第五讲 标准不确定度的A类评定
测量不确定度的评定
1.3测量不确定度的评定由于始终存在于测量过程中的随机误差影响和不可能完全消除或修正的系统误差影响，任何实际的测量都不可能获得被测量的真值，即测量结果总是不能准确确定的。
测量不确定度的评定就是要决定测量结果的不确定程度及其相应的置信概率，即给出一定置信概率的测量不确定度。
1.3.1 标准不确定度的A 类评定标准不确定度的A 类评定是对由重复性测量引起的不确定度分量进行评定。
对被测量X ，在重复性条件下进行n 次独立重复观测，观测值为i x （n ,,,i ⋅⋅⋅=21），算术平均值x 为∑==ni i x n x 11 （1.3.1） )x (s i 为单次测量的实验标准差，由贝塞尔公式计算得到112--=∑=n )x x ()x (s n i i i （1.3.2） )x (s 为平均值的实验标准差，其值为n )x (s )x (s i = （1.3.3）在某物理量的观测值中，若系统误差已消除或可以忽略不计，只存在随机误差，则观测值散布在其期望值附近。
当取若干组观测值，它们各自的平均值也散布在期望值附近，但比单个观测值更靠近期望值。
也就是说，多次测量的平均值比一次测量值更准确，随着测量次数的增多，平均值收敛于期望值。
因此，通常以样本的算术平均值作为被测量值的估计（即测量结果），以平均值的实验标准差)x (s 作为测量结果的标准不确定度，即A 类标准不确定度。
n /)x (s )x (u i = （1.3.4） 观测次数n 充分多，才能使A 类不确定度的评定可靠，一般认为n 应大于6。
但也要视实际情况而定，当该A 类不确定度分量对合成标准不确定度的贡献较大时，n 不宜太小，反之，当该A 类不确定度分量对合成标准不确定度的贡献较小时，n 小一些关系也不大。
1.3.2标准不确定度的B 类评定B 类不确定度主要来自于各种不同类型的仪器、不同的测量方法、方法的不同应用以及测量理论模型的不同近似等方面。
因此，B 类不确定度的评定主要从以上几个方面获得信息。
1.3 标准不确定度的评定
《电子测量技术》
查表1.5
包含因子 k
1 测量误差与测量不确定度 绪论
（1）已知扩展不确定度的情况
信息源给出信息： U (x) 、p
扩展不确定度 置信概率
置信区间的半宽
U (x)
包含因子
未加以说明，一般按正态分布来确定 包含因子 kp ，即查表1.4确定。
《电子测量技术》
2.A类标准不确定度评定举例
[例3] 某电子管厂用电压表测量第三工序
处的电压，测量5次，电压分别为63.0V，
64.8V，63.7V，64.0V和65.1V，要求对测量
结果进行A类标准不确定度评定(要求采用
两种方法)。
解：电压的测量结果(即测量值的算术平均值)为
1 5 U U i 64.12V 5 i 1
（2）已知置信区间的情况
信息源给出信息：[a , a ] 、 p 、测量结果位
置信区间
于区间中点
置信区间的半宽 包含因子
a a a 2
未加以说明，一般按正态分布来确定
包含因子 kp ，即查表1.4确定。
《电子测量技术》
1 测量误差与测量不确定度 绪论
B类标准不确定度评定
测量结果x 的B类标准不确定度为：
《电子测量技术》
1 测量误差与测量不确定度 绪论
5. B类标准不确定度举例
[例4] 某数字电压表的技术说明书说明：该表校
准后1-2年内，在1V量程内示值最大允许误差的模
为 14 106 读数 2 106 量程。该表校准后的第
18个月，采用该表的1V量程测量电压U，在重复
性条件下进行了8次测量，测得电压U的平均值为
按照中华人民共和国国家计量技术规范《测量不确定度评定与
按照中华人民共和国国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—1999，不确定度的评定方法可归纳为A 、B 两类。
1.1 标准不确定度的A 类评定在重复性或复现性条件下对被测量X 进行了n 次测量，测得n 个结果（i = 1，2，… n ），被测量x 真值的最佳估计值是取n 次独立测量值的算术平均值：i x ∑==ni ix n x 11（1-2-1）由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定相同，它与平均值之间存在着残差i x x x i i −=)(υ表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：1)()(21−−=∑=n x xx s ni ii（1-2-2）标准差的上述计算与的分布无关。
所得到的标准差指这个条件下测量列中任一次结果的标准差，可以理解为这个测量列中的测量结果虽各不同，但其标准差相等。
i x )(i x s 算术平均值x 的实验标准偏差：)1()()()(21−−==∑=n n x x nx s x s ni i i （1-2-3）就是测量结果的A 类标准不确定度)(x u 。
用（1-2-3）式评定不确定度时，测量次数n 应充分多，或者说自由度 足够大，一般认为n 应大于6。
