二次根式的混合运算
15.4 二次根式的混合运算
B． a2 2 a4
C．a 22 a2 4
D. a b a (a≥0，b＞0) b
知1－练
（来自《典中点》）
知1－练
3 【中考·钦州】对于任意的正数m，n，定义运算※为：
m※n＝
m m
n (m≥n)， n (m＜n)，计算(3※2)×(8※12)的结
果为( B )
第十五章 二次根式
15.4 二次根式的混合 运算
1 课堂讲解 2 课时流程
二次根式的混合运算 乘法公式在二次根式中的应用
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
母亲节快到了，为了表示对妈妈 的敬意，格格同学特地做了两张大小 不同的正方形的壁画送给妈妈，其中 一张面积为 800 cm2，另一张面积为 450 cm2，她想，如果把壁画的边包上金色彩带应该会更 漂亮，她手上现有1.2 m 长的金色彩带，请你帮格格算一 算，她的金色彩带够用吗? 如果不够，还需买多长的金 色彩带?
(1) 2 8 10 ;
(2) 24 50 2;
解：(1) 2 8 10 16 20 4 2 5.
还可以：
2 8 10 2 2 2 2 5 4 2 5.
（来自《教材》）
(2) 24 50 2
24 2 50 2 12 25 2 3 5. 还可以：
(3)原式
6 3 2
6 2
3
3 1
3 3
6 3 6 3 3 3 3 6 1 6
22
3
3
2 6.
（来自《点拨》）
(4)原式 6 3 2 1
6
3 2
6 6 3 2 3 2 6.
知1－练
（来自《点拨》）
2 【中考·宁夏】下列计算正确的是( D )
二次根式混合计算
二次根式混合计算二次根式，也叫做二次方根，是指一个数的平方等于给定数的根。
在数学中，二次根式是一个被开方的数，根号下面是一个整数或分数。
二次根式的运算主要包括加法、减法、乘法和除法。
下面我们分别来看一下这四种运算。
1.二次根式的加法和减法：当两个二次根式具有相同的根指数，并且根数相同，可以进行加法和减法运算。
例如，√2+√3=√2+√3(二次根式不能进行化简，所以直接相加)√2+√2=2√2(相同数的根数相加)√2+√8=√2+2√2=3√2(相似的根数相加)2.二次根式的乘法：二次根式的乘法需要使用到公式：(a + b) × (c + d) = ac + ad + bc + bd例如，(√3+√2)×(√3+√2)=(√3)²+√3×√2+√3×√2+(√2)²=3+2√6+2√6+2=5+4√63.二次根式的除法：二次根式的除法需要使用到有理化的方法。
具体步骤如下：Step 1: 计算除数和被除数的积Step 2: 将除数和被除数的积化简为一个二次根式Step 3: 用化简后的积除以除数，得到结果例如，计算(√6+√2)÷√2Step 1: (√6 + √2) ×√2 = 2√3 + 2Step 2: 化简为2√3 + 2Step 3: (2√3 + 2) ÷√2 = (2√3 ÷√2) + (2 ÷√2)=2√2+√2=3√2这就是二次根式的加法、减法、乘法和除法的基本运算方法。
除此之外，二次根式还有很多特殊的性质和运算规律，如指数法则、化简法则、合并根的法则等。
在实际的数学问题中，需要根据具体的题目来运用这些性质和规律进行计算。
(完整版)二次根式混合运算经典
( 4 )( 5 + 3 2 )2 .
答案： 3 答案：5 3 - 3 答案：1 答案：43+30 2
1、计算：
（1）、3 2 1 33
(2)、7 2 1 5
(3)、7 （ 7）2
(4)(7 2 2 6)(2 6 7 2)
(5)、( 7 7 3)2
(6)、( 2 3 6)2 ( 2 3 6)2
(3)已知 10 的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值．
6 解：(1) 2－
18－120＝3
2－3
2－1＝－1
(2)(－3)2－ 4＋12－1＝9－2＋2＝9
(3)∵3< 10<4 ∴ 10的整数部分 a＝3，小数部分 b＝ 10－3
∴a2－b2＝32－( 10－3)2＝9－(10－6 10＋9)＝－10＋6 10
例3 计算：
( 2 )( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ).
从例3的第(2)小题看到，二次根式的和相乘， 与多项式的乘法相类似.
我们可以利用多项式的乘法公式，进行某些二 次根式的和相乘的运算.
例4 计算：
( 1 )( 2 + 1 )( 2 - 1 ) ； ( 2 )( 2 - 3 )2 .
