点集拓扑学ppt
河北师大点集拓扑课件 3.1
(ii) 若A, B T|Y，即存在 A1, B1 T
使得 A A1 Y , B B1 Y
于是 A B ( A1 B1) Y
由于 A1 B1 T ，故 A B T|Y .
(iii) 若 T 1 是集族 T|Y 的一个子集族，
即对于每一个
A
T
，存在
1
A1
使得 A A1 Y. 因此
(2) 分别记 F 和 F 为X 和Y 的全体闭集 构成的族，则 F F |Y .
(3) 分别记Uy和Uy为点 y 在 X 和 Y 中的 邻域系，则 Uy Uy |Y .
证明: (1) 由子空间的定义显然；
(2) F|Y {X U | U T } |Y {(X U ) Y |U T } {Y U Y |U T } {Y U |U T } F
(3) 若 U U y ，则存在 V T 使得
y V U . 因此有 V1 T ，使
得 V V1 Y .令 U1 V1 U .
由于 y V1 U1, 从而U1 U y
且有U1 Y (V1 U ) Y V U U
这样有U U y |Y ， 故 Uy Uy |Y
一个邻域 U ，使得 V U Y .
因为U (A {y}) ，V (A {y}) Y
从而 V (A {y}) (U (A {y})) Y U (A {y})
故 y dY ( A) . 因此 dY ( A) dX ( A) Y
(2) cY ( A) A dY ( A) A (dX ( A) Y ) (A dX (A)) ( A Y ) AY
n1
, xn1) Rn1 | xi2 1}
《点集拓扑》课件
点集拓扑的基本性质
01
02
03
04
性质1
任意两个不同的点不能是等价 的。
性质2
有限多个开集的并集仍然是开 集。
性质3
闭集的补集是开集。
性质4
连续映射下的开集和闭集保持 不变。
点集拓扑的重要性
应用广泛
点集拓扑在数学、物理学、工程 学等领域都有广泛应用，如微分 几何、代数几何、微分方程等领
域。
基础学科
点集拓扑是数学的一门基础学科， 为其他学科提供了数学工具和语言 ，促进了数学的发展。
理论意义
点集拓扑的研究有助于深入探讨数 学中的一些基本问题，如连续性、 连通性、紧致性等，推动了数学理 论的发展。
02
拓扑空间与基
拓扑空间的定义
总结词
抽象的空间
详细描述
拓扑空间是一个由点集构成的空间，这些点集通过集合的并、交、补等运算形 成。它是一个抽象的概念，不依赖于度量或连续性的具体性质。
连通性与道路连通性
连通性的定义与分类
总结词
连通性是描述点集拓扑空间中点之间的相互关系的重要概念，它分为三种类型：强连通 、弱连通和道路连通。
详细描述
连通性定义为一个点集拓扑空间中任意两点可以通过一系列连续变换（如移动、旋转、 缩放等）相互到达。根据连通性的不同性质，可以分为强连通、弱连通和道路连通三种 类型。强连通是指任意两点都相互可达；弱连通是指任意两点至少有一个可达；道路连
基的定义与性质
总结词
定义与性质
详细描述
基是拓扑空间中一个特殊的子集系统，它具有一些重要的性质，如基的任意并仍 属于基，基的有限交仍属于基等。基是定义拓扑空间的重要工具。
基在拓扑空间中的应用
河北师大点集拓扑课件 3.2
为它的一个子基. 其中对每一个 i 为它的一个子基
Pi : X → X i 是X到第 个坐标集 X i 的投射 到第i个坐标集 的投射. 到第
证明: 的情形. 证明:仅证明 n = 2 的情形 X = X 1 × X 2 此时 X 有一个基 B = {U1 × U 2 | U i ∈ T i } 令B = {S1 ∩ S 2 ∩ ∩ S n | Si ∈ S , n ∈ Z + } 显然有 S B ,故 B T. 另一方面 U1 × U 2 = (U1 × X 2 ) ∩ ( X 1 × U 2 ) 所以 B B . 因此 B 是 X 的一个基 . 这样 的一个子基. S 是X 的一个子基
k : X 1 × X 2 × × X n → ( X 1 × × X n 1 ) × X n
使得对于任何 ( x1 ,, xn ) ∈ X 1 × X 2 × × X n
k ( x1 , , xn ) = (( x1 , , xn 1 ), xn )
是一个一一映射,下面只需证k 显然 k 是一个一一映射,下面只需证 连续. 和 k 连续
Pi 1 (U i ) 有 的一个子基. 的一个子基. 对每一个元素 f ( Pi (U i )) = ( Pi
1 1
f ) (U i ) 是Y 中的一个
1
开集, 开集,由th2.6.5知 f 连续 知 连续.
