弧、弦、圆心角PPT课件
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弧弦圆心角课件
应用三：求解多边形内角和
弧弦圆心角定理
多边形内角和等于（n-2）×180°，其中n为多边形的边数。
弧弦圆心角在多边形中的应用
通过弧弦圆心角定理，可以求解多边形内角和，进而解决与多边形内角相关的问题。同时，也可以利 用多边形内角和的求解方法，推导其他几何图形的内角和公式。
05
弧弦圆心角在三角函数中应用
心角之差。
弧弦圆心角在波动中的应用
02
利用弧弦圆心角可以直观地表示波动的相位，从而方便地描述
两个波之间的相位差以及波的干涉、衍射等现象。
应用实例
03
利用弧弦圆心角分析两个同频率波的干涉现象，可以方便地得
出干涉加强或减弱的条件。
应用三：描述圆周运动中角速度与线速度关系
角速度与线速度关系
在圆周运动中，角速度与线速度之间的关系可以通过弧弦圆心角来描述。具体地，角速度 等于单位时间内转过的弧弦圆心角所对应的弧度数，而线速度则等于角速度与半径的乘积 。
要点二
利用弧弦圆心角关系判断三角函 数方程的解的存在性
在解三角函数方程时，有时需要判断方程是否有解。此时 ，可以利用弧弦圆心角关系来判断方程是否有解。例如， 当方程中的三角函数值超出其定义域时，可以判断该方程 无解。
06
弧弦圆心角在物理中应用
应用一：描述简谐振动中相位差
相位差定义
两个同频率简谐振动的相位之差，等于它们所对应的弧弦圆心角 之差。
。
性质定理二
在同圆或等圆中，如果两条弧相等 ，那么它们所对的圆心角相等，所 对的弦也相等。
性质定理三
在同圆或等圆中，如果两条弦相等 ，那么它们所对的弧相等，所对的 圆心角也相等。
判定方法二：利用三角函数判定
《圆心角、弧、弦之间的关系》课件
得∠AOB=∠A′OB′,=''.
相等.
探究点一
圆心角、弧、弦之间的关系
[例 1]如图所示,在☉O 中,=,∠ACB=60°.求证:∠AOB=∠AOC=∠BOC.
[导学探究]
1.由=,可得 AB=AC
,即△ABC 是 等腰 三角形.
2.由∠ACB=60°,可得△ABC 是 等边 三角形,易得∠AOB=∠AOC=∠BOC.
2.圆的对称性
第1课时
圆心角、弧、弦之间的关系
一、圆的对称性
1.圆是旋转对称图形,无论绕
是 圆心 .
圆心
旋转多少度,都能与自身重合,对称中心
2.圆是轴对称图形,任意一条 直径 所在的直线都是它的对称轴.
二、圆心角、弧、弦之间的关系
1.在同一个圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的 弧 相等,所对的 弦 相等.
.
证明:如图所示,连结 OC,
因为 C 为的中点,
所以=.
所以∠MOC=∠NOC.
又因为 M,N 分别是 OA,OB 的中点,
所以 OM= OA,ON= OB.
因为 OA=OB,所以 OM=ON.
= ,
在△OMC 和△ONC 中, ∠ = ∠,
= ,
所以△OMC≌△ONC.所以 MC=NC.
圆心角、弧、弦三者之间的关系可以理解为:在同圆或等圆中,(1)圆心角相等;
(2)两条劣弧(或优弧)相等;(3)两条弦相等,三项“知一推二”,即一项相等,
其余两项皆相等.
证明:因为=,所以 AB=AC,
即△ABC 是等腰三角形.
又∠ACB=60°,
所以△ABC 是等边三角形.
所以 AB=BC=CA.
相等.
探究点一
圆心角、弧、弦之间的关系
[例 1]如图所示,在☉O 中,=,∠ACB=60°.求证:∠AOB=∠AOC=∠BOC.
[导学探究]
1.由=,可得 AB=AC
,即△ABC 是 等腰 三角形.
2.由∠ACB=60°,可得△ABC 是 等边 三角形,易得∠AOB=∠AOC=∠BOC.
2.圆的对称性
第1课时
圆心角、弧、弦之间的关系
一、圆的对称性
1.圆是旋转对称图形,无论绕
是 圆心 .
圆心
旋转多少度,都能与自身重合,对称中心
2.圆是轴对称图形,任意一条 直径 所在的直线都是它的对称轴.
二、圆心角、弧、弦之间的关系
1.在同一个圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的 弧 相等,所对的 弦 相等.
.
证明:如图所示,连结 OC,
因为 C 为的中点,
所以=.
所以∠MOC=∠NOC.
又因为 M,N 分别是 OA,OB 的中点,
所以 OM= OA,ON= OB.
因为 OA=OB,所以 OM=ON.
