(优选)组合与组合数公式
组合数的性质.
我 们 规 定 ： C n 1.
0
定理 1:
C
m n
Cn
nm
概念讲解
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联 系． 一般地，求从 n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，
从引例中可以发现一个结论：C 3
8
C7 C7
2
3
对上面的发现(等式)作怎样解释？
C
3 8
C C
2 7
3 7
我们可以这样解释：从口袋内的 8个球中所取出的3个球，可以分为 两类：一类含有1个黑球，一类不含 有黑球．因此根据分类计数原理， 上述等式成立．
一般地，从a1 , a2 ,
, an1这n 1个不同的元素中取
由分类计数原理，得
组合数性质2
Cn1 Cn Cn
m m
m 1
性质2
证明:
m n
n! n! m! ( n m )! ( m 1)![ n ( m 1)]! n!( n m 1) n! m ( n m 1 m ) n! m!( n m 1)! m!( n 1 m )! ( n 1)! m C n 1 . m![( n 1) m ]!
三、混合问题，先“组”后“排”
例5 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品, 一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次 品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法 有种可能？ 解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5 3 1 4 次测试是次品。故有： C C A 576 种可能。
组合与组合数公式
解：（1） C83 56 ⑵
⑶
C
3 7
35
C72 21
我们发现：
C83
C72
C
3 7
为什么呢
我们可以这样解释：从口袋内的 8个球中所取出的3个球，可以分为 两类：一类含有1个黑球，一类不含 有黑球．因此根据分类计数原理， 上述等式成立．
从a1, a2 , a3,, an1这n 1个不同元素中， 每次取出m个元素。 （1）可以有多少个不同的组合？ （2）在这些组合里有多少个是含有a1的？ （3）在这些组合里有多少个是不含有a1的？ （4）从上面的结果可以得到一个怎样的公式？
推广:
从 n个不同元素中取出 m个元素的每一个 组合，与剩下的n-m个元素的每一个组合一一 对应，所以从 n个不同元素中取出 m个元素 的组合数，等于从这n 个元素中取出n-m 个元 素的组合数，即
c c m n
nm n
组合数的两个性质
定理1:
Cmn
Cnm n
.
证明: Cmn m（! nn！m）!,
例5、6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分 法：
（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本； （2）分为三份，每份2本； （3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本： （4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2 本，一人 3本。
例6、某省的福利彩票中，不考虑次序的7个数码组 成一注，7个数码中没有重复，每一个数码都选自 数码1,2，…，36，如果电视直播公开摇奖时只有 一个大奖，计算：
a a a 推广:从
1,
2,
n1这n+1个不同的元素中，
a c a a a a a 取出m个元素的组合数
一类含 ，一1类不含
组合与组合数公式2
C
m n1
98 199 【例 2】 (1)计算C100 + C200 ; 3������ +6 (2)已知C18 = C18 , 求������; 4 8 4 4 4 (3)化简C5 + C6 + C7 + C8 + C8 . 分析:先把组合数利用性质进行化简,或利用组合数性质求解. 4������ -2
������ ������ -1 ������ -2 ������ ������ -1 ������ -1 ������ -2 (4)证明: C������ + 2C������ + C������ = C������ + C������ + C������ + C������ ������ ������ -1 ������ = C������ + C = C +1 ������ +1 ������ +2 .
������+1 ������ +1 ·C������ ; ������-������
(3)证明: ∵
������ C������
������! ������+1 ������+1 ������! ������+1 = ������!(������-������)! , ������-������ ·C������ = ������-������ ·(������+1)!(������-������-1)!
A C A
n n
m
m
m m
组合数公式:
A n(n 1)(n 2) (n m 1) C A m!
m n m n m m
n! C m !(n m)!