定理 3.2.8 设 X = X 1 1 , X 2 ,, X n 的积空间 T 是X 的拓扑 又设 T 是 X 的某一个拓 拓扑. 扑满足条件:对于 扑满足条件:对于X 的拓扑 则 T 而言, T 而言,
ρ ( x, y ) = ∑ ρi ( xi , yi )
i =1 n 2
容易验证 ρ 是X 的一个度量. 称 ρ 为X 的 的一个度量. 积度量; 积度量;( X , ρ ) 称为 n 个度量空间的度量 积空间. 积空间
河北师大点集拓扑课件42
河北师大点集拓扑课件 42一、教学内容本节课我们将学习《点集拓扑》教材的第42页内容，主要涉及拓扑空间的基本概念、拓扑的性质以及相关的定理。
详细内容包括点集的拓扑结构、开集与闭集的定义、边界点与内部点的区别，以及连续函数的性质。
二、教学目标1. 理解并掌握拓扑空间的基本概念，包括开集、闭集、边界点、内部点等。
2. 学会运用连续函数的性质判断函数在给定拓扑空间上的连续性。
3. 能够运用所学知识解决实际问题，提高空间想象能力和逻辑推理能力。
三、教学难点与重点教学难点：拓扑空间的开集与闭集的定义及其性质，连续函数的判断。
教学重点：拓扑空间的基本概念，连续函数的性质及其应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、笔记本、圆规、直尺。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示一些日常生活中的拓扑结构，如面包片、手套等，引导学生思考拓扑空间的基本概念。
2. 知识讲解：（1）讲解拓扑空间的基本概念，如开集、闭集、边界点、内部点等。
（2）通过例题讲解，让学生掌握连续函数的性质及其判断方法。
3. 随堂练习：让学生运用所学知识，解决一些简单的拓扑问题，巩固所学内容。
六、板书设计1. 开集、闭集、边界点、内部点的定义。
2. 连续函数的性质。
3. 例题讲解与解答。
七、作业设计1. 作业题目：（1）证明：若集合A是拓扑空间X的开集，则A的补集是闭集。
（2）判断函数f：R→R，f(x)=x^2在R上的连续性。
2. 答案：（1）略。
（2）f(x)=x^2在R上连续。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对拓扑空间的基本概念和连续函数的性质掌握情况较好，但在解决实际问题时，还需加强练习。
2. 拓展延伸：（1）了解其他拓扑结构，如度量空间、赋范线性空间等。
（2）研究更复杂的连续函数性质，如一致连续、李普希茨连续等。
重点和难点解析1. 教学难点：拓扑空间的开集与闭集的定义及其性质，连续函数的判断。
《点集拓扑》课件
《点集拓扑》课件一、教学内容本节课的教学内容来自于教材《数学分析》的第十章第二节，主要内容包括点集拓扑的基本概念、拓扑空间的定义及其性质、以及一些常见的拓扑空间。
具体内容包括：1. 点集拓扑的基本概念：邻域、开集、闭集、连通性等。
2. 拓扑空间的定义及其性质：拓扑空间是一个集合及其上的一组开放集的系统。
3. 常见的拓扑空间：欧几里得空间、度量空间、范数空间等。
二、教学目标1. 理解点集拓扑的基本概念，能够熟练运用拓扑空间的概念描述集合的性质。
2. 掌握拓扑空间的定义及其性质，能够判断给定的集合是否构成拓扑空间。
3. 熟悉常见的拓扑空间，能够理解不同拓扑空间之间的联系和区别。
三、教学难点与重点1. 教学难点：拓扑空间的定义及其性质，特别是连通性的理解。
2. 教学重点：点集拓扑的基本概念，以及常见拓扑空间的理解。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：教材《数学分析》、笔记本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过生活中的实例，如房间内的家具布局，引出点集拓扑的基本概念。
2. 点集拓扑的基本概念：介绍邻域、开集、闭集、连通性等概念，并通过图形和实例进行解释。
3. 拓扑空间的定义及其性质：引导学生理解拓扑空间的定义，并通过实例说明拓扑空间的特点。
4. 常见的拓扑空间：介绍欧几里得空间、度量空间、范数空间等常见的拓扑空间，并通过图形和实例进行解释。
5. 课堂练习：给出一些具体的例子，让学生判断是否构成拓扑空间，以及识别给定的集合的拓扑性质。
六、板书设计1. 点集拓扑的基本概念：邻域、开集、闭集、连通性。