= ,
在△OMC 和△ONC 中, ∠ = ∠,
= ,
所以△OMC≌△ONC.所以 MC=NC.
圆心角、弧、弦三者之间的关系可以理解为:在同圆或等圆中,(1)圆心角相等;
(2)两条劣弧(或优弧)相等;(3)两条弦相等,三项“知一推二”,即一项相等,
其余两项皆相等.
证明:因为=,所以 AB=AC,
即△ABC 是等腰三角形.
又∠ACB=60°,
所以△ABC 是等边三角形.
所以 AB=BC=CA.
圆心角弧弦之间的关系课件
圆心角弧弦之间的关系 ppt课件
在几何中，圆心角、弧和弦是圆形中的三个基本概念。它们之间有着密切的 关系和数学公式，通过本课件将深入探讨它们间的关联和实际应用。
圆心角的定义
圆心角是指以圆心为顶点，两条与圆相交的射线所夹的角度。
弧的定义
弧长
弧长是指弧上的一段线段的长度。
对应弧
对应弧是指与圆心角相对应的弧。
弦弧中点角
弦弧中点角是指弦所对应的弧的一半的圆心角。
弦的定义
1 中心弦
中心弦是指连接圆的两个不同点，并通过圆心的弦。
2 切线弦
切线弦是指与圆相切并通过圆心的弦。
3 弦弧中点角和弦角
弦弧中点角和弦角是弦所对应的圆心角。
圆心角和弧的关系
1
圆心角和对应弧的关系2圆心角等于对来自弧所包含的弧度数的两倍。
3
圆心角度数等于对应弧的弧度数
圆心角的度数等于对应弧的弧度数。
圆心角和弧长的关系
圆心角的度数等于弧长除以圆的半径。
圆心角和弦的关系
圆心角和弦垂直
圆心角和弦的所对应的两条弧都 与弦垂直。
圆心角是所对应弦弧中点 角的两倍
圆心角的度数等于所对应弦弧中 点角度数的两倍。
所对应弦弧中点角是圆心 角的一半
所对应弦弧中点角的度数等于圆 心角度数的一半。
圆心角和弧弦的计算公式
圆心角 圆心角 弦角 弦弧中点角
弧长/圆半径 弧对应的弧度数 圆心角的一半 圆心角/2
实际问题的应用
建筑设计
在建筑设计中，圆心角和弦的 关系可用于计算建筑物的弧线 结构。
车辆转弯
在车辆转弯的计算中，圆心角 和弦的关系可用于确定转弯半 径和最佳转弯角度。
天文学
在天文学中，圆心角和弧的关 系可用于计算星体之间的距离 和角度。
在几何中，圆心角、弧和弦是圆形中的三个基本概念。它们之间有着密切的 关系和数学公式，通过本课件将深入探讨它们间的关联和实际应用。
圆心角的定义
圆心角是指以圆心为顶点，两条与圆相交的射线所夹的角度。
弧的定义
弧长
弧长是指弧上的一段线段的长度。
对应弧
对应弧是指与圆心角相对应的弧。
弦弧中点角
弦弧中点角是指弦所对应的弧的一半的圆心角。
弦的定义
1 中心弦
中心弦是指连接圆的两个不同点，并通过圆心的弦。
2 切线弦
切线弦是指与圆相切并通过圆心的弦。
3 弦弧中点角和弦角
弦弧中点角和弦角是弦所对应的圆心角。
圆心角和弧的关系
1
圆心角和对应弧的关系2圆心角等于对来自弧所包含的弧度数的两倍。
3
圆心角度数等于对应弧的弧度数
圆心角的度数等于对应弧的弧度数。
圆心角和弧长的关系
圆心角的度数等于弧长除以圆的半径。
圆心角和弦的关系
圆心角和弦垂直
圆心角和弦的所对应的两条弧都 与弦垂直。
圆心角是所对应弦弧中点 角的两倍
圆心角的度数等于所对应弦弧中 点角度数的两倍。
所对应弦弧中点角是圆心 角的一半
所对应弦弧中点角的度数等于圆 心角度数的一半。
圆心角和弧弦的计算公式
圆心角 圆心角 弦角 弦弧中点角
弧长/圆半径 弧对应的弧度数 圆心角的一半 圆心角/2
实际问题的应用
建筑设计
在建筑设计中，圆心角和弦的 关系可用于计算建筑物的弧线 结构。
车辆转弯
在车辆转弯的计算中，圆心角 和弦的关系可用于确定转弯半 径和最佳转弯角度。
天文学
在天文学中，圆心角和弧的关 系可用于计算星体之间的距离 和角度。
弧、弦、圆心角课件(1课时28张)
为E，F，OE与OF 相等吗？为什么？
练习
2．如图，AB 是圆O 的直径， ∠AOE 的度数.
