六年级奥数用同余法解题
六年级奥数：同余问题
六年级奥数：同余问题1求1992×59除以7的余数。
应用同余性质（2）可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。
1992除以7余4，59除以7余3。
根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。
因为1992×59≡4×3≡5（mod 7）所以1992×59除以7的余数是5。
2已知2001年的国庆节是星期一，求2010年的国庆节是星期几？一星期有7天，要求2010年的国庆节是星期几，就要求从2001年到2010年的国庆节的总天数被7除的余数就行了。
但在甲酸中，如果我们能充分利用同余性质，就可以不必算出这个总天数。
2001年国庆节到2010年国庆节之间共有2个闰年7个平年，即有“366×2+365×7”天。
因为366×2≡2×2≡4（mod 7），365×7≡1×7≡0（mod 7），366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4（mod 7）答：2010年的国庆节是星期五。
3求2001的2003次方除以13的余数。
2001除以13余12，即2001≡12（mod 13）。
根据同余性质（4），可知2001的2003次方≡12的2003次方（mod 13），但12的2003次方仍然是一个很大的值，要求它的余数比较困难。
这时的关键就是要找出12的几次方对模13与1是同余的。
经试验可知12的平方≡1（mod 13），而2003≡2×1001+1。
所以（12的平方）的1001次方≡1的1001（mod 13），即12的2002次方≡1（mod 13），而12的2003次方≡12的2002次方×12。
六年级奥数同余的解题规律知识
六年级奥数同余的解题规律知识六年级奥数同余的解题规律知识六年级奥数知识：同余的解题规律在作除法运算时，我们有这样的经验：(1)一些不同的数除以一个相同的数可能会得到相同的余数.如，除以5余3的数有5×1+3=8，5×2+3=13，5×3+3=18，5×4+3=23，…………(2)一个相同的'数除以一些不同的数，可能会有相同的余数.如，389分别除以5、7和11会得到相同的余数4.389÷5=77 (4)389÷7=55 (4)389÷11=55 (4)由此，我们可以来讨论下面的两个问题.某数被5除余4，被7除也余4，被11除还余4.要求某数和某数最小是多少?读者一定会想到有：5×7×11+4=389，5×7×11×2+4=774，5×7×11×3+4=1159，…………答案有无数多个，但最小的只能是389.现在，我们把这个问题上升到一般形式.问题一某数分别除以a、b、c、……，都得到相同的余数k.求某数最小是多少?聪明的读者，能得出答案吗?需要请读者注意的是，382、767、1152分别除以5、7和11所得的余数2、4、8，虽然都不相同，但是都与相应的除数相差同样多.即5-2=3，7-4=3，11-8=3.于是，我们也可以提这样的问题：某数被5除余2，被7除余4，被11除余8.问某数是多少和某数最小是多少?读者一定会想到是5×7×11×1-3=382，5×7×11×2-3=767，5×7×11×3-3=1152，…………答案有无数多个，但最小只能是382.这个问题的一般形式是：问题二某数分别除以a、b、c、……得数相应的余数分别是A、B、C、……，并且，这些余数跟相应的除数都相差同样多(也设为k)，即a-A=b-B=c-C=……=k.求某数最小是多少?聪明的读者，能得出答案吗?【规律】某数分别除以a、b、c、……，都得到相同的余数k.求某数最小是多少?答案是[a，b，c，……]+k.某数分别除以a、b、c、……，得到相应的余数A、B、C、……，并且这些余数跟相应的除数都相差同样多(设为k)，即a-A=b-B=c-C=……=k.求某数最小是多少?答案是[a，b，c，……]-k.【练习】1.某数分别除以3、5和7，都有相同的余数2.求某数最小是多少?(2除外)2.某数被5、6、7除，都得到相同的余数1.问某数在1000以内有哪几个答案?3.某数用5除余3，用7除余5，用9除余7，用11除余9.求某数最小是多少?4.某数分别用5、7、9和11除，刚好都是差3才能整除.求某数最小是多少?5.某数被2000除，余1993;被1999除，余1992;被1998除，余1991.求某数最小是多少?。
小学数学6年级培优奥数讲义 第27讲 同余法解题(教师版)
第27讲 同余法解题余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理(加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理)，及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
一、带余除法的定义及性质一般地，如果a 是整数，b 是整数(b ≠0)，若有a ÷b=q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ，0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里:(1)当0r =时:我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时:我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商二、三大余数定理:1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ，b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
2.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ，b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
3.同余定理若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为:a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作:a 同余于b ，模m 。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论:若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除用式子表示为:如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ，k 是整数，即m|(a －b)三、中国剩余定理1.中国古代趣题韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列教学目标知识梳理余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题:假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945(注:因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积)，然后再加3，得9948(人)。
六年级奥数同余问题
六年级奥数同余问题
同余问题是奥数中常见的一个数论问题。
在六年级的奥数中，同余问题通常涉及到模运算和同余关系。
下面是一个简单的例子：
例题：求满足以下条件的最小正整数x：x除以7的余数为3，x除以5的余数为2。
解题思路：
根据题目的条件，我们可以设x = 7a + 3，又因为x除以5的余数为2，我们可以得到新的条件x ≡ 2 (mod 5)。
将前一个条件代入后一个条件得到7a + 3 ≡ 2 (mod 5)。