动脑筋
解：(1)∵x＝2－ 3，y＝2＋ 3 ∴x＋y＝(2－ 3)＋(2＋ 3)＝4，xy＝(2－ 3)×(2＋ 3)＝1 ∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15
(7)、(7 54 3 21） 3
(8)、18 ( 3 2)
注意：
1、运算顺序 。 2、运用运算律和乘法公式，简化运算。 3、结果为最简二次根式。
二、巧用“分母有理化”进行二次根式混合运算
二次根式的混合运算法则
二次根式的混合运算法则二次根式是数学中的一个重要概念，也是数学中常见的运算形式。
在二次根式的混合运算中，我们需要遵循一定的法则和步骤，以确保运算结果的准确性。
本文将介绍二次根式的混合运算法则，并通过实例进行说明。
一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数。
在二次根式中，根号内的数称为被开方数，根号外的数称为系数。
二次根式可以进行加、减、乘、除等运算，但需要遵循一定的法则和步骤。
二、二次根式的混合运算法则1. 加法运算当二次根式相加时，要求被开方数相同，系数相加即可。
例如，√2 + √2 = 2√2。
2. 减法运算当二次根式相减时，同样要求被开方数相同，系数相减即可。
例如，√3 - √2 = √3 - √2。
3. 乘法运算当二次根式相乘时，可以将系数相乘，被开方数相乘并合并为一个二次根式。
例如，2√3 * 3√2 = 6√6。
4. 除法运算当二次根式相除时，可以将系数相除，被开方数相除并合并为一个二次根式。
例如，6√6 / 3√2 = 2√3。
5. 混合运算在二次根式的混合运算中，可以按照运算法则依次进行加、减、乘、除等运算。
需要注意的是，乘法和除法运算的优先级高于加法和减法运算。
三、实例分析为了更好地理解二次根式的混合运算法则，我们来看几个实例。
1. 实例一：计算√5 + √3 - √2的值。
根据加法运算法则，√5 + √3 = √5 + √3，再根据减法运算法则，√5 + √3 - √2 = √5 + √3 - √2。
2. 实例二：计算(2√6 - √2) * √3的值。
根据减法运算法则，2√6 - √2 = 2√6 - √2，再根据乘法运算法则，(2√6 - √2) * √3 = 2√18 - √6。
3. 实例三：计算(3√10 + 2√5) / √2的值。
根据加法运算法则，3√10 + 2√5 = 3√10 + 2√5，再根据除法运算法则，(3√10 + 2√5) / √2 = (3√10 + 2√5) / √2。
八年数学下二次根式加减乘除混合运算考点与讲解二次根式加减乘除混合运算考点与讲解
二次根式加减乘除混合运算考点与解析1．计算：．考点：二次根式的乘除法．专题：计算题．分析：按照•=，从左至右依次相乘即可．解答：解：，=2．点评：本题考查二次根式的乘法运算，比较简单，注意在运算时要细心．2．计算：﹣32+×+|﹣3|考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．分析：分别利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质化简求出即可．解答：解：﹣32+×+|﹣3|=﹣9+×+3﹣=﹣5﹣．点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．3．计算：（﹣1）2015+sin30°+（2﹣）（2+）．考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．分析：运用﹣1的奇次方等于﹣1，30°角的正弦等于，结合平方差公式进行计算，即可解决问题．解答：解：原式=﹣1++4﹣3=．点评：该题主要考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值等知识点及其应用问题；牢固掌握特殊角的三角函数值、灵活运用二次根式的混合运算法则是正确进行代数运算的基础和关键．4．计算：．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：先根据二次根式的乘除法法则得到原式=﹣+2，然后利用二次根式的性质化简后合并即可．解答：解：原式=﹣+2=4﹣+2=4+．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后进行二次根式的加减运算．5．计算：（1）sin60°﹣|﹣|﹣﹣（）﹣1（2）（1+）÷．考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）根据特殊角的三角函数值、分母有理化和负整数指数幂的意义得到原式=﹣﹣﹣2，然后合并即可；（2）先把括号内合并和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．解答：解：（1）原式=﹣﹣﹣2=﹣2；（2）原式=•=x．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂和分式的混合运算．6．计算：（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：首先根据零指数幂、负整数指数幂的运算方法，二次根式的除法的运算法则，以及绝对值的求法计算，然后根据加法交换律和结合律，求出算式（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1的值是多少即可．解答：解：（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1．=1+3=（1+2+3）=6+0=6点评：（1）此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a0=1（a≠0）；（2）00≠1．（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a﹣p=（a≠0，p为正整数）；（2）计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；（3）当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．（4）此题还考查了绝对值的非负性和应用，要熟练掌握．7．化简：（1）（2）（3）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）、（2）利用二次根式的性质把二次根式化为最简二次根式；（3）根据平方差公式计算．解答：解：（1）原式=4；（2）原式=；（3）原式=（﹣）（+）=3﹣2=1．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．8．计算：（1）（2）﹣5+6（3）×﹣（4）﹣π（精确到0.01）．考点：二次根式的混合运算．