古 典 概 型及概率计算公式
1-4古典概型
解：以分钟为单位, 则上一次报时时刻为下一次报时时刻长为60，
10 P ( A) 60
例9：(会面问题) 甲、乙两人相约在7点到8点之间在某地会面, 先到者等候另一人20分钟, 过时就离开. 如果每个人可在指定 的一小时内任意时刻到达, 试计算二人能够会面的概率. 记7点为计算时刻的0时, 以分钟为单位, 用 x , y 分别记表 解： 示甲、乙两人到达指定地点的时刻, 显然
A 表示“n 个人的生日均不相同”, 这相当于每间房子至
多做一个人，
于是由例4有： P( A)
Cn 365 n ! 365n
Cn 365 n ! 365
50
n
P( A) 1 P( A) 1
经计算可得下述结果： N 20 23 30 40
.
64
100
p 0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997
0 x 60,0 y 60
则样本空间为：
S {( x, y) | 0 x 60,0 y 60}
用字母A表示事件“两人能会面”, 则
A {( x, y ) | ( x, y) S , | x y | 20}
P(A) = 阴影部分的面积/正方形的面积
( A) 602 402 5 . 2 (S ) 60 9
1 Cm (n 1)! m n! n
练习: 一个八位数的电话号码，记住了前5位，而后三位只记 的是0、5、6三个数，而具体排列记不住，问试拨一次就拨 对的可能性有多大？
解：用A来表示“试拨一次就拨对”，
3 总的基本事件总数： P 3
3! 6
A所包含的基本事件数： 1
古典概型
第二节古典概型[最新考纲] 1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率．1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型(1)具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．(2)概率计算公式：P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.[常用结论]确定基本事件个数的三种方法(1)列举法：此法适合基本事件较少的古典概型．(2)列表法(坐标法)：此法适合多个元素中选定两个元素的试验．(3)树状图法：适合有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事件是等可能事件．()(3)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同．()(4)“从长为1的线段AB上任取一点C，求满足AC≤13的概率是多少”是古典概型． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改编1．从1,2,3,4,5中随机取出三个不同的数，则其和为偶数的基本事件个数为()A．4B．5C．6D．7C[任取三个数和为偶数共有：(1,2,3)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,4,5)，(2,3,5)，(3,4,5)共6个，故选C.]2．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为()A.25 B.415 C.35 D.23A[从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P＝615＝25.]3．现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为．23[从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，有甲乙，甲丙，乙丙三种可能，则甲被选中的概率为2 3.]4．口袋里装有红球、白球、黑球各1个，这3个球除颜色外完全相同，有放回地连续抽取2次，每次从中任意取出1个球，则2次取出的球颜色不同的概率是．23[由题意，知基本事件有(红，红)，(红，白)，(红，黑)，(白，红)，(白，白)，(白，黑)，(黑，红)，(黑，白)，(黑，黑)，共9种，其中2次取出的球颜色相同有3种，所以2次取出的球颜色不同的概率为1－39＝23.]考点1古典概型的概率计算求古典概型概率的步骤(1)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；(3)利用公式P(A)＝mn，求出事件A的概率．(1)(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A.23 B.35 C.25 D.15(2)(2019·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A.16 B.14 C.13 D.12(1)B(2)D[(1)设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.故选B.(2)设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为1224＝12.故选D.](3)(2019·天津高考)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．①应从老、中、青员工中分别抽取多少人？②抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F .享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．a.b ．设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率．[解] ①由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人．②a.从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．b．由表格知，符合题意的所有结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种．所以，事件M发生的概率P(M)＝11 15.求古典概型概率的关键是列出所有可能的结果．[教师备选例题]某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．[解](1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个，则所求事件的概率为P＝315＝15.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，则所求事件的概率为P＝2 9.1.(2019·江苏高考)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．710[法一：设3名男同学分别为A，B，C,2名女同学分别为a，b，则所有等可能事件分别为AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件分别为Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7个，故所求概率为7 10.法二：同方法一，得所有等可能事件共10个，选出的2名同学中没有女同学包含的基本事件分别为AB，AC，BC，共3个，故所求概率为1－310＝710.]2．(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160. 