2. 拓扑空间的定义及其性质：拓扑空间是一个集合及其上的一组开放集的系统。
3. 常见的拓扑空间：欧几里得空间、度量空间、范数空间。
七、作业设计（1）集合R上的二元组（x,y）构成的集合。
（2）集合N上的自然数构成的集合。
答案：（1）构成拓扑空间，拓扑由所有形如（∞，a）∪（a，+∞）的开集构成。
《点集拓扑学》课件
映射度定理
要点一
总结词
该定理给出了一个映射在两个拓扑空间之间保持某些性质 的条件。
要点二
详细描述
映射度定理是点集拓扑学中的一个重要定理，它提供了一 个映射在两个拓扑空间之间保持某些性质的条件。具体来 说，如果一个映射在两个拓扑空间之间是同胚的，那么这 个映射将一个空间的开集映射到另一个空间的开集，或者 将一个空间的闭集映射到另一个空间的闭集。这个定理在 研究拓扑空间的性质和映射的性质时非常有用。
02
紧致性
如果一个拓扑空间中的任意开覆 盖都有有限子覆盖，则称该空间 是紧致的分离公理可以推导出紧致性，反 之则不成立。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
重要的拓扑结构
欧几里得空间
欧几里得空间是点集拓扑学中最 基础的空间，它由满足距离公理
在物理学中的应用
量子力学
在量子力学中，波函数是一种定义在 点集上的复值函数。点集拓扑学为理 解波函数的性质和行为提供了重要的 理论支持。
流体动力学
流体动力学中的某些问题，如涡旋的 形成和演化，需要用到点集拓扑的知 识来描述和解释。
在计算机科学中的应用
计算几何
计算几何是计算机科学中一门研究几何对象离散表示和计算的学科。点集拓扑学为计算几何提供了基础理论和方 法。
莫尔斯-斯梅尔定理
总结词
该定理表明，对于一个可微分的闭曲面，其上的任何连续映射都可以被提升为同 胚的映射。
详细描述
莫尔斯-斯梅尔定理是点集拓扑学中的一个重要定理，它指出对于一个可微分的 闭曲面，其上的任何连续映射都可以被提升为同胚的映射。这个定理在研究连续 映射和同胚映射的性质时非常有用，特别是在处理一些复杂的几何问题时。
河北师大点集拓扑课件33
河北师大点集拓扑课件 33一、教学内容本次课程内容依据河北师大点集拓扑教材第四章第三节，主要详细讲解点集拓扑空间中的紧性与连通性。
具体内容包括紧空间的定义、性质及其判定方法；连通空间的基本概念、连通性的保持定理以及路径连通与局部连通的等价条件。
二、教学目标1. 理解并掌握紧空间的基本概念，能够运用紧性判定定理分析具体例子。
2. 掌握连通空间的基本性质，能够准确区分路径连通与局部连通。
3. 能够运用所学知识解决实际问题，培养空间想象能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点教学难点：紧性与连通性的判定和应用。
教学重点：紧空间、连通空间的基本概念及其性质。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
学具：教材、笔记本、文具。
五、教学过程1. 引入实践情景：通过展示地球仪上的紧性与连通性实例，引导学生思考紧性与连通性的实际意义。
细节：地球仪上的路径连通与局部连通区域，如大西洋两岸的连通性。
2. 知识讲解：（1）紧空间的概念及性质。
（2）连通空间的概念及性质。
（3）紧性与连通性的判定方法。
（4）例题讲解。
细节：讲解过程中，结合地球仪上的实例，引导学生理解并掌握相关概念。
3. 随堂练习：（1）判断给定空间是否为紧空间。
（2）分析给定空间的连通性。
（3）讨论紧空间与连通空间的关系。
细节：针对不同难度的问题，引导学生进行独立思考和小组讨论。
（1）回顾本次课程的主要内容。
（2）解答学生疑问。
六、板书设计1. 紧空间的概念及性质。
2. 连通空间的概念及性质。
3. 紧性与连通性的判定方法。
4. 例题解析。
七、作业设计1. 作业题目：（1）证明：紧空间一定是闭空间。
（2）判断：设X为拓扑空间，若X中任意两点都存在连通开集，则X是连通空间。
（3）讨论：紧空间与连通空间的关系。
2. 答案：（1）证明：利用紧空间的性质，结合闭集的定义，证明紧空间一定是闭空间。
（2）判断：正确。
利用连通空间的性质，结合给定条件，证明X是连通空间。
点集拓扑讲义.ppt
称 (X , ) 是一个度量空间. 在不至引
起混淆的前提下，迳称 X 是一个度量
空间； (x, y) 称为点 x 到 y 的距离.