分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）根据二次根式的乘法法则运算；（4）把≈1.414，π=3.142代入原式进行近似计算即可．解答：解：（1）原式=2+4﹣=5；（2）原式=4﹣+=3；（3）原式=﹣=20﹣3=17；（4）原式≈0.5+1.414﹣3.142≈﹣1.23．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．9．计算：﹣﹣（）2+|2﹣|．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：先把各二次根式化为最简二次根式，再根据绝对值的意义去绝对值，然后合并即可．解答：解：原式=2﹣﹣2+2﹣=．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．10．计算：（）﹣1﹣|2﹣1|+．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据负整数指数幂和分母有理化的意义得到原式3﹣2+1+，然后合并即可．解答：解：原式=3﹣（2﹣1）+=3﹣2+1+=4﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．11．计算：+（﹣）+．考点：二次根式的混合运算．分析：先进行二次根式的化简和乘法运算，然后合并．解答：解：原式=+1+3﹣3+=4﹣．点评：本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简和乘法法则．12．计算：（）﹣2﹣+（﹣6）0﹣．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=4﹣4+1﹣，然后进行二次根式的除法运算后合并即可．解答：解：原式=4﹣4+1﹣=1﹣2=﹣1．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值．13．计算：（2﹣）2+﹣（）﹣1．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据完全平方公式和负整数指数幂的意义得到原式=4﹣4+3﹣3，然后合并即可．解答：解：原式=4﹣4+3﹣3=1﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．14．计算（1）（2）．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：（1）先算负指数幂，0次幂和绝对值，再进一步合并即可；（2）先利用平方差公式和二次根式的性质化简，再进一步合并即可．解答：解：（1）原式=2﹣1+3=4；（2）原式=2﹣3+﹣2=﹣3．点评：此题考查二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质化简以及乘法计算公式是解决问题的关键．15．（1）计算：4×÷﹣2sin30°﹣（）﹣1（2）化简：÷﹣．考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：（1）分别进行二次根式的乘法运算、除法运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂等运算，然后合并；（2）根据分式的混合运算法则求解．解答：解：（1）原式=10÷﹣2×﹣2=10﹣1﹣2=7；（2）原式=•﹣=﹣=．点评：本题考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．16．计算：（1）+（﹣2013）0﹣（）﹣1+|﹣3|（2）÷﹣×+．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：（1）根据零指数幂和负整数指数幂的意义得到原式=3+1﹣2+3，然后进行加减运算；（2）根据二次根式的乘除法则运算．解答：解：（1）原式=3+1﹣2+3=5；（2）原式=﹣+2=4﹣+2=4+．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和负整数指数幂．17．计算（1）÷+﹣3（2）（+）（﹣）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）先进行二次根式的除法运算，再先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用平方差公式计算．解答：解：（1）原式=+2﹣3=0；（2）原式==a﹣2b．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．18．（1）（2）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）先进行乘方和开方运算，再进行乘法运算，然后进行减法运算；（2）先去括号，然后合并即可．解答：解：（1）原式=4+4×（﹣）=4﹣3=1；（2）原式=2+2﹣=2+．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．19．计算题：（1）+﹣；（2）（1+）（﹣）﹣（2﹣1）2．考点：二次根式的混合运算．分析：（1）先进行二次根式的化简，然后合并；（2）先进行二次根式的乘法运算，然后合并．解答：解：（1）原式=3+﹣=4﹣；（2）原式=﹣+﹣3﹣13+4=4﹣2﹣13．点评：本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则以及二次根式的化简．20．计算（1）+（3+）（2）（﹣）×2（3）先化简，再求值．（a+）﹣（﹣b），其中a=2，b=3．考点：二次根式的混合运算；二次根式的化简求值．专题：计算题．分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据二次根式的乘法法则运算；（3）先把各二次根式化为最简二次根式得到原式=+2﹣+，然后合并后把a和b的代入即可．解答：解：（1）原式=3+3+2=8；（2）原式=2﹣2=4﹣；（3）原式=+2﹣+=+3当a=2，b=3时，原式=+3．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了二次根式的化简求值．。
二次根式的混合运算
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2; 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2; (a-b)2=a2-2ab+b2. 问题2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适
用吗?