，∠COD=35°. 求
练习——易错点
下面的说法正确吗?为什么? 如图，因为∠AOB =∠A’OB ’, 所以
不正确，在同圆或等圆中，才有相等的圆心角所对弧相等.
练习——计算 如图，在圆O 中， 答案：70° .
∠AOB =∠A’OB ’
∠AOB =∠A’OB ’
∠AOB =∠A’OB ’
练习
如图，在圆O 中，
, ∠ACB =60° . 求证：
∠AOB =∠BOC =∠AOC .
证明： ∴ AB =AC，△ABC 是等腰三角形 又 ∠ACB =60° ∴ △ABC 是等边三角形，AB =BC =CA ∴ ∠AOB =∠BOC =∠AOC
圆心角
如图，BC 是圆O 的直径，则图中所有的圆心角分别 是∠A_O__C__，__∠_A__O__B___.（填小于180°的角）
探究
下面我们一起来研究在同一圆中，圆心角与它所对的弦、弧 有什么关系？
如图，在圆O 中，当圆心角∠AOB =∠A’OB ’时，
它们所对的弧
相等吗 相等
？它们所对的弦AB 和A’B ’相等 相等
弧的度数
把圆心角等分成 360 份，则每一份的圆心角是 1°，同时整个 圆也被分成了 360 份.则每一份这样的弧叫做 1°的弧.
1°的圆心角对着 1°的弧，1°的弧对着 1°的圆心角. n°的圆心角对着 n°的弧，n°的弧对着 n°的圆心角.
弧的度数
1°的弧
1° n°
n°的弧 性质：弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
∠AOB =∠A’OB ’
3.弧弦圆心角课件
顶点在圆心的圆心角等分成360份时，每 一份的圆心角是1°的角，整个圆周被等分成 360份，我们把每一份这样的弧叫做1°的弧。
（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）
C
1度弧
D
结论：圆心角的度数和
它所对的弧的度
判断
在两个圆中，分别有 AB和CD , 若 AB 的度 数和 CD 相等，则有
是圆周长的 1/6 。 4、一条弦长恰好等于半径，则此弦所对的圆
心角是 60 度。
课堂检测
5.已知：如图，⊙O中， AB、CD
︵︵
交于E， ACB与DBC的度数相等。线
段DE与线段BE相等吗？证明你的结
论.
•
A
C
E
D
O B
2.如图，在⊙O中，∠B=37°， 劣弧AB的度数是多少？
对应练习
1.在半径相等的⊙O和⊙´ O⌒中,A´⌒B和´ A B 所对的圆 心
角都⌒是6⌒´0°´ . (1)⌒AB和´⌒A´B各是多少度?
(2)AB和A B 相等吗?
(3)在同圆或等圆中,度数相度的弧相等.为什么?
2.若把圆5等分,那么每一份弧是多少度?若把圆8 等分,那么
（1）AB 和 CD 相等
（2）AB 所对的圆心角和 CD 所对的圆 心角相等
例题分析
例1:已知：如图，在△ABC中, ∠C=90°， ∠A=34°,以点C为圆心,CB为半径的圆交 AB于D点，求BD弧的度数.
A
问题：求BD弧的度数，可转化
为求什么？需添辅助线吗？
D
如何添？
C
B
对应练习
1.下列说法，正确的是（ ） A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等
教学课件：第3课时-弧、弦、圆心角
详细描述
根据与直径的位置关系，弦可以分为优弧弦、劣弧弦和直径弦。优弧弦是位于直径同侧的两个半圆弧 之间的弦；劣弧弦是位于直径异侧的两个半圆弧之间的弦；直径弦是经过圆心的弦，也就是圆的直径 。
04
圆心角的基本概念
圆心角的定义
01
圆心角是指以圆心为顶点，两条 半径所夹的角。
02
圆心角的大小是由其对应的弧所 决定的，弧长越长，圆心角越大 。
解答与解析
题目1解析：根据圆的性质，若弧AB = 2弧CD，则对 应的圆心角∠AOB = 2∠COD，OA = 2OC，弦AB = 2弦CD。因此，选项A中的结论AB = 2CD是错误的。
输标02入题
01
题目1答案：A
03
题目2答案：D
04
题目2解析：根据圆的性质，若弦AB = 2CD，则对应的 弧AB = 2弧CD，圆心角∠AOB = 2∠COD，OA = 2OC。 因此，选项D中的结论弦AB = 2弦CD是错误的。
教学课件：第3课时-弧、 弦、圆心角
• 引言 • 弧的基本概念 • 弦的基本概念 • 圆心角的基本概念 • 弧、弦、圆心角之间的关系 • 习题与解答
01
引言
主题简介
01
02
03
弧
弧是圆或圆的一部分，用 于描述圆上两点之间的部 分。
弦
弦是连接圆上两点的线段， 通过圆心。
圆心角
圆心角是圆上两点与圆心 所形成的角，与相应的弧 和弦有密切关系。
在同一圆或等圆中，相等的弦 所对的圆心角相等。
05
弧、弦、圆心角之间的关系
弧与弦的关系
01 总结词
在同圆或等圆中，相等的弧对 应的弦相等。
02
详细描述
在几何学中，如果两个弧在同 一个圆或等半径的圆上是相等 的，那么这两个弧所对应的弦 也是相等的。这是由于圆的性 质决定的，即圆的半径相等则 所对的圆周角相等。
根据与直径的位置关系，弦可以分为优弧弦、劣弧弦和直径弦。优弧弦是位于直径同侧的两个半圆弧 之间的弦；劣弧弦是位于直径异侧的两个半圆弧之间的弦；直径弦是经过圆心的弦，也就是圆的直径 。
04
圆心角的基本概念
圆心角的定义
01
圆心角是指以圆心为顶点，两条 半径所夹的角。
02
圆心角的大小是由其对应的弧所 决定的，弧长越长，圆心角越大 。
解答与解析