组合和组合数公式
组合和组合数公式组合是组合数学中的一个重要概念，用来计算从n个元素中选取r个元素的方式数。
组合数公式是用来计算组合数的公式。
本文将详细介绍组合和组合数公式，并说明其应用和性质。
1.组合的定义组合由n个元素中选取r个元素所组成的集合，称为从n个元素中选取r个元素的组合。
组合中的元素是无序的，即选取的元素的顺序对组合没有影响。
2.组合的表示方法组合通常用C(n,r)来表示，其中n是总的元素个数，r是选取的元素个数。
例如，从4个元素中选取2个元素的组合可以表示为C(4,2)。
组合数公式用于计算从n个元素中选取r个元素的方式数。
常用的组合数公式有以下几种：3.1乘法法则根据乘法法则，从n个元素中选取r个元素的方式数等于从n中选择1个元素的方式数乘以从n-1个元素中选取r-1个元素的方式数。
这一公式可以表示为：C(n,r)=C(n-1,r-1)*n/r3.2递推公式根据递推关系，可以通过前一项的组合数计算后一项的组合数。
递推公式可以表示为：C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r)3.3组合公式组合公式是计算组合数的一种常用方法。
组合公式可以表示为：C(n,r)=n!/(r!(n-r)!)其中n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)*(n-2)*...*14.组合的性质组合具有以下几个重要的性质：4.1对称性组合数具有对称性，即C(n,r)=C(n,n-r)。
这是因为从n个元素中选取r个元素的方式数与从n个元素中选取n-r个元素的方式数是一样的。
4.2递推性组合数具有递推性，即可以通过递推公式计算组合数。
这使得计算大规模组合数变得更加高效。
4.3性质的递推公式组合数的性质也可以通过递推公式计算。
例如，根据乘法法则和递推公式可以推导出组合数的对称性。
5.组合数的应用组合数在组合数学、概率论和统计学等领域具有广泛的应用。
以下是几个常见的应用：5.1排列组合组合数可以用于计算排列组合的方式数。
排列是组合的一种特殊情况，它要求选取的元素有序。
组合与组合数公式
步骤2
假设n=k时公式成立，推导n=k+1时的公式。
步骤3
由数学归纳法，得出结论对于所有正整数n， 组合数公式成立。
利用二项式定理的证明
步骤1
将组合数公式重写为与二项式定理形式相似的形式。
步骤2
利用二项式定理展开式中的系数与组合数公式中的系 数进行比较。
02
加密算法
组合数公式可以用于设计加密算法，通过计算不同字符或符号的组合数
量，增强信息的安全性。
03
信息传输
在无线通信和网络传输中，利用组合数公式可以优化信息的传输效率和
可靠性。通过对信号的不同组合方式进行编码和解码，可以提高通信系
统的性能。
感谢您的观看
THANKS
组合数表示从n个不同元素中取出m个 元素的组合的个数，记作C(n, m)或C(n, m)，其中C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)。
组合的特性
无序性
组合只考虑元素的排列顺序，不考虑元素的具体 位置。
可重复性
在组合中，可以重复选取同一个元素。
独立性
组合数不受元素数量的影响，只与选取的元素个 数有关。
01
概率分析
利用组合数公式，可以对彩票的概率进 行分析，帮助彩民更好地理解彩票的随 机性和公平性。
02
03
优化投注
通过计算不同组合下的中奖概率，彩 民可以优化自己的投注策略，提高中 奖的可能性。
在遗传学中的应用
基因组合
在遗传学中，基因的组合方式可以用组合数公式来表示。通过计算 基因组合的数量，可以了解生物体的遗传多样性。
组合数的上标和下标规则
上标和下标规则
组合与组合数公式
组合与组合数公式从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．组合数公式：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，称之，用符号表示，如从6个元素中取出2个元素的组合数为.【评述】区分一个排列与一个组合的关键是：该问题是否与顺序有关，当取出元素后，若改变一下顺序，就得到一种新的取法，则是排列问题；若改变顺序，仍得原来的取法，就是组合问题．求从个不同元素中取出个元素的排列数，可分为以下两步：第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数为；第2步，求每一个组合中个元素的全排列数为．根据分步计数原理，得到公式1：公式2：组合数的两个性质(1)m n C =mn n C - ; (2) m n C +1-m n C =m n C 1+. 注:规定10=n C .例1 在1，3，5，7，9中任取3个数字，在0，2，4。
6，8中任取两个数字，可组成多少个不同的五位偶数．分析：因为零不能作首位数，所以是特殊元素，因此可以根据选零不选零为分类标准。
解：第一类：五位数中不含数字零。
第一步：选出5个数字，共有种选法．第二步：排成偶数—先排末位数，有 种排法，再排其它四位数字，有种排法．∴（个）第二类：五位数中含有数字零．第一步：选出5个数字，共有种选法。
第二步：排顺序又可分为两小类；（1）末位排零，有种排列方法；（2）末位不排零．这时本位数有种选法，而因为零不能排在首位，所以首位有种排法，其余3个数字则有种排法．∴∴符合条件的偶数个数为（个）说明：本题也可以用间接法（即排除法）来解．请读者自行完成．例2有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷也会划右舷。
现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的选法？分析：设集合A={只会划左舷的3个人}，B={只会划右舷的4个人}，C={既会划左舷又会划右舷的5个人}先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：①A中有3人；②A中有2人；C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人。
组合与组合数公式及组合数的两个性质 课件
[例3] (10分)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过 了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下， 有多少种不同的选法？
(1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必需参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
[思路点拨] 本题属于组合问题中的最基本的问题， 可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正 确分析和判断．
(7 分)
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，可分两步：先从甲、
乙、丙中选 1 人，有 C13＝3 种选法；再从另外 9 人中选 4 人，
有 C49种选法．共有 C13C49＝378 种不同的选法．
(10 分)
[一点通] 解简单的组合应用题时，要先判断它是 不是组合问题，只有当该问题能构成组合模型时，才能运 用组合数公式求解．解题时还应注意两个计数原理的运用， 在分类和分步时，应注意有无重复或遗漏．
组合数公式
组合 数公
式 性质 备注
乘积形式 Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1
阶乘形式
Cmn ＝
n！ m！n－m！
Cmn ＝ Cnn－m ；Cnm＋1＝ Cmn ＋Cmn －1
①n，m∈N＋，m≤n；②规定 C0n＝ 1 .Cnn＝ 1
1．组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是 不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． 2．组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即 元素没有位置的要求． 3．相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同， 不管顺序如何，就是相同的组合．
107C7m＝7×71－0×m7！！m！，
∴m！55！－m！－m！6－6×m5！5－m！ ＝7×m！170－×m7×66－×m5！5－m！， ∴1－6－6 m＝7－m606－m， 即 m2－23m＋42＝0，解得 m＝2 或 21. 而 0≤m≤5，∴m＝2. ∴C8m＋C58－m＝C28＋C38＝C93＝84.