前面我们已 经知道二次 根式运算类 比整式运算， 所以适用哟
整式的乘法 公式就是多 项式×多项
式
典例精析
例3 计算： （1） ( 5 3)( 5 3) ; (2) ( 3 2)2.
解：（1） ( 5 3)( 5 3) （ 5）2 （ 3）2 53 2.
(2) ( 3 2)2 （ 3）2 2 3 2+22 3 4 3+4 74 3.
(3) 3 2 48 18 4 3 ; (4) a3 a2b a b .
a ab
a b
解：(3) 3 2 48 18 4 3 3 2 4 3 3 2 4 3
2
5 1 4.
课堂小结
二次根式 混合运算
乘法公式
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (x+a)(x+b)=x2 +(a+b)x+ab
化简已知条件和所求代数式 化简求值
分母有理化
解:∵ x 3 2, y 3 2 ， ∴ x y 3 2 3 2 2 3,
xy 3 2 3 2 3 2 1,
∴x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy[(x+y)2-2xy]
1
2
3 2 2 1 10.
归纳 用整体代入法求代数式值的方法：求关于x,y的
a 3, b 10 3 . a2 b2 32 ( 10 3)2
5.3二次根式的混合运算
答案： +12 5 49 答案： 7 +1 答案： 2
( 6 )( 9 + 7 )( 9 - 7 ) .
6. 计算下列各式,根据它们的运算结果与表盘的相 应刻度位置进行连线.
9 16
( -1 )2
45 5
( 10 +1 )( 10 -1 )
72
2 3 6
3. 计算：
( 1 ) 8 2( 2 ) ； ( 2 ) ( 2 5 )( 3 5 ) ；
( 3 ) 1 1 ； 2 8
答案： 2 答案： 4 5
3 答案： 2 2
4. 计算：
( 1 )( 5 - 2 )2 ；
( 2 )( 5 + 1)( 5 -1 );
( 3 )( 3 6 2 3 ) 3 ;
2. 计算：
( 1 )( 5 - 2 )2 ；
答案： -2 10 7
5 ( 2 )( 7 + 2 )( 7 - 2 ) . 答案：
3. 计算：
( 1 ) 6 +2 3 ; 3
答案： 2 +2
( 2 )( 8 4 ) 2 .
答案： - 2 2
习题5.3
1. 计算：
A 组
( 1 ) 3 12+ 27 ；
答案： 4n 2) 2 2 (
中考 试题
例1
计算：
2 2 2
答案： 2 + 1
例2
化简二次根式：
1 27 12 2 3
答案： 2
中考 试题
计算： 48 3 1 12 24 2
答案： + 6 4
二次根式混合运算法则
二次根式混合运算法则
二次根式混合运算法则是指在计算含有二次根式的算式时，按照一定的顺序进行运算。
这个规则是由平方、开平方、乘法、除法、加法、减法等运算法则组成的。
我们需要知道二次根式的基本性质。
二次根式是指一个数的平方根再开平方根。
例如，√(9+4√5)就是一个二次根式。
我们可以将其化简为a+b√5的形式，其中a和b是有理数。
接下来，我们来看看二次根式混合运算法则的具体步骤。
第一步：先计算二次根式内的运算
如果二次根式内有加减乘除的运算，先进行内部运算。
例如，计算√(3+2√2)+√(3-2√2)。
我们可以将两个二次根式内的加法运算先进行计算，得到：
√(3+2√2)+√(3-2√2)=√3+√2+√3-√2=2√3
第二步：计算二次根式之间的运算
如果算式中含有多个二次根式，先进行二次根式之间的加减运算。
例如，计算√5+√2-√10。
我们可以先将√5和√2进行加法运算，再将结果与√10进行减法运算，得到：
√5+√2-√10=√5+√2+(-√10)=√5+√2-√10
第三步：计算非二次根式的运算
如果算式中还含有非二次根式的运算，最后进行加减运算。
例如，计算(√3+√2)×(√3-√2)。
我们可以先将括号内的二次根式之间的减法运算进行计算，得到：
(√3+√2)×(√3-√2)=√3×√3-√2×√3+√2×√3-√2×√2=3-2=1
我们需要注意的是，在计算含有二次根式的算式时，需要特别注意运算的顺序。
只有按照一定的顺序进行运算，才能得到正确的结果。
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算教学建议学问结构重难点分析本节课的重点是二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算及分母有理化。
它是以二次根式的概念和性质为基础，同时又紧密地联系着整式、分式的运算，也可以说它是运算问题在学校阶段一次总结性，提高性综合学习；二次根式的运算和有理化的方法与技巧，能够进一步开拓同学的解题思路，提高同学的解题力量。