题目1解析：根据圆的性质，若弧AB = 2弧CD，则对 应的圆心角∠AOB = 2∠COD，OA = 2OC，弦AB = 2弦CD。因此，选项A中的结论AB = 2CD是错误的。
输标02入题
01
题目1答案：A
03
题目2答案：D
04
题目2解析：根据圆的性质，若弦AB = 2CD，则对应的 弧AB = 2弧CD，圆心角∠AOB = 2∠COD，OA = 2OC。 因此，选项D中的结论弦AB = 2弦CD是错误的。
教学课件：第3课时-弧、 弦、圆心角
• 引言 • 弧的基本概念 • 弦的基本概念 • 圆心角的基本概念 • 弧、弦、圆心角之间的关系 • 习题与解答
01
引言
主题简介
01
02
03
弧
弧是圆或圆的一部分，用 于描述圆上两点之间的部 分。
弦
弦是连接圆上两点的线段， 通过圆心。
圆心角
圆心角是圆上两点与圆心 所形成的角，与相应的弧 和弦有密切关系。
在同一圆或等圆中，相等的弦 所对的圆心角相等。
05
弧、弦、圆心角之间的关系
弧与弦的关系
01 总结词
在同圆或等圆中，相等的弧对 应的弦相等。
02
详细描述
在几何学中，如果两个弧在同 一个圆或等半径的圆上是相等 的，那么这两个弧所对应的弦 也是相等的。这是由于圆的性 质决定的，即圆的半径相等则 所对的圆周角相等。
弦弧圆心角弦心距课件
01
02
03
定理内容
垂直于弦的直径平分这条 弦，并且平分这条弦所对 的两条弧。
定理证明
利用圆心角、弦、弧的定 义和垂径定理的推论进行 证明。
定理应用
在求解与圆有关的轨迹问 题时，常常需要借助垂径 定理来分析问题和寻找解 题途径。
弦弧所对的圆周角
定义
顶点在圆心的角叫做圆心 角，顶点在圆上，且角的 两边分别与圆有另一个交 点的角叫做圆周角。
05
弦弧圆心角弦心距的作图方法
用量角器作图法
总结词：通过已知的弧长和圆心角，用 量角器直接测量并作图。
3. 根据弧长L和θ，在图纸上画出弧线。 2. 使用量角器测量θ；
详细描述 1. 已知弧长L和圆心角θ；
利用半径、弦长、圆心角作图法
详细描述
2. 根据几何关系，计算出 圆心角对应的弧长；
01
总结词：通过已知的半径、 弦长和圆心角，利用几何
弧是连接圆上两点的曲线，其长度和所对的 圆心角大小有关。
圆心角的定义与性质
圆心角的定义
在圆中，弧所对的中心角称为圆 心角。
圆心角的性质
圆心角的大小与所对的弧长和半 径有关。
弦与圆心角的关系
弦与圆心角的关系
弦的长度与所对的圆心角大小有关， 当弦所对的圆心角增大时，弦的长度 也增大。
弦长与弧长的关系
3. 根据弧长和半径， 在图纸上画出弧线。
感谢您的观看
THANKS
关系计算并作图。
02
03
1. 已知半径R、弦长d和 圆心角θ；
04
05
3. 根据弧长和半径，在图 纸上画出弧线。
利用半径、弦心距、圆心角作图法
详细描述
2. 根据几何关系， 计算出圆心角对应 的弧长；
《24.1.3弧、弦、圆心角》课件
A B′
分析
B O
A′
∴
AB与A'B'
重合，AB与A′B′重合，
AB A ' B '．
即
AB=A'B'
9
弧、弦、圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 A B′ 的弦也相等． B
O
①∠AOB=∠A′OB′
A′
②
AB=A'B'
③AB=A′B′．
10
弧、弦、圆心角关系定理的推论 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所 A B′ 对的圆心角相等，所对的弧相等． B
AB=CD （1）如果AB=CD，那么_________ ，______________ ∠AOB=∠COD ．
AB=CD ，______________ ∠AOB=∠COD． （2）如果 AB=CD ，那么________
AB=CD ，_______ （3）如果∠AOB=∠COD，那么_________ AB=CD．
均分别相等． B
知一得二．
A B′
A′
O
13
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的
弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同
A B′
圆或等圆中”去掉？为什么？
不能去掉． B
反例：如图，虽然∠AOB=∠A′OB′，
但是AB≠A′B′，弧AB≠弧A′B′．
O
A′
14
1．如图，AB，CD是⊙O的两条弦．
对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．
（3）将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．
6
圆心角弧弦弦心距之间的关系省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
B′
A′ B
B′
·
O
A
·
O
A
根据旋转旳性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′旳
位置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重叠，OB与OB′重
叠．而同圆旳半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′重
叠，B与B′重叠．
∴A︵B与
︵
A'B
'
.