组合与组合数公式
组合与组合数公式1．组合的定义一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．组合的概念中有两个要点：(1)取出元素，且要求n 个元素是不同的；(2)“只取不排”，即取出的m 个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质 2．组合数的概念、公式、性质组合数定义 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数表示法C mn组合数 公式 乘积式 C m n＝A mn A m m ＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！阶乘式C mn ＝n ！m ！（n －m ）！性质 C mn ＝C n －mn ，C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n 备注①n ，m ∈N *且m ≤n ；②规定：C 0n ＝1判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a 1，a 2，a 3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C 23.( ) (2)从1，3，5，7中任取两个数相乘可得C 24个积．( ) (3)C 35＝5×4×3＝60.( ) (4)C 2 0162 017＝C 12 017＝2 017.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ 若A 3n ＝8C 2n ，则n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9答案：A计算：(1)C 37＝________；(2)C 1820＝________． 答案：(1)35 (2)190甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价有________种．解析：车票的票价有C23＝3种．答案：3探究点1 组合概念的理解判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？(3)5个人规定相互通话一次，共通了多少次电话？(4)5个人相互写一封信，共写了多少封信？【解】 (1)当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题．(2)取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题．(3)甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序区别，为组合问题．(4)发信人与收信人是有区别的，是排列问题．判断一个问题是否是组合问题的方法技巧区分某一问题是排列问题还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组合在一起．区分有无顺序的方法是把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化．若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．判断下列问题是排列问题还是组合问题：(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？(2)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？解：(1)是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．(2)是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的．(3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．探究点2 组合数公式、性质的应用计算下列各式的值．(1)3C 38－2C 25； (2)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310； (3)C 5－nn ＋C 9－nn ＋1. 【解】 (1)3C 38－2C 25＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＝148.(2)利用组合数的性质C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n ， 则C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310 ＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 310－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 310－C 44＝ …＝C 411－1＝329.(3)⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5. 当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5. 当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.[变条件]若将本例(2)变为：C 55＋C 56＋C 57＋C 58＋C 59＋C 510，如何求解？ 解：原式＝(C 66＋C 56)＋C 57＋C 58＋C 59＋C 510 ＝(C 67＋C 57)＋C 58＋C 59＋C 510＝… ＝C 610＋C 510＝C 611＝C 511 ＝11×10×9×8×75×4×3×2×1＝462.关于组合数公式的选取技巧(1)涉及具体数字的可以直接用nn －mC mn －1＝nn －m·（n －1）！m ！（n －1－m ）！＝n ！m ！（n －m ）！＝C mn 进行计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！（n －m ）！计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质C mn ＝C n －mn 简化运算．1.C 58＋C 98100C 77＝________．解析：C 58＋C 98100C 77＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006. 答案：5 0062．若C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363，则正整数n ＝________． 解析：由C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363， 得1＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝364， 即C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝364. 又C m n ＋C m －1n ＝C mn ＋1，则C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝C 34＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝C 35＋C 25＋C 26＋…＋C 2n ＝…＝C 3n ＋1，所以C 3n ＋1＝364，化简可得（n ＋1）n （n －1）3×2×1＝364，又n 是正整数，解得n ＝13. 答案：133．解方程：C 3n ＋618＝C 4n －218.解：由原方程及组合数性质可知， 3n ＋6＝4n －2，或3n ＋6＝18－(4n －2)， 所以n ＝2，或n ＝8，而当n ＝8时，3n ＋6＝30＞18，不符合组合数定义，故舍去． 因此n ＝2.探究点3 简单的组合问题现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？ (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？【解】 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C 210＝10×92×1＝45种． (2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C 26种方法； 第2类，选出的2名是女教师有C 24种方法．根据分类加法计数原理，共有C 26＋C 24＝15＋6＝21种不同选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C 26×C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种．[变问法]本例其他条件不变，问题变为从中选2名教师参加会议，至少有1名男教师的选法是多少？最多有1名男教师的选法又是多少？解：至少有1名男教师可分两类：1男1女有C16C14种，2男0女有C26种．由分类加法计数原理知有C16C14＋C26＝39种．最多有1名男教师包括两类：1男1女有C16C14种，0男2女有C24种．由分类加法计数原理知有C16C14＋C24＝30种．解简单的组合应用题的策略(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．[注意] 在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．问全部赛程共需比赛多少场？解：小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是每组6支球队的任两支球队都要比赛一次，所以小组赛共要比赛2C26＝30(场)．