第五节线性变换的矩阵表示式

定中取义定7 一设个T基是线1,性2空,间,Vn，n中如的果线这性个变基换在，变在换VTn
下的象为
T 1 a111 a212 an1n ,
T
2
a121
a22
2
an2
n
,
T n a1n1 a2n2 annn ,
第七章线性空间与线性变换
6
记T 1,2 , ,n T 1 ,T 2 , ,T n , 上式
其中
i
a2i ,定义
Rn中的变换y
T
(
x)为
ani
第七章线性空间与线性变换
2
T( x) Ax,( x Rn),则T为线性变换.
设 e1 , e2 , , en为单位坐标向量, 那么
a11 a12
A
e1
a 21
a 22
an1 an2
a1n 1
a 2n
0
1
,
ann 0
第五节 线性变换的矩阵表示式
一、线性变换的矩阵表示式 二、线性变换在给定基下的矩阵 三、线性变换在不同基下的矩阵 四、小结
第七章线性空间与线性变换
1
一、线性变换的矩阵表示式
设n阶矩阵
a11 a12
A
a 21
a 22
an1 an2
a1n
a 2n
( 1 ,
2 ,
,
n),
ann
a1i
Rn中任何线性变换T , 都可用关系式
T ( x) Ax ( x Rn)
表示,其中 A (T(e1),T(e2), ,T(en))
a11 a12
a 21
a 22
an1 an2
a1n a2n , ann
e1 , e2 , , en为单位坐标向量.
第七章线性空间与线性变换
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二、线性变换在给定基下的矩阵
若A是T的矩阵,则T的秩就是R( A). 若T的秩为r,则T的核 ST 的维数为n r.
第七章线性空间与线性变换
14
四、小结
给定了线性空间 Rn 的一组基以后，Rn中的线
性变换与 Rnn 中的矩阵形成一一对应．因此，在 线性代数中，可以用矩阵来研究变换，也可以用 变换来研究矩阵．
同一变换在不同基下的矩阵是相似的．
在给定一个基的条件下, 线性变换与矩阵是一 一对应的.
第七章线性空间与线性变换
8
例13 在 R3中,T表示将向量投影到xOy平面的线性
变换,即
(1)取基为Ti(,xji,
k,
yj zk) xi 求T的矩阵;
yj ,
(2)取基为
i ,
j,
i
j
k,
求T的矩阵.
解 即
Ti i ,
(1)
第七章线性空间与线性变换
15
思考题
已知R22的两个线性变换
TX XN , SX MX , X R22
M 1 0, N 1 1
2 0
Hale Waihona Puke Baidu
1 1
试求 T S 在基 E11, E12 , E21, E22下的矩阵.
第七章线性空间与线性变换
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思考题解答
解 (T S )( E11) T (E11) S(E11) E11 N M E11
11
证明 1, 2 , , n 1,2 , ,n P T 1,2, ,n 1,2, ,n A, T 1, 2, , n 1, 2, , n B
于是 1, 2 , , n B T 1, 2 , , n T[1 , 2 , , n P]
T1,2, ,n P
第七章线性空间与线性变换
TTkj
j, 0,
1
T (i , j , k ) (i , j , k ) 0
0 1
0 0.
0 0 0
第七章线性空间与线性变换
9
T i ,
(2)
T T
j ,
i j
,
即
1 0 1
T ( , , ) ( , , ) 0 1 1.
0 0 0
此例表明：同一个线性变换在不同的基下一般 有不同的矩阵．
,
a11 a12
A
en
a 21
a 22
an1 an2
a1n 0
a 2n
0
n
,
ann 1
第七章线性空间与线性变换
3
即
i Aei T (ei) (i 1,2, , n)
因此,如果一个线性变换T有关系式T ( x) Ax,
那么矩阵A应以T (ei)为列向量.
反之,如果一个线性变换T使T (ei) i (i 1,2,
1 01 1 1 0 1 0 0 01 1 2 0 0 0
2 1 2 E11 E12 2 E 21, 2 0
同理可得 (T S )(E12) E12 N M E12
1 0
0
2
E 11
2
E 22 ,
第七章线性空间与线性变换
17
(T S )(E 21) E 21 N M E 21
12
1,2 , ,n AP
1, 2, , n P1AP
因为 1 ,2 , ,n 线性无关，
所以 B P 1 AP .
证毕.
定理表明：B与 A 相似，且两个基之间的过渡 矩阵 P 就是相似变换矩阵．
第七章线性空间与线性变换
13
定义8 线性变换T的象空间T (V n)的维数,称为线 性变换T的秩.
第七章线性空间与线性变换
10
三、线性变换在不同基下的矩阵
定理１ 设线性空间 Vn中取定两个基
1,2 , ,n; 1, 2 , , n , 由基 1,2 , ,n 到基 1, 2 , , n的过渡矩阵为
P ，Vn中的线性变换 T 在这两个基下的矩阵依次为 A 和 B ，那末 B P 1 AP.
第七章线性空间与线性变换
, n),那么
T ( x) T[(e1 , e2 , , en)x]
T(x1e1 x2 e2 xn en)
x1T(e1) x2T(e2) xnT(en) (T(e1),T(e2), ,T(en))x
( 1 , 2 , , n)x Ax.
第七章线性空间与线性变换
4
综上所述, 可知
可表示为
T 1,2 , ,n 1,2 , ,n A
其中
a11
A
a21
an1
a12 a22 an2
a1n
a2n
,
ann
那末，A就称为线性变换 T 在基 1 ,2 , ,n下的
矩阵．
第七章线性空间与线性变换
7
显然, 矩阵A由基的象T ( 1), ,T ( n)唯一确定.
在V n中取定一个基后,由线性变换T可唯一地 确定一个矩阵A,由一个矩阵A也可唯一地确定一 个线性变换T .
0 1
0 1
E 21
E 22 ,
(T S )(E 22) E 22 N M E 22
0 0
1
1
E 21
E 22 ,
所以T S在这 组基下的矩阵为
2 1 0 0
1 2
0 0
0 1
0 1
.
0 2 1 1
第七章线性空间与线性变换
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