3
常见度量空间
➢➢➢实实实数数数空集空间间R RR
设设 ::RRRRRR ,,对对于于任任意意xx,,yy∈∈RR,, 令令((xx,,yy))||xxyy||,,容容易易验验证证 是是 RR 的的
间间，，ff :: XX YY，，xx00 XX 则则下下述述条条件件
((11))和和((22))分分别别等等价价于于条条件件((11)) **和和((22))**：：
((11)) ff 在在点点 xx00 处处是是连连续续的的；；
((11))** ff ((xx00))的的每每一一个个邻邻域域的的原原象象是是
由由由于于于
AAA000AA是是A是一一一个个个使使使开开开得得得集集集xxx，，，从从从AAA而而而000 ,,存存,存在在在
AA
BBB(((xxx,,,))) 满满满足足足
BBB(((xxx,,,))) AAA000 UUU AAAAAA AAA
故故故AAUUUAA AAA是是是开开开集集集... AA 18
一一个个度度量量..
(R, )称为实数空间或直线.这
个度量称为 R 的通常度量，并且常常
迳称 R 为实数空间．
4
常见度量空间
➢➢➢nnn维重 重重欧笛 笛笛氏卡 卡卡空儿 儿儿间积 积积RRRnRnnn 定 定定义 义义 :::RRRnnn RRRnnn RRR
能对 对对够任 任任验意 意意证xxx(((xxx为111,,,xxx22R2,,,LLnL的,,,xxx度nnn)))， ，量，xxx，((称(yyy111,,,(yyyR222,,n,LLL, ,,,)yyynnn)))
点集拓扑学讲义ppt.8
2 n 根据 (U 1 Vx1 ) (U x Vx2 ) (U x ( x ) Vxn( x ) ) x (M x Vx1 ) (M x Vx2 ) (M x Vxn( x ) ) = M x (Vx1 Vx2 Vxn ( x ) ) =M x X2 可见 A x 是集合 M X 的一个覆盖，(图 8.1.1)，此外
由定理 8.1.6 可知，紧致性不是遗传性质.
定 理 8.1.4 设 X1, X 2 ,, X n 是 n 个 紧 致 空 间 (n 2)， 则拓扑积空间 X1 X 2 X n 也是一个紧致 空间，即紧致性质是一个有限可积的性质.
证明：我们只需对 n=2 的情形给以证明.
设 ( X1,T1) , ( X 2 ,T2 ) 是紧致拓扑空间,由积空间定 义 可 知 B {U V | U T1,V T2} 是 积 空 间 X 1 X 2 的 一个基，根据定理 8.1.3，我们只需证明由 B 的元 素构成的 X 1 X 2 的任意一个开覆盖都有一个有限 子覆盖即可得 X 1 X 2 是一个紧致空间.
~ A { f 1 ( A) | A A } 是 X 的一个开覆盖.由 因此集族
AA
f
1
( A) f
1
( A) f
AA
1
( f ( X )) X
于 X 是一个紧致空间，因此存在 A~ 的有限子族
{ f ( A1 ),, f ( An )}使得 f 1 ( Ai ) X .
设 A 是由 B 中的元素构成的 X 1 X 2 的一个覆盖, 对于每个 x X 1,由于积空间 X 1 X 2 的子空间 {x} X 2 同胚于 X 2 ,因此它是 X 1 X 2 中的一个紧致子集,又显 然 A 是{x} X 2 的一个由 X 1 X 2 中的开集构成的一 个覆盖,由定理 8.1.1 知 A 有一个有限子覆盖覆盖 {x} X 2 ，设这个覆盖为
河北师大点集拓扑课件 4.1
A (2,3) , B (3, 4]
( 2
。 ]
3 4
A B
A (2,3] , B (3, 4]
( 2 ] 4
A B
定义4.1.1 设 A 和 B 是拓扑空 间 X 中的两个子集. 如果
( A B) ( A B)
则称A，B是隔离的（或称A，B是隔 离子集）. 注：拓扑空间 X 肯定存在隔离子集.