1−=n v 1.2 标准不确定度的B 类评定B 类不确定度的信息来自以往的检测数据，有关的技术资料，检定、检验证书，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m 内其最大误差为0.5mm ；在量程1~2 m 内其最大误差为1.0mm 。
有时要根据实际情况估计的误差极限值。
如：用电子秒表测得某单摆的振动周期为2.5秒，电子秒表的准确度级别高于10-5，则仪器对应的误差限秒。
但是，由于实验者在计时开始和计时结束时都会有0.1~0.2秒左右的误差，所以估计周期的测量误差限为0.2秒。
5105.2−×<ΔB 类不确定度的估算为：已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为a ，且i X i x ix 落在a x i −至a x i +区间的概率为100%。
标准不确定度的A类评定
标准不确定度的A类评定标准不确定度的评定分A类和B类评定两种方法。
本文将重点介绍A类评定。
A类评定的原理是通过重复进行多次测量（n次），并计算多次测量数据的标准偏差（standard deviation）来估计标准不确定度。
标准偏差描述的是多次测量结果的离散程度，标准偏差越小代表测量结果越一致。
假设进行了n次测量，测量结果为x1, x2, ..., xn，那么标准偏差的计算公式为：s = √[1/(n-1) * ∑(xi- xmean)² ]其中，s为标准偏差，xi为第i次测量结果，xmean为全部测量结果的算术平均值。
标准偏差越小，表示n次测量结果越接近，因此可以反映出被测量量的真实值。
标准不确定度的计算公式为：u = k * s其中，u为标准不确定度，k为扩展不确定度，是一个常数，通常取2（在不确定度的分布近似于正态分布的情况下）。
s是标准偏差。
A类不确定度评定方法适用于以下情况：1.测量数据是连续的；2.测量数据满足正态分布或近似正态分布；3.具有稳定的测量条件和方法；4.数据的误差主要来源于同一原因，误差大小和方向随机分布；5.测量数据的误差大小相对较小，误差分布不超过0.1%。
对于A类评定的标准不确定度，还需要进行报告和说明，包括：1.用统计学方法计算的标准不确定度的值；2.测量数据的性质及其获取方法的说明；3.评定标准不确定度所采用的测量方法和仪器的说明；4.如果需要使用其他参数进行修正的情况，需要说明修正方法和参数；5.说明扩展不确定度及其使用的原因；6.明确标准不确定度与其他不确定度来源之间的区别和关系，以及不确定度的可比性和可重复性。
总之，A类评定的标准不确定度是一种有效的方法，可以通过多次测量计算标准偏差，进而估计被测量量的真实值和测量结果的精确程度。
通过合理的报告和说明，可以使测量结果的可靠性更有信心。
贝塞尔法和极差法
贝塞尔法和极差法
标准不确定度的A 类评定方法有许多，常用的有贝塞尔法和极差法。
一、贝塞尔法 1)计算算术平均值： 2)计算单个测得值i x 的实验标准偏差)(i x s ：
3)当以单次测量作为被测量的测量结果时，其标准不确定度为： 4)当以算术平均值 作为被测量的测量结果时，其标准不确定度为：
二、极差法 1)计算算术平均值：
2)计算单个测得值k x 的实验标准偏差)(k x s ： 式中：R 是极差，即min max x x R -=
C 是极差系数，可查表得到：
3) 当以单次测量作为被测量的测量结果时，其标准不确定度为： 4) 当以算术平均值 作为被测量的测量结果时，其标准不确定度为：
二种方法比较：一般情况下，当测量次数n ＜10时使用极差法，n ≥10时使用贝塞尔法。
使用贝塞尔法可信度高，但极差法使用起来方便。
∑
=-=n
i i x n x 111
)
()(1
2
--=
∑=-
n x x x s n i i
i -x n
x s x s x u i )()()(=
=-)()(i x s x u =∑
=-=n i i
x n x 1
1C
R x s k =
)()()(k x s x u =-x n
x s x s x u k )
()()(==-。
不确定度的a类评定
不确定度的a类评定
不确定度是指测量或者实验过程中结果的不确定性，是物理量的一个
重要属性之一。
为了准确评定不确定度，国际上将不确定度评定分为
A类评定和B类评定两种方法。
A类评定方法是指使用标准测量设备，通过多次重复实验，测量同一
物理量的变化，从而得到该物理量的标准差和置信区间。
这种评定方
法是最为准确的，可以得到非常精确的不确定度评定结果。
B类评定方法是指通过理论计算或者经验公式计算得到不确定度值。
这种方法的具体实施过程与试验环境、实验人员的经验等相关因素有关，所以其评定结果较为不确定。
不确定度评定的目的是为了保证实验数据的准确性和可靠性，在科研、工程学领域中对数据的精度要求越来越高，因此对不确定度的评定也
越来越重视。
在实际评定不确定度时，需要仔细分析评定的条件，以确保评定的准
确性和可靠性。