现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．[解](1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B ，G }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }，{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }，{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }，共21种．②不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种．所以事件M 发生的概率P (M )＝521.考点2 古典概型与其他知识的交汇问题求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，其解题流程为：古典概型与平面向量相结合从集合{1,2,3,4}中随机抽取一个数a ，从集合{1,2,3}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(2,1)共线的概率为( )A.16B.13C.14D.12A [由题意可知，向量m ＝(a ，b )的所有可能结果有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12个，∵向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(2,1)共线，∴a －2b ＝0，即a ＝2b ，∴有(2,1)，(4,2)，共2个，故所求概率为16.]解答本题的关键是根据向量m 与n 共线，得到a 与b 的关系，再从所有基本事件中找出满足条件的基本事件的个数．古典概型与解析几何相结合将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为 ．712[依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，其中满足直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点，即满足2aa 2＋b 2≤2，即a ≤b ，则当a ＝1时，b ＝1,2,3,4,5,6，共有6种，当a ＝2时，b ＝2,3,4,5,6，共5种，同理当a ＝3时，有4种，a ＝4时，有3种，a ＝5时，有2种，a ＝6时，有1种，故共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于2136＝712.]解答本题的关键是根据直线与圆有公共点得到a ≤b .再从所有基本事件中找出满足a ≤b 的基本事件的个数．古典概型与方程、不等式、函数相结合已知a ＝log 0.55，b ＝log 32，c ＝20.3，d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，从这四个数中任取一个数m ，使函数f (x )＝13x 3＋mx 2＋x ＋2有极值点的概率为( )A.14B.12C.34D ．1 B [f ′(x )＝x 2＋2mx ＋1，由题意知Δ＝4m 2－4＞0，解得m ＞1或m ＜－1，而a ＝log 0.55＜－2,0＜b ＝log 32＜1，c ＝20.3＞1，0＜d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＜1，满足条件的有两个，分别是a ，c . 因此所求的概率为P ＝24＝12，故选B.]解答本题的关键是根据函数f (x )有极值点得到m 的取值范围，再根据m 的取值范围确定满足条件的个数．1.已知a ∈{－2,0,1,2,3}，b ∈{3,5}，则函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b 为减函数的概率是( )A.310B.35C.25D.15C [函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b 为减函数，则a 2－2＜0，又a ∈{－2,0,1,2,3}，故只有a ＝0，a ＝1满足题意，又b ∈{3,5}，所以函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b 为减函数的概率是2×25×2＝25.故选C.] 2．设平面向量a ＝(m,1)，b ＝(2，n )，其中m ，n ∈{1,2,3,4}，记“a ⊥(a －b )”为事件A ，则事件A 发生的概率为( )A.18B.14C.13D.12A [有序数对(m ，n )的所有可能情况为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．由a ⊥(a －b )得m 2－2m ＋1－n ＝0，即n ＝(m －1)2，由于m ，n ∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个，所以P (A )＝216＝18.故选A.]3．将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a 和b ，则方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解的概率是( )A.736B.12C.1936D.518C [投掷骰子两次，所得的点数a 和b 满足的关系为⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤a ≤6，a ∈N *，1≤b ≤6，b ∈N *.∴a 和b 的组合有36种，若方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解，则Δ＝b 2－4a ≥0，∴b 2≥4a .当b ＝1时，没有a 符合条件；当b ＝2时，a 可取1；当b ＝3时，a 可取1,2；当b＝4时，a可取1,2,3,4；当b＝5时，a可取1,2,3,4,5,6；当b＝6时，a可取1,2,3,4,5,6.满足条件的组合有19种，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率P＝19 36，故选C.]。
古典概型本1-3
一、古典概型的概念 二、例题选讲 三、小结
一、古典概型
1. 定义 若一个随机试验E, 具有以下两个特征： (1) 样本空间的元素(基本事件)只有为有限个， 即Ω={ω1，ω2，…，ωn}； (2) 每个基本事件发生的可能性是相等的， 即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。 则称这类试验的数学模型为古典概型。
7、小结
古典概型 应用
(1) 样本空间的元素(基本事件)只有有 限个 定义 (2) 每个基本事件发生的可能性是相等的
P( A)
k 事件A中包含的基本事件数 n 中的基本事件总数
备份题
1 在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的 纪念章,任选3个记录其纪念章的号码. (1)求最小号码为5的概率;(2)求最大号码为5的概 率. 解
２. 古典概型中事件概率的计算公式
设随机试验 E 为古典概型，其样本空间 Ω 及 事件A分别为： Ω={ω1，ω2，…，ωn} A={ωi1，ωi2，…，ωik} 则随机事件 A 的概率为：
k 事件A中包含的基本事件数 P( A) n 中的基本事件总数
3. 古典概型的基本模型:摸球模型
周五
7 12 周六 周日
故一周内接待 12 次来访共有 712 种.