本节课的难点是把分母中含有两个二次根式的式子进行分母有理化。
分母有理化，实际上二次根式的除法与混合运算的综合运用。
分母有理化的过程，一般地，先确定分母的有理化因式，然后再依据分式的基本性质把分子、分母都乘以这个有理化因式，就可使分母有理化。
所以对初学者来说，这一过程简单消失找错有理化因式和计算出错的问题。
教法建议1.在学问的引入上，可实行复习引入方式，比如复习有理数的混合运算或整式的运算。
2.在二次根式的加减、乘法混合运算中，要留意由浅入深的层次支配，从单项式与多项式相乘、多项式与多项式到乘法公式的应用，渐渐从数过渡到带有字母的式。
3.在有理化因式教学中，要多出几组题目从不同角度要求同学辨别，并准时总结。
同学特点：试验班的A层同学(数学实施分层教学),主动学习乐观性高，基础扎实，思维活跃, ,并具有肯定的独立分析问题,探究问题,归纳概括问题的力量,有较好的思索、质疑的习惯。
教材特点：本节课是在学习了二次根式的三个重要概念（最简二次根式、同类二次根式、分母有理化）和二次根式的有关运算（二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减法）基础上，将加、减、乘、除、乘方、开方运算综合在一起的混合运算的学习。
鉴于同学的特点及教材的特点，本节课主要采纳“互动式”的课堂教学模式及“谈话式”的教学方法，以此实现生生互动、师生互动、同学与教材之间的互动。
详细说明如下：（一）在师生互动方面，老师注意问题设计，注意引导、点拨及提高性总结。
使同学学中有思、思中有获。
如本节课开头，出示书中例题1：让同学先进行思索，解答。
二次根式的混合运算
1 −1
2
应用练习
3.3 计算： − 2 × 6 +
3−2 −
1 −1
2
课 堂 小 结
−
− >0
− =0
绝对值的化简： − = ቐ 0
− − − <0
例题讲解四
4.计算： 12 −
1 −1
2
+
1
3−1
− − 3.14
0
+ 2 3−4
应用练习
4.1 计算：
2012 − 1
− − 2
0
+ −
1 −1
3
+ 3 − 12
课 堂 小 结
1. 完全平方公式： +
2
= 2 + 2 + 2 , (a − b)2 = 2 − 2 + 2
2. 平方差公式： + − = 2 − 2
课堂大总结
1.二次根式的混合运算依据：有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）、
3.二次根式的除法法则： ÷ =
4.二次根式除法法则的逆用：
5.完全平方公式： +
2
≥ 0, > 0
= ÷ ≥ 0, > 0
= 2 + 2 + 2 , (a − b)2 = 2 − 2 + 2
6.平方差公式： + − = 2 − 2
应用练习
5.2
2
计算：
3
9 − 6
4
+
1
例题讲解六
6. 计算：
二次根式混合运算题含答案
二次根式混合运算题含答案本文是一份数学题目，需要进行排版和改写以更好地呈现。
二次根式混合运算125题（含答案）1、原式=2-3=-12、原式=√(4+9)=√133、原式=2-√(12+1)= -104、原式=(√5+√7)²=12+2√355、原式=(√6-√2)²=4+4√36、原式=(√5-1)²+(√5+1)²=10+2√57、原式=(√3+√2)(√3-√2)=18、原式=(√5-√3)²=8-2√159、原式=（3+√2）（3-√2）=710、原式=√(3+2√2)×√(3-2√2)=111、原式=(4+√7)（4-√7）=912、原式=2√3+√12+√27=5√3+√313、原式=（2√6-3√2）（√6+√2）=814、原式=(7+4√3)（7-4√3）=4115、原式=(√2+√3)²=5+2√616、原式=√12+√27-√48=2√3+317、原式=(√3+1)²-(√3-1)²=4√318、原式=（3-√2）²=11-6√219、原式=（3-2√2）（3+2√2）=720、原式=（√2-1）（2√2+1）=121、原式=（√3+√5）²=8+2√1522、原式=（√3-√2）（√3+√2）=123、原式=（√2+1）²-（√2-1）²=4√224、原式=（√3-1）（√3+1）=225、原式=（√5+2）（√5-2）=2126、原式=（√6+√2）²=8+4√327、原式=（√2+√3）（√2-√3）=-128、原式=（√3-√2）²=5-2√629、原式=（√3+2）（√3-2）=730、原式=（√2+√3）²-2√6=5+√631、原式=（√3+√2）²+（√3-√2）²=1632、原式=（√6+√2）（√6-√2）=433、原式=√(5+2√6)×√(5-2√6)=134、原式=(√6+√3)²-(√6-√3)²=12√235、原式=（√2+1）²+（√2-1）²=636、原式=3√2-2√3+√6=√2-