进一步化简得到2a ≡ 4 (mod 5)，然后求解a的值，最后代回原方程解出x。
以上是一个简单的同余问题的求解过程，实际的同余问题可能会更加复杂，需要运用更多的数论知识和技巧来解决。
六年级奥数第27讲-同余法解题(学)
学科教师辅导讲义学员编号：年级：六年级课时数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题第27讲——同余法解题授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，教学目标和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂知识梳理一、带余除法的定义及性质一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、中国剩余定理1.中国古代趣题韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
(完整版)小学奥数同余问题
同余问题（一）在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。
如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。
很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。
1. 同余的表达式和特殊符号37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。
记作：（mod7）“”读作同余。
一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作：2. 同余的性质（1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。
）（2）若，那么（这称作同余的对称性）（3）若，，则（这称为同余的传递性）（4）若，，则（）（这称为同余的可加性、可减性）（称为同余的可乘性）（5）若，则，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：如果那么（的差一定能被k整除）这是为什么呢？k也就是的公约数，所以有下面我们应用同余的这些性质解题。
【例题分析】例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？分析与解答：假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以，，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。
所以a最大是31。
例2. 除以19，余数是几？分析与解答：如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。
所以此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。
例3. 有一个1997位数，它的每个数位都是2，这个数除以13，商的第100位是几？最后余数是几？分析与解答：这个数除以13，商是有规律的。
商是170940六个数循环，那么，即，我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100位是9。
余数是几呢？则所以商的个位数字应是“170940”中的第4个，商应是9，相应的余数是5。
六年级奥数同余问题教师版
1. 六年级奥数同余问题教师版2. 利用整除性质判别余数同余定理⒈定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数,那么称a 、b 对于模m 同余,用式子表示为：a ≡b 〈 mod m 〉,左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ,模m 。
⒉重要性质及推论：〈1〉若两个数a ,b 除以同一个数m 得到的余数相同,则a ,b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2,所以1711 （）能被3整除． 〈2〉用式子表示为：如果有a ≡b 〈 mod m 〉,那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数,即m |〈a －b 〉3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时,虽然可以用长除法去求得余数,但当被除位数较多时,计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”,我们希望找到一个较简单的数R ,使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数,所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑸ 整数N 被11除的余数等于N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；〈不够减的话先适当 加11的倍数再减〉；⑹ 整数N 被7,11或13除的余数等于先将整数N 从个位起从右往左每三位分一节,奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7,11或13除的余数就是原数被7,11或13除的余数．模块一、两个数的同余问题例题精讲知识点拨 教学目标5-5-3.同余问题【例 1】 有一个整数,除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.【考点】两个数的同余问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 〈法1〉 39336-=,51-3=48,1473144-=,(36,144)12=,12的约数是1,2,3,4,6,12,因为余数为3要小于除数,这个数是4,6,12；〈法2〉由于所得的余数相同,得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=,14739108-=,(12,108)12=,所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】 某个两位数加上3后被3除余1,加上4后被4除余1,加上5后被5除余1,这个两位数是______.【考点】两个数的同余问题 【难度】2星 【题型】填空【关键词】人大附中,分班考试【解析】 “加上3后被3除余1”其实原数还是余1,同理这个两位数除以⒋5都余1,这样,这个数就是[3、⒋5]+1=60+1=61。
六年级奥数习题精选——同余