2 1
2
2 3
2 4
2 12
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
12 次接待都是在周二和周四进行的共有212 种. 故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为
212 p 12 0.0000003 7
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从 而可知接待时间是有规定的.
古典概型计算公式
古典概型计算公式好的，以下是为您生成的关于“古典概型计算公式”的文章：咱先来说说啥是古典概型哈。
这就好比扔骰子，每个面出现的机会都一样，这就是古典概型。
那古典概型的计算公式是啥呢？其实啊，就是P(A) = n(A) / n(Ω) 。
这里的 P(A) 表示事件 A 发生的概率，n(A) 是事件 A 包含的基本事件个数，n(Ω) 是样本空间的基本事件总数。
举个例子给您讲讲。
就说从 1 到 10 这十个数字里，咱随机抽一个数，抽到奇数的概率是多少？首先，样本空间Ω 就是这 1 到 10 这十个数字，所以n(Ω) = 10 。
而抽到奇数这个事件 A 呢，也就是 1、3、5、7、9 这五个数，所以 n(A) = 5 。
那按照公式，抽到奇数的概率 P(A) 就是 5÷10 = 0.5 。
是不是还挺好理解的？我还记得有一次，我在课堂上讲这个古典概型计算公式，有个同学就特别迷糊，怎么都弄不明白。
我就跟他说：“你就想象啊，咱现在有一堆水果，有苹果、香蕉、橙子，让你随便拿一个，拿到苹果的机会是多少？这和咱说的数字的例子是一个道理呀。
”这同学听了，眼睛一下子亮了，说：“老师，我好像有点明白了！”其实啊，古典概型在生活里也挺常见的。
比如说抽奖，假设抽奖箱里有 100 个球，10 个是中奖的，那您抽到奖的概率就是 10÷100 = 0.1 。
再比如说抛硬币，正面朝上和反面朝上的概率都是 0.5 。
咱再深入讲讲，用这个公式的时候，得注意几个点。
一是每个基本事件发生的可能性得相等。
二是样本空间里的基本事件总数得有限。
总之啊，古典概型计算公式就像是一把钥匙，能帮咱打开概率世界的大门，让咱更清楚地看到各种可能性。
只要您多琢磨琢磨，多做做例子，肯定能把它掌握得妥妥的！。
1.3 古典概型
正整数解的组数为
C 1 5 1 C 1 4 9 1
2 3 1
特点：球相同，盒子不同. 球不相同，盒子不同.（此即为多组组合模式）
例1 在自然数1,2,…,120中任取一数，求此数能被3整除的概率. 解：
设A=“此数能被3整除”
{ 1 , 2 , 120 }
A { 3 , 6 , 120 }
n=120, nA=40.
P ( A)
由古典概型的计算公式：
40 120 1 3
例2 100只同批生产的外形完全一样同型号的三极管中按电流
放大系数分类，有40只属于甲类，60只属于乙类。在按 1）有放回抽样 2）不放回抽样条件下，
求下列事件的概率:
An
r
即为通常的排列公式.