个性质是一个在连续映射下保持不变
的性质．
注：在连续映射下保持不变的性质必
然是拓扑不变性质．
定理4.1.8 设 f : X Y 是从连 通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映 射. 则 f (X )是Y 的一个连通子集. 证明: (反证法) 设 f (X )是Y 的一个不 连通子集，则存在Y 的非空隔离子集 A , B 使得 f (X )=A∪B . 由于 f 1 ( A)
Z 个连通子集， X ，且满足条件
Y Z Y，则Z 也是X 的一个连通
子集. 证明：假设Z 是X 的一个不连通子集,
由th4.1.3知有X中的隔离子集A,B使得 Z=A∪B. 因此 Y A B ，由于Y 连通, 根据th4.1.4知 Y A 或者 Y B.
若 Y A ，因为 Z Y A ， 所以 Z B A B , 从而 B Z B ；同理可以证明 若 YB 则 A ，均与假设矛盾. 故 Z 也是 X 的一个连通子集.
(3) (4) .如果 X 的子集 A 和 B 满足
条件(3). 由于此时A 和 B 都是X中的 既开又闭的非空真子集，故(4)满足.
(4) (1) . 令 A 是 X 中的一个既开又闭 的非空真子集，设 B A ，则 A 和B
点集拓扑讲义ppt.1
精选完整ppt课件
16
（A-B）×（C-D）
图1.1.3
该集合等式也可用定义证明,其过程读者自己做为练习完成.
精选完整ppt课件
17
习题 1.1
1. 试判断下列关系式的正确与错误
A {A}; A {A}; {}; {}; {}; (); 2. 设 A1,A2,,An都是集合，其中 n2,证明：如果 A 1 A 2 A n A 1, 则
而此时可称B为全集，全集在一个问题中是事先 指定的或者是不言自明的.
精选完整ppt课件
8
对于集合之间的运算，有时用图象表示更直观一些.在下面的图1.1.1中， 我们用两个圆分别表示集合A,B，而用阴影部分表示两个集合运算的结果.
图1.1.1
精选完整ppt课件
9
观察图1.1.1我们不难得出下面的等式:
精选完整ppt课件
3
❖ 集合一词，我们在高中阶段已经接触过，在那里， 集合是指具有某种属性的对象的全体.在这里，我们 仍采用对集合的这种直观的描述性定义，以后我们 还将经常遇到像这样直观的描述性定义或一些直观 的结论.虽然这样做逻辑性差一些，不及公理集合论 的严密性，但这样做却是我们易于理解和接受的， 不致使读者陷入逻辑困惑之中，从而尽快地进入拓 朴学基础的学习程序.
定义1.1.3 给定集合A,B,由A和B的公共元素
.
构成的集合叫做A与B的交集,记作 AB. 用描述法表示就是:A B { x|x A ,而且 x B }.
精选完整ppt课件
7
定义1.1.4 给定集合A,B，把由属于A而不属于B 的元素构成的集合叫做A与B的差集,记作 AB. 用描述法表示是 AB{x|x A , x B }. 如果 AB, 称 BA为A在B中的补集，记作 A.
河北师大点集拓扑课件第五章
河北师大点集拓扑课件第五章教学内容：1. 集合的基本概念：集合的定义，集合的元素，集合的表示方法，集合的运算（并、交、补）。
2. 映射的基本概念：映射的定义，映射的性质，映射的表示方法，映射的反射和象。
3. 拓扑空间的基本概念：拓扑空间的定义，拓扑空间的基本性质，拓扑空间的表示方法，拓扑空间的例子（欧几里得空间、度量空间、拓扑向量空间）。
教学目标：1. 理解并掌握集合的基本概念和运算，能够运用集合的知识解决实际问题。
2. 理解并掌握映射的基本概念和性质，能够运用映射的知识解决实际问题。
3. 理解并掌握拓扑空间的基本概念和性质，能够运用拓扑空间的知识解决实际问题。
教学难点与重点：重点：集合的基本概念和运算，映射的基本概念和性质，拓扑空间的基本概念和性质。
难点：映射的反射和象的概念，拓扑空间的基本性质。
教具与学具准备：教具：黑板、粉笔、多媒体课件。
学具：笔记本、笔、课本。
教学过程：1. 引入：通过讲解集合的基本概念和运算，让学生理解集合的概念和作用。
2. 讲解映射的基本概念和性质，通过实例让学生理解映射的概念和性质。
3. 讲解拓扑空间的基本概念和性质，通过实例让学生理解拓扑空间的概念和性质。
4. 练习：通过课堂练习，让学生巩固所学的知识，提高解题能力。
板书设计：1. 集合的基本概念和运算。
2. 映射的基本概念和性质。
3. 拓扑空间的基本概念和性质。
作业设计：1. 定义集合的基本概念，并给出例子。
答案：集合是由一些确定的元素构成的整体，元素的性质和相互关系是唯一的。
例如，全体自然数构成的集合N={1,2,3,4,5,…}。
2. 定义映射的基本概念，并给出例子。
答案：映射是一种从集合A到集合B的规则，对于集合A中的每一个元素，都有一个唯一的元素与之对应于集合B中。
例如，函数f(x)=x²，定义域是全体实数R，值域是非负实数R²。
3. 定义拓扑空间的基本概念，并给出例子。