重叠，AB与A′B′重叠．
︵︵
AB A' B '.
O B'
（2）在⊙O和⊙O’中，假如
A'
B
︵︵ AB=A’B’,那么AB=A`B`.
A
（不对）
圆心角、弧、弦、弦心距之间旳关系
(1)定理：在同圆中，相等旳圆心角所正确弦 相等，所正确弧相等，所正确弦心距相等。
思索定理旳条件和结论分别是什么？并回答：
条件： 在等圆或同圆中 圆心角相等
结论：
演示
圆心角所对弧相等
∴ AC-BC=BD-BC （等式旳性质） 图 23.1.5 ∴ AB=CD ∴ ∠1=∠2=45° （在同圆中，相等旳弧所正确
圆心角相等）
六、练习
如图，AB是⊙O 旳直径，BC = CD = DE ∠COD=35°，求∠AOE 旳度数．
解：
ED
∵ BC = CD = DE
C
BOC=COD=DOE=35
1A
1 50， 则 2 _5_0_o_ .
C 2O
D
四、练习
如图，AB、CD是⊙O旳两条弦． （1）假如AB=CD，那么__A ___B __=___C _，D _______A_O_B_____C__O_D．
A′ B
B′
·
O
A
·
O
A
根据旋转旳性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′旳
位置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重叠，OB与OB′重
叠．而同圆旳半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′重
叠，B与B′重叠．
∴A︵B与
︵
A'B
'
.
重叠，AB与A′B′重叠．
︵︵
AB A' B '.
O B'
（2）在⊙O和⊙O’中，假如
A'
B
︵︵ AB=A’B’,那么AB=A`B`.
A
（不对）
圆心角、弧、弦、弦心距之间旳关系
(1)定理：在同圆中，相等旳圆心角所正确弦 相等，所正确弧相等，所正确弦心距相等。
思索定理旳条件和结论分别是什么？并回答：
条件： 在等圆或同圆中 圆心角相等
结论：
演示
圆心角所对弧相等
∴ AC-BC=BD-BC （等式旳性质） 图 23.1.5 ∴ AB=CD ∴ ∠1=∠2=45° （在同圆中，相等旳弧所正确
圆心角相等）
六、练习
如图，AB是⊙O 旳直径，BC = CD = DE ∠COD=35°，求∠AOE 旳度数．
解：
ED
∵ BC = CD = DE
C
BOC=COD=DOE=35
1A
1 50， 则 2 _5_0_o_ .
C 2O
D
四、练习
如图，AB、CD是⊙O旳两条弦． （1）假如AB=CD，那么__A ___B __=___C _，D _______A_O_B_____C__O_D．
《弧、弦、圆心角》圆PPT精品课件
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B B'
∠AOB∠A'OB'
O A A'
AB=A'B'
AB AB
前提条件“在同圆或等圆中”一定不能丢.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例1 已知AB是⊙O的直径，BC CD DE，∠COD35°，
求∠AOE的度数．
ED
35°35° C
A
O· 35° B
解：∵ BC CD DE ，∠COD35° ∴∠BOC ∠COD ∠DOE35° ， ∴∠AOE180°335° 75°
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
教科书第85页 练习第1、2题
2.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们 所对的圆心角相等，所对的弦相等.
3.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们 所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
两个圆心角 两条弦 两条弧
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
思考 “在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦也相等.”可否把“在同圆或等圆中”去掉？
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
1. 如图，在⊙O中： (1)若∠AOC=∠BOC，BC=5，则AC= 5 . (2)若AC=BC，∠BOC=70°，则∠AOC= 70°.