六年级奥数习题精选——同余六年级奥数习题精选——同余[学法点拨]同余，从字面上理解，就是余数相同.解答好此类题的前提是要很好地理解和掌握整除、公约数的一些知识，这样运用起来才能得心应手.1.求2008除以7的余数.（你们知道2008年是什么日子吗？）解：同学们也许会问，同余、同余，怎么求一个数除以另一个数的余数呢，它们两个数相除余数只有一个，谈不上"相同"，你不要着急.因为只有你明白了这道题的来龙去脉，那么后面的题你也就会迎刃而解了.可以先去掉7的倍数1400余608，再去掉560还余下48，再去掉42最后余下6.这个过程可简单地记成：2008→608→48→6.从这几个数我们可以看出，它们除以7都余6.答：2008除以7的余数是6.因为2008、608、48、6除以7的余数相同，所以2008-608、608-48、2008-6、608-6这几个算式的结果能被7整除.由此不难得出这样十分有用的结论：如果若干的数被同一个数除余数相同，那么这若干个数两两之差（大减小）必能被这个数整除.1.试一试：求2008除以13的余数2.有一个大于1的整数，它除1000，2001,967得到相同的余数（不为0），那么这个整数是多少？解：由上面的结论，所求整数应能整除967，1000，2001的两两之差，即2001-1000=1001=7×11×131000-967=33=3×112001-967=1034=2×11×47这个整数是这三个差的公约数11.答：这个整数是11.你们想一想，只求出两个差行不行呢？2.试一试：有一个整数，用它去除300、262、205，得到的余数相同.这个数是多少？3. 数2001，2232除以整数n，得到相同的余数，而且这个余数是合数，求n.解：根据余数相同，所求的数应能整除2001与2232的差，即2232-2001=231=3×7×11由此我们知道n可能是3或7或11，究竟哪个符全合条件呢，这我们得认真对待，千万不能手懒.只要试一试即可，得7和11、21、33、77都符合条件.答：n是7或11或21或33或77.3.试一试：有141、206、271分别除以m，余数相同并且都是奇数.m最大是几？4.用一个自然数去除715和903所得余数相同，且商相差4.求这个数.解：根据两个数除以同一个数余数相同的特点，我们可以得到903 -715的差能被这个数整除，又因为所得的商相差4，也就是903 -715的差除以这个数应该得4，要求这个数，即可用（903-715）÷4=47，即所求的数为47.答：这个数是47.此类题可以归结为：甲乙两个数除以一个相同的数，余数相同，且商相差n(n>1)，则这个相同的数为（甲-乙）÷n.4.试一试：某个大于1的整数，除1975，2008所得的余数相同，且商相差11.求这个数.5.若2836，4582，5146，6522四个自然数被一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为多少？解：根据若干个自然数除以同一个自然数所得余数相同，那么它们两两的差定能被这个自然数整除.于是得：4582-2836=17465164-4582=5826522-5164=1358因为（1746，582，1358）=194，所以除数是194的大于10的约数.符合条件的只有97和194.如果除数=194，5164÷194=26……120（此处可以用原题中四个自然数中的任意一个都可，为什么？）余数不是两位数，与题意不符.如果除数是97，经检验，余数都是23，除数+余数=97+23=120.答：除数与余数的和是120.5.试一试：有一个整数，除1200，1314，1048所得的余数相同且大于5.问：这个数与余数的和是多少？6.有三个不同的三位数，它们分别除以a ，得到的余数相同而且是最大二位偶数，当a 为两位数时，这三个数最小的和是多少？解：这道题看似很难，但我们不妨换个角度去考虑.我们先从相同的余数入手，因为余数是最大的两位偶数，我们马上意识到余数是98，既然余数为98，a只能得99.这样此题便可很轻松的完成.最小的三位数是1×99+98=197，另外的两个三位数分别为296和395.（仔细看这三个数，有什么规律吗？对！相邻的两个数相差99）于是得到此题结果为197+396+395=1188.答：三个数的最小和是1188.如果给的不是三个三位数而是其它的任意情况，同样可以采取这种方法去解题.6.试一试：已知四个四位数分别去除以y，所得的余数相同并且是三位奇数，当y最小时这四个数的和最大是多少？7.将一批货物共375千克装入纸箱，每箱装10千克，最后余多少千克？解：此题我们不可能将求出来，然后去除以10，求出余数.但我们可以借助同余的办法来求，我们首先看下面一组说明：3 除以10的余数是3；32除以10的余数是9；33除以10的余数是7；34除以10的余数是1；35除以10的余数是3；36除以10的余数是9；37除以10的余数是7；38除以10的余数是1；……这就说明每隔4个数除以10的余数就相同.又因为75÷4=18 (3)即375除以10的余数与33除以10所得余数相同，得7.答：每箱装10千克最后余下7千克.7.试一试：粮库有771千克大米，用每袋50千克的袋子装，最后余下多少千克？8.在1~500的自然数中，除以16，40余数（0除外）相同的数有多少个？解：因为16与40的最小公倍数是80，1~500的自然数除以16与40相同的余数情况有：1，2，3，4……15，共15种，也就是在连续的80个数中有15个数符合条件，500个自然中有的个数为：500÷80=6……20，在余下的20个数中有15个余数相同.这证明有7个15，所以在1~500中除以16与40余数相同的数有15×7=105个.列式：[16，40]=80500÷80=6 (20)（6+1）×15=105答：在1~500的自然数中，除以16，40余数相同的数共有105个.8.试一试：在小于1000的自然数中，除以15及33而余数（0除外）相同的数有多少个？9.希望小学六年级和五年级去春游，每辆车可乘36人.六年级先坐满几车，剩下的16人与五年级坐满一车，五年级又坐满若干车.到达目的地后，每一个五年级的学生和每一个六年级学生合影一张，每个胶卷可拍36张.全部学生照相完毕，最后一个胶卷还剩几张未拍？解：解答此题的关键是求出最后一个胶卷归了几张，即以全影张数为被除数，36为除数，求余数.假如将五、六年级合乘一车的16名学生和20（36-16=20）人去掉，那么其余五、六年级的学生合影正好可以用掉整数卷胶卷.这样一来我们只考虑五年级那16人与六年级那么20人即可.因为每人都要与不同年级的人合影，所以这16人与20人要合影320（根据乘法原理16×20=320）张.所有人都拍完后的总张数除以36所得的余数与320除以36余数相同，为32，所以最后一个胶卷照了32张.于是有36-32=4张，即最后一个胶卷还剩4张.列式：36-16=20（人）16×20=320（张）320÷36=8 (32)36 - 32 = 4（张）答：最后一个胶卷还剩4张.9.试一试：甲、乙两个旅游团乘车参观，每辆车可乘35人，两团成员坐满若干辆车后，甲团余下的15人与乙团余下的成员正好又坐满一辆车.为了纪念这次参观，甲乙两团的每个成员都与不同团的每人合拍一张照片留念.如果每个胶卷可拍35张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？10.甲、乙、丙、丁四个学校分别有69人、85人、93人、97人旅行.现在要把这四校学生分别进行分组，并使每组的人数尽可能多，以便乘车参观游览.已知甲、乙、丙三个学校分组后，所剩的人数相同，问丁校分组后还剩下几个人？分析：从表面上看，这道题目问的是"剩余"人数，但我们知道"剩余"是因为不能被整除而产生的，所以，解答这道题目的关键是求"每组有几人"（即求除数）这个除数在何处找呢？其实呀，它远在天边，近在眼前，这个除数就藏在它的"差"里.这是为什么呢？我们可以这样想：既然甲、乙、丙三个学校人数被某数除的余数相同，那么这三个数的两两之差一定能被这个数整除（因为它们相减时，余数恰好相互"抵消"了）.懂得了以上这个道理之后，再来解答这个问题就不困难了.甲、乙、丙三校人数的差分别是：93-69=2485-69=1693-85=8不难看出，它们的最大公约数是8.这也正是我们所要寻找的"除数".验证如下：69÷8=8……5（分成8组，剩下5人）85÷8=10……5（分成10组，剩下5人）93÷8=11……5（分成11组，乘下5人）最后来推算丁校分组情况：97÷8=12 (1)答：丁校分组后剩下1人.10.试一试：乐乐玩具店有大小相同的红、蓝、黄、绿四种颜色的小球各344个、277个、411个和555个.现在要用一种精致的小盒分别去装这些小球，每只盒子里装的小球同样多.真巧！剩下的红、蓝、黄三色小球也恰好同样多.小剩下的绿球有多少个？[方法归纳]如果若干个自然数除以同一个自然数，余数相同，那么这些自然数两两之差必能被这个自然数整除.参考答案1. 6.2. 1或19.3. 65.4. 3.仿例4.5. 60.提示：这个整数为38，余数为22.6. 39368.提示：y为102，余数为101.这四个数分别是9995，9893，9791，9689.7. 43千克.提示：7的1次方开始除以50的余数分别是7，49，43，1，7，49，43，……8. 93.仿例89. 15张.仿例910. 19个。
