8-静态稳定性

（3）负荷电流和电压关系的线性化方程 负荷大都采用 静态模型，需将其功率与电压之间的关系转换为负荷 电流偏差与节点偏差之间的线性化关系。 （4）两端直流输电系统方程
2、网络方程式 I=YU 3、全系统线性化微分方程组的形成 对于纯交流系统，可得线性化微分方程组：
p(Dx)=ADx
其中：
(4-86)
是由于有功和无功功率流过感应电抗时产生的电压
降。
判断电压稳定的准则是，在正常运行情况下， 对于系统中的每个母线，母线电压的幅值随 着该母线注入无功功率的增加而升高。如果 系统中至少有一个母线，其母线电压的幅值 随着该母线注入无功功率的增加而降低，则 该系统是电压不稳定的。
这显然和我们通常对于提高母线电压所采取 的无功补偿控制措施是相一致的。
电力系统静态稳定性分析
一、 概 述
我们前面介绍过定义：“静态稳 定是指电力系统受到小干扰后，不发生 自发振荡和非周期性失步，自动恢复到 起始运行状态的能力。”
从理论上来说，电力系统的静态 稳定性相当于一般动力学系统在李雅普 诺夫意义下的渐近稳定性。下面将结合 电力系统具体情况介绍有关的理论。
px f ( x , y ) g( x , y ) 0 中消去y后得出的微分方程。显然，
1 LL
A AG BG YGG DG YGLY YLG


1
CG
4、静态稳定分析程序的组成
纯交流系统
(1)对所给定的系统稳态运行情况进行潮流计算， 求出各发电机节点和各负荷节点的电压、电流和 功率稳态值。 (2)形成网络方程的Y矩阵。
(3) 计算A阵相关的各矩阵。
(4) 应用QR算法计算矩阵A的全部特征值，从而判 断所给定的稳态运行情况的静态稳定性。
将
p(Dx)=ADx （4-7） 称为微分方程式(4-4)的首次近似方程，或称线性 化方程。 如果对于足够小的初始扰动Dx(0) ，式(4-4) 的全部解均满足 （4-8） lim Dx ( t ) 0
t
则称无扰运动x(t)=x0为渐近稳定。
现在，不加证明，引出一个判断渐近稳定性的 定理： ① 对于微分方程式(4-1)，如果首次近似方程式(4-7) 中系数矩阵A的全部特征值都具有负实部，则无扰 运动x(t)＝x0为渐近稳定，而与高次项hR(Dx)无关。 ② 如果矩阵A至少具有一个实部为正的特征值，则 无扰运动是不稳定的，并且也与hR(Dx)无关。 ③ 如果矩阵A不具有正实部特征值但具有实部为零 的特征值，则无扰运动的稳定性将取决于高次项 hR(Dx) ，这种情况称为临界情况。
各种降阶选择模式分析方法和全维部分 特征值分析方法大都存在一个共同问题，即难 以保证所具有负阻尼或阻尼不足的机电模式不 被遗漏。这一问题有待进一步研究解决。 除了基于特征值分析的各种方法以外， 另一类电力系统静态稳定分析方法是频域分析 法。
电压稳定性的基本概念：
20世纪70年代以来，世界上许多国家的电力系统相 继发生了电压崩溃事故，造成了巨大的经济损失和 社会影响。 1978年12月19日法国电力系统发生的电压崩溃事 故，失去负荷29GW和100GWh，直接经济损失 达2亿到3亿美元；
当变换后成为另一个维数与它相同的矩阵At，使A 阵中所关心的一个或一小部分特征值相应地变换 成At中绝对值(即模)最大的一个或较大的几个特征 值，然后采用适合于计算矩阵中按模最大特征值
或一部分按模递减特征值的计算方法，求出At中
的这些特征值，最后经过反变换得出A阵中所关 心的特征值。称为全维部分特征值分析法。
常称为小干扰稳定性。
于是，电力系统静态稳定分析的一般过程可 归结为：
(1)计算给定稳态运行情况下各变量的稳态值。
(2)对描述暂态过程的方程式，在稳态值附近进
行线性化。
(3)形成矩阵A，并根据其特征值的性质判断稳定
性。
关于判断A阵特征值的性质，目前所采用的主要 方法有以下两类。
一种是应用计算矩阵全部特征值的QR算法，求出 A阵的所有特征值。但这种方法需要存储矩阵的全 部元素，占计算机内存量大，而且其计算量约与 矩阵阶数的三次方成正比，计算速度缓慢。特别 是在目前的计算机精度下，当矩阵高达数百阶(例 如400~500阶)时，将可能产生显著的计算误差， 或甚至不能得出计算结果。因此，这种方法一般 适用于中等规模的电力系统。
全部特征值，这便是发展各种部分特征值分析
方法的主要出发点。
所谓电力系统低频振荡，是指在系统中发生频 率较低的、增幅的机械-电气振荡，或称机电振 荡。 有关文献曾对单机-无穷大系统中低频振荡发生 的原因进行过详细的机理分析和解释，其结果 指出，由于励磁系统存在惯性，随着励磁调节 器放大倍数的增加，与转子机械振荡相对应的 特征值s ±jwosc，其实部s的数值将由负值逐渐 增大，而当放大倍数过大时， s将由负变正， 从而产生增幅振荡。
矩阵A的特征值与式(4-7)的特征方程，即