《弧弦圆心角》完整版课件
那么A⌒B与C⌒D，弦AB与弦CD有 （1）如果AB=CD，那么___________，____________．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？
在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？ （1）判断四边形BDCO的形状，并说明理由； （1）判断四边形BDCO的形状，并说明理由；
· O
问题1：圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
（1）判断四边形BDCO的形状，并说明理由；
1 判断四边形BDCO的形状，并说明理由； （2）如果
，那么____________，_____________．
如图，在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°.
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
圆心角、弧、弦之间的关系
AB
C
O
E
D
18
变式
CD AB
CD=2AB也成立吗？请说明理由；如不是，那它们之间
的关系又是什么？
AB
C
O
E
D
19
6.如图所示，CD为⊙O的弦，在CD上取CE=DF， 连接OE、OF，并延长交⊙O于点A、B.
（（12））试求判证断：△A⌒CO=EB⌒FD的. 形状，并说明理由；
O
E C
A
F D
B
如图，等边△ABC的三个顶点A、B、C都在⊙O
求证: ∠AOB=∠BOC=∠AOC.
∴∠COB=∠COD=∠DOE=35°
圆心角∠AOB所对的弦为 AB， 所对的弧为A⌒B.
B
3
1.判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
圆内角
圆外角
①
圆周角（后
②
面会学到）
2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系PPT课件
D
下面我们一起来视察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
D
下面我们一起来视察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
D
下面我们一起来视察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
D
下面我们一起来视察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
A Ｅ B
o
C Ｆ D
解 （2：）（∵1）∠AOB=∠AOC=∠BOC， ∵ AB∠、AAOCB、+B∠CA分O别C+是∠∠BAOOCB=、36∠0°A，OC、 ∠ABOBC=所∠对A的O弦C=，120° ∴弦∠ABBO、CA=C36、0°BC-1的20弦°心-12距0°相=等12。0° 得 ∵∠BCA的O弦B=心∠距A为OC3厘=∠米B，OC ∴AB、=AACC=的BC弦心距为3厘米。
圆心角：以圆心为顶点，以两条半径为边所 组成的夹角。
圆弧：圆上任意两点之间的部分。
圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧， 每条弧都叫做半圆。
优弧：大于半圆的弧。
劣弧：小于半圆的弧。 弦：联结圆上任意两点的线段。
过圆心的弦就是直径。
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
①
②
③
④
下面我们一起来视察一下：在⊙O中有哪些圆心角？
半径长相等的两个圆一定能够重合，我们把半径长相 等的两个圆称为等圆。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的 弦也相等。
AB=CD吗？
弧AB与弧CD呢?
下面我们一起来视察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
D
下面我们一起来视察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
D
下面我们一起来视察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
D
下面我们一起来视察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
A Ｅ B
o
C Ｆ D
解 （2：）（∵1）∠AOB=∠AOC=∠BOC， ∵ AB∠、AAOCB、+B∠CA分O别C+是∠∠BAOOCB=、36∠0°A，OC、 ∠ABOBC=所∠对A的O弦C=，120° ∴弦∠ABBO、CA=C36、0°BC-1的20弦°心-12距0°相=等12。0° 得 ∵∠BCA的O弦B=心∠距A为OC3厘=∠米B，OC ∴AB、=AACC=的BC弦心距为3厘米。
圆心角：以圆心为顶点，以两条半径为边所 组成的夹角。
圆弧：圆上任意两点之间的部分。
圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧， 每条弧都叫做半圆。
优弧：大于半圆的弧。
劣弧：小于半圆的弧。 弦：联结圆上任意两点的线段。
过圆心的弦就是直径。
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
①
②
③
④
下面我们一起来视察一下：在⊙O中有哪些圆心角？
半径长相等的两个圆一定能够重合，我们把半径长相 等的两个圆称为等圆。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的 弦也相等。
AB=CD吗？
弧AB与弧CD呢?
弧、弦、圆心角课件(共22张PPT)人教版数学九年级上册
(2)证明:∵OA=OC,∠AOC=30°,∴∠ACE=75°,
∴∠ACE=∠AEC, ∴AC=AE,同理,BF=BD.易知AC=
CD=BD,∴AE=BF=CD.
【题型三】利用弧、弦、圆心角证明
= ,
⊥ 于点D,CE⊥
例5:如题图,在⊙O中,
OB于点E,求证:AD=BE.
D.3 个
例4:如题图,已知∠ AOB=90°, C, D 是的三等分点，
连接AB分别交OC, OD 于点 E, F.(1)求∠AEC的度数;
(1)解:连接AC, BD,如答图.∵C,D是的三等分点，
=
= ,∴∠AOC=∠COD=∠BOD.
∴
∵∠ = 90°, ∴ ∠ =
相等，所对的弦相等.