六年级奥数同余问题附答案.docx
六年级奥数同余问题附答案1、求 437×309×1993 被 7 除的余数。
思路分析：如果将 437×309×1993 算出以后，再除以 7，从而引得到，即437×309×1993=269120769，此数被7 除的余数1。
但是能否找更的法呢 ?437≡3(mod7)309≡1(mod7)由“同余的可乘性”知：437×309≡3×1(mod7)≡3(mod7)又因 1993≡5(mod7)所以： 437×309×1993≡3×5(mod7)≡15(mod7)≡1(mod7)即： 437×309×1993 被 7 除余 1。
2、70 个数排成一行，除了两的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两两个数的和，个行最左的几个数是的：0，1，3，8，21，⋯⋯，个行数最右的一个数被 6 除的余数是几 ?思路分析：如果将 70 个数一一列出，得到第 70 个数后，再用它去除以 6 得余数，是能的，但算量太大。
即然 70 个数中：中的一个数的 3 倍是它两的数的和，那么它被 6除以后的余数是否有似的律呢 ?0，1，3，8，21，55，144，⋯⋯被 6 除的余数依次是0，1，3，2，3，1，0，⋯⋯果余数有似的律，察，能得到：0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5，0，1，3，2，3，⋯⋯能看出余数前12 个数一段，将重复出。
70÷2=5⋯⋯ 10，第六段的第十个数 4，便是原来数中第 70 个数被 6 除的余数。
思路分析：我被直接用除法算式，果如何。
小学奥数―同余问题
04
同余问题的应用实例
数字问题
数字的整除问题
密码学中的同余问题
计算机算法中的同余问题
数字的余数问题
图形问题
棋盘问题：在棋盘上利用同余原理解决相关问题，如象棋、围棋等棋局的胜负判断
图形问题：同余问题在几何图形中的应用，如计算图形的面积、周长等
拼图问题：利用同余原理解决拼图问题，如拼凑出指定的图形
03
同余问题的解题方法
枚举法
定义：通过一一列举所有可能的情况来解决问题的方法
适用范围：适用于问题较简单、答案个数较少的情况
解题步骤：逐一列举所有可能的情况，并逐一验证每种情况是否符合题目的要求，从而找到符合条件的答案
注意事项：列举时要注意全面、不遗漏，同时要善于总结规律，提高解题效率
代数法
定义：通过代数运算和等式性质解决同余问题的方法
计算机科学：同余定理在计算机科学中的应用，如模运算和取模运算
物理学：同余定理在物理学中的应用，如量子力学和相对论
05
同余问题的练习题及解析
同余问题的练习题
题目：从1至100的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？
题目：在黑板上写有一串数：1、2、3、…、2011、2012，任意擦去几个数，写上被擦去的几个数的和被11除所得的余数（如：擦去8、9、10、11、12，因为(8+9+10+11+12)/11=4…6），如：写上6，这样操作下去，一直到黑板上只剩下一个数，则这个数是多少？
同余问题的应用：同余问题在数论、代数、组合数学等领域有广泛的应用。
同余问题的基本性质：同余问题具有一些基本性质，如模运算的消去律、模运算的交换律和结合律等。
同余问题的解题方法：解决同余问题的方法包括利用同余式的性质进行变形、利用模的性质进行推导、利用代数方程的解法等。
六年级奥数习题精选——同余
六年级奥数习题精选——同余[学法点拨]同余，从字面上理解，就是余数相同.解答好此类题的前提是要很好地理解和掌握整除、公约数的一些知识，这样运用起来才能得心应手.1.求2008除以7的余数.（你们知道2008年是什么日子吗？）解：同学们也许会问，同余、同余，怎么求一个数除以另一个数的余数呢，它们两个数相除余数只有一个，谈不上"相同"，你不要着急.因为只有你明白了这道题的来龙去脉，那么后面的题你也就会迎刃而解了.可以先去掉7的倍数1400余608，再去掉560还余下48，再去掉42最后余下6.这个过程可简单地记成：2008→608→48→6.从这几个数我们可以看出，它们除以7都余6.答：2008除以7的余数是6.因为2008、608、48、6除以7的余数相同，所以2008-608、608-48、2008-6、608-6这几个算式的结果能被7整除.由此不难得出这样十分有用的结论：如果若干的数被同一个数除余数相同，那么这若干个数两两之差（大减小）必能被这个数整除.1.试一试：求2008除以13的余数2.有一个大于1的整数，它除1000，2001,967得到相同的余数（不为0），那么这个整数是多少？解：由上面的结论，所求整数应能整除967，1000，2001的两两之差，即2001-1000=1001=7×11×131000-967=33=3×112001-967=1034=2×11×47这个整数是这三个差的公约数11.答：这个整数是11.你们想一想，只求出两个差行不行呢？2.试一试：有一个整数，用它去除300、262、205，得到的余数相同.这个数是多少？3. 数2001，2232除以整数n，得到相同的余数，而且这个余数是合数，求n.解：根据余数相同，所求的数应能整除2001与2232的差，即2232-2001=231=3×7×11由此我们知道n可能是3或7或11，究竟哪个符全合条件呢，这我们得认真对待，千万不能手懒.只要试一试即可，得7和11、21、33、77都符合条件.答：n是7或11或21或33或77.3.试一试：有141、206、271分别除以m，余数相同并且都是奇数.m最大是几？4.用一个自然数去除715和903所得余数相同，且商相差4.求这个数.解：根据两个数除以同一个数余数相同的特点，我们可以得到903 -715的差能被这个数整除，又因为所得的商相差4，也就是903 -715的差除以这个数应该得4，要求这个数，即可用（903-715）÷4=47，即所求的数为47.答：这个数是47.此类题可以归结为：甲乙两个数除以一个相同的数，余数相同，且商相差n(n>1)，则这个相同的数为（甲-乙）÷n.4.试一试：某个大于1的整数，除1975，2008所得的余数相同，且商相差11.求这个数.5.若2836，4582，5146，6522四个自然数被一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为多少？解：根据若干个自然数除以同一个自然数所得余数相同，那么它们两两的差定能被这个自然数整除.于是得：4582-2836=17465164-4582=5826522-5164=1358因为（1746，582，1358）=194，所以除数是194的大于10的约数.符合条件的只有97和194.如果除数=194，5164÷194=26……120（此处可以用原题中四个自然数中的任意一个都可，为什么？）余数不是两位数，与题意不符.如果除数是97，经检验，余数都是23，除数+余数=97+23=120.答：除数与余数的和是120.5.试一试：有一个整数，除1200，1314，1048所得的余数相同且大于5.问：这个数与余数的和是多少？6.有三个不同的三位数，它们分别除以a ，得到的余数相同而且是最大二位偶数，当a 为两位数时，这三个数最小的和是多少？解：这道题看似很难，但我们不妨换个角度去考虑.我们先从相同的余数入手，因为余数是最大的两位偶数，我们马上意识到余数是98，既然余数为98，a只能得99.这样此题便可很轻松的完成.最小的三位数是1×99+98=197，另外的两个三位数分别为296和395.（仔细看这三个数，有什么规律吗？对！相邻的两个数相差99）于是得到此题结果为197+396+395=1188.答：三个数的最小和是1188.如果给的不是三个三位数而是其它的任意情况，同样可以采取这种方法去解题.6.