用向量法计算空间角

D1
C1
y
D
则n AB1 0，n AC 0
B
C
所以 xx
z y
0 ，取x 0
=
1，
x
得y = z = -1，故n = (1，-1，-1)，cos n，B1C1
所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为
01 0
3
1 。
3
3
3 3
小结：
直线与平面所成角：
sin | cos n, AB |
直线和平面所成角的定义 A
B
O
D
α
C
定义： 平面外一直线与它在该平面内的投影的
夹角叫作该直线与此平面的夹角。
由定义知本图中AB与平面a的夹角是： ABO
思考：
直线与平面的夹角
和该直线的方向向量
s
与该平面的法向量
n
的夹角 〈 s，n〉是什么
关系？
n, s
2
α
P l
AB
思考：
直线与平面的夹角
求B1C1与面AB1C所成的角. z
设正方体棱长为1，以AB，AD，AA1为单 位正交基底，可得 A(0，0，0)，B1(1，0，1)，
A1
C(1，1，0)，C1(1，1，1)，则B1C1 (0，1，0)， B1
AB1 (1，0，1)，AC (1，1，0)
设平面AB1C的法向量为n (x，y，z) A
布置作业：
• 习题2-5 • 第三题 • 补充题如下：
练习:
1、已知 AB =(2,2,1),AC =(4,5,3),则平面
ABC的一个法向量是______ .
2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射
影的方向向量分别是a =（1，0，1），b =（0，1，
1），那么这条斜线与平面所成的角是______ .
和该直线的方向向量
s
与该平面的法向量
n
的夹角 〈 s，n〉是什么α
关系？
n, s
结论: sin
2
cos
n, s
P l
A B
例一：在单位正方体 ABCD A1B1C1D1
中，求对角线 A1C 与平面ABCD的夹
角 的正弦值。
z
A1
B1
A
xB
D1 C1
Dy
C
练习：正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为1.
2 求平面SAB与SCD 所成二面角的余弦值．
四、教学过程的设计与实施
3 实践操作
解：由 SA⊥平面 ABCD，AB⊥AD，SA，AB，AD 两两互相垂直． 以 A 为坐标原点，AD 所在的直线为 x 轴，AB 所在的直线为 y 轴 建立空间直角坐标系 A-xyz，则
S(0,0,1) ， S(1 , 0, 0) ， C(1,1,0) ， SD (1 ,0, 1) ， SC (1,1, 1) ，
A
n
B
O n
目标测试：
1、已知 AB =(2,2,1),AC =(4,5,3),则平面
ABC的一个法向量是______ .
2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射 影的方向向量分别是 n1=（1，0，1）， n2 =（0， 1，1），那么这条斜线与平面所成的角是 ______ .
3. 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2,BAC 900 AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成角的余弦 值为_________ .
2
2
设平面 SCD 的法向量为 n(x, y,z)，则 n•SD0， n•SC0，
转化为坐标运算，得
取 z=1，则 n (2,1,1) ，
1 x z 0, 2 x y z 0.
cos n, AD
n AD
1 2 0 (1) 0 1
2
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n AD
1 6
6
3．
2
四、教学过程的设计与实施
正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点Q是BC的中点，求二面角A—DQ— A1的余弦值．
P l
αA B
回顾
一、线线角：
直线与直线所成角的范围：
[0, ]
2
线线夹角与两线方向向量间的关系：
设直线CD的方向向量为a，AB的方向向量为b
a
b
| a，b
a
a，b b
|
结论：
| cos a,b |
思考：
直线和平面所成的角能否也转化 为两个向量所成的角去求解呢？ 答案是肯定的。 为此先弄清直线和平面所成角的 定义。看下图
l
四、教学过程的设计与实施
2 探究方法
n1, n2
cos
cos
n1, n2
n1 • n2 n1 n2
根据教师引导，由学生发现该二面角的求解可由向量的夹角来确定，调动学生探究这一问题的主动性和积极性.
四、教学过程的设计与实施
2 探究方法
n1, n2
cos
cos
n1, n2
n1 • n2 n1 n2
3 实践操作
四、教学过程的设计与实施
3 实践操作
总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤： 1）建立坐标系，写出点与向量的坐标； 2）求出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的
夹角； 3）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或
钝角，得出问题的结果．
四、教学过程的设计与实施
3 实践操作
巩固练习：
3、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)， 则两平面所成的钝二面角为______ .
• 谢谢大家！！
向量法求二面角的大小
四、教学过程的设计与实施
1 温故知新
如何度量二面角α—l—β的大小
B O
A
l
四、教学过程的设计与实施
2 探究方法
问题1： 二面角的平面角
能否转化成向量的夹角？
二面角的大小 n1, n2 ．
四、教学过程的设计与实施
3 实践操作
已知ABCD 是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°, SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD 1 ，
2 求平面SAB与SCD 所成二面角的余弦值．
四、教学过程的设计与实施
3 实践操作
已知ABCD 是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°, SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD 1 ，
AOB
B
O l
A
AOB OA,OB
二面角 OA,OB
四、教学过程的设计与实施
2 探究方法
二面角 n1, n2
四、教学过程的设计与实施
2 探究方法
问题2： 求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，那么二 面角的大小与两个半平面的法向量有没有关系？
n
a
n1 n2
四、教学过程的设计与实施
2 探究方法
问题3： 法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等，什么时候互补？ 再次演示课件
四、教学过程的设计与实施
2 探究方法
当法向量 n1 ， n2 一个指向二面角内，另一个指向二面角外时，
二面角的大小 n1, n2 ；
当法向量 n1 ， n2 同时指向二面角内或二面角外时，