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角
相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
教师讲评
注：理解弦、弧、圆心角的关系思维图：
典型精讲
【题型一】弧、弦、圆心角概念的理解与认识
例1: 下列语句中，正确的有（ A ）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③长度
证明：如答图，连接OC.
= ,
∴ ∠ = ∠.
∵
∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC=90° .
又∵CO=CO,∴△COD≌△COE,∴OD=OE.
又∵OA=OB, ∴OA-OD=OB-OE,∴AD=BE.
例6:如题图,AB为⊙O的直径,AE为⊙O的弦,C为⊙O上一点,
心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等）
5.如果没有“在同圆或等圆中”这个条件，还能得出对应的结论吗?
（不能）
∴∠ACE=∠AEC, ∴AC=AE,同理,BF=BD.易知AC=
CD=BD,∴AE=BF=CD.
【题型三】利用弧、弦、圆心角证明
= ,
⊥ 于点D,CE⊥
例5:如题图,在⊙O中,
OB于点E,求证:AD=BE.
D.3 个
例4:如题图,已知∠ AOB=90°, C, D 是的三等分点，
连接AB分别交OC, OD 于点 E, F.(1)求∠AEC的度数;
(1)解:连接AC, BD,如答图.∵C,D是的三等分点，
=
= ,∴∠AOC=∠COD=∠BOD.
∴
∵∠ = 90°, ∴ ∠ =
相等，所对的弦相等.
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角
相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
教师讲评
注：理解弦、弧、圆心角的关系思维图：
典型精讲
【题型一】弧、弦、圆心角概念的理解与认识
例1: 下列语句中，正确的有（ A ）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③长度
证明：如答图，连接OC.
= ,
∴ ∠ = ∠.
∵
∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC=90° .
又∵CO=CO,∴△COD≌△COE,∴OD=OE.
又∵OA=OB, ∴OA-OD=OB-OE,∴AD=BE.
例6:如题图,AB为⊙O的直径,AE为⊙O的弦,C为⊙O上一点,
心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等）
5.如果没有“在同圆或等圆中”这个条件，还能得出对应的结论吗?
（不能）
弧、弦、圆心角PPT教学课件
H O H
H O HH O
C2H5
比较下表含相同碳原子数、不同羟基数的醇的沸点
名称
分子中羟基数目
沸点/℃
乙醇
1
78
乙二醇
2
197.3
1-丙醇
1
97.2
1，2-丙二醇
2
188
1，2，3-丙三醇
3
259
〔结论〕含相同碳原子数、不同羟基数的多元醇的沸点
比一元醇二元醇都高，多元醇具有易溶于水的性质。
〔原因〕是因为多元醇分子中羟基多，一方面增加了分子间 形成氢键的几率；另一方面增加了醇与水分子间形成氢键的几率。
小结
• 饱和一元醇 1、通式 CnH2n+1OH
2、随着C数的增多，熔沸点逐渐增，相对密度呈增大 趋势。 对于同碳数的，支链越多，熔沸点越低，密度越小。
3、随着碳数增多，水溶性降低。 4、比Mr接近的烷烃或烯烃的沸点要高（氢键的影响）.
二、醇的化学性质
〔阅读〕P57交流研讨，以1-丙醇为例分析结构
第 3 课时 弧、弦、圆心角
弧、弦、圆心角之间的相等关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_相__等__，所对的弦 _相__等___． 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心 角__相__等____，所对的弦也__相__等____． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心 角__相__等____，所对的弧也__相__等____．
2、能够利用系统命名法对简单的饱和一元 醇进行命名。
3、了解饱和一元醇的沸点和水溶性特点。 4、根据饱和一元醇的结构特征，说明醇的
化学性质及应用。
1、CH3CH2OH 2、
3、 4、 5、
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┏
A′ D′ B′
如由条件: ③AB=A′B′
2020年10月2日
可推出
┏
A′ D′ B′
①∠⌒AOB⌒=∠A′O′B′
②AB=A′B′ 37
④ OD=O′D′
条件
结论
在同圆或等圆中 如果圆心角相等
那么
圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等
圆心角所对的弦的 弦心距相等
2020年10月2日
38
弧所对的圆心角相等
在同圆或等圆中，如果两个圆心
角、两条弧、两条弦或两条弦的弦 心距中有一组量相等，那么它们所 对应的其余的各组量都分别相等。
2020年10月2日
40
下面的说法正确吗?为什么?
如图,因为 AO A B O B ，
根据圆心角、弧、弦、
弦心距的关系定理可知：
⌒
⌒
A BA B
O
A
B
A
B
2020年10月2日
D 11
2020年10月2日
A B
o
C
D 12
2020年10月2日
A B
o
C
D 13
2020年10月2日
A B
o
C
D 14
2020年10月2日
A B
o
C
D 15
2020年10月2日
A B
o
C
D 16
2020年10月2日
A B
o
C
D 17
2020年10月2日
A B
o
C
D 18
2020年10月2日
24.1.3 弧 弦 圆心角
2020年10月2日
1
学习目标
1、了解圆的旋转不变性。 2、理解圆心角、弦心距的概念。 3、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
2020年10月2日
2
复习回忆
圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆 心的直线,它有无数条对称轴.