试一试：已知四个四位数分别去除以y，所得的余数相同并且是三位奇数，当y最小时这四个数的和最大是多少？7.将一批货物共375千克装入纸箱，每箱装10千克，最后余多少千克？解：此题我们不可能将求出来，然后去除以10，求出余数.但我们可以借助同余的办法来求，我们首先看下面一组说明：3 除以10的余数是3；32除以10的余数是9；33除以10的余数是7；34除以10的余数是1；35除以10的余数是3；36除以10的余数是9；37除以10的余数是7；38除以10的余数是1；……这就说明每隔4个数除以10的余数就相同.又因为75÷4=18……3即375除以10的余数与33除以10所得余数相同，得7.答：每箱装10千克最后余下7千克.7.试一试：粮库有771千克大米，用每袋50千克的袋子装，最后余下多少千克？8.在1~500的自然数中，除以16，40余数（0除外）相同的数有多少个？解：因为16与40的最小公倍数是80，1~500的自然数除以16与40相同的余数情况有：1，2，3，4……15，共15种，也就是在连续的80个数中有15个数符合条件，500个自然中有的个数为：500÷80=6……20，在余下的20个数中有15个余数相同.这证明有7个15，所以在1~500中除以16与40余数相同的数有15×7=105个.列式：[16，40]=80500÷80=6 (20)（6+1）×15=105答：在1~500的自然数中，除以16，40余数相同的数共有105个.8.试一试：在小于1000的自然数中，除以15及33而余数（0除外）相同的数有多少个？9.希望小学六年级和五年级去春游，每辆车可乘36人.六年级先坐满几车，剩下的16人与五年级坐满一车，五年级又坐满若干车.到达目的地后，每一个五年级的学生和每一个六年级学生合影一张，每个胶卷可拍36张.全部学生照相完毕，最后一个胶卷还剩几张未拍？解：解答此题的关键是求出最后一个胶卷归了几张，即以全影张数为被除数，36为除数，求余数.假如将五、六年级合乘一车的16名学生和20（36-16=20）人去掉，那么其余五、六年级的学生合影正好可以用掉整数卷胶卷.这样一来我们只考虑五年级那16人与六年级那么20人即可.因为每人都要与不同年级的人合影，所以这16人与20人要合影320（根据乘法原理16×20=320）张.所有人都拍完后的总张数除以36所得的余数与320除以36余数相同，为32，所以最后一个胶卷照了32张.于是有36-32=4张，即最后一个胶卷还剩4张.列式：36-16=20（人）16×20=320（张）320÷36=8 (32)36 - 32 = 4（张）答：最后一个胶卷还剩4张.9.试一试：甲、乙两个旅游团乘车参观，每辆车可乘35人，两团成员坐满若干辆车后，甲团余下的15人与乙团余下的成员正好又坐满一辆车.为了纪念这次参观，甲乙两团的每个成员都与不同团的每人合拍一张照片留念.如果每个胶卷可拍35张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？10.甲、乙、丙、丁四个学校分别有69人、85人、93人、97人旅行.现在要把这四校学生分别进行分组，并使每组的人数尽可能多，以便乘车参观游览.已知甲、乙、丙三个学校分组后，所剩的人数相同，问丁校分组后还剩下几个人？分析：从表面上看，这道题目问的是"剩余"人数，但我们知道"剩余"是因为不能被整除而产生的，所以，解答这道题目的关键是求"每组有几人"（即求除数）这个除数在何处找呢？其实呀，它远在天边，近在眼前，这个除数就藏在它的"差"里.这是为什么呢？我们可以这样想：既然甲、乙、丙三个学校人数被某数除的余数相同，那么这三个数的两两之差一定能被这个数整除（因为它们相减时，余数恰好相互"抵消"了）.懂得了以上这个道理之后，再来解答这个问题就不困难了.甲、乙、丙三校人数的差分别是：93-69=2485-69=1693-85=8不难看出，它们的最大公约数是8.这也正是我们所要寻找的"除数".验证如下：69÷8=8……5（分成8组，剩下5人）85÷8=10……5（分成10组，剩下5人）93÷8=11……5（分成11组，乘下5人）最后来推算丁校分组情况：97÷8=12 (1)答：丁校分组后剩下1人.10.试一试：乐乐玩具店有大小相同的红、蓝、黄、绿四种颜色的小球各344个、277个、411个和555个.现在要用一种精致的小盒分别去装这些小球，每只盒子里装的小球同样多.真巧！剩下的红、蓝、黄三色小球也恰好同样多.小剩下的绿球有多少个？[方法归纳]如果若干个自然数除以同一个自然数，余数相同，那么这些自然数两两之差必能被这个自然数整除.参考答案1. 6.2. 1或19.3. 65.4. 3.仿例4.5. 60.提示：这个整数为38，余数为22.6. 39368.提示：y为102，余数为101.这四个数分别是9995，9893，9791，9689.7. 43千克.提示：7的1次方开始除以50的余数分别是7，49，43，1，7，49，43，……8. 93.仿例89. 15张.仿例910. 19个。
六年级上册奥数学案-应用同余解题 例题 练习题-通用版(无答案)
第八讲应用同余解题在五年级我们已初步学习了同余的有关知识．同余在解答竞赛题中有着广泛的应用．在这一讲中，我们将深入理解同余的概念和性质，悟出它的一些运用技巧和方法．例1 a除以5余1，b除以5余4，如果3a＞b，那么3a－b除以5余几？分析与余数有关的问题考虑用同余式可以使解题简便．例2 若a为自然数，证明10│（a1985－a1949）．分析如果换一种方式表达，所要证明的即是要证a1985与a1949个位数字相同．用对于模10两数同余来解，可以使解题过程简化．分析①设n÷9＝商…r，那么9│（n－r），根据n－r＝商×9，以及n－r的个位数字，可推算出商的个位数字．②抓住“一个整数与它的各位数字之和对于模9同余”这性质，可以很快的化大数为小数．例5 设2n＋1是质数，证明：12，22，…，n2被2n＋1除所得的余数各不相同．分析这道题肯定不可能通过各数被2n＋1除去求余数．那么我们可以考虑从反面入手，假设存在两个相同的余数的话，就会发生矛盾．而中间的推导是步步有根据的，所以发生矛盾的原因是假设不合理．从而说明假设不成立，因此原来的结论是正确的。
问：a除以13所得余数是几？例7 求被3除余2，被5除余3，被7除余5的最小三位数．例8 给出12个彼此不同的两位数，证明：由它们中一定可以选出两个数，它们的差是两个相同数字组成的两位数．分析证这道题要考虑到以下三点．①两位数的数码相同时，它一定能被11整除．②遇到数是任意的，需排个序，这样讨论表述起来比较方便．③用12个数中最大的数依次地分别减去其余11个数可得到11个差．若差中有相同数码组成的两位数，问题得证；若差中没有合条件的两位数，这时这11个（差）数各自除以11，所得余数只可能在｛1，2，3，…，10｝中，必有两个差数的余数相同，考虑用余数造抽屉解题．例9 试证不小于5的质数的平方与1的差必能被24整除．例10 任给七个不同的整数，证明其中必有两个数，其和或差是10的倍数．分析首先考虑什么样的两个整数的和或差可以被10整除．设两个整数a、b，若a≡b（mod 10），则10│（a－b）；若a≡r（mod 10），而b≡10－r（mod 10），则10│（a＋b），只有这两种情况．但是如果按整数除以10的余数造抽屉，就有十个抽屉，对于已知条件中给定的七个数无法应用抽屉原理，所以要考虑如何造六个抽屉．根据首先考虑的两个整数被10除的两种情况，可以把余数之和等于10的并成一类，这样分为：10k、10k±1、10k±2、10k±3、10k±4、10k±5六类，恰好构造六个抽屉，再应用抽屉原理可解此题．习题八1．甲、乙两校联合组织学生乘车去春游，每辆车可以乘36人，两校各自坐满若干辆车后，甲校余下的13人与乙校余下的人恰好又坐满一辆车．春游中甲校的每位同学分别与乙校的每位同学合一张影留念．如果每卷胶卷可拍36张照片，问：拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可以拍几张？（提示：这题相当于：甲数除以36余13，乙数除以36余23，若甲、乙之积除以36的余数为r，求36－r＝？）．2．求19931994÷7的余数．3．求证：32000＋41993≡0（mod 5）．5．求满足除以5余2，除以7余4，除以11余3的最小三位数．6．70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和．这一行最左边的几个数是：0，1，3，8，21，…．问最右边的一个数被6除的余数是几？（提示：计算数列的各项除以6的余数，找规律）7．任意选出6个不同的自然数，证明其中总有两个数，它们的差是5的倍数．。
