线性代数例题讲解学习

线性代数例题[ 1]

行列式

例1：若1, 2, 3, 1, 2都是四维列向量，且四阶行列式「231 m,, 1 2 2 3|门，四阶行列式3 2 11 2等于多少？

例2：设A是n阶方阵，且A 0，则A中()

(A) 必有一列元素全为零；

(B) 必有两列元素成比例；

(C )必有一列向量是其余列向量的线性组合；

(D)任一列向量是其余列向量的线性组合.

例3:设A 佝»3 3，A j为a j的代数余子式，且A j a j，并且0，求 A.

例4:设四阶方阵A (a j)44，f (x) E A，其中E是n阶单位矩阵，求：(1) 4的系数；(2) 3的系数；(3)常数项.

例5:设A为n阶方阵，E是n阶单位矩阵，AA T E，A 0，计算

A E .

例6:设A，B为n阶正交矩阵，若 A B 0，证明A B是降秩矩阵.

1 0 0

例1:设A 10 1，证明当n 3时，恒有A n A n 2A E .

0 1 0

111 例2:设(1,2,3,4), (1,—, T, T)，A,计算A .

2 3 4

例3:设三阶方阵A , B满足关系A 1BA 6A BA，且A

求B

1

例4:设A是三阶方阵，|A -，求(3A) 1 2A*

例5：证明：若实对称矩阵A满足条件A20,则A O

例6:设A E '，其中E是n阶单位矩阵，是n维非零列向量，证明：

(1)A2 A的充要条件是’1 ；

(2)当’1时，A是不可逆矩阵.

例7:已知n阶方阵A满足2A(A E) A3，求(E A)

1000

0100 1

例8:设A*，且ABA 1BA 1 3E，求B.

1010

0308

1 0 0

例9:设f (x)1x

2 x100 典

x ，A

0 0 0，求f(A), f (f (A)) 0 1 0

例10:设A,B是n阶方阵，且满足AB A B，证明：AB BA

例11:设A 是n 阶方阵，是否存在B E ，使得AB A ，若存在B ，指出

例13：设A 是3阶方阵，将A 的第一列与第二列交换得B ，再把B 的第 列加到第三列得C ，则满足AQ C 的可逆矩阵为

0 1 0

0 1 0

0 1 0 0 1 1

(A )

1 0 0

（B ） 1 0 1

（C ） 1 0 0 （D ） 1 0 0

1 0 1

0 0 1

1 1

0 0 1

例14：设A,B 是n 阶方阵，已知B 可逆，且满足A 2 AB B 2 0 ,证明A

和A B 都是可逆矩阵，并求它们的逆

一 1

例16：求n 阶行列式

例17：设A 是n 阶方阵，且存在正整数m ，使A m 0，又B 是n 阶可逆矩 阵，证明矩阵方程AX XB 只有零解.

an a 12 a 13

a 21 a 22 a 例12：设A

a 31 a 32 a

33

a 41 a 42 a

43

0 0 0 1 0 1 0 0

P

P 2

0 0 1 0 1 0 0 0

其中A 可逆，则 B 1

（）

a 14 a 14 a 13 a 12 an

a 24

a 24 a 23 a 22 a 21

，B

a 34 a 34 a 33 a 32 a 31

a 44 a 44 a 43 a 42 a 41

1 1

(A)A PR ； (B)R A P 2 ；

1 1

(G P 1P 2A ； (D)P 2A R .

例15：设A,C 分别是m 阶和n 阶非奇异方阵, B 是m n 矩阵，证明: （1） M A B 为可逆矩阵；（2）M

0 C

A 1BC 1

中所有元素的代数余子式的和

求B 的办法，若不存在，说明理由

10 0 0 0 0 10 0 10 0 0 0 0 1

例18:( 1)设A,B是n阶方阵，且AB 0，证明：R(A) R(B) n

(2)设 A 是n 阶方阵，且A2 A 2E，证明：R(2E A) R(E A) n

1 2 3

例19:已知Q 2 4 t ，P为三阶非零矩阵，且PQ 0,则()

3 6 9

(A)t 6时，P的秩必为1；(B)t 6时，P的秩必为2；

(C) t 6时，P的秩必为1；(D)t 6时，P的秩必为2.

例20：设A是n m矩阵，B是m n矩阵，其中n m，若AB E，证明B的列向量线性无关.

例21：求n(n 2)阶方阵A的秩，其中

a b b

b a b

A

b b a

A B

例22：求设A,B,C,D是和n阶方阵，G ，且

C D

AC CA, AD CB，又行列式A 0，求证：n R(G) 2n.

例23：设A是m n矩阵，B是n s矩阵，并且R(A) n,证明：

R(AB) R(B)

例24：设n维列向量组1, 2线性无关，向量组t可用s线性表示，表示矩阵为C，证明:

(1) R( 1, 2, ，t) R(C)

(2)当t s时，有

s线性无关C是可逆矩阵.