第五讲 标准不确定度的A类评定

计量培训：测量不确定度表述讲座国家质量技术监督局

李慎安

5.1A 类评定的基本方法是什么？

用统计方法(参阅4.1)评定标准不确定度称为不确定度的A 类评定，所得出的不确定度称为A 类标准不确定度，简称A 类不确定度。当它作为一个分量时，无例外地只用标准偏差表征。

标准不确定度A 类评定的基本方法是采用贝塞尔公式计算标准差s 的方法。

一个被测量Q (既可以是输入量中的一个，也可以是输出量或被测量)在重复性条件下或复现性条件下重复测量了n 次，得到n 个观测结果q 1，q 2，…，q n ，那么，Q 的最佳估计即是这n 个观测值的算术平均值:

由于n 只是有限的次数，故又称为样本平均值，它只是无限多

次(总体)平均值的一个估计。n 越大，这个估计越可靠。

每次的测量结果q i 减称为残差v i ，v i =(q i -)，因此有n 个残差。

残差的平方和除以n -1就是实验方差s 2

(q i )，即一次测量结果的实验方差，其正平方根即为实验标准差s (q i )，当用它来表述一次测量结果的不确定度u (q i )时，有s (q )=u (q i )，或简写成s =u 。

请注意，今后不再把s 作为A 类不确定度的符号，把u 作为B 类不确定度的符号，而是不分哪一类，标准不确定度均用u 表示。

上述的计算程序就是3.1给出的程序。

平均值的标准偏差s ()或其标准不确定度u ()为:

必须注意上式中的n 指所用的次数。在实际工作中，为了得

到一个较为可靠的实验标准偏差s (q i )，往往作较多次的重复测量(n 较大，自由度ν也较大)；但在给出被测量Q i 测量结果q 时，只用了较少的重复观测次数(例如往往只有4次)。那么，4次的平均值的标准偏差就是s (q i )/4=0.5×s (q i )

但是，如果用于评定s (q i )时的n 个观测值，直接用于评定s ()(n 个的平均)，则成为下式:

5.2除基本方法外还有哪些简化的方法？用于何种场合？

在JJF1059中提出了另外的一种简化方法，称之为极差法，极差R 定义为一个测量列中，最大的测量结果减最小测量结果所得之差。所谓测量列，是指重复性条件下或复现性条件下的若干测量结果这一整体。

使用极差法评定s (q i )的前提是q i 的分布应是正态的。对于大多数测量仪器来说，单次测量的示值，其分布往往偏离正态甚远，例如轴尖支承式仪器的示值介于正态与均匀分布之间，数字电压表的示值分布一般呈双峰状态等。但是所有q i 如果已是3或4个示值之平均值，则可以认为其分布是正态的了。

在得到了极差R 之后，根据这个测量列中包含的q i 的多少(即测量次数n )，除以一个相应的系数C 就可得出单个q i 的实验标准偏差s (q i )了，即s (q i )=R /C =u (q i )。

当n =4时，C =2.06≈2；当n =9时，C =2.97≈3；当n =15时，C =3.47≈3.5。

必须注意，上述三种情况下的自由度ν分别只为2.7，6.8与10.5，比用贝塞尔公式所计算出来的结果自由度小，因此，可靠性也较差，一般在n 较小时使用较好。

5.3什么叫合并样本标准差s p ？一般有哪几种求s p 的方法？

合并样本标准差s p 这一符号的下标正体小写p ，来源于英文pooled 一词，表示并非来自一个被测量的实验结果，但s p 所给出的则仍为这一条件下单次测量结果的标准偏差。s p 是根据多个被测量在重复性条件或复现性条件下重复观测所得测量结果，按统计方法计算出

的一次测量结果的分散性标准偏差，一般只用于常规的规范化的测量之中。例如:按检定规

程进行的校准工作，车间中的在线抽检，某种产品中成分的抽样化验等。采用s

p

的前提是:检测方法不变；整个过程处于正常情况，被测量值的大小变化对分散性不起主要作用。由于

s

p

的自由度一般可以比较容易地达到20以上，认为是相当可靠的，一般把它保留下来作为一种技术档案而用于今后的相同条件下测量结果(往往只重复二、三次，甚至不重复)不确定度的评定。

例如某种测量一般进行4次观测，取算术平均值作为测量结果报出。这种规范化的测量

如对10个被测量进行过了，则可以通过这10次的记录，每一次可算出4个残差v

i

，一共可算

出40个残差v

i 。所有这些残差的平方和除以10×(4-1)=30后开方，就是s

p

，其计算式表示为:

式中的m是所用的被测量个数，上例中为10，式中的n是每个被测量的次数，上例为4。

按上例，这样得出的s

p

的自由度υ=m(n-1)=30，也就是测量次数减被测量的个数。

如果这10个被测量每次测量的次数并非都是4次，而是各不尽相同，则可以分别计算每

一次的实验标准偏差(按贝塞尔公式)s

i ，通过这10个不同的s

i

及其相应不同的自由度ν

i

(按

n-1)由下式得出s

p

，即

这时得到的s

p 的自由度按测量次数减被测量个数即∑ν

i

。

此外，还可以通过一个被测量的两次测量结果之差Δ来求一次测量结果分散性标准差。

例如:10个被测量，每个均测了两次，得到10个差值Δi ，按贝塞尔公式计算差值Δi 的标准偏差s (Δi )为:

式中:按本例n =10，为10个差值的算术平均值，s (Δi )的自由度为n -1，本例则为9。

由于单次测量结果的标准差s (x i )与s (Δi )之间有:

因此，用这一方法得出的s (Δi )还要除以

就是s p ，即单次测量结果

x i 的合并样本标准差。采用这种方法时，应有较多的被测量，以使其自由度足够大，一般应

有20个以上。由于每个被测量只进行两次测量，实用中不少情况下是方便的，特别是被测量本身不很稳定的情况下，这一方法有其独特的优点。

5.4不等精度加权平均值的实验标准差如何计算？

不管是重复性条件还是复现性条件下，只要是处于统计控制状态下，均可按贝塞尔公式

计算单次测量结果或平均值的标准偏差，这种情况下，我们把这些进入贝塞尔公式的结果认为是等精度的，但如果对同一被测量的若干个测量结果的不确定度各不相等，就是非等精度的测量结果，通过这些结果求出该被测量的最佳估计时，应按加权平均的办法处理，其不确定度的计算也要考虑各个结果的权，权是表示各个测量结果可靠程度的一个比值。我们过去说权与误差的平方成反比，实际上是与不确定度的平方成反比，或说与方差成反比。由于不确定度有几种不同表达形式(u ，ku ，k p u )(参见3.4与3.5)，在权的计算中，应使各个结果的不确定度换算成用同一种不确定度给出。

例如:对一个被测量有以下三个测量结果:

y 1=(1000.045±0.010)mm，k =2