答案：拓扑空间是一种具有拓扑结构的集合，拓扑结构是由开集构成的。
点集拓扑学第二章拓扑空间与连续映射 ppt课件
包含于B的闭包的原象，即 f1(B)f1(B)
Department of Mathematics
证明 (1)蕴涵(2)．设 BY是闭集 则 B c 是一个开集，因此根据 (1)
f1(Bc)(f1(B)c)是X中的一个开集，因此 f 1(B) 是X中的一个闭集．
A的所有开集的并称为集合A的内部,记为: A
A是含于A里的最大开集
定理2.19. 设X是一个拓扑空间，AX,则
A是开 集的任充取分x必要( A条c件)c,是则Ax=AA. c , 定理所2以.2,0存. 在对xA的X邻, 域VA,使得(:Ac),c A((Ac))c
证明: V 任取{ A xc { Ax } ,则 xV } AA cc , 从 而 x( Ac )c.
(2)蕴涵(3). 设 AX , 由于f(A) 根据(2)，
Department of Mathematics
成立．
(3)蕴涵(4)设 BY, 集合 f1(B)X 应用(3)即得:
(4)蕴涵(l)．设U是Y中的一个开集． 则 U c是Y中的一个闭集．对此集合应用(4) 可见: f1(Uc)f1(Uc)f1(Uc)
充分性：设：
Department of Mathematics
即A是一个闭集．
例2.6 实数空间R中作为闭集的区间． 设a,b∈R，a＜b．闭区间[a,b]是实数空间R 中的一个闭集. (-∞,a]，[b,∞)都是闭集，(-∞,∞)＝R显然更 是一个闭集．
（a，b]，[a，b）是否闭集?
回答: 不是
例2.5. 平庸空间中集合的凝聚点和导集．
d(A) X A
点集拓扑学课件
点集拓扑学合肥工业大学数学学院预备知识1. 点集拓扑的定义《点集拓扑学》课程是一门现代数学基础课程，属数学与应用数学专业的理论课。
是数学与应用数学专业的主干课。
点集拓扑学（Point Set Topology ），有时也被称为一般拓扑学（General Topology ），是数学的拓扑学的一个分支。
它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质。
这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。
它的表述形式大概在1940 年左右就已经成文化了。
通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。
2. 点集拓扑的起源点集拓扑学产生于19世纪。
G.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果。
1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始。
3. 一些参考书籍（1）《拓扑空间论》，高国士，科学出版社，2000年7月第一版（2）《基础拓扑讲义》，尤承业，北京大学出版社，1997 年11 月第一版（3）《一版拓扑学讲义》，彭良雪，科学出版社，2011 年 2 月第一版第一章集合论初步在这一章中我们介绍有关集合论的一些基本知识. 从未经定义的集合”和元素”两个概念出发给出集合运算、关系、映射以及集合的基数等方面的知识等。
这里所介绍的集合论通常称为朴素的集合论”，这对大部分读者已经是足够了•那些对集合的理论有进一步需求的读者，例如打算研究集合论本身或者打算研究数理逻辑的读者，建议他们去研读有关公理集合论的专著。
1・1集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的，它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体。
例如我们常说正在这里听课的全体学生的集合”，所有整数的集合”等等•集合也常称为集。
集合（即通常所谓的集体”）是由它的元素（即通常所谓的个体”）构成的•例如正在这里听课的全体学生的集合以正在听课的每一个学生为它的元素；所有整数的集合以每一个整数为它的元素•元素也常称为元，点或成员.集合也可以没有元素.例如平方等于2的有理数的集合，既大于1又小于2的整数的集合都没有任何元素，这种没有元素的集合我们称之为空集，记作成的'。
点集拓扑学课件
点集拓扑学合肥工业大学数学学院预备知识1.点集拓扑的定义《点集拓扑学》课程是一门现代数学基础课程，属数学与应用数学专业的理论课。
是数学与应用数学专业的主干课。
点集拓扑学（Point Set Topology），有时也被称为一般拓扑学（General Topology），是数学的拓扑学的一个分支。
它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质。
这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。