不确定度评定需要遵循严谨的科学方法和专业的评定
标准，充分保障评定的可重复性和正确性。
总之，不确定度评定是评价实验数据准确性和可靠性的重要手段之一。
评定不确定度的准确定和可靠性对于科研和工业生产的发展至关重要，应充分重视和加以推广应用。
计量基础知识讲座 第五部分 测量误差与不确定度
(二)，测量不确定度的来源 测量过程中有许多引起测量不确定度的来源，它们可能来自以下十 个方面: 1.对被测量的定义不完整或不完善 例如:定义被测量是一根标称值为1m的钢棒的长度，若要求测准到 微米级，则被测量的定义就不够完整，因为此时被测钢棒受温度和压力 的影响已较明显，而这些条件没有在定义中说明。由于定义的不完整， 将使测量结果中引入温度和压力影响的不确定度。这时，完整的定义应 是:标称值为1m的钢棒在25.0℃和101325 Pa时的长度。若在定义要求 的温度和压力下测量，就可避免由此引起的不确定度。 2.实现被测量定义的方法不理想 如上例，被测量的定义虽然完整，但由于测量时温度和压力实际上 达不到定义的要求(包括由于温度和压力的测量本身存在不确定度)，使 测量结果中引人了不确定度。
一、测量误差有关的名词术语 [测量] 误差 测量结果减去被测量的真值。 注:（1）由于真值不能确定，实际上用的是约定真值。 （2）当有必要与相对误差相区别时，此术语有时称为测 量的绝对误差。注意不要与误差的绝对值相混淆，后者为 误差的模。 测得值 从测量仪器直接得出或经过必要计算而得出的量值。 实际值 满足规定准确度的用来代替真值使用的量值。 注：在标定中通常把高一等、级计量标准所复现的量值称 为实际值。
6.测量仪器的分辨力或鉴别力不够 数字式测量仪器的不确定度来源之一，是其指示装置的分辨力。即 使指示为理想重复，这种重复性所贡献的测量不确定度仍然不为零，这 是因为，当输入信号在一个已知的区间内变动时，该仪器却给出了同样 的指示。 7.赋予测量标准和标准物质的值不准 通常的测量是通过被测量与测量标准的给定值进行比较实现的，因 此，该测量标准的不确定度将直接引入测量结果。例如:用天平测量时， 测得质量的不确定度中包括了标准砝码的不确定度。 8.用于数据计算的常量和其他参量不准 例如:在测量黄铜的长度随温度变化时，要用到黄铜的线热膨胀系数 。查有关数据手册可以找到所需的值，与此同时，也可从手册上查出或 计算出该值的不确定度，它同样是测量结果不确定度的一个来源。
测量数据不确定度的评定
测量数据不确定度的评定在分析和确定测量结果不确定度时，应使测量数据序列中不包括异常数据。
即应先对测量数据进行异常判别，一旦发现有异常数据就应剔除。
因此，在不确定度的评定前均要首先剔除测量数据序列中的坏值。
1．A类标准不确定度的评定A类标准不确定度的评定通常可以采用下述统计与计算方法。
在同一条件下对被测参量X进行n次等精度测量，测量值为Xi（i=1，2，…，n）。
该样本数据的算术平均值为X的实验标准偏差（标准偏差的估计值）可用贝塞尔公式计算式中，（x）为实验标准偏差。
用作为被测量X测量结果的估计值，则A类标准不确定度uA为（1）2．标准不确定度的B类评定方法当测量次数较少，不能用统计方法计算测量结果不确定度时，就需用B类方法评定。
对某一被测参量只测一次，甚至不测量（各种标准器）就可获得测量结果，则该被测参量所对应的不确定度属于B类标准不确定度，记为uB。
B类标准不确定度评定方法的主要信息来源是以前测量的数据、生产厂的产品技术说明书、仪器的鉴定证书或校准证书等。
它通常不是利用直接测量获得数据，而是依据查证已有信息获得。
例如：①最近之前进行类似测试的大量测量数据与统计规律；②本检测仪器近期性能指标的测量和校准报告；③对新购检测设备可参考厂商的技术说明书中的指标；④查询与被测数值相近的标准器件对比测量时获得的数据和误差。
应说明的是，B类标准不确定度uB与A类标准不确定度uA同样可靠，特别是当测量自由度较小时，uA反而不如uB可靠。
B类标准不确定度是根据不同的信息来源，按照一定的换算关系进行评定的。
例如，根据检测仪器近期性能指标的测量和校准报告等，并按某置信概率P评估该检测仪器的扩展不确定度Up，求得Up的覆盖因子k，则B类标准不确定度uB等于扩展不确定度Up除以覆盖因子k，即uB（X）=Up（X）／k（2）【例1】公称值为100g的标准砝码M，其检定证书上给出的实际值是100.000 2.34 9，并说明这一值的置信概率为0.99的扩展不确定度是0.000120g，假定测量数据符合正态分布。
测量标准不确定度的A类与B类评定
式 ( 3) 中的 n 为获得算术平均值 x 时的重复观 测次数 , 其含义与式 ( 1) 中对被测量的重复观测次 数 n 不同 , 例如 :上述测量方法中 , 取对被测量两次 测量值的算术平均值作为测量结果 , 在该方法的测 量不确定度评定时 , 由于取 2 次测量值的算术平均 值作为测量结果 , 由式 ( 3) , 得 :
| v i | max/ / s ( x ) < G10 ,
即该测量列不存在异常值 .