半决赛中甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名主客场各赛一场，所以半决赛共要比赛2A22＝4(场)．决赛只需比赛1场，即可决出胜负．所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)．1．下面几个问题属于组合的是( )①由1，2，3，4构成双元素集合；②5支球队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1，2，3构成两位数的方法；④由1，2，3组成无重复数字的两位数的方法．A．①③B．②④C．①②D．①②④解析：选C.由集合元素的无序性可知①属于组合问题；因为每两个球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，故②是组合问题；③④中两位数顺序不同数字不同为排列问题．2．若C n 12＝C 2n －312，则n 等于( )A ．3B ．5C ． 3或5D ．15解析：选C.由组合数的性质得n ＝2n －3或n ＋2n －3＝12，解得n ＝3或n ＝5，故选C. 3．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)解析：从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C 410＝210种分法． 答案：2104．计算下列各式的值． (1)C 98100＋C 199200； (2)C 37＋C 47＋C 58＋C 69； (3)C 38－n3n ＋C 3n21＋n .解：(1)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992×1＋200＝5 150.(2)C 37＋C 47＋C 58＋C 69＝C 48＋C 58＋C 69＝C 59＋C 69＝C 610＝C 410＝210.(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧1≤38－n ≤3n ，1≤3n ≤21＋n ，即⎩⎪⎨⎪⎧192≤n ≤37，13≤n ≤212，所以192≤n ≤212.因为n ∈N *，所以n ＝10，所以C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131＝466.[A 基础达标]1．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有( ) A ．72种 B ．84种 C ．120种D ．168种解析：选C.需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空当中，所以关灯方案共有C 310＝120(种)． 2．方程C x28＝C 3x －828的解为( ) A ．4或9 B ．4 C ．9D ．5解析：选A.当x ＝3x －8时，解得x ＝4；当28－x ＝3x －8时，解得x ＝9.3．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有( ) A ．24种 B ．12种 C ．10种D ．9种解析：选B.第一步，为甲地选1名女老师，有C 12＝2种选法；第二步，为甲地选2名男教师，有C 24＝6种选法；第三步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有2×6×1＝12种．故选B.4．化简C 9798＋2C 9698＋C 9598等于( ) A ．C 9799 B ．C 97100 C ．C 9899D ．C 98100解析：选B.由组合数的性质知，C 9798＋2C 9698＋C 9598 ＝(C 9798＋C 9698)＋(C 9698＋C 9598) ＝C 9799＋C 9699＝C 97100.5．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( ) A ．2人或3人 B ．3人或4人 C ．3人D ．4人解析：选A.设男生有n 人，则女生有(8－n )人，由题意可得C 2n C 18－n ＝30，解得n ＝5或n ＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．故选A. 6．若A 3n ＝6C 4n ，则n 的值为________． 解析：由题意知n (n －1)(n －2) ＝6·n （n －1）（n －2）（n －3）4×3×2×1，化简得n －34＝1，所以n ＝7.答案：77．某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有________种．解析：从10人中选派4人有C 410种方法，对选出的4人具体安排会议有C 24C 12种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法有C 410C 24C 12＝2 520种． 答案：2 5208．若C m －1n ∶C mn ∶C m ＋1n ＝3∶4∶5，则n －m ＝________．解析：由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧C m －1n C m n ＝34，Cm nCm ＋1n＝45，由组合数公式得⎩⎪⎨⎪⎧3n －7m ＋3＝0，9m －4n ＋5＝0，解得：n ＝62，m ＝27.n －m ＝62－27＝35. 答案：359．判断下列问题是否为组合问题，若是组合则表示出相应结果．(1)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法？(2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，由小到大排列，构成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？ 解：(1)与顺序无关是组合问题，共有C 510种不同分法． (2)大小顺序已确定，故是组合问题，构成三位数共有C 39个． (3)握手无先后顺序，故是组合问题，共需握手C 210次． 10．(1)解方程：C x －2x ＋2＋C x －3x ＋2＝110A 3x ＋3； (2)解不等式：1C 3x －1C 4x ＜2C 5x.解：(1)原方程可化为C x －2x ＋3＝110A 3x ＋3，即C 5x ＋3＝110A 3x ＋3，所以（x ＋3）！5！（x －2）！＝（x ＋3）！10·x ！，所以1120（x －2）！＝110·x （x －1）·（x －2）！，所以x 2－x －12＝0，解得x ＝4或x ＝－3， 经检验知，x ＝4是原方程的解． (2)通过将原不等式化简可以得到6x （x －1）（x －2）－24x （x －1）（x －2）（x －3）＜240x （x －1）（x －2）（x －3）（x －4）.由x ≥5，得x 2－11x －12＜0，解得5≤x ＜12. 因为x ∈N *，所以x ∈{5，6，7，8，9，10，11}．[B 能力提升]11．式子C m ＋210＋C 17－m10(m ∈N *)的值的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2≤10，17－m ≤10，得7≤m ≤8，所以m ＝7或8.当m ＝7时，原式＝C 910＋C 1010. 当m ＝8时，原式＝C 1010＋C 910， 故原式的值只有一个．12．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有( ) A ．35种 B ．70种 C ．30种D ．65种解析：选B.先从7人中选出3人有C 37＝35种情况，再对选出的3人相互调整座位，共有2种情况，故不同的调整方案种数为2C 37＝70.13．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是C 38＝8×7×63×2×1＝56.(2)从口袋内取出3个球，有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C 27＝7×62×1＝21.(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C 37＝错误!＝35.14．(选做题)某足球赛共32支球队有幸参加，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队再分成8个小组决出8强，8强再分成4个小组决出4强，4强再分成2个小组决出2强，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这次足球赛共进行了多少场比赛？ 解：可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有C 24＝6场，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，16强分成8组，每组两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8强再分成4组，每组两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛，4强再分成2组，每组两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛，2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支队比赛1场，决出第三、四名，共有2场．综上，共有48＋8＋4＋2＋2＝64场比赛．。
组合与组合数公式
= (Cn + Cn ) + (Cn + C ) m1 m = Cm+1 + Cm n n = Cn+1 + Cn+1 m = Cm+1. n = Cn+2 .