它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。
通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。
2.点集拓扑的起源点集拓扑学产生于19世纪。
G.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果。
1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始。
3.一些参考书籍（1）《拓扑空间论》，高国士，科学出版社，2000年7月第一版（2）《基础拓扑讲义》，尤承业，北京大学出版社，1997年11月第一版（3）《一版拓扑学讲义》，彭良雪，科学出版社，2011年2月第一版第一章 集合论初步在这一章中我们介绍有关集合论的一些基本知识．从未经定义的“集合”和“元素”两个概念出发给出集合运算、关系、映射以及集合的基数等方面的知识等。
这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”，这对大部分读者已经是足够了．那些对集合的理论有进一步需求的读者，例如打算研究集合论本身或者打算研究数理逻辑的读者，建议他们去研读有关公理集合论的专著。
1.1 集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的，它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体。
例如我们常说“正在这里听课的全体学生的集合”, “所有整数的集合”等等．集合也常称为集。
集合（即通常所谓的“集体”）是由它的元素（即通常所谓的“个体”）构成的．例如正在这里听课的全体学生的集合以正在听课的每一个学生为它的元素；所有整数的集合以每一个整数为它的元素．元素也常称为元，点或成员．集合也可以没有元素．例如平方等于2 的有理数的集合，既大于1 又小于2 的整数的集合都没有任何元素，这种没有元素的集合我们称之为空集，记作φ。
河北师大点集拓扑课件 4.5
定理4.5.2 设 X 和 Y 是两个拓扑 空间，其中 X 是道路连通空间，
f : X Y 是一个连续映射. 则 f (X )
是道路连通空间.
1
g
x1 x2
f
y1
f (X)
y2
0
X
Y
定理4.5.3 设 X1 , X 2 ,
, Xn 是
n 1 个道路连通空间. 则积空间
X1 X 2 X n 也是道路连通空间.
证明：只需证明 n=2 的情形. 对x ( x1 , x2 ), y ( y1, y2 ) X1 X 2 对于 i =1,2，由于 X i 是道路连通空 间, 故在 X i 中有从 道路. f i .
xi 到 yi 的一条
定义映射 f :[0,1] X1 X 2 使得对 任意 t [0,1] 有 f (t ) ( f1 (t ), f 2 (t )) 易知 f 是连续映射. 且 f1 (0) x, f 2 (1) y . 故 X1 X 2 是道路连通空间. 注：R 是一个道路连通空间.
定理4.5.5 n 维欧氏空间 R 的任 何一个连通开集都是道路连通的. 证明: 设V 是 R n 的一个连通开集, 不 妨设 V ，则V 是它所有道路连通 分支的无交并，由于V 的每一个道路 连通分支都是开集，从而此时若V 的 连通分支的个数多于一个，则V 可以 写成无交的两个非空开集的并.
下面我们证明 C C 由于 R 是局部连通的，从而 C 是开 集，由th4. 5.5知连通开集 C是道路连 通的，从而它必包含于U 的某一个道 路连通分支中，由于 a C 故必有 C C
n
又因为 C 是道路连通子集，从而 必为连通子集，故必包含在U 的某一 个连通分支中，由于 a C ，故必 有 C C ， 因此有 C C . 作业：2, 5：(1)、（2） 思考题：4，6
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定义1.1.4 给定集合A,B，把由属于A而不属于B 的元素构成的集合叫做A与B的差集,记作 A B. 用描述法表示是 A B {x | x A, xB}. 如果 A B, 称 B A 为A在B中的补集，记作 A.
而此时可称B为全集，全集在一个问题中是事先 指定的或者是不言自明的.
对于集合之间的运算，有时用图象表示更直观一些.在下面的图1.1.1中， 我们用两个圆分别表示集合A,B，而用阴影部分表示两个集合运算的结果.
定义1.1.1 对于两个集合A,B,如果A的每个元素都是集 合B的元素,我们称A包含于B,或B包含A,或A是B的子 集,记作 A B .
如果 A B，而且存在使得 y B，称A是B的真子集，
记作 A . B
如果A B ，同时B A，称集合A与集合B相等， 记作A=B.
➢不含任何元素的集合称为空集，用符号 表示. ➢规定空集是任意集合的子集. ➢含有有限个元素的集合叫做有限集， ➢不是有限集的集合叫做无限集.