det(lI-A)=0 (4-9)
的根(即特征根)相对应。对于定常线性微分方程式(47)，每一个特征根将对应于一个自由分量:
正实特征根lsi>0对应于按指数规律 e s i t 增长的分量； 负实特征根lsi <0则对应于按指数规律衰减的分量。 一对共轭复特征根lsi ±jwi常称为一个振荡模式，它对应
当然，x(t)应满足微分方程式(4-1)，即有
p(x0+Dx)=pDx=h(x0+Dx) (4-4) 将上式在x0附近展开成泰勒级数，并应用式 (4-2)，得 p(Dx)=ADx+hR(Dx) (4-5) 其中
式中：A为常数方阵；hR(Dx)为展开式中包含Dx 二次方及以上各项所组成的向量，称为高次项。
当系统某一参数发生变化，例如参数a改变 Da时，A阵的元素和特征值将发生相应的变化。 对于其中任一特征值li，由Da引起的变化Dli可 以应用泰勒级数表示为
在Dai不大的情况下， Dli的近似值为：
l i Dli Da a
li 1 2 li Dli Da Da 2 a 2! a 2
为了判断系统是否可能出现非周期性的静态不稳定现 象，将主要关心取值最大的一个或几个实数特征值； 而对于自发振荡的不稳定现象，则关心的是实部最大 的一对或较大的几对共轭复特征值。
前者主要适用于分析系统的静态稳定极限，后者 则主要针对电力系统低频振荡分析。
这些最大的实特征值或实部最大的共轭复特征 值习惯上称为主导特征值。于是，为了分析电 力系统的静态稳定性，并无必要计算出A阵的
s 于按角频率wi呈周期性变化的分量，其振幅决定于 i t e
。
si>0对应于增幅振荡， si <0对应于衰减振荡。
这样，按照渐近稳定性的定义和定理，对于给定的电力系 统稳态运行情况x0，如果是渐近稳定的，则只要扰动足够 小，Dx将最终趋于零而使系统回到扰动前的稳态运行情况； 否则，不管扰动如何微小，矩阵A正实部特征值的存在， 将使系统在扰动作用下开始出现非周期性增大或增幅振荡 的分量。 这便是前面所介绍的关于电力系统静态稳定性定义的正确 理解。至于临界情况下是否稳定，对于电力系统来说并无 重要价值，一般将它视为静态稳定的极限情况。由于所考 虑的扰动限于足够小的情况，因此电力系统静态稳定性又
用，有的尚处于研究和发展中。
二、静态稳定性的全特征值分析法
在国外，应用QR算法分析多机系统静态稳定的
研究开始于60年代末期，国内则始于70年代中
期。目前这类分析方法和计算程序已经相当成
熟，但各个程序所考虑的元件种类及其数学模
型和形成A阵的过程各有不同。具体原理如下。
1、各元件方程的线性化
⑴ ①同步发电机方程 ②励磁系统和原动机及其调速系统 （2） 坐标变换 ①发电机电压和电流的d、q轴分量转换成全系统 统一的同步旋转坐标参考轴x、y下的相应分量。 或②将网络方程中发电机电压和电流的x、y分量分别 转换成各自的d、q分量。
对于大规模的电力系统，尤其在分析电力系统低 频振荡问题时，发电机及励磁系统需要采用比较 精确的数学模型，在这种情况下，矩阵A的阶数 可能高达一千阶以上。为此，80年代以来提出了 一类限于计算一部分对稳定性判别起关键影响的 特征值，并充分利用矩阵的稀疏性或采用其它技
巧的分析方法。这类方法中，有的已获得实际应
由于在国内外的一些电力系统中，低频振荡现象 时有发生，因此在静态稳定分析中，对于低频振 荡分析尤为重视，而各种部分特征值分析方法大
多主要针对系统的低频振荡模式分析，并称它们
为选择模式分析方法。在这些分析方法中，有的 将矩阵A进行降阶处理后进行计算，故称为降阶 选择模式分析方法。
有的是将全系统微分方程的系数矩阵A，经过适
QR算法是计算矩阵全部特征值的有效算法，在一
般大、中型计算机中都有标准库程序供用户调用。
5、特征值灵敏度分析
在电力系统设计和运行中，往往需要分析某 些参数(如放大倍数和时间常数等)对静态稳定性 的影响，以便适当选择或调整这类参数，使系统 由不稳定转变为稳定，或者进一步提高系统的稳 定度。对此，一种有效的方法是应用特征值灵敏 度分析法，即求出微分方程式(4-86)的系数矩阵 A的特征值与参数之间的关系，用它来指导参数 的选择或调整，从而改变A阵的特征值。
1987年7月23日东京电力系统的电压崩溃事故， 导致失去8168MW的负荷，涉及2 800多万用户；
1973年7月12日我国大连地区的电网因电压崩溃 而造成大面积停电事故。
因此，电网电压稳定性问题引起了世界各国电力工
业界和学术界的极大重视，并进行了大量的研究工 作。IEEE和CIGRE等学术组织也相继成立了专门工 作小组，从不同侧面对电压稳定性问题进行调查和 研究。目前，在越来越多的电力系统中，电压不稳
电压崩溃(VoltageCollapse)比电压稳定性要复杂得多，