小学奥数。同余问题 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
小学奥数。
同余问题精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)同余问题教学目标：1.掌握同余的性质。
2.利用整除性质判断余数。
知识点拨：同余定理1.定义：若两个整数a和b被自然数m除有相同的余数，那么称a和b对于模m同余，用式子表示为：a≡b(modm)，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
2.重要性质及推论：1）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除。
例如：17与11除以3的余数都是2，所以能被3整除。
(17-11=6，6可以被3整除)2）用式子表示为：如果有a≡b(modm)，那么一定有a-b=mk，k是整数，即m|(a-b)。
3.余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的。
建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余。
由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数。
⑴整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数。
⑵整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数。
⑶整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数。
⑷整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数。
⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数。
（不够减的话先适当加11的倍数再减）⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数。
例题精讲模块一、两个数的同余问题例1】有一个整数，除39、51、147所得的余数都是3，求这个数。
考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答解析】法1)39-3=36，51-3=48，147-3=144，(36,144)=12，12的约数是1、2、3、4、6、12，因为余数为3要小于除数，这个数是4、6、12.法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数。
六年级奥数第27讲同余法解题(教师版)
六年级奥数第27讲同余法解题(教师版）余数问题主要包括了带余除法的定义,三大余数定理（加法余数定理,乘法余数定理,和同余定理）,及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
一、带余除法的定义及性质一般地,如果a 是整数,b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b=q ……r,也就是a ＝b ×q ＋r, 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除,q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除,q 称为a 除以b 的商或不完全商二、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数,等于a,b 分别除以c 的余数之和,或这个和除以c 的余数。
当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
2.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数,等于a,b 分别除以c 的余数的积,或者这个积除以c 所得的余数。
3.同余定理若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数,那么称a 、b 对于模m 同余,用式子表示为：a ≡b ( mod m ),左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b,模m 。
由同余的性质,我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a,b 除以同一个数m 得到的余数相同,则a,b 的差一定能被m 整除教学目标知识梳理用式子表示为：如果有a≡b ( mod m ),那么一定有a－b＝mk,k是整数,即m|(a－b)三、中国剩余定理1.中国古代趣题韩信点兵又称为中国剩余定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少,韩信答说,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万,每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人,则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积）,然后再加3,得9948（人）。
小学的奥数同余问题
同余问题一在平时解题中;我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题..如：现在时刻是7时30分;再过52小时是几时几分我们知道一天是24小时;;也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时;这样就在7时30分的基础上加上4小时;就是11时30分..很明显这个问题的着眼点是放在余数上了..1. 同余的表达式和特殊符号37和44同除以7;余数都是2;把除数7称作“模7”;37、44对于模7同余..记作：mod7 “”读作同余..一般地;两个整数a和b;除以大于1的自然数m所得的余数相同;就称a、b对于模m同余;记作：2. 同余的性质1每个整数都与自身同余;称为同余的反身性..2若;那么这称作同余的对称性3若;;则这称为同余的传递性4若;;则这称为同余的可加性、可减性称为同余的可乘性5若;则;n为正整数;同余还有一个非常有趣的现象：如果那么的差一定能被k整除这是为什么呢k也就是的公约数;所以有下面我们应用同余的这些性质解题..例题分析例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数;所得的余数相同;这个自然数最大是几分析与解答：假设这个自然数是a;因为412、133和257除以a所得的余数相同;所以;;说明a是以上三个数中任意两数差的约数;要求最大是几;就是求这三个差的最大公约数..所以a最大是31..例2. 除以19;余数是几分析与解答：如果把三个数相乘的积求出来再除以19;就太麻烦了;利用同余思想解决就容易了..所以此题应用了同余的可乘性;同余的传递性..例3. 