单调有界数列问题的简单探究

Ｊ
式 ａ ＜Ⅱ ＜ ３ 其 中 ＥＮ 成 立 的 ｆ的取 值 范 围． （ ）
解 ： 为 １ ｎ ＜ａ ＜ ３ 即 数 列 ｛ 单 调 递 增 且 有 界 ， 因 ≤ ， ｎ｝ 所 以 ｌ 存 在 ， ＜ ｌ ３ ｉ ｍａ １ ｉ ≤ ． ｍａ 不妨 设 ｌ ｉ 一ｚ， １ ｘ ３ ｍａ 则 ％ ≤ ． 因 为 ａ ＋ —ｃ １ ｌ ｌ ｌ （ ａ ＋ １ ｌ ａ ＋ ｉ ＋ ｉ ｃ ｍａ ａ ｒ ）
设 ｌ 一ｒ ， ） ＋÷ ， （ 其中ｘ － １３ ． Ｃ （ ，］ －
因为函数 厂ｚ 一ｚ （） ＋÷在（，］ １３ 上单调递增．
所 以 对 于 任 意 Ｅ （ ，］ ｌ １ ＜厂 ｚ ≤ ， ３ ． １ ３ 有 厂 ） （ ） （） （
・
问蠹
题 祥
解 ：Ⅱ ｎ —１ａ ＝ｆ ， ａ ＞ｎ （ ） １ ，２ 一１ 由 ２ １得 ｃ ． ＞２
问题 ：
不 妨 设 ｌ 一 ， １ Ｔ ３ ｉ ｍａ 则 ＜ ≤ 因 为 ａａｌ ｎ 一 一
１
（ 国 Ｉ卷 ） 科 数 学 （ 修 ＋选 修 Ⅱ） 第 ２ 全 理 必 ” ２题
１ ｉ ｍ ＋
．
ｌ （一 ） ＝ １ Ｌ ｉ ｆ ＝ ｉ ｍ 、 ｍ—
，
“ ， Ｊ
一 １ ｚ— ｃ ｚ＋ １ ｆ一 —－ — １ 一 ｘ —１
．
因此 ＞ 不 符 合 要 求 ．
所 ｃ取 范 是２ ］ 以的 值 围 （ ． ，
这 道 题 考 查 了 数 列 、 学 归 纳 法 、 等 式 等 知 识 ， 解 题 数 不 其
过 程 需要 很 强 的 数 学 能 力 和 技 巧 ， 于 一 般 学 生 来 说 很 难 能 对
的二 次 表 达 式 ， 称 则
即的值 围 （ ． ｃ取 范 是ｏ ， ］
若例 ２中 的 条件 单 调 递 增 数 列 换 成 单 调 递 减 数 列 ， 法 方 与例 ２ 似． 相
３ 结 束 语 ．
如果 数列 ｛ 单调 ， １ Ｉ 日） 且 。 ＜ｎ（ ｎ为常数 ） 则 ｌ ａ ， ｉ 存 ａ ｒ
设 （） ｌ ’ 一÷ ， ｚ 其中ｘ １３ ． Ｅ（ ，］ 因为函数 ｌ ） 一÷ 在（ ，］ ， 一１ ’ （ １３ 上单调递增．
所 以对 于 任 意 ｚ （ ， ］ ， １＜ ， ） ＿ ３ ． Ｅ １３ 有 （） ≤ 厂 ） （ （
・
。 （ ） — １ ｏ ， ３ 一 １ 了 ｏ 厂 ） ， １ 一１ 一 ， （ ） 一 １＝ ２ ＜ （ ≤
够 解 答 ． 面 我 将 从 极 限 的 角度 对 这 类 问题 进 行 简 化 ． 下
２ 问 题 的 探 索 与 解 决 ． 首 先 ， 们 引 人几 个 概 念 ： 我 已知 数 列 ｛ 中 ， ａ ） ｎ＋ 一ｆ ａ ） （ ． （ｉ 若 递 推 式 右 边 ｆ ａ ） 关 于 ｎ ） （， 为 的 分 式 表 达 式 ， 称 则 数列 ｛ ｝ 分式递推数列 ； 为
“ ”ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ｎ＋ ＜ａ （ 中 ∈Ｎ 成 立 的 ｃ 取 值 范 围 ． 其 ） 的
解： ． 略
当 ２ ｃ ＜ ≤ 时 ， 。 ３ 。＜ ４ ．
０
从 上 述 的 解答 过 程 我们 发 现 ， 于 “ 调 有 界 的 分 式 递 推 对 单
当 ｃ Ｊ 时 ，＞ ３ 且 １ ． ＞ Ｕ ａ ． ， ≤。 ＜ｎ
２ ＿ ） ＜ 厂 ≤ ， 中 ∈ （ ，－ （ 其 １ ３１ ．
叭 一 一ｃ
＞ｆ 一上 一
．
盘 ＋ Ｉ
即的 值 丽 ２ ］ 取 范 是（ ． ，
上 述 从 极 限 和 函数 角 度 解 决 问 题 的 方 法 对 于单 调 递 减 分
式 递 推 数 列 也 同样 适 用 ．
．
，