( 2) 当用单次测量值作为测量结果 , 或规定原
始记录中要测量 m 次 , 并把 次测量结果误差最大一 次的值作为测量结果时 , 按式 ( 2) 计算 A 类评定的 标准不确定度 :
uA = s ( x ) = 0 . 0012mm
( 2)
( 3) 当测量结果的取值方式用 次重复测量结果
的均值作为实际测量结果时 , 按式 ( 3) 计算 A 类评 定的标准不确定度
uA = s ( x ) = s ( x ) / n ( 3)
根据置信概率 p 确定 3
3 注 :如 p = 50 % 时 k = 0 . 67 ; p = 67 % 时 , k = 1 ; p = 90 % 时 , k = 2 ; p = 95 % 时 k = 1 . 96 ; p = 99 % 时 , k = 2 . 58 ; p
2007 年 岳香梅等 : 测量标准不确定度的 A 类与 B 类评定 ・29 ・
表 1 例题计算结果 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi 1 . 43 1 . 44 1 . 45 1 . 43 1 . 46 1 . 44 1 . 42 1 . 43 1 . 45 1 . 44 vi ( x - x i ) - 0 . 01 v2 i
测量不确定度a类评定方法
测量不确定度a类评定方法
测量不确定度是对测量结果的精度的一种描述，它可以用来判断所得结果的可信度和精度。
在测量不确定度的评定中，我们可以使用A 类评定方法。
A类评定方法是一种从统计学角度出发的测量不确定度评定方法，它可以在不进行重复测量的情况下，通过利用已知的测量数据来估计实际测量结果的不确定度。
具体来说，A类评定方法通常采用标准差来表示测量数据的离散程度，进而根据具体的情况，确定相应的扩展不确定度。
A类评定方法一般包括以下步骤：先收集已知的测量数据，计算数据的平均值和标准差，然后根据相应的置信度和自由度来计算扩展不确定度。
其中，置信度是对测量数据的信任程度的度量，自由度是指测量数据所包含的独立信息的数量。
在实际测量中，A类评定方法是一种较为常用的测量不确定度评定方法，它可以帮助我们更好地评估测量结果的精度和可靠度，也有助于提高测量过程的质量。
不确定度数据表示与评定
二、不确定度的来源
1、被测量的定义不完全 2、被测量的定义值的复现不理想 3、被测量的样本可能不完全代表定义的被测量 4、对环境条件的影响认识不足 5、人员的读数偏差 6、测量仪器计量性能的局限性（如分辨力等） 7、测量标准或测量设备不完善 8、在数据处理时所引用的常数或其他参数的不准确 9、测量方法、测量系统和测量程序不完善 10、在相同条件下，被测量重复观测重的随机变化。 11、修正不完善 7
确定度的影响不大时，据中心极限定理，合成不
确定度uc的分布接近正态分布。
15
四、扩展不确定度
若有效自由度充分大，按正态分布计算 若有效自由度较小，按t分布计算（按有效自由度
查表） 如果uc的概率分布为非正态分布时，应根据相应的 分布确定kp。
16
关于概率分布情况的估计
(1) 正态分布 a. 重复条件或复现条件下多次测量的算术平均值的分布； b. 被测量Y用扩展不确定度UP给出，而其分布又没有特殊指 明时，估计值Y的分布； c. 被测量Y的合成标准不确定度uc(y)中，相互独立的分量ui(y) 较多，它们之间的大小也比较接近时，估计值Y的分布； d. 被测量Y的合成标准不确定度uc(y)中相互独立的分量ui(y) 中，存在两个界限值接近的三角分布，或4个界限值接近的 均匀分布； e. 被测量Y的合成标准不确定度 uc(y)中相互独立的分量ui(y) 中，量值较大的分量（起决定作用的分量）接近正态分布时。
国家基准
测量范围，测量不确定度
方法
测量标准名称
测量范围，测量不确定度
方法
参照标准名称
测量范围，测量不确定度
方法 工作测量器具名称
测量范围，允许误差极限
24
x j ) / m(n 1)
A类不确定度的评定标准
A 类不确定度的评定标准：
◆ 在重复性条件或复现性条件下得出n 个观测结果(1,2,3)i x i n =……，随机变量x 的期望值x μ的最佳估计是n 次独立观测结果的算术平均值x （x 又称为样本平均值）：1
1n
i i x x n ==∑。
◆ 由于影响量的随机变化，或随机效应时空影响的不同，每次独立观测值i x 不一定相同，它与x 之差称为残差υ：i i x x υ=-。
◆ 单次测量的实验标准差()i s x 由贝塞尔公示计算：()i s x =()i s x 表征了i x 在x 上下的分散性。
()i s x 称为样本标准差或实验标准差，表示实验测量列中任一次测
量结果的标准差。
通常以独立观测列的算术平均值x 作为测量结果，测量结果的标准不确定度为
()()()i s x s x x μ==。
这就是标准不确定度A 类评定的基本方法。
参考文献：《中华人民共和国国家计量技术规范：测量不确定度评定与表示》。
第五章测量的不确定度
10
§5.2标准不确定度的A类评定
用标准差表征的不确定度，称为标准不确定度，用符 号u表示。 采用统计分析的方法对测量结果进行的评定称为标准 不确定度的A类评定。 1、单次测量结果标准差与平均值标准差 对某量x在重复条件下所得测量数据列xi（i=1～n）为 基本测量列。 1 n 算术平均值 x xi n i 1 单次测量的标准差（贝塞尔公式）
22
计量器具的B类标准不确定度
对计量器具的标准不确定度做B类评定，应注意
（1）对按“级”使用的计量器具
当计量器具鉴定书上给出准确度“级别”时，可按检定规程 所规定的该级别的最大允许误差±A进行评定。一般采用均匀分 布，得到示值允许引起的标准不确定度分量为
uB
A 3
这样计算的uB不包括检定该器具时所用高级别计量器具的不 确定度所带来的影响。如不能忽略不计时，还要考虑这一项不确定 度分量。uB包括了计量器具长期稳定性的影响。只要使用的环境条 件不超出允许的范围，就不必考虑环境条件引起的不确定分量。
a u ( x) 3
21
（4）仪器基本误差。设某一仪器在指定条件下对某一被测 量进行测量时，可能达到的最大误差限为a ，假设按均匀 分布考虑，标准不确定度为
a u ( x) 3
（5）仪器分辨力。设仪器的分辨力为 x ，其半区间宽度为 a x ，按均匀分布考虑，其标准不确定度为 2 x a u ( x) 3 2 3