m1 n
练习:
4 5 6 计算： 3 ⑴ 计算： C7 + C7 + C8 + C9 n n n ＝ + 求证： ⑵ 求证： Cm+2 2Cm1 m
组合与组合数公式 （二）
计算： （）C + C + C +L+C 1
2 2 2 3 2 4 2 10
(2)C
98 100
复习 一、组合的定义 二、组合数公式
P n(n 1)(n 2)L(n m+1) C = m= m! Pm
m n m n
n! C = m!(n m) !
m n
m +1 m+1 例２ 求证: C = Cn . nm n！ m 证明: QCn = , m（n m） ! !
推广: 推广 从
m n+1
1
1
1
2,
3,
m1 n
n+1
1
2,
3,
n+1
这n个不同的元素中取出 个元素的组合数为 个不同的元素中取出m个元素的组合数为 个不同的元素中取出 再由加法原理， 再由加法原理，得
c
n
，
性质2 性质
= cn + cn cn+1
m m
m1
定理2 :
C = C +C .
m n+1 m n m 1 n
组合与组合数公式
组合与组合数公式组合是数学中的一种问题求解方法，也是一种计算其中一集合的子集数量的方法。
它是离散数学中的一个重要概念，并具有广泛的应用领域，包括概率论、组合数学、计算机科学等。
组合的数学公式有很多种，下面将介绍其中的一些重要的组合公式。
1.排列公式：排列是从给定的元素集合中选取若干个元素按照一定的顺序组成的方法，排列公式表示为P(n,k)，表示从n个元素中选取k个元素进行排列的方法数。
其公式为：P(n,k)=n!/(n-k)!其中n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)*(n-2)*...*12.组合公式：组合是从给定的元素集合中选取若干个元素不考虑顺序地组成的方法，组合公式表示为C(n,k)，表示从n个元素中选取k个元素进行组合的方法数。
其公式为：C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)3.二项式定理与组合公式：二项式定理是数学中一个重要的公式，它描述了如何展开一个二项式的幂。
在二项式定理的展开式中，组合公式被广泛使用，其公式为：(x+y)^n=C(n,0)x^ny^0+C(n,1)x^(n-1)y^1+···+C(n,k)x^(n-k)y^k+···+C(n,n)x^0y^n其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素进行组合的方法数。
4.集合的幂集：集合的幂集是指一个集合中所有子集的集合。
对于一个含有n个元素的集合，其幂集的元素数量为2^n。
这可以通过组合公式来进行推导。
假设集合中的元素均不相同，那么对于每一个元素，可以选择放入子集或不放入子集，因此有两种选择。
而对于含有n个元素的集合，总共有n个元素可以进行选择，因此总共有2^n种选择，即幂集的元素数量为2^n。
这些都是组合与组合数公式中的重要的基本公式。
利用这些公式，可以解决很多组合问题，包括如何计算排列或组合的方法数、如何展开一个二项式的幂等问题。
组合数也广泛应用于概率论中，用于求解一些事件发生的概率等问题。
组合与组合数公式课件
超几何分布的概率值可以通过组合数公式进行计 算，特别是当总体大小远大于样本大小时。
二项式系数与组合数的关系
二项式系数
二项式系数表示在n次独立实验中成功k次的概率，通常表 示为C(n, k) = binomial(n, k) / k!
