excel最常用的八个函数[函数的应用一课案例]

excel最常用的八个函数[函数的应用一课案例]

1 问题情境某机器的购置费用a元，设备维修损耗费用第一年b元，以后每年逐年增加b元，求该机器的最佳更新年限．按中国传统，国民历来有艰苦朴素的优良传统．“更新”对多数人来说还是一个比较陌生的概念，所以部分同学缺少对这类问题的生活背景的认识．

2 感性认识――“更新”的必要性

师：设t为设备的使用年数，S(t)为机器使用期内各种费用．构成S(t)的有哪些部分？如何确定？

生：两部分，开始买机器的钱S?1（t)和各年的维修损耗费用之和S?2（t），其中

师：观察这个函数，你能否发现S?1（t）、S?2（t）和t之间有什么关系？

生：S?2（t）是t的增函数，S?1（t）是常函数．

师：对！随着t的增大，S?2（t）将不断地增大，那么这又意味着什么？

生：这表明一定存在某个年限T，使得当t≥T时，S?2（t）=t(t+1)2b＞a=t?1(t)，即到某一年机器的损耗费用已超过了买一台新机器的钱了．

师：这又说明了什么？

生：这说明了这台机器不能无限的使用下去，当使用到某一年时，就必须报废，再购买一台新机器，进入一个新的过程．

3 数据计算――加深对“更新”的理解

师：现在令a=20万元，b=0.1万元，请同学们动手测算一下．不少学生给出了如下的解法：

大部分同学对这种解法表示理解，但对用不等式表出的结果有点茫然．

于是，要求同学们以40年为一个时间段，试算两笔账：S（20）=20+S?2（20）=41（万元）.

（1）若按20年为一个更新期计算：40年内使用两台新机器，共消耗82万元．

（2）若按40年为一个更新期计算：40年内使用了一台新机器，但消耗了102万元．

师：两相比较，说明了什么？

生：说明20年内必须更新．

师：对！这意味着更新年限t≤20．

生：呵，我知道了！t(t+1)2b≥a，即t≥20原来是一个必要不充分条件．

师：同样t≤20也是一个必要不充分条件，但当两者结合时就可得出t=20，这显然是一个充要条件．

4 深化认识――走向理性思维

通过以上交流，多数同学都明确了更新的必要性，少数同学领会了“更新年限”的意思，但这种做法还不能成为这类问题的一般解法．可见，艰难的探索过程才刚开始．

师：我们不妨重新回到t≤20，再来算一笔账：t=19如何？

为比较t=20与t=40时的情况，我们选取参照年限为40年，现在t=19与t=20．如何确定参照年呢？

因为19、20的最小公倍数是380，所以我们可取380年为参照年限．

（1）若以20年为更新年限，380年共重复了19次，共消耗19×41=779(万元）;

（2）若以19年为更新年限，380年共重复了20次，共消耗了20×39=780(万元）．

结论：最佳更新年限为20年．

5 建立模型

师：通过上述分析，同学们应清楚，“更新”意味着什么？意

味着再来一次，重新进入一个过程，周而复始．或者说无限在有限区间内的连续的重复过程．根据以上的两次比较和对更新的进一步认识，同学们能否对以上的问题做一个一般意义下的求解呢？

生：老师，我有一种想法，不知对不对？根据前面的测算方法

可知，若m是最佳更新年限，则对任意正数n，都有nS(m)≤mS(n)

成立．

师：虽然这种模型贴近生活经验，但操作起来还有不便，有没

有更好的切入点呢？

生甲：我对这个“模型”不理解，不知道为什么存在n，使……．

生乙：换一个角度：

nS(m)≤mS(n)?S(m)m≤S(n)n．

师：这又告诉我们什么呢？

生乙：若m是最佳更新年限，则S(m)m（年平均消耗费用）最小．

生甲：这一下我理解了．

略解：设更新年限为m，y为年平均消耗费用，则：

y=S(m)m=am+m+12b=

(am+mb2)+b2≥2ab+b2．

所以当且仅当am=mb2，即 m=2ab时，年均消耗费用最小，故最佳更新年限是2ab年．

6 回顾反思

数学建模的一般过程是：实际问题简化现实模型建模数学模型数学方法求解实际问题.

7 简评

（1）数学建模的过程，既是从实际问题转变为数学问题的过程，也是从问题的初步解决到较完美解决的过程，本案例设计的主要特点就是向学生较为充分地展示了这两个过程，适当地“等待学生”的理解而不急于求成．

（2）坚持“以人为本”的原则，尊重学生，心中惦记着大多数学生的接受情况．如果总想着讲多一点，讲快一点，努力完成自己规定的教学任务，一个个学生就这样渐惭地被“抛弃”了，掉队了．

（3）本案例师生、生生间围绕“更新”的理解，模型的建立，进行了充分的讨论，体现了教师引导下的自律．

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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