2
§5.1
一、定义
测量不确定度的基本概念
测量不确定度：是指测量结果变化的不肯定，是表征被 测量的真值在某个范围的一个估计，用以表示被测量分散性 的一个参数。 （1）该参数是一个表征分散性的参数, 可以用标准差或 标准差的倍数表示，分别称为标准不确定度u和扩展不确定 度U 。 （2）该参数一般由若干个分量组成，一般分为两类，即A 类分量和B类分量。统称为不确定度分量。 （3）该参数是通过所有不确定度分量进行方差和协方差合 成得到，其可靠程度可用自由度的大小来表示。 （4）完整的测量结果表达中，应包括测量不确定度。 （5）表示形式有绝对不确定度和相对不确定度两种。
a类测量不确定度评定
测量不确定度的A类评定
测量不确定度按估算方法可分为A类评定和B类评定。
无论A类评定或是B类评定都是采用统计的方法评定标准不确定度。
它们的区别是A类评定有观测列，而B类评定没有现成的观测列。
A类评定是用对观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度。
测量不确定度A类评定方法：
例如：用激光长度仪对标准棒（标称值：84ｍｍ），在相同条件下，进行n次重复测量，得到观测列（x1，x2，…，x n），则对激光长度仪的测量不确定度评定如下：
⑴、计算观测列的平均值
⑵、计算残差
⑶、计算残差的平方和
⑷、计算单次测量的标准偏差
⑸、计算标准不确定度
⑹、激光长度仪测量不确定度评定结果见下表：
表：激光长度仪测量不确定度评定
Table ：Evaluation of measurement uncertainty of laser length tester。
测量数据不确定度的评定
测量数据不确定度的评定在分析和确定测量结果不确定度时，应使测量数据序列中不包括异常数据。
即应先对测量数据进行异常判别，一旦发现有异常数据就应剔除。
因此，在不确定度的评定前均要首先剔除测量数据序列中的坏值。
1・A类标准不确定度的评定A类标准不确定度的评定通常可以采用下述统计与计算方法。
在同一条件下对被测参量X进行n次等精度测量,测量值为Xi(i=1,2,•…n)。
该样本数据的算术平均值为X=X的实验标准偏差(标准偏差的估计值)可用贝塞尔公式计算式中，冷(X)为实验标准偏差。
用疋作为被测量X测量结果的估计值，则A类标准不确定度uA为际站七佔(1)2•标准不确定度的B类评定方法当测量次数较少，不能用统计方法计算测量结果不确定度时，就需用B类方法评定。
对某一被测参量只测一次,甚至不测量（各种标准器）就可获得测量结果，则该被测参量所对应的不确定度属于B类标准不确定度，记为uB o B类标准不确定度评定方法的主要信息来源是以前测量的数据、生产厂的产品技术说明书、仪器的鉴定证书或校准证书等。
它通常不是利用直接测量获得数据，而是依据查证已有信息获得。
例如：①最近之前进行类似测试的大量测量数据与统计规律；②本检测仪器近期性能指标的测量和校准报告；③对新购检测设备可参考厂商的技术说明书中的指标；④查询与被测数值相近的标准器件对比测量时获得的数据和误差。
应说明的是，B类标准不确定度uB与A类标准不确定度uA同样可靠，特别是当测量自由度较小时，uA反而不如uB可靠。
B类标准不确定度是根据不同的信息来源，按照一定的换算关系进行评定的。
例如，根据检测仪器近期性能指标的测量和校准报告等，并按某置信概率P评估该检测仪器的扩展不确定度Up，求得Up的覆盖因子k则B类标准不确^（耳竺一逅业）（3）定度uB等于扩展不确定度Up除以覆盖因子k,即uB（X）=Up（X）/k（2）【例1】公称值为100g的标准砝码M,其检定证书上给出的实际值是100.0002.349，并说明这一值的置信概率为0.99的扩展不确定度是0.000120g，假定测量数据符合正态分布。
测量不确定度
测量不确定度一、单项选择题(每题的备选项中，只有1个最符合题意)1．正态分布的情况下，合成标准不确定度乘以包含因子2之后，其扩展不确定度所确定分散区间的置信概率约为( )。
A．68% B．95% C．99% D．100% [答案] B[解析] 正态分布节置信水平p与包含因子k，之间的关系如表5.5-1所示。
2．不相关，对应的标准不确定度分别为u(x1)和u(x2)，则x1-x2的合成标准不确定度为( )。
A．u(x1)-u(x2) B．u(x1)+u(x2)[答案] D[解析] 以标准差表示的测量不确定度，称为标准不确定度。
当测量结果是由若干个其他量的值求得时，测量结果的标准不确定度，等于这些其他量的方差和协方差适当和的正平方根，称之为合成标准不确定度。
故x1-x2的合成不确定度为3．已知v=xyz，则x或u(x)的灵敏系数c x=( )。
A．x B．xy C．xyz D．y[答案] D[解析] 测量仪器响应的变化除以对应的激励变化，称为灵敏度。
x相关的灵敏系数，它等于在输入估计值x处评定的模型函数/关于x的偏导数。
故c x=yz。
4．测量不确定度是对测量结果( )的定量表征。
A．误差B．修正范围C．真值D．质量[答案] D5．测量结果表述必须同时包含赋予被测量的值及与该值相关的( )。
A．误差B．测量准确度C．测量不确定度D．测量精密度[答案] C[解析] 测量的目的是为了确定被测量的量值。
测量结果的质量(品质)是量度测量结果可信程度的最重要的依据。
测量不确定度就是对测量结果质量的定量表征，测量结果的可用性很大程度上取决于其不确定度的大小。
所以，测量结果表述必须同时包含赋予被测量的值及与该值相关的测量不确定度，才是完整并有意义的。
6．测量不确定度，表征了合理地赋予被测量之值的( )、与测量结果相联系的参数。
A．离散度B．不确定度C．精确度D．分散性[答案] D[解析] 测量不确定度表征了合理地赋予被测量之值的分散性、与测量结果相联系的参数。
大物实验中如何计算不确定度
3.3 10 3 mm
UA (d )
tp
s(d ) n
2.36 3.3103 8
2.7 103 mm
（4）计算B类不确定度：仪器误差取最小分度值的一半， 即Δm ＝0.005mm，因此
UB (d ) m 0.005 mm
（5）合成不确定度：
U(d)
U
2 A
(d
)
U
2 B
(d
)
2.7 103 2 5 103 2 5.7 103 0.006 mm
F
x1
2 u ( x1 )
F
x2
2 u(x2 )
...