组合数公式
组合数公式是计算从n个不同元素中选取k个元素的不同方 式的数量。
关系
二项式系数是组合数的一种特例，当n次实验中每次成功 的概率为p时，二项式系数可以表示为C(n, k) = p^k * (1p)^(n-k)。
组合数与卡特兰数的关系
卡特兰数
卡特兰数是组合数学中的一类特殊数，通常用于计数排列、组合等 问题的解中选取k个元素的不同方式的数量 。
组合数的定义
总结词
组合数表示从n个不同元素中取出 m个元素的组合方式数量，记作 C(n, m)或C_n^m。
详细描述
组合数的定义基于组合的定义， 通过数学公式表示为C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中"!"表示阶乘 。
组合数的性质
总结词
组合数具有一些重要的性质，包括组合数的递推关系、对称性、非负性等。
组合数的计算公式具有对称性 ，即C(n，m)=C(n，n-m)，同 时还有C(n，0)=C(n，n)=1的 特殊性质。
组合数的性质在计算中的应用
利用组合数的性质可以简化组合数的计算，例如利用对称性可以避免一些不必要的 计算。
利用组合数的性质可以推导出一些重要的组合恒等式，例如二项式定理、帕斯卡三 角等。
当m=n时，排列就是组合；当取出元素不同时，排列和组合是不同的。
组合数的计算公式
组合数的计算公式为C(n， m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n是 总的元素个数，m是需要取出 的元素个数，C(n，m)表示从n 个元素中取出m个元素的组合 数。
组合与组合数公式及组合数的两个性质 课件
组合数公式
组合 数公
式 性质 备注
乘积形式 Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1
阶乘形式
Cmn ＝
n！ m！n－m！
Cmn ＝ Cnn－m ；Cnm＋1＝ Cmn ＋Cmn －1
①n，m∈N＋，m≤n；②规定 C0n＝ 1 .Cnn＝ 1
1．组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是 不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． 2．组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即 元素没有位置的要求． 3．相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同， 不管顺序如何，就是相同的组合．
3．若 A3n＝12Cn2，则 n＝________. 解析：∵A3n＝n(n－1)·(n－2)，Cn2＝12n(n－1)， ∴n(n－1)(n－2)＝6n(n－1)． 又 n∈N＋，且 n≥3，∴n＝8.
答案：8
4．求不等式 C2n－n<5 的解集． 解：由 Cn2－n<5，得nn2－1－n<5， ∴n2－3n－10<0. 解得－2<n<5.由题设条件知 n≥2，且 n∈N＋， ∴n＝2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}.
[精解详析] (1)从中任取 5 人是组合问题，共有 C512＝792
种不同的选法．
(2 分)
(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外 9 人中选 2
人，是组合问题，共有 C92＝36 种不同的选法．
(4 分)
(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的 9 人中选 5
人，共有 C59＝126 种不同的选法．
Hale Waihona Puke [例3] (10分)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过 了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下， 有多少种不同的选法？
高二数学选修课件时组合与组合数公式
适用范围
适用于组合元素个数较少，且 可以直观列举出所有可能结果 的情况。
优点
直观、易懂，能够直接得到问 题的答案。
缺点
当组合元素个数较多时，列举 过程可能变得繁琐，容易出错
。
插空法
01
定义
插空法是一种求解组合问题的 方法，它适用于某些特殊的组 合问题，如“不相邻”问题等 。该方法的基本思想是将需要 排列的元素先排好，然后将需 要插入的元素插入到已排好元 素的空隙中。
存在问题分析
在教学过程中，我发现部分学生在理解和运用组合数公式时存在一定困难。这可能是由于学生对阶乘运算和代数 运算掌握不够熟练所致。针对这些问题，我将加强相关知识点的讲解和练习，帮助学生更好地掌握所学知识。
XX
THANKS
感谢观看ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
REPORTING
图论算法
图论算法是解决图论问题的有效方法 ，如最短路径算法、最小生成树算法 等。这些算法在组合优化问题中也有 广泛应用。
组合优化问题
组合优化是图论与组合数学的重要交 叉点，涉及如何在满足一定条件下寻 找最优的组合方案。例如，旅行商问 题、最小生成树问题等。
代数结构与组合设计
代数结构基础
代数结构是研究数学对象之间运算规律的数学分支，如群、环、域等。这些结构与组合数学中的计数、排列、组合等 问题密切相关。
，可以吸引玩家的兴趣并提高游戏的趣味性。例如，一些益智类游戏就
需要运用组合数学的知识来设计关卡和难度等级。
XX
PART 05
拓展：组合数学与其他学 科联系
REPORTING
图论与组合优化
图论基本概念
图论是研究图的结构、性质及其应用 的数学分支，与组合数学密切相关。 图由顶点和边组成，可用于表示对象 之间的关系。
组合与组合数公式(二)
组合数的定义公式为：C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)
组合数的性质
组合数的性质一
C(n, m) = C(n, n-m)，即从n个不同 元素中取出m个元素和取出n-m个元 素的组合数相等。
k)。
递推关系法
定义
递推关系法是通过组合数之间的递推关 系，逐步推导出所需的组合数值。
VS
举例
例如，已知C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n1,k)，可以根据这个递推关系逐步计算出 C(n,k)的值。