例如：从数字1,2,3中有重复的取出3个，有重复的 组合数为10，从数字1,2,3，4，5中有取出3个的组合 数也是10. 对应关系如下： 可重复的组合
111 112 113 122 123 133 222 223 233 333
5个元素取出3的组合
123 124 125 134 135 145 234 235 245 345
§1.3
古典概型
1 定义： 若随机试验具有下列性质 (1) 具有有限个样本点 1 , 2 , n (2) 每个样本点出现的机会均等 P (1 ) P ( 2 ) P ( n ) 1 则称此试验为古典概型。
n
2 概率计算：
P ( A) k A 中所含基本事件数 n 基本事件总数 A 中样本点数 样本点总数
P ( Am ) C k ( n 1)! n!
1
k n
高中数学 第三章 概率 3.2 古典概型 3.2.1 古典概型的特征和概率计算公式课件 北师大版必修3
对于选项A,因为发芽与不发芽的概率不同,所以不是古典概型;
对于选项
B,因为摸到白球与黑球的概率都是
1 2
,
所以是古典概
型;
对于选项C,因为基本事件有无限个,所以不是古典概型;
对于选项D,因为命中10环,命中9环,……,命中0环的概率不相同,
所以不是古典概型.
答案:B
题型一
题型二
题型三
题型四
古典概型的概率计算 【例3】 某商场举行购物抽奖促销活动,规定每位顾客从装有编 号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中,每次取出一个球记下编号后 放回,连续取两次.若取出的两个小球号码相加之和等于6,则中一等 奖;若等于5,则中二等奖;若等于4或3,则中三等奖. (1)求中三等奖的概率; (2)求中奖的概率. 分析:分别写出所有基本事件,利用古典概型的概率计算公式求 出概率.
【做一做2-1】 袋中有2个红球,2个白球,2个黑球,从里面任意摸 出2个小球,下列事件不是基本事件的是( )
A.{正好2个红球} B.{正好2个黑球} C.{正好2个白球} D.{至少1个红球} 解析:至少1个红球包含:一红一白或一红一黑或2个红球,所以{至 少1个红球}不是基本事件,其他事件都是基本事件. 答案:D
【做一做2-2】 已知一个家庭有两个小孩,则所有的基本事件是
() A.(男,女),(男,男),(女,女) B.(男,女),(女,男) C.(男,男),(男,女),(女,男),(女,女) D.(男,男),(女,女) 解析:用坐标法表示:将第一个小孩的性别放在横坐标位置,第二
个小孩的性别放在纵坐标位置,可得4个基本事件(男,男),(男,女),(女, 男),(女,女).
【做一做1】 下列试验中,是古典概型的有( ) A.抛掷一枚图钉,发现钉尖朝上 B.某人到达路口看到绿灯 C.抛掷一粒均匀的正方体骰子,观察向上的点数 D.从10 cm3水中任取1滴,检查有无细菌 答案:C
古典概型的概率计算公式古典概型
5
（5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6
（6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
从表中可以看出同时掷两个骰子的结果共有36种。
（2）在上面的结果中，向上的点数之和为5的结果有4种，
分别为： （1，4），（2，3），（3，2），（4，1）
（布，剪） （布，石）（ 布，布）
（1）在“剪刀、石头、布”游戏中，甲 赢的概率有多大？
（2）在“剪刀、石头、布”游戏中，分 不出胜负的概率多大？
问题2：抛一个质地均匀的骰子，可能出现几 个结果？
问题3; 以上问题中，每个结果出现的概率为多少？
试验结果的对称性，每个结果的可能性相同
知识点二：古典概型
古典概型的特征：
（1） 有限性 ：
试验的所有可能结果只有有限个
（2）等可能性 ：
每一个试验结果出现的可能性相 同
典型例题
例2：下列试验是否为古典概型
A、在适宜的条件下，种一粒种子，有2 个结果：发芽 与不发芽 否
B、口袋里有2个白球和2个黑球，这4个 球除颜色外完全相同，从中任取一球 是
C、向一个圆面内随机的投一个点，该点 落在圆内的任意一点 否
D、射击运动员向一靶心进行射击，命中 10环，命中9环，.....命中0环 否
思考交流3
D {b,c} E {b, d} F {c, d} 说一说
(3)设3个黑球编号分别为黑1，黑2，黑3，则从 中任意取两个球，可能的结果为：
白球与黑1，白与黑2，白与黑3， 黑1与黑2，黑1与黑3，黑2与黑3
共6种结果，即6个基本事件
思考交流2
问题1：抛一枚质地均匀的硬币，可能出现几个 结果？
古典概型的特征和计算公式
同时掷两粒均匀的骰子, 同时掷两粒均匀的骰子,落地时向上的点数 两粒均匀的骰子 之和有几种可能？点数之和为7的概率是多少？ 之和有几种可能？点数之和为7的概率是多少？ 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12
个质量盘装在拉力器上. 个质量盘装在拉力器上.有2个装质量盘的箱子,每个箱 个装质量盘的箱子, 子中都装有4个不同的质量盘:2.5kg, 5kg,10kg,20kg, 子中都装有4个不同的质量盘:2.5kg, 每次都随机地从2个箱子中各取1 每次都随机地从2个箱子中各取1个质量盘装在拉力器 再拉动这个拉力器。 上,再拉动这个拉力器。 (1)随机地从2个箱子中各取1个质量盘, (1)随机地从2个箱子中各取1个质量盘,共有多少可能 随机地从 的结果？ 的结果？ (2)计算选取的两个质量盘的总质量分别是下列质量的 (2)计算选取的两个质量盘的总质量分别是下列质量的 概率: 概率:①20kg ②30kg ③超过 10kg