有一个1997位数;它的每个数位都是2;这个数除以13;商的第100位是几最后余数是几分析与解答：这个数除以13;商是有规律的..商是170940六个数循环;那么;即;我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”;所以商的第100位是9..余数是几呢则所以商的个位数字应是“170940”中的第4个;商应是9;相应的余数是5..模拟试题答题时间：20分钟1. 求下列算式中的余数..1 23 42. 6254与37的积除以7;余数是几3. 如果某数除482;992;1094都余74;这个数是几同余问题二例题分析例1. 除以7;余数是几分析与解答：例2. 一个自然数除以3余2;除以5余3;除以7余1;这个自然数最小是几分析：假设这个自然数为a那么这道题考虑的困难是它们的余数不相同..如果把这道题改一下;使它们的余数相同;利用整除的知识;便容易考虑了;先看下面一道题：一个自然数除以3余2;除以5余2;除以7余2;那么;这个自然数若减去2;便同时是3;5;7的倍数;这样的自然数有：105;210;315;……分别被3;5;7除余2的数是2;107;212;317;……最小的自然数是2..回过头来看刚才的题;能不能把它也变为余数相同的数呢稍加变式;可以写成：这样同时是3;5;7倍数的数有105;210;315;……那么同时被3;5;7余8的数有：8;113;218;323;……其中最小的自然数为8..所以余数是5刘老师说;小明的算法不仅正确;而且巧妙迅速;你知道其中的道理吗分析与解答：看了下面的算式;你就会明白的..小明用的这种方法;有比较广泛的应用;常称之为“拼凑法”在解关于用几除的余数的问题时;常常“拼凑”出显然是几的倍数的部分;对于这部分;简直可以“置之不理”;这样可以使解答过程简化..例4. 除以3的余数是几为什么分析与解答：在上式的加项中;显然可以被3整除;因此只须计算被3除余数是几..由于因此由此可知;只须计算被3除的余数;它又等于被3除的余数..由于;所以所以余数是1模拟试题1. 今天是星期日;再过天又是星期几2. 求除以3所得的余数..3. 某数除680;970和1521;余数相同;这个数最大是几4. 有一列数排成一行;其中第一个数是3;第二个数是7;从第三个数开始;每个数恰好是前两个数的和;那么;第1997个数被3除;余数是几5. 若将一批货物共千克装入纸箱;每箱装10千克;最后余多少千克若每箱装17千克;最后还余多少千克6、1309被一个质数相除;余数是21;求这个质数..7、1796被一个质数相除;余数是24;求这个质数..8、求2001×2000除以7的余数..9、求123×345+234×456除以11的余数..10、有一个大于1的整数;它除1000、1975、2001都得到相同的余数;那么这个整数是多少11、有三个数1989、901和306被同一个自然数除;得到相同的余数;求这个自然数..12、两个自然数相除;商15;余3;被除数、除数、商、余数的和是853;求被除数..8、两数相除商40余7;被除数、除数、余数和商的和是710;求被除数..13、有一个数除以3余1;除以4余2;问这个数除以12;余数是几14、一个数除以5余1;除以6余3;除以7余4;这个数最小是几15、3867×4253＝1644□351;求□里的数.. 4937×6845＝3379□765;求□里的数..16、两个自然数相除;商8余16;被除数、除数、商与余数的和为265;求除数是多少17、写出除以8所得的商和余数不为0相同的所有的数..18、2002×2002-2001除以9的余数是多少19、当2002和1781除以某一个自然数;余数分别是2和1;那么这个数最大是多少20、一个数除以17的余数是5;被除数扩大2倍;余数是多少21、有一个数;除以3余数是1;除以4余数是3 ..这个数除以12;余数是多少..22、570被一个两位数除;余数是15;这个两位数是多少23、有一个数加上22的和被9除余3;这个数加上35的和被9被余几B组24、有一个整数;用它去除45;53;143得到的3个伤痕的和是20;这个数是多少25、有一个数用它去除100;余数是1;用它去除50;余数是6;求这个数..26、把几十个苹果平均分成若干份;每份9个余8个;每份8个余7个每份4个余3个..这堆苹果共有多少个27、有一个数被5和11整除均余4;被3正好整除;这个数最小是几28、求被4除余2;被6除余2;被9除余5的两位数..29、一个数能被3、5、7整除;若用11去除则余7;这个数最小是几30、小红收数学学习小组买奥数练习本的钱;她只记下四组各交的钱;第一组6.3元;第二组7.7元;第三组6.3元;第四组9.1元;又知道每本练习本价格都超过1角;求数学学习小组共有多少人提示：练习本单价是总价的公约数..31、五年级两个班的学生一起排队出操;如果8人排一行;多出一个人；如果11人排一行;同样多出一个人..这两个班最小共有多少人提示：如果减去一人那么人数就能被8和11整除了..32、一个数被4除余3;被5除余4;被6除余5;这样的数中最小的是几提示：余数与除数有什么关系33、一筐苹果;如果按5个一堆放;最后多出3个；如果按6个一堆放;最后多出4个；如果按7个一堆放;还多出1个；这筐苹果至少有多少个提示：先满足被7除余1;再从中找出被6除余4……竞赛题精选1、若2836;4582;5164;6522四个自然数都被同一个自然数相除;所得余数相同且为两位数;除数和余数的和为 ..2001小学数学奥林匹克试题决赛B卷2、一个自然数除以3余2;除以5余2;除以7余5;除以9余5;除以11余4;则满足这些条件的最小自然数是 ..1996年我爱数学少年冬令营试题3、某数除以11余8;除以13余10;除以17余12;那么这个数的最小可能值是 ..1998年小学数学奥林匹克试题预赛A卷4、一个小于200的数;它除以11余8;除以13余10;那么这个数是 ..1998年小学数学奥林匹克试题预赛B卷5、在一道有余数的除法算式中;被除数、除数;商和余数的和是599;已知商是15;余数是12;请问;题目中的除数是多少厦门实小2000-2001学年第二学期数学科竞赛卷B组同余问题——提高训练1、求437×309×1993被7除的余数..2、求被3除余2;被5除余3;被7除余5的最小三位数．3、分别求满足下列条件的最小自然数1用3除余1;用5除余1;用7除余1..2用3除余2;用5除余1;用7除余1..3用3除余1;用5除余2;用7除余2..4、有一个整数;除300、262、205得到相同的余数.这个整数是几5、今天是星期四;过14389天后是星期几6.试一试：粮库有717千克大米;用每袋50千克的袋子装;最后余下多少千克7、数2001;2232除以整数n;得到相同的余数;而且这个余数是合数;求n.8、用一个自然数去除715和903所得余数相同;且商相差4.求这个数.9、若2836;4582;5146;6522四个自然数被一个自然数相除;所得余数相同且为两位数;除数和余数的和为多少10、有三个不同的三位数;它们分别除以a ;得到的余数相同而且是最大二位偶数;当a为两位数时;这三个数最小的和是多少11、某年级有将近400名学生..有一次演出节目排队时出现：如果每8人站成一列则多余1人；如果改为每9人站成一列则仍多余1人；结果发现现成每10人结成一列;结果还是多余1人；聪名的你知道该年级共有学生多少名吗12、希望小学六年级和五年级去春游;每辆车可乘36人.六年级先坐满几车;剩下的16人与五年级坐满一车;五年级又坐满若干车.到达目的地后;每一个五年级的学生和每一个六年级学生合影一张;每个胶卷可拍36张.全部学生照相完毕;最后一个胶卷还剩几张未拍13、甲、乙、丙、丁四个学校分别有69人、85人、93人、97人旅行.现在要把这四校学生分别进行分组;并使每组的人数尽可能多;以便乘车参观游览.已知甲、乙、丙三个学校分组后;所剩的人数相同;问丁校分组后还剩下几个人14、试一试：乐乐玩具店有大小相同的红、蓝、黄、绿四种颜色的小球各344个、277个、411个和555个.现在要用一种精致的小盒分别去装这些小球;每只盒子里装的小球同样多.真巧剩下的红、蓝、黄三色小球也恰好同样多.小剩下的绿球有多少个15、计算机录入员平均每分钟可以输入72个汉字;输入一篇有X679Y个汉字的文章所用的分钟数恰好是整数;求五位数X679Y..。