PART 03
组合数公式的应用
REPORTING
WENKU DESIGN
在概率论中的应用
在统计学中的应用
样本组合统计
在统计学中，样本组合是一种常见的 统计方法，而组合数公式可以用于计
算样本组合的概率和期望值。
因子分解
在统计学中，因子分解是一种重要的 数据分析方法，而组合数公式可以用
于因子分解的计算。
多元分布计算
在多元统计分析中，组合数公式可以 用于计算多元分布的概率和期望值。
在计算机科学中的应用
PART 04
组合数公式的扩展
REPORTING
WENKU DESIGN
超几何分布
定义
超几何分布是描述从有限总体中抽取n个样本，其中k个 是成功样本的概率分布。
01
公式
$P(X=k) = frac{{C_{M}^{k} cdot C_{N-M}^{n-k}}}{{C_{N}^{n}}}$，其中 M是成功样本的数量，N是总体样本的 数量，n是抽取的样本数量。
高中数学选修课件：组合与组合数公式
从n个不同元素中取出m（m≤n，m与n均为自然数,下同）个不同元素按照一定的顺序排 成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m个元素 的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。
组合数公式推导过程
推导过程
考虑从n个元素中取出m个元素的所有可能情况，这相当于对n个元素进行全排 列，然后除以m个元素的全排列和剩余(n-m)个元素的全排列，以消除排列中 的重复情况。
进行快速计算。
组合的应用
在概率统计、排列组合问题、 编码理论等领域有广泛应用。
易错点剖析及注意事项
区分排列与组合
排列是有顺序的，而组合是无顺序的。在计算时，要注意题目要求的 是排列数还是组合数。
注意组合数的范围
由于组合数是从n个元素中取出m个，因此必须满足0≤m≤n的条件， 否则组合数无意义。
阶乘的计算
解答题思路剖析
仔细审题
明确题目要求，理解题意。
制定解题计划
根据题目条件和所学知识，制定详细的解 题步骤和计划。
执行解题计划
检查答案
按照计划逐步进行计算和推导，注意每一 步的正确性和合理性。
对答案进行检验和审查，确保没有遗漏和错 误。如果答案不符合题目要求，需要重新检 查和修正解题过程。
05 练习题巩固提高
证明组合数恒等式
利用组合数的性质和递推关系可以证 明一些组合数恒等式，如范德蒙德恒 等式等。
在概率统计中作用
计算事件概率
在概率论中，组合数经常用于计 算一些事件的概率，如超几何分
布、二项分布等。
抽样问题
在统计学中，组合数也常用于解决 一些抽样问题，如从总体中抽取一 定数量的样本进行检验等。
组合与组合数公式(一).(优选.)
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§21.1.2 组合与组合数公式 (一张爱萍制 14.4.15班级姓名 (计算机班,机电班学习目标:理解组合概念;了解组合数公式的推导,掌握组合数公式; 能根据要求写出有限元素的所有组合,会利用公式解决简单组合问题。
学习重点:组合的应用。
学习难点:组合的概念、组合数公式的推导。
复习回顾:1. 排列的定义: 。
2. 排列数公式:=m n A= (∈ n m , ,m n 新知探究:问题一:从甲、乙、丙 3名同学中选出 2名去参加某天的一项活动,其中 1名同学参加上午的活动, 1名同学参加下午的活动, 有多少种不同的选法? 与顺序关问题二:从甲、乙、丙 3名同学中选出 2名去参加一项活动,有多少种不同的选法? 与顺序关组合的定义:一般地,从 n 个元素中取出 m (m n 个元素 ,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. 探究一:对比排列与组合的定义,它们有什么相同点,什么不同点?相同点: 不同点: 组合数定义:从 n 个不同元素中取出m (m ≤ n 个元素的的个数,叫从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,用符号表示。
问题三:写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合 . 问题四:写出从 a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有排列 . 组合数公式:(∈ n m , ,m n=m n C ==典型例题:例 1:判断下列问题是组合问题还是排列问题 ?(1设集合 A ={a,b,c,d,e},则集合 A 的含有 3个元素的子集有多少个 ? (2某铁路线上有 5个车站,则这条铁路线上共需准备多少种车票 ?(310名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组, :有多少种分法 ? (410人聚会,见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次 ? (5从 4个风景点中选出 2个安排游览 , 有多少种不同的方法 ? (6从 4个风景点中选出 2个分别上、下午游览 , 有多少种不同的方法 ?例 2:计算(1 47C (2 710C最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本 --------------------- 方便更改赠人玫瑰，手留余香。
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方法归纳 区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标 志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选 择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置， 看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排 列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
1．从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，列出所有 组合．
3．组合数的性质 性质 1：Cmn ＝____C_nn_－_m______. 性质 2：Cmn＋1＝__C_mn_＋__C_mn_－__1 ___.