2√3+337、原式=（√3+√2）²-（√3-√2）²=4√638、原式=（√3+√2）（√3-√2）=139、原式=（√2+1）²-（√2-1）²=4√240、原式=（√3+√2）²-2√6=5+√641、原式=√(7+4√3)×√(7-4√3)=142、原式=（√5+√6）²-11=2√30-443、原式=√(3+2√2)÷（√2-1）=√2+144、原式=（√2+√3）÷（√3-√2）=-145、原式=（√3+√2）÷（√3-√2）=5+2√646、原式=（√2+√3）÷（√2-√3）=-√6-247、原式=-2-（√2+√3）÷（√2-√3）=-2-5√648、原式=（√3+√2）²+（√3-√2）²=1649、原式=（√5+√3）²-（√5-√3）²=12√1550、原式=√(7+4√3)÷（√3-√2）=√6+√251、原式=（√5+√3）÷（√5-√3）=2+√352、原式=（√3+√2）÷（√3-√2）=5+2√653、原式=3-√5+（-2）（√5+1）=1-3√554、原式=（√2+√3）²-2√6=5+√655、原式=（√5+√3）²-2√15=8+2√1556、原式=（√3+√2）²-2√6=5+√657、原式=（√6+√2）²-2√12=8+2√358、原式=√(5+2√6)÷（√3-√2）=√259、原式=2√5-√80+√45=√5-4√2+360、原式= -2+（-1）²÷（2-1）²= -161、原式=（2-1）²-（-2）²=162、原式=（√5-√3）²-（√5+√3）²=-8√1563、原式=（√3+√2）²-（√3-√2）²=4√664、原式=（√5+√2）÷（√5-√2）=3+2√1065、原式=（√3+√2）÷（√3-√2）=5+2√666、原式=（√6+√2）÷（√6-√2）=2+√367、原式=（√5+√3）÷（√5-√3）=2+√668、原式=（√3+√2）÷（√2-√3）=-√6-269、原式=（√5+√3）÷（√2-√3）=（-√6-√2）÷570、原式=3-（√5+√2）²= -8-2√1071、原式=（√3+√2）²-（√3-√2）²=4√672、原式=（√2+√3）²-2√6=5+√673、原式=（√5+√2）²-2√10=7+2√1074、原式=（√3+√2）²-2√6=5+√675、原式=（√6+√2）²-2√12=8+2√376、原式=（-1）²÷（2-1）²-2= -177、原式=（√2+√3）²-2√6=5+√678、原式=（√5+√3）²-2√15=8+2√1579、原式=（√3+√2）²-2√6=5+√680、原式=（√6+√2）²-2√12=8+2√381、原式=（√5+√3）÷（√3-√2）=4+√682、原式=（√3+√2）÷（√5-√2）=（-√2+√3）÷283、原式=（√5+√3）÷（√6-√2）=（√6+√2）÷484、原式=（√2+√3）÷（√5-√2）=（-√2+√3）÷385、原式=（1+√2）²-2（1-√2）²=5+4√286、原式=（1-√2）²+2（1+√2）²=11+4√287、原式=（√2+1）²+（√2-1）²=688、原式=（√5+√3）²-2√15=8+2√1589、原式=（√3+√2）²-2√6=5+√690、原式=（√6+√2）²-2√12=8+2√391、原式=（√5+√3）÷（√2-√3）=（√6+√2）÷292、原式=（√5+√3）÷（√3-√2）=2+√693、原式=（√3+√2）÷（√5-√2）=（-√2+√3）÷394、原式=（√6+√2）÷（√5-√2）=（√6+√2）÷495、原式=（√2+√3）÷（√3-√2）=-√6-296、原式=（√5+√3）÷（√6-√2）=（√6+√2）÷497、原式=（√3+√2）÷（√2-√3）=-√6-298、原式=（√5+√3）÷（√5-√2）=3+2√599、原式=（√6+√2）÷（√6-√2）=1100、原式=（√5+√3）÷（√3-√2）=（√6+√2）÷3101、原式=(√2008-√2009)÷（√2008+√2009）=√\frac{2008}{2009}102、原式=（√3+√2）²-（√3-√2）²=4√6103、原式=（√5+√3）²-（√5-√3）²=12√15104、原式=（√6+√2）²-（√6-√2）²=8√3105、原式=（3+√5）÷（3-√5）= -2+√5106、原式=（√2-√3）²-（√2+√3）²=-8√6107、原式=（√5+√3）÷（√2-√3）=（-√6-√2）÷5108、原式=（√6+√2）÷（√5-√2）=（√6+√2）÷4109、原式=（√3+√2）÷（√5-√3 - 2 + 3 ÷ 3 - 2 = 27 + (-2) = 14 × 2 = 283) × (-2) = -62 - (3 - 22 + 1) = -181 + (-3) + 6 - 