利用这个性质我们得出了垂经定理，
圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.
2020年10月2日
可推出
┏
⌒ ⌒A′ D′ B′
②AB=A′B′
③AB=A′B′
④ OD=O′D′
35
拓展与深化
• 在同圆或等圆中,如果轮换下面四组条件: • ①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距,
你能得出什么结论?与同伴交流你的想法和理由.
A
A
D
D
B
●O
B
●O
●O′
┏
A′ D′ B′
弧有什么关系？
A
B
如图： ∠AOB =∠ COD
o
C
D
2020年10月2日
32
∵∠AOB= ∠COD,
∴半径OB与OA重合， ∴ 点A与点C重合，点B与点D重合。 ∴ AB=CD，
根据圆的性质，A⌒B与C⌒D重合。
此时，称作 两条圆弧相等。
记作:“A⌒B=C⌒D”
A B
o
C D
2020年10月2日
在同圆或等圆中 如果弧相等
那么
弧所对的弦相等 弧所对的弦的弦心距相等
弦所对的圆心角相等
在同圆或等圆中 那么 弦所对的弧（指劣弧）相等
如果弦相等
弦的弦心距相等
在同圆或等圆中 如果弦心距相等
2020年10月2日
那么
弦心距所对应的圆心角相等 弦心距所对应的弧相等 弦心距所对应的弦相等
39
推论：(圆心角定理的逆定理)
⌒⌒
如由条件: ②AB=A′B′
2020年10月2日
可推出
┏
A′ D′ B′
①∠AOB=∠A′O′B′
③AB=A′B′ 36
④ OD=O′D′
推论
• 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条 弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等, 那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
A
A
D
D
B
●O
B
●O
●O′
用旋转的方法可以得到: 一个圆绕着它的圆心旋转任意一 个角度,都能与原来的图形重合.
这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性
利用旋转不变性来研究另一个重要定理
2020年10月2日
3
圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关系
2020年10月2日4 Nhomakorabea1.有关概念： 顶点在圆心的角,叫圆心角，
如 A O B, B
圆心角 AOB所对
A B
o
C
D 27
2020年10月2日
A B
☺
o
C
D 28
2020年10月2日
A B
☺
o
C
D
29
2020年10月2日
A B
o
C D
30
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、
弧有什么关系？
A
B
如图： ∠ AOB= ∠COD
o
C
D
2020年10月2日
31
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、
33
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所 对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦 心距相等。
2020年10月2日
34
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
• 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
A
A
D
D
B
●O
B
●O
●O′
┏
A′ D′ B′
由条件: ①∠AOB=∠A′O′B′
的弧为 AB，所对的弦为AB；
M
O
A
过点O作弦AB的垂线, 垂足 为M,
则垂线段OM的长度,即圆
心到弦的距离，叫弦心距 , 图1
中，OM为AB弦的弦心距。
2020年10月2日
5
1、判别下列各图中的角是不是圆心角， 并说明理由。
①
②
③ 2020年10月2日
④
6
任意给圆心角，对应出现 四个量：
弧 圆心角
A B
o
C
D 19
2020年10月2日
A B
o
C
D 20
2020年10月2日
A B
o
C
D 21
2020年10月2日
A B
o
C
D 22
2020年10月2日
A B
o
C
D 23
2020年10月2日
A B
o
C
D 24
2020年10月2日
A B
o
C
D 25
2020年10月2日
A B
o
C
D 26
2020年10月2日
41
例题与练习
• 如图：已知OA.OB是⊙O中的两条半径，且 OA⊥OB,D是弧AB上的一点，AD的延长线 交OB延长线于C。已知∠ C=250，求圆心角 ∠DOB的度数， Ａ
Ｄ
Ｏ
ＢＣ
2020年10月2日
42
已知AB是⊙O的直径，M.N是AO.BO的中点。 CM⊥AB,DN⊥AB,分别与圆交于C.D点。求 证：⌒ ⌒ AC=BD
Ｄ
Ａ
Ｍo Ｎ
Ｂ
Ｃ
2020年10月2日
43
演讲完毕，谢谢观看！
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弦 弦心距
圆心角、弧、弦、弦心距之间关 系定理
2020年10月2日
7
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、 弧有什么关系？
A
B
o
C
如图： 2020年10月2日 ∠AOB= ∠CODD
8
2020年10月2日
A B
o
C
D 9
2020年10月2日
A B
o
C
D 10
2020年10月2日
A B
o
C