费时，费力。 大量的重复试验 费时，费力。 对于一些特殊的随机试验， 对于一些特殊的随机试验，我们可以根据试 验结果的对称性来确定随机事件发生的概率。 验结果的对称性来确定随机事件发生的概率。
探究： 探究：
1、投掷一枚均匀的硬币,出现“正面朝 投掷一枚均匀的硬币,出现“ 反面朝上” 的机会相等吗？ 上”和“反面朝上” 的机会相等吗？ 2、抛掷一枚均匀的骰子,出现数字 抛掷一枚均匀的骰子, “1”、 “2”、“3”、“4”、“5”、 、 、 、 、 、 的机会均等吗？ “6” 的机会均等吗？ 3、转动一个十等分(分别标上数字0、 转动一个十等分(分别标上数字0 的转盘, 1、…、9)的转盘,箭头指向每个数字的 、9)的转盘 机会一样吗？ 机会一样吗？ 这些试验有什么共同特点? 这些试验有什么共同特点?
古典概型计算问题
古典概型计算问题一、主要知识点1.等可能事件的概率公式：P （A ）＝mn ；2.互斥事件至少有一个发生的概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；3.相互独立事件同时发生的概率公式为P(AB)＝P(A)P(B)；4.n 次独立重复试验事件A 恰有k 次发生的概率公式)(k P n =;)1(kn k k n p p C --⋅ 5.如果事件A 、B 互斥，那么事件A 与B 、A 与B 及事件A 与B 也都是互斥事件；6.如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个不发生的概率是1－P （AB ）＝1－P(A)P(B)；7.如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个发生的概率是1－P （A ∙B ）＝1－P(A )P(B )； 二、典型例题例1.为做好食品安全工作，上级质检部门决定对甲、乙两地的出口食品加工企业进行一次抽检.已知甲地有蔬菜加工企业2家，水产品加工企业3家；乙地有蔬菜加工企业3家，水产品加工企业4家，现从甲、乙两地各任意抽取2家企业进行检查.①求抽出的4家企业中恰有一家为蔬菜加工企业的概率；②求抽出的水产品加工企业的家数不少于蔬菜加工企业家数的概率.解：①1102021123342334222257571215C C C C C C C C P C C C C ⋅⋅=+= ②11022222233424331225787210C C C C C C C C P C C ++== ，11020311233423342225772210C C C C C C C C P C C +==， 22343225718210C C P C C == ，1235970P P P P =++= 例2.某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试。
已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。
现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为23，科目B 每次考试成绩合格的概率均为12。
2.1古典概型的特征和概率计算公式
基本事件： 在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件。
基本事件有什么特点：
1点
2点
3点
4点 5点
6点
问题（：1）在一次试验中，会同时出现 “1点” 与 “2点” 吗？
不会
任何两个基本事件是不可能同时发生的
（2）事件“出现偶数点”包含哪几个基本事件？
这下可把他们难住了。问这时应如何分这100个金币才能使 两赌徒都心服口服？
创设情境：
因为没有赌完，所以各自拿回自己的50金币，但梅累 不同意，他认为自己已经多赢一局，应多拿。
因为梅累多赢一局，所以全归梅累，但对方肯定不服，对方说 再赌下去也许他会连扳两局呢！
按赢的比例分配，按比例最合乎人们的心理习惯，所以 梅累拿三分之二，对方拿三分之一。
2
（2，1） （2，2）（2，3） （2，4）（2，5） （2，6）
3
（3，1）（3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4
（4，1） （4，2） （4，3） （4，4）（4，5） （4，6）
5
（5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6
（6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
判断下列试验是不是古典概型
探究4： 向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内
任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为 什么？
有限性
等可能性
探究5： 某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果有：
“命中10环”、“命中9环”、“命中8环”、“命中
7环”、“命中6环”、“命中5环”和“不中环”。
古典概型
古典概型
1.基本事件：
试验结果中不能再分的最简单的随机事件称为基本事件.