（ｉ 若 递 推 式 右 边 ｆ ａ ） 关 于 ａ ｉ） （ 为 的一 次 表 达 式 ， 称 则
数 列 ｛ 为 一 次 递 推 数 列 ； ａ｝ 其 中 ∈ （ ， ］ １３ ．
（ ） 递 推 式 右 边 ｆ ａ ） 关 于 若 （ 为
数 列 ｛ 为 二 次 递 推 数 列 ． ａ） 在 此 基础 上理 解 一 个 结 论 ：
在 ， １ｉ ｌ ． 且 ｍａ ≤ｎ ｌ
基于这个结论我们来探讨上述问题．
（ ） 调 有 界 的 分 式 递 推 数 列 １单
近 几 年 高 考 试 题 在 强 调 学 生 的 基 本 数 学 能 力 和技 巧 的 同 时 ， 开 始 注 重 创 新 意 识 和加 大 初 等 数 学 与 高 等 数 学 的衔 接 ， 也 开 阔 其 数 学 思 维 ． 列 中 的 某 些 问题 能 够 很 巧 妙 地 跟 极 限 和 数 函数 结 合 在 一 起 ． 极 限 和 函 数 的 角度 来 解 决 ， 够 把 复 杂 的 从 能
技巧问题转换为数学思想问题．
例 １ 已知数列 （ 中， ，ｎ —ｆ 日 ｝ 口 一１ａ＋ 一÷． 求使不等
式 ａ＜ ｎ ＜ ３ 其 中 ＥＮ 成 立 的 ｆ的取 值 范 围 ． （ ） 解 ： 为 １ ａ ＜ ｎ ＜ ３ 即数 列 ｛ 单 调 递 增 且 有 界 ， 因 ４ ， ａ｝
用 数 学 归 纳 法 证 明 ： ｃ ２时 ｎ ＜ｎ ． 当 ＞
’ （） １ １ ｌ １ 一 ＋ —２， ３ ３ １一 Ｏ ， 厂（ ） ＋了 ｌ
．
．
（） 一１ ， 一 ＞ ｎ ， 题成 立 ； ｉ当 时 ａ 一ｆ １命
ｃ １ Ａ
（ ） 当 ｎ 时 ， ＜ ＋ ， 当 ｎ ＋ １ ， ｉ设 ｝ ＝ｋ ａ １则 ＝ｋ 时
数列” 问题 ， 们 可 以 通 过 极 限 和 函 数 的 思 想 把 问 题 进 行 转 我 换 ， 复杂 为 简单 ． 时 ， 可 以把 这 种 方 法 推 广 到 “ 调 有 界 化 同 也 单 的一 次 递 推 数 列 ” 单 调 有 界 的 二 次 递 推 数 列 ” 和“ ．
（） ２ 单调 有 界 的 一 次 递 推 数 列
于是 “ 一 ¨一一 口 ≤÷ （ －ｎ ） Ｊ 一ｎ ） －（ ａ ．
ａ ａ ＋ ≤ ｎ（ １ ． — １ ｏ ａ一 ）
例 ２ 已知 数 列 ｛ 中 ，１ １ ｎ＋ 一 ｃ １ 求 使 不 等 ｎ ） 口 — ， １ ａ ＋ ．
当 ” ｌｇ ＞ ｏ３
“
时， ｎ—ｎ ＋ ＜ ａ ３ ｎ ＞ ３ ｌ － ， 卅１ ．
作 者 单 位 ： 南 省大 理市 新 世 纪 中 学 云
一
（ ｆ
≥ ｚ — Ｃ一 一 Ｃ— 十 一
３５ ：
． １
已 知数 列 ｛ ） ， １ １ ａ ＋ —ｃ ａ 中 ａ — ， ｌ 一 ．
“
（Ｉ 求 使 不 等 式 ｎ ＜ ａ＋ ＜ ３ 其 中 ” Ｉ） （ Ｅ 列 ＿ Ｎ ） 立 的 ｆ的 取 值 范 围． 成
・
习题 点 精
１ 问 题 的 提 出 ． 所以ｌ ａ ｉ 存 在 ， ＜ ｌ ３ ａ ｒ ｌ ｉ ≤ ． ｍａ
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２１ 年第 １ ０２ 期
中掌生数理亿． 掌研版
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“ ００年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 ２１ （ 中给 出 了一 Ⅱ） 增 且 有 界 数 列 的 求 解 单调有界数 个 单 调 递的简单探究
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