三次函数图像与性质
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如 -x3+6x2-9x+10=0
a 0呢？
方法一: 转化为a>0利用图像 方法二: 利用图象
x0
2： 已知函数 f(x)x3a2x 3x,a R
（1）若 f(1)0,关于 x 的方程 f(x)k
恒有3个不等实根，求实数K的取值范围( 高考题节选)
分析：由 f10a0
借助导数工具画原函数图像的大致形状，数形结 合得到K的取值范围
x x x
x0
有且只 1个有交点
探究二 三次方程根的问题
• 三次方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ与三次函数有何关系？
• 只画x轴，画出有一根、两根、三根各种情 况图象大致形状，标注相应的a与△的取值 限制条件
• 由图像分析，探究a＜0时，三次方程 ax3+bx2+cx+d=0，有一根、两根、三根的 问题，你有哪些方法？
若a 方 3 xb2 程 xc x d 0 ,
导函数/(x)的图象如右图所示,则y =f (x)
的图象最有可能的是
y
C
O 12
x
y
y
y
y
O 1 2 x O 12x
A
B
2
O1
x
C
O
12 x
D
探究二 三次方程根的问题
讨 论 a3 x方 b2x c程 x d0 (a0 )
的 根 的 个a数 0时
x1 x2
1个交点 2个交点 3个交点
x x
x x x
三 次 函 数 的 图 象 和 性 质
课堂练习:
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象
如图所示 则f / (x)0的解集？
12 x
（-∞，1）∪（2，+∞）
本课小结
1、利用导数研究三次函数的图象和性质 2、利用图象与性质解决什么问题？ (1)单调性、极值、最值问题； (2)讨论三次方程根的问题；
3、思想方法： 数形结合,函数与方程， 分类讨论，转化思想
f (x) x3
f(x)x33x
f (x) x3
f(x)x33x
C:\Users\Public\D esktop\几何画板 .lnk几何画板.lnk
f(x)a3xbx2cxd的图？ 象
探究一：初识三次函数图象形状
• 观察几何画板中几个三次函数图象，思考下列问 题
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象
f'(x)3ax22bxc
4 b2-1 2a c4 (b2-3 a c)
x x1 x2
x x0
x x1 x2
x x0
(一) 三次函数的图像
f(x)a3xb2 xcxd的图象和性
f'(x)3ax22bxc
a0时 4 b2-1 2a c4 (b2-3 a c)
Δ>0
Δ≤0
图象
x x
1
2
x1 x2
极值 极大值f(x1) 极小值f(x2)
作业：
1.设函数f（x）=x3-xx 2 2+（a+1)x+1，其中a为 实数
（Ⅰ）已知函数f（x）在x=1处取得极值，求 a的
（Ⅱ）已知不等式f (x)>x2-x-a+1对任意a∈ （0，+∞）都成立，求实数x的取值范围。
2.a为何值时，方程x3-3x2-a=0恰有一个实根 、两个实根、三个实根，有没有可能无实 根？
三次函数图像与性质（1 ）
复习:二次函数的图象与性质
y
0
o
x
y
0
o
x
y
0
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
讲授新课
1.类比二次函数，三次函数一般式是怎样？
形如y ax3 bx2 cx d(a 0)
2.我们如何研究三次函数的图象和性质？
f(x)3ax22bxc
4b2-12ac4(b2-3ac)
例1.画出下列函数草图
单调 区间
(-∞,x1),(x2,+∞) (x1,x2)
无极x0 值 (-∞,+∞)
总结: a0时
Δ>0
图象
极值 单调 区间
x x
1
2
x1
x2
极小值f(x1) 极大值f(x2)
(-∞,x1),(x2,+∞) (x1,x2)
Δ≤0
x0
无极值 (-∞,+∞)
思考 已知三次函数f(x) ＝ax3+bx2+cx+d的
a 0呢？
方法一: 转化为a>0利用图像 方法二: 利用图象
x0
2： 已知函数 f(x)x3a2x 3x,a R
（1）若 f(1)0,关于 x 的方程 f(x)k
恒有3个不等实根，求实数K的取值范围( 高考题节选)
分析：由 f10a0
借助导数工具画原函数图像的大致形状，数形结 合得到K的取值范围
x x x
x0
有且只 1个有交点
探究二 三次方程根的问题
• 三次方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ与三次函数有何关系？
• 只画x轴，画出有一根、两根、三根各种情 况图象大致形状，标注相应的a与△的取值 限制条件
• 由图像分析，探究a＜0时，三次方程 ax3+bx2+cx+d=0，有一根、两根、三根的 问题，你有哪些方法？
若a 方 3 xb2 程 xc x d 0 ,
导函数/(x)的图象如右图所示,则y =f (x)
的图象最有可能的是
y
C
O 12
x
y
y
y
y
O 1 2 x O 12x
A
B
2
O1
x
C
O
12 x
D
探究二 三次方程根的问题
讨 论 a3 x方 b2x c程 x d0 (a0 )
的 根 的 个a数 0时
x1 x2
1个交点 2个交点 3个交点
x x
x x x
三 次 函 数 的 图 象 和 性 质
课堂练习:
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象
如图所示 则f / (x)0的解集？
12 x
（-∞，1）∪（2，+∞）
本课小结
1、利用导数研究三次函数的图象和性质 2、利用图象与性质解决什么问题？ (1)单调性、极值、最值问题； (2)讨论三次方程根的问题；
3、思想方法： 数形结合,函数与方程， 分类讨论，转化思想
f (x) x3
f(x)x33x
f (x) x3
f(x)x33x
C:\Users\Public\D esktop\几何画板 .lnk几何画板.lnk
f(x)a3xbx2cxd的图？ 象
探究一：初识三次函数图象形状
• 观察几何画板中几个三次函数图象，思考下列问 题
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象
f'(x)3ax22bxc
4 b2-1 2a c4 (b2-3 a c)
x x1 x2
x x0
x x1 x2
x x0
(一) 三次函数的图像
f(x)a3xb2 xcxd的图象和性
f'(x)3ax22bxc
a0时 4 b2-1 2a c4 (b2-3 a c)
Δ>0
Δ≤0
图象
x x
1
2
x1 x2
极值 极大值f(x1) 极小值f(x2)
作业：
1.设函数f（x）=x3-xx 2 2+（a+1)x+1，其中a为 实数
（Ⅰ）已知函数f（x）在x=1处取得极值，求 a的
（Ⅱ）已知不等式f (x)>x2-x-a+1对任意a∈ （0，+∞）都成立，求实数x的取值范围。
2.a为何值时，方程x3-3x2-a=0恰有一个实根 、两个实根、三个实根，有没有可能无实 根？
三次函数图像与性质（1 ）
复习:二次函数的图象与性质
y
0
o
x
y
0
o
x
y
0
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
讲授新课
1.类比二次函数，三次函数一般式是怎样？
形如y ax3 bx2 cx d(a 0)
2.我们如何研究三次函数的图象和性质？
f(x)3ax22bxc
4b2-12ac4(b2-3ac)
例1.画出下列函数草图
单调 区间
(-∞,x1),(x2,+∞) (x1,x2)
无极x0 值 (-∞,+∞)
总结: a0时
Δ>0
图象
极值 单调 区间
x x
1
2
x1
x2
极小值f(x1) 极大值f(x2)
(-∞,x1),(x2,+∞) (x1,x2)
Δ≤0
x0
无极值 (-∞,+∞)
思考 已知三次函数f(x) ＝ax3+bx2+cx+d的