行（或列）后所得到的n 阶方阵的扩展行列式。
通过计算所有扩展行列式的值，我们可以得到原系数行列式的值。
3.拉普拉斯展开式拉普拉斯展开式是系数行列式的第三种计算方法。
对于一个n 阶方阵A，我们可以将其写成一个n 阶主对角线矩阵与一个n 阶非主对角线矩阵的乘积。
线性代数同济五版
设A是n阶方阵，如果存在数λ和非零n 维列向量x，使得Ax=λx成立，则称λ是
A的一个特征值。
特征多项式
设A是n阶方阵，则行列式|λE-A|称为 A的特征多项式。
特征向量
对应于特征值λ的非零向量x称为A的 对应于特征值λ的特征向量。
特征方程
特征多项式|λE-A|=0的根称为A的特 征根（或特征值）。
04
CATALOGUE
向量
向量的概念与运算
向量的定义
向量是具有大小和方向的量，常用有向线段 表示。
向量的数乘
实数与向量的乘法满足分配律、结合律和数 乘的消去律。
向量的加法
满足平行四边形法则或三角形法则。
向量的线性运算
向量的加法和数乘统称为向量的线性运算。
向量的线性相关性
线性组合
若干个向量通过线性运算得到的结果向量称为这些向量的 线性组合。
线性相关与线性无关
如果存在不全为零的实数，使得一组向量的线性组合为零 向量，则这组向量称为线性相关；否则称为线性无关。
极大线性无关组
在线性相关的向量组中，如果存在一个部分组是线性无关的，且从向量组中任 意添上一个向量后都变为线性相关，则称该部分组为向量组的一个极大线性无 关组。
向量组的秩
向量组的秩的定义
向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为该向量组的秩。
向量组的秩的性质
向量组的秩等于其行秩或列秩；两个等价的向量组具有相同的秩； 若向量组线性无关，则其秩等于向量组中向量的个数。
向量组的秩的计算方法
通过初等行变换将向量组构成的矩阵化为行阶梯形矩阵，行阶梯形 矩阵中非零行的个数即为向量组的秩。
05
CATALOGUE
工程应用
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1 01 1 1 0 1 0 0 01 1 2 0 0 0
2 1 2 E11 E12 2 E 21, 2 0
同理可得 (T S )(E12) E12 N M E12
1 0
0
2
E 11
2
E 22 ,
第七章线性空间与线性变换
17
(T S )(E 21) E 21 N M E 21
可表示为
T 1,2 , ,n 1,2 , ,n A
其中
a11
A
a21
an1
a12 a22 an2
a1n
a2n
,
ann
那末，A就称为线性变换 T 在基 1 ,2 , ,n下的
矩阵．
第七章线性空间与线性变换
7
显然, 矩阵A由基的象T ( 1), ,T ( n)唯一确定.
在V n中取定一个基后,由线性变换T可唯一地 确定一个矩阵A,由一个矩阵A也可唯一地确定一 个线性变换T .
第七章线性空间与线性变换
15
思考题
已知R22的两个线性变换
TX XN , SX MX , X R22
M 1 0, N 1 1
2 0
1 1
试求 T S 在基 E11, E12 , E21, E22下的矩阵.
第七章线性空间与线性变换
16
思考题解答
解 (T S )( E11) T (E11) S(E11) E11 N M E11
TTkj
j, 0,
1
T (i , j , k ) (i , j , k ) 0
0 1
0 0.
0 0 0
第七章线性空间与线性变换
9
T i ,
(2)
T T
j ,
i j
,
即
1 0 1
T ( , , ) ( , , ) 0 1 1.
0 0 0
此例表明：同一个线性变换在不同的基下一般 有不同的矩阵．
在给定一个基的条件下, 线性变换与矩阵是一 一对应的.
第七章线性空间与线性变换
8
例13 在 R3中,T表示将向量投影到xOy平面的线性
变换,即
(1)取基为Ti(,xji,
k,
yj zk) xi 求T的矩阵;
yj ,
(2)取基为
i ,
j,
i
j
k,
求T的矩阵.