F xk
2 u(xk )
注意：
（a） 当F= F(x1,x2,…xk)为乘除或方幂函数关系时， 可以先将求对数，再求导。
（b） 本式只适于各变量互相独立的情形，若不独立 则
例如：f比=较xy复2.杂，求超u(出f)本=?书范围。
ln f ln x 2 ln y
。
2）标准不确定度的 B类评定( uB )
是指用非统计方法评定的不确定度，如用经验或资料以 及假设的概率分布估计出的不确定度与未定系统误差有 关的分量，用估计的标准偏差表示。
uB
(x)
m (x) k
m (x)为仪器的最大允许误差限，而包含因子k由可能的误差概率分布决
定：按正态分布、均匀分布和三角分布，分别取 3、 3 、 6 。
注意：m：仪器误差限, 指测量仪器的示值与真值之差的最大值。
一般实验中, 对于刻度仪器仪表, m常取最小分度值的1/2， 大多数遵循均匀分布，所以K取 3 。
③标准不确定度合成（C类不确定度）（uC ）： 也称合成标准不确定度
测量不确定度评估的方法有哪些
测量不确定度评估的方法有哪些在科学研究、工程技术、生产制造等众多领域，测量是获取数据和信息的重要手段。
然而，测量结果往往不是绝对准确的，存在一定的不确定性。
为了更准确地描述测量结果的可靠程度，就需要进行测量不确定度的评估。
那么，测量不确定度评估的方法都有哪些呢？测量不确定度是与测量结果相联系的参数，表征合理地赋予被测量之值的分散性。
简单来说，就是对测量结果可能存在的误差范围的一种估计。
评估测量不确定度的方法多种多样，下面为您介绍几种常见的方法。
一、A 类评定方法A 类评定是通过对观测列进行统计分析来评定测量不确定度的方法。
具体来说，就是在相同的测量条件下，对被测量进行多次独立重复测量，得到一组测量值。
然后，通过对这组测量值进行统计分析，计算出实验标准偏差，进而得到测量不确定度。
例如，对一个物体的质量进行 10 次测量，得到 10 个测量值。
通过计算这 10 个测量值的平均值和标准偏差，就可以估计出测量结果的不确定度。
在进行 A 类评定时，常用的统计方法包括贝塞尔公式法、极差法、最大误差法等。
贝塞尔公式法是最常用的方法，它通过计算测量值的残差平方和来计算标准偏差。
极差法则是通过测量值中的最大值和最小值之差来估计标准偏差，这种方法计算简单，但精度相对较低。
最大误差法是根据测量过程中可能出现的最大误差来估计标准偏差，适用于测量次数较少的情况。
二、B 类评定方法B 类评定是通过非统计分析的方法来评定测量不确定度。
当无法通过重复测量获得数据时，就需要采用 B 类评定方法。
B 类评定需要依靠有关的信息或经验，来判断被测量值的可能分布范围。
这些信息可能来自于校准证书、仪器说明书、技术规范、以往的测量数据等。
例如，如果已知某仪器的最大允许误差为 ±01，并且认为误差服从均匀分布，那么可以通过计算均匀分布的标准偏差来估计测量不确定度。
在 B 类评定中，确定被测量值的分布是关键。
常见的分布包括均匀分布、正态分布、三角分布等。
测量不确定度表述讲座 第五讲 标准不确定度的A类评定
测量不确定度表述讲座第五讲标准不确定度的A类评定李慎安
【期刊名称】《中国计量》
【年(卷),期】2000()5
【总页数】3页(P53-55)
【关键词】计量测试;测量不确定度;标准不确定度;A类评定
【作者】李慎安
【作者单位】国家质量技术监督局
【正文语种】中文
【中图分类】TB9;TH701
【相关文献】
1.测量不确定度基本原理和评定方法及在材料检测中的评定实例第二讲测量不确定度的评定方法(A类标准不确定度的评定) [J], 王承忠
2.测量不确定度基本原理和评定方法及在材料检测中的评定实例第三讲测量不确定度的评定方法(B类标准不确定度的评定) [J], 王承忠
3.压力测量不确定度评定基础知识讲座(五)第五讲油罐中油量测量不确定度评定——油罐中油量测量不确定度分析 [J], 董海峰
4.测量不确定度表述讲座第一讲近代统一测量不确定度评定与表述沿革 [J], 李慎安;
5.测量不确定度表述讲座第六讲标准测量不确定度的B类评定 [J], 李慎安
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计量培训：测量不确定度表述讲座国家质量技术监督局李慎安5.1A 类评定的基本方法是什么？用统计方法(参阅4.1)评定标准不确定度称为不确定度的A 类评定，所得出的不确定度称为A 类标准不确定度，简称A 类不确定度。
当它作为一个分量时，无例外地只用标准偏差表征。
标准不确定度A 类评定的基本方法是采用贝塞尔公式计算标准差s 的方法。
一个被测量Q (既可以是输入量中的一个，也可以是输出量或被测量)在重复性条件下或复现性条件下重复测量了n 次，得到n 个观测结果q 1，q 2，…，q n ，那么，Q 的最佳估计即是这n 个观测值的算术平均值:由于n 只是有限的次数，故又称为样本平均值，它只是无限多次(总体)平均值的一个估计。