1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”) (1)从 a1，a2，a3 三个不同元素任取两个元素组成一个组合 所有组合的个数为 C23.( √ ) (2)从 1,3,5,7 中任取两个数相除可以得 C24个商．( × ) (3)C35＝5×4×3＝60.( × ) (4)C22 001134＝C12 014＝2 014.( √ )
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方法归纳 在利用组合数公式进行计算、化简时，要灵活运用组合数 的性质，一般地，计算 Cmn 时，若 m 比较大，可利用性质 1，不计算 Cmn 而改为计算 Cnn－m，在计算组合数之和时，常 利用性质 2.
2．计算． (1)C410－C37·A33； (2)C34＋C35＋C36＋…＋C310； (3)Cr1＋0 1＋C1170－r.
组合概念的理解
判断下列问题是组合问题还是排列问题． (1)设集合 A＝{a，b，c，d，e}，则集合 A 的子集中含有 3 个 元素的有多少个？ (2)某铁路线上有 5 个车站，则这条线上共需准备多少种车 票？多少种票价？ (3)3 人去干 5 种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方 法？
[解] (1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题． (2)因为甲站到乙站的车票与乙站到甲站的车票是不同的， 故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站与乙站到 甲站是同一种票价，故是组合问题． (3)因为分工方法是从 5 种不同的工作中选出 3 种，按一定 顺序分给 3 个人去干，故是排列问题．
2．已知 C2x＝36，则 x 的值为( D ) A．6 C．8
B．7 D．9
解析：∵C2x＝xx2－1＝36，∴x(x－1)＝72，∴x＝9.
3．从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的 积的个数为___6_____． 解析：从四个数中任取两个数的取法为 C24＝6.
4．判断组合与排列的主要依据是什么？ 解：区分一个具体问题是排列问题还是组合问题，关键 是看它有无顺序，有顺序就是排列问题，无顺序就是组 合问题．
(2)原式化为m！55！－m！－m！66！－m！ ＝7×71－0×m7！！m！，
即m！55！－m！－m！6－6×m5！5－m！ ＝7×m！170－×m7×66－×m5！5－m！，
∴1－6－6 m＝7－m606－m， 即 m2－23m＋42＝0，m＝2 或 21. 而 0≤m≤5，∴m＝2. ∴Cm8 ＋C58－m＝C28＋C38＝C39＝84.
解得 7≤r≤9，因为 r∈N*，所以 r＝7,8,9. 当 r＝7 时，原式＝C810＋C1100＝C210＋1＝9×210＋1＝46； 当 r＝8 时，原式＝C910＋C910＝2C910＝2C110＝20； 当 r＝9 时，原式＝C1100＋C810＝1＋C210＝46.
组合的简单应用
在一次数学竞赛中，某学校有 12 人通过了初试， 学校要从中选出 5 人参加市级培训．在下列条件下，有多少 种不同的选法？ (链接教材 P23 例 6) (1)任意选 5 人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加．
[解] (1)从中任取 5 人是组合问题，共有 C512＝792 种不同的选 法． (2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外 9 人中选 2 人， 是组合问题，共有 C29＝36 种不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的 9 人中选 5 人， 共有 C59＝126 种不同的选法． (4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，可分两步：先从甲、乙、 丙中选 1 人，有 C13＝3 种选法；再从另外 9 人中选 4 人，有 C49种选法．共有 C13C49＝378 种不同的选法．
第一章 计数原理
（优选）组合与组合数公式
栏目 导引
1．组合的定义 (1)一般地，从 n 个____不__同_______元素中取出 m(m≤n)个元素合
成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合． (2)如果两个组合中的元素__完__全__相__同_____，那么不管元素的顺序 如何，都是相同组合，只有当两个组合中的元素_不__完__全__相__同____
解：(1)C410－C37·A33＝140××39××28××17－7×6×5 ＝210－210＝0.
(2)利用组合数的性质 Cmn＋1＝Cmn ＋Cmn －1， 则 C34＋C35＋C36＋…＋C310 ＝C44＋C34＋C35＋…＋C310－C44 ＝C411－1＝329.
(3)由组合数中 n，m 的限制条件可知00≤≤1r＋7－1≤r≤101，0，
解：要想列出所有组合，做到不重不漏，先将元素按照一定顺 序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个地标示出 来．如图所示．
由此可得所有的组合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce， de.
有关组合数的计算与证明
计算下列各式的值． (1)3C38－2C25； (2)已知C1m5 －C1m6 ＝107Cm7 ，求 Cm8 ＋C58－m. [解] (1)3C38－2C25＝3×83× ×72× ×61－2×52× ×41＝148.
时，才是不同的组合．
2．组合数与组合数公式
(1)组合数的概念 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的_所__有__不__同__组__合__的__个__数__,
叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 ____C__mn_______表示．
(2)组合数公式： Cmn ＝___AA_mnmm____n_！_＝nn－1n－m2！…n－m＋1； Cmn ＝____m_！___n_－__m__！___. 规定：C0n＝_____1________.