解 即
Ti i ,
(1)
Rn中任何线性变换T , 都可用关系式
T ( x) Ax ( x Rn)
表示,其中 A (T(e1),T(e2), ,T(en))
a11 a12
a 21
a 22
an1 an2
a1n a2n , ann
e1 , e2 , , en为单位坐标向量.
第七章线性空间与线性变换
5
二、线性变换在给定基下的矩阵
若A是T的矩阵,则T的秩就是R( A). 若T的秩为r,则T的核 ST 的维数为n r.
第七章线性空间与线性变换
14
四、小结
给定了线性空间 Rn 的一组基以后，Rn中的线
性变换与 Rnn 中的矩阵形成一一对应．因此，在 线性代数中，可以用矩阵来研究变换，也可以用 变换来研究矩阵．
同一变换在不同基下的矩阵是相似的．
其中
i
a2i ,定义
Rn中的变换y
T
(
x)为
ani
第七章线性空间与线性变换
2
T( x) Ax,( x Rn),则T为线性变换.
设 e1 , e2 , , en为单位坐标向量, 那么
a11 a12
A
e1
a 21
a 22
an1 an2
a1n 1
a 2n
0
1
,
ann 0
11Βιβλιοθήκη 证明 1, 2 , , n 1,2 , ,n P T 1,2, ,n 1,2, ,n A, T 1, 2, , n 1, 2, , n B
于是 1, 2 , , n B T 1, 2 , , n T[1 , 2 , , n P]
T1,2, ,n P
第七章线性空间与线性变换
12
1,2 , ,n AP
1, 2, , n P1AP
因为 1 ,2 , ,n 线性无关，
所以 B P 1 AP .
证毕.
定理表明：B与 A 相似，且两个基之间的过渡 矩阵 P 就是相似变换矩阵．
第七章线性空间与线性变换
13
定义8 线性变换T的象空间T (V n)的维数,称为线 性变换T的秩.
第五节 线性变换的矩阵表示式
一、线性变换的矩阵表示式 二、线性变换在给定基下的矩阵 三、线性变换在不同基下的矩阵 四、小结
第七章线性空间与线性变换
1
一、线性变换的矩阵表示式
设n阶矩阵
a11 a12
A
a 21
a 22
an1 an2
a1n
a 2n
( 1 ,
2 ,
,
n),
ann
a1i
0 1
0 1
E 21
E 22 ,
(T S )(E 22) E 22 N M E 22
0 0
1
1
E 21
E 22 ,
所以T S在这 组基下的矩阵为
2 1 0 0
1 2
0 0
0 1
0 1
.
0 2 1 1
第七章线性空间与线性变换
18
, n),那么
T ( x) T[(e1 , e2 , , en)x]
T(x1e1 x2 e2 xn en)
x1T(e1) x2T(e2) xnT(en) (T(e1),T(e2), ,T(en))x
( 1 , 2 , , n)x Ax.
第七章线性空间与线性变换
4
综上所述, 可知
第七章线性空间与线性变换
10
三、线性变换在不同基下的矩阵
定理１ 设线性空间 Vn中取定两个基
1,2 , ,n; 1, 2 , , n , 由基 1,2 , ,n 到基 1, 2 , , n的过渡矩阵为
P ，Vn中的线性变换 T 在这两个基下的矩阵依次为 A 和 B ，那末 B P 1 AP.
第七章线性空间与线性变换
定中取义定7 一设个T基是线1,性2空,间,Vn，n中如的果线这性个变基换在，变在换VTn
下的象为
T 1 a111 a212 an1n ,
T
2
a121
a22
2
an2
n
,
T n a1n1 a2n2 annn ,
第七章线性空间与线性变换
6
记T 1,2 , ,n T 1 ,T 2 , ,T n , 上式
,
a11 a12
A
en
a 21
a 22
an1 an2
a1n 0
a 2n
0
n
,
ann 1
第七章线性空间与线性变换
3
即
i Aei T (ei) (i 1,2, , n)
因此,如果一个线性变换T有关系式T ( x) Ax,
那么矩阵A应以T (ei)为列向量.
反之,如果一个线性变换T使T (ei) i (i 1,2,