n 越大，这个估计越可靠。
每次的测量结果q i 减称为残差v i ，v i =(q i -)，因此有n 个残差。
残差的平方和除以n -1就是实验方差s 2(q i )，即一次测量结果的实验方差，其正平方根即为实验标准差s (q i )，当用它来表述一次测量结果的不确定度u (q i )时，有s (q )=u (q i )，或简写成s =u 。
请注意，今后不再把s 作为A 类不确定度的符号，把u 作为B 类不确定度的符号，而是不分哪一类，标准不确定度均用u 表示。
上述的计算程序就是3.1给出的程序。
平均值的标准偏差s ()或其标准不确定度u ()为:必须注意上式中的n 指所用的次数。
在实际工作中，为了得到一个较为可靠的实验标准偏差s (q i )，往往作较多次的重复测量(n 较大，自由度ν也较大)；但在给出被测量Q i 测量结果q 时，只用了较少的重复观测次数(例如往往只有4次)。
那么，4次的平均值的标准偏差就是s (q i )/4=0.5×s (q i )但是，如果用于评定s (q i )时的n 个观测值，直接用于评定s ()(n 个的平均)，则成为下式:5.2除基本方法外还有哪些简化的方法？用于何种场合？在JJF1059中提出了另外的一种简化方法，称之为极差法，极差R 定义为一个测量列中，最大的测量结果减最小测量结果所得之差。
所谓测量列，是指重复性条件下或复现性条件下的若干测量结果这一整体。
使用极差法评定s (q i )的前提是q i 的分布应是正态的。
对于大多数测量仪器来说，单次测量的示值，其分布往往偏离正态甚远，例如轴尖支承式仪器的示值介于正态与均匀分布之间，数字电压表的示值分布一般呈双峰状态等。
但是所有q i 如果已是3或4个示值之平均值，则可以认为其分布是正态的了。
在得到了极差R 之后，根据这个测量列中包含的q i 的多少(即测量次数n )，除以一个相应的系数C 就可得出单个q i 的实验标准偏差s (q i )了，即s (q i )=R /C =u (q i )。
当n =4时，C =2.06≈2；当n =9时，C =2.97≈3；当n =15时，C =3.47≈3.5。
必须注意，上述三种情况下的自由度ν分别只为2.7，6.8与10.5，比用贝塞尔公式所计算出来的结果自由度小，因此，可靠性也较差，一般在n 较小时使用较好。
5.3什么叫合并样本标准差s p ？一般有哪几种求s p 的方法？合并样本标准差s p 这一符号的下标正体小写p ，来源于英文pooled 一词，表示并非来自一个被测量的实验结果，但s p 所给出的则仍为这一条件下单次测量结果的标准偏差。
s p 是根据多个被测量在重复性条件或复现性条件下重复观测所得测量结果，按统计方法计算出的一次测量结果的分散性标准偏差，一般只用于常规的规范化的测量之中。
例如:按检定规程进行的校准工作，车间中的在线抽检，某种产品中成分的抽样化验等。
采用sp的前提是:检测方法不变；整个过程处于正常情况，被测量值的大小变化对分散性不起主要作用。
由于sp的自由度一般可以比较容易地达到20以上，认为是相当可靠的，一般把它保留下来作为一种技术档案而用于今后的相同条件下测量结果(往往只重复二、三次，甚至不重复)不确定度的评定。
例如某种测量一般进行4次观测，取算术平均值作为测量结果报出。
这种规范化的测量如对10个被测量进行过了，则可以通过这10次的记录，每一次可算出4个残差vi，一共可算出40个残差vi 。
所有这些残差的平方和除以10×(4-1)=30后开方，就是sp，其计算式表示为:式中的m是所用的被测量个数，上例中为10，式中的n是每个被测量的次数，上例为4。
按上例，这样得出的sp的自由度υ=m(n-1)=30，也就是测量次数减被测量的个数。
如果这10个被测量每次测量的次数并非都是4次，而是各不尽相同，则可以分别计算每一次的实验标准偏差(按贝塞尔公式)si ，通过这10个不同的si及其相应不同的自由度νi(按n-1)由下式得出sp，即这时得到的sp 的自由度按测量次数减被测量个数即∑νi。
此外，还可以通过一个被测量的两次测量结果之差Δ来求一次测量结果分散性标准差。
例如:10个被测量，每个均测了两次，得到10个差值Δi ，按贝塞尔公式计算差值Δi 的标准偏差s (Δi )为:式中:按本例n =10，为10个差值的算术平均值，s (Δi )的自由度为n -1，本例则为9。
由于单次测量结果的标准差s (x i )与s (Δi )之间有:因此，用这一方法得出的s (Δi )还要除以就是s p ，即单次测量结果x i 的合并样本标准差。
采用这种方法时，应有较多的被测量，以使其自由度足够大，一般应有20个以上。
由于每个被测量只进行两次测量，实用中不少情况下是方便的，特别是被测量本身不很稳定的情况下，这一方法有其独特的优点。
