2018年理数真题分类训练专题十三推理与证明第三十八讲推理与证明答案

专题十三推理与证明
第三十八讲推理与证明
答案部分
< a 1 a 2
a 3 1，所以 a 4 < 1，又a 1
1，所以等比数列的公
比
而 4 a 2 a 3 > a 1 1，所以 In(a 1 a 2 a 3) 0 ,
表示的区域包含原点，不等式 ax y 4表示的区域不包含原点•直线 ax y 4与直 线X ay 2互相垂直，显然当直线ax y 4的斜率 a 0时，不等式ax y 4表
1. B 【解析】解法一因为Inx < x
1 (x 0)，所以 a i a
2 a
3 a
4 In (a i a 2 a 3)
右 q w 1
，则 a 1
a ? a 3 a 4
印(1 q)(1 q 2) < 0 ,
所以a 1 a
3， a
2
a 4，故选B.
解法二 因为e x
> x
1
, a
1
a 2 a 3 a 4 In (a 1 a 2 a 3),
所以e® a
2
a 3 a 4
■
a
1
a ? a 3 > a 1 a
2
a s a 4 1, 则a 4 w
又a 1
1
，所以等比数列的公比 q 0.
若q w 1，则 a 1 a 2 a 3 a 4 a 1(1 q)(1 q 2
) w 0 ,
而 4 a 2 a 3 > a 1 1，所以 In(a 1 a 2
a
3
)
与1门
（印
a
2
a 3
)
3]
a ? a 3 a 4
w 0矛盾，
所以1 q 0，所以 a 1 a 3 a 1(1 q 2
) 0 ,
a
2
a 4 a 1q(
2
所以1 0，所以 a 1 a 3 a 1(1 q )0 , a 2 a 4 a 1q(1
q 所以a 1
a 3, a 2
a 4，故选 B.
1
q 2
)
与1门（印 a
2
a 3) q a 2 a 3 a 4 < 0 矛盾, q 2)
2. D 【解析】 解法一 点（2,1）在直线X y 1上，ax
y 4表示过定点（0,4）,斜率为 a
的直线, 当a 0时，X ay 2表示过定点（2,0）
1
,斜率为1
的直线，不等式x ay < 2
a
3
示的区域不包含点
（2,1），故排除 A ;点（2,1）与点（0,4）连线的斜率为 -，当
2
a -，即a 3
时，ax y 4表示的区域包含点 （2,1），此时x ay 2表示的 2 2
3 3
4的斜率 a -，即a -时,
2 2 ax y 4表示的区域不包含点（2,1）,故排除C ,
(2,1) A .故选 D .
区域也包含点（2,1），故排除B ；当直线ax y
解法二若（2,1） A ,
则2a
2 1 4
，解得a
a < 2
3
,所以当且仅当a<-时，
2 2
3. 27【解析】所有的正奇数和 2n
(n ）按照从小到大的顺序排列构成 {a n },在数列{a n }
中，25
前面有16个正奇数，即 a 2i C
O
2 , a 38
2 .当 n 1 时，S 1 12a 2
不符合题意；当n 2时，
S
2
3 12a 3 36 ,不符合题意；当n 3时， S 3 6 12a
4 48，不符合题意;
n 4时，S 4
10 12a 5 60，不符合题意;
当 n 26 时，S 26
21^ 2
2 (1 2)= 441 +62= 503< 12a 27
516 ,不符合题
1 2
意；当 n 27 时，S 27
22 (1
43) 2 (1
25)
=484 +62=546>12a 28 =540，符合题
意.故使得S n 12a n 1成立的n 的最小值为27. 4.[解析】(1)因为 (1,1,0),
（0,1,1），所以
M(, )-[(1 1 |1 1|) (1 1 |1 1|) (0 0) |0 0|)] M(,
)2[(1 0 |1
0|) (1 1 |1 1|) (0 1 |0 1|)]
⑵设
(X 1,X 2,X 3, X 4)
则 M ( , ) X 1 X 2 X 3 X 4 .
由题意知 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 € {0 , 1}，且 M (,)为奇数, 所以x 1, X 2 , X 3 , X 4中1的个数为1或3 . 所以B
{(1 , 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 1),
3 (1, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 1), (1, 1, 1 , 0)}.
将上述集合中的元素分成如下四组：
所以集合 B 中元素的个数不超过 4．
(k 1,2, ,n) ，
所以B 中元素的个数不超过 n 1.
令B （06, ,e ni ）US n US ni ，则集合B 的元素个数为 故 B 是一个满足条件且元素个数最多的集合.
5.【解析】 ⑴记（abc ）为排列abc 的逆序数，对1, 2, 3的所有排列，有
(123)=0， (132)=1， (213)=1， (231)=2， (312)=2， (321)=3 ， 所以 f 3(0) 1， f 3(1) f 3(2) 2.
对 1， 2， 3， 4的排列，利用已有的 1， 2， 3的排列，将数字 4添加进去， 4在新排列
中的位置只能是最后三个位置. 因此， f 4(2) f 3(2) f 3(1) f 3(0)
5.
⑵对一般的n （n > 4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12 n ,所以人（0） 1 .
（1，0，0，0），（1，1，1，0）；（0， 10，0），（1，1，0，1）； （0，0，1，0），（1，0， 1，1）；（0，0，0，1），（0，1，1， 1)． 经验证，对于每组中两个元素
，均有 M （ , ） 1．
所以每组中的两个元素不可能同时是集合
B 的元素．
又集合 ｛（1 ，0，0，0），（0，1，0， 0），（0，0，1， 0），（0，0， 0，1）｝ 满足条件， 所以集合 B 中元素个数的最大值为
4．
(3)设 S k {( x 1, x 2, , x n )|(x 1,x 2, ,x n ) A,x k
1, X 1 X 2 X k 1 0}
S n 1 {( X 1, X 2, , X n ) | X 1
x 2 x
n
0}，
则 A S 1 U S 2 U U S n 1．
对于 S k ( k 1,2, , n 1 ）中的不同元素
，经验证， M( , ) > 1.
所以 S k ( k 1,2,
,n 1 ）中的两个元素不可能同时是集合 B 的元素.
取 e k (X 1,X 2, ,X n ) S k 且 X k 1
x n 0(k 1,2, ,n 1).
n 1 ，且满足条件.
2 2
逆序数为1的排列只能是将排列12 n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列, 所以 f n (1) n 1
为计算f n 1(2)，当1, 2,…，n 的排列及其逆序数确定后， 将n 1添加进原排列，n 1
在新排列中的位置只能是最后三个位置.
因此，f n l (2) f n (2) f n (1) f n (O) f n (2) n .
f n (2) [f n (2) f n l (2)] [f n1 (2) 2(2)]…[f 5(2) f 4(2)] f 4(2)
(n 1) (n 2)
f 4(2
)
因此,
n > 5时，f n (2)
2 2。