定义1.1.2 给定集合A,B,由A与B的全部元素
构成的集合叫做A与B的并集,记作 A B. 用描述法表示是: A B {x | x A, 或x B}
定义1.1.3 给定集合A,B,由A和B的公共元素
.
构成的集合叫做A与B的交集,记作 A B. 用描述法表示就是:A B {x | x A,而且 x B}.
(5)分配律 A (B C) (A B) (A C),
A (B C) (A B) (A C)
(6)幂等律 A A A, A A A (7)对合律 A A (8)对偶律 (A B) A B, (A B) A B (9)互补律 A A X , A A
以上运算定律由定义或作图不难验证,我们仅以对 偶律的验证为例,其余读者自己完成.
图1.1.2
图(a)中阴影部分表示 (A B) ,图(b)中右斜线表示 A ，左斜线表示 B . 由图1.1.2可得：(A B) A B . 定义1.1.5 对给定的非空集合 X ,Y 我们把由二元有序对 (x, y) (其中 x X , y Y ) 构成的集合叫做X与Y的笛卡 尔积，记作 X Y 用描. 述法表示是:
A1 A2 An 3. 设 X {x1, x2, , xn} ，即X有 n 个互不相同的元素，X的幂集P (X)有多少个互不相同 的元素. 4. 设 X {a,b,c,，d} 用列举法给出P (X).
5. 设A，B是集合，证明 A A B 的充要条件是 B A , 且 A B B 的充要条件是
B A
， .
6. 设A，B都是集合,证明:若 A B ，则 B (B A) A .
7. 设某一个全集已经给定，证明
① A B A B
② A B (A B) B A (A B)
③ 若 A B X，并且 A B ，则 A B, B A
④ ( A1 B1) ( A2 B2 ) A1 A2 (B1 B2 )
（A-B）×（C-D）
图1.1.3
该集合等式也可用定义证明,其过程读者自己做为练习完成.
习题 1.1
1. 试判断下列关系式的正确与错误
A {A}; A{A}; {}; {}; {}; (); 2. 设 A1, A2 ,, An 都是集合，其中 n 2 ,证明：如果 A1 A2 An A1 , 则
8. 设A，B，C，D是全集X的子集,试判断下列命题的正确性.若正确，给出证明， 若不正确，给出反例.
① A (A B) B
图1.1.1
观察图1.1.1我们不难得出下面的等式:
A B (A B) B (A B) (A B) (B A)
这样做的好处在于将并集 A B 转化成互不相交 的集合并集.该集合等式也可以用定义证明.
集合中的运Leabharlann 律设X是全集，A，B，C是X的子集，则以下运算律成立： (1)交换律 A B B A, A B B A (2)结合律 (A B) C A (B C), (A B) C A (B C) (3)零元,单位元 A A, A X A (4)吸收律 A (A B) A, A (A B) A
点集拓扑学
主讲人：吴洪博
第一章 集合论初步
❖§1.1 集 合 ❖§1.2 关系,等价关系 ❖§1.3 映 射 ❖§1.4 集族及其运算 ❖§1.5 可数集，不可数集 ❖§1.6 基 数
§1.1 集 合
❖ 重点:熟悉有关集合的等式和性质 ❖ 难点:有关集合的有限笛卡尔积的等式和性质
❖ 集合一词，我们在高中阶段已经接触过，在那里， 集合是指具有某种属性的对象的全体.在这里，我们 仍采用对集合的这种直观的描述性定义，以后我们 还将经常遇到像这样直观的描述性定义或一些直观 的结论.虽然这样做逻辑性差一些，不及公理集合论 的严密性，但这样做却是我们易于理解和接受的， 不致使读者陷入逻辑困惑之中，从而尽快地进入拓 朴学基础的学习程序.
虽然对于任意给定集合,它们的元素不必有序,但我们可 以把集合的元素串在一起,这样就可用线段或直线表示 集合.进而将集合的笛卡尔积就可用“平面图形”直观的表 现出来.
例1.1.1 设 A, B X , C, D Y 由下面的图1.1.3很容易得
(A B) (C D) A C (A B) D B (C D) A C B D (A B) D B (C D)
X Y {( x, y) | x X , y Y}
其中x是第一个坐标,y是第二个坐标,X称为第一个坐标集, Y称为第二个坐标集. 特别地，记 X X 为 X 2 称为X的二重笛卡尔积. 对于有序对及笛卡尔积，读者并不陌生，我们学过的笛
卡尔直角坐标系中的点就是有序数对 (x, y), (x, y R) , 因而整个直角坐标系平面就是集合R的二重笛卡尔积R 2 (R表示实数集合).