5.4不等精度加权平均值的实验标准差如何计算？不管是重复性条件还是复现性条件下，只要是处于统计控制状态下，均可按贝塞尔公式计算单次测量结果或平均值的标准偏差，这种情况下，我们把这些进入贝塞尔公式的结果认为是等精度的，但如果对同一被测量的若干个测量结果的不确定度各不相等，就是非等精度的测量结果，通过这些结果求出该被测量的最佳估计时，应按加权平均的办法处理，其不确定度的计算也要考虑各个结果的权，权是表示各个测量结果可靠程度的一个比值。
我们过去说权与误差的平方成反比，实际上是与不确定度的平方成反比，或说与方差成反比。
由于不确定度有几种不同表达形式(u ，ku ，k p u )(参见3.4与3.5)，在权的计算中，应使各个结果的不确定度换算成用同一种不确定度给出。
例如:对一个被测量有以下三个测量结果:y 1=(1000.045±0.010)mm，k =2y 2=(1000.015±0.020)mm，k =1y 3=(1000.060±0.020)mm，p =95以上三个结果±号后都是不确定度，但包含因子k 不同，第三个则是用扩展不确定度U 95给出的，在进行加权平均时，应把他们换算成同一种，通常是都算成k =1的标准差，成为:y 1=(1000.045±0.005)mm，k =1y 2=(1000.015±0.020)mm，k =1y 3=(1000.060±0.010)mm，k =1设这三个结果的权分别为p 1，p 2与p 3，当设其中不确定度最大者p 2为1时，应有共同分子(20μm)2，得加权平均值按y =∑q i y i /∑q i计算，得y 的标准偏差按上式中的vi ，也是残差，等于yi-y，m则为yi的个数，本例中m=3。
s(y)=6.5μm有些书上把称为单位权的标准偏差，以简化计算。
5.5直线拟合中表征曲线拟合参数的标准不确定度如何评定？直线拟合为最常用也最简单的一种，它给出两个变量x、y间的线性关系。
通过测量出一组数据(xi ，yi)，i=1，2，…，N，得到的一条直线y=mx+b应该是所有这些点(xi，yi)与这条直线垂直距离之差的平方和为最小，所谓最小二乘即此意。
式中m是直线斜率(也称回归系数)，b是直线在y轴上的截距，m由下式可算出:例如:求测出的点(-5，-4)，(-1，-2)，(3，4)，(5，6)，(8，7)，(10，10)，(15，12)这7个点，N=7的计算列表如下:斜率y轴截距b=4.71-0.858×5=0.426由此给出的回归方程为:y=0.858x+0.426以上所得出的m及b的标准偏差s(m)及s(b)的计算如下。
的标准偏差s(y)，按贝塞尔公式先出yi是按测量给出的，而y则是得到的式子给出的。
上式的2是由于这里有两个被测式中yi量。
然后按下式分别评定m及b的标准偏差为:列出计算表:得:自由度均为ν=N-2=5。
5.6A类评定方法有什么主要特点？a.比B类方法更为客观；b.较具有统计学的严格性；c.要求给定条件下的多次重复观测；d.所得到的标准偏差，其可靠程度与重复观测次数有关；e.计算较为复杂。
5.7在采用A类方法评定时应注意哪些问题？a.尽可能在重复测量中的各次观测值相互独立，例如:重新抽样、重新配制标准溶液、重新调整测量仪器的零位；b.所有假定为随机性的效应是否在整个实验中确是随机的，他们的分布均值以及方差是否不变，是否存在未知的漂移；c.重复性条件或复现性条件应充分保证；d.影响量不应超出允许范围；e.当某种测量只进行了一次，并未在重复性条件下或复现性条件下多次观测时，未必不存在A类评定方法。
例如，采用合并样本标准偏差s。
p5.8是否有可能在测量不确定度评定中，就只有一个A类不确定度？当只有一个A类不确定度分量起主要作用，其他的不确定度分量之值甚小而可忽略不计的情况下，在评定测量不确定度时就只有这一个A类分量。
例如在样品元素分析中，对样品的消化所带来的不确定度远远大于分析仪器的不确定度及其他分量。
又如对样品热导率的测量中，重复条件下的分散性标准差远远大于所用测量仪器的不确定度分量等。
5.9A类评定方法的举例设重复性条件下，测量某一电流的8次独立重复观测值Ii为:130，141，120，110，118，124，146，128mA，其平均值为127mA，按贝塞尔公式，单次观测值的标准不确定度:s(Ii)=11.9mA=12mA平均值的标准偏差s():自由度ν=n-1=8-1=75.10协方差的A类评定中应注意什么？例如用同一个50kg的标准砝码对两个50kg的工作用砝码进行校准，则在两个校准结果中既包含有校准过程中随机效应导致的不确定度分量，也包含了所用同一标准砝码证书上给出的实际值的不确定度这一系统效应导致的不确定度分量。
后者的存在导致两个50kg砝码的校准结果相关。
这两种分量的相对大小，决定了相关的强弱。
如果上述第一种分量远小于第二种，则它们是强相关，否则为弱相关。