基本事件的特点：
(1)每个基本事件的发生都是等可能的.
(2)因为试验结果是有限个，所以基本事件也只有有限个.
(3)任意两个基本事件都是互斥的，一次试验只能出现一个结果，即产生一个基本事件.
(4)基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件都可以用基本事件的和的形式来表示.
2.古典概型的定义：
(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等；
我们把具有上述两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.
3.计算古典概型的概率的基本步骤为：
(1)计算所求事件A所包含的基本事件个数m；
(2)计算基本事件的总数n；
(3)应用公式计算概率.
4.古典概型的概率公式：
.应用公式的关键在于准确计算事件所包含的基本事件的个数和基本事件的总数.
要点诠释：
古典概型的判断：如果一个概率模型是古典概型，则其必须满足以上两个条件，有一条不满足则必不是古典概型.如“掷均匀的骰子和硬币”问题满足以上两个条件，所以是古典概型问题；若骰子或硬币不均匀，则每个基本事件出现的可能性不同，从而不是古典概型问题；“在线段AB上任取一点C，求AC>BC的概率”问题，因为基本事件为无限个，所以也不是古典概型问题.。
古典概型的概率计算公式
602 302
P( A)
2 602
87.5%.
例3 在直角三角形ABC,其中∠CAB=60°.
在斜边AB上任取一点M,那么AM小于AC的概
率有多大？ 解：记“在斜边AB上任取一点，
AM<AC”为事件A,
C
由于点M随机地落在线段AB上，
故可以认为点M落在线段AB上任一
A M C’
Байду номын сангаас
B 点是等可能的，可将线段AB 看做区 域D.
后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不 小于1m的概率有多大？
1m
1m
C
D 3m E
F
解:设“剪得的两段均不小于1米”为事件A,如图所示 基本事件可视为线段CF上任意一点,构成事件A的基本
事件可视为线段DE上任意一点,所以 P(A)= 1
3
答：剪得的两段均不小于1米的概率为 1
3
探索归纳
问题3：设立了一个可以自由 转动的转盘（如图）,转盘被 等分成12个扇形区域.如果转 盘停止转动时，指针正好指 向阴影区域，则可获得月饼 一盒.
典型例题
例3 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去 工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离 开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?