六年级奥数拉分提升-第28讲同余(一)
温故而知新
1．“带鱼”除法
a÷b＝q…r
2．“鲨鱼”除法（凑整除）
3．“三文鱼”性质
和的余数等于余数和
差的余数等于余数差
积的余数等于余数积
同余式：
若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用“同余式”表示为a≡b(mod m) 意味着(我们假设a≧b)a－b是m的倍数，即m︱(a－b) 。
算式2007200720072007
1232006
++++结果的个位数字是多少？
89
143除以7的余数是多少？
(2006年第十一届“华罗庚金杯赛”初赛)在下面的算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”，代表1，2，3，4，5，6，7，8，9中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立。
则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于。
将从1开始的到103的连续奇数依次写成一个多位数：a＝13579111315171921……9799101103。
则数a共有_____位，数a除以9的余数是___。
同余（一）。
六年级下册数学试题-奥数专题讲练：同余问题(含答案)全国通用
同余问题一、带余除法的定义及性质一般地，如果a是整数，b是整数(b≠0),若有a÷b＝q……r，也就是a＝b×q＋r，0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：⑴当r＝0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商⑵当r≠0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商二、三大余数定理：1．余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23＋16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3＋1。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23＋19＝42除以5的余数等于3＋4＝7除以5的余数，即2。
总结：和的余数等于余数的和(的余数）2．余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2。
总结：积的余数等于余数的积(的余数)3．同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b( mod m)，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b( mod m )，那么一定有a－b＝mk，k是整数，即m|(a－b) 【例1】1×3×5×…×2007×2009的乘积除以8的余数是多少？【例2】7＋72＋73＋74＋……＋71990的末两位是多少？【例3】(“中环杯”五年级初赛填空题第10题)某个大于1的自然数分别除442，297，210，得到相同的余数，则该自然数为 _____ 。
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性质2：对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
性质3：对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。
性质2：对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
性质3：对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。
应用同余性质解题的关键是在于正确理解的基础上灵活运用同余性质。把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的问题变简单，使困难的题变容易。
练习4：
1.某数除以7余1，除以5余1，除以12余9.这个数最小是几？
2.某数除以7余6，除以5余1，除以11余3，求此数的最小值。
课后作业
1.今天是星期六，再过6年后的今天是星期几？
2.当1991和1769除以某一个自然数m时，余数相同，那么m最小是多少？
家长签名
应用同余性质解题的关键是在于正确理解的基础上灵活运用同余性质。把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的问题变简单，使困难的题变容易。
例
题
精
选
例1：
求1992×59除以7的余数。
（提示：可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积。）
例2:
已知2001年的国庆节是星期一，求xx年的国庆节是星期几？
（提示：可以用列举法）
个 性 化 辅 导 学 案
学科奥数学生年级授课时间xx年12月27日 授课教师汪
上课内容
应用同余解题
总第次课
知识要点
同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。同余即余数相同。
性质1：对于同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。比如32除以5的余数是2,19除以5的余数是4，两个余数的和是6,32+19除以5的余数就恰好等于它们的余数的和6除以5的余数。
个 性 化 辅 导 教 案
学科奥数学生年级六授课时间xx年12月27日 授课教师汪
上课内容
应用同余解题
总第次课
学生签名
教学目标
1理解同余的概念
2掌握同余的基本性质
3在利用同余性质解题的过程中体会数学的灵活性
教学重点
同余的概念和性质
教学难点
同余的性质和其应用
知识要点
同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现二。求xx年元旦是星期几？
2.已知2002年的七月一日是星期一。求xx年的十月一日是星期几？
练习3：
1.若2836,4582,5164,6522四个整数都被同一个两位数相除，所得的余数相同。除数最大是多少？
2.一个整数除226,192,141都得到相同的余数，且余数不为0，这个整数是几？
例
题
精
选
例1：
求1992×59除以7的余数。
（提示：可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积。）
例2:
已知2001年的国庆节是星期一，求xx年的国庆节是星期几？
（提示：一个星期有7天，要求xx年的国庆节是星期几，就要求从2001年到xx年的国庆节的总天数被7除的余数就行了；也可以利用同余的性质求出余数。）
（提示：一个星期有7天，要求xx年的国庆节是星期几，就要求从2001年到xx年的国庆节的总天数被7除的余数就行了；也可以利用同余的性质求出余数。）
例3：
自然数16520,14903,14177除以m的余数相同，m的最大值是多少？
（提示：利用同余性质3）
例4：
某数用6除余3，用7除余5，用8除余1.这个数最小是几？
例3：
自然数16520,14903,14177除以m的余数相同，m的最大值是多少？
（提示：利用同余性质3）
例4：
某数用6除余3，用7除余5，用8除余1.这个数最小是几？
（提示：可以用列举法）
课
堂
练
习
练习1：
1.求4217×364除以6的余数。
2.求1339655×12除以13的余数。
3.求879×7376×5283除以11的余数。