10 = -82 + (-2b) + 1 - (2 - 3) = 5 - 2b2 + 1 - (-2) = 317 - (19 - (-2)) = 02 -3 - 2 = -34 + 12 = 164 - 10 + 2 - (-2) = -2 6 -5 = 112 + 18 - 12 = 182 + 3) × (-2) = -10m = 2m + 3m - m = 0 6 ÷ (-2) = -312 ÷ 2 = 66 × (-2) = -123) × 2 = -62 - 2x = 23 - 2) ÷ (2 - 3) = -14 ÷ 2) - (-3) = 53 + (-7) = -41) × 1 = -12 +3 + 2 = 74 × 2 - 3 = 56 + (-2) - (2 - 3) = 5 5| + |-4| = 94 × 2 - 16 + 12 - 16 - 8 = -242 + 3) × 2 = 10a + 2 = 33 ÷ (-1) = 39 - (-3) = 122 × (-3) = -612 ÷ 3 = 427 ÷ 3 = 9XXX。
二次根式混合运算(经典)
（1）（ 3 7－ 6）（ 5 3） 4
（2） 15 （ 1 ＋ 1 ） 32
（1）3 35＋ 3 21－ 1 30－ 3 2
8
8
2
2
（2）3 30－6 5
例：计算
(1) 10
4 (2)
1
1
5 51
x 1 x2 x 1 x2
解：(1)原式= 10 5
4( 5 1)
时，乘以什么样的式子，分母 中的根式符号可去掉 ？
上次更新: 2024年9月18日星期三
例 将下列各式分母有理化因式
(1) 3 3 1
(2) 1 4 33 2
(3) m-n (m n) m n
(4) 2 5 2 3
3 3 2
4 33 2 30
m n
2 5 2 6
3 5 2 3 2 3 3 5
2
x-3
例5：化简： 3 2 2 3 2 2
解：原式= ( 2 1)2 ( 2 1)2
= 2 1
2 1
= 2 1 ( 2 1)
= 2 1 2 1
=-2
, 求 a2 2ab b2 7的值
解：(1) x y x y x y
= x（ x y）- （ y x y） （ x y)( x y）
(2) a 1 5 2 , 52
b= 1 5 2. 52
= x xy- yx y x-y
= x+y
x-y
当x 1 , y 1 23
时，
5 ( 5 1)( 5 1)
= 2 5 ( 5 1)
(2)原式
51
2x
(x 1 x2 )(x
2x x2 (1 x2 )
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算1. 引言在数学中，二次根式是一种形如√a的数，其中a为非负实数。
二次根式可以进行加减乘除等基本运算，也可以与整数、有理数等进行混合运算。
本文将介绍如何进行二次根式的混合运算，包括加减、乘法以及除法。
2. 二次根式的加减运算2.1 加法运算对于两个二次根式的加法运算，我们只需要将它们的根号内的数相加，并保持根号不变。
例如：√a + √b = √(a + b)2.2 减法运算对于两个二次根式的减法运算，我们也只需要将它们的根号内的数相减，并保持根号不变。
例如：√a - √b = √(a - b)3. 二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算稍微复杂一些，需要使用到一条性质，即：两个二次根式的乘积等于根号内两个数的乘积。
例如：√a * √b = √(a * b)4. 二次根式的除法运算二次根式的除法运算同样需要使用到一条性质，即：两个二次根式的除法等于根号内两个数的除法。
例如：√a / √b = √(a / b)5. 混合运算的例子为了更好地理解二次根式的混合运算，举个例子：假设有以下的运算：√8 + √2 - √18 * √3 / √4首先，我们可以将各个二次根式的根号内的数进行化简：√8 = √(4 * 2) = 2√2 √18 = √(9 * 2) = 3√2 √4 = 2然后，将化简后的结果带入原表达式中：2√2 + √2 - 3√2 * √3 / 2继续进行混合运算：2√2 + √2 - 3√6 / 2最后，将所有的二次根式及有理数进行合并得到最终结果：2√2 + √2 - (3 / 2)√66. 结论本文介绍了二次根式的混合运算，包括加减、乘法以及除法。
通过理解和应用这些运算规则，我们可以更方便地处理涉及二次根式的数学问题。
希望本文的内容能够帮助读者在学习和应用二次根式时更加得心应手。
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算一、混合运算的定义混合运算是指将不同类型的运算在同一个表达式中进行计算的过程。
在数学中，混合运算常常涉及到加法、减法、乘法、除法等基本运算规则。