典型例题
解:以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标 Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标 系,假设随机试验落在方形区域内任何一 点是等可能的,所以符合几何概型的条件. 根据题意,只要点落到阴影部 分,就表示父亲在离开家前能 得到报纸,即时间A发生,所以
顾客能拿到月饼的概率是多少？
圆的面积为S
第1部分 第三章 § 2 2.1 古典概型的特征和概率计算公式
返回
解：(1)1,2,3,4,5,6. (2)①事件 A 为 2,4,6；②事件 B 为 4,5,6；③事件 C 为 1,2；④ 事件 D 为 2,3,5. 3 1 3 1 2 1 (3)是古典概型，其中 P(A)＝ ＝ ；P(B)＝ ＝ ；P(C)＝ ＝ ； 6 2 6 2 6 3 3 1 P(D)＝ ＝ . 6 2
下列概率模型是古典概型吗？为什么？
(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；
(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；
(3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数， 求取到偶数的概率． [思路点拨] 根据直观印象判断两个试验的基本事件数
是否有限，每个基本事件是否等可能发生即可．
返回
1．学好古典概型应抓住以下三点：
(1)对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的 试验结果； (2)对于这有限个不同的结果，它们出现的可能性是相 等的； (3)求事件的概率可以通过大量重复试验，而只要通过 一次试验中出现的结果进行分析计算即可．
返回
2．求古典概型概率的计算步骤： (1)求出基本事件的总个数n (2)求出事件A包含的基本事件的个数m； (3)求出事件A的概率P(A)＝ 事件A所包含的基本事件数 m ＝n. 试验的基本事件总数
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
★状元笔记 古典概型需满足的条件
(1)对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验 结果；
(4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小 组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加 同一个兴趣小组的概率为13.
(5)从1，2，3，4，5中任取出两个不同的数，其和为5的概 率是0.2.
(6)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，且集 合A中的元素个数为n，所有的基本事件构成集合I，且集合I中元 素个数为m，则事件A的概率为mn .
第 课时 古 典 概 型
…2017考钢下载…
1．理解古典概型及其概率计算公式． 2．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概 率．
请注意 若是从考查的内容来分析，集中考查一些常见的概率模 型，如摸球模型、分配模型、取数模型，从题的难度来看，一 般是中低档题，由于随机事件的概率与实际生活密切相关，在 高考中自然受到重视．
授人以渔
题型一 古典概型的判断
袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球 有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．
(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基 本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事 件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)对于所有不同的试验结果而言，它们出现的可能性是相 等的．
思考题1 做抛掷两颗骰子的试验，用(x，y)表示结果， 其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点 数，写出：
(1)试验的基本事件； (2)事件“出现点数之和大于8”； (3)事件“出现点数相等”； (4)事件“出现点数之和大于10”．
【解析】 (1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号， 故共有11种不同的摸法．
又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相 等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．
(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别 记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红 球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的 可能性均为111，而白球有5个．
39
1
A.79
B.80
1
41
C.2
D.81
答案 A 解析 两数和为偶数，则两数同奇或同偶，故两数和为偶 数的概率为P＝2CC840022＝3799.
5．(2016·江苏)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标 有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向 上的点数之和小于10的概率是________．
课前自助餐
古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典 概型． (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． (2)每个基本事件出现的可能性相等．
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出
现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是
1 n
；如果某
个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝mn ．
答案
5 6
解析 方法一：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，向上
的点数有36种结果，其中点数之和小于10的有30种，故所求概
率为3306＝56.
方法二：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，向上的点数
有36种结果，其中点数之和不小于10的有(6，6)，(6，5)，(6，
4)，(5，6)，(5，5)，(4，6)，共6种，故所求概率为1－366＝56.
3．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白
球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白
球，1个红球的概率为( )
5
10
A.21
B.21
11 C.21
D．1
答案 B 解析 P＝CC1011C5251＝1201.
4．有80个数，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两
数，则所取的两数和为偶数的概率为( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)√
2．(2016·北京改编)从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲 被选中的概率为________．
答案
2 3
解析 因为三个人被选的可能性是相同的，而且基本事件是有
限的，故是古典概型，基本事件为甲乙，甲丙，乙丙，故甲被选
中：甲乙，甲丙，故P＝23.
(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3， 6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)， (6，5)，(6，6)．
(3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1，1)，(2， 2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)．
(4)“出现点数之和大于10”包含以下3个基本事件：(5， 6)，(6，5)，(6，6)．
古典概型的概率公式
A包含的基本事件的个数 P(A)＝ 基本事件的总数 .
1．判断下列结论是否正确(打“√”或“×”)． (1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于 古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”． (2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两 个反面”，这三个结果是等可能事件． (3)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋， 测其重量，属于古典概型．
【解析】 (1)这个试验的基本事件为 (1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)， (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)， (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．