二、二次根式的定义二次根式是指具有平方根的数学表达式。
一般情况下，二次根式的形式为√(a × b)或√(a / b)，其中a和b为实数。
需要注意的是，a和b不能是负数。
三、二次根式的混合运算规则在进行二次根式的混合运算时，需要按照以下规则进行计算：1.二次根式的加法运算：当两个二次根式具有相同的根数和次方数时，可以进行加法运算。
例如：√2 + √3 = √(2 + 3) = √52.二次根式的减法运算：当两个二次根式具有相同的根数和次方数时，可以进行减法运算。
例如：√5 - √3 = √(5 - 3) = √23.二次根式的乘法运算：可以将二次根式的根数和次方数相乘。
例如：√2 × √3 = √(2 × 3) = √64.二次根式的除法运算：可以将二次根式的根数和次方数相除。
例如：√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √35.二次根式的乘方运算：可以将二次根式的根数和次方数进行乘方计算。
例如：(√2)² = √(2²) = √4 = 2四、二次根式混合运算的示例示例一：计算√3 + √5 - √2根据混合运算的规则，我们可以首先进行加法运算，然后再进行减法运算。
即：√3 + √5 - √2 = √(3 + 5) - √2 = √8 - √2由于√8不能继续简化，最后的结果为√8 - √2。
示例二：计算√2 × √3 ÷ √5根据混合运算的规则，我们可以先进行乘法运算，然后再进行除法运算。
即：√2 × √3 ÷ √5 = √(2 × 3) ÷ √5 = √6 ÷ √5由于√6不能被√5整除，所以最后的结果为√6÷ √5。
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人教版数学八年级下册第十六章《二次根式》第3节
《二次根式的加减》（第二课时）教学设计
平泉初级中学李雅婷
学科核心素养发展的基本要点：
学生在本节课培养的核心素养主要有：科学精神中的勇于探究，实际操作中的数学运算、问题解决.
《课标》要求：
了解四则运算的意义，掌握必要的运算技能，会进行二次根式的混合运算。
学情分析：
学生之前已经学习了二次根式的乘除法，加减法运算，为学习本节课奠定了一定的基础，本节课在复习整式混合运算的基础上，对二次根式进行混合运算.
学习目标
1.知识与技能：在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上，使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的关系，在比较中归纳总结方法，并能熟练地进行二次根式的混合运算.
2.过程与方法：对二次根式的混合运算与数的混合运算及整式的混合运算作比较，要注意运算顺序及运算律在计算过程中的作用. 通过引导，在多种解法中进行比较，寻求有效快捷的计算方法.
3.情感态度与价值观：通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习习惯，并且注重培养学生的类比思想.
学习重点、难点
重点：熟练进行二次根式的混合运算。
难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。
教学过程：
1、复习回顾：
填空
（1）整式混合运算的顺序是：。
（2）二次根式的乘除法法则是：。
（3）二次根式的加减法法则是：。
（4）写出已经学过的乘法公式：① ② 本环节设计目的：使学生回顾相关知识，为进一步进行二次根式的运算做好铺垫，使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的关系，在比较中归纳总结方法。
2、自主探究
例4：（1）（38+）×6
（2）22)6324(÷-
学生通过探究，找到其中的运算规律，然后完成下面的练习.
()
1
12-
(
21--
(3
3、自学课本14页例3后，依照例题探究计算：
（1）)52)(32(++ （2）2)232(-
（3）)35)(35(-+
本环节设计目的：复习整式的乘法公式，将其运用到二次根式的混合运算中来.
4、展示反馈
计算：
)
26)(62()1(-+
2
)252()2(-
（3）)22)(32(2+-
5、拓展练习
已知 ,23 ,23-=+=
y x 求下列各式的值：
. )2( ;2 )1(2222y x y xy x -+-
本环节设计目的：学生对所学知识进行综合运用，从多种算法中进行比较，寻求有效快捷的计算方法.
6、课堂小结
7、作业布置
课后反思：
1.本节课学生们回忆了二次根式的乘除法、加减法法则，整式混合运算的顺序及乘法公式，并将其运用到二次根式的混合运算中来.
2.通过独立学习和小组讨论，培养学生的类比